Общие понятия о системах

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ При решении производственных задач возникает необходимость определенным образом изменять или поддерживать неизменной одну или несколько физических величин в различном оборудовании. Наиболее часто для обеспечения технологических процессов необходимо поддерживать постоянными такие величины, как температура, пневматическое и гидравлическое давление, уровень жидкости, скорость вращения, электрическое напряжение, а также изменять по заранее заданному закону, например, положение обрабатываемой детали относительно режущего инструмента, технологические режимы резания, электрические параметры объекта. Все перечисленные задачи решаются на основе науки «Теория автоматического управления». 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Теория автоматического управления – это наука о принципах построения автоматических систем и закономерностей протекающих в них процессов. Основная задача этой науки состоит в построении на основе инженерных методов синтеза оптимальных или близких к ним автоматических систем, а также исследовании их статики и динамики. Управлением называется преднамеренное воздействие на управляемый объект, обеспечивающее достижение определенных целей. Автоматическим называется управление, осуществляемое без непосредственного участия человека. Если управляющее воздействие вырабатывается с участием человека, то такое управление называется полуавтоматическим, а системы – автоматизированными. При простых целях управления, связанных с управлением одним параметром (поддержание постоянного значения параметра, изменение параметра по определенной программе) процесс управления называют регулированием, т.е. автоматическое регулирование – один из видов автоматического управления. Графически система автоматического управления (САУ) или регулирования (САР) представляется в виде структурной, функциональной и принципиальной схем. Взаимные связи между отдельными элементами автоматической системы принято представлять в виде структурных (алгоритмических) схем, на которых показаны условными обозначениями (знаками) все динамические звенья, внешние воздействия и воздействия элементов друг на друга (рис. 1.2 а). Динамическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается передаточная функция этого звена, т.е. известные зависимости выходных величин от входных. Воздействия на систему изображаются стрелками, а воздействия элементов (звеньев) друг на друга (связи между элементами) изображаются соединительными линиями со стрелками, показывающими направление передачи сигнала. Около каждой стрелки указывается, какую величину или обобщенную координату системы она изображает. Изменение этой величины и является передаваемым сигналом. На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются обозначения суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы. В каждом динамическом звене воздействие передается только от входа к выходу. Структурная схема показывает строение САУ (САР), наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. По структурной схеме можно составить математическое описание системы. При составлении структурной схемы (рис. 1.2.,а) рекомендуется начинать с изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда обратная связь будет направлена справа налево. В теории автоматического управления основное внимание уделяется не техническим свойствам отдельных элементов, а функциях, которые они выполняют в системе, и характеру связей между ними. Наглядное представление об этом дают функциональные схемы САУ и САР, которое отражают взаимодействие устройств, узлов, элементов автоматики в процессе их работы. Графически на функциональной схеме отдельные устройства и элементы изображают в виде прямоугольников, а существующие между ними связи – линиями со стрелками, соответствующими направлению прохождения сигнала. Внутреннее содержание каждого блока не конкретизируется, а функциональное назначение обозначается (шифруется) буквенными символами. Несмотря на многообразие САУ (САР) и входящих в них элементов в функциональных схемах они могут быть сведены к нескольким основным типам, различающимся по их назначению и взаимодействию в системе. Пример функциональной схемы представлен на рис. 1.2,б. На объект управления ОУ (объект регулирования – ОР), находящийся под внешним возмущающим воздействием , поступает регулирующее воздействие , являющееся выходной величиной управляющей части системы, которая представляет собой совокупность элементов, введенных для получения замкнутой САР. Эти элементы принято называть регулятором системы (регулирующим устройством) (на рисунке 1.2,б обведен штриховой линией). Входная величина поступает через задающее устройство ЗУ (обеспечивает преобразование в пропорциональный физический параметр, удобный для дальнейшего сравнения с регулируемой величиной) в виде сигнала задатчика (задающего воздействия) на элемент сравнения ЭС. Сигнал рассогласования (ошибки) на выходе ЭС, который представляет собой разность задающего воздействия и сигнала главной обратной связи , поступает на усилительный элемент У. В цепи обратной связи установлен измерительный преобразователь (элемент) ИЭ, предназначенный для измерения регулируемой величины и преобразования ее в сигнал удобный для дальнейшего использования в процессе регулирования, т.е. ИЭ выполняет функцию датчика обратной связи. Сигнал подается на формирующий (усилительно-преобразующий) элемент УП, который вырабатывает (формирует) необходимую «команду» (сигнал) исполнительному устройству ИУ, предназначенному для создания регулирующего воздействия на ОУ (ОР). Примером принципиальной схемы САР, выполненной в соответствии со структурной (рис. 1.2,а) и функциональной (рис. 1.2,б) схемами является используемая в современной технике система регулирования скорости вращения электродвигателя (рис. 1.2,в). Объектом регулирования (ОР) является электромотор постоянного тока (ЭМ), который вращает рабочий механизм (РМ). Регулируемой величиной является скорость вращения n вала, связывающего электромотор и рабочий механизм. Момент сопротивления рабочего механизма является возмущающим воздействием. Обмотка якоря электродвигателя получает питание от электромашинного усилителя ЭМУ, две ступени которого являются соответственно усилителем и исполнительным элементом. Обмотки управления ОУ электромашинного усилителя подключены к выходу электронного усилителя У. На вход усилителя подается напряжение , где напряжение - задающее воздействие; - напряжение на выходе тахогенератора ТГ. Рис. 1.2. Система автоматического регулирования скорости вращения электромотора; а – структурная схема; б – функциональная схема; в – принципиальная схема. Напряжение снимается с потенциометра П, положение движка которого определяет величину этого напряжения. Напряжение снимается с тахогенератора ТГ, связанного с валом электромотора, поэтому величина пропорциональна скорости вращения n вала. Тахогенератор установлен в цепи обратной связи системы и выполняет функцию датчика обратной связи. Сравнение напряжения и происходит в электрической цепи, соединяющей потенциометр П, вход усилителя У и тахогенератор ТГ. Значение напряжения определяет величину скорости вращения n вала электромотора. Стабилизация n при каждом положении движка потенциометра П, т.