Математическое моделирование природных процессов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ЛЕКЦИОННОЙ ПОДГОТОВКИ МАГИСТРОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В КОМПОНЕНТАХ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА» ВВЕДЕНИЕ Математическое моделирование природных процессов является одним из основных видов интеллектуальной деятельности ученого, исследователя, инженера. Моделирование предполагает построение моделей реально существующих объектов с целью: - раскрытия и углубленного исследования механизма явления и взаимодействия его частей; - установление технологических режимов, создание инженерных методов и расчетов в природообустройстве; - определение конструктивных параметров машин и аппаратов, используемых в природообустройстве; - оптимизация режима работы аппарата и оптимизация процесса в природообустройстве; - создание средств автоматизации и систем управления. Математической моделью называется приближенное описание какого-либо процесса или явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Типовая модель процесса подбирается на основании имеющихся сведений об условиях проведения рассматриваемого процесса в аппарате выбранного типа. При выборе модели необходимо учитывать следующее: а) модель должна наиболее полно отражать характер потоков вещества и энергии при одновременно простом математическом описании; б) параметры модели могут быть определены экспериментально или расчетным способом; в) при гетерогенных системах модели выбираются для каждой из фаз, причем модели для обеих фаз могут быть одинаковыми и различными (например, для тарельчатого массообменного аппарата – идеальное вытеснение для паровой или газовой фазы и идеальное смешение для жидкой фазы); г) применительно к процессам, происходящим в гомогенных системах, с достаточной для практики точностью может быть принята модель с сосредоточенными параметрами (основные переменные процесса изменяются только во времени); применительно к процессам, происходящим в гетерогенных системах, модель с сосредоточенными параметрами может быть принята для сплошной фазы, а модель с распределенными параметрами (основные переменные процесса изменяются во времени и пространстве) – для дисперсной (в случае жидкой дисперсной фазы возможно применение модели с сосредоточенными параметрами для обеих фаз, поскольку можно допустить идеальное смешение в пределах каждой капли); д) отдельное рассмотрение каждой фазы гетерогенной системы допустимо при скоростях, значительно более низких, чем скорости инверсии или захлёбывания; при достаточно больших скоростях фаз необходимо учитывать относительную скорость их движения или вводить фактор взаимодействия потоков. Следует принимать во внимание, что с изменением гидродинамического режима системы могут изменяться виды моделей. Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны, передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения. Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения. Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математического аппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на язык реальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан с тем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели, оказавшейся неперспективной. Математическое моделирование настолько увлекательное занятие, что “модельеру” очень легко отойти от реальности и увлечься применением математических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, что моделирование в прикладной математике - это лишь один из этапов широкой стратегии исследования. Моделирование - метод исследования сложных объектов, явлений и процессов путем их упрощенного имитирования (натурного, математического, логического). Основывается на теории подобия (сходства) с объектом-аналогом. ОПИСАНИЕ, ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ МОДЕЛИРУЕМОГО ПРОЦЕССА ПРИРОДНЫХ ЯВЛЕНИЙ Модели строят на основании сведений, накопленных в полевых наблюдениях и экспериментах. Чтобы построить математическую модель, которая была бы адекватной, т. е. правильно отражала реальные процессы, требуются существенные эмпирические знания. В построении математических моделей сложных процессов в основном выделяются следующие этапы. 1. Прежде всего, те реальные явления, которые хотят смоделировать, должны быть тщательно изучены: выявлены главные компоненты и установлены законы, определяющие характер взаимодействия между ними. Если неясно, как связаны между собой реальные объекты, построение адекватной модели невозможно. На этом этапе должны быть сформулированы те вопросы, ответ на которые должна дать модель. Прежде чем строить математическую модель природного явления, надо иметь гипотезу о его течении. 2. Разрабатывается математическая теория, описывающая изучаемые процессы с необходимой детальностью. На ее основе строится модель в виде системы абстрактных взаимодействий. Установленные законы должны быть облечены в точную математическую форму. Конкретные модели могут быть представлены в аналитической форме (системой аналитических уравнений) или в виде логической схемы машинной программы. Модель природного явления есть строгое математическое выражение сформулированной гипотезы. 3. Проверка модели – расчет на основе модели и сравнение результатов с действительностью. При этом проверяется правильность сформулированной гипотезы. При значительном расхождении сведений модель отвергают или совершенствуют. При согласованности результатов модели используют для прогноза, вводя в них различные исходные параметры. Следует, однако, отметить, что сама по себе математическая модель не может служить абсолютным доказательством правильности той или иной гипотезы, так как может оказаться, что разные гипотезы приводят к сходным результатам, но она служит одним из путей анализа реальности. Расчетные методы в случае правильно построенной модели помогают увидеть то, что трудно или невозможно проверить в эксперименте, позволяют воспроизводить такие процессы, наблюдение которых в природе потребовало бы много сил и больших промежутков времени. В математических моделях можно «проигрывать» разные варианты – вычленять разные связи, комбинировать отдельные факторы, упрощать или усложнять структуру систем, менять последовательность и силу воздействий – все это дает возможность лучше понять механизмы, действующие в природных условиях. Моделируют различные по характеру процессы, происходящие в реальной среде, как, например, отдельные типы экологических взаимодействий хищник – жертва, паразит – хозяин, конкурентные отношения, мутуализм и др. Математическими моделями описываются и проверяются разные варианты динамики численности, популяций, продукционные процессы в экосистемах, условия стабилизации сообществ, ход восстановления систем при разных формах нарушений и многие другие явления. Сами методы математического моделирования биологических систем развиваются, совершенствуются и разнообразятся. Математическое моделирование широко применяется при решении экологических проблем, связанных с антропогенными воздействиями на природную среду. В современных математических моделях выделяют тактические и стратегические модели. Тактические модели  экосистем и популяций служат для экологического прогнозирования их состояния, в том числе при разного рода экзогенных воздействиях. Стратегические модели  строят в основном с исследовательскими целями, для вскрытия общих законов функционирования биологических систем, таких, как стабильность, разнообразие, устойчивость к воздействиям, способность возвращаться в исходное состояние. В задачи стратегических моделей входит изучение с помощью ЭВМ последствий разных стратегий управления экосистемами, чтобы иметь возможность выбрать оптимальную. Модели, которые описывают взаимодействие общества и природы и в которых учитывают не только экологические, но и экономические, демографические и социальные показатели, называют эколого‑экономическими моделями.  Такие модели разрабатывают для долгосрочного прогнозирования экономического роста и общей оценки влияния человеческой деятельности на природную среду. В настоящее время для большинства крупных мелиоративных объектов осуществляется проверка расчетов и выбор проектного варианта на моделях, особенно для задач, требующих сложных фильтрационных, экономических и других расчетов, например: обоснование водозаборов подземных вод, защита территорий от подтопления, изучение режима грунтовых вод на мелиорируемой территории, изучение процессов движения солей в почвах и грунтах, прогнозы влияния мелиоративных мероприятий на окружающие земли, экономическое обоснование и другие вопросы. Моделирование является эффективным методом научного познания природных процессов, активно развивающимся направлением гидромелиоративных исследований, все шире применяемым как в научных исследованиях, так и при проектировании. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Одной из особенностей современных исследований стала математизация физического познания, т.