Натуральный ряд; формирование определения

Лекция 2. Натуральный ряд Формирование определения Использование натуральных чисел при счете формирует представление о них как о бесконечно длинном «числовом строе» с единицей «во главе»: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, . . . Постараемся сформулировать наиболее существенные свойства этого «числового строя» и его описание примем за аксиоматическое определение натурального ряда. Замечаем, что взаимное расположение чисел можно охарактеризовать с помощью словосочетания «непосредственно следует за». Так, за 1 непосредственно следует 2, за 2 непосредственно следует 3, и так далее. Помечая отношение «непосредственно следует за» значком «штрих», можно записать: , , ... Рассматриваемое множество натуральных чисел обозначим через . Отметим в нем наличие первого числа – и это даст нам первую аксиому, описывающую натуральный ряд: в существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом. Далее, видим, что за каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число – это вторая аксиома натурального ряда. Третья аксиома подмечает, что всякое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом, учитывая, что 1 не следует ни за каким натуральным числом. Наконец, четвертая аксиома дает признак, когда подмножество натуральных чисел совпадает со всем множеством . Она утверждает, что если подмножество содержит единицу (первое условие) и вместе с каждым своим числом содержит непосредственно следующее за ним число (второе условие), то должно совпадать с . К такому заключению нас приводят следующие рассуждения. По первому условию , но тогда по второму условию , так как 2 непосредственно следует за 1; снова по второму условию заключаем, что , и так далее. Таким образом, мы убеждаемся, что . Четвертая аксиома формализует метод рассуждений по принципу «и так далее». Кроме того, эта аксиома, как будет показано в дальнейшем, позволяет обосновать доказательства по индукции, поэтому ее называют аксиомой индукции. Итак, натуральный ряд описывается четырьмя подмеченными аксиомами, которые называются аксиомами Пеано по имени итальянского математика Дж. Пеано (1858-1932). Сформулируем строгое определение натурального ряда. Определение. Натуральным рядом называется система с основным множеством , элементы которого называются натуральными числами, бинарным отношением «штрих», которое записывается в виде , читается: « непосредственно следует за », причем выполняются следующие аксиомы Пеано: . В существует элемент 1, называемый единицей, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом, то есть для любого . . За каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число. Другими словами, для всякого существует такое, что , причем, если , то . . Каждое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом, то есть для любых , если , то . . (Аксиома индукции). Пусть подмножество удовлетворяет следующим условиям: 1) (другими словами, содержит элемент, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом); 2) для любого натурального числа , если , то . Тогда совпадает с . Подчеркнем абстрактный характер определения натурального ряда. Множество может быть любой природы, отношение «штрих» может быть как угодно задано, но если выполняются аксиомы Пеано, то система является натуральным рядом. Так, натуральным рядом можно было бы назвать номерки на бесконечно длинной вешалке, бесконечно длинный поезд с локомотивом в начале поезда, бесконечную очередь за дефицитом с первым счастливчиком в начале очереди, и так далее. С натуральным рядом тесно связано понятие последовательности. Определение. Пусть – непустое множество. Всякое отображение называется последовательностью. Образ элемента при отображении называется -ым членом последовательности. Если для любого , то последовательность записывается в виде . Кратко: последовательностью называется функция натурального аргумента. Всякую последовательность можно превратить в натуральный ряд, введя отношение непосредственного следования естественным образом: для любого . Если – множество всех членов последовательности, то система , очевидно, удовлетворяет всем аксиомам Пеано, а значит, является натуральным рядом. Здесь «единицей» будет первый член последовательности , за «единицей» непосредственно следует «натуральное число» , и так далее. Принцип полной математической индукции Аксиома индукции служит для обоснования мощного метода доказательства теорем, который основан на следующем утверждении. Теорема. (Принцип полной математической индукции.) Предложение с переменной верно для любого натурального числа , если выполнены следующие условия. 1) Это предложение верно для , то есть истинно. 2) Каково бы ни было натуральное число , из предположения о том, что это предложение верно для , следует, что оно верно для непосредственно следующего натурального числа , то есть если истинно, то и истинно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через множество всех натуральных чисел, для которых истинно: истинно}. Из условия 1) следует, что . Пусть натуральное число . Тогда истинно и, по условию 2), должно быть истинно , а значит . Таким образом, оба условия аксиомы индукции выполнены, следовательно, . Но это и означает, что верно для любого . Доказательство на основании принципа полной математической индукции называется доказательством методом полной математической индукции. При этом, говорят кратко: докажем индукцией по . Проверка истинности утверждения называется началом индукции, предположение об истинности называется индуктивным предположением, а доказательство истинности , исходя из истинности , называется шагом индукции. Эта терминология восходит к наглядному представлению о процессе доказательства по индукции, изображенному на рисунке 8. Приведем типичный пример доказательства по индукции и обсудим технику записи доказательства. Пример. Докажите, что сумма первых нечетных натуральных чисел равна . В нашем случае утверждение имеет вид: . Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) . Проверим, что . Очевидно, это равенство верно. 2) Пусть . Докажем, что . Имеем: =.  Выделенный курсивом текст составляет «бланк доказательства». Если убрать все остальное, то «бланк» готов для нового заполнения – доказательства нового утверждения. В пункте 1) запись получается из предложения формальной заменой всюду на 1. В пункте 2) запись «пусть ..., докажем, что...» понимается как «пусть истинно для фиксированного , докажем, что истинно». При этом, получается из чисто формально: заменой на . Момент использования индуктивного предположения полезно выделять, помечая буквами «и.п.». Преобразования после использования индуктивного предположения можно охарактеризовать как «подгонка под ответ», так как. речь идет о получении заранее сформулированного результата. Такая стандартизация доказательства по индукции позволяет выполнять его почти автоматически. Единственный момент, требующий размышлений, – это «подгонка под ответ». Упражнения 1. Докажите, что каждая из приведенных ниже систем удовлетворяет аксиомам Пеано, а значит является натуральным рядом. 1) , где , . 1) , где , . 2) , где , . 3) , где , . 4) , где для любого 2. Запишите аксиомы Пеано с помощью символов математической логики. 3. Докажите, что сумма первых натуральных чисел равна , сумма квадратов первых натуральных чисел равна и сумма кубов первых натуральных чисел равна . Заметим, что из первого и третьего утверждений получаем тождество аль-Караджи (Х в.): . 4. Докажите, что для любого натурального числа : 1) ; 2) ; 3) . 5. Индукцией по докажите формулу Муавра: . 6. Индукцией по докажите, что для любых натуральных чисел и существуют целые неотрицательные числа и такие, что , причем . 7. Докажите, что для любого действительного числа и любого натурального . 8. Докажите, что , где – положительные действительные числа. (Указание. Для перехода от к докажите, что из предположения об истинности формулы для следует истинность ее для и для . Для перехода от к найдите число такое, что = =). 9. Найдите ошибку в «доказательстве» того, что все натуральные числа равны. Для доказательства этого неверного утверждения индукцией по докажем, что «в любом -элементном подмножестве натуральных чисел все числа равны между собой». Очевидно, утверждение верно при . Пусть оно верно для , докажем его для . Рассмотрим произвольное -элементное подмножество натуральных чисел . По индуктивному предположению все числа подмножества равны между собой и равны числу . Также по индуктивному предположению все числа подмножества равны между собой и равны числу . Следовательно, все числа подмножества равны между собой. Утверждение доказано.