Нормальное распределение

96 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ëåêöèÿ 5. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â èíòåðâàë. Âåðîÿòíîñòü çàäàííîãî îòêëîíåíèÿ. Ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. 5.1. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ðàññìîòðèì åù¼ îäíî ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåå áîëüøîå òåîðåòè÷åñêîå è ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è σ , åñëè å¼ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä: (x−a)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 . (5.1) 2πσ Ýòîò ôàêò áóäåì çàïèñûâàòü òàê: ξ ∼ N (a; σ). Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè a è σ . Z+∞ Äîêàæåì, ÷òî f (x)dx = 1. Äåéñòâèòåëüíî: −∞  Z+∞ Z+∞ (x−a)2 1 − 2 √ f (x)dx = e 2σ dx = 2πσ −∞ Z+∞ = −∞ −∞ t2 1 1 √ e− 2 σdt = √ 2πσ 2π (x−a) σ = t =⇒ x = σt + a dx = σdt  = Z+∞ 2 t e− 2 dt. −∞ Ïîëó÷åííûé √ èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà è åãî çíà÷åíèå ðàâíî 2π . Z+∞ 2 √ t e− 2 dt = 2π. (5.2) −∞ Ïîäñòàâèâ ýòîò ðåçóëüòàò â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 97 Z+∞ f (x)dx = 1. −∞ Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: Zx Zx (t−a)2 1 F (x) = f (t)dt = √ e− 2σ2 dt. 2πσ −∞ −∞ Âûðàçèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà F (x) ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàïëàñà Φ(x), ââåä¼ííóþ â ëåêöèè 2 (ôîðìóëà 2.16) Zx 1 Φ(x) = √ 2π t2 e− 2 dt. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: 1 F (x) = √ 2πσ Zx e − (t−a)2 2σ 2  dt = −∞ x−a σ =√ 1 2πσ (t−a) σ Z e 2 − z2 −∞ 1 σ dz = √ 2π = z =⇒ t = σz + a dt = σdz  = x−a Z0 1 dz + √ 2π −∞   x−a = 0,5 + Φ . σ e 2 − z2 Zσ z2 e− 2 dz = Çäåñü èñïîëüçîâàëñÿ òîò ôàêò, ÷òî èç ÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â èíòåãðàëå Ïóàññîíà ñëåäóåò: Z0 e −∞ 2 − z2 √ Z+∞ 2 z 2π dz = e− 2 dz = . 2 (5.3) Èòàê, äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ïîëó÷èì âûðàæåíèå:   x−a F (x) = 0,5 + Φ . (5.4) σ Îòìåòèì, ÷òî ïðè a = 0 è σ = 1
F (x) = 0,5 + Φ x . (5.5) 98 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Íàéä¼ì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  (x−a)  Z+∞ (x−a)2 1 = t =⇒ x = σt + a − 2 σ M (ξ) = x√ e 2σ dx = = dx = σd t 2πσ −∞ 1 =√ 2π Z+∞ Z+∞ Z+∞ 2 2 2 t σ a − t2 − t2 (σt + a)e dt = √ te dt + √ e− 2 dt = 2π 2π −∞ −∞ a =0+ √ 2π −∞ Z+∞ 2 t e− 2 dt = 0 + a = a. −∞ Ïðè âûâîäå çíà÷åíèÿ äëÿ M (ξ) èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëà äëÿ èít2 òåãðàëà Ïóàññîíà (5.3) è íå÷¼òíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè te− 2 , +∞ R − t2 ïîýòîìó te 2 dt = 0. −∞ Íàéä¼ì òåïåðü ÷èñëîâîå çíà÷åíèå äëÿ äèñïåðñèè +∞ R (x−a)2 1 e− 2σ2 dx = D(ξ) = M (ξ − M (ξ))2 = (x − a)2 √2πσ −∞  (x−a)  +∞ R 2 2 − t2 = t =⇒ x = σt +a 1 σ = = √2πσ σ t e 2 σdt = dx = σd t −∞   +∞ +∞ +∞ R R 2 2 2 2 2 = − √σ2π t de−t /2 = − √σ2π te−t /2 − e−t /2 dt = −∞ −∞ √ −∞ 2 = − √σ2π (0 − 2π) = σ 2 . Èòàê, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïàðàìåòðû a è σ èìåþò ïðîñòîé âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë: M (ξ) = a; D(ξ) = σ 2 ; σ(ξ) = σ. (5.6) Ãðàôèêè ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ïðèâåäåíû íà ðèñ. 21. Ãðàôèê ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíîãäà íàçûâàþò êðèâîé Ãàóññà. Íà ðèñ. 22 ïðîèëëþñòðèðîâàíà çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò ïàðàìåòðà σ ïðè a = 1. Ïðè óâåëè÷åíèè σ çíà÷åíèå ìàêñèìà ôóíêöèè, êîòî1 ðîå ðàâíî √ ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ è ãðàôèê ôóíêöèè ñòàíîâèòüñÿ 2πσ áîëåå ïîëîãèì. Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà σ ìàêñèìóì ôóíêöèè ëèíåéíî âîçðàñòàåò è ãðàôèê ôóíêöèè ðàñòÿãèâàåòñÿ ââåðõ. Îòìåòèì, Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. f(x) 99 F(x) 1 1 2π σ 0,5 x a-σ a a+σ x a Ðèñ. 21. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî 0,4/σ. Íà ðèñ. 23 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò ïàðàìåòðà a ïðè σ = 1. Ãðàôèê ôóíêöèè ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x = a. a=-2 1.6 1.4 s=0.25 1.2 a=-1 a=0 a=1 0.4 s=1 s=2 s=4 s=0.5 s=0.25 a=2 a=0 a=1 a=2 a=-1 a=-2 0.35 0.3 0.25 1 0.2 0.8 0.15 0.6 0.1 s=0.5 0.4 0.05 s=1 0.2 s=2 x s=4 -6 -4 -2 2 x -4 -3 -2 -1 Ðèñ. 22. 1 2 3 4 Çàâèñèìîñòü îò Ðèñ. σ 23. ìîñòü îò Çàâèñè- a 4 6 100 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À.  ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 2 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé èíòåðâàë:   x − a  2 P (x1 6 ξ < x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ) = 0,5 + Φ − σ   x − a  x − a x − a 1 2 1 − 0,5 + Φ =Φ −Φ , σ σ σ x − a x − a 2 1 P (x1 6 ξ < x2 ) = Φ −Φ . (5.7) σ σ  ÷àñòíîñòè, åñëè èíòåðâàë ïîëóáåñêîíå÷íûé, ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî Φ(+∞) = 0,5, Φ(−∞) = −0,5, ïîëó÷àåì: x − a x − a 2 2 P (ξ < x2 ) = P (−∞ < ξ < x2 ) = Φ − Φ(−∞) = Φ + 0,5, σ σ x − a 1 . P (x1 6 ξ) = P (x1 6 ξ < ∞) = 0,5 − Φ σ 5.2. Âåðîÿòíîñòü çàäàííîãî îòêëîíåíèÿ äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (5.7), ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè çàäàííîãî îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: P (|ξ − a| < ε) = P (−ε < ξ − a < ε) = P (a − ε < ξ < a + ε) = a + ε − a a − ε − a ε  ε ε =Φ −Φ =Φ −Φ − = 2Φ . σ σ σ σ σ Îêîí÷àòåëüíî èìååì: ε P (|ξ − a| < ε) = 2Φ . (5.8) σ Çàìå÷àíèå 5.1. Ïîçíàêîìèâøèñü ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, çàìåòèì, ÷òî ëîêàëüíàÿ è èíòåãðàëüíûå òåîðåìû Ëàïëàñà äàþò ïðèáëèæåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé áèíîìèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Àíàëîãè÷íî, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5.7) ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæ¼ííàÿ ôîðìóëà (2.19) äëÿ âåðîÿòíîñòè îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû îò âåðîÿòíîñòè â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Ïðèìåð 5.1. ξ ∼ N (20; 10). Íàéòè P (|ξ−20| < 3) è P (|ξ − 10| < 3). Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 101 IÏî ôîðìóëå (5.8) îïðåäåëÿåì 3 ≈ 2 · 0,1179 = 0,2358. P (|ξ − 20| < 3) = 2Φ 10 Çíà÷åíèå Φ(0,3) = 0,1179 íàõîäèì ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 2. Äëÿ íàõîæäåíèÿ P (|ξ − 10| < 3) íåëüçÿ ïðèìåíèòü ôîðìóëó (5.7), ò.ê. a = 20 ̸= 10. Ýòó âåðîÿòíîñòü íàéä¼ì ïî ôîðìóëå (5.6): P (|ξ − 10| < 3) = P (−3 < ξ − 10 < 3) = P (7 < ξ < 13) =  13 − 20   7 − 20  −Φ = Φ(1, 3) − Φ(0,7) ≈ =Φ 10 10 ≈ 0,4032 − 0,2580 = 0,1452. Îòâåò: P (|ξ − 20| < 3) ≈ 0,236; P (|ξ − 10| < 3) ≈ 0,145. Ïðèìåíèì ôîðìóëó (5.8) äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îòêëîíåíèÿ ïðè ε = 3σ .   