е.. при каждом значении задающего воздействия , осуществляется следующим образом. Если в какой-то период времени увеличился момент сопротивления Мс, то скорость n уменьшится. Вследствие этого пропорционально уменьшится напряжение на выходе тахогенератора и увеличится напряжение , т.е. возникает сигнал рассогласования. Соответственно возрастает напряжение на выходе усилителя У и напряжение, подаваемое на обмотку управления ЭМУ. В результате увеличивается напряжение на выходе ЭМУ, подаваемое на обмотку якоря электромотора ЭМ, соответственно возрастает вращающий момент электромотора и скорость вращения n его вала восстанавливается (с некоторой погрешностью). Подобные процессы регулирования происходят в системе при уменьшении момента сопротивления Мc, а также при каждом изменении положении движка потенциометра П, в этом случае скорость n устанавливается на новом уровне, соответствующем положению движка потенциометра П. Автоматическое регулирование в данной принципиальной схеме заключается в поддержании скорости вращения n вала электромотора на заданном уровне при изменении возмущающего воздействия (момента сопротивления Мc). 1.2. ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Построение автоматических систем основывается на ряде общих принципов управления, к которым относятся: принцип управления по отклонению; принцип управления по возмущению; принцип комбинированного управления и принцип адаптации. 1.2.1. ПРИНЦИП УПРАВЛЕНИЯ ПО ОТКЛОНЕНИЮ Для реализации этого принципа в управляющем устройстве необходимо осуществлять сравнение действительного значения управляемой величины с требуемым значением и управлять объектом в зависимости от результатов этого сравнения. Таким образом, если в автоматической системе управляющее воздействие вырабатывается на основе информации об отклонении управляемой величины от требуемого значения, то такая система построена на основе принципа управления по отклонение, или принципа обратной связи. На рис. 1.3 изображена структурная схема САУ с обратной связью, т.е. построенная по принципу управления по отклонению. Управляющее воздействие в этой системе вырабатывается в зависимости от значения функции отклонения, т.е. разности между требуемым Хвх(t) и действительным Хвых(t) управляемой величины: . Связь между отклонением и управляющим воздействием устанавливается оператором , характеризующим свойства управляющего устройства (УУ). Динамические свойства объекта управления (ОУ) описываются оператором , устанавливающим связь между управляемой величиной и управляющим воздействием. Преобразование Хвых(t) в сигнал обратной связи Хо.с.(t) в датчике обратной связи (Dо.с.) описывается оператором . Характерной чертой автоматических систем построенных на основе принципа управления по отклонению, является наличие обратной связи. Обратная связь - это такая связь, при которой информация о состоянии ОУ передается с выхода системы на ее вход или на вход УУ. Обратную связь называют отрицательной, если с помощью элемента сравнения определяется отклонение при знаке минус в данном выражении, а при знаке плюс (с помощью суммирующего элемента) – положительной. В САУ построенных по принципу управления по отклонению используется отрицательная обратная связь. Принцип управления по отклонению является универсальным и эффективным, так как позволяет управлять неустойчивыми объектами, а также значительно ослабить влияние возмущающего воздействия в системе без его измерения благодаря свойствам обратной связи. 1.2.2. ПРИНЦИП УПРАВЛЕНИЯ ПО ВОЗМУЩЕНИЮ Принцип управления по возмущению, или принцип компенсации возмущений, состоит в том, что управляющее воздействие в системе вырабатывается в зависимости от результатов измерения возмущения, действующего на ОУ. Системы, построенные по этому принципу, не имеют обратной связи, т.е., работают по разомкнутой цепи (рис. 1.4). На ОУ воздействует возмущение fo(t), изменяющее управляемую величину Хвых(t). Это возмущение измеряется устройством ИУ. Полученный сигнал усиливается и преобразуется в устройстве У, которое с измерительным устройством ИУ образует автоматическое управляющее устройство АУУ. Следовательно, управляющее воздействие является функцией возмущающего воздействия U=F(fo). Величина и знак управляющего воздействия должны быть такими, чтобы компенсировать влияние возмущающего воздействия на ОУ. В общем случае управляющее воздействие вырабатывается в функции задающего и возмущающего воздействий U=F(Xвх;fo). Принцип управления по возмущению широко применяется, т.к. он позволяет уменьшить погрешности САУ, вызываемые как задающим, так и возмущающими воздействиями. Его основное достоинство - высокое быстродействие, так как система реагирует непосредственно на причину, а не на следствие. Основной недостаток - избирательность: АУУ учитывает действие лишь одного или нескольких наиболее существенных возмущений. Рис. 1.3. Схема, реализующая принцип управление по отклонению. Рис. 1.4. Схема, реализующая принцип управления по возмущению. 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Вследствие большого разнообразия САУ, различающихся функциональными возможностями, принципами построения, конструктивными особенностями, их классификация проводится по нескольким основным признакам. Первый признак, который определяет принцип построения САУ, связан с наличием главной цепи обратной связи. По этому признаку системы разделяются на замкнутые и разомкнутые САУ. Автоматические системы с обратной связью, т.