е. интенсивное применение методом математического моделирования. Математическое моделирование – это, по существу, определение свойств и характеристик рассматриваемого явления (процесса) путем решения (как правило, с помощью ЭВМ) системы уравнений, описывающих этот процесс, – математической модели. При этом очень важно составить модель так, чтобы она достаточно точно отражала свойства рассматриваемого процесса и в то же время была доступна для исследования. Математическая модель представляет собой совокупность математических уравнений, описывающих сущность явлений, протекающих в объекте моделирования. Решение этой системы с помощью определенного алгоритма позволяет прогнозировать поведение объекта при изменении технологических параметров. Математическая модель, как правило, реализуется на ЭВМ. Преимущества возможностей математического моделирования совершенно очевидны, поскольку моделирование является очень недорогим инструментом для оценки любых новаторских конструкций, любых новых композиций с гипотетическими свойствами и самых причудливых по конструкции изделий. Причем такая оценка не требует дополнительных материальных затрат на создание прототипов или масштабных пилотных установок. Даже если такое моделирование и не позволит очень точно определить характеристики вновь создаваемого оборудования, используя его, можно получить очень ценную информацию о тенденциях в поведении вновь создаваемой конструкции. Математическое моделирование технологического процесса включает в себя несколько этапов. 1. Постановка задачи. На этом этапе формируется цель моделирования, исходные данные для достижения поставленной задачи. 2. Математическое описание объекта моделирования. На этом этапе разрабатывается система уравнений, описывающая все явления и закономерности, которые необходимо учитывать для достижения поставленной цели моделирования. 3. Разработка алгоритма решения. На этом этапе разрабатывается последовательность (порядок) действий при решении системы уравнений математического описания модели. 4. Формирование таблицы соответствия переменных математического описания и машинных идентификаторов. На этом этапе каждой переменной, входящей в уравнения математиче­ского описания, ставится в соответствие идентификатор, который будет использоваться для обозначения этой переменной в программе на алгоритмическом языке. 5. Разработка программы для ЭВМ на алгоритмическом языке. На этом этапе вся последовательность действий, разработанная на этапе 3, записывается в операторах алгоритмического языка с использованием идентификаторов переменных в соответствии с этапом 4. 6. Численный эксперимент на математической модели. На этом этапе в ЭВМ вводятся исходные данные и производится расчет моделируемого процесса с получением значений неизвестных переменных. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВИДЫ МОДЕЛЕЙ Моделированием называется создание процесса или явления, с известной степенью точности отображающего исследуемый природный процесс, но более доступного изучению. Модель должна соответствовать изучаемым условиям, повторять закономерности, существующие в природном процессе. Однако, чем полнее модель учитывает природные и хозяйственные условия, тем она сложнее. Поэтому при моделировании сложных процессов составлению модели предшествует схематизация процесса, т.е. выбор расчетной схемы, достаточно близкой к реальным условиям и достаточно простой для описания ее математическими зависимостями или создания в лаборатории. При этом необходимо доказательство достоверности выбранной расчетной схемы. На рис. 1 приведен пример схематизации литологического разреза. Рисунок 1- Схематизация моделируемого объекта: а – литологический разрез по данным разведочного бурения; б - принятая расчетная схема Модель дает возможность изучить объект и отдельные его элементы в существующих и проектных условиях, проверить различные варианты проектного решения, изучить влияние отдельных факторов, уточнить исходные данные, проверить теоретические решения. Моделирование ведется по особым законам, обеспечивающим тожде­ственность соответствующих процессов в природе и на модели. Существующие методы моделирования делятся на физические и математические. В основе методов моделирования лежат различные способы создания изучаемых процессов в лабораторных, реже в полевых условиях. Физическое моделирование заключается в создании процесса той же физической природы, что и изучаемый. Физическая модель и природный процесс могут отличаться лишь масштабами величин и функций, физическое моделирование может проводиться как в полевых, так и в лабораторных ус­ловиях. Физическое моделирование в полевых (натурных) условиях применяется при изучении гидрогеологических условий, гидродинамических характеристик потоков, гидрологических, геологических и других естественных и искусственных факторов, их изменений во времени и под влиянием различных мероприятий. Моделирование в натурных условиях может проводиться как на суще­ствующих системах и сооружениях, так и на выбранных типовых участках. В первом случае на основе режимных наблюдений и исследований может быть составлен прогноз состояния объекта, проверены теоретические предпосылки, правильность проектирования, даны рекомендации по проек­тированию и эксплуатации подобных объектов в сходных условиях. Опытные участки организуются в типовых условиях, имеют небольшие размеры и оборудуются всем необходимым для проведения намеченных исследований. На опытном участке должны быть количественно выявлены все действующие природные факторы и точно учтены все проводимые мероприятия. На основе этих исследований могут быть составлены типовые расчетные схемы, проведены и проверены теоретические расчеты, намечены необходимые мелиоративные мероприятия, даны рекомендации для последующего проектирования на всей территории. В последнее время все шире применяется комплексный метод исследований, являющийся наиболее всесторонним, надежным и эффективным. Он заключается в проведении взаимосвязанных теоретических и натурных исследований и моделирования в лаборатории. Физическое моделирование в лабораториях проводится на фильтрационных (грунтовых) и гидравлических лотках и применяется для решения вопросов движения жидкостей пористой среде, открытых руслах, гидросооружениях. Математическое моделирование заключается в составлении и решении математических зависимостей, описывающих изучаемое явление. Решение математической модели, т.е. совокупности полученных математических за­висимостей, осуществляется аналитическими, численными или аналоговыми методами. Аналитические методы решения задач математической физики, к которым чаше всего сводятся фильтрационные задачи, являются довольно сложными. Многие методы в последнее время получили физическую интерпретацию, позволяющую относить их к методам моделирования. Например, различные интегральные преобразования, позволяющие вместо исходных уравнений решать их «изображения», а затем переходить к «оригиналу» решения, метод конформных отображений, представляющий собой ряд аналитических и геометрических переходов. В результате аналитического решения получаются формулы и зависимости, описывающие процесс в общем виде. Аналоговые методы основаны на соответствии дифференциальных уравнений, описывающих процессы различной физической природы. Они позволяют вместо процесса фильтрации рассматривать другой физический процесс, описываемы теми же дифференциальными уравнениями. В зависимости от физической природы модели различаются аналогии: гидравлическая, электрическая, электронная и другие (рис. 2). Численные методы решения математических моделей являются при­ближенными и заключаются в представлении решения последовательностью арифметических и логических операций, осуществляемых с достаточной степенью точности на электронных вычислительных цифровых машинах. Задача решается в конечных разностях для конкретного объекта. Модели принято делить на две группы: материальные (предметные) и идеальные (мысленные) (рис. 2). Суть математического моделирования заключается в том, что с помощью математических символов строится абстрактное упрощенное подобие изучаемой системы. Далее, меняя значение отдельных параметров, исследуют, как поведет себя данная искусственная система, т. е. как изменится конечный результат. Рисунок 2 - Виды моделей В широком смысле слова, модель - это любой образ (мысленный или предметный), замещающий рассматриваемый объект при его изучении. В зависимости от типа образа, замещающего моделируемый технологический объект, данная модель относится к абстрактным математическим моделям. Абстрактные модели основываются на описании технологического объекта на языке символов в той или иной области науки путём отвлечения от несуществующих признаков. Процесс исследования технологического объекта с помощью абстрактных моделей включает три этапа: 1) построение описательной модели процесса или устройства; 2) запись информационной модели с помощью определённой системы символов; 3) исследование функционирования созданной абстрактной модели различными методами анализа. По характеру отображаемых свойств данная абстрактная модель является функциональной. Функциональные математические модели предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в технологическом объекте при его функционировании. В общем случае они представляют собой системы уравнений, связывающие внутренние (характеризующие свойства отдельных переменных, их взаимосвязь и взаимодействие), выходные (получаемые при функционировании технического объекта) и внешние (характеризующие внешнюю среду, в которой происходит функционирование технического объекта) параметры объекта. По характеру моделируемого процесса рассматриваемая модель относится к детерминированным, так как она позволяет, исключая влияние на процесс случайных характеристик, однозначно вычислить значения выходных величин по известным входным параметрам. По целям исследования описываемая модель является дескриптивной, т.