Обращение матриц

Обращение матриц 3 = 3 =6* = 6* = 6*2-1 20 = 1 21 = 2 22 = 2*2 = 4 2-1 = = = А*В-1 Нахождение обратной матрицы А-1 = *А*’ – определитель матрицы, ∆, (детерминант - detA) Определитель матрицы – это некоторое число, которое описывает исходную матрицу. Определитель матрицы может быть любым числом (отрицательным, положительным или равным нулю). Если определитель равен нулю – обратная матрица не существует. А*’ – транспонированная матрица алгебраических дополнений Определитель матрицы 2×2 А= detA= = a*d – b*c Определитель матрицы 3×3 А= detA = = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 – b3c2a1 – c3a2b1 Транспонированная матрица алгебраических дополнений 2×2 Для того, чтобы найти данную матрицу необходимо выполнить ряд шагов. 1. Шаг 1 – Нужно найти матрицу Миноров М = 2. Шаг 2 – Необходимо умножить матрицу миноров по следующей схеме После умножения получаем матрицу Алгебраических дополнений А*= * = 3. Шаг 3 – Транспонирование матрицы алгебраических дополнений А*’ = Транспонированная матрица алгебраических дополнений 3×3 Для того, чтобы найти данную матрицу необходимо выполнить ряд шагов. 1. Шаг 1 – Нужно найти матрицу Миноров М = = m11 = b2c3 – b3c2 m12 = a2c3 – a3c2 m13 = a2b3 – a3b2 m21 = b1c3 – b3c1 m22 = a1c3 – a3c1 m23 = a1b3 – a3b1 m31 = b1c2 – b2c1 m32 = a1c2 – a2c1 m33 = a1b2 – a2b1 2. Шаг 2 – Необходимо умножить матрицу миноров по следующей схеме После умножения получаем матрицу Алгебраических дополнений А*= 3. Шаг 3 – Транспонирование матрицы алгебраических дополнений А*’ = Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы А. А = А-1 = *А*’ 1. Определитель матрицы detA= = -1*4 – 0*2 = -4 2. Транспонированная матрица алгебраических дополнений Матрица миноров М==> Матрица алгебраических дополнений А* = * = Транспонирование матрицы алгебраических дополнений А*’= 3. Подстановка в формулу А-1 = * = - = Проверка Для того, чтобы проверить правильно нахождения обратной матрицы, необходимо ее умножить на исходную матрицу, в результате должна получиться единичная матрица Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы В. В= А-1 = *А*’ 1. Определитель матрицы detВ= = 2*2*0 + 4*3*4 + 6*1*2 – 4*2*6 – 2*3*2 – 0*1*4 = 0+48+12-48-12-0 = 0 Т.к. определитель матрицы равен нулю, обратная матрица не существует. Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы С. С= 1. Определитель матрицы detС= = 0*2*0 + 1*1*2 + (-2)*(-1)*4 – 2*2*(-2) – 4*1*0 – 0*(-1)*1 = 0+2+8+8-0-0 = 18 2. Транспонированная матрица алгебраических дополнений Матрица миноров М= => m11 = 2*0-4*1 = -4 m12 = -1*0-2*1 = -2 m13 = -1*4-2*2 = -8 m21 = 1*0-4*(-2) = 8 m22 = 0*0-2*(-2) = 4 m23 = 0*4-2*1 = -2 m31 = 1*1-2*(-2) = 1-2*(-2) = 1-(-4) = 1+4 = 5 m32 = 0*1- (-1)*(-2) = -2 m33 = 0*2-(-1)*1 = 1 Матрица алгебраических дополнений C* = * = Транспонирование матрицы алгебраических дополнений C*’ = 3. Подстановка в формулу А-1 = * Найти обратную матрицу D = * = D-1