Математика
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Курс лекций рекомендован в качестве основного учебного материала студентам, получающим высшее образование в Курском институте менеджмента, экономики и бизнеса
Математика – Курск: типография МЭБИК. – 170с.
Идентификатор публикации: MB-K-001-20-11
3
Математика
Краткий курс лекций дисциплины
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определение. Матрицей размера
чисел aij , где i 1,2,..,m , j 1,2,..,n ,
m n
a11
a
A 21
...
a
m1
называется прямоугольная таблица из
a12
a 22
...
am2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn ,
состоящая из m строк и n столбцов.
Если матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов, то ее называют
квадратной.
Определение. Суммой А В матриц А (аij ) и B (bij ) размера m n называется
матрица С (сij ) того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: сij aij bij , i 1,2,..,m , j 1,2,..,n .
Определение. Произведением αА матрицы А (аij ) на число α называется матрица B (bij ) , элементы которой bij aij .
Пример 7. Вычислить 3А+2В, если
2 3
1 2
B
A
1 2 ,
3 4 .
Решение. Вычислим
6 9
2 4
2B
3A
3
6
,
6 8 .
Тогда
6 9 2 4 6 2 9 4 8 5
3 A 2 B
3 6 6 8 3 6 6 8 3 2 .
Определение. Произведением АВ матрицы А (аij ) размера m n на матрицу
B (bij )
размера n k называется матрица C (cij ) размера m k , элемент которой
cij
, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В:
n
сij air brj ai1b1 j ai 2b2 j ... ain bnj
r 1
i 1,2,...,m, j 1,2,...,k
,
.
Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
5 8 4 3 2
6 9 5 4 1
4 7 3 9 6
.
Пример 8. Вычислить
Решение. Умножим элементы первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и сложим все произведения.
Полученный элемент поставим в первую строку и первый столбец матрицыпроизведения. Далее вычислим остальные элементы произведения матриц.
5 8 4 3 2 5 3 8 4 4 9 5 2 8 1 4 6 11 22
6 9 5 4 1 6 3 9 4 5 9 6 2 9 1 5 6 9 27
4 7 3 9 6 4 3 7 4 3 9 4 2 7 1 3 6 13 17
.
Определение 1.6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их
следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А
соотношением a` = 0 существует такое число >0, что для всех х таких, что
0 < x - a <
верно неравенство
f(x) - A< .
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + .
Запись предела функции в точке: lim f ( x) A
x a
Определение. Если f(x) A1 при х а только при x < a, то lim f ( x) A1 - называется преx a 0
делом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то lim f ( x) A2
x a 0
называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
у
f(x)
А2
А1
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
a
x
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а.
Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа
>0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство
A f (x)
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают: lim f ( x) A.
x
Графически можно представить:
y
y
40
Математика
41
A
A
x
x
y
y
A
A
x
x
Аналогично можно определить пределы lim f ( x) A для любого х>M и
x
lim f ( x) A для любого х0 вблизи точки х = а и lim f ( x) A , то А>0.
x a
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.
Теорема 6. Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и lim g ( x) lim u ( x) A , то и lim A .
x a
x a
x a
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)0 существует такое число >0, что неравенство
f(x)>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < x - a <
Записывается lim f ( x) .
x a
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим:
lim f ( x) ,
x a
а если заменить на f(x)0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
x x0
верно неравенство
f ( x) f ( x 0 ) .
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при хх0.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций
f ( x)
– есть непрерывная функция при условии, что
g ( x)
g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о
пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция f ( x)
a0 x n a1 x n 1 ... a n
непрерывна для всех значений х,
b0 x m b1 x m1 ... bm
кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:
x
x
y 2 cos x
sin
2
2
x
x
lim y 2 lim cos x
sin 0
x 0
x 0
2
2
Действительно, имеется предел произведения двух функций cos x
ция косинус – ограниченная функция при х0 cos x
предел функции синус lim sin
x 0
x
x
. При этом функ и sin
2
2
x
1 , а т.к.
2
x
0 , то она является бесконечно малой при х0.
2
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными
выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей
56
57
Математика
области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением
может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является
точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним
это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) lim f ( x) f ( x0 ) , то функция называется непреx x 0
рывной справа.
х0
Если односторонний предел (см. выше) lim f ( x) f ( x0 ) , то функция называется непреx x 0
рывной слева.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
х0
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в
точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x)
имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
lim f ( x) lim f ( x)
x x0 0
x x0 0
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в
точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь
только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x)
не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, членкорреспондент Петербургской АН 1837г)
1, x рациональн ое число
f ( x)
0, x иррациональное число
не является непрерывной в любой точке х0.
Пример. Функция f(x) =
lim f ( x) ;
x 0 0
1
имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
х
lim f ( x) .
x 00
58
59
Математика
7.5
5
2.5
-10
-5
5
10
-2.5
-5
-7.5
… Gr aphi cs …
Пример. f(x) =
sin x
x
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел lim f ( x) 1 , т.е. в точке х = 0
x 0
функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить
функцию:
sin x
, при x 0
f ( x) x
1, при x 0
График этой функции:
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
- 20
- 10
10
- 0. 2
Пример. f(x) =
x 1, при x 0
=
x 1, при x 0
20
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
y
1
x
-1
Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то
функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1
или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет
иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо,
чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой
точке не определена.
Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима
только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
60
61
Математика
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M f(x) M.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и
наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем
m f(x) M
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и
несколько раз (например – f(x) = sinx).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность
точки х0, в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная
на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Т.е. если sign(f(a)) sign(f(b)), то х0: f(x0) = 0.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для
любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х1[a,b] и x2[a,b] таких, что
х2 – х1<
f(x2) – f(x1) <
верно неравенство
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого существует свое
, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности зависит от и х.
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Пример. y sin
1
x
1
0. 5
- 3
- 2
- 1
1
2
3
- 0. 5
- 1
Функция y sin
1
непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно неx
прерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х1 и х2 такие, чтоf(x1) –
62
Математика
63
f(x2)>, - любое число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.
Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они
есть.
x 4, x 1
f ( x) x 2 2, 1 x 1
2 x ,
x 1
lim f ( x) 3
lim f ( x) 3
x 1 0
x 1 0
lim f ( x) 3
lim f ( x) 2
x 1 0
в точке х = -1 функция непрерывна
x 1 0
в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
у
3
2
-4
-1
1
х
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они
есть.
cos x, x 0
f ( x) x 2 1, 0 x 1
x,
x 1
lim f ( x) 1
lim f ( x) 2
x 0 0
x 1 0
lim f ( x) 1
lim f ( x) 1
x 0 0
в точке х = 0 функция непрерывна
x 1 0
в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
у
2
1
-
-/2
1
x
64
65
Математика
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
f ( x) lim
x 0
f ( x x) f ( x)
x
у
f(x)
f(x0 +x)
P
f
f(x0)
M
x
x0
x0 + x
x
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg
f
тангенс угла наклоx
на секущей МР к графику функции.
f
f ( x0 ) tg ,
x 0 x
lim tg lim
x 0
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к
этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y y0 f ( x0 )( x x0 )
Уравнение нормали к кривой: y y 0
1
( x x0 ) .
f ( x0 )
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения
координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (ле-
66
67
Математика
вое) значение предела отношения
f
при условии, что это отношение существует.
x
f
x 0 x
f ( x0 ) lim
f
x 0 x
f ( x0 ) lim
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может
иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в
ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой
точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
u u v v u
3)
, если v 0
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0;
9) sin x cos x
2)(xm) = mxm-1;
10) cos x sin x
3)
x 2 1 x
11) tgx
1
1
4) 2
x
x
e
5) e x
a
7) ln x
12) ctgx
1
sin 2 x
13) arcsin x
x
6) a x
1
cos 2 x
x
ln a
1 x2
15) arctgx
1
x ln a
1 x2
1
14) arccos x
1
x
8) log a x
1
1
1 x2
16) arcctgx
1
1 x2
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область
определения функции f.
Тогда
y f (u) u
Доказательство.
68
69
Математика
y y u
x u x
y
y
u
lim
lim
x 0 x
u 0 u x 0 x
lim
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда
dy dy du
dx du dx
Теорема доказана.
Логарифмическое дифференцирование.
ln x, при x 0
.
ln( x), при x 0
Рассмотрим функцию y ln x
Тогда (lnx)=
1
( x) 1
1
.
, т.к. ln x ; (ln( x))
х
x
x
x
Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)
Отношение
f ( x)
.
f ( x)
f ( x)
называется логарифмической производной функции f(x).
f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле
f ( x) (ln f ( x) ) f ( x)
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для
нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил
дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательно- степенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu
y
u
v ln u v
y
u
u
y u v v v ln u
u
u vu
v
u u v v ln u
v 1
Пример. Найти производную функции f ( x) ( x 2 3x) x cos x .
По полученной выше формуле получаем: u x 2 3x;
v x cos x;
Производные этих функций: u 2 x 3; v cos x x sin x;
Окончательно:
f ( x) x cos x ( x 2 3x) x cos x1 (2 x 3) ( x 2 3x) x cos x (cos x x sin x) ln( x 2 3x)
70
71
Математика
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x =
g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
1 g ( y) y
т.к. g(y) 0
y
1
g ( y )
dy
1
dx dx
dy
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной
функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть
найдена следующим образом:
y tgx;
Известно, что y (tgx )
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
x arctgy;
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
y
Т.к.
1
;
d (arctgy ) / dx
d (arctgy )
1
dy
1 / cos 2 x
1
1 tg 2 x 1 y 2 ; то можно записать окончательную формулу для производной арктан2
cos x
генса:
(arctgy )
1
;
1 y2
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
lim
x 0
Тогда можно записать:
Следовательно:
y
f ( x)
x
y
f (x) , где 0, при х0.
x
y f ( x) x x .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть
приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
72
73
Математика
Можно также записать: f ( x)
dy
dx
Геометрический смысл дифференциала.
y
f(x)
K
dy
y
M
L
x
x + x
x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv
2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
u
vdu udv
4) d
2
v
v
Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.
Тогда
dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли
х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи
с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х- независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то
х dx.
Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции y x cos x sin x
1
cos 2 x .
2
74
Математика
75
Сначала преобразуем данную функцию: y
1
1
sin 2 x cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y sin 2 x x2 cos 2 x 2 cos x( sin x) sin 2 x x cos 2 x sin x cos x x cos 2 x.
