Математический анализ

1 1 семестр МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция 1. Предел функции в точке и при x → ±∞. Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций 1.1. Обозначения Множества (любой природы) обозначаются большими латинскими буквами (A, B, ...) , а их элементы − малыми латинскими буквами (a, b, x, y, ...) . Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания (например, A ≡ {число m · (m + 1) · (m + 2) делится на 3}). Везде ниже вводятся следующие обозначения: ∀ − “всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”, ∃ − “существует”, “найдется хотя бы один”, ∈ − “принадлежит”, ∈ / − “не принадлежит”, ⇒ − “следует из”, “вытекает из”, ⇔ − “эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”, ⊂ − “входит в”, “содержится в” def ≡ или ⇔ − “по определению” (в тексте слово “если”) ∧ − логическое “И”, ∨ − логическое “ИЛИ”, A∪B − объединение множеств A и B, A∩B − пересечение множеств A и B, A\B − разность множеств A и B, Ā − дополнение A (если A − высказывание то Ā − отрицание высказывания A ). Через N, Z, Q, R обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) . 2 1.2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа Модуль числа a определяется следующим образом: ( +a, a ≥ 0, |a| = −a, a < 0. Свойства модуля: 1. (|x| ≥ +x) ∧ (|x| ≥ −x) ; 2. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a; 3. |x| ≥ a ⇔ ⇔ (x ≥ +a) ∨ (x ≤ −a) ; 4. |x + y| ≤ |x| + |y|; 5. |x · y| = |x| · |y|; 6. xy = |x| |y| (y 6= 0) ; 7. |xα | = |x|α ; 8. |x − y| ≥ ||x| − |y|| . 1.3. Понятие функции Пусть даны два множества A и B. Определение 1.1. Говорят, что на множестве A задана функция y = f (x) , отображающая множество A в множество B (пишут y = f (x) если каждому элементу x ∈ A поставлен в соответствие единственный элемент y ∈ B по закону y = f (x) . При этом x называется аргументом функции y = f (x) , а y − значением этой функции (при указанном значении аргумента x ). Множество A называется областью определения функции f (x) (обозначение: A = D (f ) ), а множество E (f ) = {y ∈ B/∃x ∈ A : y = f (x)} называется множеством значений этой функции. Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента x указывается соответствующий y ) p и б) аналитический способ (формулой; например y = sin (log2 x) ). При аналитическом задании функции y = f (x) в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество D (f ) = { x : выражение f (x) имеет смысл}. Например, p log2x = {x : x ≥ 1} . Будет также использоваться обозначение D f (G) для множества всех значений f (x), когда x пробегает подмножество G ⊂ D (f ) . 1.4. Предел функции 3 1.4. Предел функции Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке x = = x0 6= ∞. Различают проколотую δ -окрестность U̇x0 (δ) точки x = x0, которая определяется как симметричный интервал (x0 −δ, x0 + + δ) с выброшенной точкой x0 : U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x − x0| < δ}, и просто δ -окрестность Ux0 (δ) точки x = x0, совпадающую с указанным интервалом: Ux0 (δ) ≡ {x : |x − x0| < δ} ≡ (x0 − δ, x0 − δ). Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности U̇x0 точки x0 (в самой точке x0 функция может быть определена или нет; её значение в точке x0 не существенно). Определение 1.2. Говорят, что число P является пределом функции f (x) в точке x = x0 ( или при x → x0), если для произвольного числа ε > 0 найдется число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε) такое, что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < δ, будет иметь место неравенство |f (x) − P | < ε. При этом пишут lim f (x) = P и читают: “ предел функции f (x) при x→x0 x → x0 равен P ”. Это определение записывают кратко так: def ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 : x→x0 (1.1) (∀x)(0 < |x − xδ | < δ ⇒ |f (x) − P | < ε). Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции f (x) в точке x = x0 ( x стремится к x0, но x 6= x0, так как 0 < < |x−x0 |). Это означает, что предел lim f (x) = P не зависит от того, x→x0 каким является значение функции f (x), в точке x = x0. Например, функции ( ( 2 x2, x 6= 0, x , x 6= 0, f3 (x) = f1(x) = x2 , f2 (x) = не определена, если x = 0 100, x = 0, 4 Лекция 1 имеют один и тот же предел P = 0 в точке x = 0. Геометрически высказывание (1.1) означает, что для любого ε > 0 существует число δ > 0 такое, что кривая y = f (x) при всех x ∈ ∈ U̇x0 (δ) лежит внутри полосы (P − ε < y < P + ε). Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала (P − ε, P + ε) (или, что то же самое, для произвольного ε > 0), то число P будет пределом функции f (x) при x → x0 . Если же существует интервал (P − ε, P + ε) такой, что в любой проколотой окрестности U̇x0 (δ) точки x = x0 найдется абсцисса x, для которой f (x) ∈ / (P − ε, P + ε), то lim f (x) 6= P. Геометрические соображения часто используют при x→x0 доказательстве существования пределов для конкретных функций. Теорема 1.1. Если существует (конечный) предел lim f (x) = x→x0 = P, то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при x → x0 , т.е. существуют постоянные M > 0, δ > 0 такие, что для всех x из проколотой окрестности U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x − − x0| < δ} точки x0 имеет место неравенство |f (x)|≤M. Замечание 1.1. Если функция f (x) удовлетворяет условию, выделенному жирным шрифтом, то ее называют функцией класса O(1) (x → x0) и пишут f (x) = O(1) (x → x0) . Функции класса O(1) (x → x0) обладают следующими очевидными свойствами. Теорема 1.2. Если f (x) = O(1)(x → x0) и g(x) = O(1)(x → x0), то f (x) ± g(x) = O(1)(x → x0 ), f (x) · g(x) = O(1)(x → x0). 1.5. Бесконечно малые функции и их свойства Определение 1.3. Функция α (x) называется бесконечно малой функцией в точке x = x0 или функцией класса o(1) (x → x0) , если lim α (x) = 0. При этом пишут α (x) = o(1) (x → x0) . x→x0 def Таким образом, α (x) = o(1) (x → x0) ⇔ ∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) | < ε) . Например, функция α (x) = (1 − x)2 = o(1) (x → 1) , а функции cos (1/x) , x+1, ln (x + 2) не являются функциями класса o(1) (x → 0) . 1.5. Бесконечно малые функции и их свойства 5 Теорема 1.3. Имеют место следующие свойства класса o(1) (x → x0) : 10) Если α (x) = o(1) (x → x0) , то α (x) = O(1) (x → x0) , т.е. o(1) ⊂ O(1) (x → x0 ) ; 20) o(1) ± o(1) = o(1) (x → x0) ; 30) o(1) · o(1) = o (1) (x → x0) ; 40) o(1) · O(1) = o(1) (x → x0 ) . Доказательство. Свойство 10) очевидно. Докажем свойство 20) (другие свойства доказываются аналогично). Пусть α (x) = o(1) и β (x) = = o(1) (x → x0) . Тогда для произвольного ε > 0 существуют числа δj = δj (ε) > 0 (j = 1, 2) такие, что
