Математический анализ

СОДЕРЖАНИЕ Тема 1. Элементы теории множеств, числовые и функциональные последовательности и их пределы 3 1.1 Способы задания функции 4 1.2 График и графическое задание функции 4 1.3 Ограниченность функции 5 1.4 Монотонные функции 5 1.5 Геометрическая интерпретация предела 10 1.6 Односторонние пределы 10 1.7 Бесконечно малые и бесконечно большие функции 11 1.8 Непрерывность функции 13 Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного 19 2.1 Правила вычисления производных 21 2.2 Правило Лопиталя. 26 2.3 Экстремум функции 27 2.3 Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба. 28 2.4 Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке 29 2.5 Первообразная. Неопределенный интеграл 30 2.6 Таблица основных интегралов 31 2.7 Основные методы интегрирования 32 2.8 Интегралы специального вида 36 2.9 Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 39 2.10 Основные свойства определенного интеграла 40 2.11 Основные методы вычисления определенного интеграла 42 2.12 Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла 44 2.13 Несобственные интегралы 46 Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 48 3.1 Функции нескольких переменных. Основные понятия 48 3.2 Частные производные функции нескольких переменных 51 3.3 Производная по направлению. Градиент 55 3.4 Частные производные высших порядков 60 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 64 Введение Математический анализ изучает, прежде всего, переменные величины, зависимость между ними. Введение в математику переменных величин, возникновение дифференциального и интегрального исчисления явилось ответом на требования человеческой практики. Наравне с другими основополагающими понятиями понятие производной является математическим отражением происходящих в природе процессов. Эти понятия исторически возникли и развились из тех задач, которые были поставлены жизнью – в первую очередь из потребностей механики и геометрии. Тема 1. Элементы теории множеств, числовые и функциональные последовательности и их пределы Понятие функции и функциональной зависимости является основополагающим в математике. Это понятие тесно связано с понятием числового множества. Числовым множеством будем называть всякую совокупность вещественных чисел. Каждое вещественное число изображается точкой числовой оси, поэтому всякому числовому множеству можно сопоставить на оси множество точек. Отрезком [а, b] называется множество чисел х, для которых а  х  b. Длина отрезка [а, b] равна b–а. Интервалом (а, b) называется множество чисел х, для которых а < x < b. Интервал называют открытым промежутком, отрезок – замкнутым. Дадим важное в дальнейшем понятие δ-окрестности (δ – дэльта) точки. Пусть х0 – некоторое число и δ > 0 (положительное число). Определение. δ-окрестностью числа х0 называется множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х0–δ  х  х0+δ. Иначе говоря, δ-окрестность точки х0 – это интервал с центром в точке х0, длина которого равна 2δ. Рисунок - 1 Используя определение модуля (абсолютной величины) числа, δ окрестностью числа х0 можно назвать все те числа х, которые удовлетворяют неравенству х–х0δ. Изучая тот или иной процесс, мы сталкиваемся с различными величинами, которые можно разбить на два типа. Одни величины в данном процессе остаются неизменными. Их называют постоянными величинами. Другие в данном процессе изменяются и называются переменными. Например, при движении автомобиля его длина, ширина постоянны, а длина пути, количество бензина в баке являются величинами переменными. Определение. Множество всех значений переменной величины, которое она принимает в процессе своего изменения, называется множеством ее значений или областью изменения переменной. Рассматривая некоторый процесс, мы имеем дело со взаимным изменением нескольких величин, когда изменение одной величины влечет изменение другой. Понятие функциональной зависимости возникло в результате отвлечения от физической сущности взаимно изменяющихся величин и выделения самого факта зависимости. Определение. Если каждому значению переменной величины х из множества Х ее значений по некоторому правилу сопоставлено определенное значение другой переменной у, то у называется зависимой переменной или функцией от х. х называется независимой переменной (аргументом); множество Х называется областью определения данной функции. Множество У значений переменной у называется множеством значений функции. Задать функцию – значит задать и область определения ее и закон соответствия между переменными х и у. Функция обозначается следующим образом: у=ƒ(x), y=φ(х), у=F(х) и т.п. 1.1 Способы задания функции Аналитический способ задания является одним из самых распространенных и наилучшим образом приспособлен к операциям математического анализа. Функциональная зависимость задается с помощью формулы, аналитического выражения. Например, . Здесь функция у принимает только неотрицательные значения и определена на множестве, где R2–х2  0, т.е. х2 R2. Если R0, то –R  x  R. Другой пример: . Здесь у – функция, определенная всюду (х – любое число), и принимает любые действительные значения. Заметим, что к недостаткам аналитического способа следует отнести следующее: не всякую функциональную зависимость можно задать аналитически, найденная формула может быть очень громоздкой и неудобной для исследования, наконец, формула не дает наглядности. Табличный способ задания знаком из школьного курса (таблицы значений для sinx, cosx, lgx, …). При табличном способе задания выбирается лишь ограниченное число значений аргумента х, и соответствующие им значения функции у заносятся в таблицу. Недостатком этого способа задания прежде всего является то, что некоторых нужных нам значений функции в таблице может не быть. Рассмотрим наиболее наглядный способ задания функции. 1.2 График и графическое задание функции В прямоугольной системе координат на плоскости построим множество точек М (х, у), где у=ƒ(х). Полученное множество называется графиком функции ƒ(х). В этом случае уравнение у=ƒ(х) называют уравнением множества точек М. Как правило, будем рассматривать функции, график которых состоит из одной линии или из совокупности нескольких линий. График является наглядным и легко обозримым изображением функции и поэтому оказывает большую помощь при изучении ее. Рассмотрим некоторые общие свойства функций. 1.3 Ограниченность функции Назовем функцию ƒ(х) ограниченной, если для всех х из области ее определения существует такое число D, что ƒ (х)  D (D 0). Например, функции sin x и cos x являются ограниченными. 1.4 Монотонные функции Функция ƒ (х) называется возрастающей в области ее определения Х, если бóльшим значениям аргумента соответствуют и бóльшие значения функции, т. е. для х1  х2 ƒ(х1)  ƒ(х2). Функция ƒ(х) называется убывающей, если для х1  х2 ƒ(х1)  ƒ (х2). Например, функция ƒ(х)=2х является возрастающей. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Периодические функции Функция ƒ(х) называется периодической с периодом Т, если равенство ƒ(х+Т)=ƒ(х) выполняется для всех х из области определения функции. Например, sin (х+2π)=sin x, tg (x+π)=tg x. Это значит, что функция sin x – периодическая с периодом 2π, tg х – периодическая с периодом π. Четные и нечетные функции Функция ƒ(х) должна быть определена в симметричной относительно начала координат области. Функция ƒ(х) называется четной, если значение не изменится при замене х на –х, т. е. ƒ(–х)=ƒ(х). Если же ƒ(–х)= –ƒ(х), то ƒ(х) – нечетная. Например, х2, х4, cos x, 1+5·x2 – функции четные, х, х3, sin x, tg x – функции нечетные. Заметим, что график четной функции симметричен относительно оси ординат Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Кратко остановимся на основных классах элементарных функций, т. к. все они изучаются в курсе средней школы. Постоянная функция: ƒ(х)=с. График ее – прямая у=с. Степенная функция: ƒ(х)=хn, где n – любое число. При n четном степенная функция является четной, при n – нечетном – функция нечетная. Приведем графики функций Рисунок 2 - Графики степенных функций ƒ(х)=х, ƒ(х)=х2, ƒ(х)=х3, ƒ(х)=х4. Многочлен (целая рациональная функция): ƒ(х)=а0+а1х+а2х2+а3х3+ … +аnхn. Рисунок 3 - Графики линейных функций Частные случаи этой функции – хорошо известные линейная функция ƒ(х)=ах+b (график ее – прямая) и квадратный трехчлен ƒ(х)=ах2+bх+с (график ее – парабола). Рисунок 4 - График квадратного трехчлена у=ах2+bх+с, а  0. Дробно-линейная функция: ƒ(х).