Общая теория связи. Часть 2

Общая теория связи Лекция 2 (з/о) Преобразования сигналов Всюду, где применяются сигналы, они подвергаются преобразованиям. Под преобразованием можно понимать любое изменение сигнала – как целенаправленное, так и непреднамеренное. Целенаправленные преобразования осуществляются в созданных специально для этого устройствах, цепях. Непреднамеренными являются преобразования, происходящие, например, в линиях связи. Обозначая входной сигнал x(t) , а выходной сигнал y(t) , можно записать 𝑦 𝑡 = 𝑇 {𝑥 𝑡 }, где 𝑇{)} – обозначение преобразования. Оператор С математической точки зрения преобразование представляет собой отображение множества входных сигналов X во множество выходных сигналов Y. Эти множества могут быть одинаковыми, но могут и существенно различаться. Будем полагать, что входные и выходные сигналы принадлежат одному и тому же пространству 𝐿+ (или 𝑙+ ); в этом случае преобразование называется оператором. Такая постановка соответствует, в частности, задаче фильтрации сигналов. Канал связи представляет собой соединение многих устройств и сред распространения, поэтому осуществляемое им отображение имеет сложный, составной характер. Некоторые из составных частей этого отображения являются операторами, другие, например аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразования, описываются отображениями более общего вида. Линейный оператор Рассмотрение преобразований в такой общей постановке не дает каких-либо содержательных результатов именно в силу своей предельной общности. Для того чтобы получить практическую пользу, математическую модель следует конкретизировать (сузить). Очень плодотворный подход состоит в ограничении рассмотрения так называемыми линейными операторами. Оператор 𝐿{)} называется линейным, если он обладает свойством аддитивности: 𝐿 𝑥+𝑦 =𝐿 𝑥 +𝐿 𝑦 и однородности 𝐿 𝑎𝑥 = 𝑎𝐿 𝑥 . обычно объединяемыми в одну формулу, выражающую принцип суперпозиции: 𝐿 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝐿 𝑥 + 𝑏𝐿 𝑦 Спектральный анализ линейных цепей Таким образом, если оператор, описывающий некоторое устройство (цепь), является линейным, то отклик этой цепи на входной сигнал, представленный обобщенным рядом Фурье 𝑥 𝑡 = ∑6 2786 𝑎2 𝑢2 (𝑡), равен сумме ряда, составленного из откликов на базисные функции с теми же весовыми (спектральными) коэффициентами: y 𝑡 = 6 ∑ 𝐿 𝑥 𝑡 = 𝐿 ∑6 𝑎 𝑢 𝑡 = 2786 2 2 2786 𝑎2 𝐿{𝑢2 (𝑡)} Данное выражение описывает спектральный метод анализа линейных цепей. Вместо обобщенного ряда Фурье может быть использовано интегральное представление входного сигнала. Матричный оператор Линейные операторы в конечномерных пространствах описываются квадратными матрицами. Рассмотрим пространство дискретных сигналов, каждый из которых представляется N комплексными отсчетами ( N-мерное пространство). Результатом воздействия линейного оператора, описываемого матрицей Λ = (λ<= , 𝑖, 𝑗 = 1 … 𝑁), на вектор-столбец 𝑥 = (𝑥D … 𝑥E )F является вектор-столбец y = (𝑦D … 𝑦E )F при этом значение (отсчет) выходного сигнала описывается выражением 𝑦2 = ∑E =7D λ2= 𝑥= Собственные вектора и значения Из линейной алгебры известно, что существуют векторы, которые данным оператором преобразуются наиболее простым образом: изменяются лишь их длины (нормы); такие векторы называются собственными векторами, а коэффициенты, определяющие изменение длин, называются собственными значениями