(∀x) 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ |α (x) | < 2ε , (1.2)
ε (1.3) (∀x) 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ |β (x) | < 2 . Выберем δ = min {δ1 , δ2} > 0. Тогда ∀x ∈ U̇x0 (δ) будут иметь место одновременно неравенства (1.2) и (1.3). Складывая их, получим, что   ε ε (∀x) 0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) + β (x) | ≤ |α (x) | + |β (x) | < + = ε . 2 2 Это и означает, что α (x) + β (x) = o(1) (x → x0) , т.е. верно свойство 20) . Теорема доказана. Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при x → x0. Теорема 1.4. Если существует (конечный) предел lim f (x) = x→x0 = P, то f (x) = P + o (1) (x → x0) . Обратно: если функция f (x) представляется в виде f (x) = P + o(1) (x → x0) , то f (x) имеет предел в точке x = x0 и lim f (x) = P. x→x0 Доказательство. Существование предела lim f (x) = P эквиx→x0 валентно высказыванию ∀ε > 0∃δ > 0 : (∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − P | < ε) . (1.4) Высказывание (1.4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция α (x) = f (x)−P = o(1) (x → x0) , т. е. что f (x) =P +o(1) (x → x0) . Теорема доказана. 6 Лекция 1 Замечание 1.2. Равенство f (x) = P + o(1) (x → x0) называют асимптотическим разложением функции f (x) , имеющей предел в точке x = x0. И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко. Определение 1.4. Множества U∞ (R) = {x : |x| > R} , U−∞ (R) = {x : x < −R} , U+∞ (R) = {x : x > R} называются R -окрестностями точек x0 = ∞, x0 = −∞, x0 = +∞ соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции f (x) в бесконечности: def 1) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 : x→∞ (∀x) (x ∈ U∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε)); def 2) ( lim f (x) = P ) ⇔ ∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 : x→−∞ (∀x) (x ∈ U−∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε)); def 3) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 : x→+∞ (∀x) (x ∈ U+∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε) . Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами. Теорема 1.5. Если существуют (конечные) пределы lim f (x) = x→x0 P1 , lim g (x) = P2 , то и существуют пределы lim [f (x) ± g (x)] , lim [f (x) · g (x)] ; x→x0 x→x0 x→x0 при этом lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) , x→x0 x→x0 x→x0 lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) . x→x0 x→x0 x→x0 1.6. Эквивалентные бесконечно малые 7 Если (кроме существования пределов P1 и P2 ) выполняется ещё условие P2 6= 0, то существует предел частного lim [f (x) /g (x)] , x→x0 причем lim f (x) f (x) x→x0 lim . = x→x0 g (x) lim g (x) x→x0 Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы lim f (x) = P1 , lim g (x) = P2 , x→x0 x→x0 то по теореме 1.4 имеют место асимптотические разложения f (x) = = P1 + o(1) (x → x0) , g (x) = P2 + o(1) (x → x0) . Умножая эти равенства друг на друга, будем иметь f (x) · g (x) = P1 P2 + P1 · o(1) + P2 · o(1) + o(1) · o(1). Поскольку Pj = const = O(1) (x → x0) , то Pj · o(1) = o(1), j = = 1, 2 (см. теорему 1.3). Далее, поскольку o(1) · o(1) = o(1), o(1) + + o(1) + o(1) = o(1), то функция f (x) · g (x) представляется в виде f (x) · g (x) = P1 P1 + o(1) (x → x0) . По теореме 1.4 отсюда следует, что существует предел произведения f (x) · g (x) при x → x0 и он равен lim [f (x) · g (x)] = P1 · P2 = lim f (x) · lim g (x) . x→x0 x→x0 x→x0 Теорема доказана. 1.6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых Введем следующее понятие. Пусть x0 − конечная или бесконечная точка и пусть функции α (x) и β (x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0. Определение 1.5. Две бесконечно малые функции α (x) и β (x) (при x → x0 ) называются эквивалентными, если β (x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности U̇x0 (δ) и если α (x) = 1. x→x0 β (x) lim 8 Лекция 1 При этом пишут: α (x) ∼ β (x) (x → x0) . Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения, используемого при вычислении пределов. Теорема 1.6. Если α (x) ∼ α1 (x) , β (x) ∼ β1 (x) (x → x0) и если (x) существует предел lim αβ11(x) = P, то существует и предел lim α(x) β(x) x→x0 x→x0 и он также равен числу P. α1 (x) α(x) β1 (x) Доказательство. Переходя в тождестве α(x) β(x) ≡ β1 (x) · α1 (x) · β(x) к пределу при x → x0 и учитывая, что α (x) ∼ α1 (x) , β (x) ∼ β1 (x) (x → x0) , получае утверждение теоремы. Используя эту теорему, а также формулы: Таблица 1.1 эквивалентных бесконечно малых Если u (x) → 0 при x → x0, то при x → x0 верны следующие соотношения: 1) sin u ∼ u, 2) tgu ∼ u, 3) arcsin u ∼ u, 4) arctg u ∼ u, 1 5) 1 − cos u ∼ u2 , 2 u 6) e − 1 ∼ u, 7) au − 1 = u ln a, a > 0, a 6= 1, 8) ln(1 + u) ∼ u, 9) (1 + u)σ − 1 ∼ σ · u, σ = const. можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
