Обобщающие статистические показатели

Лекция 3 ОБОБЩАЮЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ 1 ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В СТАТИСТИКЕ 2 ВИДЫ И ВЗАИМОСВЯЗИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН 3 СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 4 ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКОВ 1 ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В СТАТИСТИКЕ Абсолютные статистические величины характеризуют размеры изучаемых явлений в виде численности единиц совокупности или объемов присущих им признаков. Различают индивидуальные, групповые и общие абсолютные величины. Абсолютные величины выражаются в различных единицах измерения: натуральных, стоимостных (денежных), трудовых. При учете продукции в натуральном выражении часто применяются условно-натуральные единицы измерения. Натуральные единицы пересчитываются в условно-натуральные путем выражения разновидностей явления в единицах одной разновидности, принятой за эталон. Это делается с помощью коэффициентов пересчета: Кп= Потребительское значение данного продукта . Потребительское значение условного продукта-эталона Например, требуется определить общий объем выпуска продукции рыбным заводом, приняв в качестве условной единицы банку с весом продукции 350 г. Таблица 1 - Данные о выпуске консервов рыбным заводом за отчетный период Наименование Вес банки, г А Скумбрия Килька Лосось Итого 1 270 180 360 – Количество банок, тыс. шт., qн 2 186 250 205 – Коэффициент пересчета, Кп 3 0,77 0,51 1,03 – Количество условных банок, тыс. шт.,qун 4 143,2 127,5 211,2 481,9 Для определения коэффициентов пересчета (Кп) вес банки по каждому виду консервов следует разделить на эталонное значение (350 г), 270  0, 77. Занесем результаты расчетов в например, по скумбрии К п  350 графу 3 таблицы 1. Затем пересчитываем объем продукции в натуральном выражении qн в условно-натуральные единицы – условные банки qун : qун=qнКп. Например, по скумбрии qун= 186 0,77=143,2 туб (тысяч условных банок). Общий выпуск продукции составил 481,9 туб. Аналогично пересчитывают различные виды моющих средств в условные единицы. В этом случае коэффициент пересчета получают делением содержания жирных кислот (в процентах) на эталонное значение (например, 40 %). В анализе закупок сельскохозяйственных продуктов коэффициент пересчета получают делением фактических параметров качества (% выхода чистой шерсти, % жирности молока) на стандартные значения. Количество продукции в стандартных параметрах качества получают умножением количества продукции в натуральном выражении на коэффициент пересчета. Относительные величины получают путем деления двух величин. Величина, стоящая в числителе получаемого отношения, называется сравниваемой, текущей или отчетной. Величина, с которой производится сравнение и которая находится в знаменателе отношения, называется базой сравнения. Форма выражения относительных величин зависит от базы сравнения. Это могут быть: коэффициенты (база сравнения принимается за 1), проценты (база сравнения принимается за 100), промилле (база сравнения принимается за 1000), а также именованные единицы измерения (сочетание двух наименований, например, показатель урожайности – количество центнеров с гектара). 2 ВИДЫ И ВЗАИМОСВЯЗИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН В зависимости от содержания исчисляемых отношений выделяют следующие виды относительных величин: – планового задания; – выполнения задания; – динамики; – структуры; – координации; – интенсивности и уровня экономического развития; – сравнения. Рассмотрим расчет отдельных видов относительных величин на примере данных таблицы 2. Таблица 2 - Оборот розничной торговой сети и предприятий общественного питания. Тыс. руб. Вид оборота Оборот розничной торговли Оборот общественного питания Итого Базисный период 3 025 725 3 750 Отчетный период План Факт 3 200 3 255 750 738 3 950 3 993 Относительная величина планового задания характеризует напряженность планового задания и рассчитывается по формуле: Плановое задание на предстоящий период 100 . Фактический размер явления за предшествующий (базисный ) период Например, относительная величина планового задания по 3200 обороту составила: по торговой сети 100  105,8 (%) , по 3025 общественному питанию 750 100  103,4 (%) , то 725 есть по плану предусматривался более динамичный рост оборота торговой сети, который должен был составить 105,8 % от оборота базисного периода. Относительная величина выполнения плана характеризует степень выполнения установленного