е. описательной. Математическое моделирование реактора заключается в расчете значений концентраций реагентов и величин потоков на выходе аппарата и получение его статических характеристик. По способу определения параметров модель является алгоритмической в силу того, что в её основе лежит составление эффективного алгоритма для решения задачи при помощи компьютера. Данную модель получают эмпирически, так для построения модели используются экспериментальные данные. Так как в задаче рассматривается простейший химический процесс, то по принадлежности к иерархическому уровню описания объекта модель относится к микроуровню (типовые процессы - гидродинамические, теплофизические, массообменные, химические, биологические - обычно рассматриваются как нижний или элементарный уровень иерархии, неподлежащий дальнейшему расчленению). По порядку расчета описываемая модель является прямой. Её применение позволяет установить кинетические, статические и динамические закономерности процесса. По классификации объектов математического моделирования, объекты данной модели являются объектами с высокой степенью информации. Их модели строят методами математического моделирования и реализуют на компьютерах, уточняя параметры по результатам испытаний реальных объектов. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ МОДЕЛИРОВАНИЯ, ЕГО АЛГОРИТМ Применение математического моделирования в естествознании характеризуется рядом этапов, которые в той или иной степени сопутствуют друг другу. В самом общем виде схему построения математических моделей можно представить следующим образом: – определение задачи и сбор исходных данных; – алгоритмизация; – реализация и проверка модели; – численные эксперименты на модели. Более подробно этот процесс рассматривается у Федорова, Гильманова (1980) и включает в себя пункты, которые можно кратко описать следующим образом: Постановка задачи - выделение конечного числа свойств и процессов, которые концептуализация – обобщение и анализ информации, имеющей отношение к исследуемому объекту, оценка полноты этой информации, создание концептуальной схемы объекта. Спецификация – определение входных переменных и переменных состояния будущей модели. Идентификация – определение математических соотношений между вышеуказанными переменными. Наблюдения и эксперименты – сбор недостающей информации. Реализация модели – построение разрешающего оператора модели в аналитическом виде или в виде компьютерной программы. Проверка модели – сравнение результатов моделирования с уже имеющейся информацией, полученной в ходе предварительных исследований. Исследование модели – изучение свойств модели, ее устойчивости к варьированию начальных условий, поведения в исследуемом диапазоне факторов влияния и т.д. Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим порядок построения простейшей модели на примере исследования действия закрытого горизонтального дренажа на фильтрационном лотке. ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Во многих областях деятельности человека значительное место занимают теоретические методы изучения различных процессов окружающего мира и объектов. Так, в исследовании сельскохозяйственных процессов широкое применение находят результаты, полученные на основе теоретического решения задач теории механики, гидравлики, физики и других теоретических дисциплин. При этом, несмотря на высокую эффективность теоретических методов, при рассмотрении конкретных технологических проблем, особенно в условиях действующего производства, исследователю приходится сталкиваться с задачами, решение которых практически невозможно без организации и проведения экспериментального исследования. С общефилософской точки зрения эксперимент (от латинского experimentium - проба, опыт) – это чувственно-предметная деятельность в науке; в более узком смысле - опыт, воспроизведение объекта познания, проверка гипотез и т.д. В технической литературе термину эксперимент устанавливается следующее определение – система операций, воздействий и (или)наблюдений, направленных на получение информации об объекте исследования. Являясь источником познания и критерием истинности теорий и гипотез, эксперимент играет очень важную роль, как в науке, так и в инженерной практике. Эксперименты ставятся в исследовательских лабораториях и на действующем производстве и на опытных сельскохозяйственных полях. Несмотря на многообразие объектов исследований, все методы экспериментальных исследований имеют общие этапы: - выбирают план эксперимента; - определяют ограниченное число рассматриваемых переменных, для того чтобы уменьшить объем эксперимента; - контролируют ход эксперимента; - стремятся исключать влияние случайных внешних воздействий; - оценивают точность получения данных эксперимента; - анализируют полученные результаты. Современные методы планирования эксперимента и обработки его результатов, разработанные на основе теории вероятностей и математической статистики, позволяют существенно сократить число необходимых для проведения опытов. Знание этих методов делает работу экспериментатора организованной, существенно сокращает время проведения эксперимента, повышает надежность получаемых результатов и снижает материальные затраты. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ) при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых случайных величин делать вывод о соответствующих им генеральных значениях математических ожиданий. При этом может возникнуть задача сравнения неизвестного математического ожидания Мі, для которого получена оценка через выборочное среднее , с конкретным числовым значением М (например, с известным математическим ожиданием). В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание равно известному математическому ожиданию М, т.е. Н0:Мi= М. Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах –Н1(1):Мi>М; Н1(2):Мi<М; Н1(3):Мi ≠ М. Если генеральная дисперсия σ2 неизвестна и для нее, по той же самой выборке, что и для, сделана оценка S2, то используется t-критерий(распределения Стьюдента). Значение статистики t-критерия (распределение Стьюдента) равно: , (1) где − среднее арифметическое значение исследуемой величины; М–известное математическое ожидание; S − среднее квадратичное отклонение исследуемой величины; n – число измерений исследуемой величины. Выбираем необходимый уровень значимости α = 0,05. Для числа степеней свободы m= n− 1 (с которым сделана оценка дисперсии) устанавливаем границы критической области по табличным значениям t-распределения [1]. Нулевую гипотезу принимаем, т.е. полагаем, что Мi=М при выполнении неравенств: - для альтернативных гипотез – Н1(1): Мi>М; Н1(2): Мi<М при [t] ≤ t2a,m, (2) где t2a,m – коэффициент Стьюдента (значение порядка Р = 1 – α/2 для числа степеней свободы m= n− 1); - для альтернативной гипотезы Н1(3): Мi ≠ М при [t] ≤ ta,m. (3) где ta,m – коэффициент Стьюдента для одностороннего распределения. В электронных таблицах Microsoft Excel для этих расчетов можно использовать: статистические функции СРЗНАЧ(число1;число2;…) ДИСП(число1;число2;…) и СТАНДОТКЛОН (число1;число2;…); границу критической области t-распределения устанавливаем, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени_свободы). Пример. При проверке Ph-метра с помощью эталонного раствора, имеющего Ph = 9,0, получены следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n = 14. Обладает ли Ph-метр систематической погрешностью? В электронных таблицах Microsoft Excel для подобных расчетов можно было бы воспользоваться следующими тремя статистическими функциями: СРЗНАЧ(8,7;9,2;9,1;9;9,4;9,6; 9,7;8,9;8,8;8,7;9,8;9,3;9,8;8,8) = 9,2; ДИСП(8,7;9,2;9,1;9;9,4;9,6;9,7;8,9;8,8;8,7;9,8;9,3;9,8;8,8) = = 0,164615; СТАНДОТКЛОН(8,7;9,2;9,1;9;9,4;9,6;9,7;8,9;8,8;8,7;9,8;9,3;9,8; 8,8) =0,4057. Далее, в соответствии с описанным выше алгоритмом: 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что математическое ожидание показаний Ph-метра равно Ph эталонного раствора (не имеют систематической погрешности) Н0: Мі = 9. 2. Альтернативная гипотеза выбирается в виде Hi: Mi ≠ 9, поскольку показания Ph-метра не должны как завышать, так и занижать истинное значение Ph раствора. 