πx = [x−1 = u, x = u+1] = lim − sinu πu = = Пример 1.1. P = lim sin x−1 x→1 [sin πu ∼ πu(u → 0)] = −πu = lim (−π) = −π. u→0 u→0 u = lim u→0 1.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми 9 1.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности U̇x0 (δ0) точки x = x0. Определение 1.6. Функция f (x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при x → x0, если для всякого R > 0 существует число δ = δ(R) > 0 такое, что (∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)| > R). При этом пишут lim f (x) = ∞. x→x0 Заметим, что ∞ − это не число, а символ, поэтому бесконечный предел − это всего лишь обозначение бесконечно большой функции. Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределу как к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют свои правила действий, несколько отличные от правил действий над конечными пределами (см. ниже свойства 100 − 130 ). Если функция f (x) сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности точки x = x0 и является при этом бесконечно большой функцией, то естественно писать lim f (x) = +∞ ( lim f (x) = −∞) x→x0 x→x0 (в зависимости от знака функции f (x) в указанной окрестности). Более точно: def ( lim f (x) = +∞) ⇔(∀R > 0∃δ = δ(R) > 0 : x→x0 (∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > R)), def ( lim f (x) = −∞) ⇔(∀R > 0∃δ = δ(R) > 0 : x→x0 (∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < −R)). 10 Лекция 1 В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность U̇x0 (δ) = {x : 0 < |x − x0| < δ} ⊂ U̇x0 (δ0) конечной предельной точки x0(x0 6= ∞). Почти дословно определяются бесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае под точкой x = x0 следует понимать один из символов: ∞, −∞, +∞, а под окрестностью U̇x0 (δ) − окрестность соответствующей бесконечно удаленной точки x0. Например, def ( lim f (x) = −∞) ⇔(∀R > 0∃M = M(R) > 0 : x→+∞ (∀x)(x > M ⇒ f (x) < −R)). Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 1.7. Пусть функция α(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности U̇x0 (δ) точки x = x0. Тогда справедливо высказывание   1 (α(x) = o(1)(x → x0)) ⇔ f (x) = − ББФ (x → x0) . α (x) Иначе говоря, для того чтобы функция α(x) была бесконечно малой при x → x0, необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функция f (x) = 1/α(x) была бесконечно большой при x → → x0 . Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями: 100)( lim f (x) = ∞ ∧ lim g(x) = ∞) ⇒ lim [f (x) · g(x)] = ∞); x→x0 x→x0 x→x0 110)( lim f (x) = +∞(−∞) ∧ lim g(x) = +∞(−∞) ⇒ x→x0 x→x0 ⇒ lim [f (x) + g(x)] = +∞(−∞); x→x0 120)( lim f (x) = +∞(−∞) ∧ lim g(x) = −∞(+∞)) ⇒ x→x0 x→x0 1.7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми 11 ⇒ ( lim [f (x) − g(x)] = +∞(−∞)); x→x0 130)( lim f (x) = P6=6=∞ ∧ α(x) = o(1)(x → x0 ) ∧ α(x) 6= 0∀x ∈ U̇x0 (δ0)) ⇒ x→x0 ⇒   f (x) − ББФ (x → x0 ) . α(x) И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций. Теорема 1.8 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности U̇x0 (δ) точки x = x0 выполняются неравенства ϕ (x) ≤ f (x) ≤ ψ (x) и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точке x = x0 и эти пределы равны друг другу, т.е. lim ϕ (x) = lim ψ (x) = P. x→x0 x→x0 Тогда существует предел промежуточной функции и он равен P, т. е. lim f (x) = P. x→x0 Теорема 1.9. Пусть в некоторой окрестности U̇x0 (δ) точки x = x0 выполняются неравенства ϕ (x) ≤ f (x) и пусть существуют пределы lim ϕ (x) = P1 , lim f (x) = P2 . x→x0 x→x0 Тогда P1 ≤ P2 (докажите это утверждение самостоятельно). Теорема 1.10 (о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности U̇x0 (δ) функция f (x) неотрицательна (неположительна) и существует предел lim f (x) = P, то P ≥ 0 (соответственно P ≤ x→x0 0 ). В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при x → x0 приводит к одному из символов типа 0 ∞ ∞ − ∞, 0 · ∞, , , 00, ∞0, 1∞, 0 ∞ 12 Лекция 1 возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределенность при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределенности. Поясним сказанное примером. x Пусть требуется вычислить предел P = lim x·sin . Если в указан2 x→0 tg x ном отношении мы сразу же перейдем к пределу, то получим неопределенность типа 0/0. Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попробуем избавиться от неопределенности. Применим для этого таблицу 1.1 эквивалентных бесконечно малых и теорему 1.5. Получим   x · sin x x·x = = lim 1 = 1 P = lim = lim x→0 tg2 x x→0 x2 x→0 Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачи из типового расчета “Пределы,” помещённого в конце пособия. Лекция 2. Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции. Разрывные функции и классификация точек разрыва. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Таблица производных 2.1. Односторонние пределы Дадим их кратко. Определение 2.0. Левый предел функции f (x) в точке x = x0 (обозначение: lim f (x) ≡ f (x0 − 0)) : x→x0 −0  def f (x0 − 0) = lim x→x0 (x 0 ∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − P | < ε)) . Правый предел функции f (x) в точке x = x0 (обозначение: lim f (x) ≡ f (x0 + 0)) : x→x0 +0  def f (x0 + 0) = lim x→x0 (x>x0 ) f (x) = A  ⇔ (∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (x0 < x < x0 + δ ⇒ |f (x) − P | < ε)) . Очевидно следующее свойство: 10) Для существования обычного предела lim f (x) = P необx→x0 ходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы f (x0 ± 0) и чтобы имело место равенство f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = P. 14 Лекция 2 2.2. Непрерывность функции в точке Пусть функция f (x) определена в точке x = x0 и некоторой ее окрестности. Определение 2.1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x = x0, если lim f (x) = f (x0 ) , т.е. если x→x0 ∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 : (∀x) (|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0) | < ε) . Функция f (x) называется непрерывной слева (справа) в точке x = x0, если f (x0 − 0) = f (x0) (соответственно f (x0 + 0) = f (x0) ). Функция f (x) называется непрерывной на множестве A если она непрерывна в каждой точке x0 ∈ A этого множества. Очевидны следующие высказывания. 20) f (x) непрерывна в точке x = x0 тогда и только тогда, когда f (x) = f (x0) + o (1) (x → x0) . 