оператора. Нетрудно видеть, что если базис пространства составить из собственных векторов данного оператора, то матрица оператора будет диагональной Собственные вектора и значения Главная диагональ матрицы составлена из собственных значений, и отсчѐты выходного сигнала находятся наиболее просто: 𝑦2G = λ22 𝑥2G (штрихами отмечены компоненты векторов относительно собственного базиса). Аналогичное упрощение может быть достигнуто и для пространства аналоговых сигналов 𝐿+ при соответствующем выборе базисных векторов (функций). Случай бесконечномерного сигнала Переход от конечномерного пространства к бесконечномерному пространству дискретных сигналов 𝑙+ приводит к тому, что векторы x и y содержат бесконечно много компонент, соответственно матрица линейного оператора становится бесконечной Λ = (λ<= , 𝑖, 𝑗 = −∞ … ∞). Значение (отсчет) выходного сигнала определяется выражением 𝑦2 = ∑6 =786 λ2= 𝑥= , 𝑘 = −∞ … ∞, представляющим собой скалярное произведение строки матрицы оператора на вектор-столбец входного сигнала. Аналоговый сигнал Гильбертово пространство аналоговых сигналов 𝐿+ отличается тем, что множество компонент каждого его вектора несчетно, поэтому дискретные индексы заменяются непрерывными переменными, а место матрицы занимает функция λ(),)) двух переменных, называемая ядром оператора. Тогда действие линейного оператора на сигнал x(t) описывается интегральным 6 выражением 𝑦 𝑡 = ∫86 λ 𝑡, 𝑠 𝑥 𝑠 𝑑𝑠. Здесь переменная s имеет физический смысл и размерность, соответствующие базису, выбранному для описания сигнала x . В частности, это может быть частота, если сигнал задан спектральной плотностью, или время, если сигнал x задан во временной области. Временное описание ЛИС-цепей Разложив сигнал по базису из сдвинутых во времени дельтафункций 𝛿(𝑡 − 𝜏), получим динамическое представление аналогового сигнала: 6 𝑥 𝑡 = P 𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 86 Найдем отклик цепи на данный сигнал: 6 𝑦 𝑡 =𝐿 𝑥 𝑡 6 =P 86 = 𝐿 P 𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 86 6 𝑥 𝜏 𝐿 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = P 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡, 𝜏 𝑑𝜏 86 Здесь ядро оператора ℎ 𝑡, 𝜏 = 𝐿 𝛿 𝑡 − 𝜏 представляет собой отклик (реакцию) цепи в момент t на входной сигнал в виде дельта-функции, воздействующий на цепь в момент 𝜏. Интеграл Дюамеля Особое значение в анализе цепей имеет случай, когда весовая функция фактически зависит только от разности переменных ℎ 𝑡, 𝜏 = ℎ 𝑡 − 𝜏 , тогда цепь называется линейной инвариантной к сдвигу (ЛИС-цепью), или линейной стационарной, а полученное нами выражение приобретает вид: 6 𝑦(𝑡) = P 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 86 Данное выражение известно под названием свѐртки, или интеграла Дюамеля. (Иногда используется символическое обозначение свертки выражением x*h). Если в последнее выражение в качестве входного сигнала подставить 𝑥 𝑡 = 𝛿 𝑡 , то выходной сигнал 6 𝑦 𝑡 = P 𝛿 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = ℎ(𝑡) 86 Импульсная характеристика цепи Таким образом, функция h(t) представляет собой отклик ЛИС-цепи на «бесконечно короткий импульс» (дельта-функцию) и называется импульсной характеристикой цепи. Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда можно точно определить выходной сигнал. Поэтому импульсная характеристика (ИХ) составляет исчерпывающее описание ЛИС-цепи. Условие ℎ 𝑡, 𝜏 = ℎ 𝑡 − 𝜏 означает, что, зная реакцию h(t) цепи на воздействие 𝛿(t) , можно определить отклик на сдвинутое воздействие 𝛿(𝜏 − 𝑡) путем простого сдвига импульсной характеристики на такую же величину . Иными словами, поведение такой цепи неизменно во времени. Пример: RC-фильтр RC-фильтр нижних частот, представленный на рисунке, имеет D импульсную характеристику ℎ 𝑡 = 𝑒 8T/R , где 𝜏 = 𝑅𝐶 – R постоянная времени RC-цепи. Для уяснения физического смысла интеграла Дюамеля, играющего важнейшую роль в анализе линейных стационарных цепей, полезно выполнить замену 6 переменных, так что 𝑦(𝑡) = ∫86 𝑥 𝑡 − 𝜏 ℎ 𝜏 𝑑𝜏 Смысл интеграла Дюамеля Кроме того, для простоты примем, что импульсная характеристика удовлетворяет условию каузальности (причинности): ℎ 𝑡 ≡ 0, 𝑡 < 0. Входной сигнал представляется «плотной» последовательностью дельта-функций с «амплитудными» коэффициентами, равными значениям сигнала в соответствующие моменты времени. Тогда последнее выражение описывает выходной сигнал в момент времени t , как интегральную сумму откликов на все эти дельтафункции, воздействовавшие на вход цепи в прошлом. Каждая такая дельта-функция отстоит от текущего момента t на величину 𝜏 в прошлое, поэтому еѐ вклад в текущее значение выходного сигнала определяется значением импульсной характеристики, соответствующим интервалу 𝜏. Импульсная характеристика любой реальной цепи со временем убывает (затухает), таким образом, цепь постепенно «забывает» значения входного сигнала. ЛИС-цепи - идеализация Заметим, что ЛИС-цепи представляют собой сравнительно узкий класс цепей (вообще говоря, никакая цепь не может быть строго линейной хотя бы потому, что любое реальное устройство состоит из веществ, имеющих конечную температуру плавления или возгорания; точно так же реальная цепь не может быть строго стационарной уже в силу конечности времени ее существования). Однако очень многие цепи и каналы связи могут считаться приближенно линейными инвариантными к сдвигу, а вместе с удобством анализа и синтеза ЛИС-цепей это составляет огромное преимущество линейной стационарной модели и обусловливает ее широкое использование. Нелинейные и/или нестационарные цепи значительно труднее анализировать (не существует, в частности, общего метода анализа всех нелинейных цепей, аналогичного спектральному методу) и синтезировать, однако некоторые преобразования сигналов, необходимые для практики, невозможно осуществить при помощи ЛИС-цепей. Частотное описание ЛИС-цепей Проводя аналогию с конечномерным линейным пространством, можно ожидать, что возможно представление сигнала относительно ядра, аналогичного собственному базису; при этом действие оператора должно описываться более простым выражением. Другими словами, линейному оператору соответствуют векторы (функции), обладающие следующим свойством: действие данного оператора на эти функции сводится к их умножению на скалярные коэффициенты. Обозначим такую собственную функцию 𝜑(𝑡); она должна удовлетворять уравнению 6 P λ 𝑡, 𝑠 𝜑 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑘\ 𝜑(𝑡) 86 Здесь 𝑘\ - некоторый числовой множитель (собственное значение, соответствующее данной собственной функции). Различным линейным операторам соответствуют различные наборы собственных функций и собственных значений. Частотное описание ЛИС-цепей Для линейного инвариантного к сдвигу (стационарного) оператора собственная функция должна удовлетворять уравнению 6 P 𝜑 𝑡 − 𝜏 ℎ 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑘\ 𝜑(𝑡) 86 Решением этого интегрального уравнения является комплексная гармоническая функция 𝑒 =+]^T , где 𝑓 – ее параметр, имеющий смысл частоты. 