Топологические пространства
Выбери формат для чтения
Статья: Топологические пространства
Загружаем конспект в формате doc
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
ВВЕДЕНИЕ
Начало XX века было великой эпохой в истории математики. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.
Одним из важнейших событий развития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение функционального анализа, в котором соединились многие концепции классического анализа, линейной алгебры и геометрии.
Параллельно возникли и интенсивно развивались разделы математики, сыгравшие важную в становлении функционального анализа: топология, теория меры и интеграла Лебега.
Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове «топология». Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной.
Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с планировкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора – Д.Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т.п. Основы общей топологии в ХХ веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем московской школы П.С.Александровым и другими.
В начале ХХ века Лебег завершил построение теории меры и интегрирования. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток, у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причудливо, и для построения теории интегрирования необходимо было в первую очередь построить теорию меры, т.е. научиться «измерять» такие множества. Это было сделано Борелем и Лебегом.
Лебег весьма выразительно описал преимущество своего метода. «В методе Коши, – писал Лебег, – оперируют так, как делает это неопытный клерк, который подсчитывает монеты и кредитные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методичный клерк, говорящий: у меня n1 монет по одному франку, стоящих 1n1, у меня n2 монет по два франка, стоящих 2n2, у меня n5 монет по пять франков, стоящих 5n5 … Итого, у меня 1n1+ 2n2 + 5n5 +... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм неделимых, число которых бесконечно, разница двух методов капитальная.» На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций – метрическая теория функций.
В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Николай Николаевич Лузин и его ученики П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др. Они и заложили основания московской математической школы. Сделав первые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон – топологию, Люстерник и Шнирельман - нелинейный анализ, Новиков внес выдающийся вклад в математическую логику, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математическая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых.
Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной.
Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теорией систем линейных уравнений конечного числа переменных и их бесконечномерных аналогов – линейных интегральных уравнений. Решающий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интегральное уравнение Фредгольм заменил системой линейных уравнений, рассмотрев вместо интеграла интегральные суммы.
Методы решения систем линейных уравнений были разработаны еще в XVIII веке. Применив эти методы и переход к пределу, Фредгольм нашел условия разрешимости и алгоритмы нахождения решений уравнений. Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах.
Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа.
Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).
Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий – бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.
Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.
ГЛАВА 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
Понятие множества изучалось студентами в курсе математического анализа. Здесь мы напомним основные понятия и термины из этой теории.
Понятие множества является настолько общим, что затруднительно дать для него формальное определение (т.е. сведение его к другим понятиям, более простым и более ясным).
Мы будем рассматривать множества чисел, множества точек, множество линий, множества функций и т.д. Множества будем обозначать большими буквами: A, B, M, N и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества, будем обозначать их малыми буквами. Запись (или ) означает, что a есть элемент множества A; запись означает, что a не является элементом множества A. Запись (или ) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B; в этом случае множество A называют подмножеством множества B. Если имеют место включения , В А, то это означает, что множества A и B состоят из одних и тех же элементов и, значит, совпадают друг с другом. Этот факт записывается равенством A = B. Существует одно специальное множество, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .
Рассмотрим простейшие операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и дополнение.
Пусть дано семейство множеств {A}, где индекс пробегает некоторое множество Т. Рассмотрим совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A. Эта совокупность есть новое множество, которое и называют объединением множеств A и обозначается .Отметим, что если какой либо элемент входит в несколько множеств, то в объединение этих множеств он включается только один раз. В соответствии с аксиомами теории множеств пустое множество является подмножеством любого множества.
Пусть снова дана совокупность множеств {A}Т. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из указанных множеств, называется пересечением множеств и обозначается .
В случае, если для , , Т выполняется равенство АА = , то объединение называется дизъюнктным и обозначается .
Из определения объединения и пересечения множеств видно, что эти операции обладают свойством коммутативности и ассоциативности. Легко показать также, что имеет место следующий закон дистрибутивности =.
Пусть даны множества A и B. Элементы множества A, не принадлежащие B, образуют множество, называемое разностью множеств A и B и обозначаемое A - B или A\B. Нетрудно видеть, что A\B=A\.
Введём ещё одно понятие. Если B есть подмножество A, то разность A\B называют дополнением множества B до множества A. Отметим очевидную формулу: если , то . Заметим, что для двух произвольных множеств A и B эта формула вообще неверна.
Из более сложных формул отметим следующие, которые часто будут встречаться.
Теорема (принцип двойственности). Пусть дана система множеств Аα и множество Ω, причём Аα . Тогда
( - А) = - (А);
( - А) = - (А).
Отображением φ множества M1 в множество M2 (обозначение φ: M1M2) называется такой закон φ, при котором каждому элементу xM1 поставлен в соответствие один и только один элемент yM2, обозначаемый через φ(x) и называемый образом элемента x при отображении φ.
Совокупность всех тех элементов aM1, образом которых является данный элемент bM2, называется прообразом элемента b при отображении φ:M1M2 и обозначается через φ-1(b). Таким образом, φ-1(b) = {aM1: (a) = b}.
Пусть A - некоторое подмножество из M1; совокупность {φ(a): aA} всех элементов вида φ(a), где aA, называется образом A и обозначается φ(A). В свою очередь, для каждого множества BM2, определяется его полный прообраз φ-1(B), как совокупность всех тех элементов из M1, образы которых принадлежат B, т.е. φ-1(B) = {aM1: (a) В}
Напомним, что отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией, если φ(M1) = M2.
Если для любых двух различных элементов x1 и x2 из M1 их образы y1 = φ(x1) и y2 = φ(x2) также различны, то φ называется инъекцией. Отображение φ: M1M2, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между M1 и M2.
Имеют место следующие основные свойства отображений:
Теорема о прообразах. Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:
φ-1(AB)= φ-1(A)φ-1(B),
φ-1(AB)= φ-1(A)φ-1(B).
Теорема об образах. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:
φ(AB)= φ(A)φ(B).
Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.
Отображение IM: MM называется тождественным (или единичным) отображением множества M, если IM(x) = x, xM.
Пусть даны отображения φ: M1 M2 и ψ: M2M3, тогда можно определить композицию отображений φ и ψ, как отображение ψφ: M1M3, определяемое формулой (ψφ)(x) = ψ(φ(x)) ,xM1.
Отображение φ: M1M2 называется обратимым, если существует такое отображение ψ:M2M1, что имеют место следующие соотношения:
φψ = IM2
ψφ = IM1
В этом случае отображение ψ называется обратным к отображению φ и обозначается через φ-1 .
Теорема о единственности обратного. Если отображение φ: М1→М2 обратимо, то обратное отображение φ-1 единственно.
Имеет место следующий критерий обратимости отображения.
Теорема о существовании обратного. Отображение φ: М1→М2 обратимо тогда и только тогда, когда φ – биективно.
В этом случае обратное отображение φ-1: М2→М1 определяется (однозначно) следующим образом: образом элемента у М2 при отображении φ -1 будет такой элемент х М1, который при отображении φ переходит в элемент у. Иными словами: φ-1(у) = х φ(х) = у.
2. Топология и топологическое пространство. База топологии
Определение 1 (основное определение). Пусть Х – произвольное множество и = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):
1) , Х ;
2) объединение любой совокупности множеств из принадлежит ;
3) пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит .
Такая совокупность подмножеств называется топологией на X. Множество Х с заданной на нем топологией называется топологическим пространством и обозначается (X, ), подмножества из совокупности называются открытыми (в пространстве (X, )).
Пример 1. Х – числовая прямая R1. Топологию на R1 можно задать следующим набором подмножеств: пустое множество , всевозможные интервалы и их объединения U = . Аксиомы топологии проверяются несложно.
Пример 2. X = R2. Открытым множеством назовем всякое множество в X = R2, которое вместе с каждой своей точкой содержит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а также пустое множество. Это определение соответствует стандартному пониманию открытых множеств, даваемому в курсе «Математического анализа». Легко проверить, что система всех открытых множеств в Х = R2 образует топологию.
Пример 3. Х – произвольное множество. Совокупность min = {, X} очевидно задает топологию на Х. Таким образом определенная топология на Х называется минимальной или тривиальной.
Пример 4. Х – произвольное множество, max = {всевозможные подмножества X}. Совокупность – топология на Х. Эта топология называется максимальной или дискретной.
Таким образом, на одном и том же множестве можно ввести различные топологии, например, тривиальную и дискретную.
С понятием открытого множества в топологическом пространстве (X, ) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого до Х открыто. Иными словами, если U , то X\U замкнуто, и обратно: если F замкнуто, то X\F открыто.
В силу двойственного характера операций в теории множеств совокупность {F} всех замкнутых множеств топологического пространства (X, ) удовлетворяет следующим свойствам:
1) X, {F};
2) пересечение любой совокупности множеств из {F} принадлежит {F};
3) объединение любого конечного числа множеств из {F} принадлежит {F}.
Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X, ), а следовательно, и топологию (так как множества из – это дополнения замкнутых множеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на Х можно задать, указав совокупность {F} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам 1) – 3); в этом случае топологией на Х будет совокупность {X\F}.
Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.
Определение 2. Говорят, что топология на Х слабее топологии ' на Х ( '), если из того, что U , следует, что U ', т. е. если '. Топология ' в этом случае сильнее топологии .
Заметим, что для всякой топологии имеем min max.
Очень часто получить описание всей топологии, как совокупности некоторых подмножеств Х, затруднительно. Для задания топологии используют построение совокупности подмножеств, порождающих топологию.
Определение 3. Совокупность = {V} открытых множеств топологического пространства (Х, ) называется базой топологии , если для всякого открытого множества U и для всякой точки х U найдется такое множество V , что х V и V U.
Следовательно, всякое непустое открытое множество топологического пространства (Х, ) можно представить в виде объединения открытых множеств из базы топологии (это свойство характеризует базу и часто принимается за определение базы). Достаточно взять объединение всех открытых множеств из базы, которые вложены в это множество.
Пусть {V} – некоторая совокупность подмножеств Х. Возникает вопрос: при каких условиях можно построить топологию на Х так, чтобы семейство {V} было базой этой топологии?
Теорема 1 (критерий базы). Пусть {V}А – некоторая не пустая совокупность подмножеств Х. Тогда = {V}А является базой некоторой топологии на Х, если
1) Х = ,
2) для каждого V и каждого V из и каждого x V V существует V такое, что х V V V.
Доказательство. Если = {V}А – база топологии, то V V – открытое множество, и по определению базы для каждого x V V существует V такое, что х V V V.
Обратно: если = {V}А удовлетворяет условию теоремы. Будем говорить, что множество U , если U = V. Принадлежность Х вытекает из условия 1). Принадлежность является следствием множественного равенства V = . Вторая аксиома проверяется непосредственно: , т.е. объединение множеств из представимо в виде объединения множеств из и, следовательно, также принадлежит . Проверим третью аксиому. Для этого возьмем произвольные два множества U1, U2 . Согласно определению системы справедливы представления U1 = V, U2 = V. Тогда
U1U2 = (V)(V) = ( V V).
Для доказательства нам достаточно показать, что множество V V = , где . Тогда U1U2 = , т.е. объединение множеств из , а следовательно U1U2 из . В качестве системы множеств в доказываемом равенстве берем все множества из , удовлетворяющие условию V V. Тогда включение V V очевидно. Докажем обратное включение. Возьмем произвольное х V V. По определению системы найдется такой, что х V V. Это означает, что х и справедливо включение V V .
Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения топологии, если задано семейство = {V}А, удовлетворяющее условию теоремы.
Пример 5. Пусть Х = Rn есть n-мерное векторное пространство. В качестве базы топологии на Rn можно взять систему множеств = {Va, b }, где Va, b = {х Rn: аi < i < bi, i = 1, ..., n}, i – координата вектора х = (1, 2,…, n); а = (а1, a2,…, аn), b = (b1, b2,..., bn) – произвольные векторы в Rn, причем аi < bi.
Такие множества Va, b называются открытыми параллелепипедами в Rn.
В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология рассматривается на Rn, мы будем считать, что Rn снабжено топологией, база которой указана в примере 5.
В топологическом пространстве естественно выбирать базу топологии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в R1 множества V = (t1, t2), где t1, t2 рациональные числа, образуют базу топологии из счетного числа элементов.
3. Структура открытых множеств и окрестности
Пусть (Х, ) – топологическое пространство и х Х – произвольная точка.
Определение 4. Окрестностью точки х Х называется всякое подмножество U(х) Х, удовлетворяющее условиям:
1) х U(х);
2) существует V такое, что х V U(х).
Отметим, что в силу этого определения любое открытое множество является окрестностью каждой своей точки. Окрестность точки, которая является открытым множеством, называется открытой окрестностью.
Можно рассматривать совокупность всех окрестностей данной точки х. Эта совокупность обладает следующими свойствами (докажите!):
1) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х, является окрестностью точки х;
2) пересечение конечного числа окрестностей точки х – окрестность точки х;
3) объединение любой совокупности окрестностей точки х есть окрестность тачки х.
Теорема 2. Подмножество А (А ) топологического пространства (Х, ) открыто тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую окрестность каждой своей точки.
Доказательство. Пусть А открыто, х А. Тогда ясно, что А – окрестность х, следовательно, А содержит окрестность любой своей точки.
Пусть для каждого х А существует окрестность U точки х, целиком лежащая в А: U A. По определению окрестности в ней содержится некоторое открытое множество Vх, х Vх U A. Рассмотрим объединение вcex таких множеств. Оно открыто и совпадает с А. Действительно, так как всякая точка множества А принадлежит , то А . С другой стороны, для каждого х имеем Vx А, т. е. А. Поэтому А = значит, А открыто.
Теорема 3. Множество А R1 открыто тогда и только тогда, когда представимо в виде (напомним, что под суммой множеств понимается их объединение, при условии, что эти множества не пересекаются друг с другом).
Доказательство. Достаточность утверждения очевидна, установим необходимость. На множестве А введем отношение х у, если существует интервал (a; b) А, содержащий обе эти точки. Данное отношение является эквивалентностью. Первые два условия в определении эквивалентности проверяются просто. Последнее вытекает, что если два интервала принадлежат А и имеют общую точку, то их объединение также будет интервалом, причем принадлежащим А.
В результате множество А этим отношением эквивалентности разбивается на непересекаемые классы эквивалентности. Рассмотрим один такой класс [x] и пусть и . Так как множество А открытое, то любая точка этого множества является внутренней, т.е. входит в А с некоторым интервало. Поэтому всегда c < d. Может случится, что эти числа бесконечности. В этом случае рассуждения более простые. Пусть - < c < d < +. Докажем, что (c; d) A. Действительно, пусть s (c; d). В силу свойств точных граней и числовых множеств найдутся у и z из [x], такие, что c < y < s < z < d. Так как у z, то существует интервал (r; q) A и такой, что y, z (r; q). Но тогда и s (r; q) А и этим доказано, что (c; d) A. Заметим, что одновременно мы практически показали принадлежность s [x]. Это означает, что (c; d) [x]. Так как обратное вложение очевидно из определения c и d, то [x] = (c; d).
Последнее равенство завершает доказательство теоремы, так как таких интервалов, содержащихся в А, не может быть более чем счетное число. Действительно, в каждом интервале достаточно взять рациональное число. Разным интервалам будут соответствовать разные числа и количество интервалов биективно отображается в некоторое подмножество множества рациональных чисел. Последнее, как подмножество счетного множества, обязано быть не более чем счетным.
Следствие. Всякое замкнутое множество на прямой получается из прямой выбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.
Окрестности используют для отделения точек друг от друга.
Определение 5. Топологическое пространство (Х, ) называется хаусдорфовым или отделимым, если для любых двух его различных точек, х, у, найдутся такие окрестности V(х), V(у) этих точек, что V(х) V(у) = .
Топологическое пространство (Х, ) с тривиальной топологией не является хаусдорфовым, если оно содержит более одной точки (проверьте!).
Свойства окрестностей точки, рассмотренные выше, можно положить в основу следующего определения топологического пространства, объявляя их аксиомами.
Определение 6. Топологическое пространство – это множество Х, для каждой точки х которого указана непустая система подмножеств {О(х)}, называемых окрестностями точки х, удовлетворяющих следующим свойствам:
1) х принадлежит каждой своей окрестности О(x);
2) если множество U Х содержит некоторое О(х), то U – также окрестность точки х;
3) для любых окрестностей O1(х), O2 (х) точки х их пересечение O1(х) O2 (х) также является окрестностью точки х;
4) для всякой окрестности O(x) точки х найдется такая окрестность O1 (х) O(х), которая является окрестностью каждой своей точки.
4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
Определение 7. Метрическим пространством называется пара (Х, d), где Х - произвольное множество, а d: XX R - отображение, называемое метрикой, удовлетворяет следующим трем аксиомам:
1. d(x, y) 0; d(x, y) = 0 x = y (неотрицательность).
2. d(x, y) = d(y, x) (симметричность).
3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (неравенство треугольника).
Пример 6. Евклидово пространство Rn состоит из множества всех n-мерных векторов, метрика в котором задается равенством d(x, y) = . Справедливость аксиом метрики (за исключением неравенства треугольника) очевидна. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского для сумм (см. приложение). Введенная таким образом метрика на Rn называется евклидовой.
Пример 7. В пространстве непрерывных функций C[a, b] на отрезке [a, b] введем метрику d(x, y) = max |x(t) – y(t)|, где максимум берется по t [a, b]. Эта метрика называется метрикой Чебышева. Справедливость аксиом метрики практически очевидна.
Пример 8. Сk[a, b] – метрическое пространство всех непрерывных функций на [a, b], имеющих непрерывные производные до порядка k, с метрикой, определённой по формуле
d(x, y)=.
Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 9. M[a, b] – пространство ограниченных вещественных функций x(t) заданных на отрезке [a, b] с метрикой d(x, y) = . Ясно, что C[a, b] M[a, b]. Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 10. lp (1 р < ) – пространство всех числовых последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд . Метрика в этом случае определяется так:
d(x, y) = < .
Выполнение двух первых аксиом очевидно. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского (см. приложение).
Пример 11. l = m - пространство ограниченных числовых последовательностей с метрикой
d(х, у) = sup|xk - yk|
Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 12. с0 - пространство сходящихся к нулю последовательностей с той же метрикой, что и в m.
Пример 13. Для произвольного множества Х определим метрику
Справедливость аксиом метрики очевидна. Рассмотренное пространство называется дискретным метрическим пространством.
Пример 14. s - пространство всех числовых последовательностей. Введем в s метрику соотношением:
Аксиомы 1 и 2 метрики очевидны , выполнение 3 аксиомы следует из возрастания функции t/(1+t) (проверьте!).
Определение 8. Обозначим через S(x0, r) = {x: d(x0,x) < r } - открытый шар, S[x0, r] = {x: d(x0,x) r} - замкнутый шар.
Пример 15. Пусть Х = R3 – трёхмерное евклидово пространство. Шар S(a, r) – это обычный шар радиуса r с центром в а = (а1, а2, а3).
Пример 16. Пусть Х = С[а, b] , тогда шар (a, r) в пространстве С[а, b] – это совокупность функций x(t) графики которых не выходят из полосы шириной 2r, образованной кривыми x0(t) – r и x0(t) + r (рис.).
Определение 9 (топология метрического пространства). Определим базу топологии в метрическом пространстве (X, d) полагая, что = {S(x, r): r > 0, x X}. Очевидно, что данное семейство удовлетворяет условиям теоремы 1 и порождает топологию в метрическом пространстве.
Отметим следующее свойство расстояний, которые можно называть “неравенством четырёхугольника”: для любых четырёх точек x, y, z, u метрического пространства
|d(x, y) - d(z, u)| d(x, z) + d(y, u).
Геометрически это означает, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.
Доказательство вытекает из неравенств
d(x, y) d(x, z)+d(z, u)+d(u, y),
d(z, u) d(z, x)+d(x, y)+d(y, u),
если из первого вычесть d(z, u), а из второго d(x, y). При y = u неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника
|d(x, y) - d(y, z)| d(x, z),
которое также часто применяется.
5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
В этом параграфе мы снова обратимся к изучению свойств топологических пространств и рассмотрим операции замыкания, выделения внутренней части и границы множества и тесно связанное с этими операциями понятие предельных и граничных точек. Все эти понятия обобщают известные понятия математического анализа.
Пусть (Х, ) – топологическое пространство.
Опрелеление 10. Замыканием А множества А Х называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А.
Очевидны следующие утверждения.
1. Замыкание А – наименьшее замкнутое множество, содержащее А.
2. Если А замкнуто, то А = А.
Замкнутое множество можно охарактеризовать через понятие предельной точки, определяемое ниже.
Определение 11. Точка х Х называется предельной для данного множества A Х, если в каждой окрестности U(х) точки х содержится хотя бы одна точка х' А, отличная от х.
Пример 17. Рассмотрим в R1 множества А = {n}, В = {1/n}, n = 1, 2,…, C = (0, 1), D = [0,1].
Множество А не имеет предельных точек, множество В имеет одну предельную точку 0, предельные точки множеств С и D заполняют весь отрезок [0, 1].
Понятие предельной точки в топологическом пространстве является, как легко видеть, обобщением понятия предельной точки в анализе. Докажем несколько полезных утверждений, связанных с понятием предельных точек.
Теорема 4. Множество А Х замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Пусть A замкнуто, х – предельная точка А и х А. Тогда х принадлежат открытому множеству О(x) = Х\А, являющемуся окрестностью точки х. Но О(x) А = , что противоречит тому, что х – предельная точка.
Пусть А содержит все свои предельные точки. Покажем, что оно замкнуто, т. е. что его дополнение U = Х\А открыто. Для этого достаточно в силу теоремы 2 показать, что для любой точки х U найдется такая окрестность О(x) точки х, что О(x) U. Предположим противное, что для некоторой точки х0 U и всякой ее окрестности О(x0) найдется точка х' О(х0) такая, что х' U. Тогда х' Х\U = А, следовательно, x0 – предельная точка для А, и, значит, х0 А в противоречие с предположением, что х0 U = Х\А.
Множество всех предельных точек множества А называют производным множеством множества А и обозначают А'. Таким образом, возникает новая операция, сопоставляющая каждому множеству А Х его производное множество А'.
Теорема 5. Для любого множества А Х множество А А' замкнуто.
Доказательство. Покажем, что множество Х\(А А') открыто. Пусть х – произвольная точка из Х\(А А'). Тогда х не предельная точка для А, поэтому найдется такая ее открытая окрестность О(x), что О(x) А = . Пусть х' О(х) – произвольная точка. Тогда О(х) окрестность точки х', причем О(x) А = . Следовательно, х' не предельная точка для А и О(x) А' = . Таким образом, О(x) Х\(А А'); ввиду произвольности х множество Х\(А А') открыто, следовательно, А А' замкнуто.
Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.
Теорема 6. А = А А' для всякого множества А, А X.
Доказательство. По теореме 5 множество АА' замкнуто. Следовательно, по определению замыкания А АА'. С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит все свои предельные точки (см. теорему 4) и тогда все предельные точки А, а следовательно, содержит А'. Отсюда следует, что А А' А. Таким образом, А = А А'.
Определение 12. Точка х А называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(x) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х.
Очевидно, что точка х А изолирована тогда и только тогда, когда х А\ А'.
Определение 13. Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.
6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
Рассмотрим еще два важных понятия, связанных с понятием окрестности.
Определение 14. Точка х А называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее окрестность О(x), что О(x) А.
Множество всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается Int А.
Пример 18. Пусть А = [0, 1] – отрезок вещественной прямой, тогда Int [0, 1] = (0, 1).
Операция Int двойственна операции замыкания, что видно из ее свойств, формулируемых в следующей теореме.
Теорема 7. Для любого множества А Х имеем:
1) Int А – открытое множество,
2) Int А – наибольшее открытое множество, содержащееся в А;
3) (А - открыто) (Int А = А);
4) (x Int А) (х А и х не является предельной точкой для Х\А);
5) = X\Int А.
Доказательство. Свойства 1) – 3) почти очевидны. Проверим, например, свойство 1). Пусть х Int А; тогда найдется такая открытая окрестность О(х) точки х, что О(х) А. Но О(х) открыто, т.е. каждая ее точка внутренняя для А и следовательно О(х) IntА. Поэтому по теореме 2 Int А – открытое множество.
Проверим свойство 4). Если x Int А, то, очевидно, х А и х (Х\А)'. Обратно: если х А и х (Х\А)', то найдется окрестность U(x) А, следовательно, х Int А.
Проверку свойства 5) предоставим читателям.
Следующие важные понятия – понятия граничной точки и границы множества А, ассоциируются с интуитивным представлением о «перегородке», отделяющей область.
Определение 15. Граничной точкой множества А называется точка х из топологического пространства Х, которая обладает свойством, что пересечение любой окрестности О(х) с множеством А и с множеством Х\А не пусто. Границей дА множества А назовем множество всех граничных точек А.
Таким образом, х дА тогда и только тогда, когда каждая окрестность х содержит точку как из А, так и из Х\А.
Пример 19. Пусть Х = R1 и А = (0, 1) Тогда дА = {0, 1} – множество из двух точек: 0 и 1.
Мы снова получили операцию над множеством. Ее связь с операциями замыкания и Int выясняет следующая теорема.
Теорема 8. Для любого А Х имеем:
1) дА = А ;
2) дА = А\IntА;
3) А = А дА;
4) Int А = А\дА;
5) (А замкнутo) (дА А);
6) (А открыто) ((дА) А =).
Доказательство. Докажем некоторые из этих утверждений, оставив другие в качестве упражнения. 1) Пусть х дА. Тогда в любой окрестности О(x) точки х найдутся точки х1, х2 такие, что х1 A, х2 Х\А. Отсюда х A и х , т. е. х A . Обратно: если х А , то х А, х и значит для любой окрестности О(х) пересечения О(х)А и О(х) (Х/А) . Следовательно х граничная точка.
2) Согласно пункту 1) дА А. С другой стороны, если х IntA, то существует окрестность этой точки, которая полностью лежит в А и, следовательно, не пересекается с Х/А, т.е. х дА. Значит дА А\IntA. Наоборот, если х А\IntA, то пересечение любой окрестности точки с А не будет пустым (принадлежность замыканию), но также не будет пустым и пересечение любой окрестности с Х\А, т.к. точка не является внутренней.
3) Так как Int A A, то из 2) следует A = Int A дА А дА; так как дА А и А А, то А дА А
7. Сепарабельные топологические пространства
Определение 16. Если топологическое пространство X имеет не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с Х, то оно называется сепарабельным. В противном случае пространство называется несепарабельным.
Для метрического пространства (Х, d) это означает, что существует последовательность x1, x2,... элементов из Х такая, что для xX,>0 n(, x): d(xn, x) < .
Пример 20. s - сепарабельное пространство. Действительно, рассмотрим r подмножество из s последовательностей, координаты которых являются рациональными числами и начиная с некоторого номера все координаты равны 0. Если обозначить r(n) – множество последовательностей, у которых первые n координат рациональные числа, а последующие координаты 0, то это множество будет счетным, как конечное объединение счетных множеств. Так как r = r(n), то оно счетно, как счетное объединение счетных множеств. С другой стороны, для заранее заданного >0 найдется номер m такой, что
.
Тогда для любой последовательности х = {xn} и любого n найдется такое рациональное число rn, что |rn - xn|< /2. Обозначим через r последовательность, у которой первые m координат равны rn а последующие равны 0. Тогда r r и
Пример 21. lp, 1p< - сепарабельно. В этом случае в качестве счетного всюду плотного подмножества можно взять тоже самое множество r из предыдущего примера. При этом рациональные числа подбираются исходя из неравенств: |rn-xn|< /2n/p (проверьте самостоятельно нужное неравенство).
Пример 22. m- несепарабельно. Для проверки этого докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Если в метрическом пространстве Х >0 и несчетное множество {x}: d(x, x) , , Х – несепарабельное пространство.
Доказательство. От противного предположим, что Х - сепарабельно. Тогда существует счетное множество {yk} такое, что для = /2, S(yk) = X. Так как {yk} - счетное, {x} -несчетное, то найдется хотя бы один шар S(yk), в котором будет более одного элемента из {x}. Пусть x, xS(yk) . Тогда d(x, x) d(x,yk) + d(yk, x) < 2 = и < - получили противоречие.
Для доказательства несепарабельности пространства m достаточно воспользоваться этой леммой. В качестве нужного семейства рассматриваются элементы из m, у которых координаты равны либо 0, либо 1. Тогда расстояние между различными элементами этого семейства равно единице. Используя диагональный метод Кантора можно убедиться, что рассмотренное семейство несчетно.
Отметим без доказательства, что сепарабельность топологического пространства влечет наличие в нем счетной базы. Обратное вообще говоря неверно. Однако в случае метрических пространств, наличие счетной базы топологии влечет сепарабельность.
8. Индуцированные топологии и фактортопология
Пусть (Х, ) – топологическое пространство, Y Х – подмножество в Х. Рассмотрим систему подмножеств множества Y: Y = (V: V = UV, U ).
Теорема 9. Система Y является топологией на Y.
Доказательство этой теоремы не представляет сложности. Топология Y называется индуцируемой или наследственной топологией из Х. Пространство (Y, Y) называется подпространством пространства (Х, ).
Подмножества топологических пространств рассматривают, как правило, с индуцированной топологией. Однако, необходимо иметь ввиду, что переход к индуцированной топологии может изменить сам вид открытых множеств, их структуру. Так, если взять промежуток [a; b) с индуцированной из числовой прямой естественной топологией, то в этой топологии множества вида [a; c), где a < c < b, будут являтся открытыми. В исходной же топологии они не являются открытыми.
Пусть в абстрактном множестве Х между некоторыми элементами х, у Х определено отношение хRу. Это отношение называется эквивалентностью если выполнены следующие свойства:
1) хRх для любого х Х (рефлексивносгь);
2) если хRу, то уRх (симметричность);
3) если хRу и уRz, то хRz (транзитивность) .
Множество Х распадается на непересекающиеся множества эквивалентных между собой элементов, или классы эквивалентности.
Множество (Dх) всех классов эквивалентности обозначим через Х/R.
Определение 17. Множество X/R называется фактормножеством множества Х по отношению эквивалентности R.
Пусть (Х, ) – топологическое пространство, пусть в множестве Х определено отношение эквивалентности R. Тогда на фактормножестве Х/R можно ввести естественную топологию следующим образом: подмножество V (Dх), состоящее из элементов Dх назовем открытым тогда и только тогда, когда объединение классов эквивалентности Dх, которые попали в V, как подмножество Х открыто в пространстве (Х, ); к открытым множествам, естественно, отнесем и пустое множество. Как нетрудно проверить, эта совокупность открытых подмножеств в Х/R является топологией и обозначается R.
Примеры 23. Если Х – прямоугольник (a; b)(с; d), а отношение эквивалентности R задано так, что хRу тогда и только тогда, когда х и у лежат на одной горизонтали в Х, то Х/R – топологическое пространство, которое можно отождествить с интервалом (c; d).
9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
Обсудим теперь определение непрерывного отображения топологических пространств. Пусть (Х, ), (Y, ) – два топологических пространства с топологиями и соответственно. Пусть f: X Y – отображение множеств.
Определение 18. Говорят, что f – непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f -1(V) любого открытого множества V пространства (Y, ) является открытым множеством пространства (Х, ).
Если f: Х У, g: У Z – отображения топологических пространств, то естественно определяется суперпозиция gf: Х Z по правилу (gf): х g(f(x)).
Теорема 10. Если f, g непрерывные, то и gf непрерывно.
Доказательство легко следует из равенства
(gf)-1(W) = f -1(g -1(W)),
где W Z – произвольное множество. Проверим это равенство. Пусть х (gf)-1(W). Тогда g(f(x)) W f(x) g -1(W) x f -1(g -1(W)). Аналогично доказывается противоположное включение.
Определение 19. Отображение f: Х Y называется открытым (замкнутым), если образ каждого открытого (замкнутого) множества в Х открыт (замкнут) в Y.
Определение 20. Два топологических пространства, (Х, ), (Y, '), называются гомеоморфными, если существует отображение f: Х Y, удовлетворяющее условиям:
1) f: X Y – биективное отображение;
2) f непрерывно;
3) f открыто.
Из биективности отображения f вытекает существование обратного отображения. Обозначим его через g. Если взять в Х открытое множество U, то g -1(U) = f (U) – является открытым множеством. Таким образом, обратное отображение к гомеоморфному также является непрерывным.
Сопоставление каждому открытому множеству U пространства Х его образа f (U) при гомеоморфизме f: X Y устанавливает биективное соответствие между топологиями пространств Х и Y. Поэтому любое свойство пространства Х, формулируемое в терминах топологии этого пространства, будет верным и для пространства Y, гомеоморфного Х, и так же будет формулироваться в терминах топологии У. Таким образом, гомеоморфные пространства Х и Y обладают идентичными свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми.
Если f: X Z – непрерывное отображение топологических пространств (Х, ), (Z, ), а Y – подпространство Х, то можно рассматривать и отображение f: Y Z, которое называется сужением f на Y и обозначается fY.
Теорема 11. Отображение fY : Y Z непрерывно.
Доказательство. Пусть W, тогда (fY)-1(W) = f -1(W) У. Так как f -1(W), то (fY)-1 (W) Y.
Определение 21. Отображение f: Х Y топологических пространств непрерывно в точке х0Х, если для всякой окрестности О(f(x0)) точки f (х0) существует окрестность O(x0) точки х0 такая, что f(O(x0)) O(f(x0)).
Теорема 12. Отображение f: Х Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке х Х.
Доказательство. Пусть f: Х Y непрерывно, х0 Х– произвольная точка и O(f(x0)) – произвольная окрестность точки f (х0). Тогда найдется открытое множество V Y такое, что V O(f (x0)) и f (х0) V. Положим U = f -1(V), U – открытое множество, x0 U. Тогда f(U) = V O(f (х0)), что по теореме 2 и доказывает непрерывность f в точке х0.
Обратно: пусть f непрерывно в каждой точке х Х. Пусть V Y – произвольное открытое множество и пусть А = f -1(V). Так как V – окрестность любой своей точки и f непрерывно в каждой точке, то для всякого х А есть окрестность O(x) точки х такая, что f (O(x)) V. Следовательно, O(x) А, т.е. любая точка А является внутренней, что и доказывает открытость А. Непрерывность f доказана.
10. Компактные пространства
Вначале обсудим некоторые понятия, связанные с покрытиями топологических пространств. Пусть = {А} – некоторая система подмножеств А множества Х. Объединение всех А из обозначим и назовем телом системы .
Определение 22. Система называется покрытием подпространства Х топологического пространства Y, если Х .
Определение 23. Говорят, что покрытие подпространства Х является подпокрытием покрытия ' подпространства Х, если каждый элемент является элементом системы '.
Отношение подпокрытие вводит частичную упорядоченность в множестве всех покрытий подпространства Х. Покрытия, состоящие из конечного или счетного числа элементов, называются соответственно конечными или счетными.
Особое значение имеют покрытия, состоящие из открытых множеств. Такие покрытия называются открытыми.
Со свойствами открытых покрытий связаны многие важные свойства пространства. В связи с этим выделяют следующие классы пространства.
Определение 24. Пусть Y - топологическое пространство. Множество Х Y называется компактным, если для всякого его открытого покрытия существует конечное открытое подпокрытие.
В этом случае говорят, что любое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Компактное множество Х с индуцированной топологией является топологическим пространством. Его называют компактным пространством.
Пример 18. Пусть Х = [а, b] – из R1. Множество Х компактно, так как по теореме Гейне – Бореля из любого покрытия Х интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
Теорема 13. Всякое замкнутое подмножество X компактного пространства Y само компактно.
Доказательство. Пусть = {A} - открытое покрытие Х. Тогда, по определению индуцируемой топологии, для любого множества А из покрытия справедливо предстваление А = В Х , где В – открытые множества из Y. В силу замкнутости Х, множество Y\X является открытым и система множеств {B}{Y\X} образует открытое покрытие Y. Так как Y компактно, из этого покрытия можно выделить конеченое подпокрытие, которое содержит множества В1, В2, …, Вn и, возможно, множество Y\X. Следовательно, Y = Вk ( Y\X). Но тогда множества Аk = ВkХ, k = 1, 2, …, n, являются конечным открытым покрытием для Х. Последнее означает, что Х компактное множество.
Следующая теорема часто применяется в анализе.
Теорема l4. Всякое бесконечное множество Z Х компактного множества Х имеет в Х предельную точку.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что Z' = . Тогда Z = Z, значит, Z замкнуто, а следовательно, и компактно. С другой стороны, каждая точка z Z не является по предположению предельной. Тогда существует открытая окрестность О(z) в Х с условием О(z)Z = {z}. Такие окрестности О(z) образуют бесконечное покрытие пространства Z, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие в противоречии с компактностью Z.
Понятие компактности тесно связано с понятием замкнутости, как показывает следующее утверждение.
Теорема 15. Пусть Х – компактное подножество хаусдорфова пространства Y. Тогда Х замкнуто.
Доказательство. Пусть у Y\Х. Для любой точки х Х в силу хаусдорфовости Y найдутся такие открытые окрестности Ux(y), Vy (х) точек у, х, что Ux(у) Vy (х) = .
Система (Vy(х))x X образует открытое покрытие Х. В силу компактности Х имеется конечное подпокрытие (Vy(хk))k=1n . Легко видеть, что множества V(X) = Vy(хk) и U(у) = открыты и не пересекаются. Таким образом, показано, что в хаусдорфовом пространстве компактное множество Х и точку, не лежащую в нем, можно разделить непересекающимися окрестностями U(х) и U(y). Отсюда следует, что дополнение Y\Х открыто, поэтому Х замкнуто.
Задачи
1. Что представляет собой шар S(0, 1)m с центром в точке 0 = (0,0, 0, …) и радиуса 1.
2. Пусть l1 – множество элементов x вида x = {i}, где <, с расстоянием
(x, y) = , где y={}.
Доказать, что l1 - метрическое пространство. Что представляет собой шар S(0, 1) в этом пространстве?
3. Показать, что если множество Е на прямой покрыто произвольной системой интервалов, то из нее можно выделить (не более чем счетную) подсистему, также покрывающую Е.
4. Показать, что если множество Е на плоскости покрыто произвольной системой кругов, то из нее можно выделить не более чем счетную подсистему, также перекрывающую Е.
5. Обозначим множество предельных точек любого множества А через А′. Построить на прямой множество А так, чтобы А″=( А′)′ было не пустым, а А′″ – пустым.
6. Доказать, что множество А′ (см. задачу 5) замкнуто, каково бы ни было А.
7. Известно, что А′ счетно. Доказать, что А счетно (А – на прямой).
8. Точка x на прямой называется точкой конденсации несчетного множества А, если в любой окрестности точки x имеется несчетное множество точек множества А. Доказать, что у всякого несчетного множества А имеются точки конденсации.
9. Величина (x,A)= называется расстоянием от точки x до множества А. Доказать, что для замкнутого множества А соотношение (x,A)=0 и xА, эквивалентны; если же А не замкнуто, то они не эквивалентны.
10. Доказать, что для любого множества А совокупность точек х, для которых (x,A)<ε, открыта, а совокупность точек y, для которых (x,A)ε, замкнута.
11. Непосредственно из определения замкнутого множества вывести, что любое конечное множество точек метрического пространства замкнуто.
12. Доказать, что (AB)′=A′B′.
13. Следует ли из , что AB?
14. Доказать, что =F, где F – всевозможные замкнутые множества, содержащие M.
15. В пространстве С[a, b] множество Mn есть совокупность всех полиномов степени, не превышающей n. Что представляет собой ?
16. Доказать включение . Можно ли знак включения заменить знаком равенства?
17. Обозначим через множество всех внутренних точек множества. Доказать, что открыто.
18. Пусть М множество точек пространства , у которых все координаты положительны. Будет ли М открыто?
19. Пусть функция, определенная и непрерывная на всей числовой оси . Доказать, что множество точек x, открыто.
20. В пространстве множество A состоит из функций , значение которых при любом t принадлежит заданному замкнутому множеству M вещественных чисел. Будет ли A замкнуто? Будет ли A открыто, если M открыто?
21. Доказать, что множество всех изолированных точек сепарабельного метрического пространства не более чем счётно.
