Общие принципы финансовой математики. Наращение по схемам простого и сложного процентов

Конспект лекций по ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ 2 СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ. НАРАЩЕНИЕ ПО СХЕМАМ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТОВ ..................................... 5 ФАКТОР ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ ...................................................... 5 ОБЪЕКТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ .................................................................... 6 ИСТОРИЯ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ ................................................................. 7 ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ, ТЕРМИНЫ И СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ ........................................................................................................ 9 Используемые обозначения ........................................................................... 9 ФОРМУЛА ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ......................................................................... 12 Расчет процентов с использованием процентных чисел .......................... 19 Переменные ставки ....................................................................................... 21 Определение срока ссуды и величины процентной ставки ...................... 21 ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ........................................................................ 23 Сравнение наращения по формуле простых и смешанных процентов ... 25 ФОРМУЛА СМЕШАННЫХ ПРОЦЕНТОВ .................................................................. 26 Начисление процентов несколько раз в год ............................................... 28 Эффективная ставка процентов ................................................................... 29 Переменная ставка процентов ..................................................................... 30 Непрерывное начисление процентов .......................................................... 31 Определение срока ссуды и величины процентной ставки ...................... 33 ПРИМЕРЫ СХЕМ И ХАРАКТЕРНЫХ СТАВОК ОПЕРАЦИЙ ПРИВЛЕЧЕНИЯ ВКЛАДОВ БАНКАМИ, ВЕДУЩИМИ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В РЕСПУБЛИКЕ ТАТАРСТАН ................... 34 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. ИЗМЕНЕНИЯ УСЛОВИЙ ФИНАНСОВЫХ ДОГОВОРОВ .......................................................................... 35 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФИНАНСОВЫХ СХЕМ............................................................ 35 НОМИНАЛЬНАЯ И ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ .................................... 35 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ......................................................................... 37 НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ЗАМЕНЫ ФИНАНСОВЫХ СХЕМ И ДОГОВОРОВ ...................... 40 ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ВЕЛИЧИН ........................................... 41 СУЩНОСТЬ ПРОЦЕССА ДИСКОНТИРОВАНИЯ ........................................................ 41 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ ............................................................. 43 БАНКОВСКИЙ УЧЕТ ............................................................................................... 45 ИНФЛЯЦИЯ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ .................................................. 50 СУЩНОСТЬ ИНФЛЯЦИИ И НЕОБХОДИМОСТЬ ЕЕ УЧЕТА В КОЛИЧЕСТВЕННОМ АНАЛИЗЕ ............................................................................................................... 50 МЕТОДЫ УЧЕТА ИНФЛЯЦИИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ ..................................... 54 3 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ. КРЕДИТНЫЕ СХЕМЫ. АНАЛИЗ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО КРЕДИТАМ ПРЕДПРИЯТИЙ ............... 58 СУЩНОСТЬ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ И ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ.................................. 58 АННУИТЕТ ............................................................................................................ 59 Наращенная величина аннуитета ................................................................ 59 Современная (текущая) величина аннуитета ............................................. 63 Определение параметров аннуитета ........................................................... 65 Оценка некоторых видов аннуитета ........................................................... 67 НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ .................................................................... 68 ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА .................................................................. 69 Погашение долга единовременным платежом .......................................... 70 Формирование фонда погашения долга ..................................................... 70 Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной периодической выплатой процентов ........................ 71 Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды...................................... 74 Погашение долга в рассрочку ...................................................................... 76 Погашение основной суммы долга равными частями .............................. 76 Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды .................................................................................................... 77 ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ КРЕДИТ ................................................................................. 79 ПРИМЕРЫ СХЕМ И ХАРАКТЕРНЫХ СТАВОК ОПЕРАЦИЙ ВЫДАЧИ КРЕДИТОВ БАНКАМИ, ВЕДУЩИМИ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В РЕСПУБЛИКЕ ТАТАРСТАН ................... 81 ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ .............................................. 82 ОСОБЕННОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ КАК ОБЪЕКТА ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ ....................................................................................................... 82 ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТА И ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ ...... 83 Чистый приведенный доход ......................................................................... 83 Срок окупаемости ......................................................................................... 86 Внутренняя норма доходности .................................................................... 88 ПОРТФЕЛИ ЦЕННЫХ БУМАГ .......................................................................... 91 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ .............................................................................. 95 СУЩНОСТЬ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ................................................................... 95 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ В ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЯХ .......... 96 ОПЕРАЦИИ НАРАЩЕНИЯ....................................................................................... 96 Функция БС ................................................................................................... 97 Функция БЗРАСПИС .................................................................................. 103 4 ОПЕРАЦИИ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ........................................................................ 104 Функция ПС ................................................................................................. 104 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ФИНАНСОВОЙ ОПЕРАЦИИ ............................................... 108 Функция КПЕР ............................................................................................ 108 Функция ПДЛИТ ......................................................................................... 110 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ................................................................ 112 Функция СТАВКА ...................................................................................... 112 Функция ЭФФЕКТ ...................................................................................... 113 Функция НОМИНАЛ .................................................................................. 114 Функция ЭКВ.СТАВКА ............................................................................. 114 5 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ. НАРАЩЕНИЕ ПО СХЕМАМ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТОВ Фактор времени в финансовых расчетах Грамотному экономисту необходимо владеть навыками и методами оценки инвестиционных проектов, проведения операций с ценными бумагами, анализа ссудно-кредитных планов, актуарными расчетами и многим другим. При этом современный уровень взаимодействия различных стран и финансовых систем налагает требование использования не только отечественных, но и различных зарубежных стандартов при проведении финансовых расчетов. В данном курсе будут представлены основные понятия и общие схемы, используемые при финансовых вычислениях (ФВ). Базовым понятием курса основ финансовых вычислений (ОФВ) является понятие временной ценности денег. Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени. Равные по абсолютной величине денежные суммы «сегодня» и «завтра» оцениваются по-разному, – сегодняшние деньги всегда ценнее будущих (за исключением форс-мажорных ситуаций). Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени:  во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль в руке сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;  во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к. цены на товар повысятся;  в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль в руке уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра в руке, – еще вопрос. Существуют два подхода и соответствующие им два типа экономического мышления. 6   Статический подход не учитывает фактор времени, в соответствии с этим, здесь возможно оперирование денежными показателями, относящимися к различным периодам времени, и их суммирование. Этому подходу соответствует «бухгалтерский» принцип анализа затрат. Динамический подход используется в финансовом анализе и финансовом менеджменте, где фактор времени играет решающую роль и его необходимо обязательно учитывать, поэтому здесь неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени. Этому подходу соответствует «экономический» принцип анализа затрат. Именно динамический подход предполагает включение в расходы так называемых неявных затрат, определяемых на основе принципа альтернативной ценности. Объект финансовой математики Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в которой необходимость использования финансово-экономических вычислений возникает всякий раз, когда в условиях сделки (финансовой операции) прямо или косвенно присутствуют временные параметры: даты, сроки выплат, периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и т.д. При этом фактор времени зачастую играет более важную роль, чем стоимостные характеристики финансовой операции, поскольку именно он определяет конечный финансовый результат. В связи с этим, лучшее определение сущности финансовой математики дано Е.М. Четыркиным, который отмечал, что финансовая математика представляет собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения в процессе воспроизводства. Таким образом, финансовая математика – раздел количественного анализа финансовых операций, предметом которого является изучение функциональных зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово-банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса.  Динамический подход используется в финансовом анализе и финансовом менеджменте, где фактор времени играет решающую роль и его необходимо обязательно учитывать, поэтому здесь неправомерно сум- 7 мировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени. Этому подходу соответствует «экономический» принцип анализа затрат.          В качестве основных задач финансовой математики можно назвать: исчисление будущей суммы денежных средств, находящихся во вкладах, займах или ценных бумагах путем начисления процентов; учет векселей; определение параметров сделки исходя из заданных условий; определение эквивалентности параметров сделки; анализ последствий изменения условий финансовой операции; исчисление обобщающих показателей финансовых потоков; определение параметров финансовой ренты; разработка планов выполнения финансовых операций; расчет показателей доходности финансовых операций. История финансовой математики В зарубежных университетах и колледжах при подготовке экономистов, финансистов, коммерсантов, менеджеров и маркетологов большое внимание уделяется изучению теории и практики финансово-экономических расчетов, необходимых в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности, в страховом деле. Такая учебная дисциплина, охватывающая определенный круг методов вычислений, получила название финансовой математики (ФМ). В России этому термину как синонимы соответствуют такие понятия, как финансовые и коммерческие расчеты, финансовые вычисления. Финансовые вычисления появились с возникновением товарно-денежных отношений, но в отдельную отрасль знания оформились только в XIX в.: они назывались "коммерческие вычисления" или "коммерческая арифметика". Как утверждал русский математик, финансист и бухгалтер Н.С. Лунский, коммерческая математика изначально существовала под именем "политической арифметики", родоначальником которой является английский экономист Вильям Петти, – отец политической экономии и родоначальник статистической науки. Быстрый экономический рост стран в XIX в. во многом был обусловлен распространением коммерческих знаний. В частности, в России действия правительства привели к тому, что к концу XIX в. появились коммерческие училища, торговые школы, классы, курсы, поскольку актуальность и важность коммерческого образования не у кого не вызывала сомнения. Основу коммерческих наук составляла именно 8 коммерческая арифметика, так как именно она обуславливает каждый торговый акт, каждую финансовую операцию. В области финансовых или коммерческих вычислений работал целый ряд российских ученых: И.З. Бревдо, Р.Я. Вейцман, П.М. Гончаров, И.И. Кауфман, Н.С. Лунский, Б.Ф. Мелешевский и другие, которые развили теорию и практику "коммерческой арифметики". В послереволюционный период коммерческая арифметика в России не получила должного развития, поскольку многие вопросы, связанные с финансами и финансовыми расчетами, попросту игнорировались. В странах с ориентацией на рыночную экономику коммерческая арифметика развилась в самостоятельное направление в науке – в финансовую математику. Сегодня процедурная сторона данной науки кажется относительно несложной, но содержательная сторона коммерческих расчетов не потеряла актуальности и в наше время. Что же представляет из себя "финансовая математика"? Один из российских основоположников данной науки Н.С. Лунский считал, что высшие финансовые вычисления являются отраслью прикладной математики, посвященной исследованию доступных математическому анализу вопросов финансовой науки, статистики и политической экономии. В отличие от «чистой» математики в прикладной области любому измерению и расчету предшествует качественный анализ объектов, в ходе которого с учетом конечной цели исследования и наличных методологических и методических средств выбираются свойства объектов и процедуры определения, соответствующих им числовых значений. При этом следует следить за адекватностью математических операций, выполняемых на числах, свойствам и отношениям изучаемых явлений и процессов. Качественный анализ необходим и после того, как вычисление произведено, чтобы установить степень соответствия результатов измерения объектам измерения с учетом целей исследования. К настоящему времени финансовая математика в России получила широкое распространение благодаря работам Е. Кочович, Е.М. Четыркина, Г.П. Башарина, В.В. Капитоненко, Е.С. Стояновой, Г.Б. Поляка, В.Е. Черкасова, Т.В. Ващенко, В.А. Морошкина, С.В. Мирошкиной, А.В. Бухвалова, А.В. Идельсона, О.Ю. Ситниковой, Я.С. Мелкумова, В.Н. Румянцева и др. Финансовая математика используется в банковском и сберегательном деле, страховании, в работе финансовых организаций, торговых фирм, инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж и т.п. 9 Основные категории финансовой математики, термины и система обозначений Используемые обозначения D – первоначальная сумма долга; FV – наращенная сумма или будущая стоимость; FVA – наращенная величина аннуитета; FV – реальная наращенная сумма, т.е. будущая величина с учетом инфляции; h– i – темп роста доходов для инвестиционных проектов; процентная ставка, характеризующая интенсивность начисления процентов за год или эффективная ставка, измеряющая реальный относительный доход за год; i – I – процентная ставка с поправкой на инфляцию; проценты, процентные деньги, т.е. абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг; I – IC – IRR – j – реальные проценты с учетом инфляции; стартовые инвестиции; внутренняя норма доходности; номинальная годовая ставка процентов, используемая в условиях финансовой операции, с указанием периода начисления процентов; J – индекс инфляции (или J ); h m – количество раз начисления процентов в течение года; M – срок финансовой операции, выраженный в месяцах; n – срок финансовой операции в годах; NPV – чистый приведенный доход; PV – первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (от англ. Present Value); PVA – современная величина аннуитета; R – член ренты, т.е. величина отдельного платежа; t – срок финансовой операции, выраженный в днях; T – временная база, т.е. число дней в году; tок – срок окупаемости инвестиционного проекта. Y –  – срочная уплата, т.е. сумма, в которую входят как текущие процентные платежи, так и средства для погашения основной суммы долга; уровень инфляции (иногда обозначается h ); В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины. 10 Процентные деньги или просто проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме (выдача ссуды, взятие кредита, сдача в аренду, открытие депозита, учет векселя, приобретение облигаций и др.). Причем эта финансовая операция может быть только гипетотеческой и реально не состояться. Таким образом, проценты можно рассматривать как абсолютную «цену долга», которую уплачивают за пользование денежными средствами. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями. Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, – процентная ставка – отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине долга. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга. Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название «период начисления», – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (заемные, postnumerando, постнумерандо) проценты начисляются в конце периода. В отличие от них, авансовые или антисипативные (дисконтные, учетные, prenumerando, пренумерандо) проценты выплачиваются в начале периода. В качестве стандартной (номинальной) единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час. В современных условиях интернет-трейдинга в настоящее время используются и мгновенные проценты. Период времени от начала финансовой операции до ее окончания называется сроком финансовой операции. 11 Рис. Начисление обычных процентов После начисления процентов возможно два пути:   выплачивать их сразу, по мере начисления, отдать по окончанию срока, вместе с основной суммой долга. Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма – наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста. Основу коммерческих вычислений составляют ссудо-заемные операции, в которых проявляется ярче всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе таких расчетов заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду многообразия условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления процентов, а также вариантов предоставления и погашения ссуд. Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок:      простая, сложная, плавающая, фиксированная, o постоянная, o переменная, и другие. 12 Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. база начисления остается неизменной. Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, база начисления постоянно увеличивается. Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах. Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды. Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной. Примером базовой ставки для зарубежных финансовых рынков могут служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – London Interbank Offered Rate) или ставка ЛИБИД (LIBID – London Interbank Bid Rate), для России это ставка МИБОР (MIBOR – Moscow Interbank Offered Rate) или ставка МИБИД (MIBID – Moscow Interbank Bid Rate), а также ставка МИАКР (MIACR – Moscow Interbank Actual Credit Rate). Эти ставки рассчитываются Банком России ежедневно на основе данных коммерческих банков по выдаче и привлечению кредитов. В небанковском секторе в качестве базовой ставки может быть использована ставка рефинансирования ЦБ РФ. Обратите внимание: терминология финансовых расчетов несколько отличается от общепринятой экономической терминологии. Формула простых процентов Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему. Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i . 13 FV PV I i n время n или t Рис. Схема операции наращения Проценты (процентные деньги) за период представляют собой абсолютные приросты: I  FV  PV . По определению, процентная ставка за период равна отношению изменения стоимости к первоначальной величине: I FV  PV i  PV PV При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) за любое количество периодов определяются исходя из первоначальной суммы долга. Т.е., схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов. Поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды: I   FV  PV  n  PV  i  n Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции. Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определить следующим образом: FV  PV  I  PV  1  i  n   PV  kн где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов. Данная формула называется "формулой простых процентов". Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки: kн  kн  n, i  , то его значения легко табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам. Например, для числа лет до 10 (с интервалом пол года) и процентной ставки до 50% (с интервалом 5%) таблица будет выглядеть так: 14 i n 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.25 1.275 1.3 1.325 1.35 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 1.075 1.15 1.225 1.3 1.375 1.45 1.525 1.6 1.675 1.75 1.825 1.9 1.975 2.05 2.125 2.2 2.275 2.35 2.425 2.5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2 2.125 2.25 2.375 2.5 2.625 2.75 2.875 3 3.125 3.25 3.375 3.5 1.15 1.3 1.45 1.6 1.75 1.9 2.05 2.2 2.35 2.5 2.65 2.8 2.95 3.1 3.25 3.4 3.55 3.7 3.85 4 1.175 1.35 1.525 1.7 1.875 2.05 2.225 2.4 2.575 2.75 2.925 3.1 3.275 3.45 3.625 3.8 3.975 4.15 4.325 4.5 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 1.225 1.45 1.675 1.9 2.125 2.35 2.575 2.8 3.025 3.25 3.475 3.7 3.925 4.15 4.375 4.6 4.825 5.05 5.275 5.5 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 Пример: Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату. Решение: Наращенная сумма: FV  PV 1  n  i   2000  1  2  0,1  2400 или FV  2000  kн  2;0,1  2000  1, 2  2400 . Сумма начисленных процентов: I  PV  n  i  2000  2  0,1  400 или I  FV  PV  2400  2000  400 Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2400 рублей, из которой 2000 рублей составляет долг, а 400 рублей – начисленный процент, или «цена долга». Следует заметить, что подобные задачи на практике встречаются редко, поскольку к простым процентам прибегают в случаях:  выдачи краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, срок которых либо равен году, либо меньше его, с однократным начислением процентов;  когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. 15 В тех случаях, когда срок ссуды меньше года, происходит модификация формулы: а) если срок ссуды выражен в месяцах ( M ), то величина n выражается в виде дроби: M n 12 , тогда все формулы можно представить в виде:  M  FV  PV 1  i 12   M I  PV   i 12 M kн  1  i 12 В этом случае kн можно протабулировать как функцию числа месяцев и процентной ставки. Пример: Изменим условия предыдущего примера, снизив срок долга до 6 месяцев. Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 6 месяцев по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату. Решение: Наращенная сумма: 6  M    FV  PV 1   i   2000  1   0,1  2100  12   12  M 6 I  PV   i  2000   0,1  100 12 12 M 6 kн  1   i  1   0,1  1,05 12 12 Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в размере 2100 рублей, из которой 2000 рублей составляет долг, а 100 рублей – проценты. б) если время выражено в днях ( t ), то величина n выражается в виде дроби: t n T где t – число дней ссуды (продолжительность срока, на который выдана ссуда); T – расчетное число дней в году (временная база). Модифицированные формулы имеют следующий вид: 16 t   FV  PV 1   i   T  t I  PV   i T t kн  1   i T В мировой практике используются несколько вариантов расчетов величин t и T . Все они основаны на точном или приближенном исчислении количества дней в месяце: либо в месяце число дней равно календарному, либо приближенно равно 30. Временную базу T можно считать так: (T1) условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinary interest), или коммерческом проценте; (T2) взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exact interest). Число дней ссуды t также можно определять так: (t1) все целые месяцы между датами составляют 30 дней, а оставшиеся дни от месяцев определяются точно, – в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды; (t2) используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное число дней ссуды. В любом случае дата начала операции и дата окончания считаются за один день. Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой операции пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года, в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции. Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов: 1. Обыкновенные проценты (T1) с приближенным числом дней ссуды (t1), или, как часто называют, "германская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней. Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции. 17 2. Обыкновенные проценты (T1) с точным числом дней ссуды (t2), или "французская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии. 3. Точные проценты (T2) с точным числом дней ссуды (t2), или "английская (британская) практика расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США. Способ точные проценты (T2) с приближенным числом дней ссуды (t1) никогда не используется. В зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине. Пример: Сумма 2 млн. руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления. Решение: 1. Германская практика начисления простых процентов: Временная база принимается за 360 дней: T  360 . Количество дней ссуды определяется приближенно:  Между датами 9 полных месяцев (март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь).  В феврале осталось 11 дней (18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28).  В декабре 25 дней (с 1 по 25).  Минус 1 день, так как дата начала операции и дата окончания считаются за один день. Тогда: t  9  30  11  25  1  305 . Сумма начисленных процентов: t 305 I  PV   i  2000000   0,35  593055,55 руб. T 360 2. Французская практика начисления простых процентов: Временная база принимается за 360 дней: T  360 . Количество дней ссуды определяется точно: 18  В феврале осталось 11 дней (18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28).  В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31, в июне 30, в июле 31, в августе 31, в сентябре 30, в октябре 31, в ноябре 30.  В декабре 25 дней (с 1 по 25).  Минус 1 день, так как дата начала операции и дата окончания считаются за один день. Тогда: t  11  31  30  31  30  31  31  30  31  30  25  1  310 . Сумма начисленных процентов: t 310 I  PV   i  2000000   0,35  602777,78 руб. T 360 3. Английская (британская) практика начисления простых процентов: Временная база в не високосный год принимается за 365 дней: T  365 . Количество дней ссуды определяется точно:  В феврале осталось 11 дней (18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28).  В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31, в июне 30, в июле 31, в августе 31, в сентябре 30, в октябре 31, в ноябре 30.  В декабре 25 дней (с 1 по 25).  Минус 1 день, так как дата начала операции и дата окончания считаются за один день. Тогда: t  11  31  30  31  30  31  31  30  31  30  25  1  310 . Сумма начисленных процентов: t 310 I  PV   i  2000000   0,35  594520,55 руб. T 365 Очевидно, результаты операций отличаются. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды как правило получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды. В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции. Внимание: при определении продолжительности финансовой операции дата выдачи и дата погашения считаются за один день. Не забудьте: день выдачи и день возвращения ссуды считаются за один день. 19 Расчет процентов с использованием процентных чисел В банковской практике размещенный на длительное время капитал может в течение этого периода времени изменяться, т.е. увеличиваться или уменьшаться путем дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислением процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются. В таких случаях для расчета процентов используется методика расчета с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет «процентного числа» за период, в течение которого сумма на счете была неизменной. ПЦ  сумма на счете  длительность в днях / 100% То есть, процентное число ПЦ k , соответствующее k-му периоду, продолжительностью tk дней, в течение которого сумма PVk не менялась, вычисляется по формуле: PVk  tk ПЦ k  100% Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все процентные числа складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название «процентный ключ» или дивизор, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:  ПЦ k k I процентный ключ где Продолжительность года в днях T процентный ключ (дивизор)   . Годовая ставка процентов i Заметим, что деление процентного числа на 100% требует использования процентной ставки в дивизоре выраженной в процентах, а не в долях единиц. То есть:  PVk  tk / 100% I k T i 20 Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количество дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из конкретных дивизоров. Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого интервала постоянства суммы на счете: t t t I  I1  I 2   I n  PV1 1 i  PV2 2 i   PVn n i  T T T PV  t  PV2  t2   PVn  tn  1 1 T i В этой формуле нет деления на 100%, так как эта операция носит формальный характер приведения размерности величин в проценты. Пример: При открытии сберегательного счета по ставке 28% годовых, 20 мая была положена сумма в размере 1000 рублей, а 5 июля на счет добавлена сумма в 500 руб., 10 сентября снята со счета сумма в 750 руб., а 20 ноября счет был закрыт. Используя процентные числа определить сумму начисленных процентов при условии, что банк использует "германскую практику". Решение: Срок хранения суммы в 1000 руб. составил 46 дней, тогда ПЦ1  1000  46 / 100  460 . Срок хранения суммы в размере 1500 руб. составил 66 дней, тогда ПЦ 2  1500  66 / 100  990 . Срок хранения уменьшенной до 750 руб. суммы составил 70 дней: ПЦ3  750  70 / 100  525 . Дивизор с приближенным числом дней в году (ставка берется в процентах): Дивизор  360 28  12,857 . Следовательно, сумма начисленных процентов за период действия сберегательного счета составит: 460  990  525 I  153,61 12,857 руб. Можно проверить правильность произведенных нами расчетов, исходя из сути процентов: 46 66 70 I  1000   0, 28  1500   0, 28  750   0, 28  153,61 360 360 360 Как видим, результат вычислений тот же самый. 21 Важно! При использовании дивизора годовая процентная ставка берется в виде процента, а не коэффициента. Переменные ставки Ставка процентов не всегда является постоянной величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращенную по простому проценту сумму определяют, используя следующую формулу: FV  PV  1  n1  i1  n2  i2   nK  iK  где K – количество периодов начисления; nk – продолжительность k-го периода (в годах); ik – ставка процентов в k-ом периоде. Пример: Вклад в сумме 5000 руб. был положен в банк 25 мая не високосного года по ставке 35% годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 30% годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов при английской практике их начисления. Решение: Количество дней для начисления процентов по первоначально действующей процентной ставке в размере 35% годовых рассчитывается точно и составляет 37 дней, а по измененной ставке 30% годовых – 14 дней. Отсюда величина процентов будет равна: 14  37  I  5000    0,35   0,3   234,93 365  365  руб. Таким образом, при закрытии счета клиент должен получить процентов в сумме 234,93 руб. Определение срока ссуды и величины процентной ставки В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина ( PV ), наращенная или будущая величина ( FV ), процентная ставка ( i ) и время ( n ). 22 Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки. Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или, когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции. Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов. Если срок определяется в годах, то FV  PV n PV  i Если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя: FV  PV t T PV  i Пример: На сколько дней нужно дать в долг 1000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма будет составлять 1075 долларов? Решение: Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует: для обычных процентов FV  PV 1075  1000 t  360   360  338 PV  i 1000  0,08 дней. для точных процентов FV  PV 1075  100 t  365   365  342 PV  i 1000  0,08 дней. Таким образом, сумма в 1000 долларов должна быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин «точные проценты», а по умолчанию или использованию термина «обыкновенные проценты», срок ссуды сокращается до 338 дней. Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующими формулами: 23 FV  PV (если срок выражен в годах), PV  n FV  PV i  T (если срок выражен в днях). PV  t i Пример: В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде простой процентной ставки. Решение: Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновенного процента», поскольку в условиях сделки нет ссылки на «точный процент»: FV  PV 1200  1150 i  360   360  0,13 PV  t 1150  120 Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых. Формула сложных процентов В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:  проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга;  срок ссуды более года. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга: FV  PV  I  PV 1  i  – за один период начисления; FV   PV  I   1  i   PV 1  i  – за два период начисления; 2 … FV  PV 1  i  – за n периодов начисления. n Итак, получаем формулу сложных процентов: FV  PV 1  i   PV  kн n где, как и ранее: 24 PV – первоначальная сумма долга; FV – наращенная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления; kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов. Как было указано выше, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе постоянных темпов роста. Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен: q  1  i  Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид: kн  q n  1  i  Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения kн , зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, могут быть протабулированы. Например, для числа лет до 10 (с интервалом пол года) и процентной ставки до 50% (с интервалом 5%) таблица будет выглядеть так: n i n 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 1.02 1.05 1.08 1.10 1.13 1.16 1.19 1.22 1.05 1.10 1.15 1.21 1.27 1.33 1.40 1.46 1.07 1.15 1.23 1.32 1.42 1.52 1.63 1.75 1.10 1.20 1.31 1.44 1.58 1.73 1.89 2.07 1.12 1.25 1.40 1.56 1.75 1.95 2.18 2.44 1.14 1.30 1.48 1.69 1.93 2.20 2.50 2.86 1.16 1.35 1.57 1.82 2.12 2.46 2.86 3.32 1.18 1.40 1.66 1.96 2.32 2.74 3.25 3.84 1.20 1.45 1.75 2.10 2.53 3.05 3.67 4.42 1.22 1.50 1.84 2.25 2.76 3.38 4.13 5.06 25 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1.25 1.28 1.31 1.34 1.37 1.41 1.44 1.48 1.51 1.55 1.59 1.63 1.54 1.61 1.69 1.77 1.86 1.95 2.04 2.14 2.25 2.36 2.47 2.59 1.88 2.01 2.16 2.31 2.48 2.66 2.85 3.06 3.28 3.52 3.77 4.05 2.27 2.49 2.73 2.99 3.27 3.58 3.93 4.30 4.71 5.16 5.65 6.19 2.73 3.05 3.41 3.81 4.26 4.77 5.33 5.96 6.66 7.45 8.33 9.31 3.26 3.71 4.23 4.83 5.50 6.27 7.15 8.16 9.30 10.60 12.09 13.79 3.86 4.48 5.21 6.05 7.03 8.17 9.50 11.03 12.82 14.89 17.30 20.11 4.55 5.38 6.36 7.53 8.91 10.54 12.47 14.76 17.46 20.66 24.45 28.93 5.32 6.41 7.72 9.29 11.19 13.48 16.23 19.54 23.53 28.33 34.12 41.08 6.20 7.59 9.30 11.39 13.95 17.09 20.93 25.63 31.39 38.44 47.08 57.67 Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i . Сравнение наращения по формуле простых и смешанных процентов Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на следующем рисунке. Рис. Графики наращения по простым и сложным процентам Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым. Это же можно обосновать из справедливости любом i  0 системы следующих неравенств: 26 1  ni   1  i n при n  1   n 1  ni   1  i  при n  1  n 1  ni   1  i  при n  1 Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:  более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);  более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;  обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов. Соответственно, для лиц, берущих кредит система выгод противоположна. Пример: Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату. Решение: Наращенная сумма FV  PV  1  i   2000  1  0,1  2420 руб. n 2 или FV  PV  kн  2;0,1  2000  1, 21  2420 руб. где kн  2;0,1 – коэффициент наращения, определенный по таблице при сроке 2 года и процентной ставке 10%. Сумма начисленных процентов I  FV  PV  2420  2000  420 руб. Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2420 руб., из которой 2000 руб. составляет долг, а 420 руб. – процент, или «цена долга». Формула смешанных процентов Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет: n N r где N – целое число лет; 27 r – оставшаяся дробная часть года ( 0  r  1 ).  Начисление процентов возможно с использованием двух методов: общий метод или сложный процент с дробным периодом – заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов: FV  PV 1  i   PV 1  i  n  N 1  i r смешанный метод расчета – предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года использовать формулу простых процентов: FV  PV 1  i  N 1  ri  Так как при любом i  0 и 0  r  1 справедливо равенство: 1  ri   1  i r , то наращенная сумма по смешанному методу расчета будет больше наращенной суммы по расчету с дробным периодом. Результаты будут совпадать только при r  0 , то есть для целого числа лет. Пример: В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов. Решение: При германской практике 9 месяцев равны 9  30  270 дней. В году 360 дней. Таким образом, срок кредита равен: 270 n2  2,75 лет 360 То есть N  2 , r  0,75 . Общий метод: FV  PV 1  i   250  1  0,095  320,87 тыс. долл. I  FV  PV  320,87  250  70,87 тыс. долл. Смешанный метод: n FV  PV 1  i  N 2,75 1  ri   250  1  0,0952  1  0,75  0,095  321,11 тыс. долл. I  FV  PV  321,11  250  71,11 тыс. долл. Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору, а общая – заемщику. 28 Начисление процентов несколько раз в год Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка j . Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год. Несмотря на свою кажущуюся простоту и удобство, эта ставка:  не отражает реальной эффективности сделки;  не может быть использована для сопоставлений различных кредитных схем. Величина процентной ставки за один период начисления равна отношению номинальной процентной j ставки к годовому числу периодов начисления процентов m : j i m Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга равен n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит m  n . Так как процентная ставка за один период начисления равна i  j m , то формулу сложных процентов можно записать в следующем виде: FV  PV 1  i  mn j   PV 1    m j  kн   1    m mn mn Пример: Изменим условия первого примера, введя ежеквартальное начисление процентов. Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых и ежеквартальном начислении процентов. Решение: Количество периодов начисления в год равно 4 (в году 4 квартала), т.е.: m4 Наращенная сумма составит: mn j   0,1  FV  PV 1    2000  1   4   m  Сумма начисленных процентов: 42  2436,81 руб. 29 I  FV  PV  2436,81  2000  436,81 руб. Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2436,81 руб., из которой 2000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов. Таблицы коэффициентов наращения сложных процентов могут быть применены и при неоднократном начислении процентов за год со следующими поправками: 1) количество годов ( n ) следует понимать как общее количество периодов начисления ( m  n ); 2) процентная ставка ( i ) равна j m . Эффективная ставка процентов Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка ( i f ) показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j m : 1  i f  n j   1    m mn откуда несложно получить: m j  i f  1    1  m Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от номинальной ставки и количества внутригодовых начислений. Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора. Пример: Рассчитаем эффективную ставку для финансовой операции, рассмотренной в предыдущем примере, а также для вклада при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 10%. Решение: Эффективная ставка ежеквартального ( m  4 ) начисления процентов, исходя из 10% годовых ( j  0,1 ), составит: m 4 j   0,1  i f  1    1  1    1  0,1038 4   m  30 Эффективная ставка ежемесячного ( m  12 ) начисления процентов, исходя из 10% годовых ( j  0,1 ), составит: Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна: m 12 j   0,1  i f  1    1  1    1  0,1047  m  12  Таким образом, эффективная годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47% против 10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения. Переменная ставка процентов Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид: FV  PV  1  i1   1  i2   n1 n2 k  1  ik   PV  1  is  nk ns s 1 где k – общее число периодов с неизменной ставкой; is – процентная ставка за s -й период; ns – длительность s -го периодов. Пример: Фирма получила кредит в банке на сумму 100000 долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года она равна 11,5%, и для последующих лет 12,5%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа. Решение: Используем формулу переменных процентных ставок. В нашем случае имеется 3 периода с неизменными ставками. Длительность первого 1 год, второго – 1 год и третьего – 3 года. Тогда: 31 FV  PV  1  i1  1  1  i2  2  1  i3  3  n n n  100000  1  0,1  1  0,115   1  0,125   174632,51 1 1 3 Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит 174632,51 доллара, из которых 100000 долларов являются непосредственно суммой долга, а 74632,51 доллара – проценты по долгу. Непрерывное начисление процентов Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Такое начисление становится особо актуальным в системах интернет-расчетов. Рассмотрим предел m   для множителя наращения при неоднократном начислении процентов за год: mn j  kн   1    m В курсе математического анализа из определения второго замечательного предела доказывается, что: m j  lim 1    e j , m  m где e  2,718281828 – основание натурального логарифма. Таким образом: kн  e jn , m   . Отсюда можно записать формулу наращенной суммы при непрерывном начислении процентов для n лет: FV  PV  e jn Традиционно номинальную ставку для непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом  , в отличие от ставки дискретных процентов ( j ). В этом случае традиционная формула наращения при силе роста  за период n лет будет иметь вид: FV  PV  e n Пример: Кредит в размере 100 тыс. руб. получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться: а) один раз в год; 32 б) ежедневно; в) непрерывно. Решение: Используем формулы дискретных и непрерывных процентов: начисление один раз в год FV  100000  1  0,08  125971, 2 руб. ежедневное начисление процентов 3653  0,08  FV  100000  1   127121,6  365   руб. 3 непрерывное начисление процентов FV  100000  e0,083  127124,9 руб. Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления показано на следующем рисунке. Рис. Графики для различных вариантов начисления процентов: слева – раз в год, в центре – раз в пол года, справа – непрерывно При дискретном начислении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота "ступенек" все время возрастает. В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствует две "ступеньки" на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту "ступеньки" однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа. Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. 33 Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов. Определение срока ссуды и величины процентной ставки Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции: Срок ссуды:  FV   FV  ln  ln    PV  PV    n  m ln 1  i  j  ln 1    m Ставка сложных процентов (эффективная i или j номинальная): 1n  FV  i   PV  1   FV 1  mn   j  m   1   PV     Пример: Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых? Решение: Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки. Для первого случая FV PV  3 , n  3 : 1n  FV  i    PV   1  31 3  1  0, 433 . 34 Ставка во втором случае известна и равна 0,46. Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно. Примеры схем и характерных ставок операций привлечения вкладов банками, ведущими деятельность в Республике Татарстан С использованием сети интернет (Сайт banki.ru, сайты банков Республики Татарстан: Ак Барс банка, Банка Казани, Аверс Банка, Энергобанка, Татсоцбанка, Банка Заречье, Банка 131 и др., а также основных федеральных банков, предложения которых так же есть на территории Республики) в интерактивном режиме проводится сбор текущей информации о ставках и условиях привлечения вкладов. С использованием изученных формул анализируются эффективные параметры операций и делаются выводы о наиболее выгодных условиях вложения средств. 35 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. ИЗМЕНЕНИЯ УСЛОВИЙ ФИНАНСОВЫХ ДОГОВОРОВ Эквивалентность финансовых схем Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов, ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю. Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату. Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка. Номинальная и эффективная процентные ставки Классическим примером эквивалентности являются номинальная j и эффективная i ставка процентов: m j  i  1    1  m  j  m 1  i  1m  1 Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i один раз, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов. В России указание эффективной ставки является обязательным условием многих финансовых операций. Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными. 36 Пример: Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%? Решение: Находим номинальную ставку для полугодового ( m  2 ) начисления процентов:  j  m 1  i  1m    1  2 1  0, 25 12   1  0, 2361 Находим номинальную ставку для ежемесячного ( m  12 ) начисления процентов:  j  m 1  i  1m     1  12 1  0, 25 1 12  1  0, 2252 Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными. При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок: простая процентная ставка i , эквивалентная номинальной сложной процентной ставке j : mn  1  j i     1    1  n   m   номинальная сложная процентная ставка j , эквивалентная простой ставке i :  1  mn  j  m  1  n  i   1 Пример: Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант. Решение: 1 способ. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку: mn  1   0, 2 24  1  j i     1    1     1    1  0, 2859  4  n   m  2     37 Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов. 2 способ. Находим эквивалентную сложную ставку процентов для простой ставки:  1  mn  j  1  n  i    1  24   1  m  2  1  4  0, 26    1  0,1864 Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых с полугодовым начислением процентов ниже 20% годовых с полугодовым начислением процентов, значит первый вариант выгоднее. Уравнение эквивалентности В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству: tj   FV0   FV j  1  i  n j   FV j  1  i   T j j  где FV j – выплаты в соответствующие моменты n j ;   FV0 – эквивалентный консолидированный платеж в момент n0 ; n j – временной интервал между сроками в годах: n j  n0  n j ; t j – временной интервал между сроками в днях. 38 Заметим, что в зависимости от сроков, t j могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Пример: Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых. Использовать французскую практику расчета. Решение: По французской практике расчета количество дней в году T  360 . Дни между датами операций необходимо определять точно. Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа (дата начала и дата конца операции всегда считаются одним днем). В апреле осталось 11 дней (от 20.04 до 30.04), в мае 31 день (от 01.05 до 31.05). Тогда: t1  11  31  1  41 день. Аналогично определим временной интервал между сроками для второго платежа и консолидированного платежа. В мае осталось 22 дня (от 10.05 до 31.05). Тогда: t2  22  1  21 день. Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна: t  t    FV0  FV1  1  i  1   FV2  1  i  2   T T   41  21     20000  1  0,1   30000  1  0,1      50402,78 360  360    Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50402,78 руб. Если платежи FV j со сроками n j надо заменить платежом FV0 со сроком n0 при использовании сложной процентной ставки i , то уравнение эквивалентности имеет вид: FV0   FV j  1  i  j Пример: n0  n j  39 Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12% годовых. Решение: Поскольку nоб. > n1, то платеж составит:  n0 n1  FV0  FV1  1  i   53  45000  1  0,12   56448 руб. Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56448 руб. Пример: Запланированы 4 платежа: 1) 30 000 000 руб. сейчас; 2) 50 000 000 руб. через год; 3) 60 000 000 руб. через 3 года; 4) 100 000 000 руб. через 5 лет. Исходя из процентной ставки 15% годовых, заменить эти платежи одним платежом, осуществляемым: а) сейчас; б) через 4 года; в) через 5 лет. Решение: Согласно формуле консолидированного платежа:  n0 n1  FV0  FV1  1  i   n0 n2   FV2  1  i   n0 n3   FV3  1  i   n0 n4   FV4  1  i  По датам необходимых платежей находим: FV1  30000000 , n1  0 , так как первый платеж должен осуществляться сейчас; FV2  50000000 , n2  1, так как первый платеж должен осуществляться через 1 год; FV3  60000000 , n3  3 , так как первый платеж должен осуществляться через 3 года; FV4  100000000 , n4  5 , так как первый платеж должен осуществляться через 5 лет. а) Для платежа сейчас n0  0 . Тогда FV0  30000000  1  0,15   03 60000000  1  0,15   00   01  50000000  1  0,15   100000000  1  0,15   05   30000000  43478260,87  39450973,95  49717673,53  162646908,35 То есть вместо четырех обозначенных платежей можно внести сейчас один консолидированный платеж 162 646 908,35 руб. 40 б) Для платежа через 4 года n0  4 . Тогда FV0  30000000  1  0,15  60000000  1  0,15   43  40   50000000  1  0,15   45  100000000  1  0,15   41   52470187,5  76043750  69000000  86956521,74  284470459,24 То есть вместо четырех обозначенных платежей можно внести через 4 года один консолидированный платеж 284 470 459,24 руб. в) Для платежа через 5 лет n0  5 . Тогда FV0  30000000  1  0,15   53 60000000  1  0,15   5 0   51  50000000  1  0,15   55  100000000  1  0,15     60340715,62  87 450312,50  79350000  100000000  327141028,12 То есть вместо четырех обозначенных платежей можно внести через 5 лет один консолидированный платеж 327 141 028,12 руб. Неоднозначность замены финансовых схем и договоров Важно отметить, что при замене одного или нескольких платежей несколькими, их суммы в общем случае определяются неоднозначно. Условиями однозначности в таком случае могут быть: условие постоянной суммы платежей; заданная динамика платежей и др. В практике финансовых операций существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Например, часто платежи при сокращении сроков ( n0  n j ) рассчитываются несколько иначе, чем при увеличении срока ( n0  n j ). Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом. Заметим, что все полученные соотношения справедливы для эквивалентности платежных схем. Такие дополнительные условия, как штрафы, увеличение процентной ставки за изменение сроков платежей и др. должны учитываться дополнительно. 41 ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ВЕЛИЧИН Сущность процесса дисконтирования В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме FV следует определить неизвестную первоначальную сумму долга PV . Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или, когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Аналогичные задачи возникают при оценке объектов бизнеса как вариантов инвестиций и во многих других случаях. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount): D  FV  PV Термин «дисконтирование» в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину. FV D PV i n время n или t Рис. Схема операции дисконтирования Отметим, что математически дисконт и процент равны: D  I  FV  PV . Однако, логически они «относятся» к разным моментам времени – дисконт к настоящему, а процент – к будущему. Несмотря на это различие, при расчетах эти термины часто подменяют друг другом, если нет явного использования дисконта в начальный момент времени. Не редко дисконтирование называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV . Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему (или заданному) моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной. 42 Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. При этом момент, к которому приводятся суммы, может оказаться и более поздним, чем реальный момент платежа (таким образом, термин «будущий» для величины FV в этом случае достаточно условен). Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:  математическое дисконтирование по процентной ставке (в качестве базы берется первоначальная сумма долга). Тогда за один период начисления получим: FV  PV FV i  PV  PV 1  i   банковский учет по учетной ставке (за базу принимается наращенная сумма долга). За один период начисления: FV  PV d  PV  FV  1  d  FV Очевидно, учетная ставка не может превышать 100%. Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке – декурсивными. Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке. Пример: Определить текущую стоимость обязательства в 100000 руб., которое будет реализовано через один год. Дисконтирование провести двумя методами: по равным процентной и учетной ставке 15% годовых. Решение: По процентной ставке: FV 100000 PV    86956,52 1  i  1  0,15 Дисконт равен: D  100000  86956,52  13043, 48 43 По учетной ставке: PV  FV  1  d   100000  1  0,15  85000 Дисконт равен: D  100000  85000  15000 Очевидно, дисконт по учетной ставке значительно выше. Математическое дисконтирование Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки i позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму. Для простых процентов 1 FV t  1  PV   FV  1  n  i   FV  1   i   FV  kд 1  n  i   T  где kд – дисконтный множитель для простых процентов: 1 t   kд  i, n   1  n  i  ; kд  i, t   1   i   T  Дисконтный множитель (коэффициент приведения) показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты. Пример таблицы для kд при 1 германской практике, сроке операции до года (с интервалом месяц) и процентной ставке до 50% (с интервалом 5%) выгляди так: i t 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 0,9959 0,9917 0,9877 0,9836 0,9796 0,9756 0,9717 0,9677 0,9639 0,9600 0,9562 0,9524 0,9917 0,9836 0,9756 0,9677 0,9600 0,9524 0,9449 0,9375 0,9302 0,9231 0,9160 0,9091 0,9877 0,9756 0,9639 0,9524 0,9412 0,9302 0,9195 0,9091 0,8989 0,8889 0,8791 0,8696 0,9836 0,9677 0,9524 0,9375 0,9231 0,9091 0,8955 0,8824 0,8696 0,8571 0,8451 0,8333 0,9796 0,9600 0,9412 0,9231 0,9057 0,8889 0,8727 0,8571 0,8421 0,8276 0,8136 0,8000 0,9756 0,9524 0,9302 0,9091 0,8889 0,8696 0,8511 0,8333 0,8163 0,8000 0,7843 0,7692 0,9717 0,9449 0,9195 0,8955 0,8727 0,8511 0,8304 0,8108 0,7921 0,7742 0,7571 0,7407 0,9677 0,9375 0,9091 0,8824 0,8571 0,8333 0,8108 0,7895 0,7692 0,7500 0,7317 0,7143 0,9639 0,9302 0,8989 0,8696 0,8421 0,8163 0,7921 0,7692 0,7477 0,7273 0,7080 0,6897 0,9600 0,9231 0,8889 0,8571 0,8276 0,8000 0,7742 0,7500 0,7273 0,7059 0,6857 0,6667 Пример: Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 531250 тыс. руб., исходя из 15% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. 44 Решение: Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов: 1 1 t  531250   150  PV  FV  1   i   531250  1   0,15    500000 руб. 1,0625  T   360  Или, используя таблицу: PV  310000  kд 15%,150   531250  0,9412  500012,5 руб. Заметим, что получилась разница в расчетах (12,5 руб.), обусловленна округлением данных в таблице дисконтных множителей. Таким образом, первоначальная сумма долга составила 500 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 31 тыс. 250 руб. Для сложных процентов FV n PV   FV  1  i  FV  kд   n 1  i  где kд – дисконтный множитель для сложных процентов: kд  i, n   1  i  n Значения дисконтного множителя для сложных процентов также легко табулируются. Например, для числа лет до 10 (с интервалом пол года) и процентной ставки до 50% (с интервалом 5%) таблица для kд будет выглядеть так: i n 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 0,9759 0,9524 0,9294 0,9070 0,8852 0,8638 0,8430 0,8227 0,8029 0,7835 0,7646 0,7462 0,7282 0,7107 0,6936 0,6768 0,9535 0,9091 0,8668 0,8264 0,7880 0,7513 0,7164 0,6830 0,6512 0,6209 0,5920 0,5645 0,5382 0,5132 0,4893 0,4665 0,9325 0,8696 0,8109 0,7561 0,7051 0,6575 0,6131 0,5718 0,5332 0,4972 0,4636 0,4323 0,4031 0,3759 0,3506 0,3269 0,9129 0,8333 0,7607 0,6944 0,6339 0,5787 0,5283 0,4823 0,4402 0,4019 0,3669 0,3349 0,3057 0,2791 0,2548 0,2326 0,8944 0,8000 0,7155 0,6400 0,5724 0,5120 0,4579 0,4096 0,3664 0,3277 0,2931 0,2621 0,2345 0,2097 0,1876 0,1678 0,8771 0,7692 0,6747 0,5917 0,5190 0,4552 0,3992 0,3501 0,3071 0,2693 0,2362 0,2072 0,1817 0,1594 0,1398 0,1226 0,8607 0,7407 0,6375 0,5487 0,4722 0,4064 0,3498 0,3011 0,2591 0,2230 0,1919 0,1652 0,1422 0,1224 0,1053 0,0906 0,8452 0,7143 0,6037 0,5102 0,4312 0,3644 0,3080 0,2603 0,2200 0,1859 0,1571 0,1328 0,1122 0,0949 0,0802 0,0678 0,8305 0,6897 0,5727 0,4756 0,3950 0,3280 0,2724 0,2262 0,1879 0,1560 0,1296 0,1076 0,0894 0,0742 0,0616 0,0512 0,8165 0,6667 0,5443 0,4444 0,3629 0,2963 0,2419 0,1975 0,1613 0,1317 0,1075 0,0878 0,0717 0,0585 0,0478 0,0390 Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид: 45 j  PV  FV  1    m  mn  mn j  kд  j, n, m   1    m В этом случае используются таблицы дисконтного множителя отдельно для каждого значения m из набора стандартных: m  2 – для двукратного начисления процентов в год, m  4 – для ежеквартального начисления, m  12 – для ежемесячного, m  365 – для ежедневного. Пример: Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму? Решение: Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов: PV  FV  1  i  n  30000000  1  0, 25 2  19200000 руб. или по таблице: PV  FV  kд  25%, 2   30000000  0,64  19200000 руб. В этом случае значение в соответствующей ячейке таблицы было вычислено без округления. Таким образом, фирме следует разместить на счете 19200000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30000000 руб. Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина. В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина. Банковский учет Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт. Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю (обязательству) покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его 46 с дисконтом. Соответственно, векселедержатель получает сумму, меньшую, чем номинал векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг. Для расчета дисконта используется учетная ставка. Простая учетная ставка: t D  FV  PV  FV  n  d  FV   d T где n (или t ) – продолжительность срока в годах (или днях) от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем. Отсюда: t   PV  FV  FV  n  d  FV  1  n  d   FV  1   d   FV  kд  T  Дисконтный множитель равен: t   kд   1   d  kд  1  n  d  или  T  Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем меньше значение дисконтного множителя и тем больше дисконт. Очевидно, что дисконтирование по простой процентной ставки имеет смысл только для сроков операций, удовлетворяющих условию: t n  d  1 или  n  1 . T Эти условия всегда будут справедливы при сроке операции не превышающем один год (так как учетная ставка всегда меньше 100%). Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным. Пример: Вексель выдан на 5000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта. Решение: 47 Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств: в августе 13 дней, в сентябре 30, в октябре 31 и в ноябре 17. t  13  30  31  17  1  90 дней. Отсюда, учитываемая сумма равна: t 90     PV  FV  1   d   5000  1   0,08   4900  T   360  руб. Дисконт составит: D  FV  PV  5000  4900  100 руб. или t 90  d  5000   0,08  100 T 360 руб. Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб. D  FV  Сложная учетная ставка: PV  FV  1  d  n При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине. Пример: Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%. Решение: Используя формулу дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем: PV  FV  1  d  n  55000  1  0,3  26950 руб. 2 Заемщик может получить ссуду в размере 26950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб. Объединение платежей (см. прошлую лекцию) можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле: 1 tj   FV0   FV j  1  d   T j  48 где t j – интервал времени между сроком консолидированного и j -го векселя. Пример: Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя. Решение: Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей: Разница сроков с первым векселем: t1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) − 1 = 113 дней, t2 = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) − 1 = 61 день. Тогда, сумма консолидированного векселя: 1 tj   FV0   FV j  1  d    T j  1 1 113  61     10000  1  0, 25    20000  1  0, 25    31736 360  360    Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31736 руб. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: PV2  PV1  1  n1  i   1  n2  d  где PV1 – первоначальная сумма долга; PV2 – сумма, получаемая при учете обязательства; n1 – общий срок платежного обязательства; n2 – срок от момента учета до погашения. Пример: Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства. 49 Решение: Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении ( T  365 ) и учете ( T  360 ): PV2  PV1  1  n1  i   1  n2  d   25  100     50000  1   0, 4   1   0, 25   54516  365   360  Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54516 руб. 50 ИНФЛЯЦИЯ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ Сущность инфляции и необходимость ее учета в количественном анализе Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Это экономическое явление, которое возникает вследствие целого комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Инфляцию можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу можно приобрети меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются. Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция. Темпы инфляции определяются с помощью индекса – относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени. Обобщающими показателями финансово-экономического положения страны являются уровень инфляции и индекс инфляции. Уровень инфляции  показывает, на сколько процентов возросли цены за период. Индекс инфляции J показывает во сколько раз выросли цены за этот период. Таким образом, это соответственно темп прироста и темп роста: J  1   Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен. Индекс потребительских цен (ИПЦ) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора. Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства. Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года). Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:   ИПЦ  100% В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:  нормальную (ползучую) – от 3% до 10%;  галопирующую – от 10% до 100%;  гиперинфляцию – свыше 50% в месяц. 51 Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг. Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п. Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рисунке: FV PV i  FV время n или t n Рис. Факторы изменения стоимости денег Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. То есть, инфляция всегда оценивается по сложному проценту (не важно, что наращение осуществляется по простым или сложным процентам), а индекс цен всегда вычисляется по формуле: J  1    . n Если уровень инфляции  отнесен к k -й части года, то индекс цен за n лет определяется следующим образом: J n  1    k n (8.1) Можно тогда определить уровень инфляции, отнесенный к n годам:  n лет  J n  1  1    k n 1 (8.2) В формулах (8.1), (8.2) число лет n может быть и дробным, например для месяца n  1 12 , для квартала n  1 4 . 52 Пример: Пусть ежемесячный уровень инфляции 1,5%. Определить ожидаемый уровень инфляции за квартал, за полгода и за год. Решение: Индекс инфляции за месяц J  1    1  0,015 Индекс инфляции за квартал, т.е. за три месяца или 1 4 года: 121 4  J кв  1     1  0,015  1,0153  1,04568 3 Уровень инфляции за квартал  кв  J  1  1,04568  1  0,04568 Следовательно, ожидаемый квартальный уровень инфляции составит примерно 4,57%. Индекс инфляции за полугодие, т.е. за шесть месяцев 121 2  J пг  1     1  0,015  1,0156  1,09344 6 Уровень инфляции за квартал  пг  J  1  1,09344  1  0,09344 Следовательно, ожидаемый полугодовой уровень инфляции составит примерно 9,34%. Индекс инфляции за год, т.е. за 12 месяцев 121  J год  1     1,01512  1,19562 Уровень инфляции за квартал  год  J  1  1,19562  1  0,19562 Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции составит примерно 19,56%. Отметим, что, просто умножив 1,5% на 12, получаем только 18%, что является неправильным способом определения годового уровня инфляции по среднемесячному. Заметим, что формулы (8.1), (8.2) можно использовать и для определения индекса цен и уровня инфляции для меньших промежутков времени, чем тот, к которому относится заданный уровень инфляции. При этом k  1 n . Пример: Определить среднемесячный уровень инфляции в квартале, если квартальный уровень инфляции составил 6%. Решение: В этом случае k  4 , n  1 12 . Используя формулы (8.1), (8.2) получаем: 53 J мес  1  0,06  41 12  13  1,06   1,01961 4 1 12  n мес  1  0,06     1  1,01961  1  0,01961 Таким образом, среднемесячный уровень инфляции равен примерно 1,96%. Показатели финансовой операции могут быть представлены, как:  номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах ( FV );  реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода: FV FV  (8.3) J Формула для исчисления реальной наращенной суммы с учетом влияния инфляции при совпадении периодов начисления процентов и определения инфляции, принимает следующий вид:  для простых процентов: 1  n  i  ; FV  PV  1   n  для сложных процентов: FV n 1 i  .  PV  1   n Поскольку ставка доходности i является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а уровень инфляции  является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы. Если проценты начисляются m раз в год с номинальной годовой ставкой i , а уровень инфляции относится к k -й части года, то формулы для реальной суммы за n лет запишутся так:  для простых процентов: 1  n  i  ; FV  PV  1   nk  для сложных процентов: nm i   1   m FV  PV   . 1   nk В этом случае говорят не о годовом уровне инфляции, а об уровне, отнесенном к конкретному периоду (например, месячный уровень инфляции, квартальный 54 уровень и т.