2
2
2
2
2
x 2e x
Пример. Найти производную функции y 2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x x 2 2 xe x )( x 2 1) (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x 2 x 5 e x 2 xe x 2 x 3 e x 2 x 3 e x
y
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
2
2 xe x ( x 4 1 x 2 )
( x 2 1) 2
Пример. Найти производную функции y ln tg
x
x
2 sin x
1 sin x x cos x
1
sin x x cos x sin x sin x x cos x
2
x
x
x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x
sin 2 x
y
1
1
Пример. Найти производную функции y arctg
2x 4
1 x8
8 x 3 (1 x 8 ) (8 x 7 )2 x 4 (1 x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11 16 x11 ) 8 x 3 8 x11
(1 x 8 ) 2
(1 x 8 ) 2 (1 x 8 ) 2
(1 x 8 ) 2
4x8
1
8 2
(1 x )
8 x 3 (1 x 8 )
8x 3
(1 x 8 ) 2
1 x8
y
1
2
Пример. Найти производную функции y x 2 e x ln x
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
y x 2e x
2
ln x x e
2
x2
2
2
2
2
2
1
2 xe x x 2 e x 2 x ln x xe x 2 xe x (1 x 2 ) ln x xe x
x
2
xe x (1 2 ln x 2 x 2 ln x)
Формула Тейлора.
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности
производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их
производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
f ( x) f ( a )
-
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
f ( n1) ( )
( x a)
( x a) 2 ...
( x a) n
( x a) n1
1!
2!
n!
(n 1)!
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
f ( n 1) ( )
( x a) n 1 Rn1 ( x)
(n 1)!
76
77
Математика
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции
в точке х = а.
Pn (a) f (a); Pn (a) f (a); Pn(a) f (a); ... Pn( n) (a) f ( n) (a)
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n,
тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет
функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
Pn ( x) C0 C1 ( x a) C2 ( x a) 2 ... Cn ( x a) n
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные
многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:
Pn ( x) C1 2C 2 ( x a) 3C3 ( x a) 2 ... nC n ( x a) n 1
n2
Pn( x) 2C 2 3 2C3 ( x a) ... n(n 1)C n ( x a)
..........................................................................................
P ( n ) ( x) n(n 1)(n 2)...2 1C
n
n
(3)
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
f (a) C 0
f (a) C1
f (a) 2 1C2
f (a) 3 2 1C3
…………………….
f
( n)
(a) n(n 1)(n 2)...2 1Cn
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
Pn ( x) f (a)
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
( x a)
( x a) 2 ...
( x a) n
1
2
n!
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x),
т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x).
Тогда:
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорема доказана.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
Как видно на рисунке, в
точке х = а значение мноRn+1(x) гочлена в точности сов-
y
f(x)
па-
дает со значением функции.
Однако, при удалении от
Pn(x)
точ-
ки х = а расхождение значений увеличивается.
a
x
x
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то
найдется такое число из интервала 0 < < 1, что = a + (x – a).
Тогда можно записать:
Rn 1 ( x)
f ( n 1) [a ( x a)]
( x a) n1
(n 1)!
Тогда, если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в виде:
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( n1) ( x0 x)
f ( x)
f ( x)
x
(x) 2 ...
(x) n
(x) n1
1!
2!
n!
(n 1)!
где 0 < < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813)
французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных
функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формула Маклорена.
78
79
Математика
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x ...
x Rn ( x)
1!
2!
n!
f ( n 1) (x) n1
Rn ( x)
x ;
0 1
(n 1)!
f ( x) f (0)
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом
в форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какойлибо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования.
Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже
при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным
значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее
количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное
значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m,
т.е.
Rn1 ( x) ([ x a]n ) .
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда
Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд
широко используется и имеет огромное значение при проведении различных
математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена
функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифми-
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
ческих функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то
значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью.
Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с
разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10
– 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10
членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении
конкретных технических задач.
Функция f(x) = ex.
f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
Находим:
x x2 x3
xn
x n1 x
e ,
Тогда: e 1 ...
1 2! 3!
n! (n 1)!
x
0 1
Функция f(x) = sinx.
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n/2);
f(n)(0) = sin(n/2);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)/2);
f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);
sin x x
Итого:
R2 n ( x )
x3 x5
x 2 n 1
... (1) n 1
R2 n ( x )
3! 5!
(2n 1)!
f ( 2 n 1) ( ) 2 n 1
cos
x
x 2 n 1
(2n 1)!
(2n 1)!
80
Математика
81
Функция f(x) = cosx.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
cos x 1
x2 x4
x 2n
... (1) n
R2 n 1 ( x)
2! 4!
(2n)!
R2 n 1 ( x)
f ( 2 n 2) ( ) 2 n 2
cos
x
x 2n2
(2n 2)!
(2n 2)!
Функция f(x) = (1 + x).
( - действительное число)
f ( x) (1 x) 1 ;
f ( x) ( 1)(1 x)
2
;
f (0) ;
f (0) ( 1);
…………………………………………………..
f
( n)
( x) ( 1)( 2)...( (n 1))(1 x) n ;
Тогда:
(1 x) 1
x
( 1)
x 2 ...
f ( n) (0) ( 1)( 2)...( n 1)
( 1)...( n 1)
2 1
n!
( 1)...( n)
Rn1 ( x)
(1 x) ( n1) ;
(n 1)!
1
x n Rn1 ( x)
0 1
Если в полученной формуле принять = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0,
тогда
(1 x) n 1
n
n(n 1) 2
x
x ... x n
1!
2!
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Функция f(x) = ln(1 + x).
Получаем:
f(x) = ln(1 + x);
f(0) = 0;
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
1
;
1 x
1
f ( x)
;
(1 x) 2
1 (2)
f ( x)
;
(1 x) 3
f(x) =
f (0) 1;
f (0) 1;
f (0) 2;
………………………………………
f ( n ) ( x) (1) n 1
1
2
Итого: ln(1 x) x x 2
(n 1)!
;
(1 x) n
f ( n) ( x) (1) n1 (n 1)!;
1 2 3
(1) n1 (n 1)! n
x ...
x Rn1 ( x);
3!
n!
x2 x3
(1) n1 n
...
x Rn1 ( x)
2
3
n
n 1
(1) n n! x
Rn 1 ( x)
;
(n 1)! 1
ln(1 x) x
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью
приращения х.
Также можно воспользоваться формулой
dy f ( x)dx
Тогда абсолютная погрешность
y dy
Относительная погрешность
y dy
dy
Теоремы о среднем.
82
83
Математика
Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на
интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,
f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая
М = m и M m.
Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное
значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае
за можно принять любую точку интервала.
Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из
значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a <
< b точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для
любого х ( будем считать, что точка + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
f() = f( + x) – f() 0
При этом
f ( ) 0, если
x
0, если
x 0
x 0
Но так как по условию производная в точке существует, то существует
и предел lim
x 0
Т.к. lim
x 0
x 0
f ( )
.
x
f ( )
f ( )
0 и lim
0 , то можно сделать вывод:
x
x
x
x 0
f ( )
0, т.е.
x 0 x
lim
f ( ) 0.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем
f(a) = f(b) = = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая,
что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка,
в которой производная функции равна нулю.
2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную
(n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере
одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
a < < b, такая, что
f (b) f (a)
f ( ) .
ba
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия
теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом
отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы
Лагранжа.
Отношение
f (b) f (a)
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
ba
у
В
А
0 а
b
x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а,
84
Математика
85
b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может
быть и несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
f (b) f (a)
( x a)
ba
f (b) f (a)
F ( x) f ( x) f (a )
( x a)
ba
y f (a)
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на
отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , a < < b, такая что F() = 0.
Т.к.
F ( x) f ( x)
f (b) f (a)
f (b) f (a)
0 , следовательно
, то F ( ) f ( )
ba
ba
f ( )
f (b) f (a)
ba
Теорема доказана.
Определение. Выражение f (a) f (b) f ( )(b a) называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
y f ( x x)x ,
где 0 < < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a).
Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x) 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что
f (b) f (a) f ( )
.
g (b) g (a) g ( )
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке .
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для
каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка для каждой из функции в общем случае различна.
Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться
одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило,
поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F ( x) f ( x) f (a )
f (b) f (a)
( g ( x) g (a)) ,
g (b) g (a)
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует
такая точка ,
a < < b, такая, что F() = 0. Т.к.
f (b) f (a)
g ( x) , то
g (b) g (a)
f (b) f (a)
F ( ) 0 f ( )
g ( )
g (b) g (a)
F ( x) f ( x)
А т.к. g ( ) 0 , то
f (b) f (a) f ( x)
g (b) g (a) g ( x)
Теорема доказана.
Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является
частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши
очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей.
Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.
Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
86
Математика
87
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
0
; ; 0; 0 ; 1 ;
0
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и
f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
lim
x a
f ( x)
f ( x)
lim
g ( x) xa g ( x)
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
f ( x) f (a) f ( )
g ( x) g (a) g ( )
где - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
f ( x) f ( )
g ( x) g ( )
Пусть при ха отношение
f ( x)
стремится к некоторому пределу. Т.к.
g ( x)
точка лежит между точками а и х, то при ха получим а, а следовательно
и отношение
f ( )
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно запиg ( )
сать:
lim
x a
f ( x)
f ( x)
.
lim
g ( x) xa g ( x)
Теорема доказана.
Пример: Найти предел lim
x 1
x 2 1 ln x
.
ex e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида
. Функции, входящие в числитель и знаменатель
дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f(x) = 2x +
1
;
х
g(x) = ex;
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
f ( x)
lim
x 1 g ( x )
Пример: Найти предел lim
x
2arctgx
3
x
1
x 2 1 3 ;
x
e
e
e
2x
.
e 1
3
2
3
x
f ( x)
;
g
(
x
)
e
2 ;
2
1 x
x
2x 2
2
2
lim
.
3
(0 1) 1 (3) 3
x
(1 x 2 )e x (3)
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка
вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя
может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные
функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
x
xe 2
Пример: Найти предел lim
.
x x e x
x
1
g ( x) 1 e x ;
x) ;
2
x
x
x
x
1 2 1 2 x 2 1 2
g ( x) e x ;
f ( x) e e e e (4 x) ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4 x)
(4 x)
4
4
lim
lim
x
x
x
ex
e2
x
1
1 2
1
f ( x) ;
g ( x) e ;
lim x 0;
x
4
2
2e 2
f ( x) e 2 (1
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных,
домножение и др.).