22. Показать, что если F - замкнутое множество, то но, вообще говоря (показать на примере), равенства здесь может и не быть (нуликом обозначена внутренность).
23. Верно ли утверждение: внутренняя часть пересечения двух множеств равна пересечению их внутренних частей. Верно ли аналогичное утверждение для объединений двух множеств.
24. Доказать, что граница каждого множества замкнута.
25. Построить на числовой прямой множество, обладающее следующими тремя свойствами: 1) все его точки изолированые; 2) точная нижняя грань расстояний между различными точками равна нулю; 3) оно не имеет предельных точек.
26. Пусть Ф – дважды непрерывно дифференцируемая на [0, ) функция, которая удовлетворяет следующим условиям: а) Ф(0) = 0; Ф(х) > 0 при х > 0; б) Ф(х) 0 и Ф(х) 0 при х 0. Доказать, что функция (х, у) = Ф(|x – y|) определячет метрику на R.
ГЛАВА 2 СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
В метрическом пространстве вводится понятие сходимости последовательности. Пусть (Х, d) – метрическое пространство.
Определение 1. Говорят, что xnХ сходится к xХ (xn x; ), если d(xn, x) 0 при n .
Понятие сходимости можно сформулировать и на языке «-n». Для > 0 n0(): для n n0 справедливо неравенство d(xn, x) < .
Лемма 1. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.
Доказательство. Пусть хn а, хn b. Применяя неравенство треугольника, получим: d(а, b) d(а, хn) + d(хn, b). Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю. Так как d(а,b) неотрицательное и не зависит от n, то по известным теоремам о переходе к пределу в неравенствах получаем d(а,b) = 0, а тогда по свойствам метрики а = b, что и требовалось доказать.
Определение 2. Последовательность хn элементов метрического пространства Х называется ограниченной, если существует шар S(y, r), которому принадлежат все члены последовательности.
Лемма 2. Если последовательность сходится в метрическом пространстве, то она ограничена.
Доказательство. Утверждение легко вытекает из определения сходящейся последовательности, если заметить, что если хn х, то для фиксированного > 0 найдется n0, для которого xnS(x, ) для всех n n0. Следовательно, все члены последовательности за исключением конечного числа попадают в окрестность S(x, ). Так как любой конечный набор элементов является всегда ограниченным, отсюда уже следует ограниченность всей последовательности.
Следствие. Если последовательность {xn} точек из X сходится к точке xX, то числа d(xn, y) ограничены для любой фиксированной точки у пространства X.
Лемма 3. Если xn → x, yn→ y, то d(xn, yn) → d(x, y) (иначе говоря, метрика является непрерывной функцией своих аргументов).
Доказательство. По неравенству четырёхугольника
|d(x, y) - d(xn, yn)| d(x, xn) + d(y, yn).
Отсюда предельным переходом при n → легко получаем утверждение леммы.
В метрическом пространстве предельными для множества являются такие точки х0, для которых существует последовательность точек хn множества сходящаяся к х0. Замкнутый шар S[a, r] есть замкнутое множество. В самом деле, пусть xn S[a, r] и xn → x0. Тогда d(xn, a) r, и при n → это неравенство в пределе дает d(x0, a) r, т.е. х0S[a, r]. А так как каждая предельная точка шара есть предел некоторой последовательности точек шара, то замкнутость шара доказана.
Выясним конкретный смысл сходимости в метрических пространствах Rn, C[a, b], l2 и m.
Пример 1. Пусть Х = Rn. Если хк→х0, где хк ={ξ1(к),…, ξn(к) } и х0 ={ξ1(0),…, ξn(0) }, то
d(хк, х0) = →0 при к → ∞.
Но в силу несложно проверяемых неравенств
,
верных для любого i, это возможно тогда и только тогда, когда ξi(k) → ξi(0), i = 1,..., n, при k → ∞.
Отсюда следует, что сходимость в Rn есть сходимость координат точек последовательности к соответствующим координатам точки – предела, т.е. сходимость в Rn есть сходимость по координатам.
Пример 2. Пусть Х = C[a, b]. Если {xn(t)} C[a, b] сходится к х0(t) C[a, b], то
d(хn, х0) = |xn(t) – x0(t)| → 0
или иначе: ε >0 N: n > N => |xn(t) – x0(t)|< ε. Это условие эквивалентно условию, что n > N => |xn(t) – x0(t)|< ε t [a, b]. Но это означает равномерную сходимость последовательности {xn(t)} к х0(t). Таким образом, сходимость в пространстве С[a, b] есть равномерная сходимость функциональной последовательности {xn(t)}.
Пример 3. Пусть Х = l2. Можно показать ,что сходимость последовательности {xn} l2 к х0 l2, где хn ={ξi(n) }, х0 ={ξi(0) } означает, что
1) ξi(n) → ξi(0) для i = 1,2,...
2) ε>0 N: <ε для всех n =1,2,.....
Таким образом, сходимость в l2 содержит в себе более сильные требования, чем сходимость по координатам. Покажем это на примере, показывающем, что в l2 сходимость по координатам не влечёт сходимости последовательности точек в l2.
Возьмем в пространстве l2 последовательность em ={ξi(m)}, где ξi(m)= δmi (символ Кронекера). Берём х0 = (0, 0,…, 0,…) l2. Тогда последовательность {em} по координатам стремиться к точке х0. Однако d(em, x0) = 1, следовательно {em} не стремится к х0 по метрике.
Пример 4. Пусть X = m. Сходимость последовательности хn = {ξ1(n),…, ξn(n),…} m к элементу х0 ={ξ1(0),…, ξn(0), …} означает равномерную сходимость по координатам, т.е. ε>0 N: n > N | ξi(n) – ξi(0) | <ε i = 1,2,... Доказывается это также как в примере 2.
Можно показать, что в метрическом пространстве s всех числовых последовательностей сходимость по метрике совпадает со сходимостью по координатам.
Определение 3. Последовательность xnX называется фундаментальной последовательностью, если для > 0 N: d(xn, xm) < , если n, m N.
Лемма 4 (о сходимости последовательностей). Пусть {xn} – последовательность из метрического пространства Х. Следующие условия эквивалентны:
1. {xn} – сходится к х;
2. Любая подпоследовательность {xn} сходится х;
3. Для любой подпоследовательности {} существует подпоследовательность {} сходящаяся к х;
4. {xn} – фундаментальная и любая подпоследовательность {} сходится к х;
5. {xn} – фундаментальная и существует подпоследовательность {}, сходящаяся к х.
Доказательство.
1. 2. и 2. 3. Стандартные утверждения из математического анализа: подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу: доказательство абсолютно аналогично.
4. 5. Очевидно.
3. 4. вытекает из 5. 1. Действительно, если 5. 1. уже доказано, то в силу условий п.4. подпоследовательность {} фундаментальна, но по п. 3 у нее существует сходящаяся к х подпоследовательность. Тогда из 5. 1. вытекает, что {} сама сходится к х.
5. 1. Пусть {xn} – фундаментальная последовательность и – ее сходящаяся к х подпоследовательность. Для > 0 N1: d(xp, xm) < , p, m > N1. Полагая здесь m = nk, nk N1, k N, имеем d(xp, ) < . Следовательно, d(x, xp) d(x, ) + d(, xp) + 2 (p > N1) и xp x Х.
Определение 4. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу этого пространства.
Пример 5. Для случая Rn – евклидова n–мерного пространства – полнота следует из критерия Коши существования предела последовательности точек этого пространства.
Пример 6. Рассмотрим введенное выше пространство С[0, 1]. По определению фундаментальной последовательности {xn} и метрики для >0 N: < n, m N. Если мы зафиксируем t, то хn(t) будет обычной числовой фундаментальной последовательностью, у которой существует в силу критерия Коши поточечный предел х(t). Переходя к поточечному пределу в неравенстве верном для любого t [0, 1] при m получаем для n N. Таким образом, последовательность хn(t) равномерно на отрезке [0, 1] сходится к функции х(t). Тогда по теореме Вейерштрасса о непрерывности равномерного предела непрерывных функций x(t) - непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Отсюда C[0, 1] является полным пространством.
Пример 7. На множестве C[0, 1] можно ввести другую метрику, например:
d(x, y) =
но в этом случае пространство не будет полным. Для доказательства этого достаточно рассмотреть следующую последовательность непрерывных функций:
хn(t) =
Покажите, что эта последовательность фундаментальна по приведенной метрике (используйте геометрический смысл определенного интеграла), но сходится к разрывной функции.
Пример 8. Покажем полноту пространства l2. Пусть последовательность х(m) = (x1(m), x2(m),..., xn(m),....), m = 1, 2, .... является фундаментальной в l2. Следовательно, для произвольно выбранного > 0 существует такой номер n0, что для всех k, m n0 выполняется неравенство < . Из неравенства |xn(m) - xn(k)| , верного для любого n N, вытекает фундаментальность последовательности {xn(m)} в пространстве R и следовательно ее сходимость xn(m) хn при m . Переходя в очевидном неравенстве
<
при фиксированном m к пределу сперва при k , затем при p , получим неравенство
.
Из неравенства треугольника
вытекает принадлежность х к l2. Из предыдущего же неравенства вытекает сходимость х(m) к х в l2.
2. Теорема о пополнении метрического пространства
Если метрическое пространство не является полным, то существует его пополнение. Для введения этого пополнения приведем еще ряд определений. Пусть существует два метрических пространства (X, d), (Y, p) и f – биекция X на Y.
Определение 5. Биекция f называется изометрическим изоморфизмом, если p(f(x), f(y)) = d(x, y).
Два метрических пространства изометрически изоморфные друг другу отождествляются.
Например, пространства C[0, 1] и C[0, 2] непрерывных функций на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными. Изометрический изоморфизм между их элементами можно установить по формуле
C[0, 1]x(t)y(t)=x()C[0, 2].
Определение 6. Пусть (X, d) - метрическое пространство и Y X. Множество Y называется всюду плотным в Х, если для >0, xX yY: d(x, y)<.
Теорема 1. Пусть дано неполное метрическое пространство (X, d), тогда существует такое полное метрическое пространство (Y, p) и его всюду плотное подпространство Y0, что (X, d) изометрически изоморфно (Y0, p).
Доказательство. Пусть {xn} и {yn} - фундаментальные последовательности в Х. Будем считать, что {xn} ~ {yn} d(xn, yn) = 0 (свойства отношения эквивалентности легко проверяются). Пусть [xn] - класс эквивалентности, а Y- множество всех классов эквивалентности фундаментальных последовательностей. Положим ([xn], [yn]) = d(xn, yn).
Для доказательства корректности этого определения необходимо показать: 1) существование предела, 2) независимость его от выбора элементов из класса эквивалентности, 3) выполнение аксиом метрики.
1) Из неравенства четырехугольника следует, что |d(xn, yn) - d(xm, ym)| d(xn, xm) + d(yn, ym). Так как последовательность {xn} и {yn} фундаментальны, то для > 0 N: n, m N d(xn, xm) < /2 и d(yn, ym) < /2. Обозначим через n = d(xn, yn). Из полученных выше неравенств вытекает, что при > 0 N: n, m N имеем |n - m| < и следовательно последовательность n фундаментальная, т. е. существует предел этой числовой последовательности. Таким образом, нужный предел существует и метрика ([xn], [yn]) = d(xn, yn) определена.
2) Докажем, что это определение не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Пусть {xn}, {x*n}[xn], {yn}, {y*n}[yn]. Тогда d(x*n, y*n) d(x*n, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y*n). В силу определения классов эквивалентности имеем d(x*n, xn) = 0 и d(y*n, yn) = 0. Следовательно, d(x*n, y*n) d(xn, yn). Последнее неравенство было установлено для произвольных представителей класса эквивалентности. Тогда поменяв местами xn и x*n, yn и y*n, получим противоположное неравенство. Итак, d(x*n, y*n) = d(xn, yn).
3) Аксиомы метрики легко доказываются при помощи предельного перехода.
Таким образом, мы установили, что (Y, p) - метрическое пространство. Докажем, что оно полно. Пусть {[xn](m)} - фундаментальная последовательность в Y. Надо доказать, что [xn](m) [xn](0) Y. Пусть {xn(m)}[xn](m) . Так как для любого m последовательности {xn(m)} фундаментальны, то для р kp: n kр
d(xn(р) , ) < 1/р. (1)
Построим последовательность {}. Имеем
d(,) d(, xm(p)) + d(xm(p), xm(n)) + d(xm(n), ).
В силу неравенства (1) за счет выбора m, kp, kn можно первое и третье слагаемое в правой части этого неравенства сделать меньше любого наперед заданного числа. Так как {[xn](m)} – фундаментальная последовательность, то справедливо ([xk](m), [xk](n)) = 0. Из определения метрики на Y ([xk](m), [xk](n)) = d(xk(m), хk(n)) вытекает, что и второе слагаемое можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Таким образом, последовательность {} фундаментальна в Х. Обозначим класс ее эквивалентности через [xn](0). Покажем, что [xk](m) [xn](0). Очевидно, имеем ([xn](0), [xk](m)) = d(, xp(m)) d(,) + d(, xp(m)) < d(,) + 1/m. Последний предел, стоящий в неравенстве, в силу фундаментальности последовательности может быть сделан за счет выбора m коль угодно маленьким. Это означает, что [xk](m) [xn](0) в Y.
Рассмотрим [xn = x] - стационарную фундаментальную последовательность, xX, порождающую класс эквивалентности [х]. Обозначим через Y0 - множество всех классов эквивалентности стационарных последовательностей в Х. Докажем, что Y0 изометрически изоморфно X.
Пусть хX. Тогда этому элементу соответствует стационарная фундаментальная последовательность [х] Y0. Очевидно, что такое соответствие является сюрьекцией. Докажем, что это и иньекция. Пусть x y. Тогда
([x], [y]) = lim d(x, y) 0 ([x], [y]) 0 [x] [y].
Таким образом, данное отображение биекция, при этом ([х], [у]) = lim d(x, y) = d(x, y) (изометрия).
Пусть [хn]Y. Тогда {хn} - фундаментальная последовательность в Х, т.е. для >0 s: d(xp, xm) < при всех p, m > s. Построим стационарную последовательность {x = xs}. Тогда [x]Y0 и p([x], [xk]) = d(xs, xk). В силу выбора s при достаточно больших k выполняется неравенство d(xs, xk) < . Этим показана плотность Y0 в пространстве Y и доказательство теоремы завершено.
3. Критерий полноты пространства
Определение 7. Пусть дано метрическое пространство (X, d) и последовательность замкнутых шаров S[xk, rk]. Такая система шаров называется вложенной, если:
1. S[x1, r1] S[x2, r2] ...;
2. rn = 0.
Теорема 2. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).
Необходимость. По 2) условию для вложенной системы для > 0 N: 0 < rk < , если k N. Рассмотрим последовательность центров этих шаров. В силу условия 1) xk S[xN, rN], если k N, то есть d(xN, xk) rN < . Тогда по неравенству треугольника легко получаем, что d(xn, xk) < 2 для всех n, k N. Таким образом, {xk} - фундаментальная последовательность в пространстве Х. В силу полноты этого пространства существует х = хn. По 1) условию xn S[xk, rk] при n k и xn x. В силу замкнутости шара S[xk, rk] это означает, что x S[xk, rk] и это верно для произвольного k. Отсюда x принадлежит пересечению этих шаров.
Используя свойство 2) вложенной системы шаров и неравенство треугольника для метрики покажите самостоятельно единственность этой точки.
Достаточность. Возьмем yk X - произвольную фундаментальную последовательность в пространстве Х. Тогда для k = (1/2)k nk: d(, ym) < (1/2)k при m nk. По последовательности {} построим следующую систему вложенных шаров . Для проверки вложенности этой системы очевидно достаточно проверить лишь первое условие в определении. Пусть у. Тогда d(, y) d(,) + d(, y) (1/2)k + (1/2)k (1/2)k-1, т.е. у и .
Следовательно = {x0}. Тогда 0 d(, x0) (1/2)k-1, то есть x0 (k ). Тогда в силу леммы 4 сама последовательность {yk} сходится к х0.
Теорема доказана.
Определение 8. Диаметром множества М метрического пространства (Х, d) называется число diamM = sup d(x, y), где супремум берется по всем х, у М.
Определение 9. Система замкнутых множеств Мn метрического пространства (X, d) называется вложенной, если выполнены следующие два условия:
1) М1 М2 М3 ... Мn ...;
2) diam Mn 0 при n .
Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается точно таким же образом.
Теорема 3. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система замкнутых множеств Мn в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому множеству системы).
Следующий пример показывает важность условия стремления к нулю диаметра множеств в определении вложенной системы.
Пример 9. В пространстве l2 положим Mn = {x = (0, ..., 0, xn, xn+1, ...)}l2: = 1}. Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, удовлетворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2) (вычислите диаметры рассмотренных множеств) определения 9. Достаточно очевидно, что их пересечение является пустым множеством.
4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
Пусть (X, d) - полное метрическое пространство и M X.
Определение 10. Множество М называется секвенциально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.
Определение 11. Множество М называется относительно секвециально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
С понятием секвенциально компактного множества обычно впервые студенты встречаются в курсе математического анализа, в котором устанавливается теорема Больцано-Вейерштрасса: множество М в пространстве Rn является относительно секвенциально компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено.
В случае полного метрического пространства замыкание относительно секвенциально компактного множества является секвенциально компактным.
Теорема 4 (Хаусдорфа). Множество М относительно секвенциально компактно >0 конечная -сеть, т.е. >0, x1, x2,..., xnX: xM k(x): d(x, xk) < или S (xk, ) M.
Необходимость. Пусть >0 фиксировано. Возьмем произвольное x1M. Тогда либо d(x1,x)< для всех хМ (в этом случае х1 образует нужную нам -сеть), либо существует х2М такое, что d(x1, x2). Рассмотрим S(x1)S(x2). Возможно М S(x1)S(x2). Тогда конечная -сеть состоит из х1 и х2. Либо x3М: d(x1, x3) , d(x2, x3) . Рассмотрим S(x1)S(x2)S(x3). Возможно М S(x1)S(x2)S(x3). Тогда конечная -сеть состоит из х1, х2, х3. Либо x4М: d(x1, x4) , d(x2, x4) , d(x3, x4) . Продолжим процесс далее. Докажем, что этот процесс конечен методом от противного: предположим, что найдется последовательность хnМ: d(xk, xm) , k, m: k m. Так как множество М относительно секвенциально компактно, можно выделить фундаментальную подпоследовательность: {}. Следовательно, для заданного > 0 n0: n0 d(, ) < . Получаем противоречие.
Достаточность. Пусть n = 1/n. Для n построим конечную n - сеть {yin}i=1m(n). Тогда M S[yi1, 1]. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}M. Так как последовательность бесконечная, а шаров покрывающих М (и всю последовательность) конечное число, то существует шар в котором бесконечно много элементов последовательности. Обозначим через S1 такой шар, соответствующий 1. Пусть Т1 бесконечная часть последовательности {xn}, попавшая в шар S1. Возьмем теперь n = 2. Тогда Т1 M S[yi2, 2]. Аналогично, найдется шар S2, радиуса 2 и содержащий Т2 – бесконечную часть Т1. Продолжаем этот процесс до бесконечности, получим последовательность шаров Sk радиуса k и последовательность бесконечных вложенных в друг друга подмножеств последовательности {xn}: Т1 Т2 Т3 ... Так как Тk Sk, то расстояние между элементами множества Тk не превосходит 2k. Выберем теперь из множества Т1 произвольный элемент, он является членом последовательности {xn} и имеет в ней индекс n1: . Выберем из множества Т2 также произвольный элемент лишь налагая условие, что его индекс n2>n1: . Такой элемент можно выбрать, т.к. n1 конечное число, а Т2 - бесконечное множество. Продолжаем этот процесс: выбираем из Т3 элемент, налагая условие n3>n2. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим подпоследовательность {} последовательности {xn}, обладающую тем свойством, что Тm, если km. Последнее означает, что в случае, когда 1/m < /2 расстояние d(,) < . Отсюда следует, что построенная нами подпоследовательность {} является фундаментальной. Теорема доказана.
Следствие 1. Для того чтобы множество М в полном метрическом пространстве было относительно секвенциально компактно необходимо и достаточно чтобы у него существовала компактная -сеть.
Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество является ограниченным.
Следствие 3. Секвенциально компактное метрическое пространство X сепарабельно.
Доказательство этих следствий не представляет особой сложности и предоставляется читателю.
Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множество М в полном метрическом пространстве было секвенциально компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно.
Необходимость. Предположим противное: пусть {G} - открытое покрытие секвенциально компактного множества М, для которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Положим n = 1/n и построим конечные n - сети для М: {уk(n)}k=1m(n). Пусть n = 1. Тогда M S[yi1, 1] и М = Мi(1), где Мi(1) = S[yi1, 1]М. Так как нет конечного подпокрытия, то хотя бы одно из Мi не будет покрываться конечным числом множеств системы {G}. Обозначим это множество . Как пересечение двух замкнутых множеств множество является замкнутым и, как часть М, секвенциально компактным, при этом диаметр множества не превосходит 21 (S[yi1, 1] для некоторого i). Кроме того, S[yi2, 2]. Тогда = , где = S[yi2, 2] . Так как для не существует конечного подпокрытия , то хотя бы одно из множеств также не покрывается конечным подпокрытием. Обозначим его через . Так же как выше, нетрудно видеть, что множество является замкнутым, секвенциально компактным, с диаметром меньше 22, при этом М.
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных в друг друга, замкнутых компактных множеств , диаметры которых не превосходят 2n. Таким образом, мы имеем систему вложенных замкнутых множеств, причем каждое из этих множеств нельзя покрыть конечной подсистемой множеств из {G}. Согласно критерия полноты метрического пространства существует точка х0, которая принадлежит всем этим множествам. Так как система {G} является покрытием множества М, то существует такое множество G, что х0 G. Множество G является открытым, следовательно существует такой открытый шар S(x0, r), что S(x0, r) G. Тогда найдется такой номер n0, что 2n < r при n > n0. Но в этом случае d(x0, y) 2n < r для любого у . Следовательно, у S(x0, r) и Sr(x0) G и мы пришли к противоречию, что ни одно из множеств нельзя покрыть конечным числом множеств системы {G}.
Достаточность. Пусть множество М компактно. Рассмотрим систему множеств {S(x, )}xM, где >0 фиксировано. Очевидно, что xM S(x, ) M и система {S(x, )}xM является открытым покрытием множества М. По условиям теоремы из этого покрытия мы можем выделить конечное подпокрытие {S(xk, )}k=1n. Но в этом случае {xk}k=1n является конечной -сетью множества М и множество М секвенциально компактно по критерию Хаусдорфа и в силу замкнутости.
Теорема доказана.
В n-мерном евклидовом пространстве относительная секвенциальная компактность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не компактного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
……………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n m) равно . Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком 0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 < /2. Каждой точке x = (x1, x2, , xn, ...) из П сопоставим точку x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из П компактно (как изометрически изоморфное множество ограниченному множеству в n-мерном пространстве) и следовательно является компактной -сетью для П, так как d(x, x*)<. В силу следствия из теоремы Хаусдорфа множество П компактно.
5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела
Приведем критерии компактности в конкретных метрических пространствах.
Определение 12. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равномерно ограниченным, если C: |x(t)| C, t[0, 1], xM.
Определение 13. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равностепенно непрерывным, если для >0 ()>0: |t1 - t2| < , t1, t2[0,1] |x(t1) - x(t2)|<,xM.
Теорема 5 (Арцела). Множество M C[0, 1] - относительно компактно 1)М - равномерно ограниченно, 2)М – равностепенно непрерывно.
Необходимость. Положим = 1 и построим для этого конечную -сеть x1(t),..., xn(t) C[0, 1] для множества М. Тогда S(xk(t), 1) M. Для любого yМ S(xk(t), 1) найдется такое m, 1 m n, что d(y, xm(t))<1. Следовательно, |y(t) – xm(t)| < 1 и |y(t)| |xm(t)| + 1. Так как существует С такое, что |xk(t)| C для любого k = 1, 2, 3,..., n, то |y(t)| C + 1. В силу произвольности уМ в этом неравенстве и так как правая часть последнего неравенства от выбора этого у не зависит, мы получим равномерную ограниченность множества функций из М.
Возьмем теперь > 0 произвольно и также построим конечную -сеть, {xk(t)}, k=1, 2,..., n. Для конечного набора функций {xk(t)} в силу его конечности и равномерной непрерывности каждой из функций можно указать такое >0, что из |t1 – t2| < , t1, t2[0, 1] |xk(t2) – xk(t2)| < для любого k = 1, 2, ..., n. Возьмем произвольное хМ. Тогда m такое, что |x(t) – xm(t)| < для t[0, 1]. В силу неравенств
|x(t1) – x(t2)| |x(t1) – xm(t1)| + |xm(t1) – xm(t2)| + |xm(t2) – x(t2)| < + + = 3
для |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1], следует, что |x(t1) – x(t2)| 3, если |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1]. Этим показана равностепенная непрерывность функций из множества М.
Достаточность. Пусть множество функций M C[0, 1] - равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим для М компактную -сеть. По предположению о равностепенной непрерывности множества М для >0 >0: из |t1 – t2|< |x(t1) – x(t2)| < для х M. Подберем натуральное число n так, чтобы 1/n < и разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей. Для каждой функции х M поставим ей в соответствие набор чисел (х(0), х(1/n), х(2/n), ..., х(1)). Этим построено отображение функций множества М в вектор (x1, x2,..., xn+1) Rn+1. Рассмотрим множество Mn+1 = {(x1,..., xn+1) Rn+1: хM: (х(0), х(1/n), х(2/n),..., х(1)) = (x1, x2, x3,..., xn+1) }. Так как |х(t)|M,t[0, 1], хM, то |xk| C для k = 1, 2,..., n + 1, т.е. множество Mn+1 – ограничено в Rn+1, а значит относительно компактно в Rn+1.
Построим множество кусочно-линейных функций Mкл по множеству Mn+1. Именно, для (x1, x2, x3,..., xn+1)Mn+1 полагаем хкл(t) = n(t - k/n)(xk+2 - xk+1) + xk+1, при t[k /n, (k + 1)/n], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Геометрически последнее означает, что мы соединяем точки (k/n, хk+1) и ((k+1)/n, хk+2) отрезком прямой. Вычислим расстояние между двумя функциями из Mкл в метрике пространства С[0, 1]. Имеем
При этом второе равенство выполняется, так как разность линейных функций на отрезке достигает своих меньших и больших значений на концах отрезка. Этим мы установили изометрический изоморфизм между метрическими пространствами Мn+1 с метрикой d(x, y) = |xk – yk| и Mкл с метрикой пространства С[0, 1].
Пусть х(n) M и х(n)клMкл - построенные по х(n) указанным выше способом кусочно-линейные функции. Так как множество Мn+1 является ограниченным в Rn+1 и следовательно относительно компактным, а сходимость по метрике в Rn+1 эквивалентна сходимости по метрике d(x, y) = maxk |xk – yk| (покажите это), то и множество Mкл также является относительно компактным в C[0, 1]. Для завершения доказательства покажем, что Мкл компактная -сеть для множества М.
В силу равностепенной непрерывности и выбора n из t1, t2[(k–1)/n, k/n] следует, что |x(t1) – x(t2)| < для х M. Пусть для определенности на концах отрезка x((k–1)/n) x(k/n). Последнее означает, что функция xкл(t) возрастает на отрезке [(k–1)/n, k/n]. Тогда – < x(t) – x(k/n) x(t) – xкл(t) x(t) – x((k–1)/n) < для любого t[(k–1)/n, k/n]. Таким образом, , d(x(t), xкл(t))< и Мкл компактная -сеть для М. Теорема доказана.
Теорема 6. Множество M lp (1 p < ) - относительно компактно тогда и только тогда, когда 1) множество M - ограничено, 2) для >0 N(): < для nN,xM.
Необходимость. Необходимость 1) условия очевидна. Докажем второе условие. Пусть y(1), y(2),..., y(r) - конечная /2 - сеть для множества М. В силу конечности этого набора для >0 N(): < /2 для nN, m = 1, 2,..., r. Тогда для произвольного хM выберем у(m) так, что d(x, y(m)) < /2. В результате имеем: d(x, y(m)) + /2 < . Получаем необходимое неравенство.
Достаточность. Пусть х = (х1, х2,..., хm, xm+1, xm+2,..) и Pmx = (x1, x2,..., xm, 0, 0,...), Qmx = x - Pmx. По условиям теоремы для >0 m: d(Qnx, 0)<, nm, xM. Множество Mm = {Pmx, xM} является изометрически изоморфным ограниченному множеству в Rm, следовательно, оно относительно компактно. Тогда для xM , РmxMm и d(x, Pmx) = d(Qmx, 0)<. Отсюда Мm - компактная -сеть для М, следовательно М -компактно. Теорема доказана.
6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]
Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то существует последовательность многочленов {Рn(х)}, равномерно на отрезке [а, b] сходящаяся к f(x), т. е. для любого > 0 найдется многочлен Рn(х) с номером n, зависящим от , такой, что |Pn(x) - f(x)| < сразу для всех х из отрезка [а, b].
Иными словами, непрерывную на сегменте [а, b] функцию f(x} можно равномерно на этом отрезке приблизить многочленом с наперед заданной точностью .
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, b] рассматривать сегмент [0, 1], поскольку линейным преобразованием х = (b – a)t + a, один отрезок переводится в другой. Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), обращающейся в нуль на концах отрезка [0, 1], т. е. удовлетворяющей условиям f(0) = 0 и f(1) = 0. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив g(x) = f(x) – f(0) - x[f(l) -f(0)] мы получили бы непрерывную на отрезке [0, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g(0) = 0 и g(1) = 0. Тогда из возможности представления g(x) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) представима в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разность f(x) – g(x) является многочленом первой степени).
Итак, пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и удовлетворяет условиям f(0) = 0, f(1) = 0. Такую функцию f(x) можно продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за пределами отрезка [0, 1], и утверждать, что так продолженная функция является в силу теоремы Кантора равномерно непрерывной на всей прямой.
Рассмотрим следующую последовательность многочленов степени 2n:
Qn(x) = cn(1 – x2)n (n = 1, 2, …), (2)
у каждого из которых постоянная сп выбрана так, чтобы выполнялось равенство
(n = 1, 2, …). (3)
Очевидно, что все многочлены принимают неотрицательные значения. Не вычисляя точного значения постоянной сn оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера n = 1, 2, ... и для всех х из отрезка [0, 1] справедливо неравенство
(1 - х2)n 1 - nx2. (4)
(данное неравенство легко доказывается если показать, что функция h(x) = (1 - х2)n - 1 + nx2 равна нулю в нуле и возрастает на отрезке – производная положительна).
Применяя неравенство (4) и учитывая, что при любом n 1, будем иметь
. (5)
Из (2), (3) и (5) заключаем, что для всех номеров n = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоянной сn
сn (6)
Из (6) и (2) вытекает, что при любом > 0 для всех х из сегмента |x| 1 справедливо неравенство
0 Qn(x) (1 - 2)n. (7)
Из (7) следует, что при любом фиксированном > 0 последовательность неотрицательных многочленов {Qn(x)} сходится к нулю равномерно на сегменте |x| 1.
Положим теперь для любого х из отрезка [0, 1]
Pn(x) = (8)
и убедимся в том, что для любого n = 1, 2, ... функция Рп(х) есть многочлен степени 2n, причем {Рn(х)} и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на отрезке [0, 1] к функции f(x).
Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сегмента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (8) можно записать в виде
Pn(x) =
Заменяя в последнем интеграле переменную t на t–x, мы придадим ему вид
Pn(x) = (9)
Из (9) и (2) ясно, что функция Рn(х) представляет собой многочлен степени 2n.
Остается доказать, что последовательность {Рn{х)} сходится к f(x) равномерно на отрезке [0, 1]. Фиксируем произвольное > 0. Для фиксированного в силу равномерной непрерывности f(х) на всей числовой прямой найдется > 0 такое, что
|f(x) - f(y)| < /2 при |х – у| < . (10)
Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на отрезке [0, 1], то она ограничена на этом отрезке, а следовательно, и всюду на числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А такая, что для всех х
|f(x)| A. (11)
Используя (3), (6), (10) и (11) и учитывая неотрицательность Qn(x), оценим разность Pn(x) – f(x). Для всех х из отрезка [0, 1] будем иметь
| Pn(x) – f(x)| =
.
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравенство .
Теорема 8. Пространство С[a, b] сепарабельно.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве C[a, b] множество всех многочленов Z, коэффициенты которых являются рациональными числами. Это множество можно рассматривать как счетное объединение счетных множеств (по координатам). Покажем, что это множество всюду плотно в C[a, b].
Пусть f(x) C[a, b]. В силу теоремы Вейерштрасса для произвольного > 0 найдется многочлен Pn(x) = а0 + а1х + …+anxn такой, что d(f(x), Pn(x)) < /2. Выберем в множестве Z многочлен Zn = b0 + b1x + … + bnxn такой, чтобы |ak – bk| < /(2nmax(|a|, |b|, |a|n, |b|n)). Тогда, как нетрудно проверить, d(Pn(x), Zn) < /2. В силу неравенства треугольника это доказывает всюду плотность счетного множества Z в С[a, b].
7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
Теорема 9. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, а f: Х У – непрерывное отображение. Тогда образ f(Х) – компактное пространство в У.
Доказательство. Пусть {V} - произвольное открытое покрытие f (Х). В силу определения непрерывного отображения, множества f -1(V) также являются открытыми и, очевидно, образуют открытое покрытие для Х. В силу компактности Х существует конечный набор из этого покрытия такой, что . Но в этом случае и f (Х) , что доказывает компактность f (Х).
Теорема 10. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х У – непрерывное отображение. Тогда f замкнутое отображение.
Доказательство. Всякое замкнутое множество компактного пространства само является компактным множеством (теорема 1.13). Итак, пусть В – замкнутое множество в пространстве Х (следовательно компактное). По предыдущей теореме f (В) – компактное множество. В силу отделимости У это множество обязано быть замкнутым (теорема 1.15).
Теорема 11. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х У – непрерывное биективное отображение. Тогда f - гомеоморфизм.
Доказательство практически очевидное.
Теорема 12 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная функция f : Х R на компактном пространстве Х ограничена и достигает на Х своей верхней (нижней) грани.
Доказательство. В силу компактности Х и непрерывности f образ f (X) является компактным множеством в R. Но любое компактное множество в R ограничено и замкнуто. Ограниченность f (X) означает ограниченность функции. Замкнутость числового множества f (X) влечет принадлежность ему его точных граней. Это означает, что точная грань (например, супремум) достигается на каком-то элементе х0 Х, т.е. f (x0) = sup f (X).
Теорема 13 (Кантора). Всякая непрерывная функция f(x), определённая на компактном множестве Q, метрического пространства (Х, ), равномерно непрерывна на нём: иными словами, для любого ε > 0 можно найти такое δ>0, что из ρ(x, y)< δ следует |f(x) - f(y)| < ε
Доказательство. Допуская противное, мы для некоторого ε0 сможем указать такие последовательности xn и yn, что
ρ (xn, yn)< , |f(xn) - f(yn)| ε0 (12)
Последовательность {xn} в силу предположения содержит подпоследовательность {xni}, сходящуюся к некоторой точке х0. Тогда и подпоследовательность {yni} сходится к точке х0. Начиная с некоторого номера, точки xni и yni попадают в такую окрестность точки х0 , в которой выполняется неравенство |f(x ) - f(x0)|<. Но тогда
|f(xni ) - f(yni)| |f(xni) - f(х0)| + |f(x0) - f(yni)| < + = ε0
что противоречит условию (12). Теорема доказана.
8. Принцип сжимающих отображений и его применение
Определение 14. Отображение А метрического пространства X в себя называется сжимающим, если d(Ax, Ay) d(x, y), где 0<<1.
Теорема 14 (Принцип сжимающих отображений). Если А: XX сжимающее отображение в полном метрическом пространстве (X, d), то единственная точка уХ: Ay = y (неподвижная точка).
Доказательство. Для произвольного x1X определим x2 = Ax1, x3 = Ax2, ... xk = Axk-1. Получим последовательность {xk}, для которой d(x3, x2) = d(Ax2, Ax1) d(x2, x1). По такой же схеме выводим общую формулу: d(xn+1 , xn) = d(Axn, Axn-1) d(xn, xn-1) ... n-1 d(x2, x1). По неравенству треугольника и выведенной формуле получаем
d(xn+p, xn) d(xn+p, xn+p-1) +...+ d(xn+1, xn) (n+p-2 + n+p-3 +...+ n-1) d(x2, x1) = n-1(1 – p)d(x2, x1)/(1 – ) n-1d(x2, x1)/(1 – )
(внутреннее равенство – сумма геометрической прогрессии).
В силу неравенства 0<<1 и неравенства d(xn+p, xn) n-1d(x2, x1)/(1 - ) для >0 N: d(xn+p, xn) < , n N и любого натурального р. Таким образом, последовательность {xn} является фундаментальной, а следовательно в силу полноты пространства xn x0 Х
Теперь докажем, что Аx0 = x0. Имеем d(Ax0, x0) d(Ax0, xn) + d(xn, x0) < d(Ax0, Axn-1) + d(x0, xn-1) + < 2 (<1) при достаточно больших n. В силу произвольности >0 из этого неравенства вытекает, что d(Ax0, x0) = 0. Из аксиом метрики вытекает нужное нам равенство.
Докажем единственность неподвижной точки. Пусть y0X: Ay0 = y0 и y0 x0. Тогда d(x0, y0) = d(Ax0, Ay0) d(x0, y0) < d(x0, y0) и мы получили противоречие.
Метод отыскания решения уравнения, предложенный в теореме о сжимающих отображениях, называется методом итераций.
Принцип сжимающих отображений имеет многочисленные приложения при доказательствах существования решения и его отыскания. Мы приведем лишь три достаточно важных применения.
1. Задача Коши: Найти решение дифференциального уравнения y = f(x, y) с начальным условием y(x0) = y0.
На функцию f (х, у) наложим следующие условия: f(х, у) определена и непрерывна в некоторой открытой области G, которой принадлежит точка (х0, у0), и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у, т.е.
|f(x, y1) - f(x, y2)| M|y1 -y2|.
Теорема 15 (Пикара). В приведенных выше условиях существует такое d > 0, что поставленная задача Коши на отрезке |x - x0| d имеет единственное решение у = (х).
Доказательство. Поставленная задача Коши очевидно эквивалентна следующему интегральному уравнению
(х) = у0 +
В силу непрерывности функции f(х, у) имеем |f(x, y)| K в некоторой замкнутой ограниченной области D G, для которой точка (х0, у0) является внутренней точкой. Выберем d > 0 так, чтобы выполнялись условия:
1) (х, у) D, если |х - х0| d, |y - y0| Kd;
2) Md < 1.
Достаточно очевидно, что эти условия можно удовлетворить. Рассмотрим множество Х – непрерывных функций (х), определенных на отрезке |x - x0| d и таких, что |(x) - y0| Kd с метрикой d(1, 2) = max |1(x) - 2(x)|, где максимум ищется на отрезке [x0 - d, x0 + d]. Несложно видеть, что Х является замкнутым множеством в пространстве С[x0 - d, x0 + d] и следовательно является полным метрическим пространством. Рассмотрим на этом пространстве Х отображение = А, определяемое равенством
(х) = у0 +
Это отображение переводит пространство Х в себя и является сжатым. Действительно, если Х, |x - x0| d, то |(x) - y0| = Kd. Последнее означает, что (х) = (А)(х) Х. Далее, по условию Липшица,
|1(x) - 2(x)| Md|1(х) - 2(х)|.
В силу предположений Md < 1 и оператор А является сжимающим. Тогда по принципу сжимающих отображений уравнение (х) = (А)(х), а с ним и исходная задача Коши, имеет единственное решение в пространстве Х.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций. Рассмотрим n - мерное пространство Rn. Если Rn, Rn, то положим . Нетрудно видеть, что определённое так метрическое пространство Rn будет полным. Рассмотрим в этом пространстве отображение Ax = y, заданное с помощью равенств
, i=1, … , n.
