Методы математического анализа

ЛЕКЦИЯ № 17 КОНСУЛЬТАЦИЯ 1 Экзаменационный тест по дисциплине «Методы математического анализа. Часть 3» Тема 1. Определение сходящегося и расходящегося числового ряда Тема 2. Необходимый признак сходимости числового ряда Тема 3. Ряды с положительными членами Тема 4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Тема 5. Степенные ряды Тема 6. Разложение функции в степенной ряд Тема 7. Ряды Фурье Тема 8. Равномерная и неравномерная сходимость функционального ряда Тема 9. Определения и теоремы № 1 max 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 9.1 9.2 Σ 5 5 5 50 Максимальное число баллов за тест – 50. Максимальное число баллов за активность в семестре – 25. 2 Шкала оценивания результатов экзамена: 0-15 баллов – «неудовлетворительно» 16-45 баллов – «удовлетворительно» 46-60 баллов – «хорошо» 61-75 баллов – «отлично» Баллы за активность в семестре добавляются в случае, если за тест получено 16 и более баллов. Оценивание заданий типового расчета по дисциплине «Методы математического анализа» 1а 1,5 1б 1,5 2 2 3 2 4а 2 4б 2 5 2 6а 2 6б 2 6в 2 7 2 8 2 9 2 Σ 25 3 Тема 1. Определение сходящегося и расходящегося числового ряда  1 Пример 1. Ряд  4n 2  9 n2 a) расходится b) сходится и его сумма равна 11 45 c) сходится и его сумма равна 23 90 d) сходится и его сумма равна 4 15 Решение: 𝑎1 = 0; 1 1 1 1 1 𝑎𝑛 = 2 = = ( − ), 𝑛 = 2,3, … ; ( )( ) 4𝑛 − 9 2𝑛 − 3 2𝑛 + 3 6 2𝑛 − 3 2𝑛 + 3 𝑆1 = 𝑎1 = 0 1 1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑆1 + 𝑎2 = (1 − ) ; 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑎3 = ((1 − ) + ( − )) = (1 + − − ) ; 6 7 3 9 6 3 7 9 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑎4 = ((1 + − − ) + ( − )) = (1 + + − − − ) 6 3 7 9 5 11 6 3 5 7 9 11 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆5 = 𝑆4 + 𝑎5 = ((1 + + − − − ) + ( − )) = 6 3 5 7 9 11 7 13 1 1 1 1 1 1 = (1 + + − − − ) 6 3 5 9 11 13 1 1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = (1 + + − − − ); 6 3 5 2𝑛 − 1 2𝑛 + 1 2𝑛 + 3 1 1 1 23 𝑙𝑖𝑚 𝑆𝑛 = (1 + + ) ⇒ 𝑆 = . 𝑛→∞ 6 3 5 90 Ответ: c) сходится и его сумма равна 23 90 . 5  Пример 2. Ряд  n1 2  1 n1 5n a) расходится b) сходится и его сумма равна 1 3 c) сходится и его сумма равна 14 15 d) сходится и его сумма равна 5 7 Решение: 𝑛 1 − 𝑞 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞 𝑛−1 = , 𝑞≠1 1−𝑞 (−1)𝑛−1 2 2 2 2 𝑆𝑛 = − 2 + 3 − ⋯ + = 5 5 5 5𝑛 (−1)𝑛−1 2 1 1 2 1 − (−1⁄5)𝑛 = (1 − + 2 − ⋯ + )= ∙ 5 5 5 5𝑛−1 5 1 − (−1⁄5) 2 1 2 1 2 5 1 𝑙𝑖𝑚 𝑆𝑛 = ∙ = ∙ = ∙ = . 𝑛→∞ 5 1 − (−1⁄5) 5 1 + 1⁄5 5 6 3 Ответ: b) сходится и его сумма равна 1 3 . 6 Тема 2. Необходимый признак сходимости числового ряда Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 сходится, то 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 0 ■ 𝑛→∞ Следствие (Достаточное условие расходимости ряда). Если 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 ≠ 0, то ряд ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 расходится. ■ 𝑛→∞ ВАЖНО! Если 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 0, то вывода о сходимости или расходимости ряда 𝑛→∞ ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 сделать нельзя. 