Пример: Найти предел lim
x 0
e x e x 2x
.
x sin x
88
Математика
89
f ( x) e x e x 2 ;
lim
x 0
g ( x) 1 cos x ;
x
e e 2 11 2 0
- опять получилась неопределенность. Применим пра1 cos x
11
x
вило Лопиталя еще раз.
f ( x) e x e x ;
x
e e
x 0
sin x
x
lim
g ( x) sin x ;
11 0
- применяем правило Лопиталя еще раз.
f ( x) e x e x ;
g ( x) cos x ;
e x ex 2
2;
x 0
cos x
1
lim
Неопределенности вида 0 0 ; 1 ; 0 можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида y f ( x)g ( x ) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения
предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
xx .
Пример: Найти предел lim
x 0
x 0
Здесь y = xx, lny = xlnx.
ln x правило
1/ x
lim x 0;
lim
2
x
x 0
1
Лопиталя x 0 1 / x
x 0
x 0
x 0
x 0
x
тельно lim ln y ln lim y 0; lim y lim x x 1
Тогда lim ln y lim x ln x lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
. Следова-
x 0
x 0
x2
Пример: Найти предел lim 2 x .
x e
f ( x) 2 x;
g ( x) 2e 2 x ;
lim
x
x
; - получили неопределенность. Приме2x
e
няем правило Лопиталя еще раз.
f ( x) 2;
g ( x) 4e 2 x ;
lim
x
1
1
0;
2x
2e
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
y f ( x)
df ( x)
dx
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную
функции f(x).
y f ( x)
т.е. y = (y) или
d 2 f ( x)
dx 2
d 2 y d dy
.
dx 2 dx dx
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
d n y d d n 1 y
.
dx n dx dx n 1
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u v)(n) = u(n) v(n);
3) (u v) ( n) vu( n) nu ( n1) v
n(n 1) ( n2)
n(n 1)...[n (k 1)] ( nk ) ( k )
u
v ...
u
v ...
2!
k!
... uv ( n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Доказательство.
1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x)
при х<0,
90
Математика
91
тогда:
f ( x x) f ( x)
0,
x
lim
x 0
f ( x x) f ( x)
0.
x
2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем
x10, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.
Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает
на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то
f(x) убывает на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
y
y
x
x
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение
в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2)
при любом х (х может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум
и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также
путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1
максимум.
Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:
f ( x1 x) f ( x1 ) , т.е.
f ( x1 x) f ( x1 ) 0
Тогда
f ( x1 x) f ( x1 )
0
x
f ( x1 x) f ( x1 )
0
x
при х 0
при х 0
По определению:
lim
x 0
f ( x1 x) f ( x1 )
f ( x1 )
x
Т.е. если х0, но х<0, то f(x1) 0, а если х0, но х>0, то f(x1) 0.
А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в
некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция
имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная
которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только
перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в
которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
92
93
Математика
Пример: f(x) = x
Пример: f(x) = 3 х
y
y
x
x
В точке х = 0 функция имеет минимум, но
В точке х = 0 функция не имеет
ни
не имеет производной.
максимума, ни минимума, ни
производной.
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит
критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала
(кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x)
меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а
если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
f ( x) 0 при
xx
1
Пусть
f ( x) 0 при x x1
По теореме Лагранжа:
f(x) – f(x1) = f()(x – x1),
Тогда: 1) Если х < x1, то < x1;
где x < < x1.
f()>0; f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
2) Если х > x1, то > x1 f()<0; f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий
при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1)
2)
3)
4)
Найти критические точки функции.
Найти значения функции в критических точках.
Найти значения функции на концах отрезка.
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум,
если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Доказательство.
Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет
отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.
Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1,
но f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при хx1. Это и означает, что при
переходе через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в
этой точке функция f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
94
95
Математика
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b),
если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая,
обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная
выпуклостью вниз – называется вогнутой.
у
x
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная
функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх
(выпукла).
Доказательство. Пусть х0 (a, b). Проведем касательную к кривой в
этой точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной: y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
Следует доказать, что y y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):
x.
y y f (c)( x x0 ) f ( x0 )( x x0 ) , x0 < c <
y y ( x x0 )[ f (c) f ( x0 )]
По теореме Лагранжа для f (c) f ( x0 ) : y y f (c1 )(c x0 )( x x0 ),
x0 c1 c
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по
условию
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
f (c1 ) 0 , следовательно,
y y 0.
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию
f (c1 ) 0, то
y y 0.
Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая
y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой,
называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая
производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а
f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда
при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Теорема доказана.
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х
точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние
от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
96
97
Математика
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот
имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции
и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте,
может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном
x
ниже графике функции y x e 3 sin x . Ее наклонная асимптота у = х.
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если xlim
f ( x) или lim f ( x)
a 0
x a 0
или lim
f ( x) , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
x a
Например, для функции f ( x)
2
прямая х = 5 является вертикальной
x5
асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
15
12. 5
10
7. 5
5
2. 5
1
2
3
4
M
N
P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М,
Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = y - ордината точки N на
асимптоте.
MP 0 ,
По условию: lim
x
NMP = ,
NM
MP
cos
.
Угол - постоянный и не равный 900, тогда
lim MP lim NM cos lim NM 0
x
x
x
NM MQ QN y y f ( x) (kx b)
Тогда lim
[ f ( x) (kx b)] 0 .
x
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения
этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
b
f ( x)
lim x
k 0
x
x
x
98
99
Математика
b
Т.к. х, то lim
k 0 , т.к. b = const, то lim 0; lim k k .
x x
x
x
x
x
f ( x)
Тогда lim
x
b
f ( x)
k 0 0 , следовательно,
x
k lim
x
f ( x)
.
x
Т.к. lim f ( x) (kx b) 0 , то lim f ( x) kx lim b 0 , следовательно,
x
x
x
b lim f ( x) kx
x
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем
наклонных асимптот при k =0.
x 2 2x 1
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
.
x
1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0:
но, х = 0- вертикальная асимптота.
y-
x0+0, следователь-
2) Наклонные асимптоты:
x 2 2x 1
2 1
lim 1 2 1
2
x
x
x
x x
k lim
x 2 2x 1
x 2 2x 1 x 2
1
2x 1
lim
b lim ( f ( x) x) lim
x lim
lim 2 2
x
x
x
x
x
x
x x x
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
9x
.
9 x2
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
9
0
9 x2
9
9x
b lim
lim x 0
x 9 x 2
x 9
1
x2
Найдем наклонные асимптоты: k lim
x
y = 0 – горизонтальная асимптота.
6
4
2
- 7. 5
-5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
-2
-4
-6
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
x 2 2x 3
.
x2
100
101
Математика
x 2 2x 3
x 2 2x 3
k lim
lim
lim
x
x
x
x( x 2)
x 2 2x
2 3
x x 2 1.
2
1
x
1
3
4
x 2 2x 3
x 2 2x 3 x 2 2x
4x 3
x 4
lim
b lim
x lim
lim
x
x
x
x
2
x2
x2
x2
1
x
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
20
15
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для
наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика
необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пример. Исследовать функцию y
x3
и построить ее график.
x2 1
Находим область существования функции. Очевидно, что областью
определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
y
3x 2 ( x 2 1) 2 x x 3 3x 4 3x 2 2 x 4 x 4 3x 2
2
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
( x 1) 2
Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x = 3 ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
y
(4 x 3 6 x)( x 2 1) 2 ( x 4 3x 2 )4 x( x 2 1)
( x 2 1) 4
(4 x 3 6 x)( x 4 2 x 2 1) ( x 4 3x 2 )(4 x 3 4 x)
( x 2 1) 4
4 x 7 8 x 5 4 x 3 6 x 5 12 x 3 6 x 4 x 7 4 x 5 12 x 5 12 x 3
( x 2 1) 4
2 x 5 4 x 3 6 x 2 x( x 4 2 x 2 3) 2 x( x 2 3)( x 2 1) 2 x( x 2 3)
.
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1) 3
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
0 < x < 1,
1 < x < 3,
3 < x < ,
y < 0, кривая выпуклая
y < 0, кривая выпуклая
y > 0, кривая вогнутая
y < 0, кривая выпуклая
y > 0, кривая вогнутая
y > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
y > 0, функция возрастает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
102
103
Математика
0 < x < 1,
1 < x < 3,
3 < x < ,
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 3 /2 и -3 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные асимптоты.
x2
lim
x x 2 1
x
k lim
1
1
1 2
x
1;
1
x
x
x x x
x
lim 2
b lim 2
x lim
lim
0
2
x x 1
x
x
1
x 1 x
x 1
1 2
x
3
3
3
Итого, уравнение наклонной асимптоты –
y = x.
Построим график функции:
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y 3 1 x 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа
(-; ).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
3
f ( x)
1 x3
1 x3
1
lim
lim 3
lim 3 3 1 1;
3
x
x
x
x
x
x
x
x
(1 x 3 x 3 )
b lim ( f ( x) kx) lim (3 1 x 3 x) lim
0;
2
x
x
x 3
3
3
2
3
1 x x 1 x x
k lim
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
1
y (1 x 3 ) 2 / 3 3x 2 . Видно, что у 0 при любом х 0, следовательно, функция
3
убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0
первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не
сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего
имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную
функции.
y
2x
3
(1 x 3 ) 5
y = 0 при х =0 и y = при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(h) > 0; y(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.
104
Математика
105
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Пример: Исследовать функцию y
x3 4
и построить ее график.
x2
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 3 4
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва lim
y , следовательно, прямая х = 0
x 0
является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
f ( x)
x3 4
4
k lim
lim
lim 1 3 1
3
x
x
x
x
x
x
3
x 4
4
b lim ( f ( x) kx) lim 2 x lim 3 0.
x
x
x
x
x
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
y 1
8
; y = 0 при х = 2, у = при х = 0.
x3
y > 0 при х (-, 0) – функция возрастает,
y < 0 при х (0, 2) – функция убывает,
у > 0 при х (2, ) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим
вторую производную.
y
24
> 0 при любом х 0, следовательно, функция вогнутая на всей области
x4
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
определения.
6. Построим график функции.
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Пример: Исследовать функцию y x( x 1) 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции является промежуток х (-, ).
2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
4. Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
k lim
x
f ( x)
x( x 1) 3
lim
- наклонных асимптот не существует.
x
x
x
5. Находим точки экстремума.
y x( x 3 3 x 2 3 x 1 x 4 3 x 3 3 x 2 x 4 x 3 9 x 2 6 x 1
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1
= 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является
число
х = 1. Тогда:
4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
4x3 – 4x2
4x2 – 5x + 1
- 5x2 + 6x
106
Математика
107
- 5x2 + 5x
x-1
x-1
Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при
нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
y x( x 1) 3 ( x 1) 3 3x( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1 3x) ( x 1) 2 (4 x 1)
Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю,
находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
(- ; ¼)
f(x)
f(x)
f(x)
+
убывает
вып.вниз
(¼;
1/4
1/2
(½ ;1)
+
пер
еги
б
+
возрастае пер
т
еги
вып.ввер б
х
1
½)
+
+
+
min возрастает
вып.вниз
6. Построим график функции.
