Матрицы и векторы и операции над ними

Лекция 1-2 Матрицы и векторы и операции над ними Векторы Вектором называется упорядоченный набор, составленный из чисел. Векторы-строки Векторы-столбцы a=(2 6 -10) трехмерный вектор-строка в= двухмерный вектор-столбец Равные и неравные векторы. Равными называются векторы, которые имеют одинаковую размерность, а их соответствующие координаты равны. а=(а1 а2 a3… an) b=(b1 b2 b3…bn) a=b (a1=b1 a2=b2 …an=bn) – равные векторы. a=(1 2 -6 9) четырехмерный вектор b=(2 0 4 -3 0) пятимерный вектор Сложение векторов Суммой двух векторов одинаковой размерности является вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат векторов слагаемых. а=(а1 а2 a3… an) b=(b1 b2 b3…bn) с=a+b=(a1+b1 a2+b2 ….an+bn) a=(1 2 -6 9) b=(2 0 4 -3 ) c=a+b=(1+2 2+0 -6+4 9+(-3)) = (3 2 -2 6) Умножение вектора на число Произведением вектора на число называется вектор, каждая координата которого получается путем перемножения координат исходного вектора на заданное число. k-произвольное число а=(а1 а2 a3… an) k*a=(k*a1 k*a2 ….k*an) k=8 b=(2 0 4 -3 ) 8*b=(8*2 8*0 8*4 8*(-3)) = (16 0 32 -24) Произведение векторов (скалярное произведение векторов) Скалярным произведением векторов называется число, которое получается путем сложения произведений одноименных координат исходных векторов. Векторы должны иметь одинаковую размерность. а=(а1 а2 a3… an) b=(b1 b2 b3…bn) a*b=(a1*b1+a2*b2+…+an*bn) Пример a=(1 2 -6 9) b=(2 0 4 -3 ) a*b=(1*2+2*0+-6*4+9*(-3)) = (2+0+(-24)+(-27))= -49 Матрицы Матрицей называется таблица, составленная из чисел. Числа, их которых составлена матрица называются элементами матрицы. Матрица имеет размерность. Если в этой таблице имеется m строк и n столбцов, то такая матрица имеет размерность m×n. В общем виде матрица имеет вид: A= m×n Числа из которых состоит матрица называются ее элементами, причем каждый элемент стоит на пересечении соответствующий строки и соответствующего столбца и обозначается через индекс. aij – элемент матрицы. a=(1 2 -6 9) 1×n или 1×4 b= m×1 или 2×1 Сложение матриц Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица каждый элемент которой получен путем сложения одноименных элементов матриц слагаемых. A= 2×3 B=2×3 A+B= = Умножение матрицы на число k - число A= Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой получается перемножением заданного числа на соответствующий элемент исходный матрицы. k*A= Пример k=5 B= 5*B = = Среди матриц выделяют особую группу, которые называются квадратными. Квадратной называется матрица, количество строк в которой равно количеству столбцов. Квадратные матрицы называются матрицами порядка n. Элементы матрицы a11 a22 a33 … ann образуют главную диагональ. A= 3×3 квадратная матрица порядка 3. Единичная матрица Являются разновидностью квадратных матриц. E= единичная матрица порядка 3. Транспонирование Это замена строк исходной матрицы столбцами с сохранением их порядкового номера. A A’- обозначение транспонированной матрицы Пример A= 2×3 А’= 3×2 Произведение матриц Пусть дана матрица А размера m×n и матрица В размера n×k. Матрица С размера m×k называется произведением матрицы А на матрицу В, если каждый ее элемент получается суммой произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В. Для того, чтобы умножить две матрицы, необходимо, чтобы количество столбцов первой матрицы совпадало с количеством строк второй матрицы. При этом количество строк получаемой матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй матрицы. m×n n×k исходные матрицы m×k получаемая (итоговая) матрица Пример A= 2×3 В= 3×2 A= 2×3 В= 3×2 С= 2×2 С=А*В = = В=3×2 A= 2×3 D= 3×3 D=B*A = При перемножении матриц их нельзя менять местами. А*В≠В*А.