3σ = 2Φ(3) ≈ 2 · 0,49865 = 0,9973. P (|ξ − a| < 3σ) = 2Φ σ Ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíîå â òåõíèêå ¾ïðàâèëî òð¼õ ñèãì¿: äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî å¼ îòêëîíåíèå îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå áîëåå òð¼õ σ . Íà ïðàêòèêå â ìåíåå îòâåòñòâåííûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî òàêæå ïðèìåíÿòü àíàëîãè÷íîå ¾ïðàâèëî äâóõ ñèãì¿ ò.ê. P (|ξ − a| < 2σ) ≈ 0,9544. Ïðèìåð 5.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ïàðàìåòðàìè a = 3, σ = 2. íàéòè: 1) P (1 < ξ < 4); 2) P (|ξ − 3| < 1); 3) P (|ξ − 4| < 4). x − a x − a 2 1 I 1) Ïî ôîðìóëå (5.7) P (x1 6 ξ < x2 ) = Φ −Φ σ σ èìååì:     4−3 1−3 P (1 < ξ < 4) = Φ −Φ = Φ(0,5) − Φ(−1) = 2 2 = Φ(0,5) + Φ(1) = 0,1915 + 0,3413 = 0,5328.   2) Ïî ôîðìóëå (5.8) P (|ξ − a| < ε) = 2Φ σε , ïîëó÷àåì   1 P (|ξ − 3| < 1) = 2Φ = 2Φ(0,5) = 0,383. 2 3) Äëÿ íàõîæäåíèÿ P (|ξ−4| < 4) íåëüçÿ ïðèìåíèòü ôîðìóëó (5.8), ò.ê. a = 3 ̸= 4. Ýòó âåðîÿòíîñòü íàéä¼ì ïî ôîðìóëå (5.7): 102 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À.  8−3 2 P (|ξ − 4| < 4) = P (−4 < ξ − 4 < 4) = P (0 < ξ < 8) = Φ   0−3 −Φ = Φ(2,5) − Φ(−1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,927. J 2  − 5.3. Îøèáêà èçìåðåíèÿ íåêîåãî èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðèáîð íå èìååò ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè, à ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà ðàâíà 5. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îøèáêà èçìåðåíèÿ íå ïðåâçîéäåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 2. ε I Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (5.8):P (|ξ − a| < ε) = 2Φ . σ Çäåñü ξ  îøèáêà èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà, a  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, σ = 5  ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ, ε = 2  îøèáêà èçìåðåíèÿ. Ïîëó÷àåì,   2 P (|ξ − a| < 2) = 2Φ = 2Φ(0,4) = 2 · 0,1554 = 0,3108. J 5 Ïðèìåð 5.4. Ðàññåèâàíèå ñêîðîñòè ñíàðÿäà ïîä÷èíåíî íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Íàéòè ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàññåèâàíèÿ, åñëè ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,996 îíî íå ïðåâîñõîäèò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 5 ì/ñ. Ñèñòåìàòè÷åñêàÿ îøèáêà îòñóòñòâóåò. ε I Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (5.8):P (|ξ − a| < ε) = 2Φ . σ Çäåñü ξ  ðàññåèâàíèå ñêîðîñòè ñíàðÿäà, a  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, σ  èñêîìàÿ âåëè÷èíà îáîçíà÷àþùàÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ñêîðîñòè ðàññåèâàíèÿ ñíàðÿäà, ε = 5  ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå ñêîðîñòè ðàññåèâàíèÿ ñíàðÿäà. Ïîëó÷àåì,     5 5 P (|ξ − a| < 5) = 2Φ ⇒ 0,996 = 2Φ . σ σ Ïîëó÷èëè óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî àðãóìåíòà ôóíêöèè   5 Φ = 0,498. σ Èç òàáëèöû ïðèëîæåíèå 2, íàõîäèì ïðè êàêîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî 0,498. Ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå 5 ≈ 2,88 ⇒ σ = 5/2,88 ≈ 1,736. J σ Ïðèìåð Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 103 Îòâåò: ≈ 1,736. 5.5. Ñðîê ñëóæáû ýëåêòðè÷åñêîé ëàìïû ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäåë¼ííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó. Íàéòè ñðåäíåå âðåìÿ T ñðîêà ñëóæáû ëàìïû, åñëè ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9505 ëàìïà ðàáîòàåò áîëåå 1000÷. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå 20÷. Ïðèìåð I Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (5.7): x − a x − a 2 1 P (x1 6 ξ < x2 ) = Φ −Φ . σ σ Çäåñü ξ  ñðîê ñëóæáû ýëåêòðè÷åñêîé ëàìïû, a  èñêîìàÿ âåëè÷èíà îáîçíà÷àþùàÿ ñðåäíåå âðåìÿ T ñðîêà ñëóæáû ëàìïû, σ = 20  ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ñðîêà ñëóæáû ëàìïû, x1 = 1000, x2 = +∞  ãðàíèöû èíòåðâàëà íà êîòîðîì âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0,9505. Ïîëó÷àåì,   1000 − a P (ξ > 1000) = Φ(+∞) − Φ 20   1000 − a Φ = 0,9505 − 0,5 = 0,4505. 20 Èç òàáëèöû ïðèëîæåíèå 2, íàõîäèì ïðè êàêîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî 0,4505. Ïîëó÷àåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå 1000 − a = 1,65 ⇒ 1000 − a = 33 ⇒ a = 1033. J 20 Îòâåò: ≈ 1033. 5.3. Ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Òåîðåìà 5.1. Åñëè ξ ∼ N (a; σ), òî ζ = kξ + b ∼ N (ka + b; |k| σ). Íàéä¼ì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fζ (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ ïðè k > 0: Äîêàçàòåëüñòâî.  x − b Fζ (x) = P (ζ < x) = P (kξ + b < x) = P ξ < = k  x−b   x − (ka + σ)  −a = 0,5 + Φ k = 0,5 + Φ . σ kσ 104 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî ζ ∼ N (ka + σ; kσ) ïðè k > 0. Ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè ïðè k < 0:  x − b Fζ (x) = P (ζ < x) = P (kξ + b < x) = P ξ > = k   x−b  −a x − b =1−P ξ < = 1 − 0,5 − Φ k = k σ  x − (ka + b)   x − (ka + b)  = 0,5 − Φ = 0,5 + Φ , kσ −kσ ò.å. ïðè k < 0 ζ ∼ N (ka + σ; −kσ). Îáîáùàÿ ýòè äâà âûâîäà, ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Òåîðåìà 5.2. Åñëè ζ ∼ N (a; σ), òî ξñò = ζ −a ∼ N (0; 1). σ ζ a 1 Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ξñò = − , òî ïî òåîðåìå 5.1 äëÿ k = , σ σ σ a b = − , ïîëó÷àåì, ÷òî ξñò èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàσ ìåòðàìè 1 a 1 ·a− =0 è · σ = 1. σ σ σ Îïðåäåëåíèå 5.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 0 è σ = 1, íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíîé (íîðìèðîâàííîé) íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé , à å¼ ðàñïðåäåëåíèå  ñòàíäàðòíûì (íîðìèðîâàííûì) íîðìàëüíûì. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàþòñÿ ôîðìóëàìè: Zx t2 1 − x2 1 f (x) = √ e 2 ; Fñò (x) = √ e− 2 dt = 0,5 + Φ(x). (5.9) 2π 2π −∞ Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 105 5.4. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë Òåïåðü ïîçíàêîìèìñÿ ñ ðàçäåëîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïîñâÿù¼ííûì ïîëó÷åíèþ ïðèáëèæ¼ííûõ ôîðìóë äëÿ âåðîÿòíîñòåé ñóììû áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òåîðåìà 5.3. (Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà.) Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïðè ∀ ε > 0 âåðíî íåðàâåíñòâî: D(ξ) . (5.10) ε2 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ ïëîòíîñòüþ f (x), õîòÿ òåîðåìà âåðíà è äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îöåíèì âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ: P (|ξ − M (ξ)| < ε) > 1 − P (|ξ−M (ξ)| > ε) = P (ξ > M (ξ)+ε èëè ξ 6 M (ξ)−ε) = MZ (ξ)−ε = P (ξ 6 M (ξ)−ε)+P (ξ > M (ξ)+ε) = f (x)dx+ −∞ MZ (ξ)−ε 6 −∞ M Z (ξ) 6 −∞ 1 = 2 ε
2 Z+∞ x − M (ξ) f (x)dx+ ε2 Z+∞ f (x)dx 6 M (ξ)+ε
2 x − M (ξ) f (x)dx 6 ε2 M (ξ)+ε
2
2 Z+∞ x − M (ξ) x − M (ξ) f (x)dx+ f (x)dx = ε2 ε2 M (ξ) Z+∞ −∞