7 Пример 1. Для данного числового ряда   an , где an  n 1 n , выберите верное 2 ln  n  1 утверждение: a) lim an  0 , ряд сходится n b) lim an  0 , ряд расходится n c) lim an  0 , ряд сходится n d) lim an   , ряд расходится n Решение: f  x    x  ln x 2  1 1  1   2 x 1  x 1    2  2  x 1 x2  1 x x   lim     ⇒ lim  lim  lim  lim x ln x 2  1 x 2 x x 2 x x x 2x 2 x2  1 n lim an  lim   . Ответ: d) lim an   , ряд расходится n n ln n 2  1 n     8  Пример 2. Для данного числового ряда  an , где an  ждение: a) lim an  0 , ряд сходится n 1 2n , выберите верное утвер2 2n  1 n b) lim an  0 , ряд расходится n c) lim an  0 , ряд сходится n d) lim an  0 , ряд расходится n 2n 2n 1  lim  lim 0 Решение: lim an  lim 2 n n 2n  1 n n  1 1     2n 2  1  2  n 1  2   2n   2n   1 1 При n   an , и ряд  расходится (гармонический ряд) ⇒ ряд n n 1 n   an расхо- n 1 дится согласно признаку сравнения в предельной форме. Ответ: b) lim an  0 , ряд расходится. n 9 Тема 3. Ряды с положительными членами ∞ Признак сравнения. Пусть ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=1 𝑏𝑛 – ряды с неотрицательными членами и пусть 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 … ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . ∞ Тогда из сходимости ряда ∑∞ 𝑛=1 𝑏𝑛 следует сходимость ряда ∑𝑛=1 𝑎𝑛 , а из расходимо∞ сти ряда ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 следует расходимость ряда ∑𝑛=1 𝑏𝑛 . ∞ Признак сравнения в предельной форме. Пусть ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=1 𝑏𝑛 – ряды с положительными членами и пусть существует конечный, отличный от нуля предел 𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑚 = 𝑞. 𝑛→∞ 𝑏𝑛 ∞ Тогда ряды ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=1 𝑏𝑛 сходятся или расходятся одновременно. Ряды сравнения 𝑛−1 𝟏) 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛−1 + ⋯ = ∑∞ сходится, если 0 < 𝑞 < 1, и расхо𝑛=1 𝑞 дится, если 𝑞 ≥ 1. 𝟐) ∑∞ 𝑛=1 1 𝑛𝛼 (ряд Дирихле) сходится, если 𝛼 > 1, и расходится, если 𝛼 ≤ 1. 10 При 𝑥 → 0 имеют место следующие эквивалентности: 𝑒𝑥 − 1 ~ 𝑥 𝑙𝑛(1 + 𝑥 ) ~ 𝑥 𝑥2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ~ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ~ 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 ~ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 ~ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ~ 𝑥 (1 + 𝑥 )𝛼 − 1 ~ 𝛼𝑥 𝑥3 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ~ 6 𝑥3 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥 ~ 3 Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами ∞ ∑ 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛 > 0, 𝑛 = 1,2, … (1) 𝑛=1 Если 𝑎𝑛+1 lim = 𝑞, 𝑛→∞ 𝑎𝑛 то при 𝑞 < 1 ряд (1) сходится, а при и при 𝑞 > 1 этот ряд расходится. Замечание. При 𝑞 = 1 требуется дополнительное исследование. 11 Признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами ∞ ∑ 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛 > 0, 𝑛 = 1,2, … (1) 𝑛=1 Если lim 𝑛√𝑎𝑛 = 𝑞, n→∞ то при 𝑞 < 1 ряд (1) сходится, а при и при 𝑞 > 1 этот ряд расходится. Замечание. При 𝑞 = 1 требуется дополнительное исследование. Формула Стирлинга: 𝑛 𝑛 𝜃 𝑛! = √2𝜋𝑛 ( ) 𝑒 12𝑛 , 0 < 𝜃 < 1; 𝑒 𝑛 𝑛 𝑛! ~√2𝜋𝑛 ( ) , 𝑛 → ∞. 