(1 ; )
+
+
возрастае
т
вып. вниз
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
0. 4
0. 2
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
- 0. 2
- 0. 4
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией
функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может
быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется
совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают: f ( x)dx F ( x) C;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
108
Математика
109
Свойства:
f ( x)dx (F ( x) C) f ( x);
2. d f ( x)dx f ( x)dx;
1.
3. dF ( x) F ( x) C;
4. (u v w)dx udx vdx wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
6.
C f ( x)dx C f ( x)dx;
1
3
Пример: ( x 2 2 sin x 1)dx x 2 dx 2 sin xdx dx x 3 2 cos x x C;
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают
иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Интеграл
1
2
3
4
5
6
tgxdx
ctgxdx
a dx
x
dx
x2
dx
x2 a2
dx
a
2
x2 a2
7
x
8
dx
x
dx
Значение
-lncosx+C
lnsinx+ C
Интеграл
9
10
ax
C
ln a
1
x
arctg C
a
a
1
xa
ln
C
2a x a
11
ln x x 2 a 2 C
14
x 1
C , 1
1
15
ln x C
12
13
16
e dx
cos xdx
sin xdx
x
1
cos
2
dx
x
1
sin 2 x dx
dx
a2 x2
1
cos x dx
1
sin x dx
Значение
ex + C
sinx + C
-cosx + C
tgx + C
-ctgx + C
arcsin
x
+C
a
x
ln tg C
2 4
x
ln tg C
2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о
возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого
значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла
ференцирования ln x
dx
. На основе известной формулы дифx
1
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
x
ln x C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
ln( x) 1 (1) 1 . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
x
x
dx
x ln x C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы
недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать,
конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах,
приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим
только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для
которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл
f ( x)dx , но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
f ( x)dx f ((t ))(t )dt
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
110
Математика
111
d f ( x)dx d
f [(t)](t)dt
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)](t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением.
Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
sin x cos xdx .
2
2
t dt t 1 / 2 dt t 3 / 2 C sin 3 / 2 x C.
3
3
Пример. x( x 2 1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
t 5/ 2
( x 2 1) 5 / 2
C
C
C;
5
5
Замена t x 2 1; dt 2 xdx; dx
t
3/ 2
dt 1 3 / 2
1 2
t dt t 5 / 2
2 2
2 5
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: d (uv) udv vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
или
uv udv vdu
udv uv vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
u x 2 ; dv sin xdx;
2
Пример. x sin xdx
x cos x cos x 2 xdx
du 2 xdx; v cos x
u x; dv cos xdx;
2
2
x cos x 2 x sin x sin xdx x cos x 2 x sin x 2 cos x C.
du dx; v sin x
2
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям
позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
e sin x sin x 2e dx
dv cos xdx; v sin x
Пример. e 2 x cos xdx
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
2x
2x
e sin x 2 e cos x cos x 2e dx e sin x
dv sin xdx; v cos x;
2e 2 x cos x 4 cos xe 2 x dx
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям
функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в
левую часть равенства.
5 e 2 x cos xdx e 2 x (sin x 2 cos x)
e2x
e cos xdx 5 (sin x 2 cos x) C.
2x
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных
классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.
Пример.
1 21 1
t 21
(2 x 1) 21
20
20 1
(
2
x
1
)
dx
2
x
1
t
;
dt
2
dx
;
t
dt
t
C
C
C
2 21 2
42
42
Пример.
2 x2 2 x2
cos x
4 x
x
arcsin
C.
2
4
2 x2 2 x2
dx
2 x
2
2 x
2
dx
dx
2 x
2
dx
2 x
2
ln x x 2 2
Пример.
sin 3 x
dx
sin
2 sin 1 / 2 x C
Пример.
3/ 2
x cos xdx sin x t; dt cos xdx
2
sin x
C.
t
3/ 2
dt 2t 1 / 2 C
112
Математика
113
u x 2 ; dv e 5 x dx;
1 5x
x 2e5x 2
1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx
e
x
e
2
xdx
xe 5 x dx
e 5
5
5
5
;
du 2 xdx; v
5
u x; dv e 5 x dx;
1 5 x x 2 e 5 x 2 xe 5 x
2
x 2 e 5 x 2 xe 5 x
e dx
e 5 x dx
1 5x
5
5
5
5
5
25
25
du dx; v e ;
5
x 2 e 5 x 2 xe 5 x 2e 5 x e 5 x 2 2 x 2
.
x
5
25
125
5
5 25
Пример.
dx
x 2x 8
2
dx
x 2x 1 9
2
dx d ( x 1)
d ( x 1)
9 ( x 1) 2
x 1 t
t
x 1
arcsin C arcsin
C.
3
3
32 t 2
dt
Пример.
1
u ln x; dv 3 dx;
ln x
ln x
1 1
ln x 1 dx
ln x
x
2 2 dx 2 3 2
x 3 dx 1
2 x
2x
2x x
2x
2x
du dx; v 1 ;
2
x
2x
1 1
ln x
1
x 2 C 2 2 C.
2 2
2x
4x
Пример.
u ln x; dv xdx;
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2
x2
2
x
ln
xdx
ln
x
dx
xdx
C
1
x
2 x
2
2
2
2
4
du
dx
;
v
;
x
2
x2
(2 ln x 1) C.
4
Пример.
e
cos2 x
sin 2 xdx t e cos x ; dt e cos x 2 cos x sin x sin 2 x e cos x dx; dt t C
2
e cos x C.
Пример.
2
2
2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
dx
( x 1)
x t;
x
dt
1
1
2tdt
dt
2
2 2
2arctgt C 2arctg x C.
dx 2 x 2t
(t 1)t
t 1
Пример.
x
2
dx
dx
1
dx
1
x 3
arctg
C.
2
2
16
6 x 25
( x 3) 16 16 x 3
4
1
4
Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех
типов:
I.
II.
1
;
ax b
1
;
(ax b) m
III.
Mx N
;
ax 2 bx c
IV.
Mx N
(ax bx c) n
2
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто
приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
dx
1 dt 1
1
ln t C ln ax b C.
t
a
a
I.
ax b a
II.
(ax b)
dx
m
1 dt
1
1
C
C;
m
m 1
a t
a(m 1)t
a(m 1)(ax b) m1
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
A
Ap
(2 x p) B
Ax B
A
2x p
Ap
dx
2
2
dx 2
dx B
2
2
x 2 px q dx
2 x px q
2 x px q
x px q
A
Ap
dx
A
2 B Ap
ln x 2 px q B
ln x 2 px q
2
2
2
2
p
p 2
4q p 2
x q
2
4
2x p
arctg
C
4q p 2
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум таб-
114
Математика
115
личным интегралам.
Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.
Пример.
u 6 x 5; du 6dx;
7x 2
84 x 24
84 x 24
3x 2 5x 4 dx 36 x 2 60 x 48 dx (6 x 5) 2 23 dx x u 5 ;
6
1 14u 70 24
7
udu
23
du
7
23
u
du 2
2
ln(u 2 23)
arctg
C
2
6
3 u 23 3 u 23 6
u 23
3 23
23
7
23
6x 5
ln 36 x 2 60 x 48
arctg
C.
6
3
23
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то
дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример.
x
2
u x 3; du dx;
5x 3
5x 3
5u 15 3
udu
dx
dx
du 5 2
2
2
6 x 40
( x 3) 49
u 49
u 49
x u 3;
18
du
5
18 u 7
5
9
x4
ln u 2 49 ln
C ln x 2 6 x 40 ln
C.
14 u 7
2
7 x 10
u 49 2
2
Пример.
3x 4
7 x 2 6x
13
du
16 u
2
dx
u x 3; du dx;
3u 9 4
udu
dx
du 3
x u 3;
16 ( x 3) 2
16 u 2
16 u 2
3x 4
3 16 u 2 13 arcsin
u
x3
C 3 7 x 2 6 x 13 arcsin
C.
4
4
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
dx
можно путем выделения в знаменателе пол bx c) n
du
ного квадрата представить в виде 2
. Сделаем следующее преобразова(u s) n
Тогда интеграл вида
ние:
(ax
2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
du
1 s u2 u2
1
du
1
u 2 du
.
du
(u 2 s) n s (u 2 s) n
s (u 2 s) n 1 s (u 2 s) n
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
udu
dv1 (u 2 s ) n ; u1 u; du1 du;
Обозначим:
udu
1
v
;
1
(u 2 s) n 2(n 1)(u 2 s) n1
u 2 du
u
1
du
(u 2 s) n (2n 2)(u 2 s) n1 2n 2 (u 2 s) n1 ;
Для исходного интеграла получаем:
(u
2
(u
2
du
1
du
u
1
du
2
n
n 1
2
n 1
2
s (u s)
s(2n 2) (u s) n1
s)
s(2n 2)(u s)
du
u
2n 3
du
.
n
2
n 1
2
s(2n 2) (u s) n1
s)
s(2n 2)(u s)
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то
u
получится табличный интеграл
du
.
s
2
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем
случае.
u 2ax b; du 2adx;
Mx N
Mx N
n
(ax 2 bx c) n dx (4a) (2ax b) 2 (4ac b 2 ) n dx x u b ; s 4ac b 2 ;
2a
M (u b)
N
n
( 4a )
( 4a ) n M
udu
2aN Mb
du
2
a
du
2
2
n
n
2
2a
2a 2a (u s )
2a
(u s)
(u s) n
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2
+ s приводится к табличному
dt
t
n
, а ко второму интегралу применяется рас-
смотренная выше рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби
вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой
степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень
простую реализацию этого метода на ЭВМ.
Пример:
116
Математика
117
(x
2
u x 2; du dx;
3x 5
3x 5
3u 6 5
dx
dx
du
2
2
2
2
4 x 7)
(( x 2) 3)
(u 3) 2
x u 2;
t u 2 3; 3 dt
udu
du
u
1
du
3 2
11 2
2 11
2
2
2
2
(u 3)
(u 3)
3 2(u 3) 3 2 u 3
dt 2udu; 2 t
3
11u
11
u
3
11( x 2)
11
x2
arctg
C
arctg
C.
2
2
2
2t 6(u 3) 6 3
2( x 4 x 7) 6( x 4 x 7) 6 3
3
3
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема: Если R( x)
Q( x)
- правильная рациональная дробь, знаменатель
P( x)
P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами
может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2
+ rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей
схеме:
B
A
A
A2
B1
B2
M x N1
Q( x)
1
...