Тогда получаем
Если теперь предположить, что <1 для всех i, то мы окажемся в условиях применимости принципа сжатых отображений и, следовательно, отображение будет иметь единственную неподвижную точку. Таким образом, мы получили теорему.
Теорема 16. Если матрица такова, что <1 для всех i, то система уравнений
i=1, 2, … , n,
имеет единственное решение
Это решение можно получить методом итераций, исходя из произвольного вектора .
Условие теоремы 16 есть достаточное условие сходимости метода итераций для рассматриваемой системы. Если в Rn ввести другую метрику, то получим другое условие сходимости. Пусть, например, . При такой метрике
Поэтому условием сходимости метода итераций будет на этот раз неравенство
.
Нетрудно видеть, что полученные здесь условия существования и единственности решений для систем линейных уравнений, могут быть распространены достаточно легко на случай бесконечных систем линейных уравнений в соответствующих метрических пространствах.
3. Интегральное уравнение Фредгольма. Применим теперь принцип сжимающих отображений для разрешимости так называемого неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
f(x) = + (x).
Здесь К(х, у) - называется ядром интегрального оператора, (x) - заданная функция, - произвольный параметр, f(х) - искомая функция.
Предположим, что К(х, у) и (x) - непрерывные функции при a x b, a y b. Тогда в силу теоремы Кантора |K(x, y)| M. Рассмотрим отображение Аf в метрическом пространстве C[a, b], задаваемое равенством:
(Af)(x) = + (x).
Следующие неравенства вполне очевидны:
d(Af1, Af2) = |(Af1)(x) - (Af2)(x)| ||M(b - a) |f1(x) – f2(x)|.
Следовательно, при || <1/M(b - a) отображение А является сжимающим в пространстве C[a, b]. В силу принципа сжимающих отображений заключаем, что интегральное уравнение Фредгольма при || <1/M(b - a) имеет единственное решение, которое можно получить методом итераций по формуле:
fn(x) = + (x).
В этой формуле в качестве начального приближения f0(х) можно взять нулевую функцию.
9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
Определение 15. Пусть Х – метрическое пространство Множество А Х называется нигде не плотным, если его замыкание А не имеет внутренних точек. Последнее эквивалентно тому, что в любом шаре найдется шар, не содержащий точек из А.
Действительно, возьмем любой шар S. Он не может лежать полностью в множестве А, т.к. в этом случае все его внутренние точки окажутся внутренними для А. Следовательно, S(X - А) . Тогда для любой точки х S(X - А) (множество Х - А – открыто) найдется шар малого радиуса S1, который полностью лежит в S(X - А), а следовательно не имеет общих точек с А. Обратное очевидно.
Определение 16. Счетное объединение нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а множество, не являющееся множеством первой категории, - множеством второй категории.
Теорема 17 (Бэра). Полное метрическое пространство является множеством второй категории, т.е. не может быть объединением счетного множества нигде не плотных множеств.
Доказательство. Предположим противное, что полное метрическое пространство X является счетным объединением нигде не плотных в X множеств X = . Рассмотрим непустое открытое множество X – А1 и некоторую точку x1 из этого множества. Найдется открытый шар S(xl, r1), который содержится в множестве X – А1. Для этого шара справедливы соотношения S(x1, r1/2) S[x1, r1/2] S(x1, r1). Следовательно, S[x1, r1/2] А1 = .
Возьмем точку х2 из непустого открытого множества S(x1, r1/2) (X – А2) (см. рассуждения после определения 15). Найдется открытый шар S(х2, r2), содержащийся в этом пересечении. Не умаляя общности, можно считать, что r2 r1/2, т.е. можно уменьшить радиус шара, не нарушая включения
S(х2, r2) S(x1, r1/2) (X – А2).
Тогда справедливы включения
S(х2, r2/2) S[х2, r2/2] S(х2, r2) S(x1, r1/2) S[x1, r1/2],
причем S[x2, r2/2] А2 = .
Далее, по индукции, в непустом открытом множестве
S(xn - 1, rn - 1/2) (X – Аn)
найдется открытый шар S(хn, rn), rn rn – 1/2, для которого выполняются включения
S(хn, rn/2) S[хn, rn/2] S(хn, rn) S(xn - 1, rn - 1/2) S[xn - 1, rn - 1/2],
причем S[xn, rn/2] Аn = .
Мы построили последовательность { S[xn, rn/2]} замкнутых вложенных шаров с радиусами rn/2 rn – 1/22 … r1/2n, стремящимися к нулю при n , для которых S[xn, rn/2] Аn = . По критерию полноты метрических пространств существует точка х, принадлежащая всем шарам. Из равенства X = следует, что х принадлежит какому-то из множеств, скажем Am.. Мы получили противоречие: x S[xm, rm/2] Аm, в тоже время по построению шаров S[xm, rm/2] Аm = и тем более S[xm, rm/2] Аm = .
Следствие. Если полное метрическое пространство X является счетным объединением замкнутых множеств, то хотя бы одно из них содержит шар положительного радиуса.
Задачи
1. Пусть M нигде не плотное множество метрического пространства. Каким будет его дополнение?
2. Пусть X – пространство элементов вида , где n – фиксировано, - рациональные числа, с метрикой
Будет ли это пространство полным? Что будет являться его пополнением?
3. В пространстве построить последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств с пустым пересечением.
4. Показать, что пространство непрерывных функций с метрикой
неполно ни при каком p.
5. Ввести на прямой метрику по формуле
Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным?
6. Доказать, что пространство Сm[a, b] полно при любом m.
7. Является ли полным пространство всех числовых последовательностей
где , с метрикой по формуле
?
8. Рассмотрим три пространства функций на прямой с метрикой d(f(x), g(x)) = :
а) всех ограниченных непрерывных функций;
б) всех непрерывных функций, у которых ;
в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне некоторого интервала.
Будут ли указанные пространства полными?
9. Отображение A на полупрямой переводит точку x в . Является ли отображение сжимающим? Имеет ли неподвижную точку?
10. Пусть функция , заданная и дифференцируемая на отрезке [0, 1], удовлетворяет неравенствам
Будет ли уравнение иметь решение?
11. В пространстве элементов вида с метрикой . Найти условие разрешимости системы
12. Непрерывны ли функции , где B – множество в метрическом пространстве X.
13. Дано отображение компакта в себя, удовлетворяющее условию при . Показать, что у этого отображения существует единственная неподвижная точка.
14. Может ли компактное множество быть неограниченным?
15. Привести пример компактного в пространстве m множества, все точки которого имеют бесконечное множество координат, отличных от нуля.
16. Будет ли компактным в пространстве C[a, b] множество всех степеней ?
17. Показать, что последовательность непрерывных функций на отрезке [0, 1], где
сходится по расстоянию к и в и в (см. задачу 4), но не стремящуюся в С[a, b] в метрике Чебышева (пример 7, гл. 1) к единице при t = 0.
18. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.
19. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?
20. Показать, что пространство С(-, ) всех определенных на числовой прямой непрерывных функций, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого интервала, с метрикой
является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?
21. Показать, что множество F замкнуто тогда и только тогда, когда из d(x, F) = 0 следует хF.
22. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?
23. Обозначим АК множество всех функций из С[a, b], удовлетворяющих условию Липшица с одной и той же константой К:
|x(t) - x(s)| K|t - s|.
Показать, что множество АК совпадает с замыканием множества всех дифференцируемых на сегменте [a, b] функций x(t) таких, что |x(t)| K.
24. Указать в эвклидовой плоскости два таких замкнутых непересекающихся множества А и В, что d(А, В) = 1, но не существует точек аА и bВ таких, что d(а, b) = 1.
25. Показать, что если А - компактное, а В замкнутое множества в метрическом пространстве Х и АВ = , то d(А, В) > 0.
26. Пусть f(х) - непрерывное взаимооднозначное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство У. Доказать, что обратное отображение f -1(у) пространства У на пространство Х непрерывно.
27. Доказать, что если возрастающая последовательность {xn(t)} вещественных непрерывных функций, заданных на компактном метрическом пространстве Х, поточечно сходится к непрерывной функции х(t), то она сходится к х(t) равномерно.
28. Пусть d(x, y) - метрика на Х. Показать, что
также является метрикой на Х и что эти три метрики попарно эквивалентны.
29. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.
30. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?
31. Пусть Х - метрическое пространство с метрикой
Ответить на следующие вопросы: 1) В каком случае {xn} будет сходящейся последовательностью в Х? 2) В каком случае {xn} будет фундаментальной последовательностью в Х? 3) Будет ли Х полным пространством? 4) Какие множества всюду плотны в Х? 5) В каком случае Х является сепарабельным пространством? 6) Какие множества в Х открыты, замкнуты?
32. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?
ГЛАВА 3 МЕРА И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Системы множеств
Определение 1. Пусть М - произвольное множество. Непустая система некоторых его подмножеств называется кольцом, если для А, В
1. AB .
2. A\B .
Из этого определения следуют ряд простых следствий. В частности, любое кольцо содержит пустое множество ( = А\А); вместе с множествами А и В кольцо содержит и симметрическую разность АВ = (А\В)(В\А); кольцо также замкнуто относительно операции пересечения АВ = (АВ)\(АВ).
Замечание. В учебниках можно встретить разные определения кольца множеств. Эти определения эквивалентны между собой.
Определение 2. Непустая система подмножеств множества М называется алгеброй, если
1. Если А, В , то A В .
2. Если А , то АС = М\А .
Теорема 1. Для того чтобы система подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и М .
Необходимость. Пусть система множеств является алгеброй и А, В . Тогда по второму АС, ВС. Следовательно (1 свойство) АС ВС и снова по второму свойству (АС ВС)С = АВ . Следовательно алгебра замкнута относительно операции пересечения.
Используя представление А\В = (АВС) получаем, что алгебра замкнута также и относительно операции вычитания множеств. Последнее доказывает, что она является кольцом.
Так как пустое множество принадлежит кольцу , то и С = М также принадлежит .
Достаточность. Пусть кольцо содержит множество М. Тогда, по свойствам кольца, будут выполнены первое и второе свойство алгебры.
Определение 3. Непустая система подмножеств множества М называется -кольцом, если оно кольцо, замкнутое по отношению к объединению не только конечного, но и счетного множества множеств, т.е. если
1.из Ai , (i = 1, 2,...) следует, что А = Ai
2.из А, В следует, что А\В .
Требование, чтобы объединение конечного числа множеств из входило в , здесь уже содержится, т.к. в условии 1, в частности, можно взять все Ai, начиная с некоторого, равными пустому множеству.
Определение 4. Непустая система A подмножеств множества М называется -алгеброй, если она удовлетворяет условию (1) из определения -кольца и условию (2) из определения алгебры.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Для того чтобы совокупность была -алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была -кольцом и чтобы М .
Определение 5. Пусть К – произвольная непустая совокупность подмножеств множества М, тогда всегда существует наименьшее кольцо (алгебра, -кольцо или -алгебра), содержащее К .
Действительно, таким будет пересечение всех колец ' (алгебр, -колец или -алгебр), состоящих из подмножеств множества М и содержащих К (такие ' существуют, например, совокупность всех подмножеств множества М), эта совокупность называется кольцом (алгеброй, -кольцом или -алгеброй), порожденным совокупностью К.
Определение 6. Система подмножеств множества М называется полукольцом, если она удовлетворяет следующим условиям:
1. ;
2. если А, В , то АВ ;
3. если A, B и B A, то существует конечная совокупность таких дизъюнктных множеств Сn , что А \ В = Cn.
Из указанных свойств кольца вытекает, что любое кольцо является полукольцом.
2. Системы множеств в евклидовом пространстве
Определение 7. Пусть заданы n пар вещественных чисел аi и bi, где i = 1,..., n, так, что ai < bi i. При этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут быть несобственными, т.е. возможно, что ai = - и bi = + при некоторых i. Множество 0 всех точек х = (x1,..., xn) n, координаты которых удовлетворяют неравенству ai < xi < bi, i = 1, …, n, называется открытым n-мерным параллелепипедом.
Ранее было показано (пример 1.5), что открытые параллелепипеды образуют базу топологии в Rn.
Определение 8. Множество * всех точек х n, координаты которых удовлетворяют неравенству аi xi bi, i = 1,..., n, называется замкнутым n-мерным параллелепипедом.
Если рассматривать Rn с топологией, порожденной метрикой Евклида, то открытый параллелепипед является открытым множеством, замкнутый – замкнутым множеством (проверьте).
Определение 9. Параллелепипед – это любое множество, удовлетворяющее условию: 0 Δ *. Далее мы его будем обозначать так {a1, b1;...; аn, bn}.
Определение 10. Если - < аi < bi < + при всех i, то будем говорить, что -параллелепипед с конечными ребрами. Если же хоть одна из величин аi и bi является бесконечной, то будем говорить, что имеет бесконечное ребро.
Определение 11. Будем говорить, что два параллелепипеда дизъюнктны, если у них нет общих внутренних точек.
Определение 12. Объемом n-мерного параллелепипеда {a1, b1;...; аn, bn} называется: V =
Он равен + , если у параллелепипеда есть бесконечное ребро.
Определение 13. Параллелепипед {a1, b1;...; аn, bn} называется (n-мерной) ячейкой, если он состоит из всех точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам аi xi < bi, где i = 1,..., n.
Пусть 1 и 2 – полукольца на множествах Х1 и Х2, соответственно. Построим систему множеств = 12, т.е. АВ тогда и только тогда, когда А1 и В2.
Лемма 1. Система является полукольцом в Х1Х2.
Доказательство. 1) = .
2) Если А1В1, А2В2, то А1В1 А2В2 = (А1А2)(В1В2) (в силу свойств полуколец 1 и 2).
3) Пусть А1В1, А2В2 и А1В1 А2В2, последнее влечет вложения множеств А1 А2 и В1 В2. В силу свойств полуколец 1 и 2 найдутся множества Сn 1 и Dk 2, такие, что А2 = А1 + и В2 = В1 + . В силу свойств произведения дизъюнктных множеств получаем представление А2В2 = А1В1 + + + , что эквивалентно третьему условию в определении полукольца.
Рассмотрим ячейки на числовой прямой, т.е. систему 1 промежутков вида [a; b).
Теорема 3. Система 1 промежутков вида [a; b) образует полукольцо пространства R1.
Доказательство. 1) Справедливо = [a; a).
2) Пусть [a1; b1), [a2; b2). Тогда нетрудно видеть, что пересечение этих промежутков либо пусто, либо [a1; b1) [a2; b2) = [max{a1, a2}; min{b1; b2})(сделайте рисунок).
3) Пусть [a1; b1) [a2; b2). Тогда нетрудно видеть, что выполняется равенство [a2; b2) = [a2; a1) + [a1; b1) +[b1; b2), что доказывает последнее свойство полукольца.
Следствие. Система всех ячеек пространства Rn образует полукольцо .
Утверждение следствия легко вытекает из теоремы и леммы 1.
3. Функция множеств
Определение 14. Вещественнозначная функция, областью определения которой является некоторая система множеств , называется функцией множества.
Определение 15. Функция f называется счетно-аддитивной, если для любой не более чем счетной совокупности дизъюнктных множеств An , объединение которых А = An тоже принадлежит , имеет место равенство
Определение 16. Если равенство ограничено случаем, когда А есть объединение конечного числа дизъюнктных множеств Аn (А, Аn ), то функция f называется конечно-аддитивной или просто аддитивной.
Так как функции могут принимать бесконечные значения необходимо договориться об арифметических операциях над символами бесконечность. В основном эти правила аналогичные тем, которые применялись в математическом анализе. Например: а = ; + = и т.п. Но есть определенные отличия. Так мы полагаем, что 0 = 0 и - = - - (-) = 0. В математическом анализе последние два действия полагались неопределенностью.
Лемма 2. Если функция множеств f является аддитивной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А и А В, то f(B\A) = f(B) – f(A).
Утверждение легко вытекает из дизъюнктного представления В = А + В\А.
Следствие. Если функция множеств f является аддитивной, неотрицательной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А и А В, то f(B) f(A).
Теорема 4. Для того, чтобы аддитивная функция f, принимающая конечные значения и заданная на кольце , была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любой убывающей последовательности множеств Аi (i = 1,2,...), т.е. таких что А1 А2 А3 …, с пустым пересечением выполнялось f(Ai) 0 при i .
Необходимость. Пусть Аi убывающая последовательность множеств, т.е., при этом = . Построим систему непересекающихся множеств Bi = Ai\Ai+1. Тогда нетрудно видеть, что А1 = . В силу счетной аддитивности функции множеств f(A1) = . Последнее равенство означает, что при n . Но . Последнее равенство в сочетание с поведением частичных сумм доказывает утверждение.
Достаточность. Пусть дизъюнктные множества An , объединение которых А = Ak тоже принадлежит . Построим последовательность убывающих множеств Вn = A\ . В силу леммы, аддитивности функции множества и условий теоремы f(Bn) = f(A) – f() = f(A) - 0. Последнее доказывает счетную аддитивность функции множеств.
Следующая теорема доказывается аналогично.
Теорема 5. Пусть f - счетно-аддитивная функция, заданная на кольце . Если А и А = Аi, где Ai и образуют возрастающую последовательность, т.е. А1 А2 …, то
f(A) = f(Ai).
То же равенство справедливо, если А = Аi (А, Аi ), Аi образуют убывающую последовательность и f(Ai) конечные числа, начиная с некоторого i.
4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
Определение 17. Пусть X - любое множество. Мерой в X называется вещественнозначная неотрицательная счетно-аддитивная функция m, заданная на некотором полукольце подмножеств множества X.
Определение 18. Мера m называется конечной, если m(А) < + для А .
Определение 19. Мера m называется -конечной, если А такие Аn (n = 1, 2,...), что А и мера m(Аn) < + для n.
Определение 20. Пусть m – произвольная мера в X, заданная на каком-то полукольце . Она называется полной, если из того, что А , m(А) = 0 и Е А вытекает, что Е .
Лемма 3. Если - полукольцо, An , A = , то = , где Сk , при этом для каждого k существует n(k) такое, что Сk An(k).
Доказательство. Очевидно, что
А = А1[(А\А1)A2][(A\A1)(A\A2)A3]…[(A\Ak)An+1]… (1)
Заметим, сразу, что все множества, стоящие в квадратных скобках дизъюнктны между собой по построению. По условиям полукольца А\Аk = , где Сki . Следовательно
(A\Ak)An+1 = An+1 =
= An+1 = An+1 =
= .
Стоящие в последних скобках множества по определению полукольца принадлежат ему и все между собой дизъюнктны. Подставив полученное равенство в (1) получим доказываемое.
Теорема 6. Пусть X – любое множество с полукольцом и неотрицательной конечно-аддитивной функцией множеств m на этом полукольце. Справедливы следующие свойства:
1. m() = 0;
2. Если А, В и А В, то m(A) m(B) (монотонность меры);
Если m является мерой (т.е. обладает еще свойством счетной аддитивности), то
3. Если А, An и А , то m(A) (полуаддитивность меры)
Доказательство. 1) Легко вытекает из свойства аддитивности и неотрицательности, так как m() = m() = m() + m() = 2m().
2) В силу свойств полукольца найдется конечный набор множеств Сk таких, что В = А + Сk.Тогда из аддитивности m вытекает m(B) = m(A) + m(Сk), откуда и неотрицательности m уже легко следует нужное неравенство.
3) Из условий теоремы получаем представление А = , где Вn = AAn. Воспользуемся теперь леммой: А = , где Сk. Отметим, что в силу леммы
,
при этом одно и тоже Сk может полностью попасть в разные Аn (но, что очень важно в силу леммы, хотя бы в одно из них обязательно попадает полностью). Отсюда уже легко следует, что
m(А) = .
Теорема 7. Функция V, заданная на полукольце ячеек в Rn и равная для каждой ячейки ее объему – -конечная мера в Rn.
Доказательство. Практически в доказательстве нуждается только счетная аддитивность введенной функции, так как конечная аддитивность очевидна. Пусть {a1, b1;...; аn, bn} = {c1(k), d1(k);…; cn(k), dn(k)}. Далее предполагаем, что все ячейки, входящие в сумму имеют конечные ребра, в противном случае равенство очевидно. Ясно, что {c1(k), d1(k);…; cn(k), dn(k)} {a1, b1;...; аn, bn} для любого m. В силу монотонности и аддитивности функции множеств V выполняется неравенство V({c1(k), d1(k);…; cn(k), dn(k)}) = V({c1(k), d1(k);…; cn(k), dn(k)}) V( {a1, b1;...; аn, bn}) для любого m. Предельным переходом по m получаем неравенство
V({c1(k), d1(k);…; cn(k), dn(k)}) V( {a1, b1;...; аn, bn}).
Докажем противоположное неравенство. Рассмотрим систему открытых параллелепипедов {0{c1(k) - /2k, d1(k) + /2k; …..; cn(k) - /2k, dn(k) + /2k}}, где произвольное положительное число. Данная система покрывает замкнутый параллелепипед *{a1, b1;...; аn, bn}. Так как последний является компактным множеством (он ограничен и замкнут), то из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие:
*{a1, b1;...; аn, bn} 0{c1(k) - /2k, d1(k) + /2k; …..; cn(k) - /2k, dn(k) + /2k}
(без ограничения общности мы предположили, что нужное конечное покрытие находится в начале). Тогда
V(*{a1, b1;...; аn, bn})
V(0{c1(k) - /2k, d1(k) + /2k; …..; cn(k) - /2k, dn(k) + /2k})
V(0{c1(k) - /2k, d1(k) + /2k; …..; cn(k) - /2k, dn(k) + /2k})
V(0{c1(k) - /2k, d1(k) + /2k; …..; cn(k) - /2k, dn(k) + /2k})
V(0{c1(k), d1(k); …..; cn(k), dn(k)}) + 2nV(*{a1, b1;...; аn, bn}) /2k =
= V(0{c1(k), d1(k); …..; cn(k), dn(k)}) + 2nV(*{a1, b1;...; аn, bn}).
В силу произвольности последнее доказывает противоположное неравенство.
5. Внешняя мера
Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция *, заданная на совокупности всех подмножеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:
1. *() = 0;
2. Если Е En, где совокупность множеств Еn X не более чем счетна, то (счетная полуаддитивность внешней меры).
Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце и пусть * – некоторая функция, определенная для Е X по следующему правилу:
1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца , т.е. Е Аn, где Аn (n = 1, 2,...), то *(Е) = inf{m(An)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.
2. В противном случае *(E) = +.
Тогда * - внешняя мера в X, причем *(А) = m(А) для А .
Доказательство. Сразу отметим, что для А выполняется равенство *(А) = m(А). Действительно, если А Аn, где Аn (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A) m(An). Следовательно, inf из определения * достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.
Если хотя бы для одного n выполняется равенство *(Еn) = +, то второе свойство внешней меры очевидно. Пусть *(En) < + для всех n. Тогда для произвольного > 0 найдутся покрытие Еn Bkn множествами Вkn из полукольца такие, что *(Еn) . Так как Е En, а Еn Bkn, то Е Bkn. Следовательно
*(Е) m(Bkn) (*(En) + /2n) = *(En) + .
В силу произвольности второе свойство из определения внешней меры доказано.
Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера *, построенная в этой теореме, порождена мерой m.
6. Измеримые множества
Пусть Х – фиксированное множество, на котором задана внешняя мера *.
Определение 23. Пусть А, Е Х. Множество А хорошо разбивает множество Е, если
*(Е) = *(ЕА) + *(ЕАС) (2)
Определение 24. Назовем множество А X *-измеримым, если оно хорошо разбивает любое множество Е X.
Сужение внешней меры * на совокупность всех *-измеримых множеств обозначим через .
Заметим, что в силу полуаддитивности внешней меры для любого Е Х выполняется неравенство:
*(Е) *(ЕА) + *(ЕАС).
Поэтому для доказательства измеримости данного множества А достаточно проверить справедливость лишь противоположного неравенства. Отметим также, что если *(Е) = это неравенство выполняется автоматически и достаточно его проверять на множествах Е, для которых *(Е) < .
Теорема 9а. Система всех * -измеримых множеств в X – алгебра.
Доказательство. Достаточно очевидно, что Х: *(E) = *(EX) + *(E). Поэтому необходимо проверить лишь условия кольца. С другой стороны из симметричности определения измеримого множества вытекает, что множество А и его дополнение АС являются измеримыми одновременно.
Пусть теперь А, В . Для любого множества Е Х справедлива следующая цепочка равенств:
*(Е(АВ)) + *(Е(АВ)С) = *((Е(АВ))А) +*((Е(АВ))АС) + *(ЕАСВС) =
= *(ЕА) +*(ЕВАС) + *(ЕАСВС) = *(ЕА) +*(ЕАС) = *(Е).
(первое равенство получено в силу измеримости множества А – добавили к фиксированному множеству (Е(АВ)); второе равенство – использование свойств операций над множествами; третье равенство – объединение второго и третьего слагаемого и использование измеримости В; последнее – измеримость множества А).
Таким образом, показана замкнутость относительно операции конечного объединения. Отсюда, отмеченного выше факта о замкнутости относительно операции дополнения и теорем двойственности де Моргана вытекает замкнутость относительно пересечения множеств.
Так как А\В = АВС, то является алгеброй.
Теорема 9б. Функция - аддитивна на .
Доказательство. Пусть В, С и А = В + С. В силу измеримости В справедливо равенство:
*(А) = *(АВ) + *(АВС) = *(В) + *(С).
Последнее равенство вытекает из простых множественных равенств: АВ = В, АВС = С.
Теорема 9в. Система всех * -измеримых множеств в X – -алгебра.
Доказательство. Пусть А = , где Аk . Нам необходимо показать, что А, т.е. выполняется равенство *Е = *(ЕА) + *(ЕАС) для любого Е Х. Построим систему множеств из следующим образом: С1 = А1, С2 = А2\А1, …, Cn = An\, … Из построения ясно, что Сn и А = . Введем множество Вn = . Справедливы равенства:
*(EBn) = *(EBnC1) + *(E BnC1C) = *(EC1) + *(E) =
= *(EC1) + *(EC2) + *(EC2C) =
= *(EC1) + *(EC2) + *(E) = … = .
Далее
*(Е) = *(EBn) + *(EBnС) = + *(EBnС) + *(EАС).
Последнее неравенство получено в силу монотонности внешней меры и вложения АС BnС. Последнее неравенство верно для любого n. Переходя в нем к пределу по n, получим неравенство:
*(Е) + *(EАС).
Воспользуемся теперь счетной полуаддивностью внешней меры:
= *(ЕА).
Тогда *(Е) *(ЕА) + *(EАС), что с учетом замечания, сделанного после определения измеримого множества, доказывает измеримость А.
Теорема 9г. Функция – мера на .
Доказательство. Пусть А, Аk и А = . В силу доказанной конечной аддитивности функции , справедливо равенство . Так как А, то
.
Предельным переходом по n отсюда получаем неравенство . Если теперь вспомнить, что внешняя мера обладает свойством счетной полуаддитивности, т.е. , то получаем необходимое равенство.
Объединяя теоремы 9а, 9б, 9в и 9г, получаем.
Теорема 9. Система всех * -измеримых множеств в X – -алгебра, а – мера на .
Определение 25. Будем говорить, что мера , построенная в этой теореме, порождена внешней мерой *.
Теорема 10 Пусть m – мера в X, заданная на полукольце , * – внешняя мера, порожденная мерой m, – мера, порожденная внешней мерой *, тогда – продолжение m на -алгебру *-измеримых множеств, т.е. и m(А) = (А) для А .
Доказательство. Равенство m(А) = (А) для всех А по существу установлено в теореме 8. Требуется проверить, что любое А удовлетворяет равенству (2).
Пусть Е Х, *(Е) < и по определению внешней меры, порожденной m для произвольного > 0 найдено покрытие Аk такое, что Е Ak и *(Е) > m(Ak) – . Так как ЕА (AkА) и ЕАС (AkАС), то по определению внешней меры
*(ЕА) m(AkА) и *(ЕАС) m(AkАС).
Следовательно
*(Е) > m(Ak) – = m(AkА + АkAC) – =
= m(AkА) + m(АkAC) – *(ЕА) + *(ЕАС) – .
В силу произвольности , отсюда следует неравенство *(Е) *(ЕА) + *(ЕАС), которое доказывает утверждение.
Определение 26. В дальнейшем, полученную таким образом меру , будем называть стандартным продолжением меры m или продолжением по Каратеодори.
Определение 27. * -измеримое множество будем называть так же измеримым.
Теорема 11. Пусть – стандартное продолжение на -алгебру меры m с полукольца в X. Если В X и для > 0 A : В A и (А) < , то В и (В) = 0.
Доказательство. В силу стандартности продолжения найдется покрытие А (а значит и В) множествами из полукольца Аk такое, что *(А) = (А) km(Ak) < 2. Последнее означает, что *(В) = 0. Тогда для произвольного множества Е Х выполняется вложение ЕВ В и в силу монотонности внешней меры *(ЕВ) *(В) = 0, т.е. *(ЕВ) = 0. Аналогично, ЕВС Е и *(Е) *(ЕВС) = *(ЕВС) + *(ЕВ). Последнее неравенство показывает измеримость В и так как (В) = *(В) = 0, то утверждение доказано.
Последняя теорема показывает, что стандартное распространение меры является полной мерой.
Теорема 12. (об измеримой оболочке). Пусть - стандартное продолжение на -алгебру меры m с полукольца в X. Если В X, то найдется такое множество А что В А и *(В) = (А).
Доказательство. В случае, если *(В) = , в качестве А можно взять все Х. Пусть *(В) < . По определению внешней меры (теорема 8) найдутся такие множества Bij, что
, .
Поэтому множество будут измеримыми. В силу свойства монотонности и счетной полуаддитивности внешней меры
при всех i = 1, 2,… Перейдя к пределу в последнем неравенстве при i , получим неравенство (А) *(В). Так по построению В А, то это неравенство доказывает теорему.
Множество А в данной теореме обладает двумя свойствами:
1) А такое, что В А и *(В) = (А);
2)
Множества, обладающие этими свойствами называются измеримой оболочкой для множества В.
7. Мера Лебега на Rn
Пусть m мера, простроенная по теореме 7 на полукольце ячеек. Эта мера порождает внешнюю меру (теорема 8). Мера, порожденная этой внешней мерой на множествах из Rn называется мерой Лебега на Rn.
Следующая теорема является аналогом ранее доказанной теоремы о структуре открытых множеств на числовой прямой.
Теорема 13. Всякое открытое множество G Rn представимо в виде не более чем счетного объединения дизъюнктных n-мерных открытых параллелепипедов с конечными ребрами.
Теорема 14. Каждое открытое и каждое замкнутое множество из Rn измеримо.
Доказательство. Легко вытекает из того, что все ячейки в Rn измеримы по теореме 9, далее система измеримых множеств -алгебра (теорема 9) и любой открытый параллелепипед можно представить в виде счетного объединения возрастающей последовательности ячеек. Воспользовавшись теперь теоремой 13 и снова замкнутостью системы измеримых множеств относительно счетного объединения, получим измеримость любого открытого множества. Измеримость замкнутых множеств получается опять же в силу замкнутости системы измеримых множеств относительно операции дополнения.
Теорема 15. Любой параллелепипед измерим, при этом () = V.
Доказательство. Доказательство легко вытекает из вложений 0Е Е *Е и вытекающего отсюда неравенства внешних мер *(0Е) *(Е) *(*Е), а также равенства *(*\0) = 0.
Теорема 16. Всякое конечное или счетное множество А точек из Rn измеримо и его мера равна 0.
Доказательство. Пронумеруем точки множества А в виде последовательности zn. Возьмем произвольное > 0. Поместим каждую точку в n-мерный куб (открытый или замкнутый), объем которого не превосходит /2n. Тогда *(А) . В силу теоремы 11 это означает, что множество А измеримо и имеет меру 0.
Определение 28. Борелевскими множествами называют множества, принадлежащие наименьшей -алгебре множеств, содержащей все открытые и замкнутые множества в Rn.
Так как по теореме 14 все открытые и замкнутые множества измеримы, а все измеримые множества образуют -алгебру, то очевидна следующая теорема.
Теорема 17. Все борелевские множества из Rn измеримы.
Теорема 18. Внешняя мера любого множества Е Rn равна нижней грани мер всевозможных открытых множеств, содержащих Е
*(Е) = μ(G)
Доказательство. Утверждение практически очевидно, так как, покрывая множество ячейками, мы легко можем покрыть это множество открытыми параллелепипедами, объем которых в совокупности отличается от объема покрытия ячейками на сколь угодно малое положительное число.
Теорема 19. Мера любого ограниченного измеримого множества Е Rn равна верхней грани мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в Е
(Е) = μ(F)
Доказательство. Поместим множество Е в некий замкнутый ограниченный параллелепипед Р. При этом предполагаем, что внутренность параллелепипеда Р также содержит множество Е. В силу ограниченности множества Е это можно сделать. В силу свойств меры множество Р – Е измеримо. Из теоремы 18 и свойств меры вытекает (в силу условий на Р наименьшую грань можно брать только по открытым множествам содержащимся в Р):
(Е) = (Р – (Р – Е)) = (Р) - (Р – Е) = (Р) - μ(G) = (Р – G).
В силу открытости множества G множество F = P – G является замкнутым. Отсюда вытекает утверждение теоремы.
Задачи
1. Доказать, что система всех конечных подмножеств заданного множества является кольцом.
2. Найти в задаче 1. условие на множество , необходимое и достаточное для того, чтобы кольцо являлось алгеброй.
3. Пусть – бесконечное множество, а – система всех не более чем счетных подмножеств . Доказать, что является -кольцом.
4. Найти в задаче 3. условие на , необходимое и достаточное для того, чтобы являлось -алгеброй.
5. Пусть – множество, – система всех таких множеств , что либо , либо не более чем счетно. Доказать, что является -алгеброй.
6. Пусть – множество, – система всех таких множеств , что либо , либо конечно. Доказать что является алгеброй.
7. Доказать, что система всех интервалов, отрезков и полуинтервалов из отрезка образует полукольцо.
8. Доказать, что система всех интервалов (включая пустой) и система всех отрезков (с добавлением пустого множества) в R не является полукольцом.
9. Доказать, что система всех открытых множеств в R не является полукольцом.
10. Пусть – полукольцо (кольцо), . Доказать, что система – полукольцо (алгебра) (эту систему мы будем обозначать через ).
11. Построить систему множеств, которая замкнута относительно операций и , но не является даже полукольцом.
12. Пусть – полукольцо. Доказать, что система является кольцом.
13. Пусть – полукольцо. Доказать, что система совпадает с кольцом , определенным в задаче 12.
14. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы колец является кольцом (возможно, кольцом ).
15. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы -колец является -кольцом.
16. Доказать, что пересечение произвольной системы алгебр с одной и той же единицей является алгеброй.
17. Привести пример двух -алгебр, пересечение которых не является алгеброй.
18. Доказать, что не существует кольца, содержащего ровно 3 различных множества (включая пустое).
19. Построить пример -алгебр и таких, что не является кольцом.
20. Доказать, что произведение -алгебр и с единицами и является кольцом тогда и только тогда, когда хотя бы одна из этих -алгебр содержит не более двух множеств.
21. Пусть даны множества и , функция , а – система множеств в . Положим для и . Доказать, что если – полукольцо, то – полукольцо.
22. В условиях задачи 21 доказать, что если – кольцо, то – тоже кольцо.
23. В условиях задачи 21 доказать, что если – -алгебра, то – тоже -алгебра.
24. Построить множества , , функцию и кольцо подмножеств такие, что не является полукольцом.
25. Пусть задано полукольцо 1 промежутков [a, b) (см. теорема 3) и неубывающая ограниченная функция g(x) на числовой прямой. Определим функцию множеств m([a, b)) = g(b) – g(a). Доказать, что m является счетно-аддитивной мерой на 1 тогда и только тогда, когда функция g(x) непрерывна слева во всех точках. (Замечание. Мера, которая получается из этой меры при продолжении называется мерой Лебега-Стильтьеса).
ГЛАВА 4 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
1. Измеримые функции и их свойства
В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции. Класс этих функций достаточно широк и в основном он удовлетворяет потребностям анализа.
Рассмотрим измеримое пространство (X, , ) со счетно-аддитивной полной мерой .
Определение 1. Пусть Е . Действительная функция f: E R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:
Е(f < с) = {хЕ: f(х) < с}
измеримы, т. е. E(f <с) при всех с R.
Из этого определения, в частности, сразу следует, что если Х = R и – алгебра измеримых функций по мере на числовой прямой, то любая непрерывная функция является измеримой. Это вытекает из определения непрерывных функций (определение 1.18): если полный прообраз f -1(V) любого открытого множества V является открытым множеством.
Поскольку система есть -алгебра, то из условия измеримости всех лебеговых множеств E(f <с) вытекает измеримость следующих множеств:
E(fc) = E\E(fc) = E\E{fc); E{a f < b) = E(f < b) \E(f < a);
E(a < f < b ) = E(f < b)\E(f a); E{a < f b) = E(f b) \E(f a); E{a f b) = E(f b) \E(f < a).
Отметим, что измеримые функции могут принимать и бесконечные значения. Поэтому также измеримыми являются множества:
E(f = +) = E(f > n); E(f = -) = X\E(f < -n).
Обозначим через систему всех открытых множеств на прямой R и рассмотрим минимальную -алгебру, содержащую все открытые множества . Напомним (определение 3.28), что множества А, принадлежащие этой -алгебре, называются борелевскими. Так как дополнение открытого множества является замкнутым, то все открытые и замкнутые множества являются борелевскими. В том числе все промежутки на прямой (отрезки, интервалы и полуинтервалы) являются борелевскими множествами.
Теорема 1. Функция f: Е R измерима тогда и только тогда, когда прообраз любого борелевского множества является измеримым, т. е. имеет место включение f –l(A) для всех борелевских множеств. А R.
Доказательство. Достаточность очевидна, так как все интервалы (-; c) являются борелевскими множествами. Докажем необходимость.
Предположим, что функция f измерима, и обозначим через систему множеств А R, у которых прообраз f- -1(А) измерим. Так как является -алгеброй и
f -1(A\B) = f -1(A)\ f -1(B), ,
то есть -алгебра. По предположению (см. выше) все множества вида f -1(a, b) = E(a< f < b) измеримы и следовательно система содержит все интервалы (а, b). Поскольку каждое открытое множество из R является объединением не более, чем счетного числа интервалов, то . Поэтому в силу минимальности борелевской -алгебры справедливо включение в всех борелевских множеств.
Для доказательства измеримости функции f, заданной на сумме E = конечного или счетного числа измеримых множеств, достаточно проверить ее измеримость на каждом множестве Аi. Заметим, что измеримость функции f на множестве Е влечет ее измеримость на каждом измеримом подмножестве А Е.
Лемма 1. Пусть функции f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, а функция двух действительных переменных h(u,v) непрерывна на открытом множестве D R2, при этом (f(x),g(x)) D для всех х Е. Тогда сложная функция F(x) = h(f(x), g(x)) является измеримой на множестве Е.
Доказательство. В силу непрерывности функции h(u,v) множество D(h < с) является открытым в R2. Поэтому его можно представить в виде конечного или счетного объединения открытых прямоугольников (теорема 3.12):
D(h < с) = , Аi = (ai, bi) (ci, di).
Заметим, что E((f, g) Аi) = E(аi < f < bi) E(сi < g < di) есть измеримое множество. Отсюда множество E(F < c) = будет также измеримым, поскольку система множеств Е является -алгеброй.
Из этой леммы получаются следующие свойства.
Следствие 1. Пусть функции f и g измеримы на Е. Тогда их сумма f + g и произведение fg измеримы на Е. Частное f/g измеримо, если g(x) 0 при всех х Е. Степень |f|p измерима при всех р > 0.
Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.
Следствие 2. Пусть последовательность {fn} состоит из измеримых на множестве Е функций. Если функции вида fn(x), fn(x), , принимают конечные значения на Е, то они измеримы.
Если предел функций f(x) = существует при всех х Е, то f является измеримой функцией.
Измеримость нижней и верхней грани последовательности функций доказывается применением следующих соотношений:
E( fn < c) = E(fn < c), fn(x) = – (– fn(x)).
Так как при всех х Е справедливы равенства
= , = ,
то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.