6 6 86 86 P 𝑒 =+]^(T8R) ℎ 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑒 =+]^T P 𝑒 8=+]^R ℎ 𝜏 𝑑𝜏 = 𝐻(𝑓)𝑒 =+]^T Итак, если на вход ЛИС-цепи поступает сигнал 𝑒 =+]^T , то на выходе наблюдается этот же сигнал, умноженный на комплексное число, зависящее от частоты сигнала. КЧХ цепи Функция H( f ) , описывающая эту зависимость, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) цепи и связана с импульсной характеристикой парой преобразований Фурье: 6 𝐻 𝑓 = ∫86 ℎ(𝑡)𝑒 8=+]^T 𝑑𝑡, 6 ℎ 𝑡 = ∫86 𝐻(𝑓)𝑒 =+]^T 𝑑𝑓. Таким образом, функции времени 𝑒 =+]^T при различных значениях f являются собственными функциями оператора любой ЛИС-цепи, при этом конкретной цепи соответствует определенная КЧХ H( f ) , определяющая масштабный коэффициент (собственное значение) для каждой функции 𝑒 =+]^T Связь спектров входного и выходного сигналов через КЧХ Запишем входной и выходной сигналы в виде интегрального выражения относительно ядра 𝑒 =+]^T : 6 x 𝑡 = ∫86 𝑋(𝑓)𝑒 =+]^T 𝑑𝑓, 6 𝑦 𝑡 = ∫86 𝑌(𝑓)𝑒 =+]^T 𝑑𝑓. С другой стороны, отклик ЛИС-цепи с КЧХ H(f) на сигнал представляется интегралом 6 𝑦 𝑡 = P 𝐻(𝑓)𝑋(𝑓)𝑒 =+]^T 𝑑𝑓. 86 Учитывая эти три выражения, можно записать выражение 𝑌 𝑓 =𝐻 𝑓 𝑋 𝑓 , связывающее выходной сигнал ЛИС- цепи с входным сигналом. Заметим, что это выражение соответствует в конечномерном случае умножению вектора на диагональную матрицу. Преимущество спектрального метода Подытоживая, можно сказать, что представление входного сигнала относительно собственного базисного ядра 𝑒 =+]^T имеет преимущество перед динамическим представлением, так как вместо интегрального выражения свертки связь входного сигнала с выходным описывается произведением спектральных плотностей. Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временнóе представление сигнала x(t) – это также спектральная плотность, только относительно ядра 𝛿(𝜏 − 𝑡). Выражение 𝑌 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑋 𝑓 , устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через ее комплексную частотную характеристику, служит основой спектрального метода анализа линейных стационарных цепей, широко используемого благодаря своей простоте. Именно этим объясняется исключительная роль ряда и интеграла Фурье в теории сигналов и цепей. АЧХ и ФЧХ Функция H( f ) в общем случае является комплексной 𝐻 𝑓 = 𝐾 𝑓 𝑒 =\ ^ . КЧХ не дает наглядного представления об изменении сигнала при прохождении через цепь. Поэтому на практике часто рассматривают ее модуль и аргумент по отдельности, при этом модуль 𝐾 𝑓 = 𝐻(𝑓) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент 𝜑(𝑓) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи. Измерение КЧХ и импульсной характеристики цепи Значение комплексной частотной характеристики при заданной частоте f может в принципе быть измерено как отношение сигнала на выходе ЛИС-цепи к входному сигналу, если этот входной сигнал – функция 𝑒 =+]^T . Таким образом, функция 𝑒 =+]^T при произвольно задаваемой частоте f может рассматриваться, как испытательный сигнал, позволяющий получить описание цепи (КЧХ). Другим испытательным сигналом является дельта-функция, которая могла бы быть