Метод приведения уравнений к безразмерному виду

отладке имитационной модели и построении алгоритма (блок-схемы) организации эксперимента. Имитационный эксперимент (этап VII) — это проведение серии имитационных расчетов в системном масштабе времени и по разработанному алгоритму. Каждая реализация модели отличается от другой только в одном изучаемом аспекте. Таким образом, в результате имитационного эксперимента образуются ряды статистических данных (выборки), обработка которых требует определенных знаний. После того как эксперимент проведен и получены результаты, возникает задача — представить эти результаты в компактной форме, выдать рекомендации и сделать заключение (этапы VIII и IX). Основным требованием к обработке (редукции) выходных данных служит извлечение максимума информации. К основным методам обработки данных относятся методы математической статистики: дисперсионный анализ (критерий F, методы множественных сравнений упорядочения), спектральный анализ и эвристические процедуры, основанные на оценке параметров статистических распределений. Применение идей и методов математической статистики резко сокращает объем экспериментальных исследований и, что самое главное, увеличивает четкость суждений исследователя о полученных результатах в ходе эксперимента. Каждый рассмотренный этап классического и вычислительного экспериментов — это этап исследования, требующий от исполнителя специальных знаний, больших затрат интеллектуальных и временных ресурсов. 1. Метод приведения уравнений к безразмерному виду 1.1. Безразмерные переменные и необходимость их использования Значения параметров, получаемые с помощью методов численного решения дифференциальных уравнений, как правило несколько отличаются от их истинных значений из-за наличия ошибки аппроксимации. Поэтому алгоритмы решения уравнений математических моделей, могут оказаться непригодными, если уравнения модели содержат переменные, значения которых отличаются по порядкам. Так, погрешности при определении параметров, порядки которых велики, могут быть не значимы для них самих, но в то же время они будут сильно искажать значения параметров меньших порядков. Поэтому прежде чем перейти к созданию алгоритма для решения уравнений математической модели, необходимо привести эти уравнения к безразмерному виду, т.е. провести операцию обезразмеривания переменных, в результате которой все переменные математической модели будут иметь одинаковый порядок. Рассмотрим процедуру обезразмеривания на примере математической модели процесса кристаллизации, протекающего в ёмкостном периодическом реакторе идеального смешения: R f f   0, dr t dc     02 f  dr , dt (2.1) где с – объёмная концентрация кристаллизующегося компонента; плотность кристалла;  – скорость роста кристалла; f (r ) dr 02 – – число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; R – наибольший размер кристалла. Безразмерные переменные вводятся с помощью соотношений: c  c , c0 t  t , t0 r  r , r0    , 0 f f , f0 20   02 , 0 где переменные с индексом (0) соответствуют характерным параметрам процесса. Как правило, могут быть известны лишь некоторые характерные параметры процесса, например, в данном случае это характерное время процесса (t0), характерный размер кристалла (r0) и характерная концентрация кристаллизующегося компонента в растворе (с0). Кроме этого, обычно принимают равенство: 0  c 0 , поскольку в модели (2.1) плотность и концентрация имеют одинаковую размерность. Однако характерную скорость роста кристаллов (  0 ) и характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам ( f 0 ) непосредственно измерить невозможно. Их значения определяют из безразмерных комплексов характерных параметров согласно методике, рассмотренной ниже. 1.2. Методика определения неизвестных характерных параметров процесса Рассмотрим методику определения неизвестных характерных параметров. Для этого выразим переменные математической модели через характерные и безразмерные значения: с  с  с 0 , t  t   t 0 , r  r   r0 ,      0 , f  f   f 0 ,  02  20  с 0 . Затем подставим их в исходную систему уравнений (2.1): R c 0 d c  c 0 f 0  0 r0  20 f   dr , t 0 d t f 0  f  f 0 0  f     0. r t 0 t  r0 (2.2) Рассмотрим второе уравнение в системе (2.2), которое после несложных преобразований можно представить в виде:  f  t0 0  f     0. t  r0 r  Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных параметров, стоящий перед вторым слагаемым, необходимо приравнять единице: t0 0 r0  1. Следовательно, характерное значение скорости роста кристаллов определяется по формуле: 0  r0 t0 (2.3) . Рассмотрим теперь первое уравнение в системе (2.2), которое после несложных преобразований можно привести к виду: R d c   t 0 f 0  0 r0  20 f   dr . d t Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных параметров, стоящий перед интегралом в правой части уравнения, необходимо приравнять единице: t 0 f 0  0 r 0  1. Отсюда, используя соотношение (2.3), получаем характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам: f0  1  t 0 r0  0 1 t 0 r0 r0  1 . r02 (2.4) t0 Таким образом, если характерные значения скорости роста кристаллов и плотности функции распределения кристаллов по размерам соответствуют выражениям (2.3), (2.4), то оба уравнения в системе (2.2) полностью совпадают с исходными уравнениями математической модели процесса кристаллизации (2.1). Однако порядки переменных в уравнениях системы (2.1) различны (например, функция f имеет порядок 1020, а  – 10–10), вследствие чего расчётные ошибки при определении функции f , не значимые для неё самой, могут привести к сильным искажениям значений . В то же время при численном решении уравнений системы (2.2) этого не произойдёт, так как все переменные в них имеют одинаковый порядок.