плана и рассчитывается как: Фактический размер явления 100 . Плановое задание В целом по предприятию выполнение плана товарооборота составило 3993 100  101,1 (%),в том числе по розничной сети 101,7 % 3950  3255   738   3200 100  и общественному питанию 98,4 %  750 100  . Плановое     задание в целом перевыполнено на 1,1 % , в том числе по розничной сети на 1,7 %, а по общественному питанию недовыполнение составило 1,6 % (98,4 – 100). Относительная величина динамики характеризует изменение явления во времени и имеет следующий вид: Размер явления за отчетный период 100 . Размер явления за предшествующий ( или начальный) период Относительная величина динамики называется темпом роста и измеряется в процентах или коэффициентах. Если при наличии данных за несколько периодов времени в качестве базы сравнения (в знаменателе) берется показатель за предшествующий период, то получают цепные относительные величины динамики, когда каждый последующий сравнивается с предыдущим. Если в качестве базы сравнения берется показатель за начальный период и все уровни сравниваются с ним, то получают базисные относительные величины динамики. Относительная величина динамики или темп роста оборота торговой сети по данным таблицы 2 составила 3255 100  107,6 (%), по 3025 738 общественному питанию: 100  101,8 (%) . Таким образом, оборот 725 торговой сети возрастал более значительными темпами. Три перечисленных вида относительных величин связаны между собой: произведение относительных величин планового задания и выполнения плана дает относительную величину динамики. Например, по торговой сети: 1,058 1,017 = 1,076 . Относительная величина структуры характеризует состав совокупности и показывает долю или удельный вес отдельных частей в общем объеме совокупности и рассчитывается по формуле: Часть совокупности 100 . Общий объем совокупности Удельный вес оборота торговой сети в отчетном периоде 738 составил 3255 100  81,5 (%),общественного питания – 100  18,5 (%) 3993 3993 (их сумма дает 100 %). Результаты проведенных расчетов можно представить в табличной форме (таблица 3) Таблица 3 - Показатели анализа оборота за отчетный период Проценты Вид оборота Оборот торговой сети Оборот общественного питания Итого Относительная величина планового задания Степень выполнения плана Темп роста оборота 105,8 101,7 103,4 105,3 Структура оборота План Факт 107,6 81,0 81,5 98,4 101,8 19,0 18,5 101,1 106,5 100,0 100,0 Относительная величина координации характеризует соотношение частей совокупности между собой и рассчитывается как: Часть совокупности 100 . Другая часть совокупности, принятая за базу сравнения Например, в отчетном периоде на 100 тыс. р. оборота торговой сети приходилось 22,7 тыс. р. оборота общественного питания  738   3255 100  .   Относительная величина интенсивности характеризует степень распространения, развития какого-либо явления в определенной среде и представляет собой отношение: Размер изучаемого явления . Объем среды, в которой происходит развитие изучаемого явления Например, валовой сбор зерна в хозяйстве составил 1620 ц, а посевная площадь – 95 га, относительная величина интенсивности характеризует урожайность и равна 1620  17,1 (ц/га). 95 Разновидностью относительных величин интенсивности является относительная величина уровня экономического развития, характеризующая производство продукции в расчете на душу населения: Производство продукции за год . Среднегодовая численность населения Например, производство потребительских товаров в стране за год составило 238 трлн р., среднегодовая численность населения 148,2 млн чел. Производство потребительских товаров на душу населения: 238  1,6 млн р. 148,2 Относительная отношение: величина сравнения представляет собой Показатель объекта А . Тот же показатель объекта Б Показатели берутся за один и тот же период или момент времени. Например, численность населения города А 1828 тыс. чел., города Б – 623 тыс. чел. Значит, численность населения города А  1828   2,93  . превосходит численность населения города Б 2,9 раза   623  3 СРЕДНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИХ Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни. В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно где т – показатель степенной средней: при m = - 1 – средняя гармоническая при m = 0 – средняя геометрическая при m = 1 – средняя арифметическая при m = 2 – средняя квадратическая при m = 3 – средняя кубическая xi– варианты (значения, которые принимает признак); fi – частоты. Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений). Степенные средние Средняя арифметическая: а) средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой: где хi– варианты (отдельные значения признака); п – число единиц в совокупности. Задача 1. Определить среднюю выработку работников: № работника 1 2 3 Выпущено, шт 15 20 18 б) 4 19 средняя арифметическая взвешенная: где fi– частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака хiy единиц совокупности. Задача 2. Вычислить среднюю предприятия (условные данные): заработную плату работников Распределение работников предприятия по уровню заработной платы Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения. Тогда при расчете средней в качестве хi берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно «закрывают», принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т. е. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего. Задача 3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода (условные данные). Расчет средней арифметической в интервальном ряду Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит Средняя гармоническая: Средняя гармоническая величина применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются для каждого xi произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т. е. [Fi= xi * fi]. Величиной Fi может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете их средней цены; фонд заработной платы по отдельным категориям работников при расчете средней заработной платы и т. д. Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид: , где Fi – произведения вариант на соответствующие им частоты; xi– варианты. Задача 4. Определить среднюю заработную плату рабочих (условные данные). Заработная плата, руб. Фонд заработной платы, руб. 5900 6790 7000 35750 54320 42000 Средняя геометрическая: Средняя квадратическая: взвешенную (для сгруппированных данных): простую (для несгруппированных данных): Структурные средние Мода (Мо) – это наиболее часто встречающееся значение признака, или иначе говоря, значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают поразному. В дискретных вариационных рядах модой будет значение признака, которому соответствует наибольшая частота. Задача 5. Здесь наибольшая частота равна 10, она принадлежит варианте со значением 3, значит, Мо = 3. Таким образом, самой распространенной оценкой, полученной студентами за контрольную работу, была «тройка». Определить моду можно и графически. Для этого в случае дискретных вариационных рядов строится полигон распределения. На оси абсцисс помещаются значения признака (варианты), а на оси ординат - соответствующие им частоты. Значение абсциссы, соответствующее наибольшей вершине полигона, будет значением моды. Рисунок 1 - Определение моды по полигону распределения Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем моду находят по формуле где хМо– нижняя граница модального интервала; d – величина интервала; fMo – частота модального интервала; fMo - 1 – частота интервала, предшествующего модальному; fMo + 1 – частота интервала, следующего за модальным. Задача 6. Имеются данные по группе банков. Определим модальный размер выданных кредитов: 1) модальным является интервал 60 – 80, так как ему соответствует наибольшая частота (21); 2) нижняя граница модального интервала xМо = 60; величина интервала d = 20 (80 - 60 = 20); 3) частота модального интервала fМо = 21; частота интервала, предшествующего модальному, fМо - 1 – 15; частота интервала, следующего за модальным, fМо + 1 = 12. Подставив в формулу соответствующие величины, получим: Для определения моды в интервальном ряду распределения строится гистограмма, у которой на оси абсцисс находятся значения границ интервалов, а на оси ординат – соответствующие интервалам частоты. На гистограмме модальный интервал будет иметь наибольшую высоту столбца. Затем надо провести линии, соединяющие вершины модального столбца с прилегающими вершинами соседних столбцов. Для нахождения значения моды из точки пересечения проведенных линий на ось абсцисс опускают перпендикуляр. Абсцисса точки пересечения будет значением моды. Рисунок 2 - Определение моды по гистограмме распределения Вариационный ряд может содержать несколько модальных значений. Чаще всего это происходит, когда в один ряд объединяют разнородные единицы наблюдения, которые желательно разделить на подгруппы и анализировать по отдельности. Вариационный ряд, имеющий одну моду, называется унимодальным, две – бимодальным, три и более – мультимодальным. Медиана – это значение признака, которое делит статистическую совокупность на две равные части: половина единиц совокупности имеет значения признака не меньше медианы, другая половина – значения признака не больше медианы. Значения изучаемого признака всех единиц статистической совокупности можно расположить в порядке возрастания (или убывания). В этом случае мы получим ранжированный ряд. Если число единиц совокупности нечетное, то значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда, будет являться медианой. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя величина из двух значений признака, находящихся в середине ряда. Для определения медианы в дискретных вариационных рядах: 1) находят ее порядковый номер по формуле 2) строят ряд накопленных частот; 3) находят накопленную частоту, которая равна порядковому номеру медианы или его превышает; 4) варианта, соответствующая данной накопленной частоте, является медианой. В интервальных рядах сначала определяют медианный интервал. Рассчитывают порядковый номер медианы Накопленной частоте, которая равна номеру медианы или первая его превышает, в интервальном вариационном ряду соответствует медианный интервал. Медиана в интервальном ряду определяется по формуле: где хМе – нижняя граница медианного интервала; dMe – величина медианного интервала; SMe-1 – накопленная частота интервала, медианному; fMe – частота медианного интервала. предшествующего Задача 7. По следующим данным определим медианное значение суммы выданных банками кредитов: Сумма выданных кредитов, млн. ден. ед. 20–40 40–60 60–80 80–100 100–120 120–140 140–160 Итого Количество банков, f Накопленная частота, Si 8 15 21 12 9 7 4 76 8 23 44 56 65 72 76 - определим порядковый номер медианы - определим накопленную частоту медианного интервала: SМе = 44; - определим соответствующий ей медианный интервал «60–80»; - рассчитаем значение медианы по формуле т. е. у 50 % банков сумма выданных кредитов не превышает 74,286 млнден. ед. Рисунок 3 - Определение медианы по кумуляте 4 ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКОВ Измерение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей. К абсолютным показателям относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям относится коэффициент вариации. Размах вариации R – это разность между максимальным и минимальным значениями признака: R = xmax – xmin. Он характеризует амплитуду вариации признака и является наиболее простым способом измерения колеблемости. Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Выражается в тех же единицах измерения, что и средняя величина (варианты ряда). В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде – 10 шт. (105 – 95 = 10 шт.); во второй бригаде – 50 шт. (125 – 75 = 50 шт.). Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Но размах вариации как показатель колеблемости имеет существенный недостаток. Его величина определяется двумя крайними значениями признака, в то время как колеблемость последнего в целом складывается из всех его значений. Для группировок с открытыми первым и последним интервалами, когда неизвестны реальные минимальные и максимальные значения признака в совокупности, расчет размаха вариации некорректен, так как он не отражает отклонений всех вариантов в ряду. В связи с тем, что каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней на определенную величину, очевидно, что мерой вариации может служить средняя из отклонений каждой отдельной варианты от их средней. Такими показателями являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия - средняя арифметическая из квадратов отклонений индивидуальных значений признака xi от их средней величины : для несгруппированных данных (дисперсия простая): для сгруппированных данных (дисперсия взвешенная): . Используют также «упрощенный способ» расчета дисперсии: , где ; ; - при простой системе расчетов; - при взвешенной системе расчетов. Дисперсия единиц измерения не имеет. Достоинство показателя в том, что учитывает все отклонения индивидуальных значений признака от их среднего значения, недостаток - эти отклонения возведены в квадрат. Дисперсию применяют в основном в корреляционном анализе и при расчете ошибок выборочного наблюдения. Служит также для расчета среднего квардратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение σ есть корень квадратный из дисперсии:   2. Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и средняя величина. Среднее квадратическое отклонение показывает, в каких пределах (+,-) отдельные значения признака отклоняются от их среднего значения в среднем. Абсолютные показатели вариации нельзя использовать для сравнительной оценки вариации различных признаков одной и той же совокупности, имеющих неодинаковые единицы измерения. Для сравнительного анализа вариации применяют относительный показатель вариации - коэффициент вариации. Коэффициент вариации V представляет процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: Коэффициент вариации показывает на сколько процентов в среднем отклонились индивидуальные значения признака от среднего значения. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Принято считать, что если коэффициент вариации не превышает 30 - 33 %, колеблемость признака незначительна, совокупность однородная, а средняя величина надежная, устойчивая, типичная для данной совокупности. Коэффициент вариации является коэффициентом неравномерности. В экономических расчетах разность между 100 % и коэффициентом вариации называется коэффициент равномерности. Так анализируют, например, равномерность поставок товаров, выполнения плана. Существует шкала оценки степени однородности совокупности в зависимости от значения коэффициента вариации: Таблица 4 -Шкала оценки степени однородности совокупности Значение коэффициента вариации, % До 30 30 - 60 60 и более Степень однородности совокупности Высокая Средняя Низкая Расчет показателей вариации проведем на основе данных таблицы 5. Таблица 5 - Распределение предприятий отрасли по объему полученной прибыли за год Группы предприятий по сумме прибыли, млн р. Число предприя тий fi Центр интервал а xi Объем прибыли во всех предприя тиях, млн р. xifi А 1 2 3=гр.1*гр.2 4 5 6=гр.5*гр.1 До 100 100 – 120 120 – 140 140 и более Итого 4 16 25 12 57 90 110 130 150 - 360 1760 3250 1800 7170 -35,79 -15,79 4,21 24,21 - 1280,89 249,31 17,73 586,15 - 5123,55 3988,92 443,21 7033,80 16589,47 Для нахождения среднего значения признака необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный, вычислив центр интервала в каждой группе. В примере значения осредняемого признака – прибыль предприятий – представлены в виде интервалов, причем в первой и последней группах интервалы открытые, во второй и третьей закрытые. Центр закрытого интервала определяется как полусумма его границ, например, центр интервала во второй группе будет равен: Центр первого интервала определяют вычитанием из его верхней границы (100) половины величины последующего интервала: Центр последнего интервала определяют прибавлением к его нижней границе (140) половины величины предшествующего интервала: Занесем результаты расчетов в графу 2 таблицы 5. Введем условные обозначения исходных данных: центр интервала групп предприятий по прибыли обозначим символом xi, число предприятий – символом fi. Для определения средней прибыли на одно предприятие следует объем прибыли во всех предприятиях ∑xifi разделить на число предприятий ∑fi, т.е. применить формулу средней арифметической взвешенной: Число предприятий известно по условию (∑fi= 57, табл. 5, гр. 1. Объем прибыли во всех предприятиях рассчитаем как сумму произведений показателей прибыли предприятий на число предприятий в каждой группе (гр. 4=гр. 1*гр. 3; ∑ xifi = 7170 млн р.). Зная числитель и знаменатель формулы, найдем средний размер прибыли на одно предприятие: Средний размер прибыли на одно предприятие составляет 125,79 млн р. Для определения дисперсии используем формулу:  x  x  f 2  взв. 2 i fi . i Для этого необходимо провести вспомогательные расчеты, которые занесем в таблицу 5 в графы 4, 5, 6. В графе 4 от каждого значения xi (графа 2) необходимо вычесть средний размер прибыли на одно предприятие. В графе 5 эти отклонения возведем в квадрат. В графе 6 необходимо значения, полученные в графе 5, умножить на число предприятий fi в каждой группе (графа 1), а затем просуммировать полученные значения. Дисперсия равна:  x  x  f 2 fi 16589,47  291,04. 57 i Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:  взв. 2 i     2  291,04  17,06 (млн р.). Прибыль отдельных предприятий отклоняется от прибыли (125,79 млн р.) в среднем на ± 17,06 млн р. Коэффициент вариации составляет: средней Колеблемость прибыли предприятий в отдельных группах от средней прибыли незначительна 13,56 %, степень однородности совокупности предприятий по прибыли высокая, т.е. средняя величина (125,79 млн р.) надежная, типичная для данной совокупности. Дать письменный ответ на следующие вопросы: 1. Что представляют собой абсолютные величины? единицы измерения имеют абсолютные величины? 2. Какова сущность относительных величин? 3. Дайте определение средней величины. 4. Какие виды средних величин вы знаете? 5. Что понимают под вариацией признаков? Какие