Критерий устойчивости Рауса - Гурвица

Лекция №9. Критерий устойчивости Раусса - Гурвица. Было показано, что исследование устойчивости систем, описываемых характеристическими уравнениями высоких порядков, является сложной и трудоемкой работой. Однако эту задачу можно решить путем анализа соотношений между коэффициентами характеристического уравнения без определения сами корней уравнения. Таким образом, открывается возможность определения отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, и, следовательно, условия устойчивости системы, если известны только коэффициенты дифференциального уравнения, описывающего данную систему. Этот критерий позволяет определить устойчивость по коэффициентам уравнения системы. В основе этого критерия лежит теорема Гурвица, которая формулируется следующим образом: Для того, чтобы действительные части всех корней уравнения с действительными коэффициентами и an > 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители Δ1, Δ2,....., Δn, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме: и т. д. Доказательство этой теоремы можно найти во многих учебниках по линейной алгебре, напр. в книге: Курош А. Г. «Курс высшей алгебры», М.: Высшая школа, 1962 г. Сформулированное выше условие устойчивости часто называют критерием устойчивости Раусса – Гурвица. При составлении определителей по указанно схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются нулями. Таким образом, для анализа устойчивости системы из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель, называемый определителем Гурвица. Например, для характеристического уравнения 4-го порядка определитель Гурвица имеет вид: Для этого уравнения в первую строку определителя записываются все коэффициенты с нечетными индексами, во вторую – все коэффициенты с четными индексами. В третьей строке определителя опять записываются все коэффициенты нечетными индексами со сдвигом на один элемент вправо. В четвертой строке определителя опять записываются все коэффициенты с четными индексами со сдвигом на один элемент вправо. Следует иметь в виду, что при отсутствии какого-либо коэффициента, а также вместо коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля, пишется 0. Так как элементов нечетной степени старше третьей нет, то в элемент матрицы a31 записывается 0. Система автоматического регулирования устойчива, если определитель Гурвица, его главные диагональные миноры и все коэффициенты ai положительны. Главным диагональным минором Δ1 называется определитель вида: Главным диагональным минором Δ2 называется определитель вида: Главным диагональным минором Δ3 называется определитель вида: Очевидно, что главный диагональный минор Δ4 – это собственно определитель Гурвица. Так как последний столбец последний столбец определителя Гурвица Δn содержит единственный отличный от нуля элемент a0, то справедливо выполнение следующего равенства: Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости могут быть сформулированы следующим образом: Δ1 >0, Δ2 >0, ……. Δn-1 >0, a0 >0. Так, для характеристического уравнения второй степени эти условия выглядят следующим образом: Для уравнения третьей степени: то есть, a2 > 0; a2a1 > a3a0; a0 > 0. Для уравнения четвертой степени: Из третьего условия на основании четвертого и первого вытекает неравенство: Поэтому второе условие можно заменить условием Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости: Таким образом, кроме положительности коэффициентов, необходимо определить знаки всех главных диагональных миноров и собственно определителя Гурвица. Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв нулю последний главный диагональный минор при положительности всех остальных главных диагональных миноров: Это условие распадается на два условия: an = 0 и Δn-1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет нулевой корень (апериодическая граница устойчивости). Второе условие соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница устойчивости). Значения параметров системы, при которых система находится на границе устойчивости, принято называть критическими значениями. Пример: Анализ устойчивости системы круиз – контроля. Уравнение движения: Характеристическое уравнение: Ясно, что масса автомобиля – положительная величина. Тогда, для обеспечения устойчивости системы круиз – контроля необходимо, чтобы коэффициент усиления k был положительным. Достоинство критерия Раусса – Гурвица состоит в его простоте. Однако этот критерий имеет целый ряд недостатков: • Применить критерий можно только при постоянстве параметров. Это означает, что необходимо заранее знать значения всех коэффициентов характеристического уравнения, что не всегда возможно при проведении экспериментальных исследований; • Он не позволяет оценить запас устойчивости и быстроту затухания переходного процесса; • Критерий не дает ясных указаний, как неустойчивую систему сделать устойчивой. На практике критерий Раусса – Гурвица применяют для уравнений не выше 4-го порядка.