𝑒 𝑛 𝑙𝑖𝑚 √𝑛 = 1. 𝑛→∞ 12 Интегральный признак Коши. Пусть функция 𝑓(𝑥 ) неотрицательна и монотонно убывает на промежутке [1; +∞). Тогда ряд ∞ ∑ 𝑓(𝑛) 𝑛=1 и интеграл +∞ ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 1 сходятся или расходятся одновременно. 13  sin 2 n Пример 1. Для данного числового ряда  an (1), где an  3 , выберите верное n n 1 утверждение: a) Ряд (1) сходится, так как lim an  0 n b) Ряд (1) расходится по признаку сравнения в предельной форме, так как  1 1 и ряд расходится an , n  n n 1 n c) Ряд (1) расходится, так как lim an  0 n 1 d) Ряд (1) сходится по признаку сравнения, так как 0  an  3 и ряд n  1  n3 сходится n1 1 Ответ: d) Ряд (1) сходится по признаку сравнения, так как 0  an  3 и ряд n сходится  1  n3 n1 14 Пример 2. Вычислите lim n an  l и с помощью признака Коши исследуйте на сходиn n2  1  n  10  мость ряд  an , где an  n   . Выберите верный ответ: 5  n  n 1 a) l  e10 5 , ряд расходится b) l   , ряд расходится c) l  1 5 , ряд сходится d) l  0 , ряд сходится Решение: lim n an  lim n n n 1  n  10    5n  n  n2 n n 10 n 10 10 n 1  n  10  1   lim   lim  1   n 5  n  n  5 n  1  e10  1. 5 u  1 Второй замечательный предел: lim 1    e . u   u 15 Ответ: a) l  e10 5 , ряд расходится. Тема 4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов Если ∃ 𝑙𝑖𝑚 | 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 𝑛 | = 𝑙 или ∃ 𝑙𝑖𝑚 √|𝑎𝑛 | = 𝑙, то 𝑛→∞ при 𝑙 < 1 ряд ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 сходится абсолютно; при 𝑙 > 1 ряд ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 расходится, при 𝑙 = 1 требуется дополнительное исследование. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда Пусть дан знакочередующийся ряд: ∞ 𝑎1 − 𝑎2 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑎𝑛 + ⋯ = ∑ (−1)𝑛−1 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛 > 0, 𝑛 ∈ ℕ (2) 𝑛=1 Если 1) последовательность {𝑎𝑛 } монотонно убывает, т.е. 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ ), 2) lim 𝑎𝑛 = 0, 𝑛→∞ 16 то ряд (2) сходится и для его суммы справедлива оценка 𝑆 ≤ 𝑎1 . Пример 1. Даны ряды   1 n1  n ln 4 n n2  (а) и  n 1  1 n 1 3n  4 n (б). Выберите верное утверждение: a) Ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) расходится b) Ряды (а) и (б) сходятся условно c) Ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) сходится условно d) Ряд (а) сходится условно, ряд (б) расходится Решение: а) [A]:  1 1 Функция монотонно убывает и положительна на проf x     n ln 4 n 4 x ln x n2 межутке  2;  .   2 dx  4 x ln x   2  d ln x 1 1 . Согласно интегральному признаку Коши     4 3 3 ln x 3ln x 2 3ln 2 ряд [A] из модулей членов ряда (а) сходится ⇒ ряд (а) сходится абсолютно. 