...
...
21
2
2
P( x) x a ( x a )
( x b) ( x b)
( x a)
( x b)
x px q
R x S
M x N
M x N2
R x S1
R x S2
2 2
... 2
... 2 1
22
... 2
2
2
( x px q)
( x px q)
x rx s ( x rx s)
( x rx s)
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si
применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно
равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
9 x 30 x 2 28 x 88
( x 2 6 x 8)( x 2 4) dx
3
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Т.к. ( x 2 6 x 8)( x 2 4) ( x 2)( x 4)( x 2 4) , то
9 x 3 30 x 2 28 x 88
A
B
Cx D
2
2
( x 2)( x 4)( x 4) x 2 x 4 x 4
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители,
получаем:
A( x 4)( x 2 4) B( x 2)( x 2 4) (Cx D)( x 2 6 x 8) 9 x 3 30 x 2 28x 88
( A B C ) x 3 (4 A 2 B 6C D) x 2 (4 A 4 B 8C 6 D) x (16 A 8B 8D)
9 x 3 30 x 2 28 x 88.
A B C 9
4 A 2 B 6C D 30
4 A 4 B 8C 6 D 28
16 A 8B 8D 88
C 9 A B
D 30 4 A 2 B 54 6 A 6 B
2 A 2 B 4C 3D 14
2 A B D 11
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
2 A 2 B 36 4 A 4 B 72 6 A 12 B 14
2 A B 24 2 A 4 B 11
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
50 10 B 5B 35
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
B 3
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
4 A 5B 35
A 5
B 3
C 1
D 2
Итого:
x2
x
2
dx 5 ln x 2 3 ln x 4 2
dx 2
dx
2
4
x 4
x 4
1
x
5 ln x 2 3 ln x 4 ln( x 2 4) arctg C.
2
2
5
3
x 2 dx x 4 dx x
Пример.
6 x 5 8 x 4 25 x 3 20 x 2 76 x 7
dx
3x 3 4 x 2 17 x 6
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее
целую часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7
3x3 – 4x2 – 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2
2x2 + 3
118
Математика
119
9x3 + 8x2 – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
2
20 x 2 25 x 25
4 x 2 5x 5
2
2
2
x
3
dx
2
x
dx
3
dx
5
dx x 3 3x
3
2
3
2
3
3x 4 x 17 x 6
3x 4 x 17 x 6
2
4 x 5x 5
5 3
dx
3x 4 x 2 17 x 6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3
знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6
x-3
3
2
2
3x – 9x
3x + 5x - 2
2
5x – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
3
2
Таким образом 3x – 4x – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x –
1). Тогда:
4 x 2 5x 5
A
B
C
( x 3)( x 2)(3x 1) x 3 x 2 3x 1
A( x 2)(3x 1) B( x 3)(3x 1) C ( x 3)( x 2) 4 x 2 5x 5
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в
некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3.
Получаем:
40 A 16
35 B 21
C 1
A 2 / 5
B 3 / 5
C 1
Окончательно получаем:
2
dx
dx
dx
6 x 5 8 x 4 25 x 3 20 x 2 76 x 7
2
5
dx = x 3 3x 3
3
2
3
x2
x 3
3x 1
3x 4 x 17 x 6
2 3
5
x 3x 3 ln x 2 2 ln x 3 ln 3x 1 C.
3
3
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пример.
3x 4 14 x 2 7 x 15
A
Bx C
Dx E
( x 3)( x 2 2) 2 dx x 3 dx ( x 2 2) 2 dx x 2 2 dx
Найдем неопределенные коэффициенты:
A( x 2 2) 2 ( Bx C )( x 3) ( Dx E )( x 3)( x 2 2) 3x 4 14 x 2 7 x 15
Ax 4 4 Ax 2 4 A Bx 2 3Bx Cx 3C Dx 4 2 Dx 2 3Dx 3 6 Dx Ex 3 2 Ex 3Ex 2 6 E
( D A) x 4 (3D E ) x 3 ( A B 2 D 3E 4 A) x 2 (3B C 6 D 2 E ) x (2 A 3C 6 E 4 A)
D A 3
3D E 0
B 2 D 3E 4 A 14
3B C 6 D 2 E 7
3C 6 E 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
B 11A 35
3B C 7
3C 22 A 69
D 3 A
E 9 3 A
B 6 2 A 27 9 A 4 A 14
3B C 18 6 A 18 6 A 7
3C 54 18 A 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
11A 35 B
C 7 3B
21 9 B 70 2 B 69
A 3
B 2
C 1
D 0
E 0
Тогда значение заданного интеграла:
dx
2x 1
dx
x
dx
1
2
dx 3
2 2
dx 2
3 ln x 3 2
2
2
2
x3
x3
( x 2)
( x 2)
( x 2)
x 2
x
1
x
arctg
C.
2
4( x 2) 4 2
2
3
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно
много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут
быть проинтегрированы всегда.
120
121
Математика
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx .
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных
sinx и cosx.
x
2
Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t tg . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
x
1 tg 2
2
2t
2 1 t ;
,
sin x
cos
x
x 1 t2
x 1 t2
1 tg 2
1 tg 2
2
2
2dt
dx
;
Тогда x 2arctgt ;
1 t 2
2t 1 t 2 2
,
dt r (t )dt.
Таким образом: R(sin x, cos x)dx R
2
2
2
1
t
1
t
1 t
2tg
x
2
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример.
2dt
dt
dt
1 t2
2
2 2
2
2
2
2t
1 t
8t 3 3t 5 5t
2t 8t 8
4
3
5
1 t2
1 t2
dt
dt
1
1
2
C
C.
2
x
t2
t 4t 4
(t 2)
tg 2
2
dx
4 sin x 3 cos x 5
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
dx
2dt
9 8 cos x sin x
8(1 t )
2t
(1 t 2 ) 9
2
1 t
1 t2
x
tg 1
1
t 1
1
arctg
C arctg 2
C.
2
4
2
4
2
2
dt
dt
2
t 2t 17
(t 1) 2 16
2
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
R(sin x, cos x)dx
Функция
R(sin x, cos x)
cos xdx
cos x
R(sin x, cos x)
может содержать cosx только в четных степенях, а следоcos x
вательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно
sinx.
R(sin x, cos x)dx r (sin x) cos xdx r (t )dt.
Пример.
sin x t
cos 7 xdx
sin 4 x dt cos xdx
cos 2 x 1 sin 2
(1 t 2 ) 3
1 3t 2 3t 4 t 6
dt
dt
dt
dt 4 3 2
4
4
t
t
t
t
x
1 3
1 3
1
3
sin 3 x
2
3 dt t dt 3 3t t
3 sin x
C.
t
3
3
3t
3 sin 3 x sin x
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию
может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t =
cosx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (cos x) sin xdx r (t )dt.
122
Математика
123
Пример.
(t 2) 2 4t 5
cos x t
sin x
1 t2
t 2 4t 4 4t 5
dx
dt
dt
dt
2 cos x
2t
t 2
t2
dt sin xdx
2
4t
5
tdt
dt
t
t
t 2
dt tdt 2dt 4
5
2t 5 ln t 2 4
dt
t 2 t 2
t2
t2 2
t2
3
A
t
t 2 t 2 B
dt
t2
A Bt 2 t t 2
4 dt 2t 5 ln t 2 8 ln t 2 4t
2t 5 ln t 2 8
t2
2
B 1, A 2 2
t
2
1
t 2 t 2
2
t
cos 2 x
2t 3 ln t 2 C
2 cos x 3 ln(cos x 2) C.
2
2
Интеграл вида R(sin x, cos x)dx
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка
t = tgx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (t )dt
Пример.
1
tgx t ;
2
dx
cos
x
sin 2 x 6 sin x cos x 16 cos 2 x tg 2 x 6tgx 16 dx 1 dx d (tgx ) dt
cos 2 x
dt
dt
1 tgx 3 5
1 tgx 2
ln
C ln
C.
2
10 tgx 8
t 6t 16
(t 3) 25 10 tgx 3 5
2
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
1 sin(m n) x sin(m n) x
mn
m n
1
1 cos(m n) x cos(m n) x
sin mx cos nxdx 2 sin(m n) x sin(m n) xdx 2 m n m n
1
cos mx cos nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
1 sin(m n) sin(m n)
mn
m n
1
sin mx sin nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2
Пример.
1
1
1
1
sin 7 x sin 2 xdx 2 cos 5xdx 2 cos 9 xdx 10 sin 5x 18 sin 9 x C.
Пример.
1
1
sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx sin 10 x[cos 7 x cos 4 x]dx 2 sin 10 x cos 11xdx 2 sin 10 x cos 3xdx
1
1
1
1
1
1
1
sin 21xdx sin xdx sin 13xdx sin 7 xdx cos 21x cos x cos 13x
4
4
4
4
84
4
52
1
cos 7 x C.
28
Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.
Пример.
sin
2
dx
4dx
2
dctg 2 x
2ctg 2 x C
2
2
x cos x
sin 2 x dx
sin 2 x
Пример.
2
1
1
1 1
4
2
2
sin xdx 2 2 cos 2 x dx 4 (1 cos 2 x) dx 4 (1 2 cos 2 x cos 2 x)dx
1
1
1
x 1
1 1
x sin 2 x
dx cos 2 xdx cos 2 2 xdx sin 2 x (1 cos 4 x)dx
4
2
4
4 4
4 2
4
4
1
x sin 2 x x sin 4 x 1 3x
sin 4 x
dx cos 4 xdx
sin 2 x
C.
8
4
4
8
32
4 2
8
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример.
124
Математика
125
1
u
u ln x; du dx;
p cos u; dq e du;
u
e u cos u
x e cos udu
cos(ln x)dx u
u
x e ; dx e u du;
dp sin udu; q e ;
u
p sin u; dq e du;
e sin udu
e u cos u e u sin u e u cos udu;
u
dp cos udu; q e ;
u
Итого
e
u
cos udu e u (cos u sin u) e u cos udu
eu
(cos u sin u ) C
2
1
x
x cos(ln x) x dx 2 (cos(ln x) sin(ln x)) C
x
cos(ln x)dx 2 cos 4 ln x C;
u
e cos udu
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как
известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.
ax b
dx где n- натуральное число.