использована для получения отклика цепи в виде импульсной характеристики. Поскольку КЧХ и импульсная характеристика связаны друг с другом взаимно однозначно (через пару преобразований Фурье), должна существовать связь и между соответствующими им испытательными сигналами. Измерение КЧХ и импульсной характеристики цепи В самом деле, дельта-функция может рассматриваться как интегральная сумма одновременно воздействующих на вход цепи функций 𝑒 =+]^T , так как ее спектральная плотность 𝐻e 𝑓 = 6 ∫86 𝛿(𝑡)𝑒 8=+]^T 𝑑𝑡 = 1. Каждая из комплексных гармонических функций умножается цепью на соответствующее значение КЧХ, поэтому импульсная характеристика – отклик на дельта-функцию 6 ℎ 𝑡 = P 𝐻 𝑓 ) 1 ) 𝑒 =+]^T 𝑑𝑓 86 представляет собой, образно говоря, равнодействующую» откликов на все такие функции. Измерение КЧХ и импульсной характеристики цепи Заметим, что указанные измерения КЧХ и импульсной характеристики на практике точно выполнить нельзя. Даже если бы существовали абсолютно точные измерительные приборы, потребовалось бы бесконечное время для генерирования функций 𝑒 =+]^T (нельзя забывать, что они определены на всей временнóй оси!) и измерения отношений выходных сигналов к входным с бесконечной точностью при всех значениях частоты f . В свою очередь, дельта-функция представляет собой «бесконечно короткий импульс бесконечно большой амплитуды», который также не может быть реализован точно. На практике КЧХ и импульсная характеристика ЛИС-цепи могут быть измерены приближенно с помощью отрезков гармонических испытательных сигналов конечной продолжительности и коротких импульсов большой (но конечной) амплитуды. Фильтры как пример линейных цепей 𝑈 вх 𝐴(𝑓) 𝑈 вых Фильтр в радиотехнике — устройство для выделения желательных компонентов спектра электрического сигнала и/или подавления нежелательных. Фильтр представляет из себя четырехполюсник (два контакта для входного и два для выходного сигнала) Для характеристики фильтров и других элементов радиосхем, существует понятие – амплитудно-частотная характеристика, или АЧХ – это отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала цепи в зависимости от частоты: вых вх 𝐴 𝑓 = 𝑈h (𝑓)/𝑈h (𝑓) В основе схем фильтров лежат реактивные элементы (емкости и индуктивности), обладающие частотной избирательностью. ФНЧ А ФВЧ АЧХ В зависимости от вида АЧХ фильтры делятся на: • фильтры нижних частот (ФНЧ); • фильтры верхних частот (ФВЧ); • полосовые фильтры (ПФ); • заграждающие фильтры (ЗФ). ПФ ЗФ Дискретизация сигналов Коэффициенты обобщенного ряда Фурье, составляющие спектр некоторого сигнала относительно полного ортонормального базиса, вычисляются путем скалярного умножения этого сигнала на базисные функции. Существует счетный базис, для которого эта операция эквивалентна взятию отсчетов мгновенных значений аналогового сигнала через равные промежутки времени. Таким образом, аналоговый сигнал однозначно представляется дискретной последовательностью своих отсчетов. Такая дискретизация аналоговых сигналов имеет огромное значение для современной техники, так как является основой цифровой обработки сигналов. Следует сразу же отметить, что, как и базис Фурье, упомянутый базис не обладает свойством полноты в пространстве 𝐿+ (−∞, ∞), поэтому он непригоден для представления с заданной точностью любых аналоговых сигналов ограниченной энергии, однако для подпространства сигналов, спектральная