Частным случаем этой функции является обратная пропорциональная зависимость, графиком которой является гипербола . Рисунок 5 - График дробно-линейной функции. Показательная функция: ƒ(х)=ах, а0, а1. Эта функция возрастает при а  1, убывает при 0  а 1. Рисунок 6 - Графики показательных функций. Логарифмическая функция: ƒ(х)=logax, a  0, а1 Рисунок 7 - График логарифмической функции. Тригонометрические функции хорошо известны. Приведем их графики у=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x. Рисунок 8 - График y=sin x.. Рисунок 9 - График у=cos x. Рисунок 10 - График у=tg x. Рисунок 11 - График у=ctg x. Обратные тригонометрические функции. Графики этих функций y=arcsin x, y=arсcos x, y=arсtg x и y=arcctg x приведены ниже. Рисунок 12 Рисунок 13 График функции у=arcsin x График функции у=arccos x Рисунок 14 - График функции у=arcctg x Рисунок 15 - График функции у= arctg x Все рассмотренные функции называют основными (или простейшими) элементарными функциями. Рассмотрим сложные функции. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве Х со значениями на множестве У. Пусть на множестве У задана функция z=φ(у), которая всякому значению х из Х сопоставляет значение переменной z, полученное через промежуточное значение переменной у. Поэтому z-функция переменной х: z=φ(ƒ(х)), с областью определения Х, но зависимость z от х осуществляется через посредство переменной у, которая называется промежуточным аргументом. Итак, переменная z здесь – функция от функции. Функцию такого рода называют сложной функцией (или суперпозицией функций). Функции, записываемые с помощью конечного числа суперпозиций основных элементарных функций, называют элементарными функциями. Примеры элементарных функций: у=lg tg x, , y=(1+cos23x)3. Понятно, что чаще приходится иметь дело именно с элементарными функциями. Понятие предела является основным понятием математического анализа. Использование предельного перехода является одной из отличительных черт высшей математики вообще и математического анализа в особенности. Пусть функция у=ƒ(х) определена на некотором множестве Х и х0 – некоторая точка из множества Х. Определение. Число А называется пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0, если для любой ε – окрестности точки А можно указать такую δ-окрестность точки х0 (δ зависит от ε), что для любого х из δ-окрестности точки х0 (хх0) соответствующее значение функции ƒ(х) будет принадлежать ε–окрестности точки А. Обозначают: . Читают: А является пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0. Употребляется и такое обозначение предела функции: ƒ(х)А при хх0. Замечая, что δ-окрестностью точки х0 называют интервал (х0–δ, х0+δ), ε-окрестностью точки А называют интервал (А–ε; А+ε), дадим еще одно определение предела функции. Определение. Число А называется пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что неравенство А–ε  ƒ(х)  А+ε выполняется для любого х, отличного от х0, удовлетворяющего неравенству х0–δ  х  х0+δ. 1.5 Геометрическая интерпретация предела Пусть дан график функции у=ƒ(х), точка х0 на оси Ох и точка А=ƒ(х0) – на оси Оу. Отложим на Оу вверх и вниз от точки А отрезки длиной  . Получим интервал (А–ε, А+ε) на оси Оу. Проведем прямые, параллельные оси Ох, через точки А–ε и А+ε, до пересечения с графиком функции. Точки пересечения спроектируем на ось Ох. Очевидно, что для каждого х из интервала (х0–δ, х0+δ) значение функции ƒ(х) попадет в интервал (А–ε, А+ε). Рисунок - 16 1.6 Односторонние пределы Пусть дана функция ƒ (х) и точка х0 внутри области ее определения. Предел функции (х) при х, стремящемся к х0 слева (т. е. при х  х0), называют левосторонним пределом функции в точке х0 (или левым пределом) и обозначают . Предел функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0 справа (т. е. при х  х0), называют правосторонним пределом функции в точке х0 (или правым пределом) и обозначают . Имеет место следующее утверждение: Если функция ƒ(х) имеет предел А при , то она имеет в точке х0 предел слева и предел справа, каждый из которых равен А. Укажем некоторые теоремы о пределах функций. Пусть существует и . Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме пределов слагаемых, т. е. . (1) Теорема 2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, т. е. (2) Теорема 3. Предел частного от деления двух функций равен частному от деления их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е. , если . (3) Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности точки х0 выполняются неравенства и (4) Тогда существует равный числу А, т. е. Теорема 5. Если и и в некоторой окрестности точки х0 ƒ(х)  φ(х), то и , т. е. А  В. Применяя эти теоремы, вычисляем Сравнивая полученное выражение с данным алгебраическим выражением, видим, что вместо переменной х всюду записан lim x, т. е. Сформулируем правило: Для вычисления предела алгебраического выражения следует всюду вместо переменной подставить ее предел и подсчитать результат, если при этом нигде не встретилось деление на нуль. Рассмотрим теперь функции, стремящиеся к нулю и действия с ними. 1.7 Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение. Бесконечно малой при хх0 называется функция α(х), предел которой при хх0 равен нулю, т. е. Для бесконечно малых верны теоремы о пределах функций, а именно: –сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малых есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малой на постоянную есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малой на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая. Например, α1(х)=(х–2)2 – функция бесконечно малая при х2. α2(х)=sin x – функция бесконечно малая при хπ. α3(х)=х2–3х+2 – функция бесконечно малая при х1. Обратимся теперь к рассмотрению функций, значения которых в окрестности точки х0 не ограничены. Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа М найдется такое положительное число δ, что для каждого х из δ-окрестности точки х0 выполняется неравенствоƒ(х)  М. Примером такой функции является функция tg х при . Функция при х0 также является бесконечно большой. Если ƒ(х) – бесконечно большая при хх0 функция, то записывают:. Здесь знак ∞ (бесконечность) указывает, что функция не имеет предела и является бесконечно большой. Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций. Теорема. Если функция α(х) – бесконечно малая при хх0, то – бесконечно большая функция при хх0. Если ƒ(х) – бесконечно большая функция при хх0, то – бесконечно малая функция при хх0. Например, если sin x – бесконечно малая при х0, то – бесконечно большая при . Или при х3 функция х–30, а функция . Заметим, что отношение любой функции, стремящейся к конечному пределу, и функции бесконечно малой является функцией бесконечно большой. Поэтому, , т. к. , а . Рассмотрим поведение функций при неограниченном возрастании аргумента х. Говорят х∞ (неограниченно возрастает по абсолютной величине), если для любого числа М  0 переменная х примет значение х  М Можно говорить о пределе функции при х∞. Если при этом существует предел А функции ƒ(х), то записывают Все рассмотренные теоремы и правила вычисления предела справедливы и в этом случае. Например, – бесконечно малая функция при х∞, т. к. . 1.8 Непрерывность функции Понятие непрерывности функции интуитивно связано с непрерывностью линии (графика функции). С точки зрения математика это понятие связано с существованием предела функции в точке. Рисунок - 17 Рисунок - 18 Рисунок - 19 Рисунок - 20 На рисунках 17–20 представлены графики различных функций, из которых только одна (Рисунок 20) является непрерывной в точке х0. Остальные функции не являются непрерывными в точке по разным причинам. На рисунке 17 дан график функции, которая имеет в точке х0 различные (хотя и конечные) односторонние пределы. На рисунке 18 функция в точке х0 не имеет конечного правого предела. На рисунке 19 функция имеет оба равные односторонние пределы, но сама в точке х0 не определена. Таким образом, для непрерывности функции в точке должны быть устранены все эти особенности. Определение. Функция ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если 1) она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности, 2) существует , 3) предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т. е. Второе условие определения может быть сформулировано более подробно: существуют и равны оба односторонних предела в точке, т. е. Рассмотрим примеры. № 1. . Эта функция не является непрерывной в точке х=0, т. к. в этой точке она не определена. № 2. . Эта функция не является непрерывной в точке х=2, т. к. в этой точке не существует ее предел: . Заметим, что в точке х=2 тоже не определена. № 3. Зададим функцию с помощью двух аналитических выражений, а именно. Посмотрим, является ли эта функция непрерывной в точке х=1. Значение функции в этой точке ƒ(1)=3–1=2. Функция определена для всех действительных чисел. Вычислим односторонние пределы. При х  1 ƒ(х)=х, поэтому При х  1 ƒ(х)=3–х, поэтому Так как односторонние пределы не равны между собой, то не существует и в точке х=1 функция не может быть непрерывной. Определение. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Рассматривая простейшие элементарные функции, легко убедится, что каждая из них непрерывна в области своего определения. Определение. Точка х=х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке нарушается хотя бы одно требование непрерывности. На рисунках 17–19 приведены примеры точек разрыва. Точку называют точкой разрыва первого рода, если существуют и конечны оба односторонних предела. Точку разрыва называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один односторонний предел в этой точке не существует (или бесконечен). В рассмотренном примере № 3 функция имеет в точке х=1 точку разрыва первого рода. График этой функции состоит из двух полупрямых у=х (для х  1) и у=3–х (для х  1). Рисунок - 21 При исследовании функции на непрерывность точку разрыва следует искать там, где функция не определена, или в точках, где одно аналитическое выражение функции меняется на другое. Укажем некоторые свойства непрерывных функций. 1. Если функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны в точке х0, то непрерывны в точке х0 функции ƒ(х)φ(х), ƒ(х)·φ(х), . Заметим, что непрерывна в точке х0 только, если φ(х0)0. 2. Каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения. 3. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свое наибольшее и свое наименьшее значения. 4. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и ƒ(а)=А, ƒ(b)=В, то каково бы ни было число С (А  С  В), найдется точка х=с внутри отрезка [а, b] такая, что ƒ(с)=С То есть функция принимает на отрезке все промежуточные значения. 5. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и принимает на концах его значения разных знаков (ƒ(а)·ƒ(b)  0), то внутри отрезка найдется точка х=с такая, что ƒ(с)=0. Это свойство позволяет приближенно находить корень уравнения, т. к. если ƒ(с)=0, то с – решение уравнения ƒ(х)=0. Теоремы о пределах функций, о бесконечно малых функциях облегчают нахождение пределов. Рассмотрим так называемые неопределенные выражения, когда эти теоремы не применимы. Например, теорема о пределе частного не применима для отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций. Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые при ; u(x) и v(x) – бесконечно большие при хх0. Тогда можно рассматривать пределы при хх0 таких, неопределенных для х=х0, выражений (называемых неопределенностями): α(х)·u(x), u(x)–v(x), которые условно обозначают символами , 0·∞, ∞–∞. Раскрытие неопределенностей (т. е. нахождение пределов неопределенных выражений) происходит с применением некоторых простейших приемов, которые позволят применить теоремы о пределах. Рассмотрим эти приемы на примерах. Пример 1. Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х теорема о пределе неприменима, т. к. и . представляет собой неопределенность вида . Разложим на множители квадратный трехчлен. 9х2+8х–1=9·(х–)·(х+1). Для этого достаточно найти корни х1 и х2 квадратного трехчленаах2+bх+с=а(х–х1)·(х–х2). Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу: Пример 2. . Обнаружив неопределенность (так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители. Сократив на х–1, получили дробь , числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля (), а знаменатель при х1 является бесконечно малой, тогда дробь при х1 является бесконечно большой. Пример 3. . Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х3, получим , т. к. каждая из дробей является бесконечно малой и стремится к нулю. Пример 4. , так как . Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной. Неопределенности вида 0·∞ и ∞–∞ приводятся к неопределенностям или . Пример 5. После приведения данных дробей к общему знаменателю была получена дробь, представляющая собой неопределенность . Пример 6. . Здесь удалось избавиться от разности (–2), стремящейся к нулю при х4, разложив х–4 на множители по формуле разности квадратов. Пример 7. В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов: . Пример 8. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, используется первый замечательный предел: Чтобы подчеркнуть, что первый замечательный предел представляет собой неопределенность , т. е. отношение двух бесконечно малых, записывают его формулу в виде:, если α(х) – бесконечно малая функция. Заметим, что, например, не является замечательным пределом. Пример 9. . При вычислении этого предела прежде всего обнаружили неопределенность . Чтобы использовать первый замечательный предел, разделим sin3πх (и умножим) на 3πх, затем и знаменатель sin πх разделим (и умножим) на πх. Сократив общие множители вынесем множитель 3 и, перейдя к пределу в числителе () и в знаменателе (), получим искомый предел. Пример 10. . Принимая =α(х) (бесконечно малая при х∞), используем . Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного Пусть функция у=ƒ(х) определена в некоторой области Х и х0 – точка внутри Х. Перейдем из точки х0 в другую точку области Х, изменив значение х0 на величину Δх (говорят: дадим х0 приращение Δх). Эта другая точка х=х0+Δх. Функция ƒ(х) при этом тоже получит некоторое приращение Δу=Δƒ(х0)=ƒ(х0+Δх)–ƒ(х0). Приращение функции Δƒ(х0) (или Δу) – величина, на которую изменяется значение функции, когда аргумент получает приращение Δх. Основным вопросом, который нас будет интересовать, является вопрос о характере изменения функции в точке х0. Точнее, нас будет интересовать скорость изменения значений функции при переходе от значения х0 независимой переменной к другому. Рассмотрим для этого отношение приращения функции к приращению независимой переменной . (5) Это отношение называют средней скоростью изменения функции на промежутке между точками х0 и х0+Δх. Средняя скорость зависит от Δх, поэтому средняя скорость не будет достаточно хорошей характеристикой изменения функции в точке х0. За скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0 принимается предел средней скорости при Δх0. Определение. Если существует конечный предел отношения приращения функции у=ƒ(х) к приращению независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю, то этот предел называется производной функции у=ƒ(х) точке х0и обозначается одним из следующих символов: , . По определению: или . (6) Таким образом, производная ƒ(х0) есть скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0. Таков физический смысл производной. Рассмотрим геометрический смысл производной. Пусть дан график функции у=ƒ(х), представляющий собой некоторую кривую. Отметим на ней некоторую точку М0. Если М – другая точка этой кривой, то прямая М0М называется секущей. Определение. Касательной к кривой в точке М0 называется предельное положение секущей М0М при условии, что точка М, двигаясь по кривой, приближается к точке М0. Пусть х0 и х0+Δх – абсциссы точек М0 и М графика функции у=ƒ(х). Ординатами этих точек будут числа ƒ(х0) и ƒ(х0+Δх) или у0=ƒ(х0) и у0+Δу=ƒ(х0+Δх). Рисунок - 22 Запишем уравнение касательной к графику у=ƒ(х) в точке М0(х0, у0): у–у0=k·(х–х0), где k – угловой коэффициент касательной, т. е. k=tg α. Поскольку касательная – предельное положение секущей, то и угол α наклона касательной есть предел угла β наклона секущей, т. е. k=tg α=, при условии, что точка М по графику приближается к точке М0, но тогда Δх0. Из треугольника М0FМ и . Таким образом, касательная к графику функции у=ƒ(х) существует, если в точке х0 функция ƒ(х) имеет производную, а угловой коэффициент касательной в точке М0(х0, у0) равен значению производной в точке х0, т. е. k=ƒ(x0). Уравнение касательной: у–у0=ƒ(х0)·(х–х0). (7) Выяснив физический и геометрический смысл производной, рассмотрим основные свойства и формулы дифференцирования (дифференцированием функции называется процесс отыскания ее производной). Теорема 1. Если функция ƒ(х) дифференцируема в точке х0, то ƒ(х) непрерывна в точке х0. Заметим сразу, что обратное утверждение не всегда верно. Теорема 2. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет положительную производную, то ƒ(х) возрастает на [а, b], т. е. еслиƒ(х)  0 на [а, b], то ƒ(х) возрастает на [а, b]. Теорема 3. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет отрицательную производную, то ƒ(х) убывает на [а, b], т. е. если f'(x)<0, то f(x) убывает на [а, b]. . Рисунок - 23 Рисунок - 24 В случае ƒ(х)  0 и tg α  0, т. е. в любой точке графика угол наклона α  900. Функция возрастает на [а, b]. В случае ƒ(х)  0 tg α  0 и угол наклона касательной α  900. Функция убывает на [а, b]. Теоремы 2 и 3 используются при решении задачи на отыскание интервалов монотонности функции. 2.1 Правила вычисления производных Производная сложной функции. Если у=ƒ(и), и=φ(х), то у(х)=ƒ(и)·φ (х). Производная суммы. Если у(х)=и(х)+v (х), то у (х)=и (х)+v (х) Производная произведения. Если у(х)=и(х)·v(х), то у=и·v+u·v. В частности, (с·и)=с·и, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что (u2)=2u·u, (u3)=3u2·u, … , (un)=n·un–1·u. Производная частного. Если , то . Приведем и таблицу производных. Таблица 1 Таблица производных 1. (с)=0 Для сложной функции: если и=и(х), то: 2. (х)=1 3. (хα)=α·хα–1, а – любое действительное число. . 3. 4. (ах)=ах·ln а 4. Продолжение таблицы 1 Таблица производных 5. (logax)= . 5. 6. (sin x)=cos x 6. 7. (cos x)= –sin x 7. 8. (tg x)= 8. 9. (ctg x)= 9. 10. 10. 11. 11. 12. 12. 13. 13. При дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоваться. Найти производные следующих функций. Пример 1 у=(3–2 sin5x)4 Применяем формулы производных для иα, sin u y=4·(3–2·sin5x)3·(3–2sin5x)=4·(3–2·sin5x)3·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)3. Пример 2. . Пример 3. . Пример 4. Пример 5. . Пример 6. Запишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцирования . Пример 7. Пример 8. Пример 9. . Пример 10. Составить уравнение касательной к параболе у=х2–4х в точке, где х=1. Уравнение касательной у-у0=ƒ(х0)·(х–х0), где х0, у0 – координаты точки касания. Дано, что х0=1. Из уравнения параболы найдем у0=у(х0)=у(1)=12–4·1= –3. Уравнение параболы у=х2–4х, т. е. ƒ(х)=х2–4х. Найдем ƒ(х0). ƒ(х)=2х–4. ƒ(х0)=ƒ(1)=2·1–4= –2. Уравнение касательной: у+3= –2·(х–1) или 2х+у+1=0 Пример 11. Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных а) оси Ох, б) прямой3х–у–5=0. Найдем производную от у: а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х0 должна быть равна нулю: х2–4х+3=0. Решая это уравнение, находим х1=3 и х2=1. Найдем соответствующие им значения функции: Получены две точки на данной кривой: М1(3, –3) и М2(1, ). Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у= –3 и у=. б) Если касательная параллельна прямой 3х-у-5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой: 3х–у–5=0 или у=3х–5. k=3. Производная у в точке х0 должна быть равна 3. х2–4х+3=3. Решая это уравнение х2–4х=0, находим х1=0 и х2=4. Найдем соответствующие им значения функции: у1=у(0)= –3. у2=у(4)=·43–2·42+3·4–3= –. Уравнение касательной в точке М1(0,–3): у+3=3·(х–0) или 3х–у–3=0. Уравнение касательной в точке М2(4, –): или 9х–3у–41=0. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множества Х и дифференцируема в каждой его точке. Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной функции на приращение аргумента и обозначается dy или dƒ(х), т. е. dy=ƒ(x)·Δx Пусть дана функция у=х. Тогда у=1. Дифференциал этой функции dy=1·Δx, т.е. dx=Δx. Поэтому формулу дифференциала записывают в виде dy=f(x)·dx Отсюда , т. е. производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Иногда удобно пользоваться именно таким «определением» производной. Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией, то производная от ƒ(х) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции ƒ(х) и обозначается: уи, ƒ(х), т. е. ƒ(х)=(ƒ(х)). Аналогично, производной третьего порядка (третьей производной) от функции ƒ(х) называется производная от второй производной ƒ(х), т. е. ƒ(х)=(ƒ(х)). Производная четвертого порядка ƒIV(х)=(ƒ(х)). Например, для функции ƒ(х)=2х6–sin3x ƒ(x)=12x5–3cos3x, ƒ(x)=12·5x4–3·(–sin3x)·3=60x4+9sin3x, ƒ(x)=60·4x3+9·cos3x·3=240x3+27cos3x, ƒIV(x)=240·3x2–27sin3x·3=720x2–81sin3x и т. д. Производную порядка n обозначают: y(n) или ƒ(n)(x). Были рассмотрены некоторые приложения производной, а именно: задача о касательной к графику функции, отыскание интервалов монотонности функции. С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям и . 2.2 Правило Лопиталя. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных. Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и во-вторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел. Итак, , если или = Пример 1. Найти следующие пределы 1) 2) т. к. , – бесконечно большая при х∞ 3) т. к. cos 5π=cos(4π+π)=cos π= –1. cos 3π=cos(2π+π)=cos π= –1. Рассмотрим случай неоднократного применения правила Лопиталя. 4) . Правило Лопиталя было применено дважды. Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату. 5) Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, но предел этот легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х , т.к. . Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида 0·∞, ∞–∞. 6) 7) , т. к. 2.3 Экстремум функции Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания. Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него. Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности ƒ(х)  ƒ(х0) (ƒ(х)  ƒ(х0)). Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума). Рисунок - 25 Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1)  ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки. Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума. Теорема. Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ(х0)=0. Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум. Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х3. Найдем ƒ(х)=3х2. В точке х=0 ƒ(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х0, где ƒ(х)=х3  0, найдем х0, где (х)=х30. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума. Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ(х)=0) называются критическими. Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох. Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах. Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а именно, если производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка минимума. Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной. Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х) имеет ƒ(х) и ƒ(х)). Теорема 2. Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ(х0)  0, то х0 – точка минимума, если ƒ(х0)  0, то х0 – точка максимума. С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции. 2.3 Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба. Кривая у=ƒ(х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале ƒ(х)  0. Кривая у=ƒ(х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале ƒ(х)  0 Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута. В точке перегиба ƒ(х)=0. Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них. Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс. Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то функция на (а, b) возрастает (убывает). Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то график на (а, b) вогнут (выпукл). Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох. Уравнение ƒ(х)=0 определяет критические точки. Уравнение ƒ(х)=0 определяет возможные точки перегиба. Схема исследования функции Для исследования функции ƒ(х) и построения графика у=ƒ(х) следует найти: 1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат; 2) интервалы монотонности; 3) точки экстремумов и значения функции в этих точках; 4) интервалы выпуклости и вогнутости графика; 5) точки перегиба графика; 6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график. 2.4 Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка. Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ(х) на отрезке [а, b]. 