3. Так как значение генеральной дисперсии σ2 показаний Ph-метра неизвестно, а имеется только ее оценка S2 = 0,1646, то используется t-критерий (распределения Стьюдента). 4. Значение статистики t-критерия (распределение Стьюдента) равно: 5. Выбирается (обычный для большинства технических приложений) уровень значимости α = 0,05. 6. При этом уровне значимости, числе степеней свободы m = n−1 = 13 и для альтернативной гипотезы Hi:Мі≠ 9 устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей распределения Стьюдента t0,05;13=2,16 или их можно определить, воспользовавшись функцией СТЬЮДРАСПОБР(0,05;13) = 2,160368 из электронных таблиц Microsoft Excel. 7. Поскольку рассчитанное значение статистики t = 1,84 не попадает в критическую область (1,84 < 2,16), то нулевая гипотеза принимается в качестве рабочей, т.е. можно считать, что Мi = 9 (вероятность того, что показания Ph-метра имеют систематическую погрешность меньше чем 0,05). ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА Общие сведения Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации в режиме производственной эксплуатации, но это требует много времени и затрат. Поэтому предлагается активно вмешиваться в ход технологического процесса целенаправленно и быстро накапливать необходимую информацию. Программа активного вмешивания задается планом эксперимента. При этом метод планирования может изменяться в зависимости от вида задачи, но принцип активного вмешивания остается. Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов. При проведении эксперимента возникает необходимость измерений большинства величин. Это вызывается тем, что величины не остаются постоянными, а изменяются в функции других величин. В этом случае целью проведения эксперимента является установление вида функциональной зависимости =f(X). Для этого должны одновременно определяться как значения X, так и соответствующие им значения , а задачей эксперимента является установление математической модели исследуемой зависимости. Фактически речь идет об установлении связи между двумя рядами наблюдений (измерений). Определение связи включает в себя указание вида модели и определение ее параметров. В теории экспериментов независимые параметры Х =(х1, х2, х3,…xk) принято называть факторами, а зависимые переменные − откликами. Координатное пространство с координатами х1, х2, х3, ..., хk называется факторным пространством. Эксперимент по определению функции вида =f(X), (4) где Х=(х1, х2, х3, ..., хk) − вектор - многофакторным. Все факторы подразделяются по следующим признакам: а) контролируемые и регулируемые в ходе эксперимента; б) контролируемые, но нерегулируемые в ходе эксперимента; в) возмущающие воздействия. В первую группу факторов (контролируемых и регулируемых) войдут: а) конструктивные (геометрические параметры); б) факторы, определяющие режим работы. Во вторую группу факторов (контролируемых, но нерегулируемых) включим: а) свойства (состав и т.д.); б) факторы, определяющие процесс . В третью группу факторов (возмущающие воздействия) войдут отклонения значений факторов в процессе проведения эксперимента. К откликам обычно относят динамические, энергетические, технологические и технико-экономические показатели. Так как в общем случае число и диапазон воздействий факторов на отклик, а также само число откликов, то, для практических целей целесообразно учитывать технические, энергетические, технологические и другие ограничения. Необходимо также сократить число факторов и число откликов, исходя из конкретных задач исследования. В связи с тем, что в процессе эксперимента конструктивные параметры объекта исследования, а также условия и режим работы непосредственно влияют на технологические показатели, то их обычно используют в качестве факторов, а технико-экономические показатели в основном используются для оценки работы всего агрегата, а не отдельных его составных частей. Для выявления существенных факторов и их парных взаимодействий, а также для определения коэффициентов линейной модели необходимо и достаточно, чтобы в процессе лабораторного эксперимента все его факторы варьировались на двух уровнях – верхнем и нижнем. При исследовании области оптимума в основном эксперименте необходимо определение коэффициентов регрессии при квадратных членах и эффектах взаимодействия. Для оценки кривизны поверхности отклика добавляют нулевую точку по каждому фактору. Сначала находятся границы областей определения факторов, исходя из следующих условий: принципиальной возможности фактора принимать значения внутри области определения; технико-экономических соображений; технических возможностей оборудования, приборов. Нижнее значение области определения для каждого из перечисленных выше факторов будет равно нулю, поэтому это наименьшее значение, которое может быть ограничено указанными выше условиями для части или всех факторов. Геометрическим представлением функции отклика в факторном пространстве является поверхность отклика. При однофакторном эксперименте(к=1) поверхность отклика представляет собой линию на плоскости, при двух факторном (к=2) − поверхность в трехмерном пространстве. Связи между наблюдениями в эксперименте являются достаточно многообразными и сложными. Обычно выделяют следующие виды связей. Функциональные связи (или зависимости) − это такие связи, когда при изменении величины X другая величина у изменяется так, что каждому значению хi соответствует совершенно определенное (однозначное) значениеyі. Таким образом, если выбрать все условия эксперимента абсолютно одинаковыми, то, повторяя испытания, получим одну и ту же зависимость, т.е. кривые идеально совпадут для всех испытаний. Стохастичность связи состоит в том, что одна случайная переменная у реагирует на изменение другой X изменением своего закона распределения. Таким образом, зависимая переменная принимает не одно конкретное значение, а некоторое из множества значений. Повторяя испытания, мы будем получать другие значения функции отклика, и одному и тому же значению X в различных реализациях будут соответствовать различные значения у в интервале [хmin; хmах]. Искомая зависимость у =f(X)может быть найдена лишь в результате совместной обработки полученных значений X и у. Анализ стохастических связей приводит к различным постановкам задач статистического исследования зависимостей, которые упрощенно можно классифицировать следующим образом: 1) задачи корреляционного анализа − задачи исследования наличия взаимосвязей между отдельными группами переменных; 2) задачи регрессионного анализа − задачи, связанные с установлением аналитических зависимостей между переменным у и одним или несколькими переменными х1, х2, х3, ..., хk, которые носят количественный характер; 3) задачи дисперсионного анализа − задачи, в которых переменные х1, х2, х3, ..., хk имеют качественный характер, а исследуется и устанавливается степень их влияния на переменное у. Стохастические зависимости характеризуются формой, теснотой связи и численными значениями коэффициентов уравнения регрессии. Форма связи устанавливает вид функциональной зависимости =f(X) и характеризуется уравнением регрессии. Если уравнение связи линейное, то имеем линейную многомерную регрессию, в этом случае зависимость от X описывается линейной зависимостью в k-мерном пространстве. Регрессионный анализ включает в себя построение уравнения регрессии, например, методом наименьших квадратов и статистическую оценку результатов. Если в регрессионном анализе расчет коэффициентов ведется теми же методами, например наименьших квадратов, то его теоретические предпосылки требуют других способов статистической оценки результатов. При проведении регрессионного анализа примем следующие допущения: 1) входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется наличием в процессе не выявленных переменных и случайных воздействий, не вошедших в уравнение регрессии; 2) результаты наблюдений у1, у2,...