п.). Понятий «номинального» и «эффективного» уровня инфляции не существует. Заметим, что лучше пользоваться общей формулой (8.3), отдельно рассчитывая номинальную наращенную сумму FV и индекс цен J . В этом случае удается избежать путаницы в способах начисления процентов, а также с периодом начисления процентов и периодом, к которому отнесен уровень инфляции. Кроме того, эта формула может быть применена в любом случае наращения суммы вне зависимости от его механизма. Пример: Определить реальные результаты вкладной операции для суммы 5000 руб., размещенной на полгода под 8% годовых, если ежемесячный уровень инфляции составляет 2%. Решение: Наращенная (номинальная) сумма вклада FV  PV  1  n  i   5000  1  0,5  0,08  5200 руб. Индекс инфляции за срок хранения вклада составит J  1  0,02   1,126 6 Реальная сумма вклада FV 5200   4618,11 J 1,126 Следовательно, наращенная величина по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать сумме 4618,11 руб., т.е. меньше первоначальной суммы. FV  Методы учета инфляции в финансовых расчетах Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности. Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:  если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (  i ), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;  если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (   i ), то происходит «проедание» капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;  если уровень инфляции ниже процентной ставки (  i ), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы. 55 В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставка с поправкой на инфляцию ( i ). Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид: i n 1  n  i   J  1 1  n  i   1     1    n n где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); i – процентная ставка с поправкой на инфляцию. Пример: Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 20 тыс. руб. по ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит. Решение: Номинальная наращенная сумма FV  PV  1  i   20000  1  0,06   21200 руб. Номинальные начисленные проценты I  FV  PV  21200  20000  1200 руб. Реальная наращенная сумма FV 21200 FV    17966,10 1   1  0,18 Реальные проценты I  FV  PV  17966,10  20000  2033,90 руб. Таким образом, получен убыток от данной финансовой операции в размере 2033,90 руб. Ставка по кредиту с учетом инфляции должна быть равна 1  n  i   J  1 1  1  0,06   1,18  1 i    0, 2508 n 1 Наращенная сумма FV  PV  1  n  i   20000  1  0, 2508  25016 руб. Доход банка I  FV  PV  25016  20000  5016 руб. Реальный доход банка 56 25016 I  FV  PV   20000  1200 1,18 руб. Реальная доходность финансовой операции I 1200 i    0,06 PV 20000 Таким образом, чтобы обеспечить доходность в размере 6% годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать примерно 25,1% годовым. Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции соответствующую ставке i при годовом уровне инфляции  , определяется по формуле i  i    i   Если проценты начисляются m раз в год, то:  j  1m j  m   1    1     1  m   Пример: Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 7% годовых, а годовой уровень инфляции 22%. Решение: Процентная ставка с учетом инфляции i  i    i    0,07  0, 22  0,07  0, 22  0,3054 Таким образом, номинальная ставка должна составлять 30,54% для обеспечения реальной ставки 7%. Номинальная ставка процентов при уровне инфляции  за n лет определяется по формуле: i  1  i   1    1n 1 При начислении процентов m раз в год формула преобразуется в следующую:  j  1  mn  j  m   1    1     1  m   Заметим, что в этих формулах n может быть и дробным. Например, если известен уровень инфляции за пол года, то n  0,5 . 57 Для анализа эффективности финансовых операций при инфляции используют реальную ставку ir , соответствующую номинальной i и уровню инфляции  . Используя эти ставки, можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала. При годовом уровне инфляции  и однократном начислении процентов реальная ставка равна: i  ir  1 Пример: Определить реальную ставку при размещении средств на год под 35% годовых, если уровень инфляции за год составляет 20%. Решение: Определяем реальную ставку: i   0,35  0,2 ir    0,125 1 1  0,2 Таким образом, реальная ставка равна 12,5% годовых. При уровне инфляции  за n лет и начислении процентов m раз в год реальная ставка равна:   j  1    m  jr  m    1 mn  1  1           58 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ. КРЕДИТНЫЕ СХЕМЫ. АНАЛИЗ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО КРЕДИТАМ ПРЕДПРИЯТИЙ Сущность потока платежей и основные категории До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей. Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций:  с ценными бумагами,  в управлении финансами предприятий,  при осуществлении инвестиционных проектов,  в кредитных операциях,  при оценке бизнеса,  при оценке недвижимости,  выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п. Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными. Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом. При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:  член ренты R – величина каждого отдельного платежа;  период ренты t – временной интервал между членами ренты;  срок ренты n – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;  процентная ставка i – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента. Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:  В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют 59 годовую ренту, которая представляет собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году; o срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года. По числу начислений процентов различают o ренты с начислением 1 раз в год; o ренты с начислением m раз в год; o непрерывное начисление. По величине членов ренты могут быть o постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами; o переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами. По числу членов ренты они бывают o с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно; o с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно. По вероятности выплаты ренты делятся на o верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита; o условные ренты, которые зависят от наступления некоторого события. По методу выплаты платежей выделяют o обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо); o ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо). o        Обобщающие характеристики финансовых потоков Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются: наращенная сумма; современная величина потока платежей. Аннуитет Наращенная величина аннуитета Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег. Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. 60 Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п. Рис. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным q  1  i  . Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты: 1  i n  1 2 n 1 FVA  R  R  1  i   R  1  i    R  1  i   R  1  i   1 FVA  R  1  i n  1 i  R  sn;i где FVA – наращенная сумма ренты; R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа; i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты; n – срок ренты в годах, sn;i – коэффициент наращения ренты (может быть протабулирован). Пример: На счет в банке в течение пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета. Решение: Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы начисляются в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, т.е. это постоянная рента; число членов ренты пять, следовательно, это ограниченная рента; выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна: 61 FVA  R  1  i n  1 1  0,35  1  500   4521,55 руб. i 0,3 Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты: FVA  R  s5;30  500  9,0431  4521,55 руб. Сумма взносов в течение 5 лет составит: P  n  R  5  500  2500 руб. Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна: I  FVA  P  4521,55  2500  2021,55 руб. Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2021,55 руб. Для овладения методами финансовой математики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета. Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу. Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера: Расчет наращенной величины аннуитета Пе- Взносы в конце Проценты, начисленриод периода ные за период 1 500,00 – 2 500,00 150,00 3 500,00 345,00 4 500,00 598,50 5 500,00 928,05 Наращенная сумма на конец периода 500,00 1150,00 1995,00 3093,50 4521,55 Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета. Если платежи вносятся один раз в год, а проценты начисляются m раз в год, то получим формулу: m n j  1    1 m FVA  R   m j  1    1  m где j – номинальная ставка процентов. 62 Пример: Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально. Решение: В этом случае рента с начислением процентов m  4 раза в год. Сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна: mn 45 j   0,3  1    1 1   1 m 4   FVA  R    500    4840,76 руб. m 4 j   0,3  1    1 1   1 4   m  Сумма начисленных процентов будет равна: I  FVA  P  4840,76  2500  2340,76 руб. Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил наращенную сумму и сумму процентов. В случае если рентные платежи вносятся p  1 раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году, наращенная величина ренты будет определяться по формуле: n 1 i 1  FVA  R  1  i 1 p  1 В самом общем случае, когда рентные платежи вносятся p раз в году, а начисление процентов происходит m раз в год, формула определения наращенной величины финансовой ренты примет вид: mn j  1    1 m FVA  R   m p   j  1  1    m     На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки. 63 Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования. Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов – оно больше ровно на 1. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в 1  i  раз. Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов один раз в год формула примет вид: 1  i n  1  1  i  i Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов m раз в год: FVA  R  m n j  1    1 j m  FVA  R    1   m  m j  1    1  m Современная (текущая) величина аннуитета Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму. Рис. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей 64 В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать. В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна: PVA  R  1  1  i  n  R  an;i i Коэффициент приведения ренты an;i  1  1  i  n i может быть протабулирован. Пример: Определить по первого примера современную величину ренты. Решение: Современная величина ренты составит: PVA  R  1  1  i  n 1  1  0,3 n  500   1217,78 i 0,3 Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент суммой 1217,78 руб. Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:  годовая рента с платежами 1 раз в год и начислением процентов несколько ( m ) раз в год:  m n  j  1  1   m PVA  R   m j  1    1  m срочная рента при платежах p раз в год при начислении процентов один раз в год: PVA  R   1  1  i  1  i  1 p n  1 срочная рента при платежах p раз в год с неоднократным ( m раз) начислением процентов в течение года: 65  mn j  1  1    m PVA  R  m p   j  1  1    m     Определение параметров аннуитета Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами: R – размер платежа; n – срок ренты в годах; i – годовая ставка процентов. Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр. При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной: Наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем ( FVA ), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле: i FVA R  FVA   1  i n  1 sn;i  Пример: Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 500 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%. Решение: В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен: i 0, 4 R  FVA   500000   45680, 46 руб. 1  i n  1 1  0, 4 5  1 Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 45680,46 руб.  при платежах p раз в год с неоднократным ( m раз) начислением процентов в течение года: 66 m p   j  1  1    m    R  FVA   mn j  1    1  m Современная величина финансовой ренты. Тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле: i PVA R  PVA   n an;i 1  1  i   Пример: Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга. Решение: Известна современная величина долга, отсюда: i 0,08 R  PVA   10000   2504,56 долларов. n 5 1  1  i  1  1  0,08 Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2504,56 долларов. Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять: FV  10000  1  0,08  14693, 28 долл. Наращенная сумма для потока платежей размером 2504,56 долл. соста5 вит: 2504,56  1  0,08   1 5 FVA   14693, 25 долл. 0,08 С точностью до округления расчетов полученные величины совпадают, следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно.  при платежах p раз в год с неоднократным ( m раз) начислением процентов в течение года: m p   j  1  1    m    R  PVA    mn j  1  1    m 67 Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения. Оценка некоторых видов аннуитета Бессрочный аннуитет Если денежные поступления осуществляются достаточно длительное время и их число заранее не может быть известно, то такой поток называется бессрочным аннуитетом или вечной рентой. В этом случае определение будущей величины такого аннуитета не имеет смысла. Для данного вида финансовой ренты имеет смысл только характеристика современной величины потока платежей. Поток, даже с неограниченным числом платежей все же имеет конечную приведенную стоимость, поскольку с финансовой точки зрения, деньги, поступающие через много лет, сейчас практически ничего не стоят. Для вычисления данной характеристики используется формула бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула современной величины принимает следующий вид: R PVA  i При больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной величины срочного аннуитета можно пользоваться формулой бессрочного аннуитета, поскольку полученный приблизительный результат не слишком будет отличаться от точного значения, т.к. при сроке более 40-50 лет коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга. Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется из приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, скорректированного на коэффициент 1  i  , т.е. отличается на вели чину первого платежа: PVA  R R  1  i    R i i Непрерывный аннуитет Если промежутки между последовательными поступлениями являются бесконечно малой величиной, то такой аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью.  68 При начислении непрерывных процентов для получения формул определения наращенной или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда: o наращенная величина потока платежей при платеже один раз в год: e  1  FVA  R   e  1 n при платеже p раз в год: e  FVA  R   e n p   1 1 где  – сила роста (номинальная ставка при непрерывных процентах). o современная величина потока платежей при платеже один раз в год: 1 e    PVA  R   e  1  n при платеже p раз в год: 1 e    PVA  R    e  1  n p Нерегулярные потоки платежей В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции. В таких случаях говорят о нерегулярных потоках платежей. Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа. Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию. При потоках, приуроченных к концу периодов расчета, формулы прямого счета имеют вид: 69 n FVA   Rk  1  i  nk k 1 n PVA   k 1 Rk 1  i k Если потоки имеют место в произвольные моменты, то необходимо определить, как будут рассчитываться дробные части периодов (смешанный процент, дробный процент, отсутствие начисления и т.п.) Пример: По приведенным данным о денежных потоках рассчитать для каждого наращенную величину, если потоки имеют место в конце года. Процентная ставка равна 12% годовых. Поток 1 2 3 4 5 А 100 200 200 300 300 В 200 - 200 - 200 Решение: Для потока платежей А: FVA  100  1  0,12   200  1  0,12   200  1  0,12   300  1  0,12   300  1325, 21 4 PVA  100 1  0,12  1  3 200 1  0,12  2  2 200 1  0,12  3  1 300 1  0,12  4  300 1  0,12  5  751,96 Таким образом, наращенная сумма потока А через пять лет составит 1325,21 рублей. Современная величина потока равна 751,96 руб. Для потока В наращенная сумма через пять лет составит 765,59 рублей. 4 2 FVA  200  1  0,12   200  1  0,12   200  765,58 200 200 200 PVA     434, 41 1 3 5 1  0,12  1  0,12  1  0,12  Наращенная сумма потока В через пять лет составит 765,58 рублей. Современная величина потока В равна 434,41 руб. Планирование погашения долга Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа) применяется для достижения сбалансированности, т.е. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения, путем планирования погашения долга. Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом, – такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга – срочная уплата, в которую входят: 70       текущие процентные платежи; средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга. Размеры срочных уплат зависят от условий займа: срока; наличия и продолжительности льготного периода; уровня процентной ставки; способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов. Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают: D – величина займа, долга; n – срок погашения займа; q – процентная ставка по кредиту, под которую выдаются деньги; Yt – и поток платежей по выплате долга (в случае, если платеж единственный или не зависит от момента времени, индекс t не пишут). Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Здесь возможны два варианта: а) погашение единовременным платежом, т.е. возврат всей суммы в оговоренный срок; б) погашение долга в рассрочку, т.е. частями. Погашение долга единовременным платежом Рассмотрим погашение единовременным платежом. В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока: Y  D  1  q    n Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей: возврат основной суммы долга ( D ); выплата процентов по долгу ( I ), Очевидно: I  D  1  q   D n Формирование фонда погашения долга Возврат всей суммы в конце срока требует от заемщика накопления значительной суммы к этому моменту. Если не предпринимать специальных средств накопления, то значительно возрастает риск невозврата части долга. В финансовой практике встречаются также случаи, когда у кредитора возникает 71 необходимость вернуть часть денег досрочно, что прописывается в соответствующих договорах. Наличие накоплений способствует снижению риска неудовлетворения подобных требований. При значительной сумме долга разовый платеж требует создания так называемого фонда погашения путем периодических взносов. Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные на погашение задолженности. Наиболее эффективно размещение фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на специальном счете в банке. Ставку начисления процентов на фонд погашения будем обозначать i . Кредитор, в свою очередь, также пытается снизить риски невозврата сумм долга. Как правило, это достигается требованием постоянных выплат определенных частей долга или процентов по нему. Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной периодической выплатой процентов Рассмотрим вариант периодических выплат процентов по мере их начисления и постоянных взносов в фонд погашения в те же моменты. Так как оба вида платежей постоянны, то, такие платежи по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом). Определим член ренты так, чтобы в конце срока займа накопленная в фонде сумма была равной требуемой сумме долга. Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты (расходов заемщика по погашению долга) складывается из двух частей: процентов I  Dq; постоянных (аннуитетных) взносов в фонд погашения i  , i0 D  n D  1  i   1 R  sn;i  D , i0  n Последняя зависимость гарантирует накопление суммы D путем внесения аннуитетных платежей (см. тему про величину аннуитетного платежа). Таким образом, в этом случае i Y  I  R  Dq  D 1  i n  1 Обратим еще раз внимание, что здесь фигурируют две ставки процентов: 72 q – ставка процентов, выплачиваемых за заем; i – ставка процентов, начисляемых в фонде погашения. D D выплаты процентов по ставке q I I I I I возврат основной суммы из фонда погашения время t наращение вкладов по ставке i R R R 1 R R … 2 n время t Рис. Единовременное погашение долга с выплатой процентов по мере их начисления и формированием фонда погашения Пример: Долг 100 тыс. долларов выдан под 10% годовых на 3 года, с ежегодной выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти ежегодные расходы должника. Решение: Ежегодные расходы должника составляют величину срочной уплаты: Y I R I  D  q  100000  0,1  10000 долл. R  D Тогда i 1  i  n 1  100000  0,11 1  0,11 3 1  29921,31 долл. Y  10000  29921,31  39921,31 долларов 73 Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят 39921,31 долларов. Стандартным, наглядным и эффективным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все основные характеристики обслуживания долга. Пример: Составить таблицу погашения долга для предыдущего примера. Решение: Таблица. План погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов и созданием погасительного фонда Взносы в фонд Величина Накопленная сумма Выплата погашения долга, срочной в фонде погашения Год Долг D процентов, D i долга, уплаты, R (I  Dq) n St  St 1  1  i   R 1  i   1 Y I R 1 100000 10000 29921,31 39921,31 29921,31 2 100000 10000 29921,31 39921,31 63133,96 3 100000 10000 29921,31 39921,31 100000,00 Итого 100000 30000 89763,93 119763,93 100000 Из приведенной таблицы видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга составят 39921,31 долларов, что в целом за три года составит сумму 119763,93 долларов, причем выплата процентов за три года 30000 долларов, а на погашение основного долга в размере 100000 долларов приходится всего лишь 89763,93 долларов, т.е. 10236,07 долларов являются набежавшими процентами на размещенные средства в фонде погашения. Заметим, что проведенное суммирование носит формальный характер, так как складываемые платежи относятся к разным моментам времени. 74 Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды Второй вариант погашения долга единовременным платежом состоит в выплате процентов одновременно с погашением долга. В этом случае взносы в фонд погашения определяются из условия накопления в фонде к концу срока суммы, равной сумме долга вместе со всеми причисленными процентами D  1  q  . n D D (1+q)n возврат наращенной суммы из фонда погашения наращение суммы долга по ставке q время t наращение вкладов по ставке i R R 1 R 2 R … R n время t Рис. Единовременное погашение долга одновременно с выплатой процентов по нему с формированием фонда погашения Так как эти платежи являются аннуитетом, то их размер определяется по формуле: n n D  1  q  D  1  q   i Y  sn;i 1  i n  1 Пример: Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия: погашение единовременным платежом, как суммы основного долга, так и выплаты процентов. Решение: Величина срочной уплаты равна: 75 D  1  q   i n Y 1  i n  1 100000  1  0,1  0,11 3  1  0,113  1  39825, 26 долларов. Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит 39825,26 долларов, что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере, следовательно, меньше и общая сумма расходов по обслуживанию долга, составляющая величину 119475,78 долларов. Заметим, что снижение суммы произошло за счет того, что при этой схеме в погасительный фонд шло больше средств вместо их поступления в счет оплаты долга, что выгоднее, так как i  q . Для случая i  q сумма выплат была бы больше, чем при первой сэеме. Для более наглядного представления плана погашения долга здесь также желательно составление таблицы. Таблица. План погашения долга единовременным платежом без промежуточных выплат процентов и созданием погасительного фонда Год Долг, Проценты Взносы в погаси- Накопленная величина в Dt 1  Dt  It по долгу, тельный фонд, погасительном фонде, St  St 1  1  i   R It  Dt  q R Y 1 100000 10000 39825,26 39825,26 2 110000 11000 39825,26 84031,30 3 121000 12100 39825,26 133100,00 Итого 133100 33100 119475,78 133100 Заметим, что величина долга относится к началу периода, а остальные величины – к концу периода. Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до 133100 долларов, из которых выплата процентов составит 33100 долларов. В то же время за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается. Таким образом, создание фонда погашения является важным элементом составления плана погашения долга, т.к. позволяет не только снизить риск невозврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга. 76 Погашение долга в рассрочку В практике финансовой деятельности долг часто погашается в рассрочку, т.е. распределенными во времени платежами. При погашении основной суммы долга частями его текущее значение будет уменьшаться и, следовательно, сумма процентных платежей также будет уменьшаться. Погашение долга частями также может осуществляться различными способами. В зависимости от преследуемых интересов стороны могут выбирать различные, удобные для них режимы в виде постоянных или переменных финансовых рент, а также нерегулярных потоков платежей. В этом разделе будут использоваться следующие обозначения: q – ставка процентов, начисляемых на сумму долга; D – первоначальная сумма долга; n – срок долга в годах; t – номер года ( t  1, 2, , n ); Dt – остаток долга на начало периода t , D1  D ; dt – величина погашения основной суммы долга за период t ; I t – величина погашения процентов за период t ; Yt – срочная уплата за период t Погашение основной суммы долга равными частями Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга (тела долга) равными частями. При этом величина погашения части основной суммы долга определяется следующим образом: D dt  d   const . n Остаток долга, начиная с периода t  2 , определяется по рекуррентной формуле: Dt  Dt 1  dt 1 . Проценты каждый раз начисляются на уменьшаемую сумму основного долга и равны: It  Dt  q . Размер срочной уплаты по долгу равен погашению основной части долга плюс выплате процентов: D Yt  dt  It   Dt  q . n 77 Пример: Сумма 100 тыс. долларов выдана под 10% годовых на 3 года. Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга равными ежегодными частями. Решение: Величина суммы погашения долга равна: D 100000 dt    33333,33 долларов. n 3 Поскольку величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года в год, то в этом случае без построения плана погашения долга в виде таблицы просто не обойтись. Год, t Таблица. План погашения основной суммы долга равными частями Долг Сумма погаше- Выплата про- Величина срочDt  Dt 1  dt 1 ния долга ( dt ) центов, ной уплаты, It  Dt  q Yt  dt  It 1 100000,00 33333,33 10000,00 43333,33 2 66666,67 33333,33 6666,67 40000,00 3 33333,34 33333,34 3333,33 36666,67 Итого х 100000,00 20000,00 120000,00 Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составили 120000 долларов, из которых 20000 долларов составляют проценты, а 100000 долларов – погашение основной суммы долга. Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды Долг также можно погашать в рассрочку равными срочными уплатами (аннуитетными платежами), которые включают в себя как погашение основной суммы долга, так и величину процентов по нему: Yt  It  dt  Y  const Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность представляет собой финансовую ренту (аннуитет), современное значение которой должно быть равно сумме долга. По формуле для определения размера платежа постоянной годовой финансовой ренты с выплатами в конце периода, размер срочной уплаты равен: Dq Yt  n 1  1  q  Из этой величины выплата процентов составляет: It  Dt  q и, соответственно, величина погашения части основной суммы долга равна: 78 dt  Yt  It Остаток долга, начиная с периода t  2 , определяется по рекуррентной формуле: Dt  Dt 1  dt 1 . Остаток долга в первый момент времени равен исходной сумме долга: D1  D . При погашении долга в рассрочку величина долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и, соответственно, увеличению сумм, идущих на погашение долга, – это так называемое прогрессивное погашение. Пример: Рассчитать вариант погашения долга прошлого примера равными срочными выплатами. Решение: Срочная уплата, включающая в себя погашение основной суммы долга и выплату процентов по долгу, равна: Dq 100000  0,1 Yt    40211, 48 долларов. n 3 1  1  q  1  1  0,1 Общие расходы по погашению долга равны: Yt  Yt  3  40211, 48  3  120634, 44 доллара. Таким образом, ежегодные расходы по погашению долга будут составлять 40211,48 долларов, а за весь срок финансовой операции – 120634,44 доллара. При этом варианте погашения долга также возможно построение таблицы. Таблица. План погашения долга равными срочными уплатами Год, Долг Срочная Выплата Сумма погашения осDt  Dt 1  dt 1 уплата процентов, новного тела долга, t It  Dt  q Yt dt  Yt  It 1 2 3 Итого 100000,00 69788,52 36555,89 х 40211,48 40211,48 40211,48 120634,44 10000,00 6978,85 3655,59 20634,44 30211,48 33232,63 36555,89 100000,00 Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют 120634,44 долларов, из которых 100 тыс. долларов идут на погашение долга, а 20634,44 долларов – проценты. 79 В таблице наглядно представлено распределение суммы срочной уплаты на выплату процентов и непосредственное погашение долга. При данном варианте погашения долга общая сумма выплат оказалась больше, чем в первом случае. Можно доказать, что это является общей закономерностью. Общая сумма выплат по схеме с постоянным погашением основной суммы долга меньше общей суммы выплат по схеме погашения долга равными платежами (при прочих равных условиях). Однако в первом случае имеют место более крупные начальные платежи, имеющие более высокую ценность за счет временного фактора. Если привести все выплаты на единую дату на условиях договора (провести дисконтирование выплат по обеим схемам по той же процентной ставке и периодах начисления), то текущая стоимость обоих потоков выплат оказывается абсолютно одинаковой. Потребительский кредит Частным случаем погашения долга равными срочными уплатами является потребительский кредит. Однако в этом случае проценты начисляются сразу на всю сумму кредита, а сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока кредита по m раз в течение года (чаще всего m  12 – ежемесячные выплаты). Проценты в потребительском кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой ставке: I  Dnq Общая сумма расходов по погашению кредита складывается из выплаты процентов и суммы основного долга: Yt  D  I  D  1  n  q  . Тогда выплаты за каждый период равны: DI Y nm где m – количество взносов в течение года. Важно отметить, что в этом случае суммарные выплаты оказываются значительно больше выплат по приведенным выше двум схемам (при той же процентной ставке и сроке операции). Значительно выше и приведенная стоимость выплат по потребительскому кредиту. Это обусловлено тем, что проценты сразу же начисляются на полную сумму кредита и погашение его никак не сказывается на их значении. Очевидно, что для условий рассмотренного ранее примера, общие выплаты по схеме потребительского кредита были бы равны: 80 Yt  D  I  D  1  n  q   100000  1  3  0,1  130000 долларов. Потребительский кредит чаще всего используется для кредитования на небольшие суммы (в рамках потребительских нужд) на короткие и средние сроки. Пример: Потребительский кредит на сумму 5 тыс. руб. открыт на 2 года по ставке 25% годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов. Решение: Стоимость кредита – это проценты, которые равны: I  D  n  q  5000  2  0, 25  2500 рублей. Общая сумма расходов по обслуживанию кредита равна: Yt  D  I  5000  2500  7500 руб. Ежеквартальные взносы составят величину: D  I 7500 Y   937,50 руб. nm 24 Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 рублей позволяет выплатить сумму долга и выплатить проценты. Если бы использовалось прогрессивное погашение, т.е. начисление процентов на остаток долга, то это было бы заметно дешевле для должника. Для рада целей возникает необходимость выделить в каждом платеже потребительского кредита Yt части, соответствующие платежу по основной сумме dt и платежу по процентам I t : Yt  It  dt . Расчленение величины срочной уплаты в потребительском кредите на процентные платежи и погашение основной суммы долга в мировой практике называется «правило 78». Это связано с тем, что для потребительского кредита сроком 12 месяцев и ежемесячным погашением, сумма порядковых номеров месяцев будет равна 78, что и дало название такому методу начисления процентов. В общем случае для n лет и m платежей в году сумма последовательных номеров выплат N будет равна: n  m   n  m  1 N 2 Величина процентного платежа определяется следующим образом: b n  m 1 t  It  I  I t . N N 81 где t – номер платежа, bt   n  m  1  t  . Сумма погашения основного долга равна: DI dt  Yt  It   It nm Рассмотрим предыдущий пример, расчленив срочную уплату на составляющие элементы. Результаты представим в виде таблицы. Заметим, что в этом случае n  m  8 , N  36 . Платеж t Параметр bt  9  t 1 2 3 4 5 6 7 8 Итого 8 7 6 5 4 3 2 1 Таблица. План погашения потребительского кредита Долг Срочная Проценты ПогашеDt  Dt 1  dt 1 b уплата ние осIt  2500  t Yt новной 36 суммы долга dt  Yt  It 5000,00 4618,06 4166,67 3645,84 3055,56 2395,84 1666,67 868,06 х 937,50 937,50 937,50 937,50 937,50 937,50 937,50 937,50 7500 555,56 486,11 416,67 347,22 277,78 208,33 138,89 69,44 2500 381,94 451,39 520,83 590,28 659,72 729,17 798,61 868,06 5000 Примеры схем и характерных ставок операций выдачи кредитов банками, ведущими деятельность в Республике Татарстан С использованием сети интернет (Сайт banki.ru, сайты банков Республики Татарстан: Ак Барс банка, Банка Казани, Аверс Банка, Энергобанка, Татсоцбанка, Банка Заречье, Банка 131 и др., а также основных федеральных банков, предложения которых так же есть на территории Республики) в интерактивном режиме проводится сбор текущей информации о ставках и условиях выдачи кредитов. С использованием изученных формул анализируются эффективные параметры операций и делаются выводы о наиболее выгодных условиях привлечения кредитных средств на территории Республики Татарстан. 