Неопределенный интеграл

Лекции «Математический анализ» 2 семестр 1. Неопределенный интеграл 1.1. Первообразная и неопределённый интеграл Ставится задача: дана функция f ( x) , требуется найти такую функцию F ( x ) , производная которой равна f ( x) [1]. Определение. Функция , дифференцируемая на промежутке , производная от которой равна заданной функции , называется первообразной функции на этом промежутке, т.е. (1) Пример 1. Найти первообразную от функции Решение. Ясно, что производная функции равна . Однако, первообразной будет и функция где C – постоянная, так как Теорема. Если и (x) – две первообразные от функции на промежутке , то разность между ними равна постоянному числу. Доказательство. В силу определения первообразной имеем: F1( x )  f ( x ), F2( x )  f ( x ) при любом значении x на заданном отрезке. Рассмотрим разность F1 ( x )  F2 ( x ) и перейдем к еѐ производной  F1 ( x)  F2 ( x)   F1( x)  F2( x)  f ( x)  f ( x)  0 . Но из равенства производной нулю следует, что функция есть постоянная. Из теоремы следует, что если для данной функции найдена какаянибудь одна первообразная , то любая другая первообразная имеет вид , где Множество всех первообразных данной функции называют неопределѐнным интегралом и записывают в виде: ∫ Функция в этом выражении называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением. Операция отыскания первообразной по еѐ производной называется интегрированием функции . Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию: если при дифференцировании по известной функции находят еѐ производную, то интегрируя, по производной находят первообразную. 1.2. Свойства неопределённого интеграла Сначала перечислим свойства неопределѐнного интеграла, вытекающие из его определения. 1. Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции. Действительно, (2) ∫ 2. Дифференциал от неопределѐнного интеграла равен подынтегральному выражению. Из (2) следует ∫ 3. Интеграл от производной первообразной функции равен сумме первообразной и произвольной постоянной. ∫ 4. Интеграл от дифференциала первообразной функции равен сумме первообразной и произвольной постоянной. ∫ 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. ∫ ∫ 6. Интеграл от суммы конечного числа функций, имеющих первообразную, равен сумме интегралов от слагаемых функций. В случае двух функций ∫ ∫ ∫ Покажем это: ∫ откуда (x), аналогично, ∫ (x). Значит, ( ) откуда следует ∫( ) ∫ ∫ 7. Интеграл от линейной комбинации интегрируемых функций равен линейной комбинации интегралов. ) ∫( ∫ ∫ . ∫ Это свойство является следствием свойств 5 и 6. 1.3. Таблица основных интегралов ∫ ∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ | ∫ ∫ ∫ | | √ √ ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ ∫ √ | √ | | ( | | )| | ∫ ∫ 2. Методы интегрирования Задача интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к табличным интегралам на основании свойств неопределѐнного интеграла и методов интегрирования. Эта задача может быть решена не для любых подынтегральных функций. Так, например, в элементарных функциях не могут быть выражены интегралы ∫ ∫ ∫√ и многие другие. Опишем основные приѐмы и методы интегрирования. 2.1. Подведение под знак дифференциала Операция подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменной [1] и основана на формуле дифференциала функции в частности, 1. 2. это позволяет свести исходный интеграл к одному из табличных. Рассмотрим примеры. Пример 2. Найти ∫ Решение. Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет стоять аргумент таким образом ∫ ∫ Пример 3. Найти ∫ Решение. Для сведения интеграла к табличному необходимо под знаком дифференциала получить аргумент подынтегральной функции . Используя свойство дифференциала, запишем ∫ ∫ Пример 4. Найти ∫ Решение. Используя свойства дифференциала, под знаком дифференциала получим аргумент подынтегральной функции: ∫ ∫ ∫ ∫ Пример 5. Найти ∫ Решение. Согласно определению дифференциала поэтому исходный интеграл перепишем в виде ∫ ∫ Введѐм переменную интеграл ∫ Легко убедиться, что получен табличный ∫ Возвращаясь к старой переменной интегрирования, получим ∫ 2.2. Метод замены переменной Воспользуемся теоремой об инвариантности формул интегрирования [1]. Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если ∫ то и ∫ где – любая дифференцируемая функция от . Метод замены переменной позволяет использовать основную таблицу интегралов независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией ее. Пример 6. Найти интеграл ∫ Решение. Положим , тогда , Осуществим замену ∫ | | Возвращаясь к старой переменной , получим | ∫ | Отметим, что в процессе замены переменной под знаком интеграла, функцию приходится разрешать относительно и дифференцировать. По этой причине подстановку можно осуществить только при условии, что является строго монотонной и дифференцируемой функцией. Пример 7. Найти интеграл ∫ . Решение. Очевидная замена переменных в этом интеграле Проведем ее: ∫ | | | | ∫ ∫ Пример 8. Найти интеграл ∫ Решение. Сделаем замену ∫ | | ∫ ∫ ∫ . Пример 9. Найти интеграл ∫ Решение. Заменим ∫ √ | √ √ √ √ √ ∫ | ∫ √ . Метод разложения Метод основан на сведении подынтегральной функции к линейной комбинации функций с последующим использованием свойств неопределенного интеграла. При этом используются формулы сокращенного умножения, тригонометрические зависимости, а также искусственные приемы. Пример 10. Найти ∫ √ . Решение. Возведя подынтегральную функцию в квадрат, получим ее линейную комбинацию ∫ ∫ √ √ . Использование свойств интеграла позволяет представить полученный интеграл в виде суммы трех интегралов: ∫ ∫√ Пример 11. Найти ∫ ∫ . Решение. Воспользуемся тригонометрической формулой и запишем интеграл в виде ∫ ∫ ∫ Пример 12. Найти ∫ . Решение. Учитывая, что , преобразуем данный интеграл следующим образом: ∫ ∫ ∫ ∫ . Пример 13. Найти ∫ . √ Решение. Для вычисления данного интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на выражение, сопряженное знаменателю: (√ (√ √ ) (√ )(√ ) √ ) , тогда ∫ ∫(√ √ ∫ ) ∫√ ∫ √ 2.4. Интегрирование по частям Пусть даны две непрерывно дифференцируемые функции Рассмотрим произведение и найдем его дифференциал: . Проинтегрировав полученное выражение и . ∫ ∫ ∫ , получим ∫ ∫ или ∫ ∫ (1) Полученная формула (1) называется формулой интегрирования по частям и применяется в случаях, когда интеграл ∫ найти проще, чем ∫ . Пример 14. Найти ∫ . Решение. Применим формулу интегрирования по частям: ∫ | ∫ | Перечислим некоторые виды интегралов, к которым применим данный метод. 1. Под знаком интеграла произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функции: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , где – многочлен степени n. В качестве u выбирается многочлен. Пример 15. Найти ∫ Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: | ∫ | ∫ ∫ | | ∫ ∫ ∫ 2. Вычисление интегралов вида: ∫ ∫ где m – целое, положительное число. Интегралы такого вида вычисляются по частям, причем, в качестве u выбирается логарифмическая функция Пример 16. Вычислить интеграл ∫ Решение. ∫ | | ∫ 3. Вычисление интегралов вида: ∫ ∫ В данном случае в качестве функции. Пример 17. Найти ∫ ∫ ∫ выбирают обратные тригонометрические Решение. | ∫ ∫ ∫ | ∫ ( ) ∫ ∫ 4. Вычисление круговых интегралов вида: ∫ ∫ Применяя дважды формулу интегрирования по частям, причем обозначая буквой функции одного типа (показательную или тригонометрическую), получим уравнение, из которого выражается искомый интеграл. Пример 18. Вычислить ∫ Решение. Применим изложенное правило: ∫ | | ∫ | ∫ | Записывая уравнение, получаем: ∫ ∫ откуда ∫ Окончательный ответ 2.5. Интегрирование дробно-рациональных функций Напомним некоторые определения. Определение 1. Функция называется алгебраической, если ее значение можно получить, производя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, умножений, делений и возведений в степень с рациональным показателем. Определение 2. Алгебраическая функция называется рациональной, если среди действий, которые производятся над независимой переменной, отсутствует извлечение корня. Обозначение рациональной функции Наиболее простыми рациональными функциями являются целые рациональные функции (многочлены). Если рациональная функция имеет вид где и – многочлены, она называется дробно-рациональной. Если степень многочлена меньше степени , то рациональная дробь называется правильной. многочлена Если степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя дроби, то такая дробь называется неправильной. 