1 30) Для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x = = x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в точке x = x0 . Нетрудно показать, что сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке x = x0, также являются непрерывными в этой точке функциями. Частное f (x) /g (x) двух непрерывных в точке x = x0 функций непрерывно в этой точке, если g (x0 ) 6= 0. С непрерывными функциями связаны следующие два важных утверждения. Теорема 2.1. Пусть сложная функция f (ϕ (x)) определена в некоторой проколотой окрестности точки x = x0 и пусть выполнены условия: а) существует lim ϕ (x) = u0, x→x0 б) функция f (u) непрерывна в точке u = u0 . Тогда существует предел lim f (ϕ (x)) и имеет место равенство x→x0   lim f (ϕ (x)) = f lim ϕ (x) = f (u0) . x→x0 x→x0 Это равенство называется асимптотическим разложением непрерывной в точке x = x0 функции. 1 2.2. Непрерывность функции в точке 15 Теорема 2.2. Пусть сложная функция f (ϕ (x)) определена в точке x = x0 и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: а) функция u = ϕ (x) непрерывна в точке x = x0 , б) функция f (u) непрерывна в соответствующей точке u = = u0 =ϕ (x0) . Тогда сложная функция F (x) = f (ϕ (x)) непрерывна в точке x = x0 . Теорему 2.1 называют теоремой о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, а теорему 2.2 − теоремой о непрерывности сложной функции. Пример 1.1. Найти предел lim cos (sin x/x) = P. x→0 Решение. Так как существует lim (sin x/x) = 1, а функция cos u x→0 непрерывна в точке u = 1, то по теореме 2.1 имеем   lim cos (sin x/x) = cos lim sin x/x = cos 1 . x→0 x→0 Определение 2.3.Функции вида √ c = const, n x, xα (α ∈ R) , ax , loga x (a > 0, a 6= 1) , sin x, cos x, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx называются простейшими элементарными функциями. Всякая функция, полученная из простейших элементарных функций путем применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функций от функций (т.е. образования сложных функций) называется элементарной функцией (общего вида). Имеет место следующая замечательная теорема. Теорема 2.3. Всякая элементарная функция f (x) непрерывна в любой внутренней точке своей области определения D = D (f ) . Напомним, что точка x = x0 называется внутренней точкой множества D, если она входит в D вместе с некоторой своей окрестностью Ux0 (δ) . 16 Лекция 2 √ ln ( x+1) x−1 Например, функция f (x) = непрерывна на множестве D = (x > −1, x 6= 1) , так как это множество является областью определения функции f (x) и все точки этого множества − внутренние. Если хотя бы одно из условий определения 2.1 не выполнено, то функция f (x) называется разрывной в точке x = x0 . Различают два типа разрывов: Точка x = x0 − точка разрыва I рода, если: а) существуют f (x0 ) и конечные односторонние пределы f (x0 ± 0) , но либо они не совпадают, либо хотя бы один из них не равен значению f (x0) ; б) существуют конечные односторонние пределы f (x0 ± 0) , но f (x) не определена в точке x = x0. Точка x = x0 − точка разрыва II рода: если либо не существует хотя бы один из односторонних пределов f (x0 ± 0) , либо хотя бы один из них равен бесконечности. Например, точка x = 0 − точка разрыва I рода для функций ( sin x 1, x > 0, f (x) = , g (x) = sign x = x −1, x < 0, а для функции f (x) = sin 1/x она является точкой разрыва II рода. Если lim f (x) = ±∞, то прямая x = x0 − вертикальная асимпx→x0 ±0 тота для функции y=f (x) . Прямая y = kx + b называется наклонной (горизонтальной при k = 0 ) асимптотой функции y = f (x) , если lim |f (x) − (kx + b) | = 0. Нетрудно показать, что если сущеx→±∞ ствуют конечные пределы f (x) , b = lim (f (x) − kx) , x→±∞ x x→±∞ k = lim то прямая y = kx + b − асимптота кривой y = f (x) . Таким образом, асимптоты функции y = f (x) могут возникнуть при подходе x к точкам разрыва x = x0 второго рода этой функции либо на бесконечности. 2.3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл 17 Рекомендуем ответить на теоретические вопросы и теоретические упражнения, касающиеся изложенной выше темы, в типовом расчёте “Пределы.” 2.3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл На рисунке 2.1 изображены график функции y = f (x) , точки M0 (x0 , f (x0)) , M (x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)), M0 M − секущая, 0 N − касательная −−M −→ ∧ −→ −−−→ ∧ −→ к кривой y = f (x) , углы α = M0 N , Ox , β = β (∆x) = M0 M , Ox . Пусть функция y = f (x) определена в точке x = x0 и некоторой ее окрестности Ux0 . Сместимся из точки x0 в y точку x. Величина ∆x = x − x0 называется приращением арM B гумента в точке x = x0, а величина ∆y = f (x0 + ∆x)−f (x0) ≡ ∆f (x0) ∆f (x0) называется приращеN нием функции y = f (x) в точM0 α A ке x = x0 (соответствующим K приращению ∆x аргумента). x O x x0 Определение 2.4. Если существует (конечный) предел Рис. 2.1 ∆f (x0) f (x0 + ∆x) − f (x0) lim ≡ lim = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x b b то его называют производной функции f (x) в точке x = x0 и обоdy значают f ′ (x0) ≡ dx |x=x0 . При этом функцию f (x) называют дифференцируемой в точке x = x0, а величину dy ≡ df (x0) = f ′ (x0) · ∆x ≡ ≡ f ′ (x0) · dx называют дифференциалом функции f (x) в точке x = x0 . Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и (x0 ) MK дифференциала. Так как tg β (∆x) = M = ∆f∆x и так как β (∆x) → 0K ∆f (x0 ) ∆x→0 ∆x α, то lim = tg α, т.е. f ′ (x0) = tg α, значит, 18 Лекция 2 производная функции f (x) в точке x = x0 является угловым коэффициентом касательной к кривой y = f (x) с точкой касания M0 (x0 , f (x0)) . С другой стороны, из рисунка видно,что N K = M0 K ·tg α = ∆x × × f ′ (x0 ) = df (x0) , поэтому дифференциал df (x0) равен приращению касательной M0 N к графику функции y = f (x) при переходе аргумента из точки x0 в точку x0 + ∆x. Используя геометрический смысл производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой y = f (x) в точке M0 (x0, f (x0)) : y = f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) (касательная), 1 (x − x0 ) (здесь f ′ (x0) 6= 0) , x = x0 (f ′ (x0) = 0) y = f (x0) − f ′ (x 0) (нормаль). Выясним теперь механический смысл производной. Если S = S (t) − путь пройденный материальной точкой за время от момента t0 до мо0) мента t0 + ∆t, то ∆S(t ∆t − средняя скорость материальной точки, а величина 0) v(t0) = lim ∆S(t = S ′ (t0 ) − мгновенная скорость материальной ∆t ∆x→0 точки в момент t = t0 . Нетрудно показать, что 40) любая дифференцируемая в точке x = x0 функция f (x) непрерывна в точке x = x0 (обратное, вообще говоря, неверно; пример: f (x) = |x| − непрерывна в точке x = 0, но f ′ (0) не существует). 