82 ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ Особенности инвестиционных процессов как объекта финансовой математики Инвестиции – это долгосрочные финансовые вложения экономических ресурсов с целью создания и получения выгоды в будущем, которая должна быть выше начальной величины вложений. Инвестиционный процесс – это последовательность связанных инвестиций, растянутых во времени, отдача от которых также распределена во времени. время t Рис. Графическое изображение инвестиционного процесса Этот процесс характеризуется двусторонним потоком платежей, где отрицательные члены потока являются вложениями денежных средств в инвестиционный проект, а положительные члены потока – доходы от инвестированных средств. Принято различать:  финансовые инвестиции – вложение денежных средств в ценные бумаги;  реальные инвестиции – вложения в основной капитал и прирост запасов;  инвестиции в нематериальные активы – вложения в развитие научных исследований, повышение квалификации работников, приобретение лицензий и прав. Реализация инвестиционных проектов требует отказа от денежных средств сегодня в пользу получения дохода в будущем, поэтому любой инвестиционный проект требует анализа и оценки. 83 Оценивая эффективность инвестиционных проектов, следует учитывать и степень риска, – здесь, как правило, выделяют два вида риска: предпринимательский и финансовый. Предпринимательский риск – риск, связанный с деятельностью конкретного бизнеса. Финансовый риск – риск, связанный с изменениями рыночной ставки дохода на капитал. Для упрощения исследования эффективности инвестиций предполагается, что необходимая норма прибыли задана и одинакова для всех инвестиционных проектов и для любого из рассматриваемых проектов степень риска одинакова. Различают простые (статические) и усложненные (динамические) методы. Статические методы традиционно использовались в социалистической экономике и отвечали действующим тогда условиям хозяйствования. В рыночных условиях используются динамические методы, основанные на теории временной стоимости денег, которые устранили недостаток ранее действующих методик. Важнейшая задача анализа инвестиционных проектов – расчет будущих денежных потоков (доходов), возникающих при реализации проекта, но не прибыли. Анализ инвестиционных проектов основан на исследовании доходов и расходов, выраженных в форме денежных потоков, но не на изменениях, вызванных условностями бухгалтерского учета. Рассмотрим только методы и показатели эффективности инвестиций, основанные на принципе дисконтирования. При анализе потоков платежей используются обобщающие показатели:  наращенная стоимость;  приведенная стоимость;  норма доходности. Эти показатели уже рассматривались в прошлых темах, но для инвестиционных процессов они приобретают свою специфику. Показатели эффекта и эффективности инвестиционных проектов Чистый приведенный доход Поскольку денежные средства распределены во времени, то и здесь фактор времени играет важную роль. При оценке инвестиционных проектов используется метод расчета чистого приведенного дохода, который предусматривает дисконтирование денежных потоков: все доходы и затраты приводятся к одному моменту времени. 84 Центральным показателем в рассматриваемом методе является показатель чистого приведенного дохода NPV (net present value) – текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении. При разовой стартовой инвестиции расчет чистого приведенного дохода можно представить следующим выражением: n Rk NPV    IC k k 1 1  i  где IC – стартовые инвестиции; i – ставка дисконтирования. Rk – годовые денежные поступления в течение n лет, k  1, 2, , n – моменты времени. Важным моментом является выбор ставки дисконтирования, которая должна отражать ожидаемый усредненный уровень ссудного процента на финансовом рынке. В общем случае ставка дисконтирования субъективна, зависит от рисков, ожиданий инвестора, альтернативных возможностей и др. Можно сказать, что ставка дисконтирования – это общая ставка дохода, которую инвестор ожидает от своей доли участия в данном конкретном инвестиционном проекте. Для определения эффективности инвестиционного проекта отдельной фирмой в качестве ставки дисконтирования используется средневзвешенная цена капитала, используемого фирмой для финансирования данного инвестиционного проекта. Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение нескольких ( m ) лет, то формула для расчета очевидным образом модифицируется: n m IC j Rk NPV     IC0  k j k 1 1  i  j 1 1  i  Показатель NPV является абсолютным приростом, поскольку оценивает, на сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты:    при NPV  0 проект следует принять (приносит прибыль); при NPV  0 проект не принимается (убыточен), при NPV  0 проект не имеет ни прибыли, ни убытков. 85 Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала фирмы в случае принятия данного проекта. Одно из важных свойств данного критерия в том, что показатель NPV различных проектов можно суммировать, поскольку он аддитивен во времени. Это позволяет использовать его при анализе оптимальности инвестиционного портфеля. Пример: Фирма рассматривает целесообразность инвестиционного проекта, стоимость которого составляет 210 тыс. долларов. По прогнозам ежегодные поступления составят 55 тыс. долларов. Проект рассчитан на 5 лет. Необходимая норма прибыли составляет 8%. Следует ли принять этот проект? Решение: Чистая стоимость проекта (чистый приведенный доход) равна: n Rk NPV    IC0  k k 1 1  i  55000 55000 55000 55000 55000      210000  5735 1,081 1,082 1,083 1,084 1,085 Поскольку величина чистой текущей стоимости проекта оказалась равна –5735 долларов, т.е. NPV  0 , то проект должен быть отвергнут.  Как правило, основываются на том, что величина NPV находится на начало реализации инвестиционного проекта (чистая текущая стоимость проекта). Однако можно определять эту величину на момент завершения процесса вложений или на иной момент времени. Несмотря на изменение абсолютного результата, знак данной величины не меняется от изменения момента приведения. Следовательно, вывод о принятии проекта не зависит от момента приведения. Часто возникают ситуации оценки инвестиционного проекта, который, начиная с некоторого момента времени n0 , будет приносить постоянный доход Rk  R или доход с постоянным темпом роста h : Rk  R 1  h  (инвестиции в k предприятия, торговлю и т.п.). В этом случае имеет место инвестиционный проект с бесконечным периодом получения доходов. Обобщая формулу для чистого приведенного дохода на бесконечное количество моментов времени, получим: 86 NPV   R  1  h  k  n0 1  i k  k m IC j j 1 1  i  j   IC0 Если ставка дисконтирования больше, чем темп роста дохода ( i  h ), то бесконечную сумму можно выразить по формуле для бесконечной геометрической прогрессии с убывающими членами: n  1  h  0 1  i  m IC j NPV  R     IC0    1  i   i  h  j 1 1  i  j Для постоянного дохода R формулы справедливы при h  0 . Пример: Инвестор рассматривает целесообразность вложения 150 млн. руб. в покупку магазина, который приносит доход 10 млн. руб. в год и этот доход растет наравне с инфляцией с темпом роста 8% в год. Необходимая норма прибыли инвестора составляет 15%. Следует ли принять этот проект? Решение: Заметим, что в этом случае период начала поступления дохода n0  1, а инвестиции вкладываются лишь однократно и равны сумме покупки. Так как i  0,15  h  0,08 , то можно воспользоваться формулой для чистого приведенного дохода на бесконечном количестве периодов. 1 n 1  0,15  1  0, 08   1  h  0 1  i  NPV  R    IC0  10     150  4, 29 млн.р.    1  0,15 0,15  0, 08    1  i  i  h   Чистый приведенный доход от объекта вложения положителен, следовательно проект рекомендуется принять. Если ожидаемый темп роста доходов не ниже ставки дисконтирования ( i  h ), то такой проект, очевидно, является выгодным, а чистый приведенный доход по нему равен бесконечности. Срок окупаемости Для анализа инвестиций применяют и такой показатель, как срок (период) окупаемости (payback period method) – продолжительность времени, в течение которого дисконтированные на момент завершения инвестиций прогнозируемые денежные поступления равны сумме инвестиций. В этом случае, очевидно, NPV  0 и получаем: tок m IC j Rk   IC0   k j k 1 1  i  j 1 1  i  87 Иными словами срок окупаемости tок – это количество лет, необходимых для возмещения стартовых инвестиций. В общем случае срок окупаемости равен не целому числу лет и его точное определение для произвольных платежей математически невозможно. Для оценки пользуются упрощенными формулами. Самым грубым образом срок окупаемости определяется как год окупаемости: tок  nок – первый год, для которого накопленный дисконтированный денежный поток ( NPV , вычисленный без учета последующих доходов) становится неотрицательным: nок m IC j Rk   IC0   k j k 1 1  i  j 1 1  i  Более точно период окупаемости определяется по следующей формуле: PV  nок tок   nок  1  PV R nок     где  nок  1 – число лет до года окупаемости;     PV  nок – дисконтированная не возмещенная стоимость на начало года окупаемости; PV R nок – дисконтированный доход в течение года окупаемости. Данный показатель определяет срок, в течение которого инвестиции будут «заморожены», поскольку реальный доход от инвестиционного проекта начнет поступать только по истечении периода окупаемости. Пример: Рассчитать срок окупаемости проекта, для которого размер инвестиций составляет 1 млн руб., а денежные поступления в течение 5 лет будут составлять: 200; 500; 600; 800; 900 тыс. руб. соответственно. Ставка дисконтирования 15%. 88 Решение: Рассчитаем дисконтированный денежный поток: Период Денежный поток Дисконтированный денежный поток Накопленный дисконтированный денежный поток 1 2 3 4 5 –1000 200 500 600 800 900 –1000 174 378 394 458 447 –1000 –826 –448 –54 404 851 Год окупаемости проекта nок равен 4. Дисконтированная не возмещенная стоимость на начало года окупаемоPV  nок  54 сти равна . PV R nок  458 Дисконтированный доход в течение года окупаемости . Тогда срок окупаемости проекта равен: PV  nок 54 tок   nок  1    4  1   3,12 458 PV R n      ок    Таким образом, период, реально необходимый для возмещения инвестированной сумы, составит 3,12 года или 3 года и 44 дня. Если доходы можно представить в виде аннуитета ( Rk  R ), то  IC   ln 1  i R   tок  ln 1  i  Не всякий поток доходов способен привести к окупаемости проекта. Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между поступлениями и размером инвестиций. При ежегодных постоянных поступлениях это соотношение имеет вид: R  IC  i Внутренняя норма доходности При анализе эффективности инвестиционных проектов широко используется показатель внутренней нормы доходности IRR (internal rate of return) – это ставка дисконтирования, приравнивающая сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине инвестиций, т.е. ставка, для которой вложения окупаются, но не приносят прибыль. 89 Величина этой ставки полностью определяется «внутренними» условиями, характеризующими инвестиционный проект – суммами инвестиций и ожидаемого дохода: n m IC j Rk NPV     IC0  0  k j k 1 1  IRR  j 1 1  IRR  Прямое аналитическое выражение нормы доходности из этой формулы, как правило, невозможно. Для определения IRR в таком случае используют итерационные вычислительные алгоритмы или метод подбора. Существенного облегчения расчетов можно достичь, если сформировать значение NPV в MS Excel по приведенной формуле в зависимости от ячейки с подбираемым значением IRR . После этого искомое значение IRR можно определить не только с помощью подбора, но и автоматически с применением надстройки «Поиск решения». Для неограниченного количества доходов с постоянным темпом роста Rk  R  1  h  и единой суммы инвестиций IC0 норма доходности может k быть определена аналитически: IRR  R  1  h   h IC После определения нормы доходности инвестор сравнивает полученное значение IRR со ставкой привлеченных финансовых ресурсов CC (Cost of Capital):    если IRR  CC , то проект можно принять; если IRR  CC , то проект отвергается; если IRR  CC , то проект имеет нулевую прибыль. Пример: Рассчитать внутреннюю ставку доходности по проекту, где затраты составляют 1200 тыс. руб., а доходы в последующие годы равны 50; 200; 450; 500 и 600 тыс. руб. Решение: Сформируем в MS Excel таблицу доходов и их дисконтированных величин по некоторой ставке, которую будем вводить в ячейку B1. Сумма дисконтированных доходов будет равна NPV . Таблица и соответствующие формулы приведены на рисунке. 90 Рис. Таблицы в MS Excel для определения нормы доходности Как видим, при ставке i  20% NPV  0 . Для увеличения NPV ставка должна уменьшаться. Путём подбора достаточно быстро можно получить значение IRR  11,55% при котором NPV практически равно нулю (см. рис.). Рис. Итоговая таблица с определенной нормой прибыли Таким образом, ставка 11,55% является верхним пределом процентной ставки, по которой фирма может окупить кредит для финансирования инвестиционного проекта. 91 ПОРТФЕЛИ ЦЕННЫХ БУМАГ В последние десятилетия использование портфельной теории значительно расширилось. Все большее число инвестиционных менеджеров, управляющих инвестиционных фондов применяют ее методы на практике, и хотя у нее имеется немало противников, ее влияние постоянно растет не только в академических кругах, но и на практике, включая российскую. Присуждение Нобелевских премий по экономике ее создателям и разработчикам является свидетельством этого. Под инвестированием в широком смысле понимается любой процесс, имеющий целью сохранение и увеличение стоимости денежных или других средств. Средства, предназначенные для инвестирования, представляют собой инвестиционный капитал. С течением времени этот капитал может принимать различные конкретные формы. Из определения инвестирования видна важнейшая роль двух факторов: времени и стоимости. Важнейший принцип инвестирования состоит в том, что стоимость актива меняется со временем. Со временем связана еще одна характеристика процесса инвестирования – риск. Хотя инвестиционный капитал имеет вполне определенную стоимость в начальный момент времени, его будущая стоимость не известна. Для инвестора эта будущая стоимость есть ожидаемая величина. Одним из традиционных методов оценки и управления риском считается статистический метод. Основными инструментами статистического анализа являются – дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Суть этого метода состоит в анализе статистических данных за возможно больший период времени. Под инвестиционным портфелем понимается некая совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, либо юридическим или физическим лицам, выступающая как целостный объект управления. Обычно на рынке продается некое инвестиционное качество с заданным соотношением Риск / Доход, которое в процессе управления портфелем может быть улучшено. Основная задача портфельного инвестирования – улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможны только при их комбинации. Выбор ценных бумаг для портфельного инвестирования зависит от целей инвестора и его отношения к риску. Для всех инвесторов принято выделять три типа целей инвестирования и связанного с ними отношения к риску. 92 Инвестор стремится защитить свои средства от инфляции; для достижения цели он предпочитает вложения с невысокой доходностью, но с низким риском. Этот тип инвестора называют консервативным. Инвестор пытается произвести длительное вложение капитала, обеспечивающее его рост. Для достижения этой цели он готов пойти на рискованные вложения, но в ограниченном объеме, подстраховывая себя вложениями в слабодоходные, но и малорискованные ценные бумаги. Такой тип инвестора называют умеренно-агрессивным. Инвестор стремится к быстрому росту вложенных средств, готов для этого делать вложения в рискованные ценные бумаги, быстро менять структуру своего портфеля, проводя спекулятивную игру на курсах ценных бумаг. Этот тип инвестора принято называть агрессивным. На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике. Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную, то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально. По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием. Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому, чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Таким образом, любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: 1) Ожидаемой доходностью 93 n m p   X i  mi , (1) i 1 где X i – доля общего вложения, приходящаяся на i -ю ценную бумагу; mi – ожидаемая доходность i -ой ценной бумаги, в %; m p – ожидаемая доходность портфеля, в %. 2) Мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения σp  n n  X i  X j  σij (2) i 1 j 1 где σ p – мера риска портфеля; σ ij – ковариация между доходностями i -ой и j -ой ценных бумаг; X i и X j – доли общего вложения, приходящиеся на i -ю и j -ю ценные бумаги; n – число ценных бумаг портфеля. Проблема заключается в численном определении относительных долей ценных бумаг в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо удалить те, которые рискованнее, чем другие. Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентном составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей. Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска». На рис. 1 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества. Очевидно, эффективное множество портфелей является Парето-оптимальной границей допустимого множества задачи двухкритериальной оптимизации: m p  max  p  min оход Д 94 Эффективные Эффективное множество Область допустимых портфеДопустимые, но неэффективНедопустимые портфели Рис. 1. Допустимое и эффективное множества 95 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ Сущность финансовых функций Сегодня нельзя всерьез претендовать на работу экономиста, менеджера, бухгалтера, финансиста, специалиста по ценным бумагам и т.п., если не уметь обращаться с компьютером. Умение работы с компьютером предполагает, прежде всего, знание текстовых редакторов, электронных таблиц, систем управления базами данных и систем для работы с графикой. EXCEL является одной из самых популярных программ, работающих в операционной среде Windows, поскольку объединяет возможности графического и текстового редактора с мощной математической поддержкой. Использование возможностей компьютера и табличного процессора EXCEL позволяет облегчить выполнение расчетов и представить их в удобной для пользователя форме. Заметим, что корректное использование финансовых функций MS Excel существенно требует знаний, полученных при изучении курса финансовой математики. Финансовые функции EXCEL предназначены для проведения финансово-коммерческих расчетов по кредитам и займам, финансово-инвестиционного анализа, ценным бумагам. Функции EXCEL используют базовые модели финансовых операций, базирующиеся на математическом аппарате методов финансово-экономических расчетов. Однако иногда возникают трудности при использовании финансовых функций в среде EXCEL, поскольку синтаксис пакета использует иные обозначения основных понятий финансовых операций, нежели в классических расчетах. На основной панели инструментов имеется кнопка "Мастер функций", с помощью которой открывается диалоговое окно Диспетчера функций. Оно организовано по тематическому принципу. Выбрав в левом списке тематическую группу «Финансовые», получите полный перечень списка имен функций, содержащихся в данной группе. 96 Когда курсор стоит на имени функции, в нижней части окна приводится краткая характеристика функции и синтаксис. Вызов функции осуществляется двойным щелчком на ее имени или нажатием кнопки "Далее" в диалоговом окне Диспетчера функций. Диалоговое окно Ввода аргументов функции для каждой финансовой функции регламентировано по составу и формату значений перечня аргументов. При работе с финансовыми функциями необходимо учитывать специфику задания значения аргументов:  можно вводить как сами значения аргументов, так и ссылки на адреса ячеек;  все расходы денежных средств (платежи) представляются отрицательными числами, а все поступления денежных средств – положительными числами;  процентная ставка вводится в долях или с использованием знака %;  все даты как аргументы функций имеют числовой формат. Использование финансовых функций в финансовых операциях Операции наращения Функции, обслуживающие расчеты по операциям наращения позволяют рассчитать будущую стоимость разовой суммы по простым и сложным процентам, а также будущее значение потока платежей, как на основе постоянной процентной ставки, так и на основе переменной процентной ставки. 97 Функция БС Функция БС – будущая стоимость – рассчитывает будущую стоимость инвестиции на основе периодических постоянных (равных по величине суммы) платежей и постоянной процентной ставки. С ее помощью можно упростить расчет FV или FVA . Аргументы данной функции:      Ставка; Кпер; Плт; Пс; Тип. Для правильного ввода аргументов необходимо идентифицировать их с классическими обозначениями: Ставка – процентная ставка за период ( i );  Кпер – срок финансовой операции или общее число раз начисления процентов за весь срок финансовой операции ( n или m  n );  Плт – член финансовой ренты ( R );  Пс – приведенная (нынешняя) стоимость, или общая сумма, которая на настоящий момент равноценна серии будущих выплат, т.е. первоначальная сума долга ( PV или PVA );  Тип – вид финансовой ренты в зависимости от метода выплаты платежей: 0 или пусто – платежи в конце периода (обычная рента постнумерандо); число 1 – платежи в начале периода (рента пренумерандо).  98 Простые проценты Для решения задач наращения по простым процентам следует помнить, что не все аргументы рассматриваемой функции используются в этом случае. Рабочими аргументами являются:    Ставка; Кпер; Пс. Остальные аргументы не используются. Для случая простых процентов всегда Кпер=1. Срок операции должен быть учтен в Ставке путем умножения на соответствующую величину. Пример Определить наращенную сумму для вклада в размере 80 000 руб., размещенного под 6,7% годовых на два года под простые проценты. Решение В нижней части диалогового окна Ввода аргументов функции в поле "Значение" появится ответ: 90 720,00 р. Таким образом, через два года наращенная сумма составит 90 720,00 руб. Если продолжительность финансовой операции представлена в месяцах, то необходимо ввести корректировку в процентную ставку, т.е. аргумент Ставка будет представлен как  M 12   i% . Пример Определить наращенную сумму для вклада в размере 12 500 руб., размещенного под 5% годовых на 25 месяцев. 99 Решение Таким образом, через 25 месяцев наращенная сумма составит 13 802,08 руб. Если продолжительность финансовой операции представлена в днях, то необходимо ввести корректировку в процентную ставку, т.е. аргумент Ставка будет представлен как  t T   i% . Пример Вклад размером в 100 000 руб. положен с 31.03.2013 по 15.06.2015 под 8,5% годовых. Найти величину капитала на 15.06.2015 по различной практике начисления процентов. Решение Германская практика начисления процентов: Английская практика начисления процентов: 100 Французская практика начисления процентов: Таким образом, начисление процентов по германской практике приведет к получению суммы в размере 118 770,83 руб., по английской практике – 118 769,86 руб., по французской практике – 119 030,56 руб. Результат Срок начисления % Временная база Сумма вклада конечная БС() Ед. изм. дни дни руб. Английский 806 365 118 769,86р. Французский 806 360 119 030,56р. Германский 795 360 118 770,83р. Сложные проценты При использовании сложных процентов используются те же аргументы, что и в простых процентах, с использованием годовой процентной ставки и целого числа лет. Пример Какая сумма будет на счете через три года, если 15 000 руб. размещены под 7,7% годовых. 101 Решение Таким образом, через три года на счете будет 18 738,65 руб. Если же период начисления процентов будет меньше года, то необходимо модифицировать аргументы Ставка и Кпер: Ставка – берется ставка процентов за период начисления, т.е. используется номинальная годовая ставка процентов, скорректированная на число раз начисления процентов в течение года j % m ;  Кпер – указывается общее число раз начисления процентов за весь срок финансовой операции n  m .  Пример Используем условия предыдущего примера, но проценты будут начисляться каждый квартал. Решение 102 Следовательно, при ежеквартальном начислении процентов на счете будет 18 856,45 руб. Финансовые ренты Наращенная величина аннуитета может быть рассчитана при использовании следующего набора аргументов:     Ставка; Кпер; Плт; Тип. Пример Используя финансовые функции определить наиболее выгодный вариант вложения ежегодных денежных сумм в размере 5 000 руб. в течение 5 лет:  либо в начале каждого периода под 6% годовых;  либо в конце каждого года под 10% годовых. Решение Для первого варианта Ежегодные денежные вложения в размере 5 000 руб. по условиям первого варианта в конце срока ренты составят 29 876,59 руб. Для второго варианта: 103 Если аргумент пропущен, то по умолчанию он принимается равным 0. * По второму варианту наращенная величина аннуитета составит 30 525,50 руб., что больше величины по первому варианту. Следовательно, второй вариант вложения денежных средств предпочтительнее. Функция БЗРАСПИС Если в финансовой операции используются переменные ставки, т.е. дискретно изменяющиеся во времени, то для расчета будущего значения по формуле сложных процентов используется функция БЗРАСПИС. Заметим! Эта функция работает «математически» без учета знаков финансовых потоков. Пример Ставка банка по срочным валютным депозитам на начало года составляет 9% годовых, начисляемых раз в квартал. Первоначальная сумма вклада равна 20 000 руб. В течении года ожидается снижение ставок раз в квартал на 0,7, 0,9 и 1,2 процентов соответственно. Определить величину депозита к концу года. Решение Сначала вводятся ожидаемые значения процентных ставок в блок ячеек электронной таблицы: 104 Тогда К концу года на счете будет 27 512,46 руб. Операции дисконтирования Для многих финансовых операций необходимо использовать данные о приведенных или современных денежных величинах, как разовой суммы, так и потоков фиксированных периодических платежей. Функция ПС Для облегчения расчетов используется функция ПС – приведенное значение ( PV ) или приведенное значение аннуитета ( PVA ). Аргументы функции:      Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип. Этот расчет является обратным к определению наращенной суммы при помощи функции БС, поэтому сущность используемых аргументов в этих функциях аналогична. Вместе с тем, вводится новый аргумент БС – будущая стоимость или будущее значение денежной суммы ( FV ), а также иное обозначение числа периодов – Кпер – ( n или n  m ). Рассматриваемая функция может быть использована для расчета по простым и сложным процентам. 105 Простые проценты Пример Через 125 дней следует накопить сумму в размере 14 500 руб. Какой должен быть размер вклада, размещаемый под 8%? Решение Определяем первоначальную сумму долга: *Положительное значение БС означает поступление денег. На указанных условиях следует положить 14 108,11 руб., что позволит через 125 дней получить 14 500,00 руб. Сложные проценты Текущее значение единой суммы вклада с использованием сложных процентов и неоднократным начислением процентов в течение года рассчитывается так же обратно к соответствующему использованию функции БС. Пример Требуется получить на лицевом счете 50 тыс. руб. через три года. Выбрать варианты размещения средств:  под 11% с полугодовым начислением процентов;  под 10,5% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Решение Используем функцию ПС. Для первого варианта: 106 Для второго варианта: Таким образом, предпочтителен первый вариант, поскольку имеет меньшую первоначальную величину. При определении современной величины аннуитета следует помнить, что чем дальше отстоит от настоящего момента член ренты, тем меньшую текущую стоимость он представляет. Пример Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение 8 лет в начале каждого года снимать по 24 тыс. руб., если процентная ставка составляет 6% годовых? 107 Решение Таким образом, чтобы иметь возможность ежегодно в начале года в течение 8 лет снимать по 24 000,00 руб., необходимо положить 157 977,15 руб. Знак минус означает отток денег! Финансовые ренты Рассмотрим использование функции ПС в случае выплаты кредита. Пример Определить сумму кредита, на которую можно рассчитывать, если сумма ежемесячного платежа составит 10 000 руб., при ставке по кредиту в 13% годовых, причем кредит планируется вернуть в течение года (взнос в конце месяца). Решение Т.е. взяв в кредит 111 960,42 руб. и выплачивая по 10 000 руб. ежемесячно, через год кредит будет полностью погашен. Рассмотрим пример вычисления остатка суммы основного долга. 108 Пример Взят кредит в размере 150 000 руб. на 10 лет под ставку 13% годовых. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце четвертого года выплат. Решение Выполним расчет с помощью функции ОСПЛТ. Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце четвертого года выплат, составит 905,94 руб. Определение срока финансовой операции Функция КПЕР Для определения срока финансовой операции используется функция КПЕР, которая вычисляет общее число периодов начисления процентов на основе постоянной процентной ставки. Данная функция используется как для единого платежа, так и для платежей, распределенных во времени. Аргументы функции:      Ставка; Плт; Пс; Бс; Тип. Все эти аргументы уже встречались в других функциях и имеют ту же самую сущность. 109 Пример Через сколько кварталов удастся накопить 1 000 000 руб. если будем ежеквартально откладывать 10 000 руб. в банк, предоставляющий 10% годовых с ежеквартальным начислением процентов? Решение То есть нужная нам сумма накопится чуть больше, чем через 50 кварталов. Заметим! В данном примере необходимо задать Тип=1, так как вклады осуществляются вначале периодов, а уже потом идет начисление процентов по ним. Пример На какой срок может быть предоставлена сумма в размере 10 тыс. руб. под 8,5% годовых, при условии возврата 15 тыс. руб. Решение 110 Значит, на заданных условиях заем может быть предоставлен на 5 лет. Если платежи производятся несколько раз в год, то значение функции означает общее число периодов начисления процентов. Если необходимо срок платежа выразить в годах, то полученное значение необходимо разделить на число начислений процентов в году. Пример Через сколько лет вклад размером 5 000 руб. достигнет величины 10 000 руб. при ставке процентов 9,95% с ежемесячным начислением процентов? Решение Это общее число раз начисления процентов, а в годах это будет 84 12  7 лет. Функция ПДЛИТ Аналогичные вычисления для частного случая наращения сумм без периодических выплат можно выполнить с использованием функция ПДЛИТ(), которая возвращает количество периодов, которые необходимы инвестиции для достижения заданного значения. Аргументы функции ПДЛИТ описаны ниже.    Ставка — процентная ставка за период. Тс — стоимость инвестиции на текущий момент. Бс — желательная стоимость инвестиции в будущем. Важное замечание! Функция работает как математическая формула. В этом случае обе величины Тс и Бс вводятся положительными! 111 Пример Определить количество лет, на которое необходимо инвестировать 2 000р., чтобы при годовой прибыли в 2,5% получить сумму 2 200р. Решение =ПДЛИТ(2,5%;2000;2200) В результате при заданных условиях 2 000 руб. необходимо инвестировать на 3,86 года. То есть за 4 года будет достигнута требуемая сумма (и даже больше), а за 3 года – еще не будет достигнута. Пример Определить количество месяцев, на которое необходимо инвестировать 1 000р., чтобы при годовой прибыли в 2,5% получить сумму 1 200р. Решение =ПДЛИТ(2,5%/12;1000;1200) В результате при заданных условиях 1 000 руб. необходимо инвестировать на 87,6 (или 88) месяцев. 112 Определение процентной ставки Функция СТАВКА Для определения процентной ставки используется функция СТАВКА, которая определяет значение процентной ставки за один расчетный период. Для расчета годовой процентной ставки полученное значение необходимо умножить на число данных периодов в году. Аргументы функции:      Кпер; Плт; Пс; Бс; Тип. Пример Рассчитать процентную ставку для двухлетнего займа размером 17 000 руб. с ежемесячным погашением по 550 руб. Решение Определяем процентную ставку за месяц: То есть мы определили ежемесячную процентную ставку 1,93%. Годовая процентная ставка соответственно равна: 1,93%  12  23,16% Отсюда, годовая процентная ставка для данной финансовой операции составляет 23,16%. (Если использовать точные значения вычислений функции без округления, то годовая ставка будет немного отличаться). 113 Функция ЭФФЕКТ В MsExcel есть функция ЭФФЕКТ (Номинальная_ставка; Кол_пер), которая возвращает эффективную годовую процентную ставку, если заданы номинальная процентная ставка и количество периодов в году, в которые начисляются сложные проценты (частота начисления процентов в году). Пример Сложные проценты начисляются ежемесячно по ставке 9% годовых. Определить эффективную годовую процентную ставку. Решение Годовая процентная ставка в размере 9,38% позволит достичь такого же финансового результата, что и ежемесячное наращение в год по ставке сложных процентов 10% годовых. Пример Договор вклада длится 3 года с ежеквартальным начислением сложных процентов по ставке 7% годовых. Определить эффективную ставку вклада. Решение 114 Тогда эффективная ставка вклада составит: 7,19%. Функция НОМИНАЛ Если задана эффективная годовая ставка, то величина соответствующей ей годовой номинальной процентной ставки определяется с помощью функции НОМИНАЛ (Эффективная_ставка; Кол_периодов). Пример Определить номинальную ставку при ежеквартальном начислении процентов, если эффективная годовая ставка составляет 10%. Решение Итак, номинальная процентная ставка сложных процентов при ежеквартальном начислении, соответствующая эффективной ставке в размере 10%, составляет 9,65%. Функция ЭКВ.СТАВКА Функция ЭКВ.СТАВКА служит для определения ставки, требуемой для заданного наращения инвестиций за известное количество периодов наращения. Фактически, эта функция является частным более простым случаем функции СТАВКА при нулевых периодических платежах. Аргументы функции ЭКВ.СТАВКА описаны ниже.    Кпер – это количество периодов для инвестиций. Тс – стоимость инвестиции на текущий момент. Бс – стоимость инвестиции в будущем. Важное замечание! Функция работает как математическая формула. В этом случае обе величины Тс и Бс вводятся положительными! 115 Пример Какой должна быть годовая процентная ставка, чтобы вложив 10 000 р. на 8 месяцев в итоге получить 11 000 руб.? Решение =ЭКВ.СТАВКА(8;10000;11000) То есть, процентная ставка должна быть равна 1,20% в месяц.