1. Найти производную функции ƒ(х). 2. Найти критические точки из уравнения ƒ(х)=0. 3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [а, b] и найти значение функции ƒ(х) в каждой такой точке. 4. Вычислить значения функции ƒ(х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b). 5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее). Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=х3–9х2+24х–10 на отрезке [0 3]. 1. ƒ(х)=3х2–9·2х2+24. 2. ƒ(х)=0, 3(х2–6х+8)=0, х1=2, х2=4. 3. Точка х2=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х1=2 ƒ(2)=23–9·22+24·2–10=10. 4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=33–9·32+24·3–10, ƒ(3)=8. 5. Получены значения: ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8. Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х=2. Наименьшее – равно –10 и достигается в точке х=0. Пример 3. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х2–2х3–х4. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. хЄ(–∞, +∞). Найдем вторую производную. у=1+72х–6х2–4х3. у=72–12х–12х2= –12(х2+х–6). Из уравнения у=0 получим абсциссу точки перегиба: –12(х2+х–6)=0 х1= –3; х2=2. Определим знак у на интервалах (–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞). Таблица 2 х (–∞, –3) -3 (–3; 2) 2 (2; +∞) у – + – форма кривой выпукла перегиб вогнута перегиб выпукла Найдем ординаты точек перегиба: у(–3)=726; М1(–3; 726) – точка перегиба у(2)=114; М2(2; 114) – точка перегиба. На интервале (–3; 2) кривая вогнута. На интервалах (–∞; –3) и (2; +∞) – выпукла. Понятие интеграла является одним из важнейших понятий математического анализа. Конструкция интеграла служит основным инструментом для расчёта так называемых интегральных характеристик различных объектов, систем и процессов. Так, например, для геометрических объектов - вычисление площадей и объемов, для физических тел - массы, момента инерции, заряда и т.д., для систем и процессов - работы, энергии, потоков физических полей и т.д., в финансовой математике - накопленной стоимости. Основная формула интегрального исчисления - формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной данной функции, т.е. к вычислению неопределенного интеграла. Одним из основных общих методов вычисления неопределенных интегралов является метод замены переменной, сводящий вычисление интеграла в конечном итоге к так называемому табличному интегралу. Первое и второе задания пособия посвящены вычислению неопределенных и определенных интегралов соответственно, третье задание - вычислению площади фигуры с помощью определенного интеграла, четвёртое - вычислению несобственных интегралов. 2.5 Первообразная. Неопределенный интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или её производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: для данной функции найти такую функцию F(x), производная которой равна f (x). Например, для функции f (x) = x4 этому условию удовлетворяет функция F(x) = , так как F’ (x) = Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) , если . Следовательно, функции является первообразной для функции x4. Однако она не является единственной первообразной для x4. Ими являются функции , и вообще , где С - произвольная постоянная. Оказывается, что все первообразные для любой функции f (x) даются формулой F (x) + C, где F’ (x) = f (x) и С - произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных для непрерывной функции называется неопределенным интегралом и обозначается где функция f (x) - подынтегральная функция, f(x)d x - подынтегральное выражение, d x - дифференциал аргумента. Таким образом, если F (x) какая-либо первообразная для f (x) , то Например, Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления соответствует формула в интегральном исчислении. 2.6 Таблица основных интегралов Следующие формулы интегрального исчисления получены из таблицы основных производных с добавлением к ним наиболее часто встречающихся интегралов. Заметим, что правильность всех этих формул проверяется путём вычисления производных от их правых частей. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 14. 15. 16. Интегралы из этой таблицы в дальнейшем будем называть табличными интегралами. Основные свойства неопределенного интеграла Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства: 1. 2. 3. 4. Важную роль при вычислении неопределённого интеграла играют следующие его свойства, которые доказываются с помощью соответствующих свойств производной: 5. 6. = 2.7 Основные методы интегрирования 1) Непосредственное интегрирование. Метод заключается в применении свойств 5 и 6 с использованием таблицы основных интегралов. Пример 1. = (по таблице основных интегралов) = Пример 2. Пример 3. Пример 4. Пример 5. (по формуле тригонометрии) = 2) Замена переменной. Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путём преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле. При этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) по формуле После вычисления интеграла справа необходимо в ответе вернуться снова к аргументу x, выразив t в формуле через х. Замечание: Часто при замене переменной удобно использовать подстановку вида , при этом . Пример 6. Пример 7. Пример 8. Пример 9. Пример 10. Пример 11. Пример 12. Пример 13. Пример 14. Пример 15. Замечание. Используя простейшую замену переменной, легко получить следующие формулы: 3) Интегрирование по частям. Метод заключается в применении формулы интегрирования по частям Смысл этой формулы состоит в том, чтобы в результате её применения интеграл в правой её части оказался проще первоначального. Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует разбить на два множителя. Один из них обозначается через а остальная часть (содержащая) относится ко второму множителю и обозначается через. Затем дифференцированием находится и интегрированием - функция причем в произвольная постоянная берётся равной нулю. Пример 16. Пример 17. Пример 18. Пример 19. Пример 20. = Пример 21. Формула интегрирования по частям применяется к интегралам следующего вида: 2.8 Интегралы специального вида 1) Интегралы вида упрощаются с помощью подстановки тогда Если же в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями, то следует произвести такую же подстановку, где за нужно взять наименьшее общее кратное всех этих показателей. Пример 22. Пример 23. Пример 24. 2) Интегралы вида вычисляются путём выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена и последующей подставки Пример 25. Пример 26. Пример 27. Пример 28. 3) Интегралы вида где целые числа, упрощаются с помощью подстановки если нечётное число и если нечётное число. Если чётные числа, то используют тригонометрические формулы для понижения степеней. Пример 29. Пример 30. Пример 31. Пример 32. Аналогично получаются более общие формулы Пример33. 4) Интегралы вида приводятся к интегралам от тригонометрических выражений подстановкой Пример 34. 5) Интегралы вида приводятся к интегралам от тригонометрических выражений подстановкой с использованием тригонометрического тождества Пример 35. 2.9 Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница Выше было показано, что вычисление площади плоской фигуры свелось к нахождению предела особого рода сумм (1). Решение многих других задач математики, естествознания и техники приводит к вычислению пределов такого же рода сумм. Это даёт основание для следующего определения. Определение. Пусть на отрезке задана функция Разобьём отрезок точками на более мелких отрезков Длины которых На каждом из этих отрезков выберем по точке Длину наибольшего отрезка обозначим через Определенным интегралом от функции по отрезку называется (8) Выражение, стоящее под знаком предела, называется интегральной суммой для функции по отрезку Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Из задачи о вычислении площади криволинейной трапеции вытекает следующий геометрический смысл определённого интеграла: если на то где площадь криволинейной трапеции (8). Если существует интеграл от функции по отрезку то функция называется интегрируемой на Справедливо следующее утверждение: если непрерывна на отрезке то она интегрируема на По определению будем считать, что и Ключевую роль в вычислении определенных интегралов играет формула Ньютона-Лейбница, называемая основной формулой интегрального исчисления. Теорема. Если на то (9) Формула (9) показывает, что вычисление определенных интегралов сводится к вычислению первообразной (т.