плотность которых сосредоточена на конечном интервале частотной оси (−𝐹в , 𝐹в ), этот счетный базис полон. Условие финитности спектра не является слишком обременительным, так как спектральные плотности всех сигналов из 𝐿+ (−∞, ∞) при 𝑓 → ±∞ быстро убывают, поэтому их можно с любой точностью аппроксимировать финитными функциями. При выборе конкретного базиса в качестве конечного интервала (−𝐹в , 𝐹в ) принимается так называемая эффективная ширина спектра сигнала. Эффективной шириной спектра можно считать ширину частотного интервала, в котором сосредоточена заданная доля (например, 99 %) всей энергии сигнала. Обычно на практике перед дискретизацией сознательно ограничивают ширину спектра сигнала путем его предварительной фильтрации, так как это уменьшает ошибку восстановления аналогового сигнала. Возможность представления аналогового сигнала последовательностью его отсчетов и условия применимости такого представления устанавливаются теоремой отсчетов. Одно из доказательств данной теоремы принадлежит Котельникову и зачастую в русскоязычной литературе теорема носит его имя. Доказательство Котельникова Рассмотрим произвольный сигнал 𝑥(𝑡) , спектральная плотность которого 𝑋(𝑓) равна нулю вне конечного интервала (−𝐹в , 𝐹в ) частотной оси. Выразим функцию спектральной плотности 𝑋(𝑓) в виде ряда Фурье: =+]2^/+oв 𝑋 𝑓 = ∑6 𝐶 𝑒 , 2 2786 Данный ряд аналогичен комплексному ряду Фурье, представляющему временнýю функцию на интервале (−𝑇/2, 𝑇/2) , с той очевидной разницей, что базисные функции здесь зависят не от t, а от f. Очевидно, коэффициенты ряда находятся как o 𝐶2 = 1/2𝐹в ∫8oв 𝑋(𝑓)𝑒 =+]2^/+oв 𝑑𝑓 , 𝑘 = −∞, ∞. в Выразим сигнал 𝑥(𝑡) через его обратное преобразование Фурье, подставляя в качестве спектральной плотности ее представление рядом Фурье… Доказательство Котельникова oв 𝑥 𝑡 = P 𝑋(𝑓)𝑒 =+]^T 𝑑𝑓 = q =q 6 8oв 2786 6 6 2786 oв oв 𝐶2 P 𝑒 =+]^(Tr2/+oв) 𝑑𝑓 8oв 𝐶2 P cos(2𝜋𝑓(𝑡 + 𝑘/2𝐹в )) 𝑑𝑓 8oв sin(2𝜋𝐹в (𝑡 + 𝑘/2𝐹в )) = q 𝐶2 2𝐹в 2𝜋𝐹в (𝑡 + 𝑘/2𝐹в ) 2786 Заметим, что oв =+]2^ 1 oв 1 P 𝑋 𝑓 𝑒 +oв 𝑑𝑓 = P 𝑋 𝑓 𝑒 =+]^T 𝑑𝑓 |T782/+oв 𝐶2 = 2𝐹в 8oв 2𝐹в 8oв 1 = 𝑥(−𝑘/2𝐹в ) 2𝐹в Доказательство Котельникова D +oв Подставив значение 𝐶2 в выражение для 𝑥(𝑡) и обозначив = 𝑇z , запишем: 𝜋 6 sin( (𝑡 + 𝑘𝑇z )) 𝑇z 𝑥 𝑡 = q 𝑥(−𝑘𝑇z ) 𝜋 (𝑡 + 𝑘𝑇z ) 2786 𝑇z 𝜋 6 sin 𝑡 − 𝑛𝑇z 𝑇z = q 𝑥 𝑛𝑇z ∗ 𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇z |786 𝑇z Данный ряд известен под названием ряда Котельникова. Коэффициенты 𝑥(𝑛𝑇z ) этого ряда представляют собой отсчеты (мгновенные значения) аналогового сигнала 𝑥(𝑡), взятые через D равные промежутки времени𝑇z = . +oв Базисные функции ряда Котельникова получаются сдвигами на такие же промежутки времени единственной функции. Доказательство Котельникова Обозначим эту исходную функцию к• 𝑡 = ƒ„ …† ƒ„ …† €•‚ . Тогда базис будет совокупностью функций к| 𝑡 , 𝑛 = −∞, ∞ , к| 𝑡 = к• 𝑡 − 𝑛𝑇z Доказательство Котельникова Этот ряд дает точное представление (интерполяцию) значений сигнала x(t) в любой точке временнóй оси по известным значениям сигнала в дискретном множестве ее точек (узлов интерполяции). Следовательно, нет необходимости передавать или хранить все непрерывное множество (континуум) значений аналогового сигнала с финитным спектром, достаточно передать (или зафиксировать на некотором носителе) счетную последовательность его дискретных отсчетов {𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛𝑇z , 𝑛 = −∞, ∞}, по которым при необходимости сигнал может быть точно восстановлен. Свойства базиса Котельникова Скалярное произведение двух базисных функций Котельникова равно: к2 , кh = 𝑇z 𝛿2h Таким образом, базис Котельникова ортогонален, но не нормирован. По существу, базис Котельникова во временной области – это базис Фурье в частотной области. Поэтому свойства ортогональности и полноты одинаково справедливы для этих базисов. Восстановление сигнала Чтобы восстановить (интерполировать) аналоговый сигнал по последовательности его отсчетов, необходимо просуммировать все базисные функции Котельникова с весовыми коэффициентами, равными отсчетам 𝑥 𝑛𝑇z . Технически эту операцию можно в принципе осуществить, располагая ЛИС-цепью, имеющей импульсную характеристику, совпадающую с функцией Котельникова к• 𝑡 и подавая на вход этой цепи в моменты 𝑛𝑇z воздействия в виде дельта-функций с амплитудными множителями 𝑥 𝑛𝑇z . Следовательно, на вход такой цепи должен подаваться возбуждающий сигнал в виде 𝑇z периодической последовательности дельта-функций, умноженных на отсчеты аналогового сигнала 𝑣 𝑡 = ∑6 |786 𝑥 𝑛𝑇z 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇z ). Откликом цепи на воздействие 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇z ) является сдвинутая на 𝑛𝑇z импульсная характеристика к| 𝑡 = к• 𝑡 − 𝑛𝑇z . С учетом линейности и стационарности цепи очевидно, что отклик на воздействие 𝑣(𝑡) представляет собой правую часть выражения (*), поэтому на выходе цепи наблюдается восстановленный сигнал 𝑥(𝑡). Восстановление сигнала Учитывая, что 𝛿-функция имеет нулевую длительность, можно представить возбуждающий сигнал в виде 6 6 𝑣 𝑡 = q 𝑥(𝑛𝑇z )𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇z ) = 𝑥 𝑡 |786 = ∑6 |786 𝛿 q 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇z = 𝑥 𝑡 𝛿ˆ 𝑡 |786 где 𝛿ˆ 𝑡 𝑡 − 𝑛𝑇z - периодическая последовательность 𝛿-функций. Считая 𝛿-функцию «коротким импульсом», можно назвать сигнал 𝑣(𝑡) идеализированным сигналом с амплитудно-импульсной модуляцией (иАИМ-сигналом). Поскольку иАИМ-сигнал равен произведению 𝑥 𝑡 𝛿ˆ 𝑡 , его спектральная плотность равна свертке спектральных плотностей сигналов 𝑥(𝑡) и 𝛿ˆ 𝑡 . Найдем спектральную плотность последовательности 𝛿ˆ 𝑡 : 6 1 𝑛 Š ∆ 𝑓 = q 𝛿(𝑓 − ) 𝑇z 𝑇z |786 Восстановление сигнала Теперь найдем спектральную плотность иАИМ-сигнала как свертку: 6 Š 𝑓 − 𝜑 𝑑𝜑 𝑉 𝑓 =P 𝑋 𝜑 ∆ 86 6 6 1 𝑛 =P 𝑋 𝜑 q 𝛿(𝑓 − 𝜑 − ) 𝑑𝜑 𝑇 𝑇z z 86 6 |786 6 6 1 𝑛 1 𝑛 = qP 𝑋 𝜑 𝛿 𝑓 −𝜑 − 𝑑𝜑 = q 𝑋(𝑓 − ) 𝑇z 𝑇z 𝑇z 𝑇z 86 86 6 1 = q 𝑋(𝑓 − 𝑛𝐹z ) 𝑇z |786 |786 Восстановление сигнала Таким образом, спектральная плотность иАИМ-сигнала представляет собой с учетом масштабного коэффициента D сумму (суперпозицию) бесконечного множества копий F† спектральной плотности аналогового сигнала x(t) , отличающихся друг от друга сдвигами по оси частот, кратными частоте дискретизации. Восстановление сигнала Следовательно, восстановление аналогового сигнала интерполирующей цепью равносильно подавлению в спектре сигнала v(t) всех спектральных составляющих, не принадлежащих интервалу (−𝐹в , 𝐹в ), поэтому интерполирующий фильтр должен иметь П-образную (прямоугольную) комплексную частотную характеристику: 𝑇z , 𝑓 ∈ (−𝐹в , 𝐹в ) 𝐾 𝑓 = 0, 𝑓 ∉ (−𝐹в , 𝐹в ) Идеальная интерполирующая цепь должна в таком случае иметь импульсную характеристику 𝜋𝑡 sin 𝑇z ℎ(𝑡) = = к• 𝑡 𝜋𝑡 𝑇z Таким образом, спектральный подход к восстановлению