е. замкнутые САУ, наиболее широко используются в различных отраслях современной промышленности. Второй признак классификации определяется характером (законом) изменения задающего воздействия Хвх(t). По этому признаку САУ разделяют на три типа: системы стабилизации, следящие и программные системы. Система стабилизации предназначена для поддержания с заданной точностью постоянного значения управляемой величины. Здесь задающее воздействие определяется постоянной величиной Хвх(t) =const, причем влияние возмущающих воздействий в системе стабилизации значительно снижается или полностью устраняется. Примерами этих систем является САР, обеспечивающие постоянство скорости вращения вала двигателя, температуры в печи, давления в емкости, и др. Следящая система обеспечивает изменение управляемой величины в соответствии с задающим воздействием Хвх(t), которое является случайной и неизвестной функцией времени, т.е. в следящей системе управляемая величина должна следить за задающим воздействием, медленно меняющейся, заранее неизвестной функцией времени. К данным системам относятся следящие приводы технологического оборудования и других объектов, системы автоматической настройки частоты генераторов, САУ антенны радиолокационной станции и др. Программная система обеспечивает изменение управляемой величины в соответствии с задающим воздействием Хвх(t), которое является известной, заданной функцией времени, т.е. в программной системе управляемая величина изменяется по заранее составленной программе, определяемой задающим воздействием. Эти системы применяются, например, для программного управления станками, для программного управления температурой и давлением в технологическом оборудовании и др. Третий признак – это способность САУ поддерживать с определенной степенью точности величину управляемого параметра. По этому признаку различают системы статические и астатические. Статические САУ - это такие системы, в которых при постоянном внешнем воздействии ошибка в установившемся режиме равна постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Остаточную ошибку в такой системе называют статизмом. Астатические САУ - это такие системы, в которых по окончании переходного процесса управляемый параметр принимает всегда одно и то же значение и не зависит от величины возмущавшего воздействия на объект управления. Следовательно, в астатической системе статизм всегда равен нулю. В статической САУ нет интегрирующих звеньев. При наличии интегрирующих звеньев САУ будет астатической по отношению к входному воздействию. Число этих звеньев определяет порядок астатизма системы, т.е. точность работы САУ зависит от наличия интегрирующих звеньев в схеме. Четвертый признак классификации определяется способом передачи и преобразования сигналов в системе. По этому признаку САУ разделяют на непрерывные и дискретные. В непрерывных системах управления передаваемые и преобразуемые сигналы являются непрерывными функциями времени. В дискретных системах управления (импульсные, релейные) передается и преобразуется сигнал, квантованный по амплитуде длительности или широте импульса, частоте повторения импульсов, а также одновременно по уровню и времени. Пятый признак классификации определяется видом дифференциальных уравнений, которыми описывается процессы управления. По этому признаку САУ подразделяют на линейные и нелинейные. Линейными называются такие САУ, которые можно описать с достаточной точностью линейными уравнениями (алгебраическими, дифференциальными). Нелинейными называются такие САУ, динамика которых описывается нелинейными уравнениями. Большинство автоматических систем являются нелинейными. Нелинейность возникает по различным причинам: из-за наличия зон нечувствительности, при включении в управляющее устройстве системы нелинейных элементов, например, реле. Если нелинейности оказывают несущественное влияние, то такие системы можно считать линейными. САУ можно классифицировать и по виду используемой энергии (электрические, гидравлические, пневматические, электропневматические, электрогидравлические и т.п.). 2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ При разработке и исследовании систем автоматического управления возникает необходимость в математическом описании процессов, протекающих как в самой системе, так и в ее элементах. Под математическим описанием (математической моделью) понимается совокупность уравнений и определенных ограничивающих условий, которые в количественной форме описывают зависимость выходных величин от входных воздействий в установившемся и переходном режимах. ОПЕРАТОРНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В линейных дифференциальных уравнениях выходную величину элемента (искомую функцию времени) и ее производные принято записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные в правой части. При описании автоматических систем управления обычно используют символическую (операторную) форму записи линейных дифференциальных уравнений, которая позволяет существенно упростить исходные дифференциальные уравнения. Для этого используется символ , который называется оператором дифференцирования. При этом . Тогда, например, дифференциальное уравнение элемента или системы вида (1) можно записать, используя оператор дифференцирования, следующим образом: Полученное дифференциальное уравнение представлено в операторной форме. Необходимо отметить, что операторная форма записи дифференциальных уравнений совпадает, при нулевых начальных условиях, с записью уравнения в форме Лапласовых изображений, которые позволяют свести интегрирование дифференциальных уравнений к ряду алгебраических действий над этими изображениями. Преобразование Лапласа состоит в том, что вместо функции времени и , используют соответственно функцию и комплексного переменного p, где . Функция вида называется операторным изображением функции . Функция называется оригиналом функции . Операция перехода от к называется прямым преобразованием Лапласа и обозначается символом L: . При этом первая производная от x будет иметь изображение p, вторая p2, третья p3 и т.д. Интеграл от x будет иметь изображение , двойной интеграл и т.д. Если применить преобразование Лапласа к уравнению (1), то при нулевых начальных условиях оно примет вид: . (2) Операция перехода от изображения к оригиналу называется обратным преобразованием Лапласа и обозначается : где c – абсцисса абсолютной сходимости функции x(p). ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Передаточной функцией элемента или системы в форме изображений Лапласа называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Таким образом, передаточная функция определяется в виде отношения: (3) Для системы, описанной линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (1), которое в операторной форме имеет вид (2), передаточная функция может быть записана в виде: . Из выражения (3) видно, что изображение выходной величины определяется передаточной функцией и изображением входной величины: . ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ В СТРУКТУРНЫХ СХЕМАХ И ИХ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ В структурных схемах САР звенья можно соединять в различных сочетаниях. Однако схему любой сложности можно всегда рассматривать как совокупность трех видов соединений элементарных звеньев: последовательного, параллельного, встречно-параллельного. Последовательным называется такое соединение звеньев, при котором выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена (рис.1,а). При последовательном соединении n звеньев с передаточными функциями уравнения связи в операторной форме, учитывая, что , имеет вид: Исключив из данных уравнений все промежуточные переменные, кроме входной и выходной величины, получим Из полученной зависимости определяем, что цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним сложным звеном с передаточной функцией . (1) Следовательно, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев входящих в соединение. Параллельным называется такое соединение звеньев, при котором входные воздействия всех звеньев одинаковы, т.е. на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходная величина соединения равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис.1,б). В соответствии с определением для каждого звена, входящего в параллельное соединение из n звеньев с передаточными функциями можно записать уравнения: Учитывая, что по определению , получим: Из полученной зависимости определяем, что группу параллельно соединенных звеньев можно заменить одним эквивалентным звеном (системой), передаточная функция которого равна сумме передаточных функций всех звеньев: . (2) Следовательно, передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение. Встречно-параллельным соединением двух звеньев показано (рис.1,в). При встречно-параллельном соединении звеньев уравнение замыкания контура в операторной форме будет иметь вид: (3) В этом уравнении знак минус соответствует отрицательной обратной связи, а знак плюс - положительной обратной связи. Уравнение прямой цепи (4) Уравнение цепи обратно связи . (5) Рассматривая совместно уравнения (1)-(3), получим Это уравнение преобразуем относительно к виду: (6) и затем, разделим левую и правую часть уравнения (6) на , получим . (7) Рис. 1 Виды соединений звеньев: а – последовательное; б – параллельное; в – встречно-параллельное. Согласно общему определению передаточной функции получим выражение для передаточной функции встречно-параллельного соединения: , (8) где знак плюс в знаменателе относится к отрицательной обратной связи, а знак минус – к положительной обратной связи. В системах автоматического регулирования для обеспечения устойчивости их работы, как правило, применяют отрицательную обратную связь, тогда передаточная функция такой системы имеет вид: . (9) Если выходной, сигнал системы подать в качестве сигнала отрицательной обратной связи прямо на вход системы, то и . В этом случае передаточная функция системы . ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ Большинство синтезируемых для практического применения САУ имеют сложные многоконтурные структуры. Для удобства расчетов таких систем обычно необходимо преобразовать их структурную схему к какому-то требуемому виду, например, одноконтурной схеме. Для выполнения таких преобразований используются общие правила, с помощью которых одна схема может быть преобразована в другую с сохранением динамических характеристик системы, т.е. схемы будут динамически эквивалентными, следовательно, обладать одинаковыми передаточными функциями. Основные правила эквивалентного преобразования структурных схем следующие. 1. Внешнее воздействие , приложенное посредством сумматора к выходу звена (рис. а) с передаточной функцией , можно перенести вместе с сумматором на его вход (рис. б), добавив между воздействием и входом звена дополнительное звено с передаточной функцией . Рис.. Преобразование структурных схем: а, в, д, ж – первоначальные схемы; б, г, е, з – схемы после преобразования. 2. Внешнее воздействие , приложенное посредством сумматора ко входу звена, (рис. в) с передаточной функцией , можно перенести с сумматором на его выход (рис. г), добавив между воздействием и выходом звена дополнительное звено с той же передаточной функцией . 3. Точку присоединения любой структурной связи к выходу звена, имеющего передаточную функцию (рис. д), можно перенести на его вход, включив в эту связь дополнительное звено с той же передаточной функцией (рис е). 4. Точку присоединения любой структурной связи ко входу звена с передаточной функцией (рис. ж) можно перенести на его выход, включив в эту связь дополнительное звено с передаточной функцией (рис. з). 5. Последовательно соединенные звенья можно менять местами без изменения общей передаточной функции цепи. 6. Два элемента сравнения или две точки присоединения, расположенные рядом, можно менять местами без дополнительных преобразований. Элемент сравнения и точку присоединения, расположенные рядом, менять местами нельзя. 7. Можно использовать любую из формул для разных случаев соединения звеньев в структурной схеме, с целью ее преобразования к цепи последовательно соединенных звеньев. 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Динамические свойства линейных элементов и систем автоматического управления могут быть описаны уравнениями и графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяются два типа таких характеристик: временные (переходные) и частотные. Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по соответствующему уравнению элемента или системы. ВРЕМЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Зависимость выходной величины системы или элемента от времени при переходе системы из одного установившегося состояния в другое в результате поступления на вход типового воздействия называется переходной, или временной динамической характеристикой. Она представляет собой график изменения во времени выходной величины элемента или системы, вызванного входным воздействием. При исследовании динамических свойств системы или элемента применяют следующие типовые воздействия (функции): единичная ступенчатая функция (например, подключение напряжения к элементу или системе, начало обработки на станке, возмущения в виде ударов в механических системах и др.); единичная импульсная функция (к ним относятся шумы, помехи); степенные функции времени (линейные, квадратичные и др.), гармонический сигнал (рис.3.1). Воздействия, изменяющиеся линейно (рис.3.1,в) применяются при исследованиях систем редко. Воздействия в виде гармонических сигналов (рис.3.1,г) получили наибольшее распространение при частотных методах исследования элементов и систем. Наиболее широкое применение в исследованиях систем или элементов находят воздействия в виде единичной ступенчатой (рис.3.1,а) и единичной импульсной (рис.3.1,б) функций, которые отражают существенные черты наиболее часто встречающихся реальных воздействий. Единичная ступенчатая функция – это функция, которая мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменной. Математически единичную ступенчатую функцию (рис.3.1,а) можно представить в виде Xвх(t)= (3.1) Реакция (изменение во времени ) системы или элемента на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией . Под единичной импульсной функцией понимается импульс, площадь которого равна единице (рис.3.1,б): при 00 все коэффициенты ai характеристического уравнения и все n определителей, составленных по определенной схеме, положительны, т.