уn над выходной величиной представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины; 3) при проведении эксперимента с объемом выборки n при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные дисперсии S12, S22,... Sn2 должны быть однородны. При выполнении измерений в различных условиях возникает задача сравнения точности измерений. При этом следует подчеркнуть, что экспериментальные данные можно сравнивать только тогда, когда их дисперсии однородны. Это означает принадлежность экспериментальных данных к одной и той же генеральной совокупности. По результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов или с использованием специальных программ[3]. Эти методы позволяют получить уравнение регрессии: . (5) где у – значение входного показателя; В0, Вi, Вij и Вii – соответственно расчетные коэффициенты уравнения регрессии; хi и хj – соответственно фактор, оптимизирующих конструкцию рабочего органа в кодированном виде. После того как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов и устанавливается адекватность уравнения. Значимость коэффициентов уравнения (5) оценивается по критерию Стьюдента. Незначимые коэффициенты удаляются и выполнялся повторный расчет коэффициентов регрессионной модели. Регрессионную модель называют адекватной, если предсказанные по ней значения у согласуются с результатами наблюдений. В основе процедуры проверки адекватности модели лежат предположения, что случайные ошибки наблюдений являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями. Сформулируем нуль-гипотезу Но: «Уравнение регрессии адекватно». Альтернативная гипотеза H1: «Уравнение регрессии неадекватно». Для проверки этих гипотез принято использовать F-критерий Фишера: , (6) где – дисперсия ошибки опыта, (%)2; – дисперсия неадекватности модели: – среднеарифметическое значение случайной величины; yI – случайная величина, рассчитанная по математической зависимости; yiq – значение i-й величины в q-м опыте по плану эксперимента; nр – число повторностей опыта по плану эксперимента; Np – число строк матрицы плана по плану Рехтшафнера; kp – число факторов по плану эксперимента. Для того чтобы принять гипотезу об адекватности, вычисленное значение F по формуле (6) должно быть меньше табличного. Табличное значение F-критерия выбирается по таблице[4] с числом степеней свободы числителя f1 = Np – [kp + 1] и с числом степеней свободы знаменателя f2 = Np (np− 1). В электронных таблицах Microsoft Excel для этих расчетов можно использовать статистическую функцию границы критической области F-распределения FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2). Для анализа и систематизации полученные математические модели второго порядка приводятся к типовой канонической форме вида: , (7) где Y – значение критерия оптимизации; Ys – значение критерия оптимизации в оптимальной точке; Х1, Х2, …, Хk – новые оси координат, повернутые относительно старых х1, х2, …, хk; В11, В22, …, Вkk – коэффициенты регрессии в канонической форме. При числе факторов k ≥ 3 о функции отклика можно получить наглядное геометрическое представление. В случае двух независимых переменных можно получить серию контурных поверхностей равного выхода. Все поверхности второго порядка можно подразделяются на три класса: 1) поверхности, имеющие экстремум – максимум или минимум. В этом случае все коэффициенты регрессии канонической формы имеют одинаковые знаки и центр фигуры находится вблизи центра эксперимента; 2) поверхности минимакса – коэффициенты регрессии канонической формы имеют разные знаки, центр фигуры находится вблизи центра эксперимента; 3) поверхности типа возвышающего гребня – в этом случае один из коэффициентов регрессии канонической формы близок к нулю и центр фигуры удален в бесконечность. После канонического преобразования и определения поверхности отклика начинается ее анализ, который удобно проводить с помощью двумерных сечений. Построение двумерных сечений функции отклика выполняется в следующей последовательности. В модель подставляются закодированные значения (оптимальные) всех факторов кроме двух. В электронных таблицах Microsoft Excel строятся серия кривых равного выхода (изолинии). По кривым сечения судят об изменении величины критерия оптимизации в зависимости от значений рассматриваемых факторов. Рассмотрение всех возможных двумерных сечений дает наглядное представление о значениях критерия оптимизации, которые он будет принимать при варьировании каждой пары факторов,а также определяется область оптимума. В случае, когда возникает необходимость при изучении объекта исследования, анализировать два, три и более критерия оптимизации, то производится решение компромиссной задачи. В этих условиях ведется поиск компромисса между этими критериями оптимизации, так как на экстремум для одной поверхности отклика налагаются ограничения оной или несколькими другими поверхностями отклика. Компромиссную задачу можно решить с помощью двумерных сечений. Суть метода состоит в том, что при реализации матрицы плана одновременно рассчитываются два, три и более оптимизации и составляются два, три и более уравнения регрессии. Анализ уравнений регрессии и построение двумерных сечений производится одновременно. При этом изолинии для всех критериев оптимизации наносятся на один чертеж, а оптимальное значение одного критерия оптимизации принимается в зависимости от значения другого. ПРИМЕР ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗАТВОРА Факторы, их уровни и интервалы варьирования На основании теоретических исследований были определены факторы, их уровни и интервалы варьирования, представленые в таблице 1. Таблица 1 – Факторы, их уровни и интервалы варьирования Факторы Уровни фактора Интервал варьирования, ε –1 +1 х1 – угол вершины конуса затвора, град 120 60 180 60 х2 – величина открытия затвора, см 8 4 12 4 х3 – гидравлический перепад высот, м 0,4 0,1 0,7 0,3 В качестве выходных показателей на этапе лабораторно-полевых исследований был принят показатель, характеризующий качество регулирования воды в резервуаре затвором – квадрат разности отклонения уровня воды Δh2 в резервуаре hот заданного hЗ, то есть Δh2 = (hЗ – h)2. Оптимизация конструктивных параметров затвора В соответствии с принятой методикой, для исследования области оптимума был реализован план Рехтшафнера для 3-х факторного эксперимента и получен результаты экспериментов (таблица2). Таблица 2 – Данные для 3-х факторного эксперимента № опыта Уровень фактора Повторность определенияΔh2, % х1 х2 х3 1 2 3 1 -1 -1 -1 67,4 68,4 70,0 2 -1 1 1 41,0 43,3 42,3 3 1 -1 1 67,3 67,1 67,0 4 1 1 -1 43,2 43,2 43,0 5 1 -1 -1 68,6 68,2 69,1 6 -1 1 -1 40,0 41,3 39,5 7 -1 -1 1 69,6 69,4 70,3 8 1 42,1 40,2 41,2 9 1 7,2 7,3 7,4 10 1 18,6 18,6 18,5 На основании экспериментальных данных по предложенной программе [3]рассчитаны коэффициенты В0, Вi, Вij и Вii уравнения регрессии: , (8) Значимость коэффициентов уравнения (8) оценивалась по критерию Стьюдента. Незначимые коэффициенты удалялись, и выполнялся повторный расчет коэффициентов регрессионной модели. Адекватность полученных математических моделей проверялась по критерию Фишера. По данным таблицы3 были определены значенияS2(у) = 0,2647и= 0,159. По формуле (6) рассчитано значение критерию Фишера. Таблица 3 – Результаты расчета экспериментальных данных для определения значенийS2(у) и № Δh2iq, % __ Δh2i, % __ (Δh2iq– Δh2i)2 Δh2I, % __ (Δh2I– Δh2i)2 1 2 3 1 2 3 1 67,4 68,4 70,0 68,60 1,4400 0,0400 1,9600 68,79 0,0361 2 41,0 43,3 42,3 42,20 1,4400 1,2100 0,0100 42,09 0,0121 3 67,3 67,1 67,0 67,13 0,0278 0,0011 0,0178 67,31 0,0312 4 43,2 43,2 43,0 43,13 0,0044 0,0044 0,0178 43,49 0,1272 5 68,6 68,2 69,1 68,63 0,0011 0,1878 0,2178 68,89 0,0659 6 40,0 41,3 39,5 40,27 0,0711 1,0678 0,5878 39,99 0,0765 7 69,6 69,4 70,3 69,77 0,0278 0,1344 0,2844 69,89 0,0152 8 42,1 40,2 41,2 41,17 0,8711 0,9344 0,0011 41,40 0,0544 9 7,2 7,3 7,4 7,30 0,0100 0,0000 0,0100 7,30 0,0000 10 18,6 18,6 18,5 18,57 0,0011 0,0011 0,0044 18,50 0,0044 Для уравнения регрессии (8)F0,05>F (здесь F0,05=2,599 – табличное значение критерия Фишера при уровне значимости 5%). Таким образом, математическая модель адекватны результатам эксперимента. С помощью предложенной программы [3] были определены оптимальные значения факторов (таблица 4). Таблица 4 – Оптимальные значения факторов Фактор Оптимальные значения факторов х1 – угол вершины конуса затвора, град –0,02 119 х2 – величина открытия затвора, см 0,8 11,2 х3 – гидравлический перепад высот, м –0,03 0,39 Примечание: в числителе – в кодированном виде, в знаменателе – в раскодированном виде. Для анализа и систематизации полученную математическую модель второго порядка привели к типовой канонической форме. В результате расчетов, проведенных на ЭВМ, получены коэффициенты регрессии в канонической форме В11, В22, В33, В44 и значения критерия оптимизации в оптимальной точке Ys. Уравнение регрессии (7), представленное в канонической форме, имеют вид: , (9) Поскольку все коэффициенты при квадратных членах имеют положительные знаки, то поверхности откликов, описанные уравнением (8), представляют не что иное, как трехмерные параболоиды с координатами центров поверхностей в оптимальных значениях факторов. Определим оптимальные параметры затвора с помощью двумерных сечений, рисунки 1 – 3. При этом решим задачу, в которой требуется найти значения факторов, дающих минимальное значение квадрата разности отклонения уровня воды в резервуаре от заданного (Δh2 = 8,0 %). При рассмотрении двумерного сечения поверхностей отклика по уравнению регрессии (2), относительно угла вершины конуса затвора (х1) и величины открытия затвора (х2), фактор гидравлический перепад высот фиксировался на оптимальном значении х– 0,03. Результаты расчетов приведены в таблице5 и графически представлены на рисунке 3. Таблица 5 – Результаты расчетов двумерного сечения поверхности отклика относительно факторов (х1) и (х2), фактор (х3) фиксировался на уровне х3 = – 0,03. х2\х1 -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 63,3 57,8 52,8 48,4 44,6 41,4 38,8 36,7 35,2 34,3 33,9 34,1 34,9 36,3 38,3 40,8 43,9 47,6 51,9 56,7 62,1 -0,9 60,3 54,8 49,9 45,5 41,7 38,5 35,8 33,8 32,3 31,4 31,0 31,2 32,1 33,5 