е. к вычислению неопределенных интегралов). Для вычисления удобна сокращенная запись С помощью этого обозначения формулу (9) записывают так: 2.10 Основные свойства определенного интеграла 1. 2. Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам неопределенного интеграла. Следующее важное свойство определенного интеграла часто используется в приложениях. 3. где любая точка из Это свойство имеет простой геометрический смысл: если на и то оно утверждает, что площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26, равна сумме площадей составляющих ее меньших криволинейных трапеций. 4) Если функция непрерывна на отрезке то существует такая точка с из что Рисунок - 26 Геометрически это означает, что между и существует такая точка что площадь криволинейной трапеции (Рисунок - 27) равна площади прямоугольника, основанием которого является отрезок а высотой - Рисунок - 27 5) Если на то 6) Если на то Это свойство тоже имеет простой геометрический смысл: если на то площадь меньшей криволинейной трапеции (Рисунок - 28) меньше площади большей криволинейной трапеции Рисунок - 28 7) Если на то Это свойство тоже легко проиллюстрировать геометрически: если на то оно утверждает, что площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника (Рисунок - 29) и меньше площади прямоугольника Рисунок - 29 2.11 Основные методы вычисления определенного интеграла 1) Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница. Метод заключается в вычислении первообразной для подынтегральной функции (т.е. в вычислении неопределенного интеграла) и применении затем формулы Ньютона-Лейбница. Пример 36. Вычислить Пример 37. Вычислить Пример 38. Вычислить = 2) Замена переменной в определенном интеграле. Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путём преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле, при этом пределы интегрирования изменяются и при вычислении интеграла возврат к старому аргументу не проводится. Пример 39. Пример 40. Пример 41. = 3) Интегрирование по частям для определенного интеграла. Метод заключается в применении формулы интегрирования по частям для определенного интеграла. Пример 42. Пример 43. 2.12 Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если на то где площадь криволинейной трапеции (рис. 1). Рассмотрим теперь случай, когда на Тогда на Графики этих функций симметричны относительно оси и поэтому площадь равна площади (Рисунок - 30), а следовательно, или Рисунок - 30 Тогда в общем случае, когда функция меняет знак на например (Рисунок - 31), имеем: Рисунок - 31 Пусть теперь фигура ограничена графиком функции (сверху) и (снизу), прямыми и (Рисунок 32). Найдем ее площадь. Рисунок – 32 Рисунок - 33 Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (Рисунок 33). После этого переноса ее ограничивают графики функций и При переносе площадь не меняется и поэтому площ. площ. = Пример 44. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и Рисунок - 34 Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений { y=4x—x2 y=x2—6 (эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и потому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол). Из этой системы получаем: откуда Тогда искомая площадь будет равна: = 2.13 Несобственные интегралы При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что отрезок интегрирования является конечным. Если промежуток интегрирования бесконечен, то требуется специальное определение таких интегралов - они называются несобственными. Определение. Пусть функция непрерывна на Тогда полагают: Если этот предел равен числу, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если этот предел равен бесконечности или не существует, то - расходящимся. Пример 45. т.е. интеграл сходится. Пример 46. т.е. интеграл расходится. Есть и другие варианты несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования - они определяются аналогично: Пример 47. Пример 48. = Замечание. Геометрический смысл интеграла сохраняется и для несобственных интегралов - это «площадь» криволинейной трапеции, «уходящей в бесконечность», ограниченной графиком подынтегральной функции и промежутком интегрирования. Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 3.1 Функции нескольких переменных. Основные понятия До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением величины, значения которой зависят от значений одной независимой переменной. На практике приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга физических и геометрических величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведём несколько примеров. Площадь S прямоугольника зависит от значений его длины x и ширины y и выражается формулой Каждой паре значений x и y соответствует определённое значение площади S; S – есть функция двух переменных x и y. Объём V конуса есть функция его высоты h и радиуса r и выражается формулой Объём V прямоугольного параллелепипеда с рёбрами, длины которых равны x, y, z, выражается формулой Здесь V – функция трёх переменных x, y, z. Начнём с простейшего случая, когда дана функция двух независимых переменных. Почти все понятия, касающиеся функции двух переменных, являются обобщениями соответствующих понятий для функции одного переменного. Определение. Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре (x,y) из некоторого множества по определённому закону поставлено в соответствие значение переменной z. При этом переменные x и y называются независимыми переменными или аргументами, а переменная z – зависимой переменной или функцией. Записывают: Определение. Множество пар чисел (х,у), для которых определена функция z, называется областью определения этой функции. Так как каждой паре (х,у) из области определения функции z на плоскости соответствует точка М(х,у), то функцию можно рассматривать как функцию переменной точки М(х,у) и обозначать Область определения функции двух переменных геометрически представляет собой множество точек плоскости. И сама функция двух переменных допускает геометрическую интерпретацию. Пусть функции определена в некоторой плоской области D. Рассмотрим тройку чисел x, y, z, где Этой тройке в пространстве соответствует единственная точка Р(х,у,z) с координатами x, y, z. Множество всех таких точек Р(х,у,z) пространства называется графиком функции Чаще всего этот график представляет собой поверхность, а равенство называют уравнением этой поверхности. Уравнению поверхности удовлетворяют координаты точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты других точек пространства. Простейшую поверхность – плоскость, которая задаётся уравнением можно рассматривать как график функции (для этого надо разрешить уравнение относительно z). Область определения функции при любых числах n, m, p является множеством всех точек М(х,у) координатной плоскости, т.е. -0 или у> –х. Последнему неравенству удовлетворяют точки, лежащие выше прямой у> –х, не включая точек самой прямой. № 6. Область определения этой функции найдём из системы Неравенство перепишем в виде или Уравнение определяет точки эллипса, а неравенство - точки, лежащие на эллипсе и внутри него. Неравенство запишем в виде Оно определяет точки, лежащие между прямыми исключая точки прямых. Итак, область определения функции есть множество точек внутри эллипса между прямыми. у 0 х y=-x Рисунок - 36 3 у 2 2 0 х Если точка М0(х0,у0) лежит в области определения функции то её значение в этой точке называют частным значением функции и обозначают или , или . Например, для функции её частные значения в точках Перейдём теперь к понятию предела функции двух переменных. Рассмотрим последовательность точек Будем говорить, что эта последовательность точек сходится к точке М0(х0,у0) (стремится к точке М0), если расстояние стремится к нулю при или если при Определение. Если для любой последовательности точек сходящейся к точке М0(х0,у0), соответствующая последовательность значений функции имеет пределом одно и то же число А, то это число называют пределом функции при и пишут или при Так например, функция определённая на всей плоскости, имеет пределом число 5 при Действительно, для любой последовательности точек сходящейся к точке (1,2), имеем Следовательно, Определение. Если существует конечный и то функция называется непрерывной в точке М0(х0,у0). Например, функция непрерывна в любой точке плоскости. Функция имеет множество точек, где она не является непрерывной. Эти точки расположены на прямой т.