е. больше нуля. Определители образуются из следующей таблицы коэффициентов (определителя Гурвица) характеристического уравнения системы: Таблица составляется по следующему правилу. По главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1. Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим; при достижении n-го или нулевого индекса далее в таблице ставятся нули. Для уравнения высоких степеней порядок определителей возрастает и практическое вычисление их становиться сложным. Для часто встречающихся на практике случаев условия устойчивости по критерию Гурвица имеют следующий вид. Уравнения первой и второй степени. Для систем, имеющих характеристическое уравнение первого порядка , и характеристическое уравнение второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными, т.е. условие устойчивости: . Уравнение третьей степени. Его характеристическое уравнение: . Условие устойчивости будет: ; . Следовательно, для устойчивости систем третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения, а также определитель второго порядка были положительными. Уравнение четвертой степени. Его характеристическое уравнение: . Условие устойчивости будет: . ;. Следовательно, для устойчивости систем четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения, а также определители и были положительными. Уравнение пятой степени. Его характеристическое уравнение: . Условие устойчивости будет: ; ; Следовательно, для устойчивости систем пятого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения, а также определители второго и четвертого порядков были положительными. В практических задачах при определении устойчивости по критерию Гурвица следует сначала проверить знак всех коэффициентов характеристического уравнения системы, а затем составить определители, начиная с наименьшего. Если окажется, что какой-либо из определителей меньше нуля, то продолжить искать значения последующих определителей нет смысла – их значения будут отрицательными, т.е. система неустойчивая. Если коэффициент или определитель характеристического уравнения равны нулю, то соответствующая система находится на границе устойчивости. Следует отметить, что для систем, описываемых более высоких порядков (обычно ), критерий Гурвица приводит к рассмотрению громоздких неравенств, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким. Другим недостатком критерия Гурвица является то, что при неустойчивости системы он не позволяет определить, как нужно изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА Критерий основан на рассмотрении кривой, определяемой характеристическим уравнением замкнутой системы (4.1). Левую часть данного уравнения называют характеристическим полиномом . (4.2) Если подставить в этот полином чисто мнимое значение , то получим комплексный полином (уравнение комплексного вектора) . Рис. 4.3 Кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых характеристическими уравнениями n-го порядка (). Конец вектора при изменении от 0 до опишет в комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют кривой (годографом) Михайлова. Кривая Михайлова начинается на вещественной оси при в точке (соответствующей коэффициенту усиления системы) и , а заканчивается в n-ом квадранте (при ), если отсчет квадрантов вести против часовой стрелки (n – порядок характеристического уравнения). В n-м квадранте кривая Михайлова уходит в бесконечность (рис. 4.3). Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом. Чтобы система n-го порядка была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, при этом нигде не обращалась в нуль (рис. 4.4,а). Следовательно, для оценки устойчивости системы с помощью критерия Михайлова важно установить расположение кривой Михайлова относительно начала координат. Если кривая Михайлова не охватывает начало координат (рис. 4.4,б), то система неустойчива, а если проходит через начало координат (рис. 4.4,в), то система находится на границе устойчивости. Рис. 4.4 Кривые Михайлова для систем, описываемых характеристическими уравнениями пятого порядка: а – устойчивой; б – неустойчивой; в – системы, находящейся на границе устойчивости. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) ее разомкнутой цепи. Используемая в критерии Найквиста АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. Если имеется передаточная функция разомкнутой системы (4.3) то заменив в (4.3) p на , получим уравнение АФЧХ разомкнутой системы (4.4) где и - действительная и мнимая части уравнения (4.4) соответственно; - модуль, - фаза АФЧХ. Задаваясь значениями от 0 до , получим набор координатных точек соответствующих изменению вектора функции по величине и фазе. Кривая, описываемая концом этого вектора на комплексной плоскости и будет АФЧХ разомкнутой системы (рис.4.7). Рис. 4.7 Амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутой системы: а – статической; б – астатической. Следует отметить, что АФЧХ разомкнутой системы при изображении на комплексной плоскости имеет различные формы в зависимости от того, какая система: статическая или астатическая. Если разомкнутая система статическая, т. е, не имеет интегрирующего звена, то при ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке , где K – коэффициент усиления разомкнутой системы. Заканчивается АФЧХ при в начале координат (рис.4.7,а). Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то она астатическая и ее АФЧХ начинается при в бесконечности на отрицательной мнимой полуоси и заканчивается в начале координат (рис.4.7,б). Важно отметить, что разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой или находится на границе устойчивости. Если система состоит только из устойчивых звеньев, то она будет устойчивой в разомкнутом состоянии. При наличии хотя бы одного неустойчивого звена она будет неустойчивой. Формулировка критерия Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и Рис. 4.8 Амплитудно-фазовые частотные характеристики систем: а - разомкнутой статической; б - астатической; 1 –система устойчива; 2 –система на границе устойчивости; 3 – неустойчивая система. достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывала точку с координатами [-1, j0]. На рис. 4.8 приведены АФЧХ разомкнутых систем, здесь кривая 1 соответствует устойчивой статической системе, кривая 2 – статической системе, находящейся на границе устойчивости, кривая 3 - неустойчивой статической системе. Так как для астатических систем АФЧХ при начинается в бесконечности, то для получения определенности в охвате АФЧХ разомкнутой системы точки с координатами [-1, j0] и применения критерия АФЧХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса R с центром в начале координат. Дуга проводится от положительной вещественной полуоси по часовой стрелке до уходящей в бесконечность АФЧХ и рассматривается как ее часть. Тогда можно однозначно определить, охватывает ли АФЧХ точку с координатами [-1; j0]. На рис.4.8,б показаны АФЧХ устойчивой (кривая 1) и находящейся на границе устойчивости (кривая 2) астатических систем первого порядка, а также неустойчивости (кривая 3) астатической системы второго порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ (ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ) (См. рис) Здесь частота, при которой график ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, т.е. частота, для которой , называется частотой среза . На примере этих графиков сформулируем правила определения устойчивости замкнутой системы. 1. Замкнутая система устойчива по фазе, если значение ЛФЧХ разомкнутой системы при по абсолютной величине меньше 180° рис. а). Запас устойчивости по фазе . При хорошем качестве процесса регулирования величина . 2. Замкнутая система устойчива по амплитуде, если на частоте, при которой ЛФЧХ разомкнутой системы , ордината ЛАЧХ отрицательная (рис.а). 3. Если разомкнутая система устойчива и график ЛФЧХ пересекает линию в нескольких точках (ее значение в этих точках -180°), то замкнутая система устойчива по амплитуде, если ордината для самой правой из точек пересечения (рис. б), т.е. в этом случае об устойчивости системы по амплитуде судят по крайней правой точке пересечения ЛФЧХ линии . Запас устойчивости замкнутой системы по амплитуде устанавливается следующим образом: на графике ЛАЧХ при значении частоты, соответствующей ЛФЧХ разомкнутой системы , измеряется ордината (рис. а), которая и определяет запас устойчивости по амплитуде. При хорошем качестве процесса регулирования дб. На рис. в представлены графики логарифмической характеристики системы на границе устойчивости. Из графиков видно, что для частоты ЛФЧХ , при этом ордината ЛАЧХ , т.е. запас устойчивости система и по амплитуде, и по фазе равен нулю. На рис. г представлены графики логарифмических характеристик неустойчивой системы. Из графиков видно, что для частоты , при которой ЛФЧХ , ордината ЛАЧХ , т.е. система не устойчива по амплитуде, а при частоте ЛФЧХ по абсолютной величине больше 180°, т.е. система не устойчива и по фазе. Рис. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы: а - замкнутая система абсолютно устойчивая; б - условно устойчивая; в - на границе устойчивости; г - неустойчивая. 5. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности автоматических систем. Для практического применения системы не менее важно, чтобы она обладала достаточным быстродействием, а при переходном процессе отклонение регулируемой величины не превышало допустимые значения, т.е. для работоспособности системы необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных качественных показателей. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ Показателями качества работы автоматической системы называются количественные величины, характеризующие ее поведение в переходном процессе, при поступлении на вход системы единичного ступенчатого воздействия. Качество процесса регулирования оценивается по переходной функции X(t). Основными показателями качества переходного процесса являются: время регулирования; перерегулирование; колебательность; установившаяся ошибка. На примере переходной функции X(t), приведенной на рис. 5.1. рассмотрим основные показатели качества регулирования. Рис. 5.1. Определение показателей качества переходного процесса. Временем регулирования называется интервал времени между подачей внешнего воздействия и окончанием переходного процесса. Обычно принимают, что переходный процесс закончился, если отклонение выходной (регулируемой) величины от ее установившегося значения не будет превышать допустимый предел 5%. Таким образом, время регулирования характеризует быстродействие (длительность) переходного процесса. Перерегулированием σ называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения, выраженное в процентах от . Абсолютная величина определяется по кривой переходного процесса, где первый максимум обычно является наибольшим . Относительное перерегулирование определяется по формуле . Время регулирования и перерегулирование связаны между собой, т.к. увеличение перерегулирования приводит, к уменьшению времени регулирования, а уменьшение - к увеличению . Однако, как отсутствие, так и большое перерегулирование нежелательно, поэтому в качестве оптимального допускается перерегулирование в пределах 20…30%. Колебательность системы характеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования . Если за это время переходный процесс в системе совершает количество колебании меньше заданного, то считается, что система имеет требуемое качество регулирования по колебательности. При проектировании систем чаще всего допускают 1-2 полных колебаний (или 2-3 полуколебаний), редко допускается до 3-4 колебаний, а в некоторых случаях колебания в системе вообще недопустимы. Установившаяся ошибка характеризует точность регулирования в установившемся режиме. Она равняется отклонению фактического значения регулируемой величины от установившегося значения : . КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА Существуют прямые и косвенные методы оценки качества автоматических систем. Наиболее точно и наглядно показатели качества системы можно определить непосредственно из графика переходного процесса. Такая оценка качества называется прямой. Однако для построения этого графика необходимо или решить дифференциальное уравнение системы, или экспериментально получить график переходного процесса. Численное решение дифференциального уравнения даже третьего - четвертого порядка представляет значительную по сложности задачу, а проведение эксперимента не всегда возможно осуществить, особенно на стадии проектирования. Поэтому на практике широко применяются косвенные оценки качества, ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Данный метод основан на определении границ области распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и установлении связи переходного процесса с показателями установленных границ. Он позволяет оценить быстродействие системы и ее колебательность. Одним из косвенных показателей качества устойчивых автоматических систем регулирования является степень удаленности корней характеристического уравнения (4.1) системы, лежащих в левой комплексной полуплоскости, от мнимой оси (рис. 5.3), т.