17 б) lim an  lim n  1n1 n n 3n  4 n 1   0  lim an  0 . n 3n  4 n 3  lim Не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда ⇒ ряд расходится. Ответ: a) Ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) расходится. Пример 2. Даны ряды   sin  2n  3 (а) и   1n1  2n  ln n (б). n 2n  1 n 1 Выберите верное утверждение: a) Ряды (а) и (б) сходятся условно b) Ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) расходится c) Ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) сходится условно d) Ряд (а) сходится условно, ряд (б) расходится n1 Решение: (а) sin  2n  3 n 2n  1  1  ряд (а) сходится абсолютно. 32 2n 18  (б)  1n 1  2n  ln n n 1  [A]: 1  2n  ln n n 1 1  2n  ln n 1  ln n  2n  1   2n   1 ln n при n  , так как lim  0. n  2n 2n  Ряд 1  2n расходится ⇒ ряд [A] расходится по признаку сравнения в предельной n 1 форме ⇒ ряд (б) не сходится абсолютно. Ряд (б) является знакочередующимся. Проверим выполнение условий признака  Лейбница для знакочередующегося ряда   1 n2 n 1 an , an  1  0. 2n  ln n 19 1 1 x 1. f  x   ; f  x    0 при x  1  an  2 2 x  ln x  2 x  ln x  2 1  lim n  2n  ln n n  2. lim an  lim 1 n 1 1 0 n  2n  lim  ln n  2n  1   2n   ⇒ ряд сходится по признаку Лейбница. Ответ: c) ряд (а) сходится абсолютно, ряд (б) сходится условно. n  20 Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд  n1 3  1    n 1  3 n   (3) n 0 Решение: [A]:   3 n 1  3 n n 0  a 3  b3 a  b   a  b  a  ab  b  a  b  2 ,a  b 2 a  ab  b n 1 n 1 an  3 n  1  3 n    n  12 3   n  11 3 n1 3  n2 3 n2 3 1  1  1 n 1 3  1  1 n 2 3 3 3  2 2    1 n   ⇒ ряд [A] расходится, т.е. ряд (3) не сходится абсолютно. 23 3n 1 Так как последовательность an  3 n  1  3 n  моно23 13 13 23  n  1   n  1 n  n an тонно убывает и lim an  0 , то согласно признаку Лейбница ряд (3) сходится. n Ответ: сходится условно. 21 Тема 5. Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида: ∞ ∑ с𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 , (4) 𝑛=0 где с𝑛 (𝑛 = 0,1,2, … . ), 𝑥0 – заданные числа, 𝑥 – вещественная переменная. Числа с𝑛 (𝑛 = 0,1,2, … . ) называются коэффициентами степенного ряда. ▲ Определение. Пусть 𝑅 > 0 таково, что ∀𝑥, удовлетворяющих условию |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑅, ряд (2) сходится абсолютно, а ∀𝑥, удовлетворяющих условию |𝑥 − 𝑥0 | > 𝑅, ряд (4) расходится. Тогда число 𝑅 называется радиусом сходимости степенного ряда (4), а интервал (𝑥0 − 𝑅; 𝑥0 + 𝑅) – интервалом сходимости этого ряда. Если ряд (4) сходится только при 𝑥 = 𝑥0 , то полагают 𝑅 = 0. Если ряд (4) сходится ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞), то полагают 𝑅 = +∞. ▲ Замечание. На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Степенной ряд может сходиться в одном конце интервала 22 сходимости и расходиться в другом. Если ряд расходится в одном из концов интервала сходимости, то в другом конце этого интервала сходимость может быть только условной. Для радиуса сходимости степенного ряда (4) справедлива формула Коши-Адамара: 1 𝑅= . 𝑛 ̅̅̅̅ lim √|𝑐𝑛 | Пусть 𝑐𝑛 ≠ 0, 𝑛 = 1,2, … и ∃ lim | 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑐𝑛+1 𝑐𝑛 | = 𝐿 конечный или бесконечный. Тогда 𝑅 = 1⁄𝐿. 