Методика изучения числовых систем

Лекция 1. Методика изучения числовых систем Оглавление Методика изучения числовых систем..............................................................................................................1 Методика изучения дробных чисел .................................................................................................................5 Методика изучения целых чисел .....................................................................................................................8 Действительные числа ....................................................................................................................................10 Методика изучения числовых систем Одним из основных понятий математики является понятие числа. Формирование понятия «число» происходит на протяжении всего курса обучения учащихся. Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности: натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике: N - Q+ - Q - R (историческая схема развития понятия числа). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N-Z-Q-R (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа. Учебной целью изучения числовой линии является: формирование у учащихся знаний о числе и действий с ним; формирование вычислительных умений и их использование для решения практических задач; формирование вычислительной алгоритмической культуры. В школьном курсе изучение отдельных числовых систем носит концентрический и многоэтапный характер. Понятие числа – это сложное понятие, усвоить которое можно лишь, изучив каждый вид чисел в отдельности и поняв процесс перехода от одного вида числа к следующему. К понятию числа в математике существует два подхода: аксиоматический и конструктивный. В школьном курсе присутствуют элементы каждого из них. Характеристика числовых множеств N- бесконечное, упорядоченное, дискретное, с начальным элементом, но без конечного элемента, замкнутое относительно операций «+», и «*», не замкнутое относительно операций «» и «/». Z- бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и конечного элементов, замкнутое относительно операций «+»,«*» и «-», не замкнутое относительно операции «/». 1 Q – бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и конечного элементов, замкнутое относительно операций «+», «*», «-», «/» (кроме 0). R – бесконечное, упорядоченное, всюду плотное и полное, без начального и конечного элементов, замкнутое относительно операций «+», «*»,«-», «/» и операции сходимости любой сходимой последовательности (непрерывное) Схема расширения числового множества Исходное множество Натуральные числа Целые неотрицательные числа Целые числа Рациональные числа Действительные числа Причины расширения Присоединяемое исходного множество множества Вычитание равных чисел Нуль Вычитание из меньшего Целые числа большего отрицательные числа Деление нацело не всегда Дробные числа возможно Извлечение корня из Иррациональные любого положительного числа числа Извлечение корня из Мнимые числа отрицательного числа Расширенное числовое множество Целые неотрицательные числа Целые числа Рациональные числа Действительные числа Комплексные числа Исходя из психологии ребенка, математических закономерностей и исторического развития математики при введении нового для учащихся числового множества учителю совместно с учащимися нужно выполнить ряд действий: 1. На специально подобранных задачах установить недостаточность известного на данном этапе числового множества для решения этой задачи и сделать вывод о необходимости расширения множества путем введения новых чисел. 2. Показать, что невозможность решения данных задач связана с невозможностью выполнения какого – либо действия в известном числовом множестве. Сделать вывод о необходимости расширения старого множества путем добавления таких новых чисел, чтобы в расширенном множестве выполнялись действия, которые раньше были невыполнимы или не всегда выполнимы. 3. Ввести новое число, дать ему название и определение. 4. Объединить известное множество и множество новых чисел. Дать ему название и проиллюстрировать место новых чисел на числовой прямой. 5. Показать, что предыдущее множество является подмножеством нового множества, решая соответствующие задачи. 6. Определить операцию сравнения и арифметические действия над числами как элементами нового множества. Вывести правила действий (коммуникативный, дистрибутивный 2 законы и т. д.) над этими числами, установив, что для элементов нового множества они имеют тот же смысл, что и в прежнем множестве. Проиллюстрировать новые для учащихся факты на числовой прямой. 7. Организовать решение упражнений на действия с новыми числами. При этом: а) выделить в явном виде алгоритм и приемы вычислений; б) установить, что действие, ради которого производилось расширение, всегда выполнимо; в) подтвердить выполнимость в новом числовом множестве известных законов действий над числами. Заметим, что ни одно обратное действие, а из прямых – возведение в степень, не подчиняется переместительной закономерности. 