к. чем дальше корни находятся слева от мнимой оси, тем быстрее заканчиваются переходные процессы в системе. Расстояние от ближайшего корня до мнимой оси, которая равна вещественной части этого корня, характеризует время затухания переходного процесса или «степень устойчивости». Второй величиной, характеризующей распределение корней на комплексной плоскости, является угол , в который вписываются наиболее удаленные от мнимой оси комплексные корни (рис. 5.3). Величину , где и - вещественная и мнимая части корня называют колебательностью системы (коэффициентом затухания колебаний). Угол для уменьшения колебательности следует уменьшать. Рис. 5.3. Области расположения корней характеристического уравнения с заданными значениями α и μ. Таким образом, величина характеризует время регулирования: чем больше , тем меньше время регулирования ; а значение характеризует колебательность системы: чем меньше , тем больше система склонна к колебательности. Следовательно, для одновременного обеспечения заданного времени затухания переходного процесса в системе и заданной колебательности необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали внутри заштрихованной области (рис. 5.3). ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Метод интегральных опенок основан на вычислении определенных интегралов от функций переходной составляющей ошибки без решения дифференциального уравнения системы: , где - функция времени, характеризующая отклонение регулируемого параметра от заданного значения; - постоянная времени. Рис. 5.4. Графики к интегральной оценке качества переходного процесса: а – переходной функции x(t) и ошибки ε(t) при монотонном переходном процессе; б – переходная функция x(t) и ошибки ε2(t) при колебательном переходном процессе; в – переходный процесс, соответствующий минимуму интегральной оценки . Интеграл определяет величину площади, ограниченной кривой переходного процесса и линией заданного состояния равновесия. Уменьшение величины интеграла характеризует ускорение процесса регулирования. По величине интеграла оценивается быстродействие системы, имеющей временную характеристику без перерегулирования, т.е. монотонный переходный процесс (рис. 5.4, а). Для оценки колебательного переходного процесса, т.е. имеющего перерегулирование, применяется интеграл . Этот интеграл определяет качество переходного процесса по квадратичной сумме площадей, заключенных между кривой переходного процесса и линией нового заданного состояния равновесия (рис. 5.4.б). Чем меньше величина интеграла , тем ближе кривая переходного процесса OAB к идеальному ступенчатому (мгновенному) изменению регулируемой величины из прежнего установившегося состояния к новому (кривая OCB), т.е. качественные показатели системы будут выше. В результате приближения переходного процесса к идеальному (ступенчатому) получается большая скорость процесса при подходе регулируемой величины к новому установившемуся значению, что вызывает большое перерегулирование. В следствие того, что интеграл никак не отражает плавности переходного процесса, то при его оценке по интегралу сильно колебательный процесс может оказаться лучшим, чем неколебательный, а это не всегда является правильным. В этом случае качество колебательного переходного процесса лучше оценивать интегралом , в котором учитывается не только ошибка , но и скорость ее изменения . Минимум интегральной оценки соответствует приближению переходного процесса не к ступенчатому, а к некоторому экспоненциальному процессу с постоянной времени (пунктирная кривая на рис. 5.4, в). Выбор параметров системы из условия минимума интеграла соответствует менее колебательному процессу по сравнению с использованием квадратичной опенки интеграла . При любых интегральных оценках качество переходного процесса будет тем больше, чем меньше величина соответствующего интеграла. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ Для оценки качества переходного процесса по АЧХ используются следующие величины: показатель колебательности М; резонансная (собственная) частота , частота среза ; перерегулирование . Показатель колебательности M - это отношение максимального значения амплитуды АЧХ замкнутой системы к значению ее амплитуды А0 при (рис. 5.5): . При А0=1 показатель колебательности . Величина М характеризует склонность системы к колебательности. Чем выше М, тем менее качественна система. Считается допустимым, если . Частота , при которой АЧХ замкнутой системы имеет максимум, называется резонансной частотой системы (рис. 5.5). На этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением. Частота среза - частота, при которой АЧХ системы принимает значение равное 1, т.е. . Эта частота косвенно характеризует длительность переходного процесса: время регулирования обратно пропорционально частоте среза . При положительной невозрастающей АЧХ величина перерегулирования переходной характеристики не превышает 18%. При наличии у положительной АЧХ максимума (рис.5.5) перерегулирование переходной характеристики оценивается неравенством . Рис. 5.5. Оценка качества переходного процесса по виду АЧХ замкнутой системы. Приближенно оценивать переходную характеристику замкнутой системы можно по АФЧХ или ЛЧХ ее разомкнутой цепи. Например, склонность системы к колебательности характеризуется величинами ее запасов устойчивости по модулю и по фазе. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Точность автоматических систем принято оценивать величиной установившейся ошибки, которая имеет место в устойчивой системе после завершения переходного процесса. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ. Установившаяся ошибка вычисляется для значения времени . (5.1) Величину установившейся ошибки наиболее удобно определять при помощи передаточной функции ошибки , которая имеет вид: ; Следовательно, установившаяся ошибка в операторной форме равна: . (5.2) На основании теоремы операционного исчисления о конечном значении функции представим выражение (5.1) в виде: и, сделав в полученное выражение подстановку изображения ошибки (5.2), получим зависимость, которая позволяет определять установившуюся ошибку по задающему воздействию . (5.3) Учитывая, что выражение для передаточной функции ошибки , и, подставив это выражение в зависимость (5.3), получим удобную формулу для вычисления установившуюся ошибку от задающего воздействия , (5.4) где - передаточная функция разомкнутой системы. Для определения установившейся ошибки по возмущению преобразуем зависимость (5.3) к виду: , (5.5) где - передаточная функция по возмущению; - изображение возмущения в операторной форме. Из формул (5.3) и (5.5) следует, что точность систем автоматического управления зависит от задающего воздействия и возмущающего воздействия , а также от свойств автоматических систем, отображаемых передаточной функцией ошибки или передаточной функцией по возмущению . Однако, в общем случае как задающее, так и возмущающее воздействие являются сложной функцией времени, при которой определение ошибок значительно усложняется, поэтому при расчетах заменяют реальные воздействия типовыми, т.е. более простыми и удобными для определения ошибки. В качестве типовых воздействий обычно применяют ступенчатую , линейную vt и квадратичную функции. ВЫЧИСЛЕНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ ОТ ЗАДАЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ Для вычисления установившихся ошибок от типовых воздействий по формуле (5.4) необходимо использовать их изображения по Лапласу, т.е. в операторной форме, которые соответственно равны: . Вычисление установившихся ошибок выполним для статических систем, астатических систем 1-го и 2-го порядков с передаточными функциями, представленными соответственно в виде: где K - коэффициент передачи разомкнутой системы; - передаточная функция без учета интегрирующих звеньев и коэффициента передачи. Статические системы при ступенчатом воздействии имеют установившуюся ошибку , которая называется статической, или ошибкой по положению. Она пропорциональна величине, задающего воздействия и уменьшается с увеличением K. Наличие статической ошибки является характерным свойством статических систем. При изменяющихся во времени воздействиях статические системы имеют ошибки, которые непрерывно возрастают: ; , поэтому эти системы в качестве следящих применять нельзя. Астатические системы 1-го порядка при ступенчатом воздействии не имеют установившуюся ошибку: , т.е. принципиально точно отрабатывают ступенчатое воздействие. Отсутствие статической ошибки объясняется наличием в системе интегрирующего звена. При линейном воздействии они имеют установившуюся ошибку: , которая пропорциональна скорости v изменения входного сигнала, поэтому ее называют скоростной ошибкой, а коэффициент передачи разомкнутой системы K в этой ошибке - добротностью системы по скорости. При воздействии в виде квадратичной функции астатические системы 1-го порядка имеют ошибки, которые непрерывно возрастают: , поэтому эти системы с таким воздействием применять нецелесообразно. Астатические системы 2-го порядка при ступенчатом и линейном воздействиях не имеют установившуюся ошибку: ; , т.е. принципиально точно отрабатывают как ступенчатый, так и линейно возрастающий сигнал. При отработке квадратичного сигнала они имеют установившуюся ошибку . Ошибка пропорциональна ускорению a входного сигнала и обратно пропорциональна коэффициенту передачи разомкнутой системы K, который называется в этой ошибке добротностью системы по ускорению, а сама ошибка – ошибкой системы по ускорению. Из приведенных расчетов следует, что с увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы установившаяся ошибка уменьшается. Но при выборе величины K необходимо учитывать, что с его увеличением ухудшается устойчивость автоматических систем (см. раздел 4). Кроме того, на точность САУ влияет порядок астатизма системы: чем больше , тем точнее система отрабатывает сложное воздействие. Однако с увеличением порядка астатизма САУ более склонны к колебаниям в переходных процессах и, следовательно, их устойчивость ухудшается, поэтому системы с порядком астатизма более двух на практике используются редко. ВЫЧИСЛЕНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ ОТ ВОЗМУЩЕНИЯ Для вычисления ошибок от возмущения структурную схему системы, условно состоящую из регулятора Р с передаточной функцией и объекта регулирования ОР с передаточной функцией (рис.5.6,а), необходимо преобразовать относительно возмущения к виду, показанному на рис. 5.6,б. Тогда передаточная функция по возмущению , подставив это выражение в формулу (5.5), получим расчетную формулу для вычисления ошибки от возмущения . (5.6) Эта формула дополнительно позволяет определить порядок астатизма системы (рис.5.6) по отношению к возмущению. Рис. 5.6. Структурные схемы автоматической системы: а – с наличием задающего и возмущающего воздействий; б – преобразованная схема только с возмущающим воздействием. Вычислим величину установившейся ошибки, для четырех возможных сочетаний статического или астатического регулятора со статическим или астатическим объектом регулирования при ступенчатом возмущении . 1. Регулятор статический с передаточной функцией , объект регулирования статической с передаточной функцией , где и - коэффициенты передачи соответственно регулятора и объекта регулирования; (см. раздел 5.3.2). При подстановке в формулу (5.6) принятых значений получим . 2. Регулятор статический с передаточной функцией , объект регулирования астатический с передаточной функцией . При подстановке в формулу (5.6) принятых значений получим . 3. Регулятор астатический с передаточной функцией , объект регулирования статический с передаточной функцией . При подстановке в формулу (5.6) принятых значений получим . 4. Регулятор астатический с передаточной функцией и объект регулирования астатический с передаточной функцией . При подстановке в формулу (5.6) принятых значений получим . Из выполненных вычислений следует: если регулятор статический (не содержит интегрирующее звено), то система имеет установившуюся ошибку, т.е. она статическая; если регулятор астатический (содержит интегрирующее звено), то система не имеет установившейся ошибки, т.е. она астатическая (рис.5.7). Рис. 5.7. Переходные функции и установившиеся ошибки по возмущению для систем: а – астатических; б – статических.