к. в любой точке этой прямой дробь не определена. Итак, функция будем говорить, разрывна в каждой точке прямой Функция не определена в начале координат т. О(0,0) и поэтому в ней не является непрерывной. Точка О(0,0) является точкой разрыва функции 3.2 Частные производные функции нескольких переменных Пусть в некоторой области дана функция и точка М(х,у) – произвольная точка этой области. Дадим независимой переменной х приращение оставляя значение переменной у неизменным. При этом функция z получит приращение Оно называется частным приращением этой функции по переменной х и характеризует изменение функции при изменении только аргумента х. Отношение равно средней скорости изменения функции на участке от точки М(х,у) до точки Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной х в точке (х,у). Частную производную по х от функции обозначают следующими символами: Таким образом, Этот предел характеризует скорость изменения функции по х в точке М(х,у). Таков физический смысл частной производной. Легко видеть полную аналогию с определением производной для функции одной переменной и её физическим смыслом. Аналогично, считая х неизменной и давая переменной у приращение получим частное приращение функции по у: Определение. Предел отношения при если он существует и конечен, называется частной производной функции по переменной у в точке (х,у). Частная производная по у обозначается одним из символов: Таким образом, Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции в точке М(х,у). Значения частных производных и зависят от координат х, у рассматриваемой точки М, т.е. в свою очередь являются функциями двух переменных. Вычисление частных производных по х (или по у) от конкретных функций производится по известным для функции одной переменной правилам. А именно, для вычисления частной производной по х следует считать у постоянной величиной и пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования. Для вычисления частной производной по у следует считать х постоянной величиной и только у – независимой переменной. Например, для функции полагая у постоянной, получим   полагая х постоянной, получим В частности, значение найденных частных производных в точке М0(-1,2): Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл. Вспомним вначале определение и геометрический смысл производной функции одной переменной. Для функции производной в точке х называется Графиком функции является некоторая линия на плоскости. Значение производной в точке х0 равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в точке, где х=х0, т.е. Точка М0(х0,у0) – точка касания, Рисунок - 37 По определению частная производная функции двух переменных по х Геометрически уравнение задает в пространстве некоторую поверхность. При вычислении частной производной этой функции по х в точке М0(х0,y0) мы полагаем y=y0. В сечении поверхности плоскостью получаем линию, которая проходит через точку поверхности (для неё ). Значение частной производной по равно тангенсу угла, который касательная к полученной линии в точке образует с осью Ох (или с прямой, ей параллельной). Рисунок - 38 Для функции трёх переменных определение частных производных даётся также, как и для функции двух переменных: Рассмотрим несколько примеров. При отыскании полагаем z и y постоянными и применяем формулу Аналогично, При отыскании полагаем x и у постоянными, тогда - степенная функция и (Здесь множитель выносится как постоянный). Мы рассматривали частные приращения функции полученные ею в результате изменения только одной независимой переменной. Если изменяются обе переменные, то полученное приращение функции называется полным приращением и обозначается т.е. Определение. Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: где  — бесконечно малые при и При этом слагаемое называется полным дифференциалом функции в точке М(х,у) и является главной частью полного приращения. На самом деле, при и полный дифференциал функции отличается от её полного приращения на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем и Полный дифференциал функции обозначают символом или следовательно, формула полного дифференциала: или где В задачах приближенного вычисления часто полное приращение функции заменяют её полным дифференциалом, т.е. полагают И это приближенное равенство тем точнее, чем меньше приращения и независимых переменных. По аналогии для функции формула полного дифференциала имеет вид: № 3. Найти полный дифференциал функции Формула полного дифференциала (10) Найдём частные производные: № 4. Вычислить значение полного дифференциала функции в точке (1,3) при заданных приращениях Используем формулу и найдём частные производные: Вычислим их значения при х=1, у=3. Подставим в формулу полного дифференциала и получим его значение: № 5. Найти формулу полного дифференциала функции Найдём частные производные по всем трём независимым переменным: и подставим в формулу: Получим 3.3 Производная по направлению. Градиент Пусть функция определена в некоторой области, включающей точку М(х,у). Перейдём из точки М(х,у) в точку М1(х1,у1), перемещаясь по заданному направлению Будем считать, что вектор образует с осями координат Ох и Оу углы  и  тогда вектор смещения ММ1 совпадает с вектором Функция получит при этом полное приращение Отношение полного приращения функции к длине вектора смещения равно средней скорости изменения функции. Определение. Предел отношения при стремлении точки M1 к точке М, если он существует и конечен, называется производной функции в точке М(х,у) по направлению вектора Обозначают производную по направлению Так как отношение равно средней скорости изменения функции на участке ММ1, то его предел при естественно принять за истинную скорость изменения функции z в точке М в направлении вектора Таков физический смысл производной по направлению. Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то её полное приращение в этой точкеОбозначим - длина вектора ММ1, - приращения независимых переменных. Очевидно, что и при , т.е. Запишем полное приращение в виде тогда где и - бесконечно малые при Переходя к пределу при получили и Рисунок - 39 Формула для производной по направлению принимает вид: (11) Легко видеть, что если направление совпадает с направлением оси Ох, то и производная по направлению оси Ох совпадает с частной производной по переменной х: Аналогично, производная по направлению оси Оу совпадает с частной производной Таким образом, частные производные по переменным х и у являются частным случаем более общего понятия производной по направлению. Если рассмотреть функцию трёх переменных и направление образующее с осями координат углы соответственно, то производная функции u в точке М(x,y,z) вычисляется по формуле (12) Рассмотрим примеры. № 1. Вычислить производную функции в точке А(1,2) по направлению вектора где точка В(4,-2). Так как формула производной по направлению то найдём и - координаты единичного вектора направления Его координаты найдём, зная координаты конца В(4,-2) и начала А(1,2) этого вектора: Длина вектора Тогда Найдём частные производные данной функции и и вычислим их значение в точке А(1,2). Искомая производная по направлению в точке А(1,2) имеет значение: № 2. Найти производную функции по направлению вектора в точках и Запишем формулу для производной функции трёх переменных по направлению Найдём направляющие косинусы вектора или координаты его единичного вектора. Для этого разделим координаты вектора на его длину Получим Найдём частные производные данной функции В любой точке М(x,y,z) формула производной по направлению имеет вид: Подставляя координаты точек А(0,-2,-1) и В(3,3,5), получим значения производной по направлению: Рассмотрим далее очень важное для приложений понятие градиента функции. Определение. Вектор с координатами и вычисленными в точке М(x,y), называется градиентом функции в этой точке и обозначается grad z или grad f(x,y). По определению этот вектор или где - базисные векторы координатных осей Ох и Оу соответственно. Напомним, что любой вектор плоскости можно разложить по базисным векторам зная координаты этого вектора: И если даны два вектора и то их скалярное произведение Формула производной по направлению где и - направляющие косинусы направления или координаты его единичного вектора. Обозначив через этот единичный вектор запишем его разложение по базису Градиент функции z в точке (х,у) Вычислим скалярное произведение этих двух векторов Производная по направлению в точке равна скалярному произведению градиента в этой точке и единичного вектора этого направления. А так как по определению скалярного произведения то поскольку Здесь - угол между направлением и градиентом. Принимая во внимание, что самое большое значение косинуса при можно утверждать, что производная по направлению будет наибольшей, когда направление совпадает с направлением градиента. Итак, доказано важное физическое толкование полученного свойства: градиент функции в точке указывает направление наибольшей скорости изменения функции в этой точке. Легко видеть, что эта наибольшая скорость изменения функции равна модулю градиента (ведь ). Обобщим понятие градиента для функции трёх переменных: Здесь - базис в пространстве, частные производные функции должны быть вычислены в точке М(x,y,z). № 3. Найти и построить градиент функции в точке A(-1,0). Рисунок - 40 Найдём частные производные и вычислим их значения в точке A(-1,0). ; Искомый вектор Построим его в данной точке A(-1,0). Рассмотрим геометрическую задачу с использованием дифференциального исчисления функции двух переменных. Это задача о составлении уравнения касательной плоскости к поверхности. Прежде всего – понятие касательной плоскости. Пусть дана поверхность уравнением где функция дифференцируема в точке М0(х0,у0). Будем называть касательной плоскостью к поверхности в точке Р плоскость, которая имеет с поверхностью единственную общую точку, а именно – точку Р. Пусть в точке Р координаты и А так как точка Р лежит на поверхности с уравнением то для неё третья координата где Рисунок - 41 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид: . Сравним уравнение касательной плоскости к поверхности с уравнением касательной к плоской линии в точке, где Это уравнение рассматривается и в курсе средней школы, и в курсе высшей математики и имеет вид: где Аналогия очевидна. В случае функции двух переменных, при помощи которой задано уравнение поверхности, уравнение касательной плоскости содержит похожие слагаемые, которых теперь два: это произведение значения частной производной на разность между х и х0 (или между у и у0). Рассмотрим пример. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке, где Найдём Подставим полученные значения в уравнение Уравнение искомой касательной плоскости: или Пример № 5. К поверхности провести касательную плоскость, параллельную плоскости В этом случае нам не даны координаты точки касания, поэтому используем условие параллельности двух плоскостей (часть 2). Пусть и уравнения двух параллельных плоскостей. Тогда их нормальные векторы и тоже параллельны, то есть - условие параллельности плоскости. В нашем примере дана плоскость уравнением Вторая плоскость – касательная плоскость с уравнением или Условие их параллельности Отсюда Т.к. уравнение поверхности то и Получим Из уравнения поверхности Искомое уравнение или 3.4 Частные производные высших порядков Если функция определена в некоторой области D, то её частные производные и в свою очередь, будут функциями двух переменных и определёнными в той же области D или её части. Будем называть их частными производными первого порядка. Частные производные по и по от функций и в точке если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в этой точке и обозначаются следующим образом: По определению т.е. производная, взятая по переменной y от производной функции по переменной х. Частные произведения второго порядка зависят от координат точки, в которой они вычисляются, т.е., в свою очередь, являются функциями двух переменных. Так, например, для функции в любой точке плоскости имеем: В заданных точках значения частных производных второго порядка: Частные производные третьего, четвёртого и пр. порядков вводятся аналогично. Так На примерах вы видели, что т.е. смешанные частные производные функции, отличающиеся лишь последовательностью произведённых дифференцирований, совпадают друг с другом. Это справедливо, конечно, не для всех абсолютно функций. Если смешанные частные производные не являются непрерывными, то они существенно зависят от порядка дифференцирования. В нашей практике функции таковы, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, т.е., например, Для функции большего числа переменных понятие частных производных высших порядков аналогично. Например, если то в любой точке и т.д. Пример. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению Найдём указанные производные, для чего начнём с частной производной по х: (Здесь использовали: ). Подставим в уравнение - верно. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник для вузов/ М.С.Красс.- М.: Дело, 2003. 2 Красс М.С.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник для вузов/ М.С.Красс, Б.П.Чупрынов.- М., Дело, 2003. 3 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.Ч.1: учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил. 4 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.Ч.2 : учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил. 5 Контрольные задания по общему курсу высшей математики / Ж.А.Черняк, А.А.Черняк,О.А.Федяня и др./Под общей ред. Ж.А.Черняк, А.А. Черняка.-СПб.:Питер, 2006. 6 Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб пособие.-М.:ИНФРА-М,2002. 7 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.1 часть.- 3-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-288с. 8 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.2 часть.- 2-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-256с. 9 Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособ./ Под ред. В.И.Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2004. 10 Соболь Б.В. Практикум по высшей математике/ Б.В.Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян. - Ростов н/ Д.: Феникс, 2004. - 640 с. 11 Соколов, Г.А. Математическая статистика: учебник для вузов / Г.А.Соколов, И.М.Гладких. - М.: Экзамен, 2004. - 432 с. 12 Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В.С.Шипачев. - 5-е изд., стер. - М.:Высш. шк., 2005. - 304 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Ганиев В.С. Математический анализ. Часть 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Ганиев В.С.– Электрон. текстовые данные.– Самара: Самарский государственный архитектурно-строительный университет, ЭБС АСВ, 2013.– 172 c.– ЭБС «IPRbooks». 2. Ильин В.А. Основы математического анализа. Часть I [Электронный ресурс]: учебник для вузов/ Ильин В.А., Позняк Э.Г.– Электрон. текстовые данные.– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.– 645 c.– ЭБС «IPRbooks». 3. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: методические указания, примеры решения задач и индивидуальные домашние задания для студентов I-го курса ЭУИС МГСУ всех направлений подготовки/ – Электрон. текстовые данные.– М.: Московский государственный строительный университет, Ай Пи Эр Медиа, ЭБС АСВ, 2014.– 88 c.– ЭБС «IPRbooks». Дополнительная литература: 1. Боронина Е.Б. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Боронина Е.Б.– Электрон. текстовые данные.– Саратов: Научная книга, 2012.– 159 c.– ЭБС «IPRbooks». 2. Веретенников В.Н. Высшая математика. Математический анализ функций одной переменной [Электронный ресурс]/ Веретенников В.Н.– Электрон. текстовые данные.– СПб.: Российский государственный гидрометеорологический университет, 2013.– 254 c.– ЭБС «IPRbooks». 3. Калиева О.М. Основы математического анализа. Приложения в экономике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Калиева О.М., Буреш А.И.– Электрон. текстовые данные.– Оренбург: Оренбургский государственный университет, ЭБС АСВ, 2012.– 209 c.– ЭБС «IPRbooks» 4. Орел Е.Н. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Часть 2. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Орел Е.Н., Рылов А.А., Бабайцев В.А.– Электрон. текстовые данные.– М.: Финансы и статистика, 2013.– 368 c.– ЭБС «IPRbooks». 5. Полькина Е.А. Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ) [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/ Полькина Е.А., Стакун Н.С.– Электрон. текстовые данные.– М.: Прометей, 2013.– 200 c.– ЭБС «IPRbooks».