35,4 38,0 41,1 44,8 49,0 53,9 59,3 -0,8 57,5 52,0 47,1 42,7 38,9 35,7 33,1 31,0 29,5 28,6 28,3 28,5 29,3 30,7 32,7 35,3 38,4 42,1 46,4 51,2 56,7 -0,7 54,9 49,4 44,4 40,1 36,3 33,1 30,5 28,4 26,9 26,0 25,7 26,0 26,8 28,2 30,2 32,7 35,9 39,6 43,9 48,7 54,2 -0,6 52,4 46,9 42,0 37,6 33,8 30,6 28,0 26,0 24,5 23,6 23,3 23,6 24,4 25,8 27,8 30,4 33,5 37,2 41,5 46,4 51,9 -0,5 50,1 44,6 39,7 35,3 31,6 28,4 25,8 23,7 22,3 21,4 21,1 21,3 22,2 23,6 25,6 28,2 31,3 35,1 39,4 44,3 49,7 -0,4 47,9 42,4 37,5 33,2 29,4 26,3 23,6 21,6 20,2 19,3 19,0 19,3 20,1 21,6 23,6 26,2 29,3 33,1 37,4 42,3 47,7 -0,3 45,9 40,4 35,5 31,2 27,5 24,3 21,7 19,7 18,2 17,4 17,1 17,4 18,2 19,7 21,7 24,3 27,5 31,2 35,5 40,4 45,9 -0,2 44,1 38,6 33,7 29,4 25,7 22,5 19,9 17,9 16,5 15,6 15,4 15,6 16,5 18,0 20,0 22,6 25,8 29,5 33,9 38,8 44,2 -0,1 42,4 37,0 32,1 27,8 24,0 20,9 18,3 16,3 14,9 14,0 13,8 14,1 15,0 16,4 18,5 21,1 24,2 28,0 32,3 37,3 42,7 40,9 35,5 30,6 26,3 22,6 19,4 16,9 14,9 13,5 12,6 12,4 12,7 13,6 15,0 17,1 19,7 22,9 26,7 31,0 35,9 41,4 0,1 39,6 34,1 29,3 25,0 21,3 18,1 15,6 13,6 12,2 11,4 11,1 11,4 12,3 13,8 15,9 18,5 21,7 25,5 29,8 34,8 40,3 0,2 38,4 33,0 28,1 23,9 20,1 17,0 14,5 12,5 11,1 10,3 10,0 10,4 11,3 12,7 14,8 17,4 20,7 24,4 28,8 33,7 39,3 0,3 37,4 32,0 27,1 22,9 19,2 16,1 13,5 11,6 10,2 9,3 9,1 9,4 10,4 11,9 13,9 16,6 19,8 23,6 28,0 32,9 38,4 0,4 36,6 31,2 26,3 22,1 18,4 15,3 12,7 10,8 9,4 8,6 8,4 8,7 9,6 11,1 13,2 15,9 19,1 22,9 27,3 32,2 37,8 0,5 35,9 30,5 25,7 21,4 17,7 14,6 12,1 10,2 8,8 8,0 7,8 8,1 9,1 10,6 12,6 15,3 18,5 22,4 26,7 31,7 37,3 0,6 35,4 30,0 25,2 20,9 17,3 14,2 11,6 9,7 8,3 7,6 7,3 7,7 8,6 10,2 12,3 14,9 18,2 22,0 26,4 31,4 36,9 0,7 35,0 29,7 24,8 20,6 16,9 13,9 11,4 9,4 8,1 7,3 7,1 7,5 8,4 9,9 12,0 14,7 18,0 21,8 26,2 31,2 36,7 0,8 34,9 29,5 24,7 20,5 16,8 13,7 11,2 9,3 8,0 7,2 7,0 7,4 8,3 9,9 12,0 14,7 17,9 21,8 26,2 31,2 36,7 0,9 34,9 29,5 24,7 20,5 16,8 13,8 11,3 9,3 8,0 7,2 7,1 7,4 8,4 10,0 12,1 14,8 18,0 21,9 26,3 31,3 36,9 1 35,0 29,6 24,9 20,6 17,0 13,9 11,5 9,6 8,2 7,5 7,3 7,7 8,7 10,2 12,3 15,0 18,3 22,2 26,6 31,6 37,2 Рисунок 3 – Двумерное сечение для изучения влияния факторов х1 и х2 при х3= – 0,01 на Δh2 Могут быть рекомендованы следующие оптимальные значения факторов: х1= – 0,1…+ 0,1 и х2= + 0,7…+ 0,9. При рассмотрении двумерного сечения поверхностей отклика по уравнению регрессии (8), относительно угла вершины конуса затвора (х) и гидравлического перепада высот (х3), фактор величины открытия затвора фиксировался на оптимальном значении х2 = 0,8. Результаты расчетов приведены в таблице 6 и графически представлены на рисунке 4. Таблица 6– Результаты расчетов двумерного сечения поверхности отклика относительно факторов (х1) и (х3), фактор (х2) фиксировался на уровне х2 = 0,8. х3\х1 -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 39,9 34,6 29,8 25,7 22,1 19,1 16,7 14,8 13,5 12,8 12,7 13,1 14,1 15,7 17,9 20,7 24,0 27,9 32,4 37,4 43,1 -0,9 38,9 33,5 28,8 24,6 21,0 18,0 15,6 13,7 12,4 11,7 11,6 12,0 13,0 14,6 16,8 19,5 22,8 26,7 31,2 36,3 41,9 -0,8 37,9 32,6 27,9 23,7 20,1 17,1 14,6 12,7 11,4 10,7 10,6 11,0 12,0 13,6 15,8 18,5 21,8 25,7 30,2 35,2 40,8 -0,7 37,1 31,8 27,0 22,9 19,3 16,2 13,8 11,9 10,6 9,9 9,7 10,1 11,1 12,7 14,9 17,6 20,9 24,8 29,2 34,3 39,9 -0,6 36,5 31,1 26,3 22,2 18,5 15,5 13,0 11,2 9,8 9,1 9,0 9,4 10,4 11,9 14,1 16,8 20,1 24,0 28,4 33,5 39,1 -0,5 35,9 30,5 25,8 21,6 18,0 14,9 12,4 10,6 9,2 8,5 8,3 8,7 9,7 11,3 13,4 16,2 19,4 23,3 27,8 32,8 38,4 -0,4 35,5 30,1 25,3 21,1 17,5 14,4 12,0 10,1 8,7 8,0 7,8 8,2 9,2 10,8 12,9 15,6 18,9 22,8 27,2 32,2 37,8 -0,3 35,1 29,8 25,0 20,8 17,1 14,1 11,6 9,7 8,4 7,6 7,4 7,8 8,8 10,4 12,5 15,2 18,5 22,3 26,8 31,8 37,4 -0,2 34,9 29,6 24,8 20,6 16,9 13,8 11,4 9,4 8,1 7,4 7,2 7,6 8,5 10,1 12,2 14,9 18,2 22,0 26,4 31,4 37,0 -0,1 34,9 29,5 24,7 20,5 16,8 13,7 11,2 9,3 8,0 7,2 7,0 7,4 8,4 9,9 12,0 14,7 18,0 21,8 26,2 31,2 36,8 34,9 29,5 24,7 20,5 16,8 13,7 11,2 9,3 8,0 7,2 7,0 7,4 8,3 9,9 12,0 14,7 17,9 21,7 26,2 31,1 36,7 0,1 35,1 29,7 24,9 20,6 17,0 13,9 11,4 9,4 8,1 7,3 7,1 7,5 8,4 9,9 12,0 14,7 18,0 21,8 26,2 31,2 36,7 0,2 35,3 29,9 25,1 20,9 17,2 14,1 11,6 9,7 8,3 7,5 7,3 7,7 8,6 10,1 12,2 14,9 18,1 22,0 26,4 31,3 36,9 0,3 35,7 30,3 25,5 21,3 17,6 14,5 12,0 10,0 8,6 7,9 7,6 8,0 8,9 10,4 12,5 15,2 18,4 22,2 26,6 31,6 37,2 0,4 36,3 30,8 26,0 21,8 18,1 15,0 12,4 10,5 9,1 8,3 8,1 8,4 9,4 10,9 13,0 15,6 18,8 22,7 27,0 32,0 37,5 0,5 36,9 31,5 26,6 22,4 18,7 15,6 13,0 11,1 9,7 8,9 8,7 9,0 9,9 11,4 13,5 16,2 19,4 23,2 27,6 32,5 38,0 0,6 37,7 32,2 27,4 23,1 19,4 16,3 13,8 11,8 10,4 9,6 9,4 9,7 10,6 12,1 14,2 16,8 20,0 23,8 28,2 33,1 38,7 0,7 38,5 33,1 28,3 24,0 20,3 17,2 14,6 12,6 11,2 10,4 10,2 10,5 11,4 12,9 15,0 17,6 20,8 24,6 29,0 33,9 39,4 0,8 39,5 34,1 29,2 25,0 21,3 18,1 15,6 13,6 12,2 11,4 11,1 11,4 12,3 13,8 15,9 18,5 21,7 25,5 29,8 34,8 40,3 0,9 40,7 35,2 30,4 26,1 22,3 19,2 16,6 14,7 13,2 12,4 12,2 12,5 13,4 14,8 16,9 19,5 22,7 26,5 30,8 35,8 41,3 1 41,9 36,5 31,6 27,3 23,6 20,4 17,8 15,9 14,4 13,6 13,3 13,6 14,5 16,0 18,0 20,7 23,8 27,6 32,0 36,9 42,4 Рисунок 4 – Двумерное сечение для изучения влияния факторов х1 и х3при х2 = 0,8 на Δh2 Могут быть рекомендованы следующие оптимальные значения факторов: х – 0,1…+ 0,1 и х3 = – 0,1…+ 0,1. При рассмотрении двумерного сечения поверхностей отклика по уравнению регрессии (8), относительно величины открытия затвора (х2) и гидравлического перепада высот (х3), фактор угол вершины конуса затвора фиксировался на оптимальном значении х1 = – 0,02. Результаты расчетов приведены в таблице 7 и графически представлены на рисунке 5. Таблица 7 – Результаты расчетов двумерного сечения поверхности отклика (П) относительно факторов (х2) и (х3), фактор (х1) фиксировался на уровне х1 = – 0,02. х3\х2 -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 40,0 37,1 34,4 31,8 29,3 27,1 25,0 23,0 21,3 19,7 18,2 17,0 15,8 14,9 14,1 13,5 13,1 12,8 12,7 12,7 12,9 -0,9 38,9 36,0 33,2 30,6 28,2 25,9 23,8 21,9 20,1 18,5 17,1 15,8 14,7 13,8 13,0 12,4 11,9 11,7 11,5 11,6 11,8 -0,8 37,9 34,9 32,2 29,6 27,2 24,9 22,8 20,9 19,1 17,5 16,1 14,8 13,7 12,8 12,0 11,4 11,0 10,7 10,6 10,6 10,8 -0,7 36,9 34,0 31,3 28,7 26,3 24,0 21,9 20,0 18,2 16,6 15,2 13,9 12,8 11,9 11,1 10,5 10,1 9,8 9,7 9,7 10,0 -0,6 36,2 33,2 30,5 27,9 25,5 23,2 21,1 19,2 17,5 15,9 14,4 13,2 12,1 11,1 10,4 9,8 9,3 9,1 8,9 9,0 9,2 -0,5 35,5 32,6 29,8 27,2 24,8 22,6 20,5 18,6 16,8 15,2 13,8 12,5 11,4 10,5 9,7 9,1 8,7 8,4 8,3 8,4 8,6 -0,4 34,9 32,0 29,3 26,7 24,3 22,0 20,0 18,0 16,3 14,7 13,3 12,0 10,9 10,0 9,2 8,6 8,2 7,9 7,8 7,9 8,1 -0,3 34,5 31,6 28,9 26,3 23,9 21,6 19,5 17,6 15,9 14,3 12,9 11,6 10,5 9,6 8,8 8,2 7,8 7,5 7,4 7,5 7,7 -0,2 34,2 31,3 28,5 26,0 23,6 21,3 19,2 17,3 15,6 14,0 12,6 11,3 10,2 9,3 8,6 8,0 7,5 7,3 7,2 7,2 7,5 -0,1 34,0 31,1 28,4 25,8 23,4 21,1 19,1 17,2 15,4 13,8 12,4 11,2 10,1 9,2 8,4 7,8 7,4 7,1 7,0 7,1 7,3 33,9 31,0 28,3 25,7 23,3 21,1 19,0 17,1 15,4 13,8 12,4 11,1 10,0 9,1 8,4 7,8 7,3 7,1 7,0 7,1 7,3 0,1 34,0 31,1 28,3 25,8 23,4 21,1 19,1 17,2 15,4 13,9 12,4 11,2 10,1 9,2 8,4 7,9 7,4 7,2 7,1 7,2 7,4 0,2 34,1 31,3 28,5 26,0 23,6 21,3 19,3 17,4 15,6 14,0 12,6 11,4 10,3 9,4 8,6 8,1 7,6 7,4 7,3 7,4 7,6 0,3 34,4 31,5 28,8 26,3 23,9 21,6 19,6 17,7 15,9 14,4 13,0 11,7 10,6 9,7 9,0 8,4 8,0 7,7 7,6 7,7 7,9 0,4 34,8 32,0 29,2 26,7 24,3 22,1 20,0 18,1 16,4 14,8 13,4 12,1 11,1 10,2 9,4 8,8 8,4 8,2 8,1 8,2 8,4 0,5 35,4 32,5 29,8 27,2 24,8 22,6 20,5 18,6 16,9 15,3 13,9 12,7 11,6 10,7 10,0 9,4 9,0 8,7 8,7 8,7 9,0 0,6 36,0 33,1 30,4 27,9 25,5 23,3 21,2 19,3 17,6 16,0 14,6 13,4 12,3 11,4 10,7 10,1 9,7 9,4 9,4 9,4 9,7 0,7 36,8 33,9 31,2 28,6 26,3 24,0 22,0 20,1 18,4 16,8 15,4 14,2 13,1 12,2 11,5 10,9 10,5 10,3 10,2 10,3 10,5 0,8 37,7 34,8 32,1 29,5 27,2 24,9 22,9 21,0 19,3 17,7 16,3 15,1 14,0 13,1 12,4 11,8 11,4 11,2 11,1 11,2 11,5 0,9 38,7 35,8 33,1 30,6 28,2 26,0 23,9 22,0 20,3 18,8 17,4 16,1 15,1 14,2 13,4 12,9 12,5 12,2 12,2 12,3 12,5 1 39,8 37,0 34,2 31,7 29,3 27,1 25,1 23,2 21,5 19,9 18,5 17,3 16,2 15,3 14,6 14,0 13,6 13,4 13,3 13,4 13,7 Рисунок 5 – Двумерное сечение для изучения влияния факторов х2 и х3 при х1 = – 0,02 на Δh2 Могут быть рекомендованы следующие оптимальные значения факторов: х2 = 0,7…0,9 и х3 = – 0,1…+ 0,1. Для того, чтобы обеспечить минимальный квадрат разности отклонения уровня воды в резервуаре от заданного (Δh2 = 8 %), необходимо принять следующие оптимальные значения факторов: х1= – 0,1…+ 0,1 (114…126 град), х2=+ 0,7…+ 0,9 (10,8…11,6 см) и х3 = – 0,1…+ 0,1 (0,37…0,43 м). ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Несмотря на развитие и практическое использование теоретических расчетов гидротехнических сооружений, в значительной степени обусловленное широким применением ЭВМ, многие вопросы при проектировании этих сооружений не удается решить с достаточной для практики точностью и надежностью. Ввиду этого широкое распространение получили лабораторные исследования гидротехнических сооружений на моделях. Различают предметные и знаковые модели. К предметным относятся материальные объекты, характеристики которых так, или иначе, соответствуют характеристикам натуры. К знаковым относятся схемы, графики, чертежи, а также математические модели. Моделирование ГТС и гидромеханических явлений, протекающих в них, позволяет достаточно точно прогнозировать поведение будущего сооружения в натуре и найти оптимальные решения при его проектировании, отвечающие условиям надежности и экономичности. Практически ни одно гидротехническое сооружение не строят без проведения ряда лабораторных исследований. Моделирование гидравлических явлений позволяет изучать самые разнообразные вопросы, применительно к гидроузлам и отдельным сооружениям. Например, гидравлически рациональные компоновки гидроузлов, предотвращающие попадание наносов в водозаборы, обеспечивающие благоприятные гидравлические режимы в русле, отсутствие опасных размывов НБ, рациональные конструкции устройств; кавитацию и вибрацию элементов сооружений; влияние регулирующих сооружений на русловые процессы. Для предсказания явления необходимо установить соответствие между величинами X”н, характеризующими условия задачи, и величинами X’н, составляющими ее решение. Такое соответствие устанавливает некоторый оператор О: X’н=О(X”н) Операция О производится с помощью различных вычислительных средств. Способ реализации оператора является основным признаком, по которому можно классифицировать моделирование в технике. По этому признаку можно выделить два больших класса. Моделирование первого класса. Оператор О представляется в виде некоторой функции вспомогательных операторов: О=Ф(О1, О2, …, Оn) Порядок выполнения операций, обеспечивающий отображение исходных данных в решение задачи, называется алгоритмом ее решения. Моделирование, в котором применяется вычислительный процесс, можно назвать численным. Моделирование второго класса. Используются методы и средства, предполагающие, осуществляемое в один прием отображение величин, входящих в условия задачи и ее решение. К ним относятся аналоговые устройства, представляющие собой предметную модель конкретного класса математических задач. Моделирование с использованием аналоговых средств называется аналоговым. Процесс аналогового моделирования сводится к следующей схеме: Явление (натура) → математическая модель (система математических уравнений) → предметная модель (аналоговое устройство) → натура. Таким образом, при аналоговом моделировании предметная модель и натура связаны через формально одинаковую для них математическую модель. При этом явления в натуре и на предметной модели могут иметь в общем случае разную физическую природу. То обстоятельство, что разнородные явления имеют одинаковое математическое описание, связано с единством закономерностей процессов различных видов движения материи. Особый вид аналоговых средств – физические модели, представляющие собой явление того же рода, что и явление, характеристики которого требуется предсказать. Основное отличие физической модели от аналога заключается в том, что на физической модели характеристикам натуры соответствуют однородные характеристики (скорости – скорость, давлению – давление и т. д.), а на аналоге – части из них (или всем) могут соответствовать неоднородные характеристики. Поток жидкости может быть и физической (гидравлическое или аэродинамическое моделирование), и аналогом (газогидравлическая, гравитационно-упругая аналогии) другого потока жидкости. Физическая модель гидравлического явления обычно называется гидравлической моделью, а моделирование с использованием таких моделей – гидравлическим моделированием. Обоснование моделирования и использование в натуре результатов экспериментов на модели связано с подобием движения в натуре и на модели. Кроме того, подобие имеет значение и для некоторых теоретических исследований. ПОДОБИЕ: ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ, КИНИМАТИЧЕСКОЕ, ДИНАМИЧЕСКОЕ Для того, чтобы по данным лабораторных исследований прогнозировать соответствующие характеристики работы сооружения в натуре (например, значения скоростей потока в НБ, напряжения в теле плотины и др.), необходимо знать законы подобия, на основе которых проектируют модели и производится пересчет в натуру полученных результатов опытов. Как следует из теории подобия, подобными называются явления, протекающие в геометрически подобных системах, в которых происходят процессы одинаковой физической природы и одноименные величины (линейные размеры, скорости течения и др.) имеют постоянное отношение между собой. Общие принципы теории подобия для широкого класса физических явлений были сформулированы М. В. Кирпичевым. Начало теории гидроаэродинамического подобия было положено Н. Е. Жуковским. Моделирование вентиляционных систем разрабатывалось Е. В. Кудрявцевым. Различают подобие геометрическое, кинематическое и динамическое. Геометрическое подобие выполняется при соблюдении форм, пропорциональности линейных размеров и равенства углов рассматриваемых систем (натуры и модели). Для рис. 6а масштаб моделирования будет равен (10) а для рис. 6б: (11) Требования геометрического подобия должны удовлетворяться с учетом рассматриваемой задачи. Например, при гидравлических исследованиях водослива (рис. 6) нет необходимости на модели воспроизводить полость А в теле водослива, а при исследованиях прочности конструкции полость необходима, если она не слишком мала. При прочностных исследованиях различают строгое и нестрогое (приближенное) геометрическое подобие. В первом случае соблюдается подобие не только генеральных размеров сооружения, но и деформаций, то есть в зависимость (11) добавляется условие: (12) где ε и ε1 – относительные деформации. Рисунок 6 – Схемы к изучению геометрического и кинематического подобия систем: I –натура, II – модель. При исследовании напряженно-деформированного состояния сооружений в упругой стадии это условие часто не выполняется, то есть ε≠ε1 (так называемое «расширенное» подобие), что облегчает измерение деформаций. Последнее возможно только при условиях: 1) деформации на модели достаточно малы и существенно не влияют на генеральные размеры и форму сооружения (на моменты, продольные и поперечные силы); 2) нет потери устойчивости модели. Если геометрическое подобие не соблюдено и происходит искажение масштаба, то моделирование будет приближенным. В таком случае константы подобия для глубины и ширины будут разными: ан=Н/Н1 и ав=В/В1 (рис. 6, в). При проектировании моделей важно обеспечить приемлемое геометрическое подобие границ моделей (подводного и отводного участков гидравлических моделей, оснований статических моделей и т.д.) с учетом имеющегося опыта исследований. Кинематическое подобие – выполняется при подобии линий тока соответствующих частиц и пропорциональности их скоростей. Для выполнения кинематического подобия требуется соблюдение геометрического подобия модели и натуры. (13) где Т, Т1, Т’ и Т’1 – время прохождения частицей отрезков l, l1, l’ и l’1, причем (14) Динамическое подобие – выполняется при пропорциональности сил, действующих на элементы кинематически и геометрически подобных углов, характеризующих направления действий сил. (15) Здесь слово idem (одинаково) означает, что отношение указанных сил одинаково для модели и натуры (или для двух рассматриваемых систем). При этом силы могут быть разной физической природы. Например, Р и Р1 – силы тяжести, К и К1 – силы вязкости, Q и Q1 – силы инерции и т.д. Когда рассматривают движущиеся тела, одними из основных сил будут силы инерции, которые надо учесть при моделировании. Силы инерции можно выразить произведением массы М на ускорение а, то есть Q=Ma, или . (16) Подставляя это выражение в (15) получаем безразмерный критерий Ньютона – Ne, выражающий общий закон динамического подобия: (17) Из числа Ньютона получают частные законы динамического подобия или критерии подобия при рассмотрении действия сил разной физической природы – в зависимости от того, какую из них принимают за силу S. При этом обычно вместо отношения берут обратную величину, то есть используют выражение: (18) Закон гравитационного подобия В этом случае S=P, где – сила тяжести (γ – объемная масса), и получаем критерий Фруда: (19) Закон вязкостного подобия Силы вязкости (трения) Q можно выразить зависимостью Q=µΩ(dv/dn), где µ - динамический коэффициент вязкости, Ω – площадь между рассматриваемыми слоями, dv/dn – градиент скорости по нормали, или [Q]=µL2(v/L)=µLv. Тогда принимая S=[Q], получаем критерий Рейнольдса: (20) где ν=µ/ρ – кинематический коэффициент вязкости. В зависимости от того, какому закону динамического подобия подчиняется данное явление, будем иметь и значения ряда масштабных коэффициентов (табл.8,9), зависящих от динамики – скоростей, времени, расхода воды, ускорения, силы и т.