8. Организовать решение текстовых задач с использованием новых чисел. Этапы изучения числовых систем в курсе математики средней школы Этап/класс темы программы Пропедевтичекий Счет, натуральный ряд, число 0.Запись и чтение чисел, четыре (нач. школа)/ 1-4 арифметических действия, сравнение чисел; доли и их запись с классы помощью дробей. Величины и их измерения, зависимость между ними, численное значение величин, числовые выражения. Правила и алгоритмы устных и письменных вычислений, приемы решения текстовых задач Основная школа 5 класс: Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных (курс арифметики чисел. Решение текстовых задач. Умножение и деление натуральных 5 – 6 классов) чисел. Решение задач арифметическим способом. Дробные числа. Сложение и вычитание десятичных дробей. Решение текстовых задач. Умножение и деление десятичных дробей. Проценты. Нахождение процентов. Начальные сведения о вычислениях на калькуляторе. Решение текстовых задач 6 класс: Делимость натуральных чисел. Общие свойства обыкновенных дробей. Сложение и вычитание. Преобразование дробей. Умножение обыкновенных дробей. Деление обыкновенных дробей. Пропорции. Проценты. Решение задач на пропорции и проценты. Положительные и отрицательные числа. Понятие о рациональном числе. Действия с рациональными числами. Законы действий Завершающий Степень с натуральным показателем. Абсолютная и относительная (алгебра 7 класс) погрешность приближенного значения Завершающий Квадратные корни. Понятие об иррациональном числе, общие (курс алгебры и начал сведения о действительных числах. Приближенное значение анализа 8 – 10 квадратного корня. классов) Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Степень с целым показателем. Стандартный вид числа. Действия над приближенными значениями, их запись Завершающий Показательная, логарифмическая, степенная функции. Корень n(курс алгебры и начал степени, степень с рациональным показателем. Понятие о степени с анализа 11 класс) иррациональным показателем. Логарифм числа Множество натуральных чисел 3 Первое числовое множество, с которым сталкиваются учащиеся еще начальных классов множество натуральных чисел. В математике существует два способа его построения. Количественные натуральные числа отождествляются с мощностью непустого конечного множества (построение по Кантору), порядковые натуральные числа построены на основе аксиом Пеано: Натуральным числом называются элементы непустого конечного множества N, в котором существует отношение «непосредственно следует за» и выполняются аксиомы: 1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким натуральным числом. 2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число. 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним натуральным числом. 4. Пусть М подмножество множества N. Если 1 принадлежит М, и из допущения, что натуральное число п принадлежит М следует, что М принадлежит и п+1 (число, непосредственно следующее за п), то M совпадает с N. В школьном курсе математики на наглядно-интуитивной основе представлены оба эти способа: каждое новое число появляется из анализа количества предметов, представленных на рисунках, а далее довольно четко выясняется и упорядоченность, и дискретность множества натуральных чисел. Термин «натуральное число» ввел римский автор Боэций (475 – 524). Систематическое изучение натуральных чисел начинается в 5-м классе. Основная цель темы «Натуральные числа» - обобщение и закрепление тех сведений о множестве натуральных чисел, которые получены учащимися еще в начальной школе. Особое внимание уделяется позиционной записи любого натурального числа, выполнению поразрядного сравнения натуральных чисел. Вводятся символы = , >, <. При изучении арифметических операций над натуральными числами учителю необходимо достаточно отчетливо представлять себе различие в требованиях к технике вычислений, к обоснованию этой техники и теории операций. К технике вычислений надо предъявлять самые жесткие требования - это основа (фундамент) всей вычислительной культуры учащихся. Твердого обоснования техники выполнения операций требовать не следует. Достаточно, если учащиеся будут выполнять эти операции и пользоваться их свойствами («на» - сложение или вычитание, «в» - умножение или деление). Наиболее дифференцированно приходится подходить к теории самих операций. Понятие сложения вообще не определяется и считается интуитивно ясным из опыта предшествующего обучения. Хотя понятие вычитания тоже интуитивно ясно учащимся, но относительно него вводится строгое определение, которое остается неизменным для всех числовых и даже нечисловых множеств (вычесть из числа а число в - это значит найти такое число с, которое, будучи сложенным с числом в, даст число а). Операция умножения вводится специальным определением, справедливым лишь на множестве N ( а * в = а+а+...