Нормальное распределение

1.2.3. Нормальное распределение Нормальное распределение используется в качестве модели безотказности для периода постепенных (износовых) отказов. Плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) при нормальном распределении N Tcp ; T имеет вид:    (t )  1  t Tcp  2 2 T2 , tR 2 T Это распределение зависит от двух параметров: среднего времени безотказной работы Tср и среднего квадратического отклонения  T . Нормально распределенная случайная величина может принимать любые значения, в том числе и отрицательные. Наработка до первого отказа T неотрицательная случайная величина. Чтобы это условие выполнялось, рассматривают нормальное распределение, для параметров которого выполняется условие Tср  T (по крайней мере Tср  3 T ). В этом случае значения плотности распределения  (t ) при t  0 малы, и ими можно пренебречь. Функция надежности (вероятность безотказной работы) в случае нормального распределения равна: p(t )  P  t  T   1 2 T x  e t t Tcp  e 2    Tcp   t  Tcp  dt           T   T   t  Tcp   0,5      T   2 T2 2 u  1 Здесь   x   e 2 du - функция Лапласа, значения которой  2 0 определяются по таблице 1. При определении значения функции Лапласа аргумент функции округляется до сотых. Кроме того, функция Лапласа обладает следующими свойствами: 1) ( x)  ( x) , 2) ( x)  0,5 при x  5,0 T  Тогда при выполнении условия Tср  T   cp   0,5 и p  0   1  T  (функции надежности обладает необходимым свойством). При Tср  T вероятность отказа на временном интервале  0;t  (функция ненадежности) равна   t  Tcp    t  Tcp  q(t )  1  p(t )  1   0,5     0,5       T    T   1 Вероятность того, что отказ объекта наступит не ранее момента T1 , но не позднее момента T2 T T  T T  P T1  t  T2     2 cp     1 cp   T   T  Интенсивность отказов  (t )  t Tcp  2 2 1 e 2 T p(t )   t  Tcp   0,5       2 T   T   Вероятность того, что, проработав безотказно в течение времени T1 , объект проработает еще в течение времени T2 в случае нормального распределения T T T  0,5    1 2 cp  p T1  T2  T   p T1;T2    p T1  T T  0,5    1 cp   T  Вероятность того, что, проработав безотказно в течение времени T1 , объект откажет в течение времени T2 в случае нормального распределения T T T  T T T  T T  0,5    1 2 cp    1 2 cp     1 cp  T T      T  q T1;T2   1  p T1;T2   1  T T  T T  0,5    1 cp  0,5    1 cp   T   T   (t )   2 Таблица 1 Значения функции ( x)  x 1 e  2 x2  2 dx х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2258 0,2580 0,2881 0,3160 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2612 0,2910 0,3186 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054 0,2389 0,2704 0,3000 0,3264 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2127 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3079 0,3340 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2518 0,2823 0,3106 0,3365 0,0359 0,0754 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4485 0,4582 0,4664 0,4732 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4430 0,4535 0,4625 0,4700 0,4762 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,4773 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4778 0,4826 0,4865 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4983 0,4788 0,4831 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4980 0,4985 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4886 3,1 3,6 0,4990 0,4998 3,2 3,7 0,4993 0,4999 3,3 3,8 0,4996 0,4999 3,4 3,9 0,4997 0,4995 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0,49865 0,49977 0, 499968 0, 499997 0,499999997 3 Пример. Наработка до отказа объекта имеет нормальное распределение. Среднее время безотказной работы Tcp  70 суток, среднее квадратическое отклонение  T  8 суток. Вычислить вероятность того, что 1) объект проработает безотказно более 87 суток; 2) объект проработает безотказно менее 63 суток; 3) объект проработает безотказно более 55, но менее 75 суток; 4) объект, проработав безотказно 65 суток, откажет в течение следующих 10 суток; 5) объект, проработав безотказно 75 суток, откажет в течение следующих 10 суток. Решение. По условию наработка надо отказа объекта имеет распределение N  70;8 . Тогда  87  70  1) p  87   0,5      0,5    2,13  0,5    2,13  8  По таблице 1   2,13  0,4831, следовательно, p 87   0,5  0,4831  0,0169  68  70  2) q  68  0,5      0,5    0,25   8  По свойствам функции Лапласа   0,25    0,25 , следовательно, q  68  0,5    0,25  0,5  0,0987  0,4013  75  70   55  70  3) P  55  t  75           0,63    1,88   8   8     0,63   1,88  0,2357  0,47  0,7057  75  70  0,5     p  75 8  0,5    0,63 0,5  0,2357      4) p  65;10   p  65  65  70  0,5    0,63 0,5  0,2357 0,5      8  0,2643   0,3592 0,7357  85  70   75  70       8   8    1,88     0,63  5) q  75;10    0,5    0,63  75  70  0,5      8  4  0,47  0,2357 0,2343   0,8865 0,5  0,2357 0,2643 Пример. Два блока предохранителей с нормальным распределением наработки до отказа имеют значения средней наработки Tcp1  600 ч. и Tcp 2  700 ч., средние квадратические отклонения наработки до отказа  T 1  80 ч. и  T 2  200 ч. Сравнить надежность изделий по показателю вероятности безотказной работы в течение 500 часов. Решение Для первого блока вероятность безотказной работы  500  600  p  500   0,5      0,5    1,25  0,5   1,25   0,5  0,3944  0,8944 80   А для второго блока  500  700  p  500   0,5      0,5    1  0,5   1,25  0,5  0,3413  0,8413  200  Следовательно, надежность первого блока в течение 500 часов выше. Пример. Наработка на отказ подшипника имеет нормальное распределение с параметрами Tcp  1200 ч и  T  250 ч. В течение какой наработки подшипник будет функционировать с надежностью 0,95, Решение По условию  t  1200  p  t   0,5      0,95 .  250  Тогда  t  1200     0,45 .  250  По таблице 1 найдем значение аргумента x , для которого   x   0,45 : x  1,65 . Следовательно, t  1200  1,65  t  1,65  250  1200  787,5 ч 250 Пример. Наработка на отказ батареи аккумуляторов постоянного тока имеет нормальное распределение с параметрами Tcp  30 ч и  T  4 ч. 1) Какова вероятность безотказной работы батареи в течение 25 ч? 2) Батарея аккумуляторов непрерывно использовалась в течение 30ч. Какова вероятность того, что батарея проработает еще 4ч? 3) Когда необходимо заменить батарею аккумуляторов, чтобы гарантировать, что вероятность отказа батареи не превысит 15%? 5 Решение  25  30  1) p  20   0,5      0,5    1,25  0,5   1,25  4    0,5  0,3944  0,8944  34  30  0,5     p  34  4  0,5   1 0,5  0,3413  2) p  30;4       0,3174 p  30  0,5  30  30  0,5    0  0,5      4   t  30  3) q(t )  0,5      0,15  4   t  30   t  30     0,35        1,04   4   4  Функция Лапласа возрастающая. Следовательно, t  30  1,04  t  1,04  4  30  25,84  26 ч. 4 Батарею нужно заменить не позднее, чем через 26 часов. 6