Интеграл вида R x, n
cx d
ax b
t функция рационализируется.
cx d
tn b
ax b
tn b
n
dt ;
t ;
x
;
dx
n
cx d
a ct n
a ct
t n b t n b
ax
b
dx R
Тогда R x, n
a ct n , t a ct n dt r (t )dt.
cx
d
С помощью подстановки
Пример.
n
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
2dx
4
1 2 x t; dt
4
1 2x 1 2x
4 4 1 2x
dx
3
dx
2t 3 dt
t 2 dt
;
2
t2 t
t 1
2t 3
t
t
1
2
2 t
dt t 2 2 1
dt 2 tdt 2
dt t 2t 2 ln t 1 C
t
1
t
1
t
1
1 2 x 24 1 2 x 2 ln 4 1 2 x 1 C.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной
наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример.
12 x 1 t ; x 1 t 12 ;
(t 4 t 3 )12t 11dt
t3 t2
dx
12
( x 1) 1 6 x 1
t 12 (1 t 2 )
t 2 1 dt
dx 12t 11dt ;
3
x 1 4 x 1
t3
t2
t
1
tdt
12 2
dt 2
dt 12 t 2
12 dt
dt 1 2
dt 12 tdt 12 2
t 1
t 1
t 1
t 1
t 1
dt
12
6t 2 12t 6 ln(t 2 1) 12arctgt C 66 x 1 1212 x 1 6 ln( 6 x 1 1)
1 t2
12arctg 12 x 1 C.
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от
биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные
функции только в следующих трех случаях:
1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
t x , где - общий знаменатель m и n.
2) Если
m 1
- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
n
126
127
Математика
t s a bx n , где s – знаменатель числа р.
m 1
a bx n
s
p - целое число, то используется подстановка t
3) Если
, где s –
n
xn
знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
Интегралы вида R x, ax 2 bx c dx .
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В
зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата
может быть приведен к виду:
u 2 m2 .
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
1) R(u, m 2 u 2 )du;
2)
3)
R(u,
R(u,
m 2 u 2 )du;
u 2 m 2 )du;
1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида R(u, m 2 u 2 )du подстановкой u m sin t или
u m cos t сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или
cost.
Пример:
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
x a sin t ;
a2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
dx
a
a
sin
t
a
cos
tdt
a
cos
t
dt
(1 cos 2t )dt
2
dx a cos tdt
a 2t a 2
a 2t a 2
a2
x x
sin 2t C
sin t cos t C
arcsin
a 2 x 2 C.
2
4
2
2
2
a 2
Теорема: Интеграл вида R(u, m 2 u 2 )du подстановкой u mtgt или
u mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и
cost.
Пример:
a
x atgt ; dx
dt ;
2
dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1 (1 sin 2 t )d sin t
cos t
x4 a2 x2
cos 2 ta 4 tg 4 ta a 4 sin 4 t a 4
sin 4 t
a2 x2 a ;
cos t
1
1
a2
x
(a 2 x 2 ) 3 / 2
a2 x2
4
C sin t 1 2
C.
3a sin 3 t a 4 sin t
a x2
3a 4 x 3
a4 x
a 2 x 2
1
Теорема: Интеграл вида R(u, u 2 m 2 )du подстановкой u
или
sin t
1
u
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или
cos t
cost.
Пример:
2
2 sin t
dt ;
dx
2 sin t cos tdt
1
x cos t ; dx
2
cos
t
ctg 4 tdt
2
5
5
x( x 2 4) 5 / 2
cos t 2 2 tg t 32
x 2 4 2tgt ;
1
1
1
1
1 1
1
ctg 2 t 2 1dt ctg 2 td (ctgt ) ctg 2 tdt ctg 3t 2 1dt
32
32
32
96
32 sin t
sin t
1
1
t
ctg 3t ctgt
C ctgt
96
32
32
1
2
arccos C.
32
x
1
1
2
3/ 2
2
12( x 4)
x 4
16 x 2 4
2
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)
1) Если а>0, то интеграл вида
новкой
R( x,
ax 2 bx c )dx рационализируется подста-
128
129
Математика
ax 2 bx c t x a .
2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида
R( x,
ax 2 bx c )dx рационализируется
подстановкой ax 2 bx c tx c .
3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные
множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида R( x, ax 2 bx c )dx рационализируется подстановкой ax 2 bx c t ( x x1 ) .
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,
т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический
интерес.
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
I .
P( x)dx
ax 2 bx c
;
II . P( x) ax 2 bx c dx;
III .
dx
( x ) n ax 2 bx c
;
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I
типа.
Далее делается следующее преобразование:
P( x)dx
ax 2 bx c
Q( x) ax 2 bx c
dx
ax 2 bx c
;
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени
многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.
Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на ax 2 bx c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты многочлена
Q(x).
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше
единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
является производной подкоренного выражения.
Пример.
3x 3 7 x 2 1
x 2 2x 5
dx ( Ax 2 Bx C ) x 2 2 x 5
dx
.
x 2 2x 5
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax 2 bx c
и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
3x 3 7 x 2 1
(2 Ax B) x 2 2 x 5
Ax 2 Bx C
( x 1)
x 2 2x 5
x 2 2x 5
x 2 2x 5
(2 Ax B)( x 2 2 x 5) ( Ax 2 Bx C )( x 1) = 3x 3 7 x 2 1
2 Ax 3 4 Ax 2 10 Ax Bx 2 2Bx 5B Ax 3 Bx 2 Cx Ax 2 Bx C = 3x 3 7 x 2 1
3 Ax 3 (5 A 2B) x 2 (10 A 3B C ) x 5B C 3x 3 7 x 2 1
A 1
A 1
5 A 2 B 7
B 1
10 A 3B C 0
C 13
5B C 1
7
Итого
3x 3 7 x 2 1
x 2x 5
2
dx ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7
dx
( x 1) 2 4
=
= ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7 ln( x 1 x 2 2 x 5) C.
Пример.
2
2
(4 x 6 x) x 3dx
(4 x 2 6 x)( x 2 3)
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18 x
x 3
2
dx ( Ax 3 Bx 2 Cx D) x 2 3
(3 Ax 2 2 Bx C ) x 2 3
( Ax 3 Bx 2 Cx D) x
dx
x2 3
x2 3
x2 3
x2 3
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x (3 Ax 2 2Bx C )( x 2 3) Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x 3 Ax 4 2Bx 3 Cx 2 9 Ax 2 6Bx 3C Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x 4 Ax 4 3Bx 3 (2C 9 A) x 2 (6B D) x 3C
A 1; B 2; C 3 / 2; D 6; 9 / 2;
3
9
3
2
2
2
2
2
(4 x 6 x) x 3dx x 2 x 2 x 6 x 3 2 ln x x 3 C.
130
Математика
131
Пример.
x
3
1
x ;
dx
v 3 dv
v 2 dv
dv
v
( Av B) 1 v 2
1
x 2 1 dx dv
1 v2
1 v2
2
v
1
2
2
v
v
2
v
( Av B)v
A 1 v2
1 v2
1 v2
1 v2
v 2 A Av 2 Av 2 Bv
v 2 2 Av 2 Bv A
A 1 / 2; B 0; 1 / 2;
v 2 dv
1 v2
v 1 v2 1
1 x2 1
1
arcsin v
arcsin
C
2
2
2 x 2
x
Второй способ решения того же самого примера.
sin t
1
tgt
4
x
;
dx
dt
;
dx
cos 2 t dt sin t cos t dt cos 2 tdt
cos
t
cos
t
x3 x2 1
1
cos 2 t sin t
x 2 1 tgt ;
tgt
cos 3 t
1
1
1
1 x 2 1
1 cos 2t dt t sin 2t sin 2t 2 sin t cos t 2
2
2
4
x
x
1
1
arccos
2
x
x 2 1
C.
x 2
С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
arcsin
1
1
arccos , а постоянная интегрирования С – произвольное число, отx 2
x
веты, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно
применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пример.
x sin t ;
dx
cos tdt
dt
x
(1 x 2 ) 3 / 2 dx cos tdt ; cos 3 t cos 2 t tgt C 1 x 2 C.
2
cos t 1 x
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
a
xi
b
x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение
функции.
[x0, x1] m1, M1; [x1, x2] m2, M2; … [xn-1, xn] mn, Mn.
132
133
Математика
Составим суммы:
S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
n
m x
i
i 1
n
i
M x
i 1
i
i
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S – верхней интегральной суммой.
Т.к. mi Mi, то S n S n, а m(b – a) S n S n M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
n
n
i 1
i
i
i
n
m x f ( )x M x
i
f ( )x
i 1
Тогда можно записать: mixi f(i)xi Mixi
Следовательно,
n
i
i 1
i
i 1
i
i
Sn Sn Sn
Геометрически это представляется следующим образом: график функции
f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к
бесконечности.
n
Если S n f ( i )xi , то
i 1
lim
max xi 0
n
f ( )x
i 1
i
i
S.
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что
n
maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма S n f ( i )xi
i 1
стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x)
на отрезке [a, b].
b
Обозначение :
f ( x)dx.
a
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] –
отрезок интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел
n
lim
max xi 0
i 1
b
f ( i )xi
f ( x)dx, то функция называется интегрируемой на отрезке [a,
a
b].
Также верны утверждения:
lim
max xi 0
lim
max xi 0
b
n
m x f ( x)dx
i
i 1
i
a
b
n
M x f ( x)dx
i
i 1
i
a
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1)
b
b
a
a
Af ( x)dx A f ( x)dx;
b
2)
( f ( x) f
1
a
2
b
b
a
a
( x))dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a
3)
f ( x)dx 0
a
b
b
a
a
4) Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то f ( x)dx ( x)dx
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) на отрезке [a, b], то:
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на
этом отрезке существует точка такая, что
b
f ( x)dx (b a) f ()
a
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
134
Математика
135
b
m
1
f ( x)dx M
b a a
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число [a, b],
что если
b
1
f ( x)dx и = f(), а
b a a
a b, тогда
b
f ( x)dx (b a) f () . Теорема доa
казана.
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
b
8)
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны
на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что
b
b
a
a
f ( x)( x)dx f () ( x)dx
Вычисление определенного интеграла.
Пусть в интеграле
b
f ( x)dx
нижний предел а = const, а верхний предел b
a
изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и
значение интеграла.
Обозначим
x
f (t )dt
= Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по пере-
a
менному верхнему пределу х.
x
d
f (t )dt f ( x)
dx a
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего
предела.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный
интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции
f(x), то
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция
x
f (t )dt
- первообразная
a
функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное
число С, то
x
f (t )dt F ( x) C
a
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е.
при х = а:
a
f (t )dt F (a) C
a
0 F (a) C
C F (a)
Тогда
x
f (t )dt F ( x) F (a) .
a
А при х = b:
b
f (t )dt F (b) F (a)
a
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Теорема доказана.
b
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .
a
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они
практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые бы-
136
Математика
137
ли рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной),
метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для
тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы
интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных.