2. Сходимость почти всюду
Пусть (X, , ) – измеримое пространство со счетно-аддитивной полной мерой и множество Е . Далее мы пишем, что функции f g на множестве Е, если выполняется неравенство f(x) g(x) при всех х Е.
Определение 2. Последовательность функций {fn} на множестве Е сходится к функции f(х) = , если выполняется равенство f(x) = при всех х Е.
Последовательность функций {fn} сходится монотонно возрастая fn f на Е, если f = , на Е и последовательность не убывает fi fi+l, i =1,2,..., на множестве Е. Аналогично определяется монотонная сходимость вида fn f на множестве Е.
Определение 3. Функция h: Е R называется простой, если она имеет конечное множество значений. Пусть h принимает значения hj на множествах Hj, j = 1, 2, ...,k. Тогда Hj образуют конечное разбиение множества и имеет место равенство
,
где - характеристическая функция множества Hj. Непосредственной проверкой убеждаемся, что простая функция h(x) измерима тогда и только тогда, когда все множества Hj измеримы. В приведенном представлении предполагается, что hj различны при различных значениях j. На практике встречаются случаи, когда отслеживать данное условие обременительно, и мы допускаем, что при разных значениях индекса могут быть одни и те же значения функции.
Теорема 2. Для каждой неотрицательной измеримой функции f на множестве Е найдется такая последовательность простых неотрицательных измеримых функций hn(х), которая сходится монотонно hn f на множестве Е.
Доказательство. Зададим последовательность простых функций на множестве Е по формуле:
,
где и Вп = E(f 2n). Эти функции неотрицательны и измеримы на множестве Е. Покажем, что последовательность простых функций {hn} является неубывающей. Поскольку , то
.
Далее, так как 0 f(x) – hn(x) < 1/2n при всех х E(f < 2n), то эта последовательность сходится монотонно к функции f на множестве Е.
Следствие 1. Для каждой неотрицательной ограниченной измеримой функции f на множестве Е найдется такая последовательность hn(х) простых неотрицательных измеримых функций, что {hn} сходится монотонно и равномерно на множестве Е к функции f.
Утверждение следствия установлено по существу в ходе доказательства теоремы.
Определение 4. Последовательность функций {fn} сходится почти всюду (п. в.) к функции f на множестве Е, если существует такое множество А меры нуль (А) = 0, что справедливо равенство f(x) = при всех х Е\A.
Две функции называются эквивалентными f~g, если существует такое множество А Е меры нуль (А) = 0, что f(x) = g(x) при всех х Е\А. В силу полноты меры из измеримости функции вытекает измеримость любой эквивалентной функции.
В пространстве S(E) всех измеримых функций на множестве Е эквивалентные функции отождествляются так, что элементами этого пространства, на самом деле, являются классы эквивалентных функций.
Нетрудно проверить, что предел f(x) = почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций является также измеримой функцией и определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Действительно, пусть А множество нулевой меры из определения. Тогда последовательность {fnЕ\А} сходится для всех x E\A к функции f(x) Е\А. В силу следствия 2 из леммы 1 последняя функции является измеримой. Тогда функция f(x) Е\А + А является измеримой на Е, как сумма двух измеримых функций. Причем построенная функция эквивалента f(x), а следовательно, последняя является измеримой функцией.
Лемма 2. Пусть Е = {x X: fn(x) f(x) при п }. Тогда
X\E =
Доказательство. Точка x X \ E в том и только в том случае, когда fn(x) не сходится к f(x). Но последнее по определению означает, что для некоторого m0 при любом п 1 найдется такое k > п, что |fk(x) – f(x)| > . Последнее означает, что х для любого n. Следовательно, х и х . Обратное включение проверяется уже просто.
Теорема 3 (критерий сходимости почти всюду). Пусть (Х) <. Тогда последовательность fn(x) f(x) почти всюду на X в том и только в том случае, когда для любого > 0 выполнено равенство
.
Доказательство. Достаточно установить, что сходимость почти всюду эквивалентна тому, что для любого натурального т
В обозначениях леммы 2 сходимость fn(x) f(x) почти всюду на X эквивалентна тому, что (Х \Е) = 0 или . Но это, в свою очередь, равносильно тому, что для любого т выполнено равенство . Определим для фиксированного m множества Gn = при всех натуральных п. Тогда G1 G2 ... Для завершения доказательства остается только заметить, что по теореме о непрерывности меры (теорема 3.5)
.
3. Сходимость по мере и ее свойства
Предположим, что {fn(x)} и f(x) – измеримые и конечные на измеримом пространстве (X, , ) функции.
Определение 5. Говорят, что последовательность fn(x) f(x) на X при п (сходится по мере на X), если для любого > 0 предел
= 0.
Отметим, что в отличии от сходимости почти всюду, для которой измеримость предельной функции устанавливается, в определении сходимости по мере сразу предполагается измеримость функции f(x). Поскольку определение сходимости по мере существенно отличается от определений поточечной и равномерной сходимости, установим некоторые свойства этой сходимости.
Теорема 4. Предел последовательности функций, сходящихся по мере, единственен с точностью до эквивалентности.
Доказательство. Предположим, что последовательность fn(x) f(x) и fn(x) g(x) при п . Тогда для любого > О и для любого n имеем
{x X: |f(x) - g(x)| > } {х X: |fn(х) - f(х)| > /2} {x X: |fn(x) - g(х)| > /2},
откуда ясно, что ({х Х: |f(x) - g(х)| > 0}) = 0, т. e. f(x) = g(x) почти всюду.
Теорема 5. Пусть fn(x) f(x) и gn(x) g(x) при п . Тогда fn(x) + gn(x) f(x) + g(x) при п .
Доказательство. Утверждение теоремы сразу вытекает из верного для любого > 0 и для любого n включения
{х X: |( fn(x) + gn(x)) - (f(x) + g(х))| > }
{х X: | fn(x) – f(x)| > /2}{х X: |gn(x) – g(x)| > /2}.
Теорема 6. Если (Х) < , открытое множество G R1, функция g(х) непрерывна на множестве G, а последовательность fn(x) f(x) при n , причем все функции fn(x) и функция f(x) отображают множество X в G, то g(fn(x)) g(f(x)) при n .
Доказательство. Так как любой интервал (a, b) на числовой прямой является счетным объединением отрезков [a + 1/n, b – 1/n], то из теоремы 1.3 вытекает, что справедливо представление , где все множества Кп компактны в R1, т. е. замкнуты и ограничены, и K1 К2 ... Рассмотрим прообразы Еп = f -1(Kn) при п = 1, 2,... При этом E1 E2 ... и .
Пусть заданы > 0 и > 0. По теореме о непрерывности меры можно подобрать r так, чтобы
Пусть > 0 – расстояние от компакта К= до замкнутого множества F = R1 \ G. Определим компакт K0 = {y R1: minxK|x - y| /2} G.
Тогда функция g(х) равномерно непрерывна на К0, и, следовательно, существует такое > 0, что при х, у К0 и |х – у| < имеем |g(х) - g(у)| < .
Выберем N таким образом, чтобы при п > N выполнялось неравенство
(Bn) = ({x X: | fn(x) - f(x)| min(/2, )}) < /2.
Теперь (АВп) < , а если х X\( АВп), то f(х) К К0, fn(х) К0 и | fn(x) - f(x)| < , откуда | g(fn(x)) - g(f(x))| < . Теорема доказана.
Следствие 1. Если (Х) < и последовательность fn(x) сходится по мере к f(x) при n , то fn2(x) f 2(x) при n . Если же, вдобавок, функции f(x) и fn(x) при n = 1, 2,... не обращаются в нуль на X, то 1/fn(x) 1/ f(x) при n .
Замечание. Как показывает пример последовательности fn(x) = х + 1/n на прямой R1, условие конечности меры X существенно для справедливости следствия.
Следствие 2. Если (X) < , последовательность fn(x) f(x) и gn(x) g(x) при п , то fn(x)gn(x) f(x)g(x) при п .
Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы и его первого следствия и следующих равенств:
(fn(x) + gn(x))2 = fn2(x) + 2 fn(x) gn(x) + gn2(x), (f(x) + g(x))2 = f 2(x) + 2f(x)g(x) + g2(x).
.
Следствие 3. Если (X) < , последовательность fn(x) f(x) и gn(x) g(x) при п , причем функции g(х) и gп(х) при n = 1,2,... не обращаются в нуль на X, то fn(x)/gn(x) f(x)/g(x) при п .
4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
Рассмотрим вопрос о сравнении приведенных сходимостей последовательностей измеримых функций. Приведем пример.
Пример 1. Пусть последовательность функций fn(x) на числовой прямой задана равенством: . Нетрудно видеть, что эта последовательность всюду сходится к единичной функции. Вместе с тем {x R: |1 – fn(x)| = (-, -n)(n, +) > ½} = и последовательность fn(x) не сходится по мере к единичной функции.
Таким образом, в общем случае из сходимости почти всюду не вытекает сходимость по мере. Однако критерий сходимости почти всюду позволяет легко установить следующую теорему.
Теорема 7 (Лебега). Если (Х) < и последовательность функций fn(x) f(x) почти всюду на X, то fn(x) f(x).
Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и почти всюду на множествах конечной меры? Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Пример 2 (Рисса). Существует последовательность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не сходящаяся почти всюду.
Для n = 0, 1,... и k = 0, 1,.. .2n – 1 положим
.
Геометрически эта последовательность строится по пачкам (по различным n).
Следующая 4 пачка будет состоять уже из 8 функций, которые будут принимать значения 1 на отрезках длины 1/23. Вообще n-ая пачка будет состоять 2n – 1 функций, которые равны 1 на отрезке длины 1/2n – 1, а в остальных точках они нули. Ясно, что для любого > 0 (будем еще считать, что < 1) и любой функции gn(x) из n-ой пачки выполняется равенство {x [0, 1]: |gn(x)| > } = 1/2n – 1. Это означает, что построенная последовательность функций сходится по мере к нулевой функции. Вместе с тем данная последовательность не сходится к 0 ни в одной точке. Действительно, не трудно видеть, что для любой точки х0 [0, 1] в каждой пачке найдется функция, которая в этой точке обращается в 1.
Теорема 8 (теорема Рисса). Пусть (X, , ) –пространство с -конечной мерой и последовательность fn(x) f(x) на X. Тогда существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}, что f(x) при п почти всюду на X.
Доказательство. Сначала предположим, что (Х) < . Возьмем n0 = 1 и для k = 1, 2,... выберем натуральное пk > пk - 1 так, чтобы
.
В силу сходимости по мере такая последовательность индексов найдется.
Докажем, что последовательность f(x) почти всюду на X. Действительно, если заданы > 0 и > 0, то подберем m0 так, чтобы и . Тогда при т>т0 имеем
Применяя теорему 3, убеждаемся в справедливости доказываемого утверждения в случае конечной меры.
Пусть теперь мера -конечна на X, т. е. X = где (Xn) < при n = 1, 2,... Поскольку fn(x) f(x) на X, для любого i последовательность fn(x) f(x) на Xi. Согласно уже доказанному, можно выделить подпоследовательность f1,n(1) f(x) почти всюду на X1. Поскольку эта подпоследовательность по-прежнему сходится по мере на любом Xi., из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследовательность f2,n(2) f(x) почти всюду на X2. Продолжая этот процесс дальше, и рассматривая диагональную последовательность { fk,n(k) }k=1, видим, что для любого i эта последовательность сходится почти всюду на Xi., т. е. почти всюду на X, что и требовалось доказать.
5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
Определение 6. Последовательность функций { fn(x)} на множестве Е сходится почти равномерно к функции f(x), если для любого > 0 найдется такое множество А меры (А) < , что последовательность сходится равномерно к функции f(x) на множестве Е\А.
Из почти равномерной сходимости следует сходимость почти всюду. В самом деле, возьмем в этом определении величину = 1/n и соответствующие множества А =Ап меры (Аn) < 1/п. Тогда, полагая А = , мы получим (A) = 0, при этом предел последовательности существует и равен f(x) = limfn(x) при всех х Е\А.
Теорема Егорова утверждает, что на множествах конечной меры почти равномерная сходимость равносильна сходимости почти всюду.
Теорема 9 (теорема Егорова). Если (Х) < и последовательность функций fn(x) f(x) почти всюду на X, то fn(x) сходится к f(x) почти равномерно на Х.
Доказательство. Из критерия сходимости почти всюду (теорема 3) следует, что для каждого т найдется такое пm , что
.
Положим . Тогда .
Если теперь задано некоторое > 0, то, выбирая натуральное т так, чтобы . получим, что при k > пт справедливо неравенство: |fk(x) – f(x)| 1/m < для любого x Е, а это и требовалось установить.
Пример 1 последовательности функций показывает, что без условия конечности меры теорема Егорова, вообще говоря, неверна.
Следующая теорема Лузина устанавливает связь между свойствами измеримости и непрерывности функций. Рассмотрим измеримое пространство (R, , ) меры Лебега на прямой R.
Определение 7. Говорят, что функция f: Е R обладает С-свойством на множестве Е R, если для любого > 0 найдется такое измеримое множество А с мерой (A) < , что на его дополнении Е \А функция f непрерывна.
Теорема 10 (Лузина). Предположим, что функция f определена на измеримом множестве Е R. Тогда функция f измерима в том и только в том случае, когда она обладает С-свойством на множестве Е.
Необходимость. Обозначим через {Ik} систему всех интервалов на прямой R с рациональными концами. Эта система счетна, так что индекс k N.
В силу свойства измеримости множества f -1(Ik) R для любого > 0 существуют такое открытое Gk, и такое замкнутое Fk множества на прямой R, что выполняются следующие условия:
Fk f -1(Ik) Gk, (Gk – Fk) < /2k.
Тогда измеримое множество А = имеет меру (А) < . Так как каждое из множеств (Gk – Fk) является открытым, как разность открытого и содержащегося в нем замкнутого множества, то множество А открыто. Так как справедливо равенство (докажите)
f -1(Ik) - А = Gk(E - А),
то множество f -1(Ik) - А является открытым в E - А в индуцированной топологии. Поскольку любой интервал I R является объединением интервалов с рациональными концами, то его прообраз f -1(I) также открытый в E - А. Следовательно, наша функция f непрерывна на множестве E - А.
Достаточность. Если функция обладает С-свойством на множестве Е, то для каждого k N найдется такое измеримое множество Аk меры (Аk) < 1/k, что на его дополнении Е\Аk функция будет непрерывной. Ясно, что множество А = - имеет меру нуль.
По условию непрерывности на E\Ak для любого интервала I R множество f -1(I) – Аk является открытым в Е\Аk. Поэтому найдется такое открытое множество Gk, что f -1(I) – Аk = Gk(E – Аk). Отсюда множество
f -1(I) – А =
будет открытым и следовательно измеримым. Поэтому прообраз f -1(I) измерим, а значит и функция f измерима на множестве Е.
Задачи
1. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множества А и А1 из , причем А1 А, а функция f (x) измерима на А. Доказать, что f (x) измерима на А1.
2. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множества Аi из , а функция f (x) измерима на Аi при всех i. Доказать, что f (x) измерима на множестве .
3. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , - некоторое всюду плотное множество в R, а функция f : А R{–}{+} такова, что для каждого n множества . Доказать, что функция f (x) измерима на А.
4. Пусть n 1 и G Rn – открытое множество. Пусть также функция f (x) непрерывна на G. Доказать, что f (x) измерима на G относительно классической меры Лебега.
5. Построить функцию f (x) на [0, 1], измеримую на [0, 1] относительно меры Лебега, но разрывную в каждой точке.
6. Пусть (X, , ) измеримое пространство с полной мерой , А, а функция f (x) измерима на А. Пусть g(x) – функция эквивалентная f (x) на А. Доказать, что g(x) – измеримая функция на А.
7. Пусть (X, , ) измеримое пространство, А, а функция f 3(x) измерима на А. Доказать, что f (x) также измерима на А.
8. Построить такую функцию f (x) на [0, 1], что f 2(x) измерима относительно меры Лебега на [0, 1], но f (x) неизмерима относительно этой меры.
9. Построить непрерывную неубывающую функцию (х) на [0, 1], не являющуюся на этом отрезке постоянной, для которой (х) = 0 почти всюду на [0, 1].
10. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , и – последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество В = {x A: существует } измеримо, и что функция измерима на В.
11. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , и - последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество С = {x A: существует конечный } измеримо, и что функция измерима на С.
12. Пусть (a, b) R и f (x) С(a, b). Доказать, что множество А = {x (a, b): существует конечная f (x)} измеримо относительно меры Лебега на (a, b) и что f (x) измерима на А.
13. Пусть (А) < и fn(x) f (x) и gn(x) g (x) при n на А, причем f (x) 0 на А и fn(x) 0 на А при каждом n. Доказать, что при n на А.
14. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на R, для которых fn(x) f (x) при n на R, но fn2(x) не сходится по мере к f 2(x) при n на R.
15. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на (0, ), для которых fn(x) f (x) при n на (0, ), но не сходится по мере к при n на (0, ).
16. Пусть последовательность сходится по мере на множестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т.е. для любых > 0 и > 0 существует такое N, что при n, m N выполнено неравенство
.
17. Пусть последовательность фундаментальна по мере на множестве А. Доказать, что существует такая конечная измеримая функция f (x) на А, что fn(x) f (x) при n на А.
18. Доказать, что последовательность не сходится по мере на [0, ].
19. Доказать, что последовательность , где fn(x) = xn, сходится по мере на [0, 1], но не сходится по мере на [0, 2].
20. Доказать, что если f (x) имеет производную f (x) во всех точках отрезка [a, b], то эта производная является измеримой функцией на отрезке [a, b].
21. Пусть последовательность сходится по мере на Е к функции f (x). Доказать, что если для всех n имеет место неравенство fn(x) a почти всюду на Е, то f (x) a почти всюду на Е.
22. Пусть – характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция f измерима на R независимо от того, какова функция f .
23. Пусть f – измеримая на Е функция и Е1 – произвольное измеримое множество на числовой прямой. Обязано ли множество f -1(E1) быть измеримым?
24. Пусть f – непрерывная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.
25. Пусть f – монотонная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.
26. Пусть множество Е [a, b] измеримо. Доказать, что функция f (x) = (E[x, b]) монотонна и непрерывна на [a, b].
ГЛАВА 5 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывными всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.
Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.
Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная -аддитивная мера , определенная на -алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А Х будут предполагаться измеримыми, а функции f(x) – определенными для x Х и измеримыми. Далее предполагается, что (Х) < .
Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматривается конечная функция f(x), заданная на отрезке [a, b]; этот отрезок разбивается на части точками x0 = a x1 x2 xn = b, в каждой части [xk, xk+1] выбирается точка k и составляется риманова сумма
= .
Если сумма при стремлении к нулю числа = (xk+1 – xk) стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек k, то этот предел I называется интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом
.
Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут
(R).
Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.
Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегрируема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируемые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.
Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Дирихле , которая определяется на отрезке [0, 1] следующим образом
Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма обращается в 0, если все точки иррациональны и = 1, если все рациональны.
Таким образом, риманово определение интеграла страдает существенными недостатками – даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми. Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства. Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана , мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] (назовем их через e0, e1, , en-1), в каждой части ek берем точку k и, составив сумму = , требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек k в множествах еk. Иначе говоря, каждая точка х из множества еk может быть взята за k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы . А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки k мало изменяет величину f(k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества ek? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо еk есть малый отрезок [xk, xk+1].
Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции, и мы вправе ждать, что изменение точки k в пределах множества ek мало влияет на величину суммы , но для функция разрывной это вовсе не так.
Иначе можно сказать, что множества ek составлены так, что только для непрерывных функций значение f(k) можно считать естественным представителем других значений функции на ek.
Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».
Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества ek не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не отрезок [a, b], расположенный на оси абсцисс, а отрезок [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):
A = y0 y1 yn = B
Если составить множества ek так: ek = E(yk f yk+1), то ясно, что различным точкам х еk и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.
В частности, хорошим представителем значений функции на множестве ek может служить, например, yk, так что естественно положить в основу понятия интеграла сумму
.
Перейдем теперь к точному изложению вопроса. Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем A f(x) B. Разобьем отрезок [А, В] на части точками yo = A y1 y2 yn = B и соотнесем каждому полусегменту [уk , уk+1) множество ek = E(yk f yk+1). Легко проверить четыре свойства множеств ek:
1) Множества ek попарно не пересекаются: ekei = (k i).
2) Эти множества измеримы.
3) E =
4) (Е) =
Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:
s = S =
Если мы положим = (yk+1 – yk), то будем иметь
0 S – s (E).
Основное свойство сумм Лебега выражает
Лемма 1. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s0 и S0. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется s0 s, S S0.
Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Доказательство. Допустим, что
yi yi+1. (1)
Тогда при k i полусегменты [yk, уk+1), а с ними и множества ek, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [yi, yi+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами [yi,), [, yi+1), в связи с чем и множество ei разбивается на два множества = E(yi f ), = E( f yi+1). Очевидно, что ei = + , = , так что
(ei) = () + (). (2)
Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s0 заменой слагаемого yi (ei) двумя слагаемыми yi () + (), откуда, в связи с (1) и (2), следует, что s s0.
Для верхних сумм рассуждение аналогично.
Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.
Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, отрезка [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s1 и s2 и верхние суммы S1 и S2.
Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s3 и S3, то, в силу леммы, s1 s3, S3 S2, откуда, в связи с тем, что s3 S3, ясно, что s1 S2, а это и требовалось доказать.
Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S0. Так как для всякой нижней суммы s будет s S0, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{s}. Тогда, ясно, что U S0.
Ввиду произвольности суммы S0, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Обозначим через V его точную нижнюю границу V = inf{S}.
Очевидно, при любом способе дробления будет s U V S. Но, как мы отмечали, S – s (E), откуда 0 V – U (E) и, так как произвольно мало, то U = V.
Определение 1. Чисело U = V называется интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом
(L)
В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто
В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы
(L)
Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега. Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R).
К тому же интегралу Лебега можно подойти с другой стороны, используя суммы Дарбу, но в отличие от интеграла Римана, разбиения берутся по произвольным измеримым множествам, а не только по отрезкам. Дадим более точное определение.
Пусть = и = два разбиения Е измеримыми множествами: и f(x) – ограниченная измеримая функция на Е. Для каждого разбиения и функции определим нижнюю d(, f ) и верхнюю D(, f ) суммы Дарбу:
d(, f ) = , D(, f ) = ,
где , . Точные грани существуют в силу ограниченности функции f.
Разбиение множества Е, полученное в результате пересечения элементов разбиений и
= = , Ci, j = AiBj,
называется произведением разбиений.
Лемма 2. Пусть разбиение = является произведением разбиений и . Тогда справедливы неравенства
d(, f ) d(, f ) D(, f ) D(, f ).
Доказательство. Обозначим через ri, j и рi, j – нижнюю и верхнюю грани функции f на множестве Ci, j. Так как ai ri, j и pi, j bj при всех i и j, то используя аддитивность меры, мы имеем
откуда следует утверждение леммы.
Из доказанной леммы вытекает, что нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние – снизу. Вместе с тем, так как разбиения Лебега и суммы Лебега являются частными случаями разбиений и сумм Дарбу, легко получаем
.
Так как U = V, то мы получаем еще одно определение интеграла Лебега.
Теорема 1. В приведенных выше условиях справедливы равенства
.
Следствие 1. Для произвольного > 0 всегда существует разбиение ,для которого D(, f ) – d(, f ) < .
Доказательство. Из теоремы вытекает, что для любого > 0 существуют разбиения и , для которых D(, f ) – d(, f ) < . Если = есть произведение этих разбиений, то по лемме 3 получим D(, f ) – d(, f ) D(, f ) – d(, f ) < .
Из этой теоремы также следует, что значение интеграла Лебега, которое в силу изначального определения связано с числами А и В, на самом деле от них не зависит.
Теорема 2. Если 0, то суммы Лебега s и S стремятся к интегралу
Теорема непосредственно вытекает из неравенств
s S, S – s (E).
2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
В этом пункте мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.
Теорема 3 (о среднем). Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a f(x) b, то a (E) b (E).
Доказательство. Если мы положим A = a, B = b в определении интеграла, то окажется, что A f(x) B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя отрезок [А, В]. Но если A yk B, то, очевидно,
A B
или, что то же самое, a (E) s b(E),откуда и в пределе
a (E) b (E).
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то
= c (E).
Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3. Если (Е) = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет = 0.
Теорема 4 (полная или счетная аддитивность интеграла по области интегрирования). Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E = (EkEi = , k i ), то
=
Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е = E1 + E2 (E1 E2 = . Если на множестве Е A f(x) B и мы, раздробив отрезок [А, В] точками у0, y1, , уn, составим множества ek = E(yk f yk+1), ek= E1(yk f yk+1), ek= E2(yk f yk+1), то, очевидно, будем иметь ek = ek + ek (ekek = ), откуда
=+
и в пределе, при 0,
= +
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств. Остается рассмотреть случай, когда E = . В этом случае
= (E),
так что при n в силу свойства непрерывности меры будет 0. Заметив это, положим = Rn, причем (Rn) 0 при n . Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
= + .
В силу теоремы о среднем A (Rn) B (Rn), а в силу стремления меры множества Rn к нулю с возрастанием n, ясно, что 0. Но это и означает, что
=
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то =.
Действительно, если H = Е(f g), G = E(f = g), то (H) = 0 и = = 0.
На множестве же G обе функции тождественны и = . Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.
Достаточно очевидно, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на отрезке [–1, +1], так:
то
=+= -1 + 1 = 0,
хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю (f(x) 0), то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что E(f 0) = . Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что E = 0. Полагая A = E, B = Е - A, мы имели бы, что , 0, и, складывая эти неравенства, мы получили бы , что противоречит условию.
Теорема 5 (свойство аддитивности интеграла). Если на измеримом множестве E заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), то
= + .
Доказательство. Следующие неравенства достаточно очевидны:
d(, f ) + d(, g ) d(, f + g ) D(, f + g ) D(, f ) + D(, g ).
В силу следствия теоремы 1 крайние члены этих неравенств можно сделать сколько угодно близкими. Последнее предельным переходом приводит к необходимым равенствам.
Теорема 6 (свойство однородности интеграла). Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
= c.
Доказательство. Утверждение очевидно при с = 0.
Пусть c > 0 и А f(x) B. Разбиваем отрезок [A, B] и вводим множества ek. В силу теоремы о полной аддитивности по области интегрирования получаем
.
Но на множестве ek функция f(x) удовлетворяет неравенствам сyk f(x) < cyk + 1, так что в силу теоремы о среднем
.
Сложив все такие неравенства, получим
,
где s и S – интегральные суммы Лебега функции f(x). Нужное равенство получается предельным переходом в этих неравенствах и из теоремы 2.
Пусть, наконец, c < 0. Тогда
,
откуда следует теорема.
Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то
= –.
Теорема 7. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если f(x) F(x), то
.
Теорема 8. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то
Теоремы доказываются стандартно, как соответствующие неравенства для интеграла Римана.
3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
Пусть задано пространство с счетно-аддитивной мерой (Х, , ), которая уже не обязана быть конечной. Так же как и выше для произвольного множества Е и неотрицательной измеримой функции f (x) (которая может быть уже неограниченной) по разбиению строим верхние и нижние суммы Дарбу. В данном случае уже нельзя утверждать, что суммы являются ограниченными. Однако эти суммы остаются ограниченными снизу, так как функция f является ограниченной снизу.
Определение 2. Интегралом Лебега от измеримой и неотрицательной функции f (x) на множестве Е называется точная верхняя грань ее нижних сумм Дарбу
Неотрицательная измеримая функция f (x) называется интегрируемой по Лебегу на Е, если этот интеграл конечен.
Отметим, что данное определение для ограниченных функций не дает ничего нового (см. теорему 1).
Заметим также, что определение интеграла Лебега распространяется на функции, которые могут принимать и бесконечные значения. Необходимо только, чтобы множество точек, в которых функция f (x) обращается в бесконечность имела нулевую меру (такую функцию называют конечной почти всюду).
Пусть h – некоторая простая функция, принимающая значения y1, y2, … , yn, yi yj при ij, и пусть E – некоторое измеримое подмножество X.
Лемма 3. Интеграл от простой неотрицательной измеримой функции h(x) вычисляется по формуле
=,
где функция принимает значения yk 0 на множестве Hk .
Доказательство. Пусть задано произвольное разбиение = множества Е. Обозначим . Так как имеет место неравенство ai yj для любого х Bij = AiHj (если последнее множество не пусто), то из аддитивности меры следует
.
Если разбиение в точности совпадет с системой {Hk}, то в этом неравенстве должен быть знак равенства. Лемма доказана.
Отметим, что для интегрируемости простой функции необходимо, чтобы мера множеств Hk, на которых она принимает не нулевые значения должна быть конечной. Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций
A) =+.
Для доказательства предположим, что f принимает значения fi на множествах Fi A, a g – значения gj на множествах Gj A, так что
J1==,
J2==.
Тогда в силу леммы 3
J = == = J1 + J2.
Б) Для любого постоянного k справедливо равенство =k (проверяется непосредственно.)
Лемма 3 позволяет на самом деле подойти к определению интеграла Лебега от неотрицательных измеримых функций еще с одной стороны.
Теорема 9. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции f (x) на множестве Е равен верхней грани интегралов от простых неотрицательных измеримых функций h(x) и таких, что h(x) f (x) при всех х Е, т.е.
.
Доказательство. Если h(x) f (x) при всех х Е, то из определения интеграла сразу следует, что .
С другой стороны, в силу леммы 3 каждая нижняя сумма Дарбу является интегралом от некоторой простой функции h(x) f (x). Отсюда верхняя грань интегралов простых функций совпадает с интегралом от f (x).
Полученная теорема позволяет подойти еще с одной стороны к определению интеграла.
Теорема 10. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции f (x) на множестве Е равен верхней грани интегралов от ограниченных неотрицательных измеримых функций h(x) таких, что h(x) f (x) при всех х Е, т.е.
.
Доказательство. Так как любая простая функция является одновременно ограниченной, имеем по теореме 9
,
где супремум взят по всем ограниченным неотрицательным измеримым функциям h(x) таким, что h(x) f (x) при всех х Е. Если функция р(х) является простой, неотрицательной, измеримой и удовлетворяющей неравенству р(х) h(x), то тем более р(х) f (x). Последнее по теореме 9 означает, что
для любой ограниченной неотрицательной измеримой функции h(x) такой, что h(x) f (x) при всех х Е. Это неравенство вместе с предыдущим доказывает теорему.
Полученная теорема позволяет получить значение интеграла еще одним способом, который позволяет легко перенести все основные свойства интеграла на произвольную неотрицательную функцию.
Пусть f (x) произвольная неотрицательная измеримая функция. Введем понятие срезки этой функции
Ясно, что срезка является ограниченной измеримой функцией. При этом для любой ограниченной неотрицательной измеримой функции h(x) такой, что h(x) f (x) найдется номер N такой, что выполняется неравенство h(x) [f ]n (x) для n N. Последнее означает, что для n N справедливы неравенства
.
При этом внутренние интегралы возрастают с ростом n. Эта система неравенств и теорема 10 позволяют сформулировать следующий результат.
Теорема 11. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции f (x) на множестве Е равен пределу интегралов от срезок функций f (x), т.е.
.
Дадим теперь определение интеграла Лебега от произвольной измеримой функции. Для этого введем понятие положительной и отрицательной составляющих функций:
Введенные функции являются измеримыми. Достаточно очевидны представления f (x) = f +(x) + f –(x), |f (x)| = f +(x) – f –(x).
Определение 3. Интегралом Лебега от измеримой функции f (x) на множестве Е называется
.
При условии, что каждый интеграл, стоящий справа конечен, функция f (x) называется интегрируемой по Лебегу на Е и пишут f (x) L(E).
Данное определение сразу показывает, что если функция f (x) интегрируема, то интегрируемой является также функция | f (x)|.
Полученные в предыдущем пункте свойства интеграла от ограниченной функции, теорема 11 и определение 3 позволяют легко переформулировать свойства и в общем случае.
Теорема 12. 1) (полная или счетная аддитивность интеграла по области интегрирования). Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E = (EkEi = , k i ), то
=
2) Если интеграл от неотрицательной измеримой функции f(x) равен нулю, то эта функция эквивалентна нулю.
3) (свойство аддитивности интеграла). Если на измеримом множестве E заданы две интегрируемы по Лебегу функции f(x) и g(x), то
= + .
4) (свойство однородности интеграла). Если на измеримом множестве Е задана интегрируемая по Лебегу функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
= c.
5) (свойство монотонности интеграла) Пусть f(x) и F(х) интегрируемы на измеримом множестве Е. Если f(x) F(x), то
.
6) Если функция f(x)интегрируемая на измеримом множестве E, то
4. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых функций
f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x),
которая в каком-нибудь смысле (всюду, почти всюду, по мере) сходится к измеримой функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение
= (3)
Если (3) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.
Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn(x) определены на отрезке [0, 1] следующим образом:
то при всяком x [0, 1] будет fn(x) = 0, но = 1, и этот интеграл не стремится к нулю.
Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fn(x), чтобы равенство (3) все же имело место.
Теорема 13 (Лебега о монотонной сходимости). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1(x), f2(x), f3(x), неотрицательных измеримых функций, монотонно сходящаяся к измеримой функции F(х): fn(x) F(х). Тогда справедливо равенство
=
Доказательство. В силу монотонности интеграла существует конечный или бесконечный предел
I =.
Из неравенства fn(x) F(х) на множестве Е вытекает, что I . Докажем обратное неравенство.
Пусть простая неотрицательная измеримая функция h выбрана так, что h F(х) на множестве Е. Возьмем произвольное число 0 < < 1 и определим множества Еi = {x E: h(x) fi(x)}. Тогда Ei Ei + 1 и . Отсюда следует неравенство
I.
Обозначим Е0 = , тогда справедливо представление . В силу свойства счетной аддитивности интеграла (теорема 12)
.
Следовательно, переходя к пределу в доказанном выше неравенстве I вначале при i , а затем при 1, получим неравенство I. Отсюда по теореме 9 имеем неравенство I, что и доказывает теорему.
Лемма 4 (Фату). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1(x), f2(x), f3(x), измеримых неотрицательных функций, имеющая нижний предел . Тогда
.
Доказательство. Определим функции на множестве Е. Функции gk(x) являются неотрицательными, измеримыми и монотонно сходятся к f (x) на Е. По теореме о монотонной сходимости
= .
Из неравенства при всех i k вытекает
.
Отсюда, переходя к пределу при k , получим
.
Таким образом, неравенство доказано.
Теорема 14 (Лебега о мажорантной сходимости). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1(x), f2(x), f3(x), измеримых функций, сходящаяся п.в. к измеримой функции F(х). Если существует интегрируемая функция g(x), такая, что при всех п и при всех х выполняется неравенство g(x), то функция F(х) интегрируема на Е и справедливо равенство
=
Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Е будет g(x), а следовательно, F+(х) g(x) и (–F–(х)) g(x), что по определению 3 и теореме 12 влечет интегрируемость F(х).
Так как g(x) fi(x) 0 на множестве Е, то применяя лемму Фату и теорему 12, имеем
,
.
Мы здесь воспользовались тем, что g(x) fi(x) g(x) F(х) и тем, что верхний и нижний предел обладают следующим свойством:
,
,
в предположении существования предела . Используя свойства линейности интеграла, приходим к неравенствам
.
Последние неравенства, в силу свойств нижнего, верхнего и обычного предела, доказывают теорему.
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на отрезке [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть x0 [a, b] и > 0. Обозначим через m(x0) и М(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) на интервале (х0 - , x0 + ):
m(x0) = inf{f(x)}, M(x0) = sup{f(x)} (х0 - x x0 + ).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала (х0 - , x0 + ), которые лежат также и на отрезке [а, b].) Очевидно, m(x0) f(x0) M(x0).
Если уменьшается, то m(x0) не убывает, a M(x0) не возрастает. Поэтому существуют пределы (конечные или бесконечные)
m(x0) = m(x0), M(x0) = M(x0),
причем, очевидно, m(x0) m(x0) f(x0) M(x0) M(x0).
Определение 4. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 15 (Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было m(x0) = M(x0).
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное > 0, найдем такое > 0, что как только , так сейчас же . Иначе говоря, для всех х (х0 - , x0 + ) будет f(x0) - f(x) f(x0) + . Но отсюда следует, что f(x0) - m(x0) M(x0) f(x0) + , а стало быть, и тем более f(x0) - m(x0) M(x0) f(x0) + , откуда, ввиду произвольности , и вытекает доказываемое равенство. Итак, необходимость доказана.
Пусть теперь выполнено равенство m(x0) = M(x0). Тогда, очевидно, m(x0) = M(x0) = f(x0) и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.
Возьмем произвольное > 0 и найдем столь малое > 0, что
m(x0) - m(x0) m(x0), M(x0) M(x0) M(x0) + .
Такое найдется в силу определения функций Бэра. Эти неравенства означают, что
f(x0) - m(x0), M(x0) f(x0) + .
Если теперь x (х0 - , x0 + ), то f(x) лежит между m(x0) и M(x0), так что f(x0) - f(x) f(x0) + . Иначе говоря, из того, что вытекает, что , т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.
Теорема 16. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
Доказательство. Проведем доказательство для нижней функции Бэра, для верхней это делается аналогично.
Пусть х0 [a, b]{m(x) > c}. Тогда для некоторого > 0 выполняется неравенство m(x0) > c + . По определению нижней функции Бэра и свойствам предела найдется такое > 0, что m(x0) > c + , т.е. для любого x [a, b](x0 - , x0 + ) выполняется неравенство f(x) > c + . Пусть x1 [a, b](x0 - , x0 + ). Тогда найдется 1 > 0 такое, что (x1 - 1, x1 + 1) (x0 - , x0 + ) и, следовательно, . В силу определения нижней функции m(x1) с + > c. Этим показано, что [a, b](x0 - , x0 + ) [a, b]{m(x) > c} и множество [a, b]{m(x) > c} является открытым в [a, b], а значит и измеримым. Этим показано, что одно из множеств Лебега нижней функции Бэра измеримо и, следовательно, сама функция измерима.
Теорема 17 (Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R) на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Доказательство. По определению нижнего интеграла Дарбу и результатов математического анализа известно, что существует такая последовательность разбиений k = отрезка [a, b], что нижний интеграл Дарбу равен
,
где . В силу свойств монотонности сумм Дарбу, можно считать, что каждое следующее разбиение k + 1 является размельчением для предыдущего k и диаметры разбиений стремятся к нулю ( 0 при k ).
Определим последовательность простых функций
.
Ясно, что эта последовательность функций не убывает, и если х не является граничной точкой для всех промежутков ik разбиений k, то . Так как концов отрезков ik счетное число, то оно имеет меру нуль, и последовательность hk(x)m(x) п.в. Так как интеграл Лебега от простой функции hk(x) равен (лемма 3), по теореме о монотонной сходимости получаем
.
Аналогично устанавливается равенство для верхнего интеграла Дарбу
,
где .
В соответствии с общей теорией интеграла Римана для интегрируемости функции f(x) на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы верхний и нижний интегралы Дарбу совпадали. Следовательно,
или
Так как подинтегральная функция неотрицательна, то согласно теоремы 12, подинтегральная функция обязана быть равной 0 почти всюду, что по теореме 15 означает непрерывность функции f(x) почти всюду.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное ранее замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х). Но ведь т(х) f(x) М(х). Значит, почти везде f(x) = m(x), и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) = (L) .
Но, как известно из курса математического анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет si (R), где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Как показано выше si (L) , а, следовательно
(R) = (L) .
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 18. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле (x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 17 не обратима.
6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
Определение 5. Пусть — -алгебра с единицей X, а Ф — счетно аддитивная действительнозначная функция на М. Тогда Ф называется зарядом.
Определение 6. Пусть заряд Ф задан на -алгебре с единицей Х и множество А . Тогда множество А называется положительным (отрицательным) относительно Ф, если для любого множества В , В А выполнено неравенство Ф(В) 0 (Ф(В) 0).
Отметим, что для пустого множества в силу аддитивности заряда Ф() = 0, и пустое множество одновременно является положительным и отрицательным.