+а). 4 Деление опять строго определяется ( а:в = с <=> с*в = а). Хотя глава и называется «Натуральные числа», фактически же в ней изучаются целые неотрицательные числа. И здесь ученики должны твердо усвоить двоякий смысл термина «нуль» (нуль - цифра и нуль - число). Поэтому необходимо научиться оперировать с нулем : 0+а = а; а+0 = а; 0*а = 0; а*0 = 0; 0:а = 0; обоснование невозможности деления на нуль в учебнике Н.Я. Виленкина проводится на основании определения операции деления: а:0 = х <=> х*0 = а, что неверно, 0:0 = х <=> х*0 = 0, но в качестве х можно взять любое число. Лучшему усвоению учащимися множества натуральных чисел способствует изучение некоторых вопросов делимости. По отношению делимости на данное натуральное число n множество N разбивается на два непересекающихся класса: натуральные числа, делящиеся на n и натуральные числа, не делящиеся на n. По числу делителей - {простые}, {составные}, {1}. Рассматриваются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и деление с остатком. В результате изучения натуральных чисел у учащихся на наглядно-интуитивной основе должно быть сформировано: знание свойств натуральных чисел (множество N - бесконечно, дискретно, упорядоченно, ограничено снизу); понимание того факта, что операция сложения на N не определяется; определение операции вычитание, умножение и деление; умение работать с числами 0 и 1. Теоретический материал в учебниках излагается в виде фрагментов, а затем идет решение задач и примеров. Методика изучения дробных чисел Основным источником получения дробных чисел является практическая деятельность (дробь, как результат измерения, результат деления целого на равные части, как частное от деления целого числа на другое натуральное число). Первое знакомство учащихся с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно с изучением натуральных чисел. В 5 классе начинается систематическое изучение дробей. Десятичные дроби для учащихся не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000, так как в математических расчетах и при проведении практических работ наиболее удобны десятичные числа. В методике математики существует проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей. Возможные подходы к ее решению: сначала изучаются десятичные дроби, а потом – обыкновенные; сначала изучаются обыкновенные дроби; смешанный вариант изучения дробей. В существующих учебниках придерживаются третьего варианта. Возможность записи «доли» с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Вторым приемом является тот факт, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой. Третий прием связан с измерением величин. Тенденция на усиление роли теоретического обоснования имеет место и при изучении темы «Дроби». Обыкновенные дроби Методика введения обыкновенных дробей 5 В соответствии с программой по математике в начальной школе у учащихся должно быть сформировано понятие «доля». С помощью этого понятия у учащихся формируется понятие «обыкновенная дробь». Понятие «дробь» в учебнике Н.Я. Виленкина вводится на примере разрезания арбуза и деления отрезка на части, а в учебнике Г.В. Дорофеева на примере разрезания торта. Оговаривается, что 1/2 это - половина,1/3 это - треть, 1/4 это - четверть. В учебнике 3 класса записано: «Говорят, на первой тарелке лежит четвертая часть пирога, и пишут ¼ пирога; ¾ пирога. Такие числа, как 1/4, ¾ называются обыкновенными дробями. В дроби ¾ число 3 называют числителем дроби, а 4 – знаменателем дроби». Характеристика дроби всегда начинается со знаменателя. «Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделен предмет, а числитель показывает, сколько таких частей надо взять». Дается четкое определение дробных чисел. Обращается внимание на тот факт, что «две равные дроби – это различные обозначения одного и того же дробного числа, например, ½ = 2/4». В 5 классе происходит лишь знакомство учащихся с обыкновенными дробями, их изучение продолжается в 6 классе. Методическая схема введения понятия «обыкновенная дробь» 1.Выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части. 2. Сообщить термины: «одна четвертая», «три четвертых»… 3. - Ввести запись: ¾, ¼… 4. Ввести термины «обыкновенная дробь», «числитель, знаменатель дроби». 5. Дать содержательную характеристику дроби (что показывает знаменатель дроби, числитель дроби). 6. Привести примеры дробей. Особую трудность технического характера представляют собой операции сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями, так как при сложении или вычитании дробей ребенок должен выполнить следующие логических операции: проанализировать знаменатели; если они неравные, то найти наименьший общий знаменатель; найти дополнительные множители; привести дроби к общему знаменателю; сложить или вычесть числители; сократить, если возможно; выделить целую часть. В учебнике Н.