𝑛 Пусть 𝑐𝑛 ≠ 0, 𝑛 = 1,2, … и ∃ lim √|𝑐𝑛 | = 𝐿 конечный или бесконечный. Тогда 𝑛→∞ 𝑅 = 1⁄𝐿. 23 Пример 1. Найдите радиус сходимости R , интервал сходимости E и область сходи x 1 n   1   мости D степенного ряда  ln 1    . Выберите верный ответ: n n 4  n 1 n  2 a) R  1 2, E   3 2;5 2  , D   3 2;5 2 b) R  2, E   3;1 , D   3;1 c) R  2, E   3;1 , D   3;1 d) R  2, E   3;1 , D   3;1 Решение:   cn  x  x0  , cn  n1 n 1 1   ln 1    , n  1, 2,..., x0  1 n n 4 n 2  1 R2 n 2 Интервал сходимости:  x0  R; x0  R    3;1 lim n cn  24  x  1:  n1 1  1  ln 1  , n  n 4 1  1  ln 1   n  n 4 n  1 n 4  1 , n n Ряд расходится согласно признаку сравнения в предельной форме.  x  3 :   1n ln 1  1   n 4   n 1 Ряд сходится согласно признаку Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Ответ: b) R  2, E   3;1 , D   3;1 . n 25 Пример 2. Найдите радиус сходимости R , интервал сходимости E и область сходи2n  n  n 1 мости D степенного ряда   x  1  . Выберите верный ответ:   n1  2n  a) R  4, E   5;3 , D   5;3 b) R  2, E   1;3 , D   1;3 c) R  2, E   3;1 , D   3;1 d) R  4, E   5;3 , D   5;3 Решение:   cn  x  x0  n 1 n 2n  n 1 , cn    , n  1, 2,..., x0  1  2n  2 1  n 1 lim n cn  lim n cn  lim   R4  n n n  2n  4 Интервал сходимости:  x0  R; x0  R    5;3  2  n  1   n 1 n x  3 :    4   2 n 2 n  n1  n1    2n  2n   1   1   n n1  2n 26  1 lim 1   n  n димости) 2n  e2  0  ряд расходится (не выполняется необходимый признак схо-  2n n 2n  n 1 x  5 :    2 n   n1 1 lim  1 1   n  n  4  n 2  n  1     1   2 n n1    n n 2n 1  e  0  lim  1 1   n  n 2  n 1   1 1    n n1 2n 2n  0  ряд расходится. Ответ: d) R  4, E   5;3 , D   5;3 27 Тема 6. Разложение функции в степенной ряд Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена 2 ∞ 𝑛 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + + ⋯ + + ⋯ = ∑ , 𝑥 ∈ (−∞; +∞); 2! 𝑛! 𝑛! ∞ ∞ 𝑛=0 𝑛=0 (5) 𝑛=0 (−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 (−1)𝑛 𝑥 2𝑛 (6); 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ∑ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ∑ , 𝑥 ∈ (−∞; +∞); (7) (2𝑛 + 1)! (2𝑛)! ∞ 1 = ∑ 𝑥𝑛 , 1−𝑥 𝑥 ∈ (−1; 1) (8); 𝑛=0 ∞ ∞ 1 = ∑ (−1)𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑥 ∈ (−1; 1); (9) 1+𝑥 𝑛=0 (−1)𝑛−1 𝑥 𝑛 𝑙𝑛(1 + 𝑥 ) = ∑ , 𝑛 ∞ (1 + 𝑥 )𝛼 (10) 𝑛=1 (−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = ∑ , 2𝑛 + 1 ∞ 𝑥 ∈ (−1; 1]; 𝑥 ∈ [−1; 1]; (11) 𝑛=0 𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1) 𝑛 =1+∑ 𝑥 , 𝑥 ∈ (−1; 1); 𝑛! (12) 𝑛=1 28 1 в ряд Тейлора по степеням  x  3 . Укаx2 жите область сходимости полученного ряда:  1 n x  3 n     a)  , x  1;3 4n n 1 Пример 1. Разложите функцию f  x     x  3n , x    1n  x  3n , x   2;8   1n  x  3n , x   1;7   b) n 0  c) n 0  d) 5 n 5 n 0  2;8 n 1 4 n Решение: 1 1 1 f  x     x  2  x  3  5 5  1 1  n  x  3 n  x  3    1   1   n1  n x  3  5 n 0  5 5 n 0 1 5 n n 29 x  3  1   1  5  x  3  5  2  x  8 5 Ответ: c)    1n  x  3n , x  n 0 5 n 1  2;8 Пример 2. Коэффициент c8 разложения функции f  x   1 в ряд Тейлора по стеx 1 пеням x равен: 15!! a) c8  8 2  8! 15!! b) c8  16! 17!! c) c8  8 2 15!! d) c8   8 2  8! Решение: 30 f  x  1 1 2   x  1 x 1  1  2n  1!!  1  3   1       n  1        1 n 2n  1 !!  xn 2  2   2  xn  1      1    2n n ! n ! n 1 n 1 n cn  2n n ! Ответ: a) c8  , n  1, 2,...; c8  15!! 28  8! 15!! 28  8! 