Миноры

1 Сначала рассмотрим вспомогательные понятия. Назовём строки и столбцы рядами матрицы. Из матрицы А размера m × n можно получить вычёркиванием произвольных рядов квадратные матрицы размера k × k , где k ≤ min ( m, n ) . Определители таких квадратных матриц называют минорами порядка k и обозначают Mk . Например из матрицы А размера 3 × 4 можно получить квадратные матрицы размера 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 . Их определители будут соответственно минорами I,II и III порядка.  2 1 4 2   Пример. Рассмотрим матрицу A =  3 5 7 1  и найдём её миноры. 9 8 0 6   • Миноры I порядка – все элементы матрицы: M1 = 2, M1 = 3 и т.д. • Миноры II порядка получим, вычёркивая из А любую строку и 2 столбца, например, вычеркнули III строку и III и IV столбцы получили минор M2 = 2 1 =7 . 3 5 При вычеркивании II строки и I и III столбцов получим минор M2 = 1 2 = −10 и т.д. 8 6 • Миноры III порядка получим, вычёркивая из А любой столбец, например, 2 4 2 второй: M = 3 7 1 = 84 + 36 − 126 − 72 = −78 . 3 9 0 6 Рангом матрицы А называют наивысший порядок её отличных от нуля миноров. Ранг обозначают r ( A ) или rang ( A ) . Из определения следует: 1. Ранг не превосходит меньшего из размеров матрицы: r ( A ) ≤ min ( m, n ) ; 2. r ( A ) = 0 только, когда все элементы матрицы равны нулю; 3. r ( A ) = n для квадратной матрицы порядка n, если её определитель ∆ ≠ 0 . 2 Базисным называют каждый отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Таких миноров может быть несколько. 2  Пример. Найти ранг матрицы: A =  3  1 4 6 −3 0  0 .  0 Решение. Поскольку в данной матрице 3 строки и 4 столбца, её ранг не превзойдёт меньшего из этих чисел, т.е. r ( A ) ≤ 3 . Все миноры третьего порядка равны нулю, т.к. содержат нулевой столбец. Имеется отличный от нуля минор II порядка, его элементы выделены в матрице. M2 = 3 6 1 −3 = −15 ≠ 0 . Следовательно ранг матрицы r ( A ) = 2 . Этот минор – ба- зисный. Есть ещё базисный минор M2 = Не является базисным минор M2 = 2 4 = −10 ≠ 0 . 1 −3 2 4 = 0. 3 6 Находить ранг матрицы перебором всех её миноров долго. Для облегчения задачи используют преобразования матрицы, сохраняющие её ранг: 1. Отбрасывание нулевого ряда. 2. Умножение всех элементов ряда на число ≠ 0 . 3. Перестановка двух параллельных рядов. 4. Транспонирование матрицы. 5. Добавление к каждому элементу ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое число. Матрицы A и B называют эквивалентными и обозначают A ∼ B , если одна получается из другой этими преобразованиями. Ступенчатой называют матрицу, у которой элементы на главной диагонали отличны от нуля, а под диагональю – нули. Нули получают последовательно в I, II, и т.д. столбцах, двигаясь слева направо. Такая матрица схематично 3 изображена на рисунке:    i i i i    k  0 i i i  0 0 i i    0 0 0 i  k  i i i i i i i i   i  i. i  i   Способ нахождения базисного минора Нужно, используя преобразования, сохраняющие ранг матрицы, привести её к ступенчатому виду. Если в матрице останется k строк, то её ранг равен k , а первые k столбцов слева образуют базисный минор (он обведён на рисунке). 0  4 Пример. Дана матрица: A =  2  1 1  0 −2 5  . Найти её ранг и базисный минор. 2 4 3  3 7 2 4 10 Решение. Переместим вверх последнюю строку, чтобы получить для удобства единицу в верхнем левом углу матрицы. Будем получать под главной диагональю нули последовательно в первом, втором и т.д. столбцах и воспользуемся преобразованиями, не меняющими ранг матрицы. Справа от матрицы записываем действия, проводимые с соответствующими строками. 1  A∼ 4  2 3 7 2 1 3   4 10 1  0 4 ∼ 0 −2 5  III − IV ⋅ 2  0 −4   2 4 3  IV − I ⋅ 2  0 −4 1 3 7 2   0 4 10 1    ∼ ∼ 0 0 0 0       7 2  10 1  ∼ −10 −1  III + II  −10 −1  IV − III 1 3 7 2 . 0 4 10 1   Т.к. осталось 2 строки, то r ( A ) = 2 и слева автоматически получился базисный минор M2 = 1 3 = 4 ≠ 0 , который обведён. Имеются ещё базисные миноры 0 4 4 M2 = 1 7 0 10 = 10, M2 = 1 2 0 1 =1 . Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:  a 11 x 1+ a 12 x 2 + ... + a 1n x = b 1 n   a 21 x 1+ a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 .  i i i i i i i i i i i i   a x + a x + ... + a x = b mn n m  m1 1 m 2 2 (1) В матричной форме такая система записывается в виде A ⋅ X = B , где    A=    a 11 a 12 a 21 a 22 ... a m1 ... a m2 a 1n   ... a 2 n  ; ... ...  ... a mn   ...    X=    x1   b1     x2  b  2  ; B =  . ...  ...     xn b    m (2) Матрица А называется матрицей системы, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов. Запишем расширенную матрицу A , приписав к A справа столбец свободных членов B , который отделяем вертикальной чертой от основной матрицы.    A=    a 11 a 12 a 21 a 22 ... a m1 ... a m2 a 1n b 1   ... a 2 n b 2   ... ... ...  ... a mn b m   ... (3) Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, если ранг основной матрицы A совпадает с рангом расширенной A , т.е. r ( A ) = r ( A ) , в противном случае решений нет. Теорема 2. Система (1) имеет единственное решение, если ранг матрицы A равен числу неизвестных. Отметим, что для квадратной матрицы А это равносильно тому, что определитель матрицы не должен равняться нулю. 5 Теорема 3. Система (1) имеет бесконечное множество решений, если ранг матрицы A меньше числа неизвестных. Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса разбиваем требуемые действия на 4 этапа. 1. Одновременно вычисляем ранги матриц A и A . Для этого приводим расширенную матрицу A к ступенчатому виду, преобразуя только её строки. Если r ( A ) < r ( A ) , то система несовместна, решений нет. 2. Если r ( A ) = r ( A ) = n , то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти любым способом. Если r ( A ) = r ( A ) < n система имеет бесконечное множество решений. Находим базисный минор и оставляем только те уравнения, из которых он составлен, остальные отбрасываем. Главными или базисными называем неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, их оставляем слева. Остальные неизвестные называем свободными и переносим в правые части уравнений. Обозначаем свободные неизвестные греческими буквами α , β , γ и т.д. 3. Получаем общее решение системы, выражая главные неизвестные через свободные. 4. Находим частные решения системы, присваивая свободным неизвестным произвольные значения. Замечание. Поскольку при приведении матрицы к ступенчатому виду мы последовательно исключаем неизвестные (получая нули в соответствующих местах), метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных. Для системы с квадратной матрицей, определитель которой отличен от нуля, матрицу А преобразуют в единичную. При этом получение нулей под главной диагональю называется прямым ходом метода Гаусса, а над ней – обратным ходом. 6 2x + 7 x + 3x + x = 6 2 3 4  1 Пример. Исследовать и решить систему:  3 x + 5 x + 2 x + 2 x = 4 . 1 2 3 4  9 x1 + 4 x2 + x3 + 7 x4 = 2 Решение. Составляем расширенную матрицу и приводим её к ступенчатому виду: 2 7 3 1 6 2 7 3 1 6      A =  3 5 2 2 4  II ⋅ 2 − I ⋅ 3 ∼  0 −11 −5 1 −10  ∼  9 4 1 7 2  III − II ⋅ 3  0 −11 −5 1 −10  III − II     2  ∼ 0 0  7 3 −11 −5 1 6   2  1 −10  ∼   0  0 0   7 3 −11 −5  1 6  .  − 10 1   (1) Слева автоматически получился общий для A и A базисный минор M2 = 2 7 0 −11 = −22 , r ( A ) = r ( A ) = 2 . Для простоты расчётов удобнее выбрать другой общий базисный минор M2 = 2 1 0 1 = 2 , его элементы обведены в формуле  2 x + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6, (1). Берём уравнения, из которых он составлен.  1 0 ⋅ x1 − 11x2 − 5 x3 + x4 = −10. Главные переменные x1 и x4 оставляем слева, свободные x2 и x3 переносим вправо: (2) ( 3)  2 x + x = −7 x − 3 x + 6, 1 4 2 3  0 ⋅ x1 + x4 = 11x2 + 5 x3 − 10. Присвоим x2 и x3 произвольные значения: x2 = α , x3 = β . Найдём из уравнения(3): x4 = 11α + 5 β − 10 . Из уравнения (2): x1 = −7 x 2 − 3 x 3 − x 4 + 6 2 = −7α − 3β − 11α − 5 β + 10 + 6 = −9α − 4 β + 8. 2 Ответ: система имеет бесчисленное множество решений. 7 Общее решение:  x1 = −9α − 4 β + 8,   x2 = α ,   x3 = β ,  x = 11α + 5 β − 10.  4 (4) Частное решение: α = 1, β = 1, x1 = −5, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 6 . Замечание. Необходимо сделать проверку и подставить общее решение во все уравнения исходной системы. Привести подобные члены и убедиться, что правые части уравнений совпали. Проверка. Подставляем формулы (4) в исходную систему уравнений.  2 ( −9α − 4 β + 8 ) + 7α + 3 β + 11α + 5 β − 10 = 6,  Получим:  3 ( −9α − 4 β + 8 ) + 5α + 2 β + 2 (11α + 5 β − 10 ) = 4,  9 ( −9α − 4 β + 8 ) + 4 α + β + 7 (11α + 5 β − 10 ) = 2. Правые части совпали с исходными, решение верное.