Пусть задан интеграл
b
f ( x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке
a
[a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
Тогда если
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то
b
a
Тогда
f ( x)dx f [(t )](t )dt
f [(t )](t )dt F[(t )]
F [()] F [()] F (b) F (a)
Пример.
1
/2
/2
x sin t ;
/2
1
2
2
1 x 2 dx
1
sin
t
cos
tdt
cos
tdt
(1 cos 2t )dt
0
2 0
0; / 2 0
1 1
/2 1
t
sin
2
t
sin .
2 2
4 4
4
0
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о
том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна
быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное
применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
dx x , с другой стороны, если применить тригонометрическую подста-
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
новку,
dx
dx
dt
tgx t
0
2
2
2
2
2
sin
x
cos
x
cos
x
(
1
tg
x
)
1
t
dx
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx
имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном
случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных
выше условий.
Интегрирование по частям.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также
непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
b
b
b
a
a
a
udv uv vdu.
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно
рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную
функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл
0,5
1 cos x
dx
x2
Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для
138
139
Математика
разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.
Разложение функции cosx имеет вид:
cos x 1
x2 x4 x6
x 2n
x 2n
... (1) n
... (1) n
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 0
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:
2n
2n
x2 x4 x6
n 1 x
n 1 x
1 cos x
... (1)
... (1)
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 1
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до
бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.
Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.
2n2
2n2
1 cos x 1 x 2 x 4
n 1 x
n 1 x
...
(
1
)
...
(
1
)
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
x2
n 1
Теперь представим наш интеграл в виде:
0,5
1 cos x
0 x 2 dx
0,5
n 1
(1)
0 n 1
x 2n2
dx
(2n)!
В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо
доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5].
Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим
лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Итак:
0,5
1 cos x
0 x 2 dx
n 1
0,5
(1)
0 n 1
n 1
x 2n2
(1) n 1
dx
(2n)!
n 1 ( 2n)!
0,5
x
2n2
(1) n 1 x 2 n 1 0,5
dx
2n 1 0
n 1 ( 2n)!
2 n 1
(1) 0,5
n 1 ( 2n)!( 2n 1)
Итого, получаем:
0,5
1 cos x
(1) n 1
1
1
1
dx
...
2 n 1
3
0 x 2
4 3 2 4! 5 2 5 6!
n 1 ( 2n)!( 2n 1) 2
0,25 0,00174 0,0000086 ... 0,248
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и
требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.
Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…
Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда
она непрерывна на любом отрезке [a, b].
b
Определение: Если существует конечный предел lim f ( x)dx , то этот преb
a
дел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a,
).
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
Обозначение: blim
140
Математика
141
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный
интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
b
b
f ( x)dx lim
a
c
f ( x)dx
f ( x)dx
a
f ( x)dx f ( x)dx
c
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Пример.
b
b
cos xdx lim cos xdx lim sin x lim (sin b sin 0) lim sin b - не существует.
b
b
b
b
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
1
1
dx
dx
1 1
1
lim
lim
1 1 - интеграл сходится
x 2 b b x 2 b x b blim
b
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие 0 f ( x) ( x) и ин
a
a
теграл ( x)dx сходится, то
f ( x)dx
a
a
тоже сходится и ( x)dx
f ( x)dx .
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие 0 ( x) f ( x) и ин
a
a
теграл ( x)dx расходится, то
Теорема: Если
a
f ( x)dx
тоже расходится.
f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл
f ( x)dx .
a
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
В этом случае интеграл
f ( x)dx
называется абсолютно сходящимся.
a
Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
c
b
f ( x)dx lim
b c 0
a
Если интеграл
b
f ( x)dx
f ( x)dx
a
существует, то интеграл
a
грал
b
c
f ( x)dx
- сходится, если инте-
a
f ( x)dx не существует, то
a
c
f ( x)dx
- расходится.
a
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
c
f ( x)dx
a
c
lim
b a 0
f ( x)dx .
b
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
с
a
b
c
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
у
142
Математика
143
+
+
0 a
-
b
x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если
график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если
график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула S
b
f ( x)dx .
a
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с
помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x =
2.
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по
формуле:
2
2
x3 x2 2 8 4 1 1 5
2
S x 2 dx xdx (ед )
21 3 2 3 2 6
3
1
1
Функции нескольких переменных
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у)
из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то
функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию
x x0 2 y y0 2 r .
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется
такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
MM 0 r
также верно и условие f ( x, y) A .
Записывают: lim f ( x, y) A
x x0
y y0
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения
функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке
М0(х0, у0), если
lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )
x x0
y y0
(1)
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
f ( x, y ) .
2) Не существует предел xlim
x
y y0
3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
144
145
Математика
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна
точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m –
наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает
по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции в этой области, то для любой точки [m, M] существует
точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = .
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить
заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по
крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной
области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для
всех точек области верно неравенство f ( x, y,...) K .
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е.
для любого положительного числа существует такое число > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем
, выполнено неравенство
f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y 2 )
Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
отрезке.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y).
Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной
х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
x z f ( x x, y) f ( x, y)
.
x
x
xz
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
x
z
f ( x, y)
; f x ( x, y).
Обозначение: ; z x ;
x
x
Тогда lim
x 0
Аналогично определяется частная производная функции по у.
z
f ( x, y y ) f ( x, y)
lim
y y 0
y
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
z
) является
x
тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению
поверхности плоскостью у = у0.
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x,
y) называется полным приращением.
146
147
Математика
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z f ( x x, y y) f ( x, y) f ( x, y y) f ( x, y y) f ( x x, y y) f ( x, y y)
f ( x, y y) f ( x, y)
Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям,
стоящим в квадратных скобках.
f ( x, y )
y
f ( x , y y)
f ( x x, y y) f ( x, y y) x
x
здесь y ( y, y y);
x ( x, x x)
f ( x, y y ) f ( x, y) y
Тогда получаем
z x
f ( x , y y)
f ( x, y )
y
x
y
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
f ( x , y y ) f ( x, y )
x 0
x
x
y 0
lim
lim
x 0
y 0
f ( x, y ) f ( x, y )
y
y
Определение. Выражение z
f ( x, y)
f ( x, y)
x
y 1x 2 y называx
y
ется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и
2 – бесконечно малые функции при х 0 и у 0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется
главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
dz f x( x, y)dx f y ( x, y)dy
Для функции произвольного числа переменных:
df ( x, y, z,..., t )
f
f
f
dx dy ... dt
x
y
t
2
Пример. Найти полный дифференциал функции u x y z .
du
u
u
u
dx
dy
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
y 2 zx y z 1 ;
x y z ln x 2 yz;
x y z ln x y 2 ;
x
y
z
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
du y 2 zx y
2
z 1
2
2
dx 2 x y z yz ln xdy y 2 x y z ln xdz
Пример. Найти полный дифференциал функции z
y
.
x y2
2
z
2 yx
2
x ( x y 2 ) 2
z y ( x 2 y 2 ) y(2 y) x 2 y 2 2 y 2
x2 y2
y
(x2 y 2 )2
(x2 y 2 )2
(x 2 y 2 )2
dz
2 xy
x2 y2
dx
dy
(x2 y 2 )
(x2 y 2 )2
Геометрический смысл полного дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
нормаль
N
касательная плоскость
N0
148
Математика
149
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью
к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к
нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая,
проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную
плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция,
дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке
N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
z f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) .
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
x x0
y y0
z z0
f x ( x0 y 0 ) f y ( x0 , y 0 )
1
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z)
касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке
(х0+х, у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух
переменных является пространственным аналогом геометрического смысла
дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z x 2 2 xy y 2 x 2 y
в точке М(1, 1, 1).
z
z
2 x 2 y 1;
2 x 2 y 2
x
y
z
z
1;
2;
x M
y M
Уравнение касательной плоскости:
z 1 ( x 1) 2( y 1);
x 2 y z 0;
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Уравнение нормали:
x 1 y 1 z 1
;
1
2
1
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное
приращение этой функции:
z f ( x x, y y) f ( x, y)
f ( x x, y y) f ( x, y) z
Если подставить в эту формулу выражение
z dz
f
f
x y
x
y
то получим приближенную формулу:
f ( x x, y y) f ( x, y)
f ( x, y)
f ( x, y )
x
y
x
y
Пример. Вычислить приближенно значение 1,041,99 ln 1,02 , исходя из
значения функции u x y ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = 0,01,
z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = 12 ln 1 1
Находим частные производные:
u
y x y 1
2 1
1
y
x 2 x ln z 2 1
u
x y ln x
0
y 2 x y ln z
1
u
1
z
z 2 x y ln z 2
Полный дифференциал функции u равен:
du 0,04
u
u
u
1
0,01
0,02
1 0,04 0 0,01 0,02 0,04 0,01 0,05
x
y
z
2
150
151
Математика
1,041,99 ln 1,02 u(1,2,1) du 1 0,05 1,05
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные
производные f x( x, y) и f y ( x, y) тоже будут определены в той же области или ее
части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
2z
f xx ( x, y);
x 2
2z
f yy ( x, y );
y 2
2z
f xy ( x, y );
xy
2z
f yx ( x, y );
yx
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные
производные более высоких порядков.
2z 2z
3 z
3 z
;
;
;
Определение. Частные производные вида
и т.д.
xy yx xyx xyy
называются смешанными производными.
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные f x, f y , f xy , f yx
определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:
2 f
2 f
.
xy yx
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
dz f x( x, y)dx f y ( x, y)
d 2 z d f x( x, y)dx f y ( x, y)dy f x2 ( x, y)(dx) 2 2 f xy ( x, y)dxdy f y2 ( x, y)(dy) 2
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
d 3 z f x3 ( x, y)(dx) 3 3 f x2y ( x, y)(dx) 2 dy 3 f xy2 ( x, y)dx(dy) 2 f y3 ( x, y)(dy) 3
…………………
n
d z dx dy f ( x, y )
y
x
n
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.
Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой
области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой
области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо
обе ее частные производные первого порядка равны нулю
f x( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
D( x, y) f x2 ( x, y) f y2 ( x, y) f xy ( x, y)
2
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум,
если
f x ( x0 , y0 ) 0 - максимум, если f x ( x0 , y0 ) 0 - минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
2
2
152
153
Математика
Условный экстремум.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая
может быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
du f f dy
dx x y dx
В точках экстремума:
(1)
Кроме того:
du f f dy
=0
dx x y dx
dy
0
x y dx
(2)
Умножим равенство (2) на число и сложим с равенством (1).
f f dy dy
0
x y dx x y dx
f
dy
f
0
x y
y dx
x
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный
коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
f
x x 0
f
0
y
y
( x, y ) 0
Полученная система уравнений является необходимыми условиями
условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому
при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование
на экстремум.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0
u xy (2 x 3 y 5)
u
u
y 2;
x 3;
x
y
y 2 0
x 3 0
2 x 3 y 5 0
5
;
12
5
x ;
4
5
y ;
6
5 5
Таким образом, функция имеет экстремум в точке ; .