2.4. Арифметические действия над производными Теорема 2.4. Если функции u = u (x) , v = v (x) дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы и функции u (x) ± v (x) , u (x) · v (x) , причем ′ ′ (u ± v) = u′ ± v ′ , (u · v) = u′ · v + u · v ′ 2.5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически 19 в рассматриваемой точке x . Если, кроме того, v (x) 6= 0, то в точке x дифференцируемо и частное, причем u′ · v − u · v ′ = . v v2 Доказательство проведем для производной суммы. Имеем  u ′ ∆ (u (x) + v (x)) ≡ (u (x + ∆x) + v (x + ∆x)) − (u (x) + v (x)) = = (u (x + ∆x) − u (x)) + (v (x + ∆x) − v (x)) = = ∆u (x) + ∆v (x) , поэтому ∆ (u (x) + v (x)) ∆u (x) ∆v (x) = + ⇒ ∆x ∆x ∆x ∆ (u (x) + v (x)) ∆u (x) ∆v (x) = lim + lim = u′ (x) + v ′ (x) . ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x Теорема доказана. lim 2.5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными. Теорема 2.5. Пусть сложная функция y = f (g (x)) определена в точке x и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: 1. функция u = g (x) дифференцируема в точке x, 2. функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u = g (x) . Тогда сложная функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке x и имеет место равенство ′ (f (g (x))) = f ′ (u) |u=g(x) · g ′ (x) . Напомним некоторые понятия. 20 Лекция 2 а) Функция y = f (x) : A → f (A) называется обратимой на множестве A, если (∀x1 , x2 ∈ A) (x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x1)) . При этом функция x = g (y) : f (A) → A, сопоставляющая каждому y ∈ f (A) элемент x ∈ A такой, что f (x) = y, называется функцией, обратной к f (x) . Очевидно, имеют место тождества: f (g (y)) ≡ y (∀y ∈ f (A)) ; g (f (x)) ≡ x (∀x ∈ A) . Заметим, что все строго монотонные на множестве A функции обратимы на A. б) Говорят, что функция y = f (x) задана параметрически уравнениями x = x (t) , y = y (t) (a ≤ x ≤ b) , если функция x = x (t) обратима на отрезке [a, b] . В этом случае f (x) ≡ y (g (x)) , где t = g (x) − функция, обратная к функции x = x (t) . Теорема 2.6. Пусть функция y = f (x) в некоторой окрестности точки x = x0 имеет обратную функцию x = g (y) . Пусть, кроме того, функция f (x) дифференцируема в точке x = x0 и f ′ (x0 ) 6= 6= 0. Тогда обратная функция x = g (y) дифференцируема в соответствующей точке y = y0 = f (x0) и имеет место равенство g ′ (y0 ) = 1 = f ′ (x . 0) Теорема 2.7. Пусть функция y = f (x) задана параметрически уравнениями x = x (t) , y = y (t) (a ≤ x ≤ b) и пусть выполнены условия: 1) функции x = x (t) , y = y (t) дифференцируемы в фиксированной точке t ∈ [a, b] ; 2) x′ (t) 6= 0 в рассматриваемой точке t. Тогда функция y = f (x) дифференцируема в точке t и имеет место равенство f ′ (x) |x=x(t) = yt′ y ′ (t) ′ ⇔ y = . x x′ (t) x′t 2.6. Производные простейших элементарных функций 21 2.6. Производные простейших элементарных функций Используя определение 2.4 производной, а также теоремы 2.6 и 2.7, можно доказать следующее утверждение. Теорема 2.8. В области определения соответствующих функций имеют место формулы: Таблица 2.1 производных ′ 1) (C) = 0 (C = const.) ; ′ 2) (ax ) = ax · ln a ′
′ a>0 = const. , (ex ) = ex ; 6=1 3) (xα ) = αxα−1 (α = const.) ; ′ 1 4) (ln |x|) = (x 6= 0) ; x ′ ′ ′ 5) (sin x) = cos x, (cos x) = −sin x, (tg x) = ′ (ctg x) = − 1 ; sin2 x 1 , cos2 x ′ 1 1 , (arccos x) = − √ , 1 − x2 1 − x2 ′ ′ 1 1 (arctg x) = , (arcctg x) = − ; 1 + x2 1 + x2  x ′ ′  x ′ ′ e + e−x e − e−x = ch x, (ch x) ≡ = sh x, 7) (sh x) ≡ 2 2  ′ ′ sh x 1 (th x) ≡ = 2 . ch x ch x ′ 6) (arcsin x) = √ И, наконец, рассмотрим пример вычисления производной сложной функции, состоящей из многих звеньев:
′ arctg2 (ln (sin (3x + 2))) = 2arctg (ln (sin (3x + 2))) · 1 × sin(3x+2) ·cos (3x + 2) · 3. 1 × 1+(ln (sin(3x+2)))2 Лекция 3. Логарифмическая производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Формулы Маклорена − Тейлора для простейших элементарных функций. Правило Лопиталя. Применение формулы Тейлора 3.1. Логарифмическая производная При дифференцировании показательно-степенной функции y = ′ [u (x)]v(x) обычно используют логарифмическую производную (ln f (x)) = f ′ (x) f (x) . Делается это так:
′ = ev(x)ln[u(x)] ⇔ y′ = ev(x)ln[u(x)] = ′ · (v (x) ln [u (x)]) = [u (x)]v(x) · v ′ (x) ln [u (x)] + v (x) · y = [u (x)]v(x) ≡ eln[u(x)] v(x)ln[u(x)] =e v(x) u′ (x) u(x)  .  3 2 ′

′ 3 2 x ln(x +1) = ex ln(x +1) × x3ln x2 + 1 = = e Например, x + 1
x3

x2 + 1 · 3x2ln x2 + 1 + x3 · x22x+1 .  2
x3 ′ 3.2. Производные и дифференциалы высших порядков Производная f ′ (x) сама является функцией от x, поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции y = f (x) ′ ′′ и обозначается f ′′ (x) ≡ (f ′ (x)) = yxx (x) . И вообще: если известна производная (n − 1) -го порядка f (n−1) (x) , то про
′ изводная n -го порядка определяется так: f (n) (x) ≡ f (n−1) (x) . При этом функция y = f (x) называется n раз дифференцируемой в точке x. Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно: если известен дифференциал dn−1f (x) (n − 1) -го порядка то
дифференциал n -го порядка определяется так: dn f (x) = d dn−1f (x) ; при 3.2. Производные и дифференциалы высших порядков 23 этом дифференциал dx = ∆x независимой переменной и все его степени (dx)k ≡ dxk считаются постоянными дифференцирования. ′ Имеем d2y = d (dy) = d (f ′ (x) dx) = (f ′ (x)) · dx · dx = f ′′ (x) dx2. И вообще, справедливо утверждение: если функция y = f (x) дифференцируема n раз в точке x, то dn y = f (n) (x) dxn. Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 3.1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства: 10) (xα )(n) = α (α − 1) ...(α − n + 1) xα−n (α = const.) , 20) (ax )(n) = (lnn a) · ax 30) (sin x)(n) x (n) a>0 = ex , 6=1 = const. , (e )