Лемма 5. Пусть Ф — заряд на -алгебре с единицей X, и пусть существует такое множество В , что Ф(В) < 0. Тогда найдется отрицательное множество Во , Во В, Ф(В0) < 0.
Доказательство. Если для любого A и А В имеем Ф(А) 0, то В само отрицательно. Предположим, что (В) = > 0. Сначала предположим, что (В) = +. Тогда можно выбрать измеримое множество А1 В так, что Ф(А1) > 1. При этом если В1 = В\А1, то Ф(В1) < Ф(В) < 0. Если (В1) < , то процесс заканчивается, а если нет, то можно выбрать измеримое А2 В1 так, что Ф(А2) > 1, и т. д. Предположим, что процесс этот бесконечен. Тогда мы получим последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств А1, А2,... с Ф(Аk) > 1 при k = 1, 2,... Но в этом случае , и мы приходим к противоречию (заряд по определению должен всюду на принимать конечные значения). Поэтому для некоторого k получим, что (Вk) < , причем Ф(Bk) < 0. В этом случае будем искать удовлетворяющее условиям леммы множество В0 среди измеримых подмножеств множества Вk. В дальнейшем, не ограничивая общности, считаем, что 0 < (В) <.
Выберем измеримое множество А1 В так, чтобы Ф(А1) > (В)/2, и пусть В1 = В\А1. Тогда Ф(В1) < Ф(В) и (В1) < (В)/2. Если (В1) = 0, то можно взять B0 = B1, в противном случае можно повторить изложенную выше операцию. В итоге либо на некотором шаге будет найдено отрицательное подмножество В, либо мы построим цепочку таких вложенных измеримых множеств В В1 В2 ..., что Ф(Вj + 1) < Ф(Вj) и (Bj) (B)/2j при j = 1, 2,... В этом случае можно взять .
Напомним (теорема 3.4), что заряд счетно аддитивен тогда и только тогда, когда он непрерывен: Ф(В0) = Ф(Вn). Тогда Ф(В0) < Ф(В), а из неравенства (Bj) (B)/2j следует, что не существует измеримого множества А В0 с Ф(А) > 0.
Теорема 19. Пусть Ф –заряд на -алгебре с единицей X. Тогда существует такое множество А+ , что оно положительно, а множество А_ = Х\А+ – отрицательно относительно заряда Ф. Представление X = А+ + А_ называется разложением Хана заряда Ф.
Доказательство. Обозначим множество всех отрицательных множеств A через _ и положим . Будем считать, что <0, иначе доказывать нечего (отрицательных множеств вообще нет). Пусть последовательность множеств из _ такова, что = . Тогда множество _ и для любого п выполнено неравенство Ф(А_) Ф(Аn) (в силу аддитивности заряда), откуда Ф(А_) = (поэтому, в частности, > –).
Докажем, что множество А+ = Х\А_ положительно. Если это не так, то существует измеримое В А+ с Ф(В) < 0. Согласно лемме 5, можно выбрать отрицательное множество В0 В с Ф(В0) < 0. Но в этом случае множество С = А_ + В0 отрицательно и Ф(С) <Ф(А_) = . Полученное противоречие доказывает теорему.
Установим единственность, в соответствующем смысле, разложения Хана.
Лемма 6. Пусть Ф – заряд на -алгебре с единицей X и В+ + В_ = X = А+ + А_ – два разложения Хана. Тогда для любого Е имеем Ф(ЕА+) = Ф(ЕВ+) и Ф(ЕА_) = Ф(ЕВ_).
Доказательство. Поскольку множество Е(А+\В+) одновременно является подмножеством и А+ и В_, Ф(Е(А+ \ В+)) = 0. Аналогично, Ф(Е(В+ \ А+)) = 0. Поэтому Ф(ЕА+) = Ф(Е(А+ В+)) = Ф(ЕВ+). Аналогично устанавливается второе равенство.
Определение 7. Если Ф — заряд на -алгебре с единицей X и X = А++А_ –разложение Хана, то можно однозначно определить две -аддитивные меры Ф+(Е) = Ф(ЕА+) и Ф–(Е) = –Ф(ЕА_). Разложение Ф = Ф+ – Ф– называется разложением Жордана заряда Ф, а мера Ф = Ф+ + Ф– – полной вариацией исходного заряда.
Определение 8. Пусть (X, , ) — -конечное измеримое пространство, а Ф – заряд на . Тогда Ф называется абсолютно непрерывным относительно меры , если из того что Е и (Е) = 0, вытекает, что Ф(Е) = 0.
Лемма 7. Пусть (X, , ) – конечное измеримое пространство, а Ф – -аддитивная мера на , абсолютно непрерывная относительно меры , и Ф не равен тождественно нулю. Тогда существуют такое натуральное число n и такое множество В , что (В) > 0 и В положительно относительно заряда n = Ф .
Доказательство. Пусть X = A+(i) + A_(i) – разложение Хана относительно заряда i, где i = 1, 2,... При этом можно считать, что А+(1) А+(2) ... Далее, пусть и . Очевидно, что X = А+ А_. Тогда для любого m имеем m(А_) <0, т. е. Ф(А_) , откуда Ф(А_) = 0. Поэтому Ф(А+) > 0, а следовательно, и (А+) > 0. Согласно свойству непрерывности меры найдется такое n, что (А+(n)) > 0. Но по определению множество А+(n) положительно относительно заряда n, что и завершает доказательство.
Теорема 20 (Радона—Никодима). Пусть (X, , ) — -конечное измеримое пространство, а Ф — заряд на , абсолютно непрерывный относительно меры . Тогда существует такая интегрируема по Лебегу функция f(x), что для любого А справедливо равенство
.
При этом если для некоторой другой интегрируемой функции g(x) равенство также выполняется для всех А , то f(x) = g(x) почти всюду относительно меры .
Доказательство. Благодаря наличию разложения Жордана, достаточно доказать теорему для случая, когда Ф – мера. Сначала рассмотрим случай (Х) < . Определим множество
.
Пусть также . Тогда найдется такая последовательность {fn(x)} F, что . Определим при n = 1, 2, … и хХ функцию gn(x) = . Тогда по следствию 2 леммы 4.1 gn(x) измерима на X, а поскольку , то и интегрируема при всех п. Проверим, что gn(x) F. Неотрицательность этой функции очевидна. Далее, в силу определения функции gn(x) ее можно представить в виде
, где X = .
Отсюда для любого А имеем
,
т. е. действительно gn(x) F. Заметим, что функции {gn(x)} образуют неубывающую на X последовательность. Определим функцию f(x) = . Поскольку при п = 1, 2,... S, то по теореме 13 о монотонной сходимости функция f(x) интегрируема и конечна почти всюду на X. Так как , то и функция f(x) F. Кроме того,
,
откуда .
Теперь рассмотрим заряд (А) = Ф(А) – для любого А . Этот заряд, очевидно, неотрицателен (т. е. является -аддитивной мерой) и абсолютно непрерывен относительно меры . Предположим, что заряд не равен тождественно нулю. Тогда по лемме 7 найдутся такое n и такое множество В , что (В) > 0 и для любого измеримого А В имеем , т. е. . Определим функцию h(x) = при x X. Тогда для любого А имеем
Поэтому h(x) F, в то время, как
Полученное противоречие показывает, что = 0 на , и для случая конечного измеримого пространства доказательство существования завершено.
Пусть теперь X = , где (En) < при n = 1, 2, … Согласно уже рассмотренному случаю, для каждого n найдется такая интегрируемая на En функция fn(x), что для любого множества А En = n
. (4)
Заметим, что все функции fn(x) неотрицательны на области своего определения. Продолжим их нулем на все множество X и положим . Тогда
,
откуда следует интегрируемость на Х функции f(x). Нужное нам равенство сразу вытекает из равенств (4) и счетной аддитивности заряда..
Проверим единственность с точностью до почти всюду построенной функции. Если для любого А
,
то, обозначая X1 = {xX: f(x) > g(x)} и Х2 = {х X: f(x) < g(х)}, получим, что
.
Последнее равенство возможно, только если (Х1) = 0. Аналогично, (Х2) = 0, и теорема Радона—Никодима полностью доказана.
7. -аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини
Обозначим через X = Х1Х2 прямое произведение пространств X1 и Х2. Каждая точка х = (x1, х2) этого пространства X является упорядоченной парой некоторых точек хi пространств Xi, i = 1, 2.
Если в пространстве Xi (i = 1, 2) задано полукольцо множеств i, то через = 12 будем обозначать произведение полуколец. По лемме 3.1 эта система множеств является полукольцом в пространстве X.
Предположим, что заданы меры mi на полукольцах i множеств пространств Xi, i = 1, 2. Тогда функция множества m = m1m2 определенная на системе множеств пространства X по формуле
m(А) = m1(А1)m2(А2), A = A1А2
называется прямым произведением мер mi.
Теорема 21. Пусть mi – счетно-аддитивные меры, заданные на полукольцах i, i = 1, 2.
Тогда функция множества m = m1m2 определенная на системе = 12 является счетно-аддитивной мерой.
Доказательство. Рассмотрим счетную сумму множеств
A, Ai 1, B, Bi 2.
Рассмотрим полукольцо 1А с единицей А. Тогда m1 является счетно-аддитивной мерой на 1А. В соответствии с теоремой 3.10 мы можем построить продолжение этой меры на -алгебру измеримых множеств 1. Обозначим это продолжение через 1. Определим функции hi(x1) = m2(Bi)(x1), i = 1, 2, … Эта функция является простой на А. Для каждого х1 А положим J(x1) = {i: x1 Ai} (заметим, что дизъюнктность множеств AiBi вообще говоря не влечет дизъюнктность множеств Ai). Так как для любого у В пара (х1, у) АВ, то выполняется равенство В = . В силу счетной аддитивности меры m2
.
Кроме того,
< .
Так как все функции, входящие в сумму неотрицательные и, следовательно, частичные суммы монотонно возрастают, можно в последнем равенстве поменять местами интеграл и сумму (теорема о монотонной сходимости)
.
Следовательно, функция множества m = m1m2 на является счетно-аддитивной мерой.
Определение 9. Мера в пространстве X, которая получается в результате стандартного продолжения прямого произведения мер m = m1m2 с полукольца = 12 на -алгебру измеримых множеств с единицей X называется произведением мер.
Далее мы считаем, что меры 1 и 2 заданы на -алгебрах 1 и 2 и произведение этих мер = 12 задано на -алгебре и является продолжением с 12.
Прежде чем мы сможем в полном объеме доказать теорему Фубини, установим некоторые ее частные случаи. Предварительно введем такое обозначение. Если множество Е X = Х1Х2, то при любом х Х1 обозначим через Е(х) Х2 соответствующее сечение, т. е. Е(х) = {уХ2: (х, у)Е}.
Аналогично, при любом у Х2 определяется сечение Е(у) Х1.
Теорема 22. Пусть меры 1 и 2 -конечны и полны, = 12, множество Е и (Е)<. Тогда для почти всех, относительно меры 1, точек хХ1 сечение E(x)2, функция 2(E(х)) интегрируема на Х1 и
. (5)
Здесь мы произвольным образом доопределяем функцию 2(E(х)) в тех точках, где она не существует. Разумеется, аналогичное представление остается справедливым, если мы поменяем ролями 1 и 2.
Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы справедливо для множеств Е 12, а тогда, в силу линейности обеих частей формулы (5), и для любого Е, представимого в виде конечного дизъюнктного объединения множеств из полукольца 12 (см. задачу 3.13).
Пусть теперь Е произвольное измеримое множество конечной меры. Рассмотрим его измеримую оболочку А (теорема 3.12). Тогда по построению измеримой оболочки Е = А\Н, где множество Н имеет меру нуль: (Н) = 0 и
, где Вij .
Пусть и . Тогда имеет место равенство и
,
причем множества Dnk имеют вид и обязаны принадлежать минимальному кольцу, содержащему . Заметим, что эта последовательность множеств не убывает Dn1 Dn2 …и 2(Dnk(x)) 2(Cn(x)). Поэтому по теореме о монотонной сходимости интеграла утверждение леммы верно для множеств Сn. Аналогично, последовательность множеств С1 С2 … не возрастает и 2(Cn(x)) 2(A(x)). Значит утверждение верно для множества A.
Осталось проверить утверждение для множеств Н Х1X2 меры нуль, (H) = 0. Пусть F есть измеримая оболочка множества H, тогда (H) = (F) = 0, и по доказанному выше, мы имеем равенство
(H) = (F) = = 0
Из свойств интеграла Лебега вытекает, что п. в. сечения вида F(х) имеют меру нуль, 2(F(х)) = 0. Так как H(х) F(х), то тем более 2(Н(х)) = 0 при п в. х X. Следовательно, функция f(x) = 2(Н(х)) эквивалентна нулю и утверждение доказано.
В доказанной теореме переменные х и у можно поменять местами. Поэтому п. в. сечения Е(х) 2 и Е(у) 1 измеримого множества Е конечной меры будут измеримы, функции f(x) = 2(Е(х)) и g(y) = 1(E(у)) эквивалентны измеримым функциям, при этом имеют место равенства
.
Применяя счетную аддитивность интеграла и теорему о монотонной сходимости, нетрудно доказать теорему и для множеств Е -конечной меры. Таким образом, п. в. сечения Е(х) и Е(у) множества -конечной меры измеримы, a f(x) = 2(Е(х)) и g(y) = 1(E(у)) эквивалентны измеримым функциям. Если Е не имеет -конечной меры, то утверждение леммы может быть неверным.
Пусть для множества Е X = Х1Х2 функция f действует из Е в R. Тогда функция fх(у) = f (х, у), определенная на множестве Е(х), называется сечением функции f по переменной х. Если Е(х) пусто, то по определению полагаем fх(у) = 0.
Теорема 23 (Фубини). Если функция f интегрируема на множестве Е -конечной меры, то при почти всех хХ сечения fx измеримы на множестве Е(х), при почти всех yХ2 сечения fy измеримы на множестве Е(у), а их интегралы
,
эквивалентны измеримым функциям. При этом
.
Доказательство. Мы докажем теорему для сечений по переменной х. Вначале предположим, что для простых функций теорема уже доказана. По определению интеграла Лебега каждая интегрируемая функция является разностью f = f+ – (–f_) неотрицательных интегрируемых функций. Поэтому нам достаточно рассмотреть неотрицательные интегрируемые функции f 0.
В этом случае существует монотонная последовательность простых неотрицательных интегрируемых функций fn f, сходящаяся к функции f на множестве Е. Так как сечения этих функций fnxfx сходятся монотонно на множестве Е(x), то по теореме о монотонной сходимости при п. в. x Х1 имеет место равенство
.
Заметим, что по предположению интегралы от простых функций fnx не убывают и эквивалентны измеримым функциям. Поэтому можно еще раз применить теорему о монотонной сходимости. Таким образом, интеграл будет также эквивалентен измеримой функции и
.
Докажем теорему для простых интегрируемых функций. В силу свойства линейности интеграла нам достаточно рассмотреть только характеристические функции f = E измеримых множеств Е конечной меры (Е) < . В этом случае теорема Фубини принимает вид
.
При этом утверждается, что сечения Ех 2 измеримы при п. в. х Х1 и функция g(x) = 2(Е(x)) эквивалентна измеримой функции. Таким образом, мы свели теорему к уже доказанной теореме 22.
Следует отметить, что в общем случае даже существование обоих повторных интегралов и их равенство не влечет существования двойного интеграла.
Задачи
1. Интегрируема ли по Риману на отрезке [0, 1] функция f (x), которая равна х3 если х иррационально, и равна 1, если х рационально. Интегрируема ли она по Лебегу на отрезке [0, 1]? Если да, то чему равны эти интегралы?
2. Пусть f (x) – неотрицательная интегрируемая функция на Е и E{ f (x) c} = a. Доказать, что .
3. Пусть f (x) – интегрируемая на [a, b] функция. Доказать, что если при любом c [a, b], то f (x) = 0 почти всюду на [a, b].
4. Интегрируемы ли по Лебегу функции 1/х и 1/х2 на интервале (0, 1)?
5. Пусть ограниченная функция f (x) интегрируема по Лебегу на множестве Е. Будут ли интегрируемы по Лебегу на этом множестве функции (f (x))10, | f (x)|, 1/ f (x), cos f (x)?
6. Пусть функция f (x) неотрицательна и измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что эта функция интегрируема на Е тогда и только тогда, когда сходится ряд , где Еk = E{k f (x) k + 1}.
7. Доказать, что если функция f (x) интегрируема на отрезке [0, a], то при любом k > 0 функция f (kx) интегрируема на отрезке [0, a/k] и
.
8. Пусть функция f (x) измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что существует положительная измеримая на Е функция (х) такая, что произведение f (x) (х) интегрируемо на Е.
9. Привести пример функции f (x), которая непрерывна на промежутке (a, b], имеет сходящийся несобственный интеграл Римана (R), но не является интегрируемой по Лебегу на (a, b).
10. Пусть - последовательность измеримых на Е ограниченных неотрицательных функций. Пусть 0 при n . Следует ли из этого, что fn(x) 0 при n всюду или хотя бы почти всюду на Е?
11. Построить на каком-либо множестве Е конечной меры последовательность ограниченных измеримых функций , сходящуюся почти всюду на Е к функции , которая не интегрируема на Е.
12. Доказать, что измеримая на множестве Е конечной меры неотрицательная функция f (x) и нтегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда сходится ряд , где Ek = E{ f (x) k}
13. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b]. Доказать, что если функция f (x) интегрируема по Лебегу на отрезке [a, b], то существует несобственный интеграл в обычном смысле на этом отрезке и его значение совпадает со значением интеграла Лебега.
14. Доказать, что существует функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b], для которой несобственный интеграл на отрезке [a, b] сходится, а интеграл Лебега на этом отрезке не существует.
15. Пусть f (x) – измеримая функция, определенная на множестве Е конечной меры. Определим срезки функции
.
Назовем Q-интегралом функции f (x) следующий предел (если он существует)
.
Доказать, что функция f (x) интегрируемая по Лебегу на Е также Q-интегрируема и интегралы равны.
16. Привести пример не интегрируемой по Лебегу функции, у которой Q-интеграл существует.
17. Доказать, что для неотрицательной измеримой функции f (x) из существования Q-интеграла вытекает интегрируемость по Лебегу функции f (x).
18. Доказать, что любая измеримая нечетная на отрезке [-a, a] функция f (x) Q-интегрируема на этом отрезке.
19. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то она Q-интегрируема на любом его измеримом подмножестве?
20. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то функция с f (x) также Q-интегрируема на множестве Е и справедливо равенство
?
21. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x) и g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то функция f (x) + g(x) также Q-интегрируема и справедливо равенство
.
22. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x), g(x) и f (x) + g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то справедливо равенство
.
23. Пусть на отрезке [а, b] задана конечная вещественная функция f (x). Разобъем отрезок [а, b] на части точками x0 = a < x1 < …< xn = b и составим сумму
.
Точная верхняя грань всевозможных сумм V называется полной вариацией функции f (x) на отрезке [а, b] и обозначается . Если полная вариации f (x) конечна, то функция называется функцией ограниченной вариации. Доказать, что любую функцию ограниченной вариации можно разложить на разность двух невозрастающих функций.
24. Показать, что функция ограниченной вариации f (x), непрерывная слева, определяет равенством v([с, d)) = f (d) - f (c) заряд на полукольце 1[а, b] (см. глава 3).
ГЛАВА 6 НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
Линейным (или векторным) пространством называется множество X, для которого определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами:
1) x+y=y+x;
2) (x+y)+z=y+(x+z);
3) Существует такой элемент (нулевой) 0X, что x+0=x для любого x;
4) Для всякого xX существует обратный (x), т.е. такой, что x+(x)= 0;
5) ()x=(x)
6) (+)x=x+x;
7) (x+y)=x+y
8) 1x=x.
Векторы x1, x2,…, xn называются линейно независимыми, если из равенства 1x1 + 2x2 +…+ nxn = 0 следует, что 1 = 2 =…= n = 0. В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любая система из большего числа векторов является линейно зависимой.
Любой набор из п линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом линейного пространства. Всякий вектор п-мерного пространства представим единственным образом в виде линейной комбинации 1x1 + 2x2 +…+ nxn по базису {x1,…, xn}. Если в линейном пространстве существует сколь угодно много линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным.
Множество векторов в X, замкнутое относительно операций сложения и умножения на числа, называется линейным многообразием. Множество векторов М, которое вместе с любыми двумя точками содержит прямую, проходящую через них, называется аффинным многообразием. Если x и y – две точки из М, то любая точка прямой, проходящей через x и y представима в виде x +y при некоторых числах , таких, что + = 1. Аффинное многообразие, содержащее нулевой вектор, является линейным многообразием. Линейное многообразие всегда является аффинным многообразием.
Множество М в линейном пространстве называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Если x и y – две точки из М, то любая точка отрезка, соединяющего x и y представима в виде x +y при некоторых числах , таких, что , 0, + = 1. Отрезок с концами x и y обозначается [x, y].
Определение 1. Множество E называется линейным нормированным пространством, если
1. E - линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа.
2. Каждому элементу x линейного пространства E ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается , причём предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы)
1) 0, причём = 0 лишь если x = 0 (нуль векторного пространства);
2) (неравенство треугольника для норм)
3)
В случае, когда рассматриваются несколько нормированных пространств, указание в каком пространстве рассматривается норма, осуществляется следующим образом: ||x|X||, ||y|Z|| и т.д.
В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства
Легко проверить, что введённое расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов {xn} к x, а именно
x=lim xn или , если при .
Определённая таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостью по норме.
Если линейное нормированное пространство является полным в смысле сходимости по норме, то оно называется банаховым пространством.
Пример 1. n-мерное векторное пространство является банаховым пространством, с нормой
=,
причёт метрика, порожденная нормой, в этом пространстве совпадает с ранее введённой в Rn метрикой.
Пример 2. С[a, b] есть банахово пространство с нормой
=,
Метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее введённой в C[a, b].
Пример 3. есть банахово пространство с нормой
=, , 1 p <
Метрика полученного пространства совпадает с прежней метрикой.
Пример 4. Lp[a, b] есть банахово пространство с нормой, 1 p <
=, .
Свойство треугольника нормы вытекает из неравенства Минковского (см. Приложение). Полнота этого пространства будет установлена в главе 8.
Пример 5. Сk[a, b] – есть банахово пространство с нормой
=.
Пример 6. m – банахово пространство, с нормой
= ,
метрика в котором совпадает с метрикой, введенной ранее.
Пример 7. L[a, b] – банахово пространство измеримых, п.в. ограниченных функций с нормой
= = ess sup |x(t)|.
Полнота этого пространства будет доказана в главе 8.
Не все ранее рассмотренные метрические пространства являются нормированными. Нельзя ввести норму, порождающую ту же топологию, что и метрика, например, в пространстве числовых последовательностей s.
Отметим непрерывность основных линейных операций в линейном нормированном пространстве, а именно:
Если xn x, yn y, n , то тогда xn + yn x + y, nxn x. Это следует из соотношений
+.
+ .
Далее нетрудно видеть, что если xn x, то ||xn|| ||x||, и, в частности, ||xn|| есть ограниченная числовая последовательность. Это вытекает из обратного неравенства треугольника:
| ||x|| - ||y|| | ||x – y||,
легко вытекающего из неравенства треугольника.
Так как линейное нормированное пространство есть метрическое пространство, то для такого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах (шар, ограниченное множество, компактность, сепарабельность и т.д.), а также имеют место все теоремы, доказанные для таких пространств.
Для банаховых пространств будет справедливым все, что было ранее установлено для полных метрических пространств.
Пусть L – линейное многообразие линейного нормированного пространства Е. Если L , кроме того, является замкнутым множеством, то L называется подпространством.
Если L – конечномерное линейное многообразие линейного нормированного пространства, то, как мы увидим ниже, =L . Для бесконечных линейных многообразий это равенство может не иметь место.
Пример 8. Пусть E = C[a,b] и L – линейное многообразие, порожденное элементами
x0 = 1, x1 = t, …, xn = tn,…
Тогда L – множество всех многочленов. При этом в силу теоремы Вейерштрасса
= C[a,b] L.
Пусть x1, x2, …, xn, … – элементы нормированного пространства Е. Выражение вида назовём рядом, составленным из элементов пространства . Этот ряд называется сходящимся и имеет сумму х, если последовательность частных сумм сходится по норме к х при .
Для рядов в нормированных пространствах вводится понятие абсолютной сходимости: если сходится числовой ряд
.
В нормированных пространствах справедлив следующий признак полноты пространств.
Теорема 1. Для того чтобы нормированное пространство Х было полным необходимо и достаточно, чтобы из абсолютной сходимости ряда вытекала его сходимость.
Необходимость. В силу полноты пространства Х для сходимости последовательности достаточно, чтобы она была фундаментальной. Но это с очевидностью следует из неравенства
,
где последняя оценка вытекает из критерия Коши сходимости числового ряда .
Достаточность. Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность xn в Х. В силу фундаментальности этой последовательности для = 1/2k найдется номер nk такой, что при n, m nk выполняется неравенство ||xn – xm|| < 1/2k. Возьмем подпоследовательность и построим по ней последовательность y1 = , yk = . В силу оценки ||yk|| = |||| < 1/2k, ряд сходится абсолютно, а следовательно и сходится. Тогда частичные суммы этого ряда Sm = сходятся. Итак, взятая нами фундаментальная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. В силу леммы 2.4 и сама последовательность сходится.
Пусть X – нормированное пространство, а М – подпространство в X. Введем на Х отношение эквивалентности, полагая х у если х - у М. Элементы пространства X разобьем на непересекающиеся классы эквивалентности [х], [z], ... Элемент х [х] будем называть представителем класса [х]. Если х — представитель класса [х], то любой другой представитель [х] будет иметь вид х + z, где z М. Множество всех таких классов называется фактор-пространством пространства X по подпространству М и обозначается = Х/М.
Введем в операции сложения классов и умножения класса на число. Пусть х [х], у [у], тогда класс [х] + [у] определим как класс, представителем которого является элемент х + у. Далее, класс а[х], где а – число, определим как класс, содержащий ах.
Введем в норму по формуле
||[x]|| = .
Аксиомы нормы проверяются достаточно несложно (проверьте!). Итак, – нормированное пространство.
Теорема 2. Если X полное, то и полное.
Доказательство. Покажем сначала, что если последовательность {[х]n} фундаментальна в , то найдется последовательность номеров {n(k)} такая, что соответствующая ей подпоследовательность представителей {хn(k)} X (хn(k) [х] n(k)) сходится в X.
Действительно, возьмем n(k) такими, чтобы ||[x]n(k + 1) – [x]n(k)|| < 1/2k, k = 1, 2, ... Из определения нормы в следует существование zk [x]n(k + 1) – [х]n(k) таких, что ||zk|| < 1/2k, k = 1, 2, ... Рассмотрим в X сходящийся ряд хn(1) + z1 + z2 + ... и пусть х — его сумма. По построению хn(k) х, k и
Отсюда и из фундаментальности {[х]n} заключаем, что [х]n(k) [x], где [х] – класс, содержащий х. Теорема доказана.
2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
Пусть даны два линейных нормированных пространства Е1 и Е2. Мы будем называть эти пространства изоморфными, если существует взаимнонепрерывное (гомеоморфизм) биективное отображение Е1 на Е2. Имеет место следующая важная теорема:
Теорема 3. Все конечномерные линейные нормированные пространства данного числа измерений n изоморфны евклидову n-мерному пространству Rn и, следовательно, изоморфны друг другу.
Доказательство. Пусть Е есть n – мерное линейное нормированное пространство с нормой |||E|| и е1,…,еn - базис этого пространства. Тогда любой элемент однозначно представим в виде
x= ξ1e1+ …+ ξnen.
Поставим элементу в соответствие элемент
= (ξ1, …, ξn) Rn
Очевидно, что таким образом установленное соответствие между элементами x и является взаимно однозначным. Кроме того, это соответствие есть изоморфизм линейных пространств Е и Rn. Покажем, что оно взаимно непрерывно.
Для любого имеем
(1)
В частности,
, (2)
где β не зависит от x и y.
Установим теперь неравенство противоположного знака. На поверхности S единичного шара пространства Rn (т.е. на компактном замкнутом множестве) рассмотрим функцию
Так как на S все ξi не могут одновременно обращаться в нуль, то в силу линейной независимости е1,…,еn имеем
.
Неравенство
показывает, что - непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса эта функция достигает на S своего минимума α. Легко видеть, что α>0. Следовательно, для
откуда для любого имеем
(3)
Из (1) и (3) следует взаимная непрерывность отображения E на Rn. Теорема доказана.
Из гомеоморфизма E и Rn следует, что в конечномерном линейном нормированном пространстве сходимость по норме сводится к покоординатной сходимости и поэтому такое пространство всегда полное.
Для подпространства линейного нормированного пространства имеет место следующее важное предположение, установленное Ф. Риссом:
Теорема 4 (лемма Рисса о почти перпендикуляре). Пусть L – подпространство линейного нормированного пространства Е, несовпадающее с Е. Тогда для любого заданного ε > 0 найдётся в Е такой элемент y с нормой, равной единице, что
для всех x L.
Доказательство. Пусть y0 – любой элемент из Е, не принадлежащий L, и
Тогда d > 0, так как иначе y0 был бы предельным элементом для L и, следовательно, в силу замкнутости L, входил бы в L, что невозможно по условию. Далее
Положим .
Элемент (т.к. иначе входил бы в L) и Возьмём любой элемент . Пусть , L. Тогда
,
что и требовалось доказать.
Известно, что в n-мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное множество компактно. Докажем, что компактность ограниченных множеств, есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств.
Теорема 5 (теорема Рисса о локальной компактности). Для того, чтобы подпространство L линейного нормированного подпространства Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множество элементов из L было относительно компактно.
Необходимость. Пусть L n-мерно. Тогда L гомеоморфно n-мерному евклидову пространству Rn. Ограниченное множество взаимно однозначно и взаимно непрерывно преобразуется в ограниченное множество N Rn, и так как N в Rn относительно компактно, то M в L также относительно компактно.
Достаточность. Предположим, что каждое ограниченное множество элементов из L относительно компактно. Возьмем в L произвольный элемент x1, . Обозначим через подпространство, порожденное элементом . Если L = , то теорема доказана. Если же не совпадает с L, то по теореме 3. найдется в L элемент такой, что и . Обозначим через подпространство, порождаемое элементами и . Имеются 2 возможности: либо L = и теорема доказана, либо не совпадает с L. Тогда по той же теореме найдется элемент такой, что и . Продолжим этот процесс. Тогда можно сделать 2 предположения: либо для некоторого n подпространство совпадет с L и теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную последовательность такую, что и при для любых n и m,. Но вторая возможность отпадает, т.к. она означала бы существование ограниченного () множества , из которого нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность (), что противоречит условию теоремы.
3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
Определение 2. Линейное пространство Н называется предгильбертовым пространством, если указано правило, которое позволяет сопоставить каждой паре элементов x и y пространства Н вещественное (или комплексное) число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначенное , удовлетворяющее следующим условиям:
а) (в случае комплексного значения)
б)
в) для любого вещественного числа ;
г) при и при ;
Число назовём нормой элемента х. Ниже мы покажем, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы. В случае, если Н полное пространство по этой норме, его называют гильбертовым. Таким образом, гильбертово пространство есть частный случай банахова пространства. Далее,если не оговорено противное, мы будем рассматривать гильбертовы пространства над полем вещественных чисел.
Пример 9. Пространство l2 становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить
Сходимость этого ряда для любых x и y из l2 вытекает из неравенства Буняковского для рядов.
Пример 10. Пространство . Это пространство (вещественных) функций, определённых и измеренных на отрезке [a, b] и таких, что
,
где почти всюду на [a, b]. будет гильбертовым пространством, если положить для
Существование этого интеграла при любом и из вытекает из неравенства Гельдера для интегралов.
Рассмотрим простейшие свойства гильбертовых пространств.
1. Из аксиом б) и в) легко получается общая формула
справедливая для произвольных векторов и произвольных вещественных чисел
Установим теперь для скалярного произведения неравенство Коши - Буняковского. Для любых и любого R, имеем или Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно , получаем, что условием его неотрицательности является неположительность его дискриминанта, т.е.(х, у)2 – (у, у)(х, х) 0 или |(x, y)| – это и есть неравенство Коши – Буняковского.
Теорема 6. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.
Доказательство. 1. Неотрицательность следует из неотрицательности скалярного произведения.
2.
3. . По неравенству Коши-Буняковского,
.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим неравенство .
Легко доказывается непрерывность скалярного произведения.
Теорема 7. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.
Доказательство. Пусть и . Тогда числа и ограничены; пусть М – их верхняя граница.
Имеем
Так как и при ,то и при , что и требовалось доказать.
Наличие скалярного произведения позволяет ввести в гильбертовом пространстве понятие длины (нормы) вектора и угла между векторами по формулам
Из неравенства Коши – Буняковского следует корректность этих формул. Эти определения согласуются с обычными формулами аналитической геометрии.
Два вектора х и y Н называются ортогональными (в этом случае записывают ), если . Если и , то это определение, в соответствии с общим определением угла между векторами, означает, что x и y образуют угол в . Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору х Н.
В пространстве условие ортогональности векторов и имеет вид
.
Легко проверить, вычислив соответствующие интегралы, что в пространстве любые два вектора тригонометрической системы
взаимно ортогональны.
Отметим несколько простых свойств, связанных с понятием ортогональности.
1) Если вектор х ортогонален векторам то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов.
2) Если векторы ортогональны вектору х и , то вектор у также ортогонален вектору х.
Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения , что и требовалось доказать.
Из свойств 1) и 2) следует, что совокупность всех векторов ортогональных вектору х (или произвольному фиксированному множеству Х векторов в Н), образует замкнутое подпространство – ортогональное дополнение к вектору х (к множеству Х).
Система векторов пространства Н называется ортонормальной системой, если
.
Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.
Любую систему линейно независимых элементов можно превратить в ортонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.
Полагаем . Пусть . Подберем число так, чтобы было ортогональным . Имеем . Отсюда следует, что для этого следует взять . Полагаем ; при этом , так как в противном случае и вектора и будут линейно зависимы, что противоречит условию. Пусть уже построены. Возьмем
и подберем числа так, чтобы было ортогонально ; для этого следует взять . Полагаем , причем снова и т.д.
Пример 11. Если совокупность степеней ортогонализовать в пространстве то мы придём к системе многочленов называемых многочленами Лежандра. Можно показать, что n-ый многочлен Лежандра имеет вид .
Пример 12. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве , называются функциями Эрмита. Можно показать, что n-ая функция Эрмита имеет вид .
Пример 13. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве называется функциями Лагерра. Можно показать, что n-ая функция Лагерра имеет вид .
Теорема 8. (равенство параллелограмма) В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество:
||x + y||2 + ||x y||2 = 2||x||2 + 2||y||2.
Доказательство. В пространстве со скалярным произведением выполняются равенства
||x + y||2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||2 + 2(x, y) + ||y||2,
||x y||2 = (x y, x y) = (x, x) 2(x, y) + (y, y) = ||x||2 2(x, y) + ||y||2.
Складывая, получим нужное тождество.
4. Ортогональность и ортогональное дополнение
Элемент х называется ортогональным подпространству , если х ортогонален любому элементу В этом случае записывают .
Имеет место следующая весьма важная теорема.
Теорема 9. Если и L – некоторое подпространство гильбертова пространства H, то
(4),
где и Указанное разложение единственно.
Доказательство. Если , то, очевидно Предположим поэтому, что Пусть и {yn} – последовательность из L такая, что при .
Пусть далее, h – любой элемент из L, отличный от нулевого вектора. Тогда yn+ εh L для любого ε, и поэтому , т.е. .
Полагая
получаем, что , откуда или
(5).
При h = 0, неравенство (5) также очевидно выполняется. Из этого неравенства для любого следует
,
и полагая, в частности, получим
Поэтому последовательность {yn} фундаментальна, а значит, в силу полноты H, сходится к некоторому вектору . Так как L замкнуто, то
Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что , и так как h – любой элемент из подпространства L, то . Полагая , получаем требуемое равенство.
Докажем теперь единственность этого представления. Пусть , , где . Тогда и
, (6)
ибо , а . Но (6) означает, что . Следовательно, также . Теорема доказана.
Элемент y в разложении (4) называется проекцией вектора x на подпространство L. Из предыдущего видно, что совокупность M всех векторов, ортогональных подпространству L есть также подпространство, которое называется ортогональным дополнением к подпространству L и обозначается H - L; говорят также, что H есть ортогональная сумма подпространств L и M, и пишут H = LM. Можно, также, сказать, что элемент z предыдущего разложения есть проекция элемента x на подпространство M.
Теорема дает, таким образом, разложение на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства.
Теорема 9. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.
Необходимость. Прежде всего очевидно, что из следует . Но по условию и, следовательно, , в частности , откуда следует, что , и необходимость доказана.
Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда и существует элемент . По предыдущей теореме имеем , где , , и так как , то ; что противоречит условию, и достаточность доказана.
5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
Пусть L – подпространство гильбертового пространства Н, порожденное ортонормальной системой и . Тогда, для любого существует, линейная комбинация , такая, что . Но
, где .
Числа сi называются коэффициентами Фурье вектора x относительно ортонормальной системы . Из последнего равенства получаем
.
Отсюда следует, что норма разности принимает наименьшее значение, когда коэффициенты являются коэффициентами Фурье элемента относительно системы . В этом случае имеем
, (7)
и так как можно выбрать сколь угодно малым, то
Из формулы (7) следует также, что ряд сходится причём .
Пусть теперь x – любой элемент пространства H. Обозначим через z проекцию x на L; тогда , где и . Так как , , , то . Следовательно, для любого элемента x из H справедливо неравенство
,
где , . Это соотношение называется неравенством Бесселя.
Пусть в пространстве H дана ортонормальная система элементов . Если не существует элемента , отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы , то эта система называется полной. Ортонормальная система называется замкнутой, если подпространство L, порождаемое этой системой, совпадает с H. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенной для любого , сходится к этому элементу и для любого имеет место равенство Парсеваля
Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом гильбертова пространства.
Если ортонормальная система полная, то она замкнутая. Поскольку, в этом случае не существует вектора отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию L, порождаемому системой. Но тогда в силу теоремы 9 и система замкнутая.
Обратно, замкнутая ортонормальная система полна, так как для такой системы
и если , т.е. , то , что означает полноту системы .
Примером полной ортонормальной системы является система тригонометрических функций
в пространстве .
Теорема 10. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует полная ортонормальная система векторов.
Доказательство. Пусть – любое счётное всюду плотное множество в пространстве H, причём все , отличны от нулевого вектора. Полагаем
,
и пусть - одномерное пространство, порождённое элементом . Пусть – первый элемент множества G, не принадлежащий и - проекция на . Полагаем
.
Пусть - подпространство, порождённое элементами и , и - первый элемент множества G не принадлежащий . Пусть - проекция на . Полагаем
,
и т.д. Получаем ортонормальную систему и так как каждый элемент принадлежит некоторому в силу построения этих подпространств, то подпространство, определяемое системой совпадает с подпространством определяемой системой , т.е. с H. При этом система , очевидно счётная, в случае когда, H бесконечномерно, ибо если бы она содержала конечное число p векторов, то в H не существовало бы p + 1 линейно независимых векторов, что противоречит бесконечномерности H. Теорема доказана.
Задачи
1. Множество в линейном пространстве называется выпуклым множеством, если оно вместе с любым двумя точками содержит все точки
, , , ,
или, геометрически выражаясь, содержит отрезок, концами которого являются точки и . Доказать, что любой шар в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.
2. Доказать, что неравенство треугольника в определении линейного нормированного пространства можно заменить условием выпуклости единичного шара.
3. На плоскости взято произвольное центрально-симметричное замкнутое выпуклое множество Q, у которого начало координат является внутренней точкой. Доказать, что существует норма, в которой Q является единичным шаром.
4. Доказать, что конечномерное подпространство нормированного пространства Е всегда замкнуто в Е.
5. Задает ли норму в пространстве R1 функция (х) = |arctgx|?
6. Установить непосредственно эквивалентность следующих норм в - мерном линейном нормированном пространстве X:
,
.