31 Тема 7. Ряды Фурье Определение. Пусть функция 𝑓(𝑥 ) интегрируема на отрезке [−𝑙; 𝑙 ]. Тогда числа 1 𝑙 𝜋𝑛𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥 ) cos 𝑑𝑥 , 𝑛 = 0,1,2, … (13) 𝑙 −𝑙 𝑙 1 𝑙 𝜋𝑛𝑥 ( ) 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓 𝑥 sin 𝑑𝑥 , 𝑛 = 1,2, … 𝑙 −𝑙 𝑙 называются коэффициентами Фурье функции 𝑓(𝑥 ), а ряд (14) ∞ 𝑎0 𝜋𝑛𝑥 𝜋𝑛𝑥 + ∑ (𝑎𝑛 cos + 𝑏𝑛 sin ) 2 𝑙 𝑙 (15) 𝑛=1 называется рядом Фурье функции 𝑓(𝑥 ) ▲ ● Если 𝑓 (𝑥 ) – четная функция на интервале (−𝑙; 𝑙 ), то: 2 𝑙 𝜋𝑛𝑥 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑥 ) cos 𝑑𝑥 , 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑏𝑛 = 0, 𝑛 = 1,2, … 𝑙 0 𝑙 Для нечетной на интервале (−𝑙; 𝑙 ) функции 𝑓(𝑥 ): 2 𝑙 𝜋𝑛𝑥 𝑎𝑛 = 0, 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑥 ) sin 𝑑𝑥 , 𝑛 = 1,2, … 𝑙 0 𝑙 32 Пример 1. Функцию f  x   1, x   0;3 , доопределите необходимым образом до периодической с периодом T  6 и получите для нее ряд Фурье по синусам. Выберите верный вариант ответа:    2n  1 x  4 a)  sin    2 n  1 3   n 0      2n  1 x  2 b)  sin    2 n  1 3   n 0    2 nx c)  sin 3 n1 n n  1   1   sin nx d)   n 3 n 1 Решение: an  0, n  0,1, 2,... 3 3 2 nx 2 3 nx  23 2  bn   1  sin dx    cos  cos n  1  1   1n  30 3 3  n 3 0  3n n 33 0, n  2k  bn   4 , n  2k  1, k  0,1,..    2k  1  Ряд Фурье:    2k  1 x  nx  2  nx  4 n  bn sin 3   n 1   1  sin 3     2k  1 sin  3  n1 n1 k 0   Ответ: a)   2n  1 x  4 sin    2n  1  3  . n 0    34 Пример 2. Функция f  x  интегрируема на отрезке  3;3 , является нечетной и периодической с периодом T  6 . Формулы для вычисления коэффициентов a0 , an , bn (n  1, 2,...) ряда Фурье функции f  x  имеют вид: 3 1 nx dx a) a0  0, an  0, bn   f  x  sin 30 3 3 2 nx b) a0  0, an  0, bn   f  x  sin dx 30 3 3 2 nx dx c) a0  0, an  0, bn   f  x  sin 30 3 3 3 1 1 d) a0   f  x  dx, an   f  x  cos3nxdx, bn  0 30 30 35 Тема 8. Равномерная и неравномерная сходимость функционального ряда (лекция №6) Пример 1. Говорят, что функциональный ряд   fn  x  сходится неравномерно на n1 множестве D , если он сходится в каждой точке этого множества, но при этом a) 0  0 такое, что N  и x  D n  N :   k n1 f k  x   0 b) 0  0 такое, что N  n  N и x  D, для которых c) 0  0 такое, что N  n  N и x  D, для которых d) 0  0 такое, что N    k n1 n f k  x   0  f k  x   0 k 1 и x  D n  N : n  f k  x   0 k 1 36 Пример 2. Степенной ряд    x  2 n 3 n a) сходится неравномерно на отрезке 1;2  n1 b) сходится равномерно на промежутке 1;3  c) сходится неравномерно на отрезке 1;5 2 d) сходится равномерно на отрезке 1;2  Решение:   cn  x  x0  , cn  n n1 1 n c  lim n c  1  R  1 ; lim , n  1, 2,..., x  2 n n 3 n n n Интервал сходимости:  x0  R; x0  R   1;3 x  3:  1  3 n расходится; n1 x  1:    1 3 n 1 n n сходится условно На промежутке 1;3  ряд сходится неравномерно. Этот ряд сходится равномерно на любом отрезке  a; b   1;3 1 3 37 Тема 9. Определения и теоремы   1 n 1   1   2 Пример 1. Ряд    n  n 1  ln  n  2  a) расходится b) сходится абсолютно c) сходится условно Решение: an  1 , 2 n n 1 1  bn  ln  n  2    an сходится абсолютно n 1   bn сходится условно n 1    an  bn  сходится условно. n1 38