= sin x + n · π2 , (cos x)(n) = cos x + n · π2 . Производные n -го порядка являются линейными операциями, т.е. (C1u (x) + C2 v (x))(n) = C1u(n) (x) + C2 v (n) (x) (C1, C2 = const.) . Производная n -го порядка для произведения uv вычисляется довольно сложно. Формула Лейбница. Если функции u = u (x) , v = v (x) дифференцируемы n раз в точке x, то имеет место равенство (n) (uv) = = u(n) v n X Cnk u(n−k) v (k) = k=0 + Cn1u(n−1) v ′ (3.1) + Cn2u(n−2)v ′′ + ... + Cnn−1u′ v (n−1) + uv (n) . Здесь: Cnk = n(n−1)...(n−k+1) − число сочетаний2 из n элементов по k(k−1)...3·2·1 k, нулевая производная функции g (x) совпадает с ней самой: g (0) ≡ ≡ g (x) . 2 Полезно знать, что Cnk = Cnn−k . 24 Лекция 3 Легко видеть, что формула (3.1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней um v n стоит произведение производных u(m) v (n) . Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения: ′′′ (uv) = [(u+v)3 = u3 v 0+3u2v 1 +3u1v 2 +u0v 3 ] = u′′′v+3u′′v ′ +3u′v ′′ +uv ′′′. 3.3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа При вычислении пределов функций мы использовали таблицу эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела lim (sin x/tg x) мы использовали формулы sin x ∼ x, tg x ∼ x. Одx→0 нако этих формул не достаточно для вычисления предела x − sin x . x→0 x3 lim (3.2) Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие. Определение 3.1. Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x = x0. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x = x0 асимптотическое разложение n -го порядка,
если существуют числа Aj j = 0, n такие, что f (x) в некоторой проколотой окрестности U̇x0 (δ) представляется в виде f (x) = A0 + A1 (x − x0) + ... + An (x − x0)n + o ((x − x0 )n ) . (3.3) Здесь o ((x − x0)n ) = (x − x0)n · o (1) (x → x0) . Равенство (3.3) означает, что функция f (x) аппроксимируется в некоторой малой окрестности точки x = x0 многочленом (с точностью до o ((x − x0)n ) ). В каком случае функция f (x) имеет асимптотическое разложение n -го порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении. Теорема 3.2. Пусть функция f (x) имеет в точке x = x0 производные f (0) (x0) f (x0) , f ′ (x0) , ..., f (n) (x0 ) до n -го порядка включительно. Тогда f (x) Формула Тейлора остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа 25 имеет в точке x = x0 асимптотическое разложение n -го порядка вида P (k) f (x) = nk=0 f k!(x0 ) (x − x0)k + o ((x − x0)n ) ≡ ′ f ′′ (x0 ) 2 0) (3.4) ≡ f (x0) + f (x (x − x ) + 1! 2! (x − x0 ) + +... + f (n) (x0 ) n! (x − x0)n + o ((x − x0)n ) (x → x0) (формулу (3.4) называют формулой Тейлора с остаточным членом o ((x − x0)n ) в форме Пеано или локальной формулой Тейлора). P (k) Если в (3.4) положить x0 = 0, то получим формулу f (x) = nk=0 f k!(0) xk + o (xn) называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы МаклоренаТейлора для основных элементарных функций. Теорема 3.3. Имеют место следующие разложения: xk x2 xn n + o (x ) ≡ 1 + x + + ... + k=0 k! 2! n! +
Pn (−1)k x2k+1 sin x = k=0 (2k+1)! + o x2n+1 ≡
3 x2n+1 x − x3! + ... + (−1)n (2n+1)! + o x2n+1 (x → 0) , k 2k
P x 2n ≡ + o x cos x = nk=0 (−1) (2k)!
n x2n x2 1 − 2! + ... + (−1) (2n)! + o x2n (x → 0) , P k ln (1 + x) = nk=1 (−1)k−1 xk + o (xn) ≡ n 2 x − x2 + ... + (−1)n−1 xn + o (xn) (x → 0) , 2 (α−n+1)xn (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)x + ... + + 2! n! n 1. ex = 2. ≡ Pn o (xn) (x → 0) , 3. ≡ 4. ≡ 5. +o (x ) (x → 0, α = const) . Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной n -го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу 2. Итак, пусть f (x) = sin x. По теореме 3.1 имеем

f (n) (x) = sin x + n · π2 ⇒ f (0) = 0, f ′ (0) = sin π2 = 1,
f ′′ (0) = sin 2 · π2 = 0,
f ′′′ (0) = sin 3 · π2 = −1, ( ...,
0, n = 2k, f (n) (0) = sin n · π2 = cos πk = (−1)k , n = 2k + 1. 26 Лекция 3 Значит, в формуле f (x) = n X f (r) (0) r=0 r! n  (2k) X f (0)  (2k+1) f (0) xr + o (xn ) = x2k + x2k+1 + (2k)! (2k + 1)! k=0
+o x2n+1 будут отсутствовать все четные степени x, а слагаемые с нечетными k 2k+1 (2k+1) (0) 2k+1 x степенями f(2k+1)! x имеют вид (−1) (2k+1)! . Следовательно имеет место формула 2. Замечание 3.1. В формуле 2 остаточный член можно записать в

виде o x2n+2 , а в формуле 3 − в виде o x2n+1 (почему?). Теорема 3.2 аппроксимирует функцию f (x) лишь в достаточно малой окрестности точки x = x0. Условия представления функции f (x) на некотором отрезке [x0 − h, x0 + h] (где h > 0 может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении. Теорема 3.4. Пусть функция f (x) удовлетворяет следующим условиям: 1) f (x) , f ′ (x) , ..., f (n) (x) существуют и непрерывны на отрезке [x0 − h, x0 + h] ; 2) производная f (n+1) (x) существует и конечна по-крайней мере на интервале (x0 − h, x0 + h) . Тогда для всех x ∈ [x0 − h, x0 + h] функция f (x) представляется в виде P (k) (n+1) f (x) = nk=0 f k!(x0 ) (x − x0)k + f(n+1)!(c) (x − x0)n+1 ≡ ′ f ′′ (x0 ) 2 0) (3.5) ≡ f (x0 ) + f (x (x − x ) + 1! 2! (x − x0 ) + +... + f (n) (x0 ) n! (x − x0)n + f (n+1) (c) (n+1)! (x − x0)n+1 , где точка x = c находится между точками x0 и x (c = x0 + θ · (x − x0) , 0 < θ < Формулу (3.5) называют (глобальной) формулой Тейлора с оста(n+1) точным членом f(n+1)!(c) (x − x0)n+1 в форме Лагранжа. Если в формуле (3.5) положить n = 1, то получим равенство f (x)− − f (x0 ) = f ′ (c) (x − x0) , или, обозначая x = b, x0 = a, будем иметь f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) , c ∈ (a, b). (3.6) 3.4. Применения формулы Тейлора 27 Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция f (x) непрерывна отрезке [a, b] , а f ′ (x) существует и конечна по-крайней мере на интервале (a, b) . Если, кроме того, выполняется условие f (a) = f (b) , то существует точка c ∈ (a, b) такая, что f ′ (c) = 0 (теорема Ролля). 3.4. Применения формулы Тейлора а) Приближенное вычисление значений функции. Если в формуле (3.4) (или (3.5)) отбросить остаточный член, то получим приближенное значение функции f (x) ≈ n X f (k) (x0) k=0 k! (x − x0)k с точностью до модуля остаточного члена. Если величина |x−x0| ≪ 1, то и погрешность этого приближенного равенства будет очень малой.