Что будут представлять собой единичные шары и в пространстве с этими нормами.
7. Проверить аксиомы нормированного пространства для пространства матриц размера :
а) , б) , в) .
8. Доказать, что пространство банахово в нормах предыдущего примера.
9. Доказать, что (Использовать неравенство Минковского).
10. Является ли нормой в пространстве непрерывно-дифференцируе-мых функций C1[a, b] на отрезке [a, b] следующие величины:
a)
b) |x(b) – x(a)| +
c) |x(a)| +
d)
11. В множестве непрерывных функций, определённых на , каждая из которых равна нулю вне некоторого конечного интервала (своего для каждой функции), вводится норма . Будет ли пространство этих функций полно в метрике ? Если нет, то что будет пополнением этого пространства?
12. Является ли пространство C1[a, b] банаховым по норме
.
13. Доказать, что пространство M[a, b] – ограниченных на отрезке [a, b] функций с нормой является банаховым.
10. Найти бесконечномерное линейное подпространство L такое, что
11. Показать, что проекция вектора из гильбертова пространства H на подпространство есть элемент этого подпространства, находящийся на кратчайшем расстоянии от х, т.е.
для любого .
12. Известно, что в некотором нормированном пространстве Е для любой пары векторов х и у справедлива лемма о параллелограмме (т. е. ). Рассмотрим функцию
.
Доказать, что она удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения и .
13. В гильбертовом пространстве даны последовательности {xn},{yn} такие, что ||xn|| 1, ||yn|| 1 и (xn, yn)1. Докажите, что ||xn yn|| 0.
14. Докажите, что множество {x: ||x a|| = ||x b||} является выпуклым в гильбертовом пространстве. Верно ли это заключение для произвольного банахова пространства?
15. Пусть в банаховом пространстве Х множества А замкнутое, а B компактное. Докажите, что множество А+B замкнутое. При этом из замкнутости А и B не следует замкнутость А+B.
16. Докажите, что любое семейство замкнутых ограниченных выпуклых множеств в гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение. Верно ли это для любого банахова пространства?
17. Пусть а[0, 1] и Сa={xС: x(а) = 0}. Докажите, что Сa подпространство С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L2?
18. Докажите, что множество функций из С, для которых , является бесконечномерным подпространством в С.
19. Пусть В1 и В2 – шары в нормированном пространстве с радиусами соответственно r1 и r2. Доказать, что если В1 В2, то r1 r2.
ГЛАВА 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.
Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов отображений является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. Среди них находятся многие операторы алгебры и анализа.
Определение 1. Пусть X и Y – линейные нормированные пространства. Отображение А, действующее из X в Y , называется линейным оператором, если выполняются условия:
1) оператор аддитивен, т.е. А(х1+х2) = Ах1+Ах2 для любых х1 и х2 из Х;
2) оператор является однородным, т.е. Ах = Ax, для любого вещественного (комплексного числа) .
Определение 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным в точке х0, если из сходимости xn x0 вытекает сходимость Axn Ax0. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Х.
Лемма 1. Если линейный оператор А, действующий из Х в Y, непрерывен в точке х0, то он непрерывен.
Доказательство. Покажем, что оператор А непрерывен в любой точке y0. Пусть уny0. Тогда yn – y0 + x0 x0. В силу непрерывности в точке х0 вытекает сходимость А(yn – y0 + x0) Ах0 или (в силу линейности оператора А) Аyn – Ay0 + Ax0 Ax0. Последнее эквивалентно сходимости Аyn Ay0.
Определение 3. Линейный оператор А, действующий из Х в Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx|Y|| Р||x|X|| для всех хХ.
Заметим, что из контекста, как правило, видно в каком пространстве вычисляется норма, и часто мы будем опускать указание этого пространства.
Теорема 1. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.
Доказательство. Пусть оператор А непрерывен, а множество М Х ограниченное. Покажем, что множество А(М) также ограниченное. Ограниченность множества М означает, что существует такое число d, для которого нормы всех точек из М не превосходят d. Пусть напротив множество А(М) не является ограниченным. Это означает, что для любого натурального n существует точка хnМ такая, что ||А(хn)|| > n. Рассмотрим точки yn = хn/n. Тогда ||yn|| = ||хn/n|| = ||хn||/n d/n 0, т.е. yn 0. Но при этом ||А(yn)|| = ||А(хn/n)|| = ||А(хn)||/n > 1, т.е. неверно, что А(yn) 0, что противоречит непрерывности оператора А. Итак, множество А(М) ограничено.
В частности, оператор А переводит единичный шар ||x|| 1 пространства Х в ограниченное множество в Y. Пусть для точек из этого шара ||Аx|| Р. Рассмотрим произвольный вектор x 0 и построим элемент х/||x||. Тогда ||(x/||x||)|| = 1. Отсюда ||Аx||/||x|| = ||(Аx/||x||)|| = ||А(x/||x||)|| Р, т.е. ||Аx|| Р||x|| при x 0. Для нулевого вектора это неравенство очевидно.
Пусть оператор А ограниченный. При любых x, y выполняется неравенство ||Аx Аy|| = ||А(x y)|| Р||x y||, откуда из условия xnx0 следует, что Аxn Аx0. Тем самым оператор непрерывный.
Пример 1. Оператор, который каждому вектору пространства X ставит в соответствие нулевой вектор этого пространства, очевидно, является линейным. Он называется нулевым оператором.
Пример 2. Оператор I, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.
Пример 3. Линейный оператор А, переводящий каждый вектор х в λх (λ – фиксированное число), называется оператором подобия.
Пример 4. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство и e1, e2,…, en, … – полная ортонормированная система в Н. Фиксируем ограниченную последовательность вещественных чисел λ 1, λ 2,…, λn , и для любого вектора
х =,
положим по определению (оператор нормального типа)
А х =.
Так как , то оператор Ах определен во всем пространстве Н. Легко проверить его аддитивность и однородность, а непрерывность легко следует из неравенства
Каждый базисный вектор en переводится оператором А в себя самого с коэффициентом λn: А en = λn en .
Пример 5. На отрезке [a, b] фиксируем непрерывную функцию α(x). В пространстве С[a,b] определен линейный оператор умножения на α(x): .
Пример 6. Пусть Х = Rn, Y = Rm. Каждому элементу х={ξ1, ξ2, ... , ξn} Rn с помощью матрицы (аij), i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , n ставим в соответствие элемент у={1, 2, ... , m} Rm , полагая
, i=1, 2, ... , m.
Тем самым задан оператор А: у = Ах, определенный на Rn, со значениями в Rm. В этом случае также говорят, что оператор А задается матрицей (аij), i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , n. Линейность оператора А устанавливалась в курсе линейной алгебры.
Если yk=Axk, y0=Ax0, то → для всех j = 1, 2, ..., n и, следовательно,
, i = 1, 2, ... , m
Но это означает, что, yk = Axky0 = Ax0 и оператор A непрерывен.
Пример 7. Пусть Х = Y = С[а, b]. Для произвольной функции , положим
(1)
где K(t, s)– непрерывная в квадрате функция. Равенство (1) определяет оператор у = Ах, действующий в С[а, b], который называют интегральным оператором . Аддитивность и однородность оператора практически очевидны. Например:
Непрерывность его вытекает из того, что сходимость в пространстве С[а, b] есть равномерная сходимость, при которой возможен переход к пределу под знаком интеграла. Поэтому если xn(t)→x0(t) , то
Пример 8. Пусть Х = Y = L2[а, b]. Снова рассмотрим интегральный оператор
Но теперь будем предполагать, что функция K(t, s), называемая ядром оператора, интегрируема по Лебегу в квадрате по совокупности обеих переменных:
Покажем, что оператор А действует в пространстве L2[а, b]. Из условий k2 = и следует, что К(t, s)x(s), как функция от и t и s, интегрируема на . Но тогда в силу теоремы Фубини
есть измеримая и интегрируемая функция, и неравенство Гельдера дает
,
т. е. что . Предыдущее выражение после извлечения из него квадратного корня можно записать в виде
. (2)
Линейность оператора А очевидна, а ограниченность и непрерывность легко следует из неравенства (2).
Пример 9. Пусть Х = Y = l2 и (аij), i, j = 1, 2, .,., – бесконечная матрица такая, что
. (3)
Рассмотрим оператор А, определяемый следующим формальным равенством: для х ={ξi} положим
, i=1, 2, ... , и Аx = y = {}.
Прежде всего линейность оператора А очевидна. Далее, из неравенства Гельдера следует, что ряд абсолютно сходится, так как
,
т е. частичные суммы ряда ограничены. Далее,
,
и так как это верно для любого натурального n, то , т.е. .
Если извлечь из неравенства
квадратный корень, то получим . Следовательно, оператор А ограничен.
Лемма 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным, если он ограничен хотя бы на одном шаре пространства Х.
Доказательство. Так как ограниченность на открытом шаре влечет ограниченность на замкнутом шаре с тем же центром и половинным радиусом, будем сразу считать, что оператор ограничен на замкнутом шаре. Пусть S[y, r] – шар, на котором ограничен оператор А, т.е. ||Ax|| C для всех x S[y, r]. Возьмем произвольный элемент z X. Построим по этому элементу новый элемент z0 = y + rz/||z|| (или z = ||z||(z0 – y)/r). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что z0 S[y, r]. Следовательно, ||Az0|| C. С другой стороны, ||Az|| = ||z||/r(||A(z0 – y)||) ||z||/r(||Az0|| + ||Ay||) (2C/r)||z||, что доказывает утверждение.
Важнейшим свойством линейного оператора является его ограниченность на S1 – единичном шаре пространства X. Она влечет в силу леммы 2 ограниченность линейного оператора.
Положим
. (4)
Число К0, определяемое равенством (4), называют нормой оператора и обозначают ||А||. В следующем пункте мы покажем, что это действительно норма. Итак, для любого
.
Очевидно, что К0 = ||A|| есть наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству из определения ограниченности, потому что если бы это было не так и нашлось число К' < К0 такое, что для всех , то для мы имели бы , откуда , что невозможно.
Лемма 3. Пусть линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным на шаре S[y, r], т.е. ||Ax|| C для всех x S[y, r]. Тогда ||A|| 2C/r.
Утверждение установлено по существу по ходу доказательства леммы 2.
Вычисление норм конкретных операторов обычно представляется затруднительным, однако часто бывает довольно легко оценить норму оператора сверху.
Пример 10. Рассмотрим в пространстве C[a, b] интегральный оператор из примера 7. Пусть Имеем для :
Отсюда , и мы оценили норму интегрального оператора в пространстве С[а, b].
Пример 11. Рассмотрим в том же пространстве С[а, b] оператор Вх = tx(t), называемый оператором умножения, на независимую переменную. Для простоты вычислений будем считать, что 0 < a < b. Для любой функции х(t) С[а, b], имеем
(5)
Отсюда . Но если мы возьмем функцию , то , и потому
(6)
Из неравенств (5) и (6) вытекает, что ||В|| = b.
Пример 12. Норма нулевого оператора, очевидно, равна нулю. Обратно, если , то нетрудно видеть, что A=0.
Пример 13. Норма тождественного оператора I равна единице, так как, ||Ix|| = ||x|| для любого вектора х.
Пример 14. Норма оператора подобия равна .
Пример 15. Норма оператора нормального типа в гильбертовом пространстве
равна точной верхней грани чисел . Действительно, если и , мы имеем
откуда ; с другой стороны , полученные неравенства и доказывают наше утверждение.
2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
Зафиксируем два линейных нормированных пространства и и будем рассматривать всевозможные линейные непрерывные операторы А, В, … действующие из Х в Y. Определим сумму операторов и произведение операторов на число следующим образом: (А + В)х = Ах +Вх, (А)х = Ах. Это будут снова операторы, действующие из Х в Y, и легко видеть, что все необходимые свойства операций сложения и умножения на число имеют место. В частности, нулевым оператором будет оператор, определяемый равенством 0х = 0 для любого . Таким образом, совокупность всех операторов, действующих из Х в Y, есть линейное пространство. Более того, эта совокупность будет линейным нормированным пространством. В самом деле, для каждого оператора А определена норма этого оператора , являющаяся неотрицательным числом, и остаётся проверить лишь выполнение аксиом нормы.
1. Если А = 0, то для любого и потому .
Пусть, наоборот, . Тогда для любого , т. е. Ах = 0 для любого и . Первая аксиома нормы выполняется.
2. и вторая аксиома нормы тоже выполняется.
3. Подобным же образом проверяется выполнение третьей аксиомы нормы:
Итак, совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из X в Y, есть линейное нормированное пространство. Это пространство мы будем обозначать символом .
В частности, когда Y = R – множество вещественных (комплексных) чисел, это пространство называется пространством линейных непрерывных функционалов, определённых на X, или сопряжённым с X пространством, и обозначается X*.
Теорема 2. Если Y – полное пространство, то – пространство линейных ограниченных операторов будет также полным пространством и, следовательно, банаховым пространством.
Доказательство. Пусть и при , . Из обратного неравенства треугольника следует , т. е. есть сходящаяся и потому ограниченная числовая последовательность. Положим .
Возьмём любой элемент и рассмотрим последовательность . Эта последовательность фундаментальна, потому что
при , . Так как Y – полное пространство, то существует элемент , являющийся пределом этой последовательности: . Таким образом, каждому ставится в соответствие один определенный , и мы приходим к оператору , действующему из X в Y. Этот оператор линейный:
,
.
Этот оператор также ограничен:
.
Следовательно, A – линейный непрерывный оператор.
Покажем, что в смысле сходимости по норме в пространстве . Из неравенства , , , будет следовать
(7)
при , и для любого . Пусть . Тогда (7) в пределе дает при и так как это верно для любого x из единичного шара , то
при , что и требовалось доказать.
Следствие. Пространство X*, сопряжённое с линейным нормированным пространством X, есть банахово пространство.
Рассмотренную только что сходимость по норме в пространстве операторов называют также равномерной сходимостью последовательности операторов, потому что в этом случае сходится к равномерно на любом шаре , как это следует из неравенства
.
3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
Теорема 3 (принцип равномерной ограниченности Банаха-Штейнгаузана). Если последовательность линейных ограниченных операторов L(X, Y) ограничена в каждой точке банахова пространства , то последовательность норм этих операторов ограничена.
Доказательство. Для произвольного n рассмотрим множества
Tn = {xX: }.
В силу непрерывности операторов Аk множества Tn замкнуты: если xiTn и xi x, то n ||Akxi|| ||Akx|| n. Более того, в силу условий теоремы Х = nTn. Тогда, в силу теоремы Бэра хотя бы одно из Tn не является нигде не плотным множеством. Последнее означает, что существует шар пространства Х, лежащий полностью в Tn: S[y, r] Tn. Последнее означает, что для любого k и люого х S[y, r] выполняется неравенство ||Akx|| n. Тогда в силу леммы 3 ||Ak|| 2n/r для любого k. Теорема доказана.
Следствие 1. Если для последовательности линейных ограниченных операторов L(X, Y) последовательность Аnx фундаментальна в каждой точке банахова пространства , то последовательность норм этих операторов ограничена.
Доказательство. В силу фундаментальности последовательности Аnx в каждой точке банахова пространства , последовательность ||Anx|| ограничена при каждом фиксированном х. Утверждение теперь легко следует из теоремы 3.
Помимо равномерной сходимости в пространстве операторов можно рассматривать ещё поточечную сходимость: сходится поточечно к , если для любого
при .
Ясно, что из равномерной сходимости следует поточечная. Обратное не верно, как показывает следующий пример.
Пример 16. В пространстве рассмотрим последовательность операторов , где для . Так как для любого
при , то последовательность поточечно сходится к единичному оператору I, переводящему всякий элемент из в тот же самый элемент. Однако равномерная сходимость не имеет места, потому что для любого n при
имеем
,
и потому для всех n
.
Следствие 2 (теорема Банаха-Штейнгаузана). Для того чтобы последовательность операторов {Аn} L(X, Y), где Х и Y – банаховы пространства, точечно сходилась к оператору A0, необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность {||Аn||} была ограничена;
2) Аnх А0х для любого х из некоторого множества E, линейные комбинации элементов которого всюду плотны в Х.
Необходимость первого условия есть не что иное, как следствие из теоремы 3, необходимость второго условия очевидна. Требуется доказать лишь достаточность этих условий.
Пусть
М = ,
и пусть L(Е) – линейная оболочка множества Е. В силу линейности операторов Аn и А0 и второго условия Аnх А0х для любого xL(E).
Возьмем теперь элемент y пространства X, не принадлежащий L(E). Для заданного > 0 найдется элемент xL(E) такой, что ||x – y|| < /4M. Имеем
||Any – A0y|| ||Any – Anx|| + ||Anx – Anx|| + ||A0x – A0y||
||Anx – Anx|| +(||An|| + ||A0||)||x – y|| ||Anx – Anx|| + /2.
В силу того, что Аnх А0х, найдется номер n0 такой, что ||Anx – Anx|| < /2 для n > n0. Поэтому для n > n0 имеем ||Any – A0y|| < и теорема доказана.
Имеет место также следующая
Теорема 4. Если пространства X и Y полные, то пространство также полно в смысле точечной сходимости.
Доказательство. Так как для каждого x последовательность фундаментальна и Y полно, то для каждого x существует и мы получаем оператор , определённый на X, с областью значений в Y. Как и в теореме 1, убеждаемся, что A – линейный оператор.
Возвращаясь к оператору из неравенства , вытекающего из теоремы Банаха-Штейнгауза, в пределе при получаем , т. е. ограниченность оператора A.
Итак, существует предел любой точечно фундаментальной последовательности линейных ограниченных операторов, который также является линейным ограниченным оператором, т. е. пространство операторов полно в смысле точечной сходимости. Теорема доказана.
Рассмотрим применение теоремы Банаха-Штейнгауза к доказательству сходимости метода механических квадратур. Для приближенного вычисления интеграла применяем формулу
,
где n – коэффициенты формулы, xn – узлы. Метод называется заданным, если фиксирована последовательность формул
(k – индекс).
Метод называется сходящимся, если
.
Теорема 5. Метод механических квадратур, заданный последовательностями сходится тогда и только тогда, когда
1) ;
2) n 0 метод сходится при f(x) = xn.
Необходимость практически очевидна, т. к. необходимо проверить лишь 1) условие. Но для его проверки достаточно взять кусочно-линейные непрерывные функции fk(x), которые в узлах принимают значения (если a или b не является узлом полагаем значение функции в этой точке равной 0). Такие функции заведомо существуют и в силу сходимости и ограниченности первое условие теоремы выполнено.
Достаточность. Рассмотрим последовательность операторов
Нетрудно видеть, что это линейные операторы из пространства C[a, b] в пространство R. В силу оценки
следует, что . Если взять функции fk(x), построенные при доказательстве необходимости, то нетрудно видеть, что ||fk|| = 1 и . Следовательно .
Таким образом, последовательность ||Tk|| по условиям теоремы ограничена по норме и поточечно сходится на множестве {xn}, линейная оболочка которого по теореме Вейерштрасса (теорема 2.7) всюду плотна в C[a, b]. По следствию 2 теоремы 3 это эквивалентно поточечной сходимости метода.
4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
Если дан оператор то оператор , удовлетворяющий равенствам
В(Ах)=х для любого , (8)
А(Ву)=у для любого (9)
называется оператором, обратным к оператору А. Равенства (9) и (10) можно записать также в виде
(8*)
(9*)
где и – единичные операторы, действующие в пространствах Х и Y соответственно. Оператор, обратный к А, обозначается символом А-1.
Из общей теории отображений хорошо известно, что необходимым и достаточным условием существования обратного является биективность отображения, т.е. инъективность и сюрьективность. Оказывается для линейных операторов инъективность может быть описаны следующим образом. Пусть и N(A) = {xX: Ax = 0} – ядро оператора. В силу линейности нетрудно показать, что N(A) само является линейным многообразием. Из непрерывности оператора А легко следует, что это многообразие замкнуто, т.е. N(A) является подпространством Х. Справедлива лемма.
Лемма 4. Для того чтобы оператор А был инъективен необходимо и достаточно, чтобы N(A) = {0}.
Доказательство. Если оператор инъективен, то равенство очевидно. Покажем, что если N(A) = {0}, то оператор инъективен. Действительно, если Ах1 = Ах2, то Ах1 - Ах2 = А(х1 – х2) = 0 и (х1 – х2)N(A). Следовательно, х1 – х2 = 0, последнее и есть инъективность.
Если обратный оператор существует, то операторное уравнение
(10)
где у – известный элемент, х – искомый элемент, имеет решение при любой правой части и притом только одно. В самом деле, полагая мы будем иметь, что , т. е. что х0, есть решение уравнения (10), и следовательно, решение существует. Если – другое решение того же уравнения, т.е. то, действуя на обе части этого равенства оператором А-1, получим или откуда следует, что решение единственно. Ясно поэтому, что решение операторного уравнения (10) сводится к нахождению обратного оператора. Заметим, что обратный оператор может быть лишь один, так как если AB=BA =I и AB1 =B1А = I, то
Однако из непрерывности оператора А, вообще говоря, не следует непрерывность обратного оператора, т.е. оператор, обратный к линейному ограниченному, не обязан быть линейным ограниченным оператором.
Приведём несколько теорем, дающих достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора.
Терема 6. Пусть линейный непрерывный оператор А, отображающий линейное нормированное пространство X на линейное нормированное пространство Y, удовлетворяет для любого условию
(11)
где m- некоторая константа. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A-1.
Доказательство. Из условия (11) следует, что оператор A инъективно отображает X на Y: если и то и согласно (11) откуда Поэтому оператор А биективен, и следовательно, для него существует обратный линейный оператор A-1. Этот оператор ограничен, что следует из (11):
для любого Теорема доказана.
Нетрудно заметить, что утверждение обратимо, т.е. если существует ограниченный обратный, то неравенство (11) выполняется.
Бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается определённым не на всём пространстве , а лишь на некотором линейном многообразии, и неограниченным на этом многообразии. Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определённому на некотором линейном многообразии, могут оказаться ограниченными линейными операторами, определёнными на всём Y. Приведём примеры, подтверждающие сказанное.
Пример 17. Пусть X = C[0, 1] и
Тогда А – ограниченный линейный оператор, но есть неограниченный оператор, определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций таких, что .
Пример 18. Пусть X = C[0, 1] и
– неограниченный оператор Штурма-Лиувилля, определённый на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что . Обратный оператор
где функция Грина, есть ограниченный линейный оператор, определенный на всём пространстве C[0, 1]
Возникает естественный вопрос: пусть линейный ограниченный оператор АL(X, Y) является биективным отображением. Тогда согласно общей теории отображений у него существует обратное отображение. Будет ли этот оператор линеен и ограничен?
Нетрудно показать, что оператор, обратный к линейному аддитивен и однороден. В самом деле, пусть . Имеем в силу аддитивности A:
Отсюда , т.е. и аддитивность оператора A-1 доказана. Аналогично устанавливается однородность оператора A-1.
Ответ на второй вопрос дает следующая теорема.
Теорема 6 (Банаха об обратном операторе). Пусть линейный непрерывный оператор А является биективным отображением банахова пространство X на банахово пространство Y. Тогда оператор А имеет линейный ограниченный обратный оператор.
Доказательство. Для доказательства достаточно установить ограниченность обратного оператора А-1. Обозначим через Tk = {yY: ||A-1y|| k||y||}. Нетрудно видеть, что любой yY попадает в некоторое Tk, Последнее означает, что Y = k Tk. В силу теоремы Бэра существует Tn, в котором содержится некий замкнутый шар S[y0, r] пространства Y: S[y0, r] Tn.
Легко также проверяется, что Tk (в том числе и Tn) является линейным многообразием. Возьмем произвольный элемент yY. Тогда элемент z = ry/||y|| + y0 S[y0, r] Tn. Так как y0 Tn, а последнее множество является линейным многообразием, то и z – y0 = ry/||y|| Tn. Последнее, опять же в силу линейности Tn, означает, что у Tn. Итак, мы установили, что произвольный элемент yY принадлежит Tn, что означает выполнение неравенства ||A-1y|| n||y|| для любого yY. Этим доказана ограниченность оператора А-1.
5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).
Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство в себя.
B пространстве операторов , действующих в банаховом пространстве X можно рассматривать произведение операторов. Именно, если , то АВ есть оператор, определяемый равенством
Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в Rn два оператора, A и В, заданные некоммутирующими матрицами и. Так как оператор АВ задается произведением матриц и , что легко проверить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обладает, так как из определения суммы и произведения операторов следует, что
т.е. что
Отметим, что если I – единичный оператор, то для любого .
Нетрудно проверить, что В самом деле, пусть и Тогда
Поэтому
Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если и в смысле равномерной сходимости, то
Прежде всего из сходимости последовательности к А следует, что есть ограниченная числовая последовательность, т. е. для любого n. Поэтому
при так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.
Частным случаем произведения операторов являются степени оператора
Ясно, что
Положим, кроме того, по определению, что
Теорема 7. Пусть где X – банахово пространство и Тогда оператор имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причём
Доказательство. Рассмотрим ряд
(12)
и составим частичные суммы этого ряда:
Имеем
где Отсюда следует, что при т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует
Покажем, что Имеем
ибо как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что и теорема полностью доказана.
Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.
Пример 19. Пусть непрерывное на ядро и непрерывная на функция. Тогда
есть линейный оператор, действующий в пространстве а интегральное уравнение
(13)
называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме
На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если то уравнение (13) имеет единственное решение, которое даётся равенством
Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как то условие очевидно, выполняется, если Будем считать, что удовлетворяет этому неравенству. Выясним, что представляют в нашем случае степени оператора. Имеем
Пусть Функция называется второй итерацией ядра
Итак,
или, меняя обозначение переменной интегрирования,
Далее,
и, снова пологая
можем написать
где третья итерация ядра Вообще
где – n-я итерация ядра определяемая формулой
Равенства которое мы отмечали выше, дают
С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:
(14)
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е. равномерно. Преобразуем выражение для решения интегрального уравнения. Рассмотрим формальный ряд
(15)
Этот ряд равномерно сходится на если . В самом деле, прежде всего имеем
и вообще
Отсюда где Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и требуемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, ). Это - непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на и интегрируя ряд почленно, получим
Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать
(16)
Это и есть выражение для обратного оператора в компактной форме. Функция R(t, s,) называется разрешающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.
Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.
Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведённым выше, легко показать, что если
и то интегральное уравнение (13) при значениях параметра , удовлетворяющих неравенству имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, ), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.
6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
В различных вопросах математики приходится рассматривать линейные, но не ограниченные операторы. Такие операторы, естественно, не будут непрерывными. Более того, они будут определены не на всем пространстве, а на некоторых всюду плотных линейных многообразиях рассматриваемого пространства. Приведем пример такого оператора. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования
Ясно, что этот оператор линеен. Однако он определен (имеет смысл) не на всем пространстве С[а, b], а лишь на подмножестве С[а, b], состоящем из функций, имеющих непрерывною производную. Это множество является, очевидно, линейным многообразием, и так как оно содержит все полиномы, то всюду плотно в С[a, b]. Легко убедиться, что оператор А на не является ограниченным. В самом деле, пусть хn (t) = sin nt. Тогда , а
,
и потому .
Неограниченный линейный оператор А не обладает свойством непрерывности. Из того, что хn х0. вообще говоря не следует, что {Aхn} стремится к какому-либо пределу. Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности.
Определение 4. Прямой суммой Z =XY двух линейных пространств X и Y называется совокупность пар z = (х, у) (х X, у Y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z1 = :(x1, y1), a z2 = (х2,, y2) и 1, 2 — скаляры, то
1z1 + 2z2 = (1x1 + 2x2, 1y1 + 2y2)
Если X и Y – нормированные пространства, то норма в XY вводится по формуле ||z|| = ||x|X|| + ||y|Y|| (проверить аксиомы нормы. Показать, полноту XY, если X и Y банаховы).
Пусть у = F(x)—оператор (вообще говоря, нелинейный) с областью определения D(F) в банаховом пространстве X и с областью значений в банаховом пространстве У.
Определение 5. Графиком оператора F называется совокупность пар (х, F(x)), где х D(F).
График оператора является подмножеством пространства XY. Определение графика оператора хорошо согласуется с определением графика функции. Пусть ниже F = А – линейный оператор.
Определение 6. Линейный оператор А: X Y называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством в XY.
Замкнутость графика оператора А означает, что если хn D(А) и (хп, Ахп) (х, у), то х D(A) и у = Aх.
Так как ||z|| = ||х|| + ||у||, то определение замкнутости оператора А можно записать так: если хп D(A), хn х, а Ахп у, то х D(A) и у = Ах.
Теорема 8. Если D(A) = X и А ограничен (т.е. А L(Х, Y)), то А замкнут.
Доказательство. Пусть хп х и Aхn у при n . Из непрерывности оператора A вытекает, что Ахп Ах, n . Но предел единственен и, значит, у = Aх.
Теорема 9. Если А замкнут и А-1 существует, то A-1 также замкнут.
Доказательство. Рассмотрим графики операторов А и A-1:
{(x, Ax), x D(A)} и {(y, A-1y), y R(A)}.
Но график оператора А-1 можно записать в виде {(Ах, х), х D(A)}, т. е. он получается из графика оператора А перестановкой х и Ах и, значит, также является замкнутым множеством в YX. Это и означает замкнутость A-1.
Следствие. Если А L(Х, Y) и А-1 существует, то А-1 замкнут.
Действительно, по теореме 8 оператор А замкнут, тогда по теореме 9 оператор А-1 замкнут.
Пример 21. В гильбертовом пространстве H с ортонормированным базисом {ek} зададим линейный оператор A следующими формулами: Aek = kеk, k = 1,2, ... ,где k –некоторые скаляры. Если х H, то х = , где ряд ||х||2 = . Тогда Ах = . Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
||Ax||2 = < (17)
Возможны следующие два случая:
а) |k| - ограничена: этот случай рассмотрен в примере 4, оператор А ограничен.
б) |л| - неограниченна. Оператор А неограничен, и его область определения D(A) состоит из элементов х, удовлетворяющих неравенству (17). Неограниченность А вытекает из того, что ||Аеk|| = |k| при k неограниченны, хотя ||еk|| = 1. Если infk |k| = сА > 0 (т.е. k отделены от нуля положительным числом), то существует A-1, определяемый на элементах
y = , <,
формулой
A-1y = .
Поскольку supk |k|-1 = c-1 < , то А-1 ограничен (D(A-1) = H). Таким образом, условие infk |k| = сА > 0, согласно теореме 9, обеспечивает замкнутость A.
Пример 22. Пусть X = Y = С[0, +) — банахово пространство функций x(t), непрерывных и ограниченных на полуоси [0, +) с нормой ||х|| = .
Зададим в X оператор A по формуле Aх = tx(t). Оператор A линеен, и его область определения D(A) состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
|x(t)| c/(1 + t),
где постоянная с – своя для каждой функции из D(A).
Оператор A неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций xn(t) = п/(п + t) (п = 1, 2, ...). Заметим, что xn(t) D(A), так как |хn(t)| = п/(п + t) n/(l + t). Кроме того, ясно, что ||хn|| = 1. Теперь имеем
следовательно, .
Покажем, что А замкнут. Пусть в пространстве X выполняется xn(t) x(t), txn(t) y(t) при п . Тогда (1 + t)xn(t) x(t) + y(t) при п (сходимость везде равномерная на [0; +). Следовательно, для любого > 0 найдется номер N такой, что если n N, то
|(1 + t)xn(t) – [x(t) + y(t)]| < для всех t [0, +), или .
Следовательно, xn(t) при п , но хn(t) x(t), поэтому , откуда y(t) = tx(t), т.е. у = Ах. Остается заметить, что х D(A) в силу оценок:
|x(t)| С1||y|| 2С1||y||/(1 + t) при t [0, 1],
|x(t)| С2||y||/t 2С2||y||/(1 + t) при t [1, +),
.
Пример 23. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования
В начале этого пункта показано, что этот оператор не является ограниченным. Покажем, что А замкнут. Сходимость в С[а, b] равномерная. Пусть xn(t) D(A), и пусть при п
xn(t)x(t) равномерно на [a, b],.
x'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
Согласно известной теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция x(t) непрерывно дифференцируема (т.е. x(t) D(A)) и x'(t) = y(t). Итак, A замкнут.
Пример 24. Снова рассмотрим в С[а, b] оператор дифференцирования A, но на этот раз в качестве его области определения D(A) возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на (а, b] функций, удовлетворяющих граничному условию x(а) = 0. Теперь оператор A имеет обратный
,
определенный всюду в С[а, b] и ограниченный (||A-1y|| (b – a)||y||). Следовательно оператор А-1 замкнут (теорема 8), а тогда и обратный к нему оператор А также замкнут (теорема 9).
Лемма 5. Пусть А – замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y. Пусть, далее, существует плотное в X множество М и постоянная с > 0, так что ||Ax|| с||х|| для всех х М. Тогда оператор А ограничен.
Доказательство. Выберем элемент х0 X. Покажем, что найдется элемент x1 М такой, что
||x1|| ||x0||, ||x1 – x0|| ||x0||/2 (18)
Действительно, вследствие плотности М в X для х = (1 – )х0, (0, 1), найдется элемент х1 М такой, что ||х – x1 || ||x0||.
Оказывается, можно подобрать так, чтобы элемент x1 удовлетворял условиям (18). Имеем
||x1|| ||x1 - x|| + ||x|| ||x0|| + (1 - )||x0|| = ||x0||,
||x1 – x0|| ||x1 - x|| + ||x - x0|| ||x0|| + ||x0|| = 2||хо||.
Возьмем = 1/4 и получим неравенства (18).
Точно так же можно показать, что для элемента х0 – х1 найдется элемент х2 М такой, что
||x0 – x1 – x2|| ||x0 – x1||/2 ||x0||/22, ||x2|| ||x0 – x1|| ||x0||/2.
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального п найдутся x1, х2, ... , хп М такие, что
||x0 – (x1 + …+ xn)|| ||x0||/2n, ||xn|| ||x0||/2n – 1.
Отсюда вытекает, что х0 = . Далее, так как ||Axk|| c||xk|| c||x0||/2k – 1, то ряд сходится абсолютно. Пусть у — его сумма. Поскольку при n Asn y, sn x0, то, вследствие замкнутости оператора A,
.
Но тогда имеем оценку .
Вследствие произвольности х0 доказана ограниченность оператора А, а значит, и лемма доказана.
С.Банаху принадлежит следующая важная в приложениях теорема.
Теорема 10 (Банаха о замкнутом графике). Пусть А — замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y. Тогда оператор А ограничен.
Доказательство. Для каждого натурального числа п рассмотрим множество
Хп = {х Х: ||Ax|| n||х||}. (19)
Очевидно, что
. (20)
По теореме Бэра существует Хп, которое не является нигде не плотным. Тогда найдется замкнутый шар S[x0, r], лежащий полностью в замыкании Хп. При этом можно полагать, что х0 Хп. Действительно, так как шар лежит в замыкании Хп, то либо х0 Хп, либо х0 является предельной точкой для множества Хп. Это означает, что в Хп найдется элемент х1, для которого ||x0 – x1|| < r/4. Тогда S[x1, r/2] S[x0, r] Хп. Поэтому без ограничения общности считаем, что х0 Хп.
Выберем теперь элемент u0 X с ||u0|| = r и рассмотрим элемент у0 = х0 + и0. Так как ||у0 - х0|| = ||и0|| = r, то у0 S[x0, r]. Так этот шар лежит в замыкании Хп найдется последовательность {yk} S[x0, r]Xn такая, что при п yk y0 = х0 + и0. Рассмотрим теперь последовательность uk = yk - х0. Так как {yk} S[x0, r], то || uk|| r, при этом uk и0.
Вспоминая определение Хп (см. (19)) и пользуясь тем, что уk Хn, х0 Хп, получаем следующую оценку:
||Аиk|| = ||А(уk - х0)|| ||Ауk|| + ||Ax0|| n(||уk|| + ||х0||) =
= n(||uk + х0|| + ||хо||) n(||uk|| + 2||хо||) n(r + 2||хо||). (21)
Далее, так как при k ||uk|| = ||уk - х0|| r, то найдется номер N такой, что при всех п > N выполняется неравенство
||uk|| > r/2 или 1 < 2||uk||/r.
Продолжая оценку (21) при п> N, приходим к оценке
||Аиk|| 2n||uk||(r + 2||x0||)/r . (22)
Отсюда получаем следующий вывод: при всех п > N (см. определение Хп ) иk Хm , где m = 2n + 4n||x0||/r.
Как отмечено выше при k иk u0. Тогда из неравенства (22) получаем, что любой элемент u0 X с ||u0|| = r является пределом элементов из Хm. Но из (19) следует, что Хm содержит вместе с каждым х и х при любом . Таким образом, Хm плотно в X, и так как на Хm ||Ax|| m||x||, то по лемме 5 оператор A ограничен, и теорема полностью доказана.
Напомним, что отображение, осуществляемое оператором А L(Х, Y) называется открытым, если А отображает каждое открытое в X множество во множество, открытое в Y.
С теоремой Банаха об обратном операторе тесно связано следующее также принадлежащее Банаху утверждение.
Теорема 11 (теорема Банаха об открытом отображении). Пусть X, Y – банаховы пространства, А L(Х, Y) и R(A) = Y. Тогда отображение, осуществляемое оператором А, является открытым.
Доказательство. Согласно определению открытого множества достаточно доказать, что для всякого открытого шара S(x0, r) X найдется открытый шар S(y0, ), у0 = Ах0 такой, что S(y0, ) A(S(x0, r)). Вследствие линейности А можно принять х0 = 0, у0 = 0 и r = 1.
а) Пусть сначала N(A) = {0}. Тогда оператор А удовлетворяет теореме об обратном операторе и значит А непрерывно обратим. Если ||у|| < = ||A-1||-1, то для х = А-1у имеем оценку ||x|| ||A-1||||y|| < 1 и теорема доказана.
б) Пусть теперь N{A) {0}. N(A) – замкнуто в силу непрерывности оператора А и, следовательно, является подпространством в X. Введем фактор-пространство = X/N(A), также являющееся банаховым пространством (см. теорему 5.2) с нормой
.
В определим линейный оператор , действующий по формуле = Ах, где х . Нетрудно проверить, что так определенный оператор корректно определен, линеен и ограничен. При этом .
По теореме Банаха об обратном операторе непрерывно обратим. Мы находимся в условиях пункта а) для оператора . Это означает, что если ||y|| < , то , где . Но по определению нормы в найдется такое, что . Следовательно, если ||y|| < /2, то y = Ax с ||x|| < 1. Теорема полностью доказана.
Задачи
1. Какие из следующих операторов являются непрерывными?
1) A: RnRn определен формулой yi=, i = 1,…,n;
2) A: C[0, 1] C[0, 1] определен формулой Ax(t) = ;
3) d/dt: C1[0, 1] C[0, 1];
4) d/dt: C[0, 1] C[0, 1] определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций из C[0, 1];
5) A: C[0, 1] C[0, 1] определен формулой Ax(t) = , где K(t,) непрерывна на квадрате [0, 1][0, 1];
6) A: L2[0, 1] L2[0, 1] определен формулой Ax(t)= , где K(t,)L2([0, 1][0, 1]).
2. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве Н, то всякий линейный оператор А может быть задан бесконечной матрицей , где .
Доказать, что для ограниченности оператора А необходимо и достаточно для бы некоторого M и любых , выполнялось условие . Получить неравенства
.
3. Показать, что оператор нормального типа (пример 4) обладает ограниченным обратным тогда и только тогда, когда соответствующие числа по модулю больше положительной постоянной.
4. Найти норму оператора в пространстве .
5. Найти норму оператора в пространстве .
6. Найти норму оператора в пространстве , если .
7. Доказать линейность и найти норму в пространстве
а) оператора для ,
б) функционала , где .
8. В пространстве рассмотрим операторы
, ,
где ядро непрерывно на , и такой полином, что
при .
Сходятся ли операторы к оператору А? Какой характер носит эта сходимость?
Ответить на те же вопросы для операторов
, ,
где и при .
9. Пусть . Будут ли операторы А и В перестановочны?
10. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l2 l2, заданных формулами
(х1, х2,…) (0,х1, х2,…);
(х1, х2,…) (х2, х3,…);
(х1, х2,…) (х1, х2/2, х3/3,…).
11. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормированное пространство Х в фактор-пространство Х/L (L – линейное пространство, замкнутое по норме Х) и ставящий в соответствие элементу х Х содержащий его класс эквивалентности, является линейным ограниченным оператором.
12. Пусть Н – гильбертово пространство, А: Н Н – ограниченный линейный оператор, определенный на всем Н. Доказать, что
13. Пусть – ортонормированный базис гильбертова пространства Н, nR. Доказать, что если последовательность n ограничена, то равенства Аеn = nen определяют линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н, причем норма ||A|| = .
14. Пусть Х, Y – банаховы пространства и А L(X, Y). Всегда ли равенства
а) ||x||1 = ||Ax||; б) ||x||2 = ||x|| + ||Ax||
задают в Х норму? Будет ли Х в этой норме банаховым пространством?
15. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {Аn} L(X, Y) такова, что для любого х Х последовательность {Аnх} фундаментальна в Y. Доказать, что существует А L(X, Y) такой, что Ах = для любого х Х. Доказать, что ||A|| . Можно ли последнее неравенство заменить равенством?
16. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {Аn} L(X, Y), Аnх Ах на любом элементе х Х. Доказать, что если xn x, то Аnхn Ах.
17. Пусть Х, Y – нормированные пространства, причем пространство Y конечномерно. Пусть А – линейный оператор из Х в Y. Доказать, что оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда ядро оператора А замкнуто. Верно ли это утверждение в случае бесконечномерного пространства Y?
18. Пусть оператор I – оператор естественного вложения пространства l1 в пространство l2. Доказать, что он является непрерывным оператором, но не имеет ограниченного обратного.
19. В пространстве l2 для элемента х = (х1, х2, …) l2 определим последовательности операторов:
;
.
Являются ли эти последовательности сходящимися а) поточечно; б) по операторной норме?
20. Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве С[0, 1] по формуле
и последовательность операторов Аn, действующих в пространстве С[0, 1] по формуле
.
Сходится ли последовательность Аn к А?
21. Доказать, что если для любого х l2 верно включение (x1y1, x2y2, ..) l1, то y l2.
22. Пусть Х нормированное пространство, оператор А действует в нем и при некоторых k R удовлетворяет соотношению I + 1A + 2A2 + …+ nAn = 0. Доказать, что существует обратный оператор к оператору А.
23. Доказать, что оператор А: С1[0, 1] C[0, 1] : имеет правый, но не имеет левого обратного.
24. В пространстве С1[0, 1] рассмотрим подпространство L = {x(t) С1[0, 1]: x(0) = 0} и оператор А: L С[0, 1]
,
где а(t) непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Доказать, что оператор А имеет ограниченный обратный.
25. Рассмотрим оператор А: С[0, 1] C[0, 1]:
.
Что представляет собой множество значений оператора А? Существует ли обратный оператор на множестве значений и ограничен ли он?
26. Рассмотрим оператор А: С[0, 1] C[0, 1]
.
Доказать, что А имеет ограниченный обратный на всем C[0, 1] и найти А-1.
27. Доказать, что оператор А: С[0, 1] C[0, 1]:
непрерывно обратим и найти А-1.
28. Рассмотрим оператор А: lp lq, 1 p, q < +, который определяется формулой
Ах = (1х1, 2х2, …), х = (х1, х2, …)
где k – заданная последовательность чисел, k = 1, 2, … Какова должна быть последовательность этих чисел, чтобы оператор А был ограничен?
ГЛАВА 8 7ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
Частным случаем линейного оператора является линейный функционал. Если областью определения линейного непрерывного оператора является произвольное линейное нормированное пространство X, а значениями его являются вещественные числа R (или комплексные числа C, если пространство определено над полем комплексных чисел), то такой линейный оператор называется линейным непрерывным функционалом f(x), определенным на пространстве Χ.
Так как числовая прямая есть частный случай банахова пространства, то все, что было сказано выше для линейных операторов, верно и для линейных функционалов. Например, норма линейного функционала f(x) есть число
и для любого выполняется неравенство
Нетрудно видеть также, что
Верны также все теоремы, доказанные выше для линейных непрерывных операторов.
В частности, для того, чтобы линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Х, был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Пример 1. Пусть X = L2[a, b] и . Рассматривая этот интеграл как скалярное произведение функции на функцию, тождественно равную единице, , получаем в силу неравенства Буняковского, что |f (x)| = |(x, 1)| ||x||||1|| = , ограничен. Аддитивность и однородность очевидны. Следовательно, – линейный непрерывный функционал. Нетрудно видеть, что .
Пример 2. Пусть . Положим . Аддитивность и однородность этого функционала очевидны. Так как, далее, |f (x)| = |x(a)| , то – ограниченный и, следовательно, непрерывный функционал. Снова легко проверить, что .
Пример 3. Пусть Х = Rn, то есть k-мерное евклидово пространство. Для элемента этого пространства положим , где – некоторые константы. Аддитивность и однородность функционала снова очевидна. Так как означает, что для всех , то
,
и непрерывность доказана.
Замечание. Норме линейного функционала можно дать геометрическое истолкование. Так как в - мерном евклидовом пространстве уравнение плоскости
можно записать в виде , то по аналогии назовём гиперплоскостью в произвольном линейном пространстве X совокупность точек этого пространства, удовлетворяющих уравнению , где f есть линейный непрерывный функционал на X. Гиперплоскости и естественно назвать параллельными.
Гиперплоскость делит пространство X на два полупространства: совокупность точек x, в которых , и совокупность точек x, в которых . Гиперплоскость обладает тем свойством, что весь единичный шар лежит целиком по одну сторону от этой гиперплоскости (ибо для точек шара мы имеем ). С другой стороны, никакая из параллельных гиперплоскостей этим свойством уже не обладает. Так, что естественно гиперплоскость назвать опорной (или касательной) к шару .
Рассмотрим принцип продолжения по непрерывности для ограниченного оператора А: L F, заданного на некотором всюду плотном подпространстве L E нормированного пространства Е.
Теорема 1(продолжение по непрерывности). Пусть L Е всюду плотное подпространство в Е u F есть банахово пространство. Тогда для каждого ограниченного оператора A: L F существует единственный ограниченный оператор B:E F такой, что Вх = Ах при всех xL и ||B|| = ||А||.
Доказательство. По условию плотности подпространства L в Е для каждого х Е найдется такая последовательность {хn} L, что = x. Так как ||Axi – Axj|| = ||A(xi – xj)|| ||A|||| xi – xj||, то последовательность векторов {Ахn} фундаментальна в пространстве F. В силу полноты F существует предел Вх = . Возьмем еще один вектор у Е и выберем последовательность векторов {yk} L, сходящуюся к у. Поскольку предел суммы равен = x+y, то из линейности оператора А вытекают равенства:
В(х + у) = = = = Вх + By.
В частности, полагая здесь у = – х, получим, что значение оператора Вх не зависит от выбора последовательности, сходящейся к элементу х. Аналогично проверяется, что В(х) = Вх. Таким образом, оператор В линейный. Так как Вх = Ах при всех x L, то ||В|| ||A||. С другой стороны, в силу непрерывности нормы ||Bx|| = ||A|| ||A||||x|| при всех хЕ. Следовательно, ||В|| ||A|| и значит справедливо равенство ||B|| = ||А||. Единственность оператора продолжения В следует из его определения.
Пример 4. Рассмотрим пространство С[0, 1] непрерывных функций на отрезке [0, 1] с чебышевской нормой и его линейное подпространство всех алгебраических полиномов P(х) = . По теореме Вейерштрасса подпространство всюду плотно в пространстве С[0,1].
Пусть в подпространстве действует оператор дифференцирования DP(x) = Р(х), где Р. Так как ||Dxi|| = i при всех натуральных i, то оператор неограничен и ||D|| = . Ясно, что оператор дифференцирования нельзя продолжить на пространство С[0,1] так, чтобы он был ограниченным оператором.
Если сузить оператор Р на подпространство n полиномов степени не выше n, то получится ограниченный оператор Dn, который уже имеет ограниченное продолжение в C[0, l]. Для доказательства достаточно взять ограниченный оператор Bnf(x) = Ln(х), где Ln(х) есть интерполяционный многочлен Лагранжа степени n для функции f(x) С[0, 1].
Оператор дифференцирования Df(x)=f(x) можно рассматривать на пространстве С1[0, 1] непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0, 1] с нормой ||f ||1 = + и со значениями в пространстве С[0, 1]. Тогда получится ограниченный оператор, который является продолжением оператора D, заданного на подпространстве .
Рассмотрим линейный функционал f: L R, заданный на подпространстве L Е. Линейный функционал g: Е R называется продолжением функционала f на пространство Е, если g(х) = f (x) при всех х L.
Следующая теорема занимает центральное место в функциональном анализе.
Теорема 2 (Хана-Банаха). Пусть в пространстве Е задана полунорма р(х), т.е. вещественная функция на Е, удовлетворяющая условиям: 1) р(х) = р(х) для любого 0 и любого хЕ; 2) р(x + y) p(x) + p(y), x, y E..
Пусть L подпространство E. Тогда каждый линейный функционал f: L R, удовлетворяющий условию |f(х)| р(х) при всех x L, имеет такое продолжение g: E R на все пространство Е, что |g(x)| p(x) при всех х Е.
Доказательство. Пусть вектор e1 L и подпространство L1 = span{L,e1} является линейной оболочкой подпространства L и вектора е1. Так как для всех x, yL имеют место неравенства
f(х) + f(у) = f(х + у) p(x + y) p(x – e1) + p(y + e1),
то f(x)– p(x — el) p(y + e1) – f(y). Поэтому по аксиоме Дедекинда найдется такое число c1 R, что
f(x)– p(x — el) c1 p(y + e1) – f(y)
при всех х, у L. Подставляя сюда х/ вместо х и у, а затем умножая на , имеем f(x) ± c1 р(х ± е1) при всех > 0 и при всех х L.
Определим функционал f1, на подпространстве L1 по формуле f1(z) = f(x) + c1 для всех z= х+е1 L1, где х L и R. Тогда f1(x) = f(x) для всех xL и по доказанному выше f1(z) p(z) для всех z L1. Так как полунорма обладает свойством симметрии p(–z) = p(z), то справедливо неравенство |f1(z)| p(z).
Аналогично можно доказать существование продолжения f2 на линейную оболочку L2 = span{L1, e2}, где вектор е2 L1, и т. д. Поэтому, если пространство Е имеет конечную или счетную размерность, то доказательство теоремы завершается по индукции.
В общем случае рассмотрим совокупность всех g продолжений функционала f на некоторые подпространства G E, удовлетворяющие условию |g(x)| p(x) при всех х G. Введя отношение порядка g1 g2, если g2 является продолжением g1, получим частично упорядоченное множество линейных функционалов.
По лемме Цорна в множестве существует максимальный элемент g. Как показано выше, каждый линейный функционал можно продолжить на более широкое подпространство. Поэтому максимальный функционал g должен быть определенным на всем пространстве G = E и значит удовлетворяет теореме.
Пусть функционал f : L R определен на подпространстве LE нормированного пространства Е. Тогда норма этого функционала вычисляется по формуле:
Одним из следствий теоремы Хана-Банаха является возможность продолжения функционала f на все пространство Е с сохранением его нормы на подпространстве L. Однако, как показывают примеры, такое продолжение не всегда обладает свойством единственности.
Следствие 1. Для каждого линейного ограниченного функционала f :L R, заданного на подпространстве L банахова пространства E, существует такое его продолжение g: E R на все пространство Е, что ||g|| = ||f ||L.
Доказательство. Применяя теорему Хана-Банаха, где в качестве полунормы взята функция р(х) = ||f ||L||x||, мы получим неравенство |g(x)| ||f ||L||x|| при всех хЕ.
Отсюда следует ||g || ||f ||L. Поскольку функционалы совпадают g(x) = f (х) всех x L, то ||g|| = || f ||L.
Следствие 2. Для любого элемента х 0 банахова пространства Е существует линейный функционал f E* такой, что 1) ||f || = 1; 2) f(x) = ||x||.
Доказательство. Рассмотрим одномерное пространство L, порожденной вектором х. Определим линейный непрерывный функционал на L по правилу f (x) = ||x||. Этот функционал на L удовлетворяет условиям 1 и 2 следствия. Действительно, f(x) = ||x||, . Осталось продолжить этот функционал на все Е с сохранением нормы.
Следствие 3. Для любого элемента х 0 банахова пространства Е справедливо равенство ||x|| = .
Доказательство легко вытекает из следствия 2 и неравенства |f (x)| ||f ||||x||.
Следствие 4. Если для элемента х банахова пространства Е для любого линейного непрерывного функционала f выполняется равенство f(x) = 0, то х = 0.
Это сразу вытекает из следствия 3.
2. Сопряженные пространства
Пусть Е — нормированное пространство. Совокупность всех ограниченных функционалов обозначается через Е* и называется сопряженным пространством к Е. Поскольку линейный функционал f : Е R можно рассматривать как линейный оператор, действующий из Е в R, то сопряженное пространство Е* совпадает с пространством ограниченных операторов L(Е, R). Следовательно, по доказанному ранее, Е* — банахово пространство.
Пример 5. Сопряженное пространство к Rn. Докажем, что сопряженное пространство (Rn)* к евклидовому пространству Rn изометрично самому пространству Rn.
Рассмотрим стандартный базис {еj} пространства Rn, т. е. ej = {eij}, где eij = 0, если i j, и еii = 1. Для произвольного вектора х = (x1, …, xn) Rn и для произвольного функционала f (Rn)* имеем равенства: , . Полагая далее у = (у1, ..., уn), где yi = f (ei), и применяя неравенство Гельдера, получим неравенство:
.
Если взять вектор х с координатами хi = уi/||у||, то это неравенство превращается в равенство | f (х)| = ||у||. Следовательно, норма || f || = ||у|| и значит отображение, при котором каждому функционалу f (Rn)* соответствует вектор у Rn с координатами yi = f (ei), является изометричным.
Пример 6. Сопряженное пространство с*. Пространство, обозначаемое через с, состоит из всех сходящихся последовательностей х = {хi}, где хi R, i = 1, 2, …, и имеет норму ||x|| = |xi|. Покажем, что каждый функционал f с* имеет вид
.
Отсюда видно, что сопряженное пространство с* изометрично пространству l1 абсолютно суммируемых последовательностей y = {yi} с нормой ||y|| = .
Пусть векторы еi из примера 5, а вектор e = {1, 1, ...}. Обозначая предел через х0 = для произвольного вектора х = {xi} с имеем
.
Следовательно, ряд сходится по норме пространства с. Далее, используя линейность и непрерывность функционала f с*, мы получим
Пусть = f (е) и yi = f(ei). Если в этой формуле вектор x имеет координаты xi = sgnyi при i n и хi, = 0 при i > n, то ||x|| 1 и значит при всех n
Таким образом, ряд y0 = – сходится абсолютно и формула принимает следующий вид:
.
Отсюда легко вытекает, что норма || f || Если в указанной формуле положить хi = sgnyi, при i = 1,2,..., n и xi = sgny0 при i > n, то ||x|| = 1 и при всех n будет справедливо неравенство
.
Устремляя n , получаем равенство .
Сопряженное пространство Е* является банаховым пространством. Поэтому можно рассматривать второе сопряженное пространство Е** = (Е*)*, состоящее из всех ограниченных функционалов на сопряженном пространстве Е*. Как и всякое сопряженное пространство оно является банаховым пространством.
Отображение J: Е Е** нормированного пространства во второе сопряженное пространство, заданное по формуле J(x) = x, где действие линейного функционала x Е** для всех f Е* определено равенством x(f ) = f (x), называется отображением двойственности. Далее мы будем обозначать через S* замкнутый единичный шар в Е*.
Введем еще одно полезное понятие. Отображение i: Y Х топологических пространств Y, Х называется вложением Y в Х, если: 1) i непрерывно; 2) i: Y i(Y) – гомеоморфизм, где i(Y) Х – подпространство в Х, являющееся образом Y при гомеоморфизме i.
Теорема 3 (двойственности). Отображение J является изометричным вложением пространства Е во второе сопряженное пространство Е**.
Доказательство. По определению отображения J каждому вектору х Е соответствует функционал x, определенный на сопряженном пространстве Е* по формуле x(f ) = f (x) при всех f Е*. Легко проверить, что функционал x является линейным:
x (f + g ) = (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x(f ) + x(g), x (f ) = f (x) = x(f ).
Для того чтобы вычислить норму функционала, рассмотрим линейную оболочку L = span{x} вектора х и определим на ней линейный функционал по формуле l(х) = ||x|| при всех R. В силу следствия из теоремы Хана-Банаха этот функционал имеет продолжение h Е* с нормой ||h|| = ||l||L = 1. Так как x(h ) = h(x) = l(x) = ||x||, |x(f )| ||x|| для всех f S*, то ||x|| = ||x||. Следовательно, имеет место равенство ||J(x)|| = ||x|| при всех х Е. Таким образом, отображение J :Е → Е** изометрично.
Отображение двойственности J : Е Е** называется также естественным вложением во второе сопряженное пространство. Каждый элемент х Е можно отождествить с ограниченным функционалом J(x) = x Е** на сопряженном пространстве Е*.
Поэтому очень часто вводится симметричное обозначение для значений функционала f(x) = (f, x), где х Е и f E*. Выражение вида (f, x) можно рассматривать как непрерывную билинейную форму на прямом произведении Е*Е.
В самом деле, линейность по f и по х следует из ее определения, а непрерывность вытекает из неравенств
|(f , x) – (g, y)| |(f – g, x)| + |(g, x – y)| ||f – g||||x|| +||g||||x – y||.
Эта двойственность между векторами и функционалами проявляется также в следующих формулах:
.
В случае, если образ вложения ImJ совпадает с пространством E** нормированное пространство Е называется рефлексивным.
Далее будут рассмотрены примеры сопряженных для конкретных банаховых пространств. Будет отмечена их рефлексивность или нерефлексиность.
3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
Рассмотрим пространство C[a,b] непрерывных вещественных функций на отрезке [a,b], которое имеет чебышевскую норму
.
Наша цель описать сопряженное пространство к С[а, b].
Пусть на отрезке [а, b] задана конечная вещественная функция f (x). Разложим отрезок [а, b] на части точками x0 = a < x1 < …< xn = b и составим сумму
Определение 1. Точная верхняя грань всевозможных сумм V называется полной вариацией функции f (x) на отрезке [а, b] и обозначается . Если полная вариации f (x) конечна, то функция называется функцией ограниченной вариации.
Пусть далее V[а, b] обозначает пространство всех вещественных функций g: [a, b] R ограниченной вариации на отрезке [a, b]. В этом пространстве – полная вариация функции g является полунормой (см. теорему Хана-Банаха):
Считая две функции f, g V[а, b] эквивалентными f g, если их разность f(x) – g(x) = с есть константа, получим нормированное пространство, в котором нормой является полная вариация ||g|| = функции g V[a, b].
Так как любая непрерывная слева функция g(x) ограниченной вариации определяет заряд (задача 5.24) и справедливо разложение Жордана для зарядов (определение 5.7), то с помощью мер, порождаемых этим разложением можно построить интегралы Лебега, разность которых называется интегралом Лебега-Стильтьеса и обозначается
Теорема 4 (Рисса). Для любого ограниченного линейного функционала С*[а, b] найдется такая функция ограниченной вариации g V[a, b], что функционал представляется в виде интеграла Лебега-Стилтьеса:
и его норма равна вариации |||| = функции g.
Доказательство. Пространство непрерывных функций есть замкнутое подпространство в пространстве M[a, b] ограниченных функций на отрезке [a, b].
По следствию из теоремы Хана-Банаха каждый функционал С*[а, b], определенный на подпространстве С[а, b], имеет продолжение на все пространство M[a, b] с сохранением его нормы. Это продолжение мы будем обозначать также через а.
Пусть ut(x) = [a, t)(x) – характеристическая функция полуинтервала [a, t), если а t < 1, и функция иb(х) = 1 на отрезке [a, b]. Покажем, что функция g(t) = (ut) имеет ограниченную вариацию на [a, b]. Действительно, для данного разбиения отрезка [a, b], оценим сумму
=
=,
где последнее неравенство вытекает из определения нормы функционала. Так как функция на отрезке принимает лишь два значения, либо +1 , либо -1, то = 1 и мы получили неравенство ||||. Отсюда |||| и, следовательно, величина вариации функции g будет конечной на отрезке [a, b].
Возьмем теперь произвольную непрерывную функцию f С[a, b] и построим ступенчатую функцию
,
где j [j – 1, j]. Пусть d = maх(j - j - 1) – диаметр разбиения. Тогда для любой последовательности разбиений с d 0 последовательность функций f сходится равномерно к f на отрезке [a, b] и в силу непрерывности функционала (f ) получим, что предел равен интегралу Стилтьеса
.
Таким образом, каждый ограниченный функционал из сопряженного пространства C*[a,b] представляется интегралом Стилтьеса относительно функции g(t) = (ut) ограниченной вариации на отрезке [a, b] и теорема доказана.
Нетрудно показать, что для любой функции ограниченной вариации, выражение из теоремы 3 определяет линейный непрерывный функционал. Можно также установить, что пространство C*[a,b] изометрически изоморфно пространству функций ограниченной вариации, непрерывных слева на интервале (a, b).
Покажем, что пространство С[0, l] не является рефлексивным, т. е. образ ImJ отображения двойственности не совпадаете С**[0, 1].
Для этого мы рассмотрим функционал (g) = g(+0) – g(0) на пространстве функций g V[0, 1] ограниченной вариации. Поскольку при всех g V[0, 1], |g(+0) – g(0)| (g), h(+0) – h(0) = (h) = 1, где h(0) = 0 и h(x) = 1, если 0 < x 1, тo норма |||| = 1. Предположим теперь, что существует непрерывная функция f С[0, 1] такая, что
(g) = g(+0) – g(0) = , g V[0, 1].
В частности, равенство верно для функции g(x) = . Поэтому, подставляя эту функцию, получим
(g) = 0 =
Отсюда следует, что функция равна нулю f = 0, а значит и функционал также равен нулю = 0. Таким образом, имеет место противоречие с условием |||| = 1.
4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
Пусть задано измеримое пространство (X, , ) с счетно-аддитивной меры на множестве X и 1 р < .
Определение 2. Множество всех измеримых функций f: X R, у которых степень |f |p интегрируема на X, называется лебеговым пространством Lр(Х).
Элементами этого пространства Lр(Х) являются классы эквивалентных функций.
Из неравенства Минковского вытекает, что Lр(Х) является линейным пространством. Норма в этом пространстве определяется по формуле:
.
Теорема 5. Пространства Lр(Х) при 1 р < являются банаховыми.
Доказательство. Вначале покажем, что Lр(Х) является нормированным пространством. Однородность нормы очевидно выполнена. Из неравенства Минковского вытекает ||f + g|| < ||f || + ||g|| – неравенство треугольника. Если ||f || = 0, то f(x) = 0 при п. в. х Х (следствие 2 теоремы 5.4), и значит функция f ~ 0 эквивалентна нулю на X. Таким образом, все аксиомы нормы выполнены.
Докажем полноту пространства Lр(Х). Для каждой фундаментальной последовательности {fn} возьмем последовательность индексов n1 < n2 < ... так, что при всех i, j nk выполняется неравенство ||fi – fj|| <2–k. Теперь заметим, что функция g(x) = ,
,
интегрируема в степени р. В самом деле, функции gn(x) образуют неубывающую последовательность gn g при п и по неравенству треугольника
.
Следовательно, в силу теоремы о монотонной сходимости функция g будет интегрируемой в степени р и значит конечной п. в. на множестве X. Отсюда ряд
сходится абсолютно п. в. на X. Так как |f(x)|p gp(x), то функция f будет также интегрируемой в степени р.
Применяя лемму Фату (лемма 5.4) и неравенство треугольника, мы получим неравенство
.
Таким образом, = 0, т. е. существует предел у подпоследовательности {}. Осталось заметить, что если последовательность {fn} фундаментальна в нормированном пространстве Lр(Х) и содержит сходящуюся подпоследовательность к функции f, то сама последовательность также является сходящейся в пространстве Lр(Х) и ее предел будет равен f (лемма 3.4).
Определение 3. Множество всех измеримых функций f: X R, ограниченных на дополнении некоторого множества меры нуль, образует пространство L(X).
Элементами этого пространства L(X) являются классы эквивалентных функций, называемые существенно ограниченными функциями на множестве X.
Из свойств измеримых функций вытекает, что L(X) есть линейное пространство. Норма в нем по определению равна существенной верхней грани
.
Докажем, что нижняя грань в определении нормы достигается на некотором множестве меры нуль. Для этого выберем множества An меры нуль так, чтобы
,
и положим N(f) = . В силу счетной полуаддитивности меры множество N(f) имеет меру нуль и, значит, справедливо равенство .
Отсюда нетрудно заметить, что сходимость в пространстве L(X) совпадает с равномерной сходимостью на дополнении некоторого множества меры нуль.
Теорема 6. Пространство существенно ограниченных функций L(X) есть банахово пространство.
Доказательство. Докажем вначале, что в пространстве L(X) выполняются аксиомы нормы. Свойство однородности нормы очевидно выполнено. Если ||f || = 0, то из сказанного выше вытекает, что f(x) = 0 п. в. на X и значит функция f эквивалентна нулю.
Проверим неравенство треугольника. Пусть функции f, g L(X) и множество A = N(f)N(g), тогда
.
Докажем полноту пространства L(X). Для этого рассмотрим фундаментальную последовательность {f n} и определим множество D = меры (D) = 0. Поскольку имеет место равенство
,
то на множестве X\D последовательность {f n} будет ограниченной и фундаментальной в чебышевской метрике. В силу полноты пространства ограниченных функций M(X\D} существует равномерный предел на множестве X\D. Положим f = 0 на D, тогда функция f ограничена и измерима на множестве X. При этом, в силу равномерной сходимости, предел = 0 в метрике L(X).
Пусть задано измеримое пространство (X, , ) с счетно-аддитивной мерой . Обозначим через (Х) множество всех простых интегрируемых функций на X и будем предполагать, что Х имеет -конечную меру.
Теорема 7. Сопряженное пространство Lр*(X) изометрично пространству Lq(X), где число q = p/(p—1) в случае 1 < р < и q = в случае р = 1. При этом каждый ограниченный функционал Lр*(X) представляется интегралом Лебега:
,
где g Lq(X) и норма функционала равна |||| = ||g||q (норме функции g в пространстве Lq(X)).
Доказательство. Рассмотрим функцию (А) = (А) измеримого множества А конечной меры. В силу свойства линейности функционала эта функция является конечно-аддитивной. Поскольку по определению нормы функционала а имеет место неравенство |(A)| = |(A)| ||||||A|| = ||||1/p(A), то функция (А) – абсолютно непрерывна. По теореме Радона-Никодима существует интегрируемая функция g на каждом измеримом множестве А конечной меры такая, что имеет место равенство (А) = .
Каждая простая функция h (Х) является линейной комбинацией характеристических функций. Поэтому в силу линейности интеграла и функционала
h (Х).
Возьмем теперь простую функцию h (Х) такую, что 0 h |g|. Так как функция hq–1sgn(g(x)) измерима и ограничена, то она является равномерным пределом последовательности простых функций hn (Х). Поэтому
= .
Откуда и из определения интеграла Лебега вытекает, что ||g||q |||| в случае р > 1.
В случае р = 1 допустим, что при некотором > 0 множество Е {xA: |g(x)| > |||| + } имеет конечную и положительную меру. Полагая h(х) = E sgn(g(x)), имеем
.
Это противоречит определению нормы функционала . Следовательно, ||g|| |||| в случае р = 1.
Поскольку каждая интегрируемая функция f Lp(X) может быть представлена в виде предела простых интегрируемых функций hn (Х) и в силу неравенства Гельдера мы получим
,
то из непрерывности функционала вытекает
(f ) = –
указанное представление. Применяя теперь к этому представлению неравенство Гельдера
,
заключаем, что норма функционала |||| = ||g||q.
Пример 7. Пусть 1 р < и lр пространство всех последовательностей из примера 6.3. Заметим, что lр есть частный случай пространства Lp(X), где X = N есть множество натуральных чисел и мера (А) равна количеству натуральных чисел множества А N.
По доказанному ранее lp является банаховым пространством. Следующая теорема есть частный случай теоремы для пространства Lp(X).
Теорема 8. Если 1 р < , то сопряженное пространство (lp)* изометрично пространству lq, где число q = р/(р – 1) в случае 1 < р < и q = в случае р = 1.
5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
Рассмотрим сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство H, и пусть – полная ортонормальная система векторов в этом пространстве. Если х – некоторый элемент из H, то этому элементу можно сопоставить в соответствие последовательность чисел , являющихся коэффициентами Фурье вектора х по системе .
Как было показано в п.45 гл.56, ряд сходится, и, следовательно, последовательность можно рассматривать как некоторый элемент гильбертова пространства . Таким образом, каждому элементу соответствует некоторый элемент , причём в силу условия полноты системы
. (1)
Далее очевидно, что если соответствует и соответствует , то и x соответствует и , где – вещественное число. Отсюда и из (1) следует:
. (2)
Пусть теперь – произвольный элемент из . Рассмотрим в H элементы , . Имеем , и потому при .
Таким образом, последовательность фундаментальна. В силу полноты H она сходится в смысле метрики пространства H к некоторому элементу этого пространства. Так как , то коэффициенты Фурье элемента z по ортонормальной системе есть числа . Таким образом, каждый элемент соответствует некоторому элементу . Тем самым, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространств H и . Формула (2) показывает, что это соответствие между H и .является изометрией. Учитывая ранее сказанное относительно сохранения операций сложения и умножения на число при рассматриваемом соответствии, получаем, что H и изометрически изоморфны. Таким образом, нами доказаны следующая теорема.
Теорема 9. Всякое (вещественное) сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично и изоморфно (вещественному) пространству и, следовательно, все вещественные сепарабельные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.
Следствие. Вещественные пространства и изометричны и изоморфны.
Найдём общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве H два элемента, x и y, и скалярное произведение этих элементов . Если мы зафиксируем вектор y и будем менять вектор x, то получим некоторый функционал , определённый на H: .
Из аддитивности и непрерывности скалярного произведения следует, что – линейный функционал в H. Выбирая различные , мы будем получать различные линейные функционалы . Покажем, что таким образом мы получим все линейные функционалы.
Теорема 10 (Рисса-Фишера). Всякий линейный функционал , определённый на гильбертовом пространстве H, имеет вид
, (3)
где элемент однозначно определяется функционалом f. При этом .
Доказательство. Рассмотрим подпространство , определяемое уравнением (ядро функционала). Замкнутость N следует из непрерывности функционала .
Если , т. е. тождественно равен нулю, мы можем написать , и в этом случае равенство (3) доказано.
Пусть теперь ; возьмём , и обозначим через проекцию элемента на ортогональное дополнение М подпространства N. Пусть . (ясно, что 0). Тогда, полагая , будем иметь .
Возьмём любой элемент , и пусть . Имеем , откуда , т. е. . Поэтому любой вектор имеет вид
, (4)
т. е. H есть ортогональная сумма подпространства N и одномерного подпространства M, порождаемого элементом . Из равенства (4), умножая скалярно на , получаем (y1N = M, z N), или
.
Обозначая через , будем иметь , и равенство (3) доказано.
Если, теперь при всех верно равенство для некоторого другого элемента , то или при любом . В частности полагая , получим , т. е. и однозначность представления линейного функционала в виде скалярного произведения доказана.
Из неравенства Коши-Буняковского при , получим , поэтому и
. (5)
С другой стороны, если , то мы будем иметь
,
и так как , то
. (6)
Из сравнения (5) и (6) следует, что , и теорема полностью доказана.
Как частные случаи этой теоремы, получаем
а) Всякий линейный функционал в L2[a, b] имеет вид
,
где также принадлежит L2[a, b], причём
.
б) Всякий линейный функционал в имеет вид
,
где , причём .
6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х Х и f Y*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)| ||f ||||Ax|| ||f ||||A||||x||. Эти неравенства показывают, что линейный функционал (х), определенный равенством (х) = f(Ax), является ограниченным функционалом. Таким образом, каждому линейному ограниченному функционалу f Y с помощью оператора А ставится в соответствие линейный непрерывный функционал Х*. Меняя элемент f мы будем получать, вообще говоря, разные элементы ; тем самым мы получаем оператор
= A*f,
определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:
(Ax, f)=(x, A*f). (1)
Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.
Действительно, если для всех x и y имеют место равенства
(Ax, y) = (x, A*y) = ( x, A1*y),
то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A1*y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A1*.
Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и .
Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z Y*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* X, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x X.
С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем
(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),
т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z. Это доказывает аддитивность оператора А*. Однородность также легко проверяется.
Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки
.
Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и .
У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)
(A*y, x) = (y, A**x) (2).
Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что
(Ax, y) = (A**x, y) хХ, yY.
В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем , что и дает требуемое равенство:. Теорема доказана.
Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то
1. (А+В)*=А*+В*
2. (λА)*= λА*
3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.
Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:
1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);
2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, ( λA*y));
3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).
Теорема доказана.
Пример 8. В пространстве L2[a,b] рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,
, где
.
Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.
7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора
Определение 4. Линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н называется самосопряженным или симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным: А = А*.
Иными словами, самосопряженный оператор А характеризуется условием (Ax, y) = (x, Ay) для . В последнем примере, если ядро K(t, s) симметрическое: K(t, s) = K(s, t), то
и значит, интегральный оператор будет симметрическим.
Нетрудно видеть, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов также является самосопряженным оператором.
Таким образом, в линейном нормированном пространстве линейных операторов, отображающих Н в Н, самосопряженные операторы составляют линейное многообразие. Кроме того, мы сейчас докажем, что это подмножество замкнуто и, следовательно, является подпространством. Другими словами, если операторы An – самосопряженные и An (по норме), то и оператор А – самосопряженный. Докажем даже более сильное утверждение.
Теорема 13. Если операторы An – самосопряженные и последовательность {An} точечно сходится к оператору А, то А будет также самосопряженный оператор.
Доказательство. Из непрерывности скалярного произведения следует, что при любых .
(Ах, у) = (Аnx, y) = (Аnx, y) = (x, Аny) = (x, Аny) = (x, Ay).
Теорема доказана.
Если операторы А и В – самосопряжённые, то Следовательно, для того, чтобы оператор АВ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы , т.е., чтобы операторы А и В были перестановочны между собой. В частности, все степени самосопряжённого оператора А также есть самосопряжённые операторы.
Имеет место следующая важная формула для нормы самосопряжённого оператора.
Теорема 14. Если оператор А – самосопряжённый, то
Доказательство. По неравенству Коши – Буняковского имеем, при Следовательно, если то
Докажем обратное неравенство. Заметим, что любой можно представит в виде где (т.к. если то если то любой вектор с нормой равной единице). Отсюда для любого выполнено |(Az, z)| = ||z||2|(Az, z )| C||z||2.
Теперь для любых учитывая равенство имеем
и, вычитая из первого равенства второе, находим
Отсюда, и установленного выше неравенства |(Az, z)| C||z||2
|(Ax, y)| C(||x + y||2 + ||x – y||2)|.
Воспользуемся равенством параллелограмма (теорема 6.8)
,
получаем
|(Ax, y)| C(||x||2 + ||y||2)|.
Полагая подставим в последнем неравенстве . Тогда и мы получаем или Это же неравенство верно и при Ах = 0. Следовательно, и, тем самым, равенство доказано.
Следствие 1. Если для самосопряжённого оператора при всех то А=0.
Действительно, если при всех то по теореме, и значит А = 0.
Для самосопряжённого оператора А вводится ещё понятие его границ – верхней и нижней:
Следствие 2.Из теоремы следует, что
Из определения границ легко выводится, что для любого имеет место соотношение
Задачи
1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0, 1]?
1) ;
2) F(x)=x(1/2);
3) ;
4)
5) ;
6) ;
7) F(x)=x(t0);
8) ;
9) ;
10) .
Какие из этих функционалов непрерывны в C[0, 1]? Вычислить их нормы.
Какие из этих функционалов непрерывны в L2[0,1]? Вычислить их нормы.
2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l2, будут линейными; непрерывными?
1) f(x)= xksink;
2) f(x)= xk;
3) f(x)= xksgn(k-n);
4) f(x)= xk2k1/2;
5) f(x)= xkk-1/2;
6) f(x)= xk2;
7) f(x)= xk-xk-1;
8) f(x)= |xk|;
9) f(x)=supk|xk|;
10) f(x)= |xk| 2.
3. Найти норму функционала в пространстве C[0, 1].
4. Непрерывны ли на пространстве , следующие линейные функционалы
а) ;
б) ;
5. Проверить, что функционал
непрерывен в пространстве ; показать, что точная верхняя грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства С[0,1] равна 1, но эта верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.
6. Пусть в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0, т.е. (xn, y) (x0, y) для любого y H, и ||хn|| ||х0||. Показать, что хn х0.
7. Если в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0 и последовательность {yn} сходится по норме к y0, то (хn, yn) (х0, y0). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {yn}?
8. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной, т.е. сходимостью по норме.
ГЛАВА 9 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
Определение 1. Линейный оператор А, действующий из линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство Y, называется вполне непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество пространства X в относительно компактное множество пространства Y.
Теорема 1. Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным.
Доказательство. Так как А вполне непрерывен, то образ единичного шара из X будет относительно компактное множество в Y, а любое относительно компактное множество ограничено, что означает ограниченность оператора А. Теорема доказана.
Если y = Ax – произвольный линейный (ограниченный) оператор, то образ любого ограниченного множества также ограничен. Поэтому, если пространство Y таково, что в нем всякое ограниченное множество относительно компактно, то и всякий линейный оператор, отображающий X в Y, будет вполне непрерывен. В частности, это заключение справедливо для линейных операторов и для линейных функционалов, совокупность значений которых конечномерна. Однако, в общем случае, при произвольных X и Y , можно лишь утверждать, что вполне непрерывные операторы составляют часть класса линейных операторов. Например, в пространстве l2 множество всех координационных ортов ограничено, но из него нельзя выделить сходящийся последовательности, так как расстояние между любыми двумя различными ортами равно . Из этого следует, что тождественный оператор в l2 не будет вполне непрерывным. Также не является вполне непрерывным тождественный оператор I в пространстве C[0, 1]. В самом деле, оператор I переводит ограниченную последовательность xn(t) = tn в себя, а эта последовательность не компактна в смысле равномерной сходимости.
Пример 1. Пусть Ax = , где K(t, s) непрерывное в квадрате ядро оператора. Тогда оператор А действует в C[a, b] и вполне непрерывен. То, что оператор A линеен и действует в C[a, b] было доказано прежде. Требуется доказать, что для любого ограниченного множества множество A(M) компактно. Рассмотрим функции вида
где . Пусть для любого . Имеем
, где
. Таким образом, функции равномерно ограничены. Далее,
Ядро K(t,s), как непрерывное в замкнутом квадрате , по теореме Кантора равномерно непрерывно в нем. Поэтому всякий раз, когда независимо от положения точек (t1,s) и (t2,s) в квадрате . Но тогда
всякий раз, когда независимо от выбора функции y(t) в множестве A(M) и от положения точек t1 и t2 на отрезке [a, b], что означает равностепенную непрерывность функций множества A(M).
Таким образом, функции множества A(M) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, следовательно, по теореме Арцела множество A(M) относительно компактно, что и требовалось доказать.
Лемма 1. Пусть А – вполне непрерывный оператор, отображающий банахово пространство в себя, и В – произвольный линейный непрерывный оператор, действующий в том же пространстве. Тогда АВ и ВА – вполне непрерывные операторы.
Доказательство. В самом деле, оператор В преобразует произвольное ограниченное множество M в ограниченное множество В(М) , и это множество оператор А преобразует в относительно компактное множество А(В(М)). Следовательно, оператор АВ переводит любое ограниченное множество в относительно компактное и поэтому вполне непрерывен. Аналогично показывается, что и оператор ВА вполне непрерывен.