Я. Виленкина эти трудности распределяются на два года. В 5 классе рассматривается сожжение и вычитание дробей только с одинаковыми знаменателями, а в 6 классе - с разными знаменателями. Наиболее сложным в методическом плане является введение понятия «умножение дробей» в 6 классе. Наиболее удачное его рассмотрение дано в учебнике Н.Я. Виленкина. На данном этапе обучения учитель имеет возможность обосновать законы умножения и их справедливость на множестве дробей. Схема введения понятия «десятичная дробь» Мотивация к изучению темы. Задача. Ширина доски равна 6 дм 3 см необходимо выразить ее в сантиметрах. Решение. 6 дм 3 см = 63 см. Чтобы выразить ту же ширину в дециметрах, придется использовать дроби. Так как 1см=дм, то 3см=и потом 6дм=дм. Таким же образом находим 4ц 17кг= Формулировка определения. Знаменатель дробной части числа равен 10, а у числа он равен 100. Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. Д. условились записывать без знаменателя. 6 Правило записи. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой (Для неправильной дроби). Если дробь правильная, то перед запятой записывается 0. Определение. Такую запись дробей называют десятичной, а сами дроби – десятичными. Понятие о разрядах в десятичных дробях. В записи натурального числа значение цифры зависит от того, в каком разряде он находиться. Единицы двух соседних разрядов отличны друг от друга в 10 раз. Для записи десятичных дробей используются новые разряды, которые пишутся справа от разряда единиц, поставив после него запятую. В этих разрядах указывают доли единиц. В первом разряде после запятой указывают число десятичных долей, его так и называют разряд десятые. Во втором указывают число сотых долей, его так и называют разряд сотых. Чтение десятичных дробей. При чтении десятичной дроби сначала называется ее часть, стоящая до запятой, а затем часть, стоящая после запятой, с добавлением названия последнего разряда. 7,35 – семь целых и тридцать пять сотых: 7,35 содержит 7 единиц, 3 десятых, 5 сотых. При записи десятичной дроби последнюю цифру помещают в том разряде, который произносят при ее чтение. Ноль целых, восемь тысячных – 0, 018. В десятичной дроби после запятой должно быть столько же цифр, сколько нулей в записи знаменателя обыкновенной дроби. Следует обратить особое внимание детей на изображение чисел на координатном луче. Сложение и вычитание десятичных дробей. Правило. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, надо: уравнять в этих дробях количество знаков после запятой (дописав нули после имеющихся цифр в числе); записать их друг под другом так, чтобы запятая была расположена под запятой; выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую; поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Пример: Вычислить значение выражения 23,756+4,8. 1) 23,756+4,8=23,756+4,800= 28,556; (дописать нули в разряды после запятой в сотые и тысячные у второго числа). Умножение десятичных дробей. Правило 1. Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо: умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую; в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби. Правило 2. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100,1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы. 1,0073* 100 = 100,73 (запятая перенесена вправо на 2 цифры). Правило 3. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые; отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Пример: 9,45* 0,012 = 0,1134. Правило 4. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, надо: запятую в дроби перенести влево на 0,01; запятую перенести влево на две единицы. Пример: 0,056* 0,1= 0,0056. Деление десятичных дробей. 7 Правило 1. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: разделить ее на это число, не обращая внимания на запятую; поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части. Правило 2. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе. Пример: 8,92:100 = 0,0892. Правило 3. С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби. Для этого надо поделить числитель на знаменатель дроби. Правило 4. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; после этого выполнить деление на натуральное число. Пример 160,23 : 4,9 = 1602,3:49=32,7. Правило 5: Чтобы разделить десятичную дробь на 01; 0,01 и так далее, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей. Пример: 7,23:0,1=72,3. Учащиеся должны выполнять следующие типы упражнений: Назовите число единиц каждого разряда. Какая цифра записана в данном разряде…? Прочитайте следующие десятичные дроби… Запишите в виде десятичной дроби… Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных и сократите их… Какие числа отмечены точками на координатном луче…? Изобразите на координатном луче следующие числа… Какую часть метра составляют…? Выразить в тоннах, метрах… Измерьте ширину тетради и выразите ее в дециметрах… Расположите числа в порядке возрастания… Какие натуральные числа заключены между дробями…? Вычислите сумму, разность дробей… Увеличьте, уменьшите каждое число в … раз. Какое число нужно прибавить к данному чтобы получить следующее число…? Методика изучения целых чисел Изучение целых чисел в 5 классе открывает знакомство детей с натуральными числами. Далее эта тема подробно рассматривается в 6 классе. Чтобы ввести понятие «целое число», вводятся понятия: «положительное число», нуль, «противоположное число», «целое число», и только после этого вводится определение целых чисел. Далее рассматривается понятие «модуль числа», сравнение целых чисел и операции над целыми числами и их свойства. Мотивацию введения отрицательных чисел можно осуществить через выполнение учащимися упражнений на движение в разные стороны от начала отсчета. В учебнике Н.Я. Виленкина учащимся предлагается решить задачу о белке, скачущей по дереву вверх и вниз, или используя модель термометра, или рассматривая проблемную ситуацию: 6 – 4 = 2; 6 – 6 = 0; 6 – 8 = ? Можно прочитать детям сказку из учебника «Положительные и отрицательные числа в театре Буратино». Задачи учителя: убедить учащихся в необходимости введения отрицательных чисел с помощью целесообразно подобранных задач, познакомить с математизированной формой введения новых чисел (вместо дерева – прямая, вместо дупла – начало отсчета); добиться осознания учащимися смысла новых чисел. Важно познакомить учащихся с геометрическим изображением новых чисел на координатной прямой. Положительные и отрицательные числа вводятся с помощью координатной прямой. Учащимся предлагается выбрать точку О на прямой и принять ее за начало отсчета. Эта точка разбивает прямую на два дополнительных луча ОА и ОВ. Выбирается единичный отрезок. Положение 8 каждой точки на прямой задается ее координатой. Чтобы отличать друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+», а перед координатами на другом луче знак «-». Необходимо ввести термины: начало отсчета, положительное направление прямой. Определение. Числа со знаком «+» перед ними называются положительными, числа со знаком «-» перед ними называют отрицательными, число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Противоположные числа. Чтобы ввести понятие противоположных чисел, рассматриваются точки, одинаково удаленные от точки О и находящиеся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях. Определение. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами. Для каждого числа есть только одно число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе. После рассмотрения положительных, отрицательных и противоположных чисел дается определение целых чисел. Учащиеся должны понимать, что знак «-» имеет в математике троякий смысл: знак действия – вычитание; знак числа; знак противоположности. Важно, чтобы учащиеся понимали, что запись «-а» не обязательно означает отрицательное число. Определение. Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами. Модуль числа. В 6 классе вводится понятие «модуль числа». Это понятие вводится геометрически: как расстояние. Но, в восьмом классе учащиеся знакомятся и с аналитической записью определения данного понятия. При рассмотрении модуля числа используется понятие «координатная прямая». Определение. Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до заданной точки. Модуль числа 0 равен 0. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули. Затем вводятся операции на множестве отрицательных чисел. Правила выполнения действий над положительными и отрицательными числами устанавливаются на основании содержательных задач (например, на определение изменения температуры в течении суток.) Математическая формулировка этих правил опирается на понятие «модуль числа». Сравнение чисел. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Операции с целыми числами. Правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: сложить их модули, поставить перед полученным числом знак «-»; Пример -2 + (-3) = - (2 + 3) = -5. Правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше; из большего модуля слагаемых вычесть меньший. Пример 3+(-2)= +(3-2)=1; -3+2=-(3-2)=-1. Правило вычитания чисел. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а-b=a+ (-b) Замечание. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму. Пример -18 14= -18 + (-14). Замечание Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше 9 вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю. Методическая схема введения правил умножения Предложить решить задачу: «Температура изменялась в течение в суток на а градусов ежедневно. Как изменится температура через в суток?» 