3
5 13 Например, sin 21 ≈ 12 − 21 + 21 = 32 . При этом
 6  3  5 ! sin (6) θ · 21 1 1 1 1 1 1 1 + ≤ ≤ 6 = − . sin − 2 2 2 2 6! 2 2 6! 46080 б) Вычисление пределов. Ранее мы отметили, что при вычислении x предела lim x−sin не достаточно формулы эквивалентности sin θ ∼ x3 x→0 ∼ θ (θ → 0) , так как при использовании этой формулы не исчезает неопределенность. В таких случаях пользуются локальной формулой Тейлора (3.4), записывая в ней столько слагаемых, чтобы стало возможным ликвидировать неопределенность. В нашем примере поступаем так: 

x3 3 x3 3 x − x − 3! + o x + o x x − sin x lim = lim = lim 3! = 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x3   1 1 1 + o (1) = = . = lim x→0 3! 3! 6 28 Лекция 3 3.5. Правило Лопиталя

∞ Другой способ раскрытия неопределенностей типа 00 или ∞ доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим.
Теорема Лопиталя 00 . Пусть функции f (x) и g (x) в некоторой проколотой окрестности U̇a = {0 < |x − a| < δ} удовлетворяют требованиям: 1) f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в U̇a ; 2) g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈ U̇a; 3) lim f (x) = lim g (x) = 0. x→a x→a Если при этом существует (конечный или бесконечный) предел от′ (x) ношения производных: lim fg′(x) = P, то и существует равный ему x→a (x) = P. предел отношения самих функций: lim fg(x) x→a
∞ Теорема Лопиталя ∞ . Пусть функции f (x) и g (x) в некоторой проколотой окрестности U̇a = {0 < |x − a| < δ} удовлетворяют требованиям: 1) f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в U̇a; 2) g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈ U̇a ; 3) lim f (x) = lim g (x) = ∞. x→a x→a Если при этом существует (конечный или бесконечный) предел от′ (x) = P, то и существует равный ему ношения производных: lim fg′(x) x→a (x) предел отношения самих функций: lim fg(x) = P. x→a Например, для рассмотренного выше предела имеем x − sin x = lim x→0 x3   1 − cos x x2/2 1 (x − sin x)′ = lim = lim = . = lim x→0 x→0 3x2 x→0 (x3)′ 3x2 6 Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачи из типового расчета “Производные,” помещённого в конце пособия. Лекция 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке( ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, реализация всех промежуточных значений). Свойства дифференцируемой функции: монотонность, экстремумы. Схема построения графика функции с помощью первой производной 4.1. Свойства функций, непрерывных на отрезке Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] , если она непрерывна в любой точке x ∈ (a, b) , а на концах x = = a и x = b отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. f (a + 0) = f (a) , f (b − 0) = f (b) . Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, сформулированных ниже. Теорема Вейерштрасса I. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная M > 0, такая, что |f (x)| ≤ M (∀x ∈ [a, b]) . Теорема Вейерштрасса II. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки x1, x2 ∈ [a, b] такие, что f (x1) = m = min f (x) , f (x2 ) = M = max f (x) . x∈[a,b] x∈[a,b] Теорема Больцано-Коши I. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков (f (a) · f (b) < 0) , то существует хотя бы одно значение x = x∗ ∈ (a, b) такое, что f (x∗) = 0. Теорема Больцано-Коши II. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то каково бы ни было промежуточное значение K ∈ [m, M] , существует значение x = c ∈ [a, b] такое, что f (c) = = K. 30 Лекция 4 4.2. Монотонность функции Напомним определение монотонных функций. Определение 4.1. Говорят, что функция y = f (x) строго возрастает на множестве A ⊂ D (f ) , если для любых x1 , x2 ∈ A из неравенства x1 < x2 вытекает неравенство f (x1) < f (x2.) Если же (∀x1, x2 ∈ A) (x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 )) , то функция y = = f (x) называется строго убывающей на множестве A. Если же из строгого неравенства x1 < x2 между аргументами вытекают нестрогое неравенство f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)) между значениями функции, то говорят, что y = f (x) является неубывающей (соответственно невозрастающей ) на множестве A. Множество всех функций, строго возрастающих и строго убывающих, образует класс строго монотонных функций; невозрастающие и неубывающие функции образует класс просто монотонных функций. При исследовании на монотонность функций используются выписанная ранее Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале (a, b) , то существует точка c ∈ (a, b) такая, что f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) . (4.1) Теорема 4.1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале (a, b) . Тогда справедливы следующие высказывания: 1. если f ′ (x) > 0 (∀x ∈ (a, b)) , то функция f (x) строго возрастает на отрезке [a, b] ; 2. если f ′ (x) < 0 (∀x ∈ (a, b)) , то функция f (x) строго убывает на отрезке [a, b] . Доказательство вытекает из равенства (4.1), в котором надо положить a = x1, b = x2. Действительно, если x1 < x2, а f ′ (x) > > 0 (∀x ∈ (a, b)) (тогда и f ′ (c) > 0 ), то (см. (4.1)) будет выполняться неравенство f (x1) − f (x2) < 0 ⇔ f (x1) < f (x2 ) . Это означает, что 4.3. Локальный экстремум 31 функция f (x) строго возрастает на отрезке [a, b] . Аналогично доказывается высказывание 2. Теорема доказана. Замечание 4.1. Можно показать, что в случае нестрогого знака производной имеет место высказывание: 3. Для того чтобы функция f (x) , удовлетворяющая условиям теоремы 4.1, была неубывающей (невозрастающей) на отрезке [a, b] , необходимо и достаточно, чтобы f ′ (x) ≥ 0 (∀x ∈ (a, b)) (соответственно f ′ (x) ≤ 0 (∀x ∈ (a, b)) ). Например, функция y = x2 − x строго убывает на любом отрезке   [a, b] ⊂ −∞, 21 , так как y ′ = 2x − 1 < 0 при −∞, 12 , и эта функция 
строго возрастает на [a, b] ⊂ 21 , +∞ , так как y ′ = 2x − 1 > 0 при