4 6
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.
Производная по направлению.
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z +
z).
Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона этого вектора к
направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора S .
Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S.
S x 2 y 2 z 2
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
154
155
Математика
M
S
M1
S
y
x
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
u
u
u
u
x
y
z 1x 2 y 3 z ,
x
y
z
где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при S 0 .
Из геометрических соображений очевидно:
x
cos ;
S
y
cos ;
S
z
cos ;
S
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены
следующим образом:
u u
u
u
cos cos cos 1 cos 2 cos 2 cos ;
S x
y
z
u
u u
u
u
lim
cos cos cos
s S 0 S x
y
z
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет
направление вектора S .
Из этого уравнения следует следующее определение:
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Определение: Предел lim
S 0
u
называется производной функции u(x, y,
S
z) по направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора АВ . В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ
.
АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i 2 j .
Далее определяем модуль этого вектора:
AB = 8 2 2
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
2x y 2 ;
2 yx;
x
y
z
z
Значения этих величин в точке А :
6;
4;
x
y
Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования:
S=
2
2
i cos j cos
i
j
2 2
2 2
AB
AB
За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль
заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
cos =
2
;
2
cos = -
2
2
z
2
2
6
4
2 - значение производной заданs
2
2
ной функции по направлению вектора АВ .
Окончательно получаем:
156
157
Математика
Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и
некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям
функции u в соответствующей точке
u u u
,
;
;
x
y
z
то этот вектор называется градиентом функции u.
gradu
u u u
i
j
k
x
dy
z
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
gradu
u u u
i
j
k.
x
dy
z
u
по направлению некоторого вектора S равняется проs
екции вектора gradu на вектор S .
Тогда производная
Доказательство: Рассмотрим единичный вектор S i cos j cos k cos
и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов
S и gradu.
u
u
u
gradu S
cos cos cos
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.
Т.е. gradu S
u
. Если угол между векторами gradu и S обозначить чеs
рез , то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей
этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:
gradu cos
u
s
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор S .
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют
такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.
Раздел 3. Теория рядов
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 , u 2 ,..., u n ,...
называется числовым рядом.
u1 u2 ... un ... un
n 1
При этом числа u1 , u 2 ,... будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Суммы S n u1 u 2 ... u n
n
u
k 1
k
,
n = 1, 2, … называются частными (ча-
стичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2,
…,Sn, …
Определение. Ряд u1 u2 ... un ...
u
n 1
n
называется сходящимся, если сходится по-
158
Математика
159
следовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его
частных сумм.
lim S n S ,
S un .
n 1
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие
никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить
конечное число членов ряда.
u
2) Рассмотрим два ряда
Теорема. Если ряд
u
n
n
Cu
и
n
, где С – постоянное число.
сходится и его сумма равна S, то ряд
Cu
n
тоже сходится, и его
сумма равна СS. (C 0)
3) Рассмотрим два ряда
ряд
(u
n
u
n
и
v
n
. Суммой или разностью этих рядов будет называться
vn ) , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с
одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды
ряд
(u
n
u и v
n
n
сходятся и их суммы равны соответственно S и , то
vn ) тоже сходится и его сумма равна S + .
(u
n
vn ) u n vn S
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где
р – целое число, выполнялось бы неравенство:
an p an .
Доказательство. (необходимость)
Пусть a n a , тогда для любого числа 0 найдется номер N такой, что неравенство
a an
a an p
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
2
. Учитывая оба неравенства, получаем:
2
a n p a n (a n p a) (a a n ) a n p a a a n
2 2
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд u1 u2 ... un ...
u
n 1
n
был сходящимся необходимо и достаточ-
но, чтобы для любого 0 существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось
бы неравенство
u n1 u n 2 ... u n p .
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд
u
n
сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако,
160
161
Математика
это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стре
мится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд
1
n являетn 1
ся расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
n
lim
n 3n 1
n
Найдем lim
1
3
1
n
1 2 3
n
...
...
2 5 8
3n 1
1
0 - необходимый признак сходимости не выполняется, значит
3
ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его
частных сумм в силу того, что
0, при четных n
Sn
1, при нечетных n
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. S n 2 при любом n.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда
u
n
с неотрицательными членами необходимо и доста-
точно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Пусть даны два ряда
u
n
и
v
n
при un, vn 0.
v
u , а из расходимости ряда u следует расходимость ряда v
Теорема. Если un vn при любом n, то из сходимости ряда
n
следует сходимость ряда
n
n
.
n
Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов
вию теоремы ряд
v
n
u
n
и
v
n
. Т.к. по усло-
сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n n M, где М –
некоторое число. Но т.к. un vn, то Sn n то частные суммы ряда
u
n
тоже ограничены, а этого до-
статочно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
1
1
, а гармонический ряд
ln n n
1
1
1
...
...
ln 2 ln 3
ln n
1
1
n расходится, то расходится и ряд ln n .
Пример. Исследовать на сходимость ряд
n 1
Т.к.
1
1
n , а ряд
n
n2
2
1
n2
n
.
1
2 n сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
1
n2
n 1
n
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если u n 0, vn 0 и существует предел lim
n
от нуля, то ряды
u
n
и
v
n
un
h , где h – число, отличное
vn
ведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
162
Математика
163
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда
u
n
с положительными членами существует такое число q<1, что для
всех достаточно больших n выполняется неравенство
u n 1
q,
un
то ряд
u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие
u n 1
1,
un
то ряд
u
n
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
u n 1
, то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится.
n u
n
Если существует предел lim
Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда
n 1
un
n
n 1
; u n 1 n 1 ;
n
2
2
n
2
n
.
u n 1
(n 1)2
n 1
lim
n 1
n
un
2n
2 n
n
lim
n
1
n 1 1
2
2
1
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда 1
1 1
1
... ...
1! 2!
n!
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
un
u
1
1
n!
1
; u n1
; lim n1 lim
lim
0 1
n
n
n
n!
(n 1)!
un
(n 1)!
n 1
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда
u
n
с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для
всех достаточно больших n выполняется неравенство
n
то ряд
u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
n
то ряд
u
n
un q ,
u n 1,
расходится.
Следствие. Если существует предел lim n u n , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расn
ходится.
n
2n 2 1
.
Пример. Определить сходимость ряда 2
n 1 3n 5
2n 2 1
lim n u n lim 2
lim
n
n 3n 5
n
1
n2 2 1
5
3
3 2
n
2
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда
n
1
1 .
n
n 1
164
Математика
165
1
lim n u n lim 1 1.
n
n
n
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых
условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
n
1
lim u n lim 1 e 0 ,
n
n
n
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд
(1) + (2) + …+ (n) + … =
n 1
1
(n) и несобственный интеграл ( x)dx одинаковы в смысле сходи-
мости.
Пример. Ряд 1
1
1
1
... ... сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответству
2
3
n
ющий несобственный интеграл
dx
1 x сходится при >1 и расходится 1. Ряд
1
n
n 1
называется об-
щегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
f ( x)
h, h 0, то интегралы
x a 0 ( x)
lim
сти.
b
a
b
f ( x)dx и ( x)dx ведут себя одинаково в смысле сходимоa
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
u1 u 2 u3 u 4 ... (1) n1 u n ...
где u n 0,
n 1,2,3,...
Признак Лейбница.
Если у знакочередующегося ряда u1 u 2 u3 u 4 ... (1) n1 u n ... абсолютные величины ui убывают u1 u 2 u3 ... и общий член стремится к нулю u n 0 , то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
u1 u 2 ... u n ... u n
(1)
n 1
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
u1 u 2 ... u n ... u n
(2)
n 1
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится,
то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0
верно неравенство:
u n1 u n 2 ... u n p
По свойству абсолютных величин:
166
Математика
167
u n1 u n 2 ... u n p u n1 u n 2 ... u n p
u n1 u n 2 ... u n p
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение. Ряд
u
n
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
u
n
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости
совпадают.
Определение. Ряд
u
n
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
u
n
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
u
n
- знакопеременный ряд.
Признак Даламбера. Если существует предел lim
n
u n 1
, то при <1 ряд
un
u
n
будет аб-
солютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел lim n u n , то при <1 ряд
n
u
n
будет абсолют-
но сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости
ряда.
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда
u
n
необходимо и достаточно, чтобы его
можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет
сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также
абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд,
имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число
групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как
конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
5) Если ряды
u
n 1
n
и
v
n 1
n
сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и , то
ряд, составленный из всех произведений вида ui vk , i, k 1,2,... взятых в каком угодно порядке,
также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
168
Математика
169
Ссылки и на информационные источники
а) основная литература
1)
Высшая математика для экономистов: учебник. / Под ред. Н.Ш.Кремера. Издательство: Юнити-Дана, 2012 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
2) Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для вузов. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2009 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
3) Никольский С.М. Курс математического анализа: учебник для вузов. Издательство: ФИЗМАТЛИТ,
2011 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
б) дополнительная литература
1)
Макаров Е.В., Лунгу К.Н. Высшая математика. Руководство к решению задач: учебное пособие. В 2-х частях. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2010 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
2) Шнейдер В., Слуцкий А., Шумов А. Курс высшей математики. В 2-х книгах. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство: Мир и образование, 2009 г. . – ЭБС «КНИГАФОНД»
3) . Балдин К.В., Рукосуев А.В., Балдин Ф.К., Джеффаль В.И., Кочкин Н.А., Шустова Е.В. Краткий курс
высшей математики: Учебник. Издательство: Дашков и К, 2009 г. . – ЭБС «КНИГАФОНД»
4) Геворкян П.С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие.
Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
5) Геворкян П.С. Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
6) Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Краткий курс: учебное пособие.
Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2007 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
7) Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2008 г. – ЭБС
«КНИГАФОНД»
8) Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: Учебник. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2008 г. – ЭБС «КНИГАФОНД»
в) Интернет-ресурсы:
1) Электронная библиотечная система «КНИГАФОНД» http://www.knigafund.ru
2) Общероссийский математический портал http://www.mathnet.ru
3) Математический портал http://www.allmath.ru
4) Математический портал http://www.math24.ru/
5) Московский центр непрерывного математического образования http://www.mccme.ru
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
170