д. Таблица 8 - Масштабные коэффициенты (геометрическое подобие) Закон которому подчиняется явление Масштабные коэффициенты По закону геометрического подобия длины площади объема Фруда Fr-idem aL aw= aW= Рейнольдса Re-idem aL aw= aW= Вебера We-idem aL aw= aW= Коши Ca-idem aL aw= aW= Таблица 9 - Масштабные коэффициенты (динамическое подобие) Закон которому подчиняется явление Масштабные коэффициенты По закону динамического подобия скорости времени ускорения расхода силы Фруда Fr-idem Рейнольдса Re-idem Вебера We-idem Коши Ca-idem - Например, если мы хотим одновременно удовлетворить критериям гравитационного и вязкостного подобия, то необходимо, чтобы по обоим законам получались одни и те же значения констант подобия. Из этого требования можно легко найти условие, необходимое для одновременного соблюдения указанных законов. По закону Фруда, , а по закону Рейнольдса, . Приравнивая правые части этих выражений получаем условие . Это условие практически невыполнимо при гидравлических исследованиях гидротехнических сооружений. Поэтому при моделировании важно знать, какой критерий подобия в данных условиях будет основным, решающим, а какой второстепенным. В соответствии с первым принимают константы подобия, влияние же других критериев изучают и в зависимости от них при необходимости вносят «масштабные поправки», при этом моделирование является приближенным. Отсюда очевидна важность сопоставления данных лабораторных и натурных исследований. Если в некоторой области тот или иной критерий перестает влиять на изучаемую величину (например, Re на Eu), говорят что наступила область автомодельности (в рассматриваемом случае – по Re). Тогда один из критериев выпадает из рассмотрения и моделирование упрощается. В гидравлике существует второе определение автомодельной области, в соответствии с которым автомодельная область – это диапазон изменения критериев, в пределах которого для достижения подобия явления достаточно подобия граничных условий. При гидравлическом моделировании напорных потоков это происходит при числах Рейнольдса, больших некоторых критических, или граничных, значений, то есть при Re>Reгр. , где К – коэффициент абсолютной шероховатости; , где d - диаметр трубы. Часто принимают, учитывая довольно малое изменение коэффициента сопротивления в переходной зоне шероховатых труб: . Однако для достижения подобия явлений в безнапорном неравномерном потоке, кроме подобия граничных условий, при автомодельности по числу Рейнольдса, в общем случае необходима идентичность числа Фруда. Fr=idem Часто автомодельную область определяют как область независимости искомой функции от данного критерия. Однако в большинстве случаев в автомодельных областях имеется слабая зависимость функции от ее аргумента, которой практически можно пренебречь. Например, известно, что коэффициент гидравлического трения λ ассимптотически приближается к постоянному значению, при приближении числа Re к бесконечности. Границы автомодельных областей на известных экспериментальных кривых Никурадзе (рис.7) и Зегжды соответствуют значениям Re, при которых ошибка измерений в опытах превышает изменение λ в рассматриваемом диапазоне значений Re. Рисунок 7 - График Никурадзе. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАСШТАБА МОДЕЛИРОВАНИЯ Расчет поливного трубопровода (натура) Принят расход в борозду qб = 1,6 л/с = 0,0016 м3/с. Тогда расход в поливной трубопровод при а1 = 0,6м и а2 = 0,9 м будет равен: , (21) где Q – расход воды, поступающий в поливной трубопровод; qб – расход воды в борозду; L – длина поливного трубопровода; а – расстояние между водовыпускными отверстиями. м3/с м3/с Диаметр поливного трубопровода должен обеспечивать пропуск заданного расхода воды со скоростями, удовлетворяющими условию незаиляемости трубопровода наносами, и не превышающими допустимые. Минимальная скорость в трубопроводе при использовании осветленной воды vmin = 0,7…0,8 м/с; для воды, содержащей песчаные наносы vmin = 0,9…1,6 м/с. Максимально допустимая скорость воды в жестком трубопроводе равна vmax = 3…3,5 м/с. Т.к. вода в каналах открытой оросительной сети содержит частицы органических и песчаных отложений, допустимая скорость воды в трубопроводе принимается vдоп = 0,9…3,5 м/с. Принимается диаметр поливного трубопровода dн=180 мм с толщиной стенки 6,2 мм и внутренним диаметром dвн=166,2 мм. Площадь поперечного сечения трубопровода: м2 Скорость движения воды в трубопроводе при Q1 и Q2 равна: м/с м/с Диаметр водовыпускного отверстия равен м, где µ - коэффициент расхода водовыпускного отверстия, для пластиковых труб он равен 0,6; h – напор на водовыпуске, h=2,8d. Определение потерь напора в трубопроводе Число Рейнольдса: , где v – скорость движения воды в трубопроводе; d – диаметр поливного трубопровода; ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости, для температуры 22 градуса он равен 0,97∙10-6. Re > 2400 – режим течения воды в трубопроводе турбулентный. Потери напора по длине потока могут весьма существенно зависеть от характеристик шероховатости стенок трубы, в которых происходит движение. Поверхность стенок, ограничивающих поток, всегда отличается от идеально гладкой поверхности наличием выступов и неровностей. Величина и форма этих выступов зависят от материала стенки, от его обработки, условий эксплуатации, в процессе которой возможна коррозия, могут выпасть и осесть на стенках твердые частицы наносов и т.п.. В турбулентном движении, как и в ламинарном, скорость у стенки равна нулю, ближайший к стенке, весьма тонкий слой жидкости движется почти ламинарно и называется пограничным ламинарным слоем. Если высота выступов шероховатости меньше, чем толщина ламинарной пленки (Δ <δ), то в этом случае шероховатость стенок не влияет на характер движения и соответственно потери напора не зависят от шероховатости, а стенки называются гидравлически гладкими. Толщина ламинарной пленки равна: , (22) где d – диаметр трубопровода; Re – число Рейнольдса; λ – коэффициент сопротивления трению по длине трубопровода. Коэффициент гидравлического трения при 4000 < Re < 3*10-6 определяем по формуле Конакова П.К.: В случае непрерывной раздачи жидкости по длине трубопровода, потери напора определяются по формулам, приведенным в работах [Альтштуль, А. Примеры расчетов по гидравлике / Под ред. А.Д. Альтштуля. – М.: Стройиздат, 1977. – 255 с.; Кременецкий, Н.Н. Гидравлика: учебник для с.-х. техникумов / Н.Н. Кременецкий, Д.В. Штеренлихт, В.М. Алышев, Л.В. Яковлева. – М.: Энергия, 1973. – 424 с.]: , (23) где C - коэффициент Шези, м0,5/с; R – гидравлический радиус, м; w – площадь поперечного сечения, м2. После преобразования получим формулу для определения потерь напора при непрерывной раздаче расхода: м Расчет поливного трубопровода (модель) При моделировании трубопровода с самонапорным движением воды основными силами являются силы гравитации. Поэтому моделирование будет проводится с учетом критерия подобия Фруда. Геометрический масштаб моделирования принят равным 1:4. Диаметр трубы модели трубопровода при этом масштабе составил 45 мм. Длина трубопровода при выбранном масштабе моделирования составит 6,25 м. Расстояние между водовыпусками 0,15 м. Расход воды при номинальном расходе натурного объекта 67 л/с равен: л/с, где QМ – расход в натуральных условиях; QМ – расход воды на модели; λ – геометрический масштаб моделирования. Скорость течения воды в трубопроводе модели будет равна vМ=1,64 м/с. Расход на водовыпусках модели трубопровода будет равен: л/с Диаметр водовыпускного отверстия равен м, где µ - коэффициент расхода водовыпускного отверстия, для пластиковых труб он равен 0,6; h – напор на водовыпуске, h=2,8d. Определение потерь напора в трубопроводе Число Рейнольдса: Re > 2400 – режим течения воды в трубопроводе турбулентный. Коэффициент гидравлического трения: Потери напора при непрерывной раздаче расхода: м При моделировании с учетом критерия подобия Фруда необходимо равенство чисел Фруда для модели и натуры. Число Фруда для натурного трубопровода будет равно: Число Фруда для трубопровода модели будет равно: При моделировании по гравитационному закону подобия Фруда необходимо проверить выполнение автомодельности по числу Рейнольдса. Это происходит при числах Рейнольдса, больших некоторых критических, или граничных, значений, то есть при Re>Reгр. , (24) где К – коэффициент абсолютной шероховатости, К=0,0001 м; R – гидравлический радиус, R=0,011 м; λ – коэффициент гидравлического трения, λ=0,018 м. Re > Reгр – условие автомодельности выполняется в лабораторных условиях, следовательно модель поливного трубопровода позволяет произвести необходимые измерения величин моделируемых процессов, соответствующих процессам, происходящим в трубопроводе-натуре. Список рекомендуемой литературы 1 Адлер, Ю.П.Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий/ Ю.П.Адлер, Е.В.Маркова, Ю.В. ГрановскийИзд-е второе, перераб. и доп. – М.: Наука, 1976. – 279с. 2 Веденяпин, Г.В. Общая методика экспериментального исследования и обработки опытных данных/ Г.В. Веденяпин.– М.: Колос, 1973. – 199с. 3 Дегтярев, Ю.П. Регрессионный анализ на ПЭВМ /Дегтярев Ю.П., Филатов А.И. // Труды Волгоградского СХИ, 1992. – с.128-131. 4 Мельников, С.В. Планирование эксперимента в исследованиях с.-х. процессов/ С.В.Мельников, В.Р.Алешкин, П.М. Рощин. – М.: Колос, 1972. – 200с. 5 Румшанский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство/Л.З.Румшанский. – М., 1971. – 192с.