Матрицы и определители

Практическое занятие 1.3 Матрицы и определители Преподаватель: Зиганшина Айгуль Раисовна Определение Матрицей размером m × n называется совокупность m · n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. 𝑨= 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 … 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 … 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 … 𝒂𝟐𝒏 … … ⋯ 𝒂𝒎𝒏 Набор аi1 ai2 … ain называется i-строкой матрицы А, а набор a1к а2к ... аmk - k-столбцом этой матрицы. Сложение и вычитание матриц Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij = aij + bij сij = aij - bij Сложение и вычитание матриц Найти сумму матриц: Решение: 𝟒 А= 𝟗 А+В = А = 𝟐 𝟎 𝟑 𝟏 и В= −𝟑 𝟒 4 2 3 + 9 0 −3 = Найти разность матриц: А= 𝟒 𝟗 𝟐 𝟎 и В= 𝟑 𝟏 −𝟑 𝟒 4+3 2+1 1 = 9 + (−3) 0 + 4 4 𝟕 𝟑 𝟔 𝟒 Решение: А-В = А = 4 9 4−3 2 3 1 − = 9 − (−3) −3 4 = 𝟏 𝟏 𝟏𝟐 −𝟒 2−1 0−4 Умножение матрицы на число Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов. Найти произведение матрицы: 𝟐 −𝟐 А= −𝟏 𝟎 и числа (-2). 𝟓 −𝟏 Решение: (-2) * A =(-2) * −2 ∗ 2 −2 ∗ (−1) −2 ∗ 5 2 −2 −1 0 = 5 −1 −2 ∗ (−2) −𝟒 −2 ∗ 0 = 𝟐 −𝟏𝟎 −2 ∗ (−1) 𝟒 𝟎 𝟐 Умножение матриц Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и jтом столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Умножение матриц Найти матрицу C равную произведению матриц: А= 𝟒 𝟗 𝟐 𝟎 и В= 𝟑 𝟏 −𝟑 𝟒 Решение. 4 2 3 1 𝟔 𝟏𝟐 * = 9 0 −3 4 𝟐𝟕 𝟗 Элементы матрицы C вычисляются следующим образом: C = A*B = c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6 c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12 c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27 c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9 Умножение матриц Найти матрицу C равную произведению матриц: А= 𝟐 −𝟑 𝟒 Решение. 2 1 С = −3 0 4 −1 𝟏 𝟎 −𝟏 и В= 5 * −3 𝟓 −𝟑 −𝟏 𝟎 𝟔 𝟕 𝟕 −𝟐 𝟏𝟗 −1 6 = −𝟏𝟓 𝟑 −𝟏𝟖 0 7 𝟐𝟑 −𝟒 𝟏𝟕 Элементы матрицы C вычисляются следующим образом: c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7 c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2 c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19 c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15 c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3 c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18 c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23 c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4 c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17 Транспонирование матрицы Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами: aTij = aji 1. Найти транспонированную матрицу AT для матрицы: 𝟒 𝟐 А= 𝟗 𝟎 2. Найти транспонированную матрицу AT для матрицы: 𝟐 −𝟑 𝟒 А= 𝟏 𝟎 −𝟏 1. Решение: 2. Решение: АТ = 4 2 9 АТ = 2 1 −3 0 4 −1 Определитель матрицы Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач. Определитель матрицы A обычно обозначается det (A), |A|, или ∆(A). Вычисление определителя матрицы 1×1: Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы: ∆ = |a11| = a11 Определитель матрицы Вычисление определителя матрицы 2×2: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей: а𝟏𝟏 а𝟏𝟐 ∆= а = a11* a22 - a12 * a21 𝟐𝟏 а𝟐𝟐 Найти определитель матрицы: 𝟓 𝟕 А= −𝟒 𝟏 Решение. 5 7 det (A) = = 5*1- 7*(-4)=5+28= 33 −4 1 Определитель матрицы Вычисление определителя матрицы 3×3: Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов, лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали. а𝟏𝟏 а𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 ∆ = 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 = а𝟑𝟏 а𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 – a11·a23·a32 - a12·a21·a33 Определитель матрицы Вычисление определителя матрицы 3×3: ∆= + + a11·a22·a33 a12·a23·a31 - - a13·a22·a31 a13·a21·a32 a11·a23·a32 a12·a21·a33 Определитель матрицы Найти определитель матрицы: 𝟓 𝟕 𝟏 А = −𝟒 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 Решение. 5 det (A) = −4 2 7 1 1 0= 3 = 5*1*3+7*0*2+1*0*(-4)-1*1*2-5*0*0-7*(-4)*3 = 15+0+0-2-0+84=97 Спасибо за внимание! Тема следующего практического занятия: Линейные системы