2.5.1. Выделение целой части Всякая дробно-рациональная функция в области ее определения представима в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби: Пример 19. Представить дробь в виде многочлена и правильной рациональной дроби Решение. Для представления данной неправильной дроби в виде многочлена и правильной рациональной дроби разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя : Заметим, что многочлен называется целой частью. Прием выделения целой части используется при интегрировании неправильных дробей. Пример 20. Найти ∫ Решение. Для выделения целой части разделим многочлен на многочлен , в результате чего подынтегральная функция запишется в виде: Следовательно, ∫ ∫ ∫ | | 2.6. Интегрирование элементарных рациональных дробей Интегрирование правильной рациональной дроби основано на разложении ее на элементарные дроби: Рассмотрим интегрирование элементарных дробей 1-го и 2-го типов. 1. Найти ∫ ∫ | ∫ | Найти ∫ 2. ∫ ∫ При интегрировании дробей 3-го и 4-го типов, содержащих квадратный трехчлен, предварительно проводится операция выделения полного квадрата: ( ) Если табличные интегралы. Если линейную подстановку ( ) ( ) то после выделения полного квадрата получим то после выделения полного квадрата применим Пример 21. Найти ∫ Решение. ∫ ∫ √ √ Пример 22. Найти ∫ Решение. Выделив в знаменателе полный квадрат, произведем замену переменной: | | ∫ ( ) | | ∫ ∫ | | | ( ) | ∫ | | ∫ | | | | 2.7. Интегрирование правильных рациональных дробей с использованием метода неопределенных коэффициентов Разложение правильной рациональной дроби на элементарные полностью определяется корнями знаменателя, при этом возможны четыре случая, которые рассмотрим на примерах. Случай 1. Корни знаменателя действительные и различные. Пример 23. Найти ∫ Решение. Многочлен знаменателя имеет действительные корни поэтому разложение правильной рациональной дроби на элементарные имеет вид Из равенства дробей следует равенство многочленов числителей: Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения откуда Следовательно, ∫ ∫ ∫ | | | | Случай 2. Корни знаменателя действительные, среди которых имеются кратные. Пример 24. Найти ∫ Решение. Разложив знаменатель на множители заметим, что корни и являются кратными, поэтому разложение подынтегральной функции на элементарные дроби имеет вид Для определения коэффициентов приведем дроби к общему знаменателю. Из равенства рациональных дробей имеем Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений Полученная система имеет решение: Следовательно, ∫ ∫ | | ∫ | | ∫ | ∫ ∫ | Случай 3. Среди корней знаменателя имеются комплексно-сопряженные. Пример 25. Найти ∫ Решение. Разложение подынтегральной функции на элементарные дроби имеет вид Система уравнений для определения коэффициентов разложения Решив систему, найдем Следовательно, ∫ ∫ ∫ ∫ | | | | | | Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексносопряженные. В этом случае знаменатель содержит многочлены вида: где (целое положительное число), а , что приводит к интегрированию дробей 4-го типа: ∫ Необходимо отметить, что в процессе вычисления появляются интегралы вида ∫ которые после выделения в знаменателе полного квадрата запишутся ∫ 3. Интегрирование рациональных выражений, содержащих тригонометрические функции Рассмотрим интегрирование рациональных функций, аргументами которых являются тригонометрические функции 3.1. Универсальная тригонометрическая подстановка Для вычисления интеграла от рациональной функции ∫ рекомендуется подстановка , которая носит название универсальной тригонометрической подстановки. Тригонометрические функции выражаются через переменную : Производя универсальную тригонометрическую подстановку, получим интеграл вида ∫ ∫ Решение. Произведем в интеграле универсальную подстановку: ∫ | | | | | | ∫ ∫ ∫ ∫ | | | | ∫ Решение. Осуществим замену переменных ∫ | | . | | ∫ √ √ √ ∫ √ Универсальная тригонометрическая подстановка приводит к интегралу от рациональной функции всегда, однако, в некоторых случаях другие подстановки приводят к более простым интегралам. Укажем некоторые из таких случаев. 3.2. Интегрирование тригонометрических функций в четных степенях Интегралы вида ∫ , в которых все показатели степени четные, сводятся к интегралам от рациональной функции ∫ заменой переменных или ∫ Решение. Отметим, что в интеграле содержатся только четные степени так что произведем замену | | | | ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Решение. Сделаем подстановку | | ∫ ∫ | ∫ Пример 31. Вычислить ∫ Решение. Произведѐм замену | ( ) ∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫ 3.3. Интегрирование произведения синуса и косинуса в различных степенях Рассмотрим случаи интегрирования выражений ∫ : 3.3.1. Если одно из чисел m или n целое, положительное, нечѐтное, пусть, например, то подынтегральную функцию можно