2 D(ξ) x−M (ξ) f (x)dx = 2 . ε Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â ýòîé öåïî÷êå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
2 ïîäûíx − M (ξ) , êîòîðîå òåãðàëüíûå ôóíêöèè óìíîæèëè íà âûðàæåíèå ε2 áîëüøå èëè ðàâíî 1, ò.ê. â îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ x óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |x − M (ξ)| > ε. Âòîðîå íåðàâåíñòâî âåðíî, ò.ê. ïðè 106 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. óâåëè÷åíèè èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè íå óìåíüøàåòñÿ. Èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà: D(ξ) P (|ξ − M (ξ)| > ε) 6 2 , ε ïåðåõîäÿ ê âåðîÿòíîñòè ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Ïðèìåð 5.6.  ïàðòèè 10 ëàìïî÷åê âåðîÿòíîñòü îòêàçà êàæäîé èç êîòîðûõ 0,05. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà îòêëîíåíèÿ ÷èñëà îòêàçàâøèõ ëàìï îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìåíüøå îäíîãî. IÏóñòü ξ  ÷èñëî îòêàçàâøèõ ëàìïî÷åê; ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = 10, p = 0,05. M (ξ) = np = 0,5; D(ξ) = npq = 0,475. Ïî òåîðåìå 5.3 èìååì: 0,475 . 1 Äðóãèìè ñëîâàìè: P (|ξ − 0,5| < 1) > 0,525. P (|ξ − 0,5| < 1) > 1 − 5.7. Ñðåäíèé äíåâíîé ðàñõîä ýëåêòðîýíåðãèè íà ïðåäïðèÿòèè ñîñòàâëÿåò 2000 êâ., à ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñõîäà ýëåêòðîýíåðãèè íå ïðåâûøàåò 250 êâ. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â êîíêðåòíûé äåíü ðàñõîä ýëåêòðîýíåðãèè íå ïðåâçîéäåò 3000êâ. Ïðèìåð I Ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ  äíåâíîé ðàñõîä ýëåêòðîýíåðãèè íà ïðåäïðèÿòèè (êâ). Ïî óñëîâèþ çàäà÷è M (ξ) = 2000. Äèñïåðñèÿ D(ξ) = σ 2 = 2502 . Ïî òåîðåìå 5.3 èìååì: 15 2502 P (|ξ − 2000| < 1000) > 1 − 1000 = 0,9375. J 2 = 16 Îòâåò: > 0,9375. 5.8. Àâòîìàò â ñìåíó âûïóñêàåò 4000 äåòàëåé. Âåðîÿòíîñòü âûõîäà áðàêîâàííîé äåòàëè ðàâíà 0,02. Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî áðàêîâàííûõ äåòàëåé íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå îò 60 äî 100. Ïðèìåð I Ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ  ÷èñëî áðàêîâàííûõ äåòàëåé. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò áèíîìèàëüíîå Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 107 ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè M (ξ) = np = 4000 · 0,02 = 80, äèñïåðñèÿ D(ξ) = np(1 − p) = 80 · 0,98 = 78,4. Èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: P (60 6 m 6 100) = P (−20 6 m − 80 6 20) = P (|m − 80| 6 20). Ïî òåîðåìå 5.3 èìååì: 78,4 P (|m − 80| 6 20) > 1 − 2 = 0,804. 20 Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïðè ïîìîùè ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìó Ìóàâðà-Ëàïëàñà  P (|m − 80| 6 20) ≈ 2 · Φ 20 78,4  = 2Φ(2,26) = 0,976. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà äîñòàòî÷íî ãðóáî îöåíèâàåò ðåçóëüòàò. J Îòâåò: > 0,804. Çàìå÷àíèå 5.2. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà èñïîëüçóåòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ðÿäà òåîðåì (èíîãäà åãî íàçûâàþò ëåììà ×åáûøåâà), îäíàêî îíî äà¼ò äîâîëüíî ãðóáóþ îöåíêó äëÿ ïðèâåä¼ííîé âåðîÿòíîñòè. Òàê, â ïðèìåðå 5.6, ðàñêðûâàÿ ìîäóëü, ìû ïîëó÷èëè íåðàâåíñòâî: P (−0,5 < ξ < 1,5) > 0,525. Îäíàêî ïðèâåä¼ííûé èíòåðâàë ìîæåò áûòü çàâåäîìî óìåíüøåí, ò.ê. ξ > 0: P (−0,5 < ξ < 1,5) = P (0 6 ξ < 1,5). Òåîðåìà 5.4. (Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå ×åáûøåâà.) Åñëè ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . .  íåçàâèñèìûå  ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûìè äèñïåðñèÿìè D(ξi ) 6 C, i = 1, 2, . . . , òî äëÿ ∀ ε > 0 áóäåò: 1X 1X ξi − M (ξi ) n i=1 n i=1 n lim P n→∞ ! n <ε = 1. 108 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 1X ξi . Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàn i=1 ìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïîëó÷àåì: n n X X M (ξi ) D(ξi ) n·C C i=1 i=1 M (ζn ) = , D(ζn ) = 6 = . 2 2 n n n n Íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äëÿ ζn ïîëó÷àåì: n Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ζn = D(ζn ) P (|ζn − M (ζn )| < ε) > 1 − ⇐⇒ ε2   n n X X ξi M (ξi ) < ε > 1 − C . ⇐⇒ 1 > P  nε2 i=1 i=1 − n n Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîñêîëüêó ïðåäåëû ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ðàâíû 1, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå ×åáûøåâà óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíû çíà÷èòåëüíûå îòêëîíåíèÿ èõ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî îò ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. 5.1. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 5.4 M (ξ1 ) = M (ξ2 ) = . . . = a, òî äëÿ ∀ ε > 0 áóäåò: ! P ξi lim P − a < ε = 1. n→∞ n Ñëåäñòâèå n X M (ξi ) na = a. n n Çàìå÷àíèå 5.3. Íà ïðàêòèêå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå ×åáûøåâà ïðèìåíÿþò, íàïðèìåð, â òåîðèè îøèáîê. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàò ëþáîãî èçìåðåíèÿ åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ïðè ýòîì ðàçëè÷àþò ãðóáûå îøèáêè èçìåðåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî óñòðàíèòü, îñíîâûâàÿñü íà ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå èçìåðÿåìîãî îáúåêòà, Òàê, åñëè â ðÿäó èçìåðåíèÿ ðîñòà ãðóïïû ëþäåé âñòðåòèëîñü çíà÷åíèå 17,8 ì.  ýòî, î÷åâèäíî, ãðóáàÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ. Äàííûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò èçúÿòü, åñëè íåëüçÿ åãî óòî÷íèòü. Äàëåå, áûâàþò ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè èçìåðåíèÿ. Ýòè îøèáêè, êàê ïðàâèëî, âûçûâàþòñÿ Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå M (ζn ) = i=1 = Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 109 íåèñïðàâíîñòüþ èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà; îíè íå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè è èõ ìîæíî óñòðàíèòü, ïðîâåðèâ ïðèáîð è âíåñÿ ïîïðàâêó â èçìåðåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ÷àñû ñïåøàò íà 5 ìèíóò, òî îò èçìåðåííîé âåëè÷èíû íóæíî îòíÿòü 5 ìèíóò, ÷òîáû ïîëó÷èòü âåðíîå âðåìÿ. Íàêîíåö, âñå îñòàëüíûå îøèáêè  ñëó÷àéíûå îøèáêè èçìåðåíèÿ, âûçûâàþòñÿ ìíîæåñòâîì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ: äðîæàíèå ñòðåëêè ïðèáîðà, íåòî÷íîå ñ÷èòûâàíèå ïîêàçàíèé (¾êîñî âçãëÿíóë¿ íà ñòðåëêó), îòêëîíåíèÿ â óñëîâèÿõ èçìåðåíèÿ è ïðî÷. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîé ñóììå áîëüøîãî ÷èñëà äðóãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 5.4 äëÿ óòî÷íåíèÿ ðåçóëüòàòà íóæíî ïðîèçâåñòè n íåçàâèñèìûõ èçìåðåíèé è óñðåäíèòü èõ ðåçóëüòàò. Ñëåäóåò, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî âñå ðàâíî ðåçóëüòàò áóäåò ïîëó÷åí ñ òî÷íîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé òî÷íîñòè ñàìîãî èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà, êîòîðàÿ îáû÷íî óêàçûâàåòñÿ â òåõíè÷åñêîé äîêóìåíòàöèè íà íåãî. Òåîðåìà 5.5. (Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå Áåðíóëëè.)  íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì äëÿ ∀ ε > 0 áóäåò:   m lim P − p < ε = 1, n→∞ n çäåñü m  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ. m Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó â âèäå n ξ1 + . . . + ξn îòíîøåíèÿ , ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξi = 1, åñëè â i-ì n èñïûòàíèè ïîÿâèëîñü ñîáûòèå A. Òàáëèöà 5.1 ξi pi 1 p 1−p Äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn âûïîëíÿåòñÿ ñëåäñòâèå 5.1, ò.ê. M (ξ1 ) = M (ξ2 ) = . . . = p, D(ξ1 ) = D(ξ2 ) = . . . = pq 6 1. Íà îñíîâàíèè ñëåäñòâèÿ 5.1 ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5.5. Òåîðåìà 5.5 äà¼ò òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ñòàòèñòè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè, ò.ê. óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè áîëüøîì ÷èñëå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíû çíà÷èòåëüíûå îòêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû ñîáûòèÿ A îò âåðîÿòíîñòè p åãî ïîÿâëåíèÿ â êàæäîì èñïûòàíèè. 110 Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Èç çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë íå ñëåäóåò, ÷òî ïðè n → ∞ ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâåí êàêîìó-òî ÷èñëó (ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé). Îáû÷íîå ïîíÿòèå ïðåäåëà íåïðèìåíèìî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . . ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ÷èñëó a, åñëè äëÿ ∀ ε > 0 áóäåò: lim P (|ξn − a| < ε) = 1. n→∞ Èòàê, çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå ×åáûøåâà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåë¼ííûõ óñëîâèé ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè n → ∞. Ñàìîñòîÿòåëüíî ñôîðìóëèðóéòå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå Áåðíóëëè, èñïîëüçóÿ ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. 5.5. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Èçâåñòíî, ÷òî íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíû íà ïðàêòèêå, ÷òî è îáúÿñíÿåò èõ íàçâàíèå.  ÷¼ì ïðè÷èíà ýòîãî? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¼ò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ ðóññêèì ìàòåìàòèêîì À.Ì. Ëÿïóíîâûì. Òåîðåìà 5.6. (Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà.) Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζn ÿâëÿåòñÿ ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëÿïóíîâà, òî ζn èìååò ðàñïðåäåëåíèå, áëèçêîå ê íîðìàëüíîìó:   ζn − An lim P < x = 0,5 + Φ(x), n→∞ Bn n n X X ãäå ζn = ξ1 + . . . + ξn , An = M (ζn ) = M (ξi ) = ai , i=1 Bn2 = D(ζn ) = n X i=1 D(ξi ) = n X i=1 b2i , 1 Φ(x) = √ 2π Zx i=1 t2 e− 2 dt. Óñëîâèå Ëÿïóíîâà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: (1) Âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå. (2) Âñå äèñïåðñèè D(ξ1 ), D(ξ2 ), . . . êîíå÷íû è îòëè÷íû îò íóëÿ. Ëåêöèÿ 5. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. n X (3) lim n→∞ M ξi − M (ξi ) i=1  Pn i=1 111 2+δ  2+δ 2 = 0 äëÿ íåêîòîðîãî δ > 0. D(ξi ) ζn − An êàæäîå Bn ñëàãàåìîå îêàçûâàåò íà ñóììó ìàëîå âëèÿíèå. Ìû ïðèìåì ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà. Óñëîâèÿ Ëÿïóíîâà ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî â ñóììå