аналогового сигнала по его отсчетам приводит к тому же выводу, что и временной. Ошибки при восстановлении Идеальная интерполирующая цепь, строго говоря, нереализуема, так как ее импульсная характеристика имеет бесконечно большую протяженность в области отрицательных времен. Однако в принципе можно построить цепь, сколь угодно точно ее аппроксимирующую, правда, при этом восстановленный сигнал будет получаться с задержкой. Физическая реализуемость предполагает каузальность импульсной характеристики. Очевидно, при соблюдении условия каузальности повышение точности аппроксимации неизбежно приводит к сдвигу функции вправо, а значит, увеличивает задержку восстановленного сигнала. Ошибки при восстановлении Нереализуемым является и сигнал, описываемый выражением v t = 𝑥 𝑡 𝛿ˆ 𝑡 , так как в него входят дельта-функции. На практике вместо них используются короткие импульсы. Ошибки при дискретизации Необходимо отметить, что выражение v t = 𝑥 𝑡 𝛿ˆ 𝑡 , описывающее процесс восстановления аналогового сигнала по его отсчетам, иногда неправильно связывают с процессом дискретизации сигнала. На самом деле взятие (одиночного) отсчета аналогового сигнала в произвольный момент времени представляет собой стробирование и описывается выражением типа свертки, а не умножения. 6 6 𝑥 𝑡• = P 𝑥 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝑡• 𝑑𝑡 = P 𝑥 𝑡 𝛿 𝑡• − 𝑡 𝑑𝑡 86 86 Реальное взятие отсчета производится устройством, в котором выполняется свертка аналогового сигнала не с дельта-функцией, как в данном выражении, а с некоторым реальным импульсом 𝑑(𝑡). Этот импульс должен быть «похож» на дельта-функцию, в частности, он должен быть коротким и интеграл от него должен быть равен 1. Ошибки при дискретизации Для простоты примем в качестве 𝑑(𝑡) прямоугольный импульс длительности ∆ и амплитуды 1/∆ . Свертке сигнала 𝑥(𝑡) с таким импульсом соответствует умножение спектральной плотности 𝑋(𝑓) на спектральную плотность прямоугольного импульса, имеющую, как известно, форму функции вида sin 𝑥 / 𝑥 , поэтому при стробировании реальным импульсом конечной длины всегда происходит искажение спектра сигнала. Для уменьшения такого искажения необходимо стремиться к уменьшению длительности импульса 𝑑(𝑡) , при этом форма импульса не играет заметной роли. Ошибки при дискретизации Все реальные сигналы имеют конечную длительность, поэтому спектральная плотность реального сигнала не может быть финитной. Нефинитность спектра сигнала приводит к тому, что «хвосты» копий спектральной плотности 𝑋(𝑓) при периодическом повторении накладываются друг на друга и суммируются, приводя к необратимому искажению сигнала. Применяемая до дискретизации фильтрация сигнала при помощи фильтра нижних частот с характеристикой, близкой к прямоугольной, подавляет эти «хвосты», уменьшая погрешность интерполяции. Невозможность точного восстановления Итак, точному восстановлению аналогового сигнала по последовательности его отсчетов препятствуют: 1) конечная длительность любого реального сигнала и, как следствие, бесконечная ширина его спектра; 2) конечная длительность реального стробирующего импульса и, как следствие, искажение формы спектра сигнала при дискретизации; 3) невозможность точно реализовать интерполирующий фильтр. Несмотря на эти ограничения, дискретизация широко применяется на практике, в частности, она является необходимой частью цифровой обработки сигналов.