2. Провести решение данной задачи по аналогии с решением задачи: «За двое суток температура увеличится в 3 раза. Как изменится температура?» 3. Сформулируем задачу, если а = -2.Решение: (-2) + (-2) + (-2) = -6; (-2)*3 = -6. Вывод: Увеличение находим умножение на 3. 4. Решить задачу для случая в = -3: 2 * (-3) = -6; (2) * (-3) = 6. 5. Высказать предположение, что произведение можно найти математическим способом. 6. Закрепить правило составления алгоритма записями, показывающими, как выбирать знак произведения и находить его модуль. 7. Осуществить переход к сокращенной записи. Правило. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-». Пример (-2)*3= - (2*3)= - 6; 2*(-3)= - (2*3)= - 6. Замечание. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль произведения этих чисел равен произведению их модулей. Правило. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Пример: (-2)*(-3) = /2/*/-3/ = 2*3 = 6. Деление положительных и отрицательных чисел. Правило. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Пример: -4:(-2) = 4:2 = 2. Правило. При делении чисел с разными знаками, надо: разделить модуль делимого на модуль делителя; поставить перед полученным числом знак «-» Замечание 1. Обычно сначала определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного. Пример 4: (-2) = -(4:2) = -2. Замечание 2. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя! Наиболее аккуратно знакомство учащихся с данными правилами проведено в учебнике Н.Я. Виленкина через решение задачи (№ 1104):1.Турист движется по шоссе со скоростью Vкм/час. Сейчас он находится в точке О (см. рис.) Если он движется в противоположном направлении, то его скорость считается положительной, а в отрицательном направлении – отрицательной. Значение t = -4 означает «4 часа тому назад». Где будет находиться турист через t часов? Решите задачу при следующих значениях букв: а) V = 5, t = 4; б) V = - 5, t = 4; в) V = 5, t = -4; г) V = - 5, t = - 4. Сформулировать подзадачи для случаев а),б), в), г). 3. Перевести каждую задачу на язык математики и решить, используя рисунок. Решение: а) 5 *4 = 20; б) -5 * 4 = -20; в) 5 * (-4) = -20; г) -5 * (-4) = 20. Тема «Отрицательные числа» имеет большое значение в математическом образовании школьников не только как звено (хорошо исполненное) в общей идее развития понятия числа, но и для обоснования отдельных приемов решения уравнений без использования теории равносильности. Стало возможным обоснование: 1)прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа; 2) переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Действительные числа В математике существуют различные построения теории действительного числа: по Дедекинду (построение действительного числа с помощью сечений на множестве рациональных чисел), по 10 Вейерштрассу (представление действительного числа как бесконечного десятичного ряда), по Кантору (построение действительного числа с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел). Но эти построения весьма сложны (не случайно в математике они оформились во второй половине 19 века). Понятие «действительное число» (как и понятие «бесконечная десятичная дробь»), основные положения теории действительного числа вполне доступны учащимся 7 класса. В настоящее время существует тенденция более раннего изучения действительных чисел, что ускоряет создание цельной системы знаний учащихся о числе, облегчает потребности практики вычислений, позволяет строже изложить некоторые вопросы фундаментальной теории. Понятие «иррациональное число» появляется в учебниках 8 класса. Мотивация введения действительных чисел опирается на внутренние потребности математики, а не на практику. Учащиеся убеждаются в необходимости введения новых чисел при решении следующих задач: Решить уравнение: х2 = 2. Найти отношение длины дуги окружности к ее диаметру. Найти сторону квадрата, если его площадь 3 см2. Решить графически уравнение: х2 = 3. К множеству каких чисел относятся числа 2, 56565…; 7,23233233…; 0, 123123412345…? Определение иррационального числа дается через отрицание. (Пример: Алгебра – 8 С.А. Теляковский). Доказывается, что «среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2». Вводится понятие «действительное число»: «Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами». Дается определение иррациональных чисел: «Каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать в виде отношения m /n, где m – целое число, n – натуральное число. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает отрицание). Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения m /n. Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.». Приводятся примеры иррациональных чисел. Вводятся «действия» над числами. В школьном курсе действия с иррациональными числами сводятся к операциям с их рациональным приближениями по недостатку и по избытку5. 11