представить в виде ∫ ∫ | | ∫ ∫ Если нечѐтным является число n, то в интеграле следует сделать замену Пример 32. Вычислить интеграл ∫ Решение. Отметим, что в интеграле имеет степень 3, то есть нечѐтную, целую, положительную. Следовательно, внесѐм под знак дифференциала. Получаем ∫ ∫ ∫ ∫ 3.3.2. Если оба числа m и n целые, положительные, чѐтные, то подынтегральное выражение следует преобразовывать с помощью формул понижения степени: Пример 33. Найти интеграл ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ В первом интеграле следует снова применить формулу понижения степени, а второй интеграл имеет тип, рассмотренный в п.4.3.1. Так что применим известные правила: ∫ ∫ ∫ ( * ∫ 3.3.3. Если n и m таковы, , т.е. их сумма есть число чѐтное и отрицательное, то удобно воспользоваться подстановкой либо ∫ √ Решение. В этом случае подынтегральная функция имеет вид ⁄ так что Применим подстановку | ∫ ⁄ ( * | ⁄ ( * √ ⁄ | ( ∫ ) ⁄ ⁄ ⁄ ( ∫ ⁄ ( | * ⁄ ⁄ √ ) 3.3.4. Часто интегралы вида ∫ вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся с помощью формулы интегрирования по частям. ∫ Решение. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Первый интеграл вычислим путѐм интегрирования по частям | | ∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫ Тогда для вычисления искомого интеграла получаем рекуррентную формулу: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( | | 3.4. Интегралы от произведения косинуса и синуса Для вычисления интегралов вида ∫ ∫ ∫ подынтегральные функции предварительно преобразуются с помощью формул: Следовательно, ∫ ∫ ( ∫ ) ∫ ( ∫ ) ∫ * ( ) Пример 36. Вычислить ∫ Решение. Воспользуемся приведѐнными формулами ∫ ∫ ( * Интегрирование рациональных выражений, содержащих гиперболические функции производится аналогично, используя следующие формулы: √ √ 4. Интегрирование иррациональных выражений Рассмотрим , интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций. ∫ ( √ ) рациональная функция своих аргументов производится подстановкой с помощью которой искомый интеграл приводится к интегралу от рациональной функции аргумента t. ∫√ Решение. В соответствии с изложенным правилом произведѐм замену переменных ∫√ | | ∫ ∫ ∫ ∫ (√ (√ ) ) 4.2. Для вычисления интегралов вида ∫ ( ( * ( * ( * ) целые числа, следует воспользоваться подстановкой общий знаменатель дробей здесь n – С помощью этой замены переменной интеграл сводится к интегралу от рациональной функции от t. ∫ √ √ Решение. Произведѐм подстановку следовательно, ∫ √ √ ∫ тогда ∫ ∫( | √ √ √ * | |√ | 4.3. Вычисление интегралов вида ∫ где R рациональная функция своих аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок. Для этого выделяют полный квадрат в квадратном трѐхчлене ( ( (( * и производят замену * ( ( * ) )) В зависимости от знаков коэффициента a и дискриминанта D=b2-4ac различают три случая. ∫ ( √ ) ∫ ( | √ | ) √ ∫ ( ) К интегралу от рациональной функции, аргументами которой являются тригонометрические функции. Действительно, ∫ ( √ ) ∫ ( | | √( ∫ ( * * ∫ ) ∫ √ Решение. Выделим полный квадрат: √ ∫ ( √ ) ∫ √ | ∫ | √ ∫ || √ √ √ √ √ ∫ || ∫ √( √ ) √ | ( | ( *| ∫ ( √ ) | √ ∫ ( )| | ) √ ∫ ( ∫ ( √ ) ∫ ( ∫ ( | ) | √ ) * ∫ ∫ ( √ ) ∫ √ Решение. Выделим полный квадрат: Используем подстановку ∫ теперь находим √ ∫ | √ | | ∫ √ ∫√ | ∫ Последний интеграл представим в виде разности двух табличных интегралов ∫ ∫ ∫ | ( *| Осуществляя обратные подстановки, получим: ∫ √ ( ∫ ( ) √ | ( )| ) интегралу от рациональной функции тригонометрических аргументов подстановкой ∫ √ Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трѐхчлене, получаем: Подставляя , имеем ∫ ∫ √ √ Осуществим теперь тригонометрическую подстановку ∫ | √ ∫ 4.4.4. Случай трѐхчлена √ , получаем: | ∫ √ неосуществим, так как при этом знак квадратного всегда отрицателен и, следовательно, выражение не имеет смысла. Отметим в заключение, что в интегралах вида ∫ Возможны также подстановки в виде гиперболических функций, приводящие к интегралам от рациональной функции, аргументами которой являются выражения, содержащие гиперболические функции: ∫ ( √ ) ∫ ( √ ) ∫ ( √ ) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бугров, Я.С. Высшая математика: Учеб. для вузов в 3-х томах. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2009. – 512 с. 2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. /Г.Н. Берман. – М.: Профессия, 2007. – 432 с. 3. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. – 528 с.