Нетрудно видеть, что если операторы A и B вполне непрерывны, то также будет вполне непрерывным оператором.
Таким образом, вполне непрерывные операторы в пространстве линейных операторов, преобразующих X в Y, образуют линейное многообразие.
Следующая теорема показывает, что при условии полноты пространства Y, это линейное многообразие замкнуто, т.е. является подпространством.
Теорема 2. Если последовательность вполне непрерывных операторов {An}, отображающих нормированное пространство X в банахово пространство Y, равномерно сходится к оператору А , т.е. , то А также будет вполне непрерывным оператором.
Доказательство. Необходимо доказать, что А отображает всякое ограниченное множество пространства X в относительно компактное множество пространства Y.
Пусть ограниченное множество в X, тогда для любого и некоторой константы С. Для заданного ε > 0 найдем номер n0 такой, что . Тогда множество = N есть ε – сеть для A(M)=K. В самом деле, для любого имеем .
Так как, в силу вполне непрерывности и ограниченности M множество N относительно компактно, то мы получаем, что K при любом ε>0 имеет компактную ε -сеть и потому само относительно компактно. Итак, оператор А отображает произвольное ограниченное множество в относительно компактное, и, следовательно, вполне непрерывен. Теорема доказана.
Таким образом, совокупность всех вполне непрерывных операторов из нормированного пространства Х в банахово пространство Y является подпространством L(X, Y). Мы будем обозначать это подпространство K(X, Y).
Пример 2. в пространстве L2[a,b] рассмотрим интегральный оператор
с ядром, имеющим интегрируемый квадрат:
(1)
Покажем, что оператор А вполне непрерывен.
Ранее мы показали, что этот интегральный оператор является ограниченным оператором в гильбертовом пространстве H = L2[a,b]. Если функция K(t, s) имеет вид
где , , k=1,…,n – функции с интегрируемым квадратом (такое ядро K(t,s) называется вырожденным), то оператор А ограничен и
т.е. оператор А переводит все пространство L2[a,b] в конечномерное пространство, порожденное функциями . А поскольку всякое ограниченное множество в конечномерном пространстве компактно, то это означает, что интегральный оператор с вырожденным ядром является вполне непрерывным.
Пусть теперь K(t, s) – произвольная функция, квадратично интегрируемая в области . Тогда эту функцию можно разложить (по метрике L2(G) в ряд вида (двойной ряд Фурье))
(2)
В качестве функций en(t) можно взять любую полную ортогональную систему в пространстве L2[a,b]. В этом случае произведения em(t)en(s) (m, n = 1, 2,…) образуют полную ортогональную систему в пространстве L2(G).
Вырожденные ядра, построенные по частным суммам Kpq(t,s) ряда (2)
образуют последовательность вполне непрерывных операторов.
.
Используя оценку нормы оператора (см. выше), получим неравенство
,
из которого следует, что операторы Apq при сходятся по норме к оператору А. Применяя теорему 2, заключаем, что вместе с операторами Apq, оператор А также вполне непрерывен, что и утверждалось.
2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
Оказывается, АL(X, Y) и сопряженный к нему оператор A* L(Y*, X*) одновременно вполне непрерывны или нет. Точнее, имеет место следующая теорема Шаудера.
Теорема 3 (Шаудера). Пусть АL(X, Y), где Y – полное. Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда А* вполне непрерывен.
Необходимость. Пусть S и S* – замкнутые единичные шары с центром в начале координат пространств X и Y* соответственно. Рассмотрим АK(X, Y). Возьмем произвольную последовательность функционалов {fn} S* и рассмотрим последовательность функций n (y) = fn(y), n=1, 2, ... На любом ограниченном в Y множестве эти функции равномерно ограничены (по n), так как |n (y)| = |fn(y)| ||fn||||y|| ||y|| и равностепенно непрерывны: |n (y1) - n (y2)| = |n (y1 - y2)| = |fn(y1 – y2)| ||fn||||y1 – y2||.
Будем рассматривать {n (y)} на множестве AS, которое компактно (ведь А вполне непрерывен) и замкнуто. По теореме Арцела найдется подпоследовательность {nk(Ax)} = {A*fnk(x)}, сходящаяся на S равномерно. Это означает, что {A*fnk} сходится в метрике X*. Следовательно, А* вполне непрерывен.
Достаточность. Пусть А* вполне непрерывен. Тогда по доказанному выше А** = (А*)* также вполне непрерывен. Пусть S** – замкнутый единичный шар в X**. Множество A**S** Y** относительно компактно. Так как пространство Y Y**, то в соответствии с этим вложением AS A**S** и, значит, AS относительно компактно в Y. Это и означает, что А вполне непрерывен. Теорема доказана.
Пусть А вполне непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X. Линейное уравнение вида (у Х)
х - Ах = у (3)
будем называть уравнением 2-го рода. Линейное уравнение Ах = у с вполне непрерывным оператором А будем называть уравнением 1-го рода. Как ни странно, теория линейных уравнений 2-го рода (3) намного проще по сравнению с теорией уравнений 1-го рода.
Перейдем к ее изложению. Наряду с уравнением (3) будем рассматривать соответствующее ему однородное уравнение
z – Az = 0, (4)
а также сопряженное уравнение
f – A*f = (3*)
и сопряженное однородное уравнение
f – A*f = 0 (4*)
Заметим, согласно теореме Шаудера оператор A* вполне непрерывен, так что все уравнения (3), (3*), (4), (4*) являются уравнениями 2-го рода. Докажем сначала следующее вспомогательное предложение.
Теорема 4. Пусть А – линейный вполне непрерывный оператор. Тогда множества значений операторов I – А и I – А* замкнуты и, значит, являются подпространствами в X и в X* соответственно.
Доказательство. Пусть {уn} принадлежит R(I – A) – множеству значений оператора I – А. Тогда найдутся xn X такие, что хn – Ахn = уn. Пусть уn у0 при n . Покажем, что y0 R(I – A). Рассмотрим ряд случаев. Если {хn} ограничена, то {Ахn} относительно компактна, откуда следует, что {хn} также относительно компактна. Достаточно заметить, что хn = уn + Ахn, где {yn} сходится, а {Ахn} относительно компактна. Вследствие компактности из {хn} можно выделить {хn(k)} – подпоследовательность, сходящуюся к х0; тогда, переходя к пределу при n(k) в равенстве хn(k) – Ахn(k) = уn(k) получим вследствие непрерывности А, что х0 – Ах0 = у0, т. е. у0 R (I – А).
Если {хn} не ограничена, то поступим следующим образом. Пусть N – подпространство нулей оператора I – A, т. е. множество всех решений уравнений (4). Введем расстояние dn = d(xn, N) = infz N ||xn – z||. Согласно определению нижней грани в N найдется элемент zn такой, что dn ||xn – zn|| (1 + 1/n)dn. Далее, (I – A) (хn – zn) = yn. Если {dn} ограничена, то, как и выше, с заменой хn на xn – zn получаем, что y0 R(I – A).
Оказывается, случай неограниченности {dn} невозможен. В самом деле, если {dn} не ограничена, то, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что dn , при n . Рассмотрим элементы
.
Тогда ||un|| = 1 и (I – A)un = 0, n , так как
.
Как и выше, отсюда следует, что найдется подпоследовательность иn(k) u0, причем u0N. Но xn(k) – zn(k) – || xn(k) – zn(k)||u0 = (un(k) – u0) || xn(k) – zn(k)||. Причем zn(k) + || xn(k) – zn(k)||u0 N. Следовательно, по неравенству (3) имеем
||un(k) – u0||(1 + 1/nk)dn(k) || (un(k) – u0)||xn(k) – zn(k)|| || =
= ||xn(k) – {zn(k) + ||xn(k) – zn(k)||u0}|| dn(k)
откуда ||un(k) – u0|| n(k)/(n(k) + 1), а это противоречит тому, что ||un(k) – u0|| 0 при n(k) . Итак, {dn} ограничена и замкнутость R(I – A) доказана. Замкнутость R(I – A*) является следствием вышеизложенного, ибо А* также вполне непрерывен. Теорема доказана.
3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
Следующие теоремы составляют содержание теории Рисса – Шаудера (в упрощенном варианте), являющейся обобщением фредгольмовской теории интегральных уравнений.
Теорема 5 (первая теорема Фредгольма). Пусть А – линейный вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
а) уравнение (3) имеет решение при любой правой части у;
b) уравнение (4) имеет только тривиальное решение;
c) уравнение (3*) имеет решение при любой правой частит;
d) уравнение (4*) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно из условий а), b), c), d), то операторы I – A и I – А* непрерывно обратимы.
Доказательство проведем по схеме а) b) c) d) а).
I. a) b). Дано R(I – А) = Х, т. е. множество значений оператора I – А совпадает с X. Допустим, что b) не выполнено, т. е. подпространство нулей оператора I – A нетривиально:
N1 = {x X: x – Ax = 0} {0}.
Пусть x1N1 и x1 0. Рассмотрим уравнение (I– А)х =x1. По условию а) оно имеет решения. Пусть х2 – одно из них. Имеем (I – А)2х2 = (I – A)x1 = 0, т. e х2 N2 = {x X: (I - А)2х = 0}, причем N1 N2 и включение строгое, так как x2 N2, но х2 N1, иначе оказалось бы, что x1 = 0. Продолжая эти рассуждения, получим цепочку подпространств
N1 N2 … Nn Nn+1 …
строго включенных друг в друга. По лемме Рисса о почти перпендикуляре в каждом Nn найдется элемент zn такой, что ||zn||= 1 и ||x - zn|| 1/2 для всех x Nn – 1, n = 2,3, ... Рассмотрим последовательность {Azn}. Она компактна, ибо А вполне непрерывен, а {zn} ограничена. С другой стороны, при m > n
||Azm – Azn|| = ||[zn – (I – A)zn + (I – A)zm] – zm|| ½,
ибо
zn - (I- A)zn + (I - A)zm Nm - 1
так как
(I – A)m - 1 [zn - (I- A)zn + (I - A)zm] = (I – A)m - 1zn - (I- A)mzn + (I - A)mzm] = 0
(все слагаемые – нули, ибо (I – A)kzi = 0 при k i. Итак, с одной стороны, {Azn} компактна, а с другой ||Azm – Azn|| > 1/2. Полученное противоречие показывает, что допущение N(I - А){0} неверно. I доказано.
II. b) c) Дано N(I - А) = {0}. Нужно доказать, что R(I– А*) = Х*. Возьмем любой f Х* и рассмотрим выражение f((I – А)х). Оно определяет линейный ограниченный функционал X*. Действительно, это выражение определено на X, линейно по х и ограничено. Наконец, самое важное, оно однозначно по х: если f((I - А)х) = f((I - A)х"), то f((I – А) (х' – х")) = 0, откуда, вследствие произвольности f, (I - A) (х' – х") = 0, но N(I - A) = {0}, и, значит, х' = х". Таким образом, f((I - А)х) = (х), т. е. всякий f X* принадлежит также и R((I – А*)), т. е. c) доказано.
III. c) d). Эта часть доказательства совпадает с I. Нужно лишь в I A заменить на А*.
IV. d) а). Дано N((I – А)*) = {0}. Надо доказать, что R(I – А) = Х. Допустим противное, что R(I – A) Х. По только, что доказанной теореме R(I – А) – подпространство в X. Пусть у0 Х и у0 R(I - А). По следствию из теоремы Хана–Банаха найдется f0 X* такой, что f0(у0) = 1, и f0(у) = 0 для всех y R(I – А). Но тогда f0((I - А)х) = 0 для всех х Х, или х, (I - А)*f0 = 0 и из произвольности х имеем (I - A)*f0 = 0, т.е. f0N((I - A)*) и f0 0. Полученное противоречие показывает, что верно а).
V. Если выполнено одно из условий а), b), c). d), то по I–IV выполнены и все остальные, но тогда; N((I - A)) = {0}, т.е. I - A обратим; R(I - A) = X, и, значит, по теореме Банаха об обратном операторе I - A непрерывно обратим. То же для А*. Теорема полностью доказана.
Теорема 6 (вторая теорема Фредгольма). Пусть А – линейный вполне непрерывный оператор в X. Тогда уравнения (4) и (4*) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.
Доказательство. Мы уже видели, что если N(I - A) = {0}, то и N((I - А)*) = {0}, и наоборот (1 теорема Фредгольма). Пусть теперь эти подпространства не нулевые. Докажем сначала их конечномерность. Пусть М – произвольное ограниченное множество, лежащее в N(I – A); тогда М = AM. Отсюда М компактно. Получилось, что в N(I - A) каждое ограниченное множество компактно. По теореме Рисса о локальной компактности N(I – A) конечномерно. Аналогично, дело обстоит N((I – A)*).
Перейдем к доказательству равенства dimN(I - A) = dim(I - А)* размерностей подпространств нулей операторов (I – A) и (I – A)*. Допустим противное, что, например,
dim N (I - А) = n < m = dim N((I - A)*).
Пусть {i}1n базис в N(I – А). По следствию из теоремы Хана – Банаха существует система функционалов {gi}1n X*: gi(j) = ij (биортогональная система) i, j = 1, ..., n. Пусть, далее, {i}1n – базис в N((I – А)*), а {zi}1n X – биортогональная к нему система элементов: i(zj) = ij, i, j = 1, 2, ..., n. Рассмотрим оператор I – В, где
(5)
Оператор В вполне непрерывен, как сумма двух вполне непрерывных операторов – оператора А и конечномерного оператора.
Далее, докажем, что N(I - В) = {0}. Действительно, уравнение х – Вх = 0 записывается согласно (5) так:
(6)
Применяя к обеим его частям функционал k, получим
(6)
Мы воспользовались тем, что k N((I – А)*), и биортогональностью систем {i} и {zi}. Так как k произвольно, то все gk(х) = 0 и (5) принимает вид х – Ах = 0. Это означает, что xN(I - A), т. е.
(7)
Применим к обеим частям этого равенства функционал gi и, пользуясь биортогональностью систем {i}, {gi} и тем, что gi(x) = 0, получим i = 0. Так как i произвольно, то х = 0. Итак, N(I - В) = {0}.
Нетрудно убедиться (проверьте!), что
.
Тогда (I – В)*s = (I – A*)s - = 0 при s > n, ибо s N((I - В)*), и zi, s = 0, при n < s. Оказалось, что N((I – В)*) {0}, а это противоречит теореме 2. Следовательно, предположение п < m неверно. Аналогичное доказательство проводится в случае п > m с заменой A на A*. Теорема доказана.
Теорема 7 (третья теорема Фредгольма). Пусть А – линейный вполне непрерывный оператор в X. Для того, чтобы уравнение (3) имело хоть одно решение, необходимо и достаточно, чтобы для любого решения уравнения (4*) выполнялось условие у, = 0.
Доказательство. Если N(I - A) = {0}, то N((I - A)*) = {0} и утверждение теоремы тривиально. Пусть N(I - A) {0}. Если уравнение (3) имеет решение х0, то для всякого N((I - А)*) имеем
у, = (I - А) х0, = х0, (I – A)* = 0.
Обратно, пусть у, = 0 для всех N((I - А)*). Допустим, что (3) при данном у решений не имеет, т. е. уR(I - А). Заметим, что R(A) замкнуто по теореме о замкнутости области значений непрерывного оператора. По следствию из теоремы Хана – Банаха существует f X* такой, что f(y) = 1 и f((I - А)х) = 0 для любых хХ, но тогда x, (I - A)*f = 0 и, вследствие произвольности х, (I - A)*f = 0, т. е. fN((I - A)*). Но тогда по условию теоремы f(у) = 0 1. Полученное противоречие означает, что уравнение (3) разрешимо. Теорема доказана.
В заключение кратко резюмируем полученные результаты. Для уравнения (3) с вполне непрерывным оператором A возможны только три следующие ситуации:
1) оператор I – А непрерывно обратим, тогда (3) имеет при любой правой части у единственное решение х = (I – А)-1у;
2) N(I – А) {0}; если у, 0 хоть для одного решения сопряженного однородного уравнения (4*), то (3) решений не имеет;
3) N(I – А) {0}; если у, = 0 для всех решений уравнения (4*), то общее решение уравнения (3) имеет вид х = хо - , где x0 – частное решение (3), {i} – базис подпространства решений уравнения (4), а n –размерность этого подпространства.
4. Резольвента и спектр оператора. Линейная независимость собственных векторов. Спектр вполне непрерывного оператора (конечномерность собственного подпространства, конечное число собственных значений вне круга)
Часто вместо уравнений (3) приходится рассматривать уравнения
(8)
где , х – искомый, у – известный элемент, а – некоторый числовой параметр. Уравнение (8) можно также записать в виде
(8*)
Одновременно с уравнением (8) целесообразно рассматривать уравнение
(9)
которое, называют однородным уравнением, соответствующим уравнению (8). Уравнение же (8) называют тогда неоднородным. Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решение x = 0.
Пусть оператор для данного значения параметра имеет обратный оператор этот оператор называют разрешающим оператором или резольвентой для уравнения (8) или оператора А и обозначают . Тогда уравнение (8) при любом имеет решение и притом только одно. Однородное уравнение (9) имеет в этом случае лишь нулевое решение. Такие значения параметра называются регулярными значениями оператора А или уравнения (8). Множество значений параметра , не являющиеся регулярными, называются спектром оператора А. Может случиться, что однородное уравнение (9), кроме нулевого, имеет еще одно или несколько решений, отличных от нуля. Такие значения параметра, при которых это происходит, называются характеристическими числами или собственными значениями оператора А. Так как в этом случае решение уравнения (9), являющегося частным случаем уравнения (8), не однозначно, то собственные значения принадлежат спектру. Однако могут существовать точки спектра, не являющиеся собственными значениями.
В 7 главе (теорема 7) рассматривался вопрос обратимости оператора . В этом случае обратный оператор не является, строго говоря, резольвентой оператора А. Однако с помощью этого оператора резольвенту можно получить без труда. В самом деле, преобразуем оператор следующим образом:
где Если теперь то и поэтому существует . Но тогда т.е. Таким образом, резольвента представима в виде сходящегося в области ряда
=
Пример 1. Рассмотрим в пространстве С [0, 1] оператор умножения на независимое переменное Уравнение (8) принимает в этом случае
(10)
и решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая. Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение (10) имеет при любом у (t) единственное непрерывное решение
откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на
Все значения параметра, принадлежащие отрезку [0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть . Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке Для такой функции равенство не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции х (t), ибо в точке левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при уравнение (10) не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность спектру оператора А, Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения при любом t, отличном от, а следовательно, в силу непрерывности и при обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
Пример 2. Положим Х = Y = Rn и пусть оператор А задается квадратной матрицей Уравнение (4) примет для вид
(11)
Это есть система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Если определитель системы
отличен от нуля, т. е. если не есть корень уравнения, то система уравнений (11) имеет при любых правых частях единственное решение, и следовательно, все такие значения параметра регулярны. Корни уравнения D() = 0 образуют спектр, так как при таких система (11) в общем случае неразрешима. Однако при этих значениях параметра однородная система
имеет нетривиальное решение (т. е. отличное от нулевого), и, следовательно, любая точка спектра есть собственное значение.
В приведённых примерах спектр оператора либо не содержал, ни одного собственного значения, либо состоял только, из собственных значений. Имеются примеры, где спектр оператора содержит как собственные значения, так и точки, не являющиеся собственными значёниями.
Лемма 5. Собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Действительно, пусть имеют место равенства
и .
Умножим первое равенство скалярно на , второе на и вычитая второе из первого, получим
Левая часть равенства равна нулю вследствие симметрии оператора А. Так как , то Лемма 5 доказана.
Лемма 6. У вполне непрерывного оператора А всякая ортогональная нормированная система собственных векторов с собственными значениями, превосходящими по модулю положительное значение , конечна.
Доказательство. Допустим, что нашлась бесконечная система таких собственных векторов. Каждый из них оператором переводится в себя самого с числовым множителем, по модулю большим числа . Пусть и - какие-то два из этих собственных векторов:
Имеем
Это означает, что расстояние между векторами, полученными после воздействия оператора на вектора системы , заведомо будут превосходить Но из совокупности таких векторов нельзя выбрать никакой сходящейся последовательности, что противоречит полной непрерывности оператора . Лемма 6 доказана.
Следствие. Существует только конечное число взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением иными словами, каждое собственное подпространство, отвечающее ненулевому собственному значению( т.е. совокупность всех собственных векторов оператора А с фиксированным собственным значением . Это множество очевидно, есть (замкнутое) подпространство в Н) вполне непрерывного симметричного оператора конечномерно.
5. Существование собственного значения у вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наибольшее и наименьшее собственные значения. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам
Мы переходим теперь к фундаментальной теореме о симметричных вполне непрерывных операторах.
Теорема 8. (Гильберта-Шмидта). В гильбертовом сепарабельном пространстве всякий симметричный вполне непрерывный оператор обладает полной ортогональной системой собственных векторов.
Доказательство этой теоремы проведём в несколько этапов.
Лемма 7. Если и А – симметричный оператор, то
причем знак равенства возможен только в случае, когда е есть собственный вектор оператора с собственным значением
Доказательство. В силу симметрии оператора и неравенства Коши – Буняковского имеем:
(12)
Неравенство Коши – Буняковского обращается в равенство, лишь когда фигурирующие в нём векторы коллинеарные, поэтому в случае равенства имеем т.е. есть собственный вектор оператора А2. Подставляя полученное выражение в (12), находим :
Лемма доказана.
Назовем максимальным вектором ограниченного оператора А такой единичный вектор на котором величина достигает своего наибольшего значения Вообще говоря, не у всякого ограниченного оператора существует максимальный вектор.
Лемма 8. Симметричный вполне непрерывный оператор обладает максимальным вектором.
Доказательство. Выберем последовательность , где так, чтобы иметь Из последовательности можно выделить в силу полной непрерывности А, сходящуюся подпоследовательность, удалив лишние векторы и исправив нумерацию, можно считать, что сама последовательность сходится при ; пусть В силу непрерывности нормы Покажем, что вектор является исходным максимальным вектором. Прежде всего, в силу непрерывности оператора А имеем:
Векторы принадлежат единичному шару, и поэтому векторы по длине не превосходят . Применяя лемму 7, получаем:
.
Откуда вытекает, что
т.е. есть максимальный вектор оператора А. Лемма доказана.
Лемма 9. Если есть максимальный вектор для симметричного оператора , то является собственным вектором для оператора с собственным значением
Доказательство. По лемме 7 и по определению нормы оператора имеем:
откуда следует, что
В силу леммы 7 вектор есть собственный вектор оператора с собственным значением Лемма доказана.
Лемма 10. Если оператор обладает собственным вектором с собственным значением , то оператор А имеет собственный вектор с собственным значением или
Доказательство. Равенство можно записать в виде
Допустим, что . Тогда из условия или, что тоже, вытекает, что есть собственный вектор оператора с собственным значением Если же , то и тогда вектор есть собственный вектор оператора А собственным значением Лемма доказана.
Леммы 7-10 показывают, что всякий симметричный вполне непрерывный оператор А обладает собственным вектором с собственным значением Покажем теперь, что из собственных векторов оператора А можно построить ортогональную систему в пространстве Н.
Лемма 6 позволяет сделать определённые выводы относительно совокупности всех собственных векторов и собственных значений оператора А. Рассмотрим на вещественной оси множество всех собственных значений оператора А. В силу леммы 6, существует лишь конечное число собственных значений, превосходящих по абсолютной величине данное положительное число , поэтому, если собственных значений бесконечное (очевидно, счётное) множество, то они образуют последовательность, сходящуюся к нулю. Следовательно, мы можем занумеровать натуральными числами все собственные значения в порядке убывания абсолютной величины. Условимся, что при этом мы будем каждое собственное значение снабжать столькими последовательными номерами, какова размерность соответствующего собственного подпространства (эта размерность называется кратностью этого собственного значения). В таком случае последовательность ненулевых собственных значений оператора А
мы можем сопоставить последовательность собственных векторов причём Можно считать, что векторы взаимно ортогональны и нормированы. В самом деле, если то ортогональность выполняется в силу леммы 5; если же то в пределах конечного собственного подпространства, отвечающего собственному значению мы всегда можем провести ортогонализацию. Нормировка всех полученных векторов завершает построение.
Покажем теперь, что каждый вектор , ортогональный всем построенным векторам переводится оператором А в нуль.
Лемма 11. Пусть – подпространство в гильбертовом пространстве Н, инвариантное относительно симметричного оператора А (т.е. каждый вектор подпространства переводится оператором А в вектор этого же пространства). Тогда ортогональное дополнение подпространства также инвариантно относительно оператора А.
Доказательство. Пусть – любой вектор из подпространства , – любой вектор из подпространства . По условию Тогда в силу симметрии оператора А следует, что Это означает, что вектор ортогонален любому вектору и, следовательно, Лемма доказана.
Теперь рассмотрим совокупность Р всех векторов ортогональных всем построенным векторам Это совокупность Р является замкнутым подпространством как ортогональное дополнение к подпространству L, порождённому ортогональной системой Поскольку L, очевидно, инвариантно относительно оператора А, то его ортогональное дополнение P (по лемме 11) также инвариантно относительно оператора A. Обозначим через M(P) точную верхнюю границу значений на единичной сфере подпространства P. В силу лемм 9 и 10, в подпространстве Р имеется собственный вектор с собственным значением Но по самому построению подпространства Р оно не может содержать ни одного собственного вектора с ненулевым собственным значением. Отсюда ; но это означает, что для любого вектора что и требовалось доказать.
Каждый вектор может быть представлен в виде суммы
Вектор у можно далее разложить в ряд Фурье по системе полной в пространстве L; вектор z, по доказанному, оператором A переводится в нулевой вектор. Мы получили следующую основную теорему:
Терема 9. В гильбертовом пространстве , в котором задан симметричный вполне непрерывный оператор A, каждый вектор может быть представлен в виде ортогональной суммы где (конечная или бесконечная) система собственных векторов оператора с ненулевыми собственными значениями и
Из этой теоремы вытекает и теорема Гильберта. Действительно, в сепарабельном гильбертовом пространстве H подпространство P также сепарабельно и в нём можно выбрать полную ортогональную систему вместе с уже построенными векторами получается полная ортогональная система в всём пространстве H. Каждый из векторов этой системы является собственным вектором оператора A: векторы с собственными а векторы с собственным значением 0. Тем самым теорема Гильберта доказана.
Из теоремы Гильберта следует, что т.е. любой вектор , где , допускает разложение по собственным векторам оператора с ненулевыми собственными значениями.
Задачи
1. Доказать следующие утверждения:
А) любой линейный оператор A: RnRm вполне непрерывен;
Б) любой линейный оператор A: E1E2 вполне непрерывен, если E1 – конечномерное пространство;
В) любой ограниченный линейный оператор A: E1E2 вполне непрерывен, если E2 – конечномерное пространство;
Г) линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в конечномерном пространстве, вполне непрерывен.
2. Являются ли вполне непрерывными следующие операторы в пространстве C[0, 1]? В пространстве L2[0, 1]?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) Ax(t)=x(t2).
3. Имеет ли оператор собственные значения в пространстве ?
4. Показать, что для уравнения , где – оператор Вольтерра, а непрерывно для , все значения параметра регулярны.
Показать, что если значение параметра является регулярным для оператора, то оно будет регулярным и для оператора А + В, когда достаточно мала.
5. Показать, что всякий вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н есть предел операторов, отображающих все пространство на конечномерное подпространство.
Указание: можно считать, что . Если , то положим .
6. Показать, что оператор А в сепарабельном гильбертовом пространстве, заданный в ортонормальном базисе матрицей по формулам вполне непрерывен, если
Указание: смотри задачу 5.
7. Положим для , , . Какие из этих операторов вполне непрерывны?
8. Для , положим , показать, что А – вполне непрерывный оператор.
9. Каковы собственные функции интегрального оператора Фредгольма с ядром в промежутках а) , б) ?
10. Решить уравнение .
11. В пространстве C[0, 1] рассмотрим оператор
.
Найти спектр и резольвенту оператора А.
12. В вещественном линейном пространстве C[-, ] найти собственные значения и собственные вектора операторов
а) (Ax)(t) = x(-t);
b) .
Имеют ли в этом пространстве данные операторы непрерывный спектр? Построить резольвенты на множестве регулярных значений каждого оператора.
13. В комплексном пространстве C[0, 1] рассмотрим оператор (Ах)(t) = x(0) + tx(1). Найти точечный и непрерывный спектры оператора А и построить резольвенту на множестве регулярных значений.
14. В пространстве C[0, 2] рассмотрим оператор (Ах)(t) = eittx(t). Доказать, что спектр оператора А есть множество { C: || = 1}, причем ни одна точка спектра не является собственным числом.
15. Найти спектр и резольвенту оператора А в пространстве L2[-1, 1]
.
16. Какой должна быть функция С[a, b], чтобы оператор умножения А: С[a, b] С[a, b], определенный с помощью равенства (Ах)(t) = (t)x(t) был вполне непрерывным.
17. Найти спектр и собственные значения оператора умножения на фиксированную непрерывную функцию в пространстве C[a, b].
18. Найти спектр оператора А в пространстве L2(R):
.
19. Пусть число p > 1 и q – ему сопряженное, т.е. 1/p + 1/q = 1. Рассмотрим оператор А: lp lq, который определяется формулой
,
где числовая матрица такая, что двойной ряд сходится. Доказать, что оператор А вполне непрерывен.
20. Рассмотрим оператор А: lp lq, который определяется формулой
Ах = (1х1, 2х2, …), х = (х1, х2, …)
где k – заданная последовательность чисел, k =1, 2, … Какова должна быть последовательность этих чисел, чтобы оператор А был вполне непрерывен.
21. Пусть в гильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченный оператор А такой, что А*А является вполне непрерывным оператором в Н. Доказать, что оператор А вполне непрерывен?
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
*-измеримое множество, 57
-алгебра множеств, 50
-кольцо множеств, 50
-конечная мера, 54
C[0, b], 12
diamM, 31
Int А, 15
l = m, 12
lp (1р<), 12
n-мерное пространство, 106
s - пространство всех числовых последовательностей, 13
абсолютно непрерывный заряд относительно меры, 97
аддитивная функция множеств, 52
аксиомы нормы, 107
алгебра множеств, 49
аффинное многообразие, 106
база топологии, 8
база топологии Rn, 9
базис линейного пространства, 106
банахово пространство, 107
бесконечномерное пространство, 106
биекция, 6
борелевские множества, 62
векторное пространство, 106
верхняя сумма Лебега, 79
вложение, 157
вложенная система множеств, 31
вложенная система шаров, 30
внешняя мера, 56
внешняя мера, порожденная мерой, 57
внутренность множества, 15
внутренняя точка множества, 15
вполне непрерывный оператор, 173
всюду плотное подмножество, 28
вторая итерация ядра, 139
вторая теорема Фредгольма, 179
второе неравенство треугольника, 13
второе сопряженное пространство, 157
выпуклое множество, 107
вырожденное ядро, 175
гильбертов кирпич, 35
гильбертово пространство, 113
гиперплоскость, 152
гомеоморфизм, 19, 110
граница множества, 16
граничная точка множества, 16
график оператора, 142
дА, 16
диаметр множества, 31
дизъюнктное объединение множеств, 5
дизъюнктные параллелепипеды, 51
дискретная метрика, 13
дискретная топология, 7
дискретное метрическое пространство, 13
дискретное множество, 15
дополнение множества, 5
евклидова метрика, 12
евклидово пространство Rn, 12
единичное отображение, 6
единичный оператор, 124
естественное вложение, 157
замкнутая ортонормальная система, 119
замкнутое множество, 7
замкнутое отображение, 19
замкнутый n-мерный параллелепипед, 51
замкнутый оператор, 142
замкнутый шар, 13
замыкание множества, 14
заряд, 95
измеримая оболочка множества, 61
измеримая функция, 65
измеримое множество, 60
изолированная точка множества, 15
изометрический изоморфизм, 28
изоморфизм конечномерных пространств, 110
индуцированная топология, 18
интеграл Лебега от неотрицательной функции, 86
интеграл Лебега от ограниченной функции, 80
интеграл Лебега от произвольной функции, 88
интеграл Лебега-Стильтьеса, 158
интегрального уравнение Фредгольма второго рода, 44
интегральный оператор, 125
интегрируемая по Лебегу функция, 86, 88
инъекция, 6
кольцо множеств, 49
кольцо, порожденной совокупностью множеств, 50
компактное множество, 21
компактное пространство, 21
композиция отображений, 6
конечная мера, 54
конечная почти всюду функция, 86
конечно-аддитивная функция множеств, 52
коэффициенты Фурье, 119
критерий базы, 8
критерий замкнутости множества через предельные точки, 14
критерий открытого множества через окрестности, 10
критерий относительной компактности в lp, 37
критерий полноты метрического пространства, 30
критерий сходимости в l2, 25
критерий сходимости в Rn, 25
критерий сходимости в пространстве m, 26
критерий сходимости в С[a, b], 25
критерий сходимости почти всюду, 69
критерий счетной аддитивности функции множеств, 53
лебегово пространство, 160
лебеговы множества функции, 65
лемма о сходимости последовательностей, 26
лемма Рисса о почти перпендикуляре, 112
лемма Фату, 91
линейно независимые вектора, 106
линейное многообразие, 106
линейное пространство, 106
линейный непрерывный функционал, 151
линейный оператор, 123
максимальная топология, 7
мера, 54
мера Лебега, 61
мера Лебега-Стильтьеса, 64
мера, порожденная внешней мерой, 60
метод итераций, 42
метод механических квадратур, 133
метрика, 12
метрика Чебышева, 12
минимальная топология, 7
множество второй категории, 45
множество первой категории, 45
монотонность меры, 55
наследственная топология, 18
неподвижная точка, 41
непрерывное в точке отображение, 20
непрерывное отображение, 19
непрерывный в точке х0 линейный оператор, 123
непрерывный линейный оператор, 123
неравенство Бесселя, 119
неравенство треугольника, 12
неравенство треугольника для норм, 107
неравенство четырёхугольника, 13
нигде не плотное множество, 45
нижняя и верхняя функции Бэра, 92
нижняя сумма Лебега, 79
норма линейного функционала, 151
норма оператора, 127
нормированное пространство, 107
нулевой оператор, 124
образ множества, 6
обратимое отображение, 6
обратное неравенство треугольника, 108
обратное отображение, 6
обратный оператор, 134
ограниченная последовательность, 24
ограниченный линейный оператор, 124
окрестность, 10
оператор нормального типа, 125
оператор подобия, 124
оператор умножения, 125
оператор умножения, на независимую переменную, 128
опорная гиперплоскость, 152
определение интеграла Лебега через ограниченные функции, 87
определение интеграла Лебега через простые функции, 87
определение интеграла Лебега через срезки функции, 88
ортогональная сумма подпространств, 118
ортогональное дополнение к вектору, 116
ортогональное дополнение к подпространству, 118
ортогональные вектора, 115
ортонормальная система векторов, 116
ортонормальный базис, 120
отделимое пространство, 11
открытая окрестность, 10
открытое отображение, 19
открытые множества, 7
открытые покрытия, 21
открытый n-мерный параллелепипед, 51
относительно секвециально компактное множество, 32
отношение эквивалентности, 18
отображение, 5
отображение двойственности, 157
параллелепипед, 51
параллелепипед с конечными ребрами, 51
первая теорема Фредгольма, 178
подпокрытие, 21
подпространство, 108
покоординатная сходимость, 25
покрытие, 21
полная аддитивность интеграла по области интегрирования, 83, 89
полная вариация заряда, 97
полная вариация функции, 105, 158
полная мера, 54
полная ортонормальная система, 119
полное метрическое пространство, 27
полный прообраз множества, 6
положительное (отрицательное) множество относительно заряда, 95
полуаддитивность меры, 55
полукольцо множеств, 50
полунорма, 153
почти равномерная сходимость, 73
предгильбертово пространство, 113
предельная точка, 14
представитель класса эквивалентности, 110
признак полноты нормированного пространств через ряды, 109
принцип двойственности, 5
принцип равномерной ограниченности Банаха-Штейнгаузана, 131
принцип сжимающих отображений, 41
продолжение меры по Каратеодори, 60
продолжение по непрерывности, 152
продолжение функционала, 153
проекция вектора, 118
произведение мер, 100
произведение разбиений, 81
производное множество, 15
прообраз элемента, 5
простая функция, 67
пространство линейных непрерывных функционалов, 129
пространство ограниченных числовых последовательностей, 12
пространство сходящихся к нулю последовательностей, 13
процесс ортогонализации Шмидта, 116
прямая сумма пространств, 142
прямое произведение мер, 99
равенство параллелограмма, 116
равенство Парсеваля, 120
равномерная сходимость, 25
равномерная сходимость последовательности операторов, 130
равномерно ограниченное множество функций, 35
равностепенно непрерывное множество функций, 35
разложение Жордана заряда, 97
разложение Хана заряда, 96
разность множеств, 5
разрешающее ядро уравнения Фредгольма, 141
разрешающий оператор, 182
регулярные значения оператора, 182
резольвента, 182
рефлексивное пространство, 158
с0, 13
Сk(a, b), 12
самосопряженный оператор, 169
свойство аддитивности интеграла, 84, 89
свойство монотонности интеграла, 89
свойство однородности интеграла, 85, 89
секвенциально компактное множество, 32
сепарабельное пространство, 17
сечение функции, 102
сжимающее отображение, 41
симметрический оператор, 169
слабая сходимость последовательности, 172
собственные значения оператора, 182
сопряженное пространство, 129, 155
сопряженное пространство к Rn, 155
сопряженное пространство с*, 156
сопряженный оператор, 168
спектр оператора, 182
сравнение топологий, 8
С-свойство функции, 74
структура открытого множества на числовой прямой, 10
сужение отображения, 20
суперпозиция отображений, 19
существенно ограниченные функции, 162
сходимость по норме, 107
сходимость почти всюду, 68
сходящаяся последовательность, 24
счетная аддитивность интеграла по области интегрирования, 83, 89
счетная полуаддитивность внешней меры, 56
счетно-аддитивная функция множеств, 52
сюръекция, 6
тело системы, 21
Теорема Арцела, 35
теорема Банаха о замкнутом графике, 145
теорема Банаха об обратном операторе, 136
теорема Банаха об открытом отображении, 146
теорема Банаха-Штейнгаузана, 132
теорема Больцано-Вейерштрасса, 32
теорема Бэра, 45, 92
теорема Вейерштрасса о равномерном приближении, 38
теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней, 41
теорема Гильберта-Шмидта, 185
теорема двойственности, 157
теорема Егорова, 73
теорема Кантора о равномерной непрерывности, 41
теорема Лебега – критерий интегрируемости по Риману, 93
теорема Лебега о мажорантной сходимости, 91
теорема Лебега о монотонной сходимости, 90
теорема Лузина, 74
теорема о единственности обратного, 6
Теорема о пополнении метрического пространства, 28
теорема о прообразах, 6
теорема о среднем, 82
теорема о существовании обратного, 6
теорема об измеримой оболочке, 61
теорема об образах, 6
теорема Пикара, 42
теорема Радона—Никодима, 97
теорема Рисса о локальной компактности, 112
теорема Рисса об виде линейного функционала на пространстве непрерывных функций, 158
теорема Рисса-Фишера об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве, 166
теорема Фубини, 102
теорема Хана-Банаха, 153
Теорема Хаусдорфа, 32
теорема Шаудера, 176
тождественное отображение, 6
тождественный оператор, 124
топологическое. пространство, 7
топология, 7
топология метрического пространства, 13
топология плоскости, 7
топология числовой прямой, 7
третья теорема Фредгольма, 180
тривиальная топология, 7
убывающая последовательность множеств, 53
уравнение 1-го рода, 177
уравнение 2-го рода, 177
фактормножество, 18
фактор-пространство, 110
фактортопология, 19
фундаментальная последовательность, 26
фундаментальность по мере, 76
функция Дирихле, 78
функция множества, 52
функция ограниченной вариации, 105, 158
характеристические числа оператора, 182
хаусдорфово пространство, 11
эквивалентные функции, 68
итерация ядра, 140
ядро интегрального оператора, 44
ядро оператора, 126, 134
ядро функционала, 166
ячейка, 51