1 , +∞ . 2 4.3. Локальный экстремум y Пусть функция y = f (x) определена в точке x = x0 и некоторой её f (x0 ) окрестности. Определение 4.2. Говорят, что функция y = f (x) достигает в точке x = x0 локального максимума (см. x0 рис. 4.1), если существует δ > 0 такое, O x0 − δ x0 x0 + δ что ∀x ∈ Ux0 (δ) ≡ {|x − x0| < δ} выРис. 4.1 полняется неравенство f (x) ≤ f (x0) . Если при указанных x ∈ Ux0 (δ) имеет место противоположное неравенство f (x) ≥ f (x0) , то говорят, что в точке x = x0 функция y = f (x) достигает в точке x = x0 локального минимума. Заметим, если неравенства f (x) ≤ f (x0) или f (x) ≥ f (x0) обращаются в равенство лишь в одной точке x = x0, то говорят, что соответствующий максимум или минимум является строгим. Точки x = x0, функция f (x) достигает локального максимума или минимума, называются точками локального экстремума этой функции. Замечание 4.2. Слово “локальный” здесь означает, что введенное понятие экстремума верно лишь в достаточно малой окрестности точки x = x0. Иногда слово “локальный” будем опускать. 32 Лекция 4 Необходимое условие экстремума. Пусть в точке x = x0 функция f (x) достигает локального экстремума. Тогда либо в этой точке функция f (x) дифференцируема и тогда f ′ (x0) = 0, либо f (x) не дифференцируема в точке x = x0. Замечание 4.3. Точки x = x0 ∈ D (f ) такие, что f ′ (x0 ) либо равна нулю, либо не существует (или равна ∞ ), называются критическими точками функции f (x) . Если x = x0 − точка локального экстремума функции f (x) , то она обязательно для неё критическая. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Например, для функции y = f (x) = x3 производная f ′ (0) = 0, но в точке x = 0 эта функция не имеет экстремума. Как проверить, что в критической точке достигается экстремум? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении. Теорема 4.2 (достаточные условия экстремума по первой производной). Пусть точка x = x0 − критическая точка для функции f (x) и функция f (x) непрерывна в этой точке. Пусть, кроме того, производная f ′ (x) существует в некоторой проколотой окрестности точки x = x0. Тогда: 1. если f ′ (x) при переходе аргумента x через точку x = x0 (слева направо) изменяет знак с + на −, то в точке x = x0 функция f (x) достигает локального максимума; 2. если f ′ (x) при переходе аргумента x через точку x = x0 (слева направо) изменяет знак с − на +, то в точке x = x0 функция f (x) достигает локального минимума; 3. если в окрестности точки x = x0 функция f ′ (x) не изменяет знака, то в точке x = x0 функция f (x) не достигает локального экстремума. Доказательство. Действительно, если производная f ′ (x) > 0 (∀x : x0 − δ < x < то функция f (x) возрастает на отрезке [x0 − δ, x0] , и, значит, f (x0) > f (x) для всех x из указанного отрезка. С другой стороны, так как f ′ (x) < 0 (∀x : x0 + δ > x > x0) , то функция f (x) убывает на отрезке [x0, x0 + δ] , и, значит, снова f (x0 ) > f (x) для всех x из указанного отрезка. Следовательно, при всех x ∈ {|x − x0| < δ} выполняется 4.3. Локальный экстремум 33 неравенство f (x) ≤ f (x0) , т.е. точка x = x0 является точкой локального максимума. Аналогично доказываются утверждения 2 и 3. Теорема доказана. Например, рассмотренная выше функция y = x2 − x имеет в точке x = 12 минимум, так как y ′ = f ′ (x) = 2x − 1 при переходе через критическую точку x = 12 изменяет знак с минуса на плюс. Другие достаточные условия экстремума, получаемые с помощью высших производных, будут даны позже. А сейчас приведем схему построения графика функции y = f (x) с помощью первой производной. Сделаем
это для конкретной функции y = f (x) = x + ln x2 − 1 . Напомним сначала информацию о вычислении асимптот. Если lim f (x) = ±∞, то прямая x = x0 − вертикальная асимп- x→x0 ±0 тота для функции y = f (x) . Если существуют конечные пределы f (x) , b = lim [f (x) − kx] , x→±∞ x→±∞ x k = lim то прямая y = kx + b − асимптота кривой y = f (x) . Таким образом, асимптоты функции y = f (x) могут возникнуть при подходе x к точкам разрыва x = x0 второго рода этой функции либо на бесконечности. Схема построения графика функции y = f (x) с помощью первой производной. 1. Находим область определения функции f (x) : |x| > 1. 2. Находим (если это возможно) нули функции и ее интервалы знакопостоянства. Этот пункт мы опускаем, так как не можем точно ре
шить уравнение x + ln x2 − 1 = 0 (его приближенный корень равен 1.1478). 3. Находим точки разрыва функции f (x) и её асимптоты. а) вертикальные асимптоты: x = ±1, так как 
 
 lim x + ln x2 − 1 = −∞, lim x + ln x2 − 1 = +∞; x→1−0 x→−1+0 наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как один из выписан- 34 Лекция 4 ных ниже пределов бесконечен: k= lim f (x) x→±∞ x = lim x→±∞ 1+ = x+ln (x2 −1) lim x x→±∞
2x x2 −1 ′ = lim (x+ln (x2 −1)) x→±∞ x′ = = 1, 
 b = lim [f (x) − kx] = lim x + ln x2 − 1 − 1 · x = x→±∞ x→±∞
2 = lim ln x − 1 = ∞. x→±∞ 4. Находим производную и исследуем функцию y = f (x) на монотонность и локальные экстремумы. Имеем f ′ (x) = 1 + ⇔ 2x x2 −1 2x ′ x2 −1 ;" f (x) = −1 ⇔ = 0, √ x = −1 − 2, √ x = −1 + 2. √ Итак, x = −1 ± 2− критические точки. Применяя метод интервалов (с учётом ОДЗ( f (x) ) ), будем иметь: 4.4. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 35 √ y ′ < 0 ⇔ −1 − 2 < x < −1; " √ 2, x < −1 − y′ > 0 ⇔ x > 1. √ Значит, в точке x = −1 − 2 производная изменяет знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция y = f (x) имеет локальный максимум, равный приближенно −0.839692795. По полученной информации строим график функции y = f (x) . Он будет иметь вид, указанный на риc. 4.2. Чтобы закрепить навыки, постройте график y = (x3 + x + 1)/(x2 − 1). 4.4. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Пусть дана функция y = f (x) , дифференцируемая в точке x = x0. Тогда в точке M0 (x0, f (x0)) она имеет касательную, каждая точка (x, y ∗) которой удовлетворяет уравнению y ∗ = f (x0) + f ′ (x0 ) (x − x0) . y (4.3) Определение 4.3. Говорят, что кривая y = f (x) выпукла вверх в ∗ M0 y точке x = x0, если существует δ > y > 0 такое, что в окрестности U̇x0 (δ) = {0 < |x − x0| < δ} кривая y = f (x) находится ниже своей касательной x (4.3) в точке M0, т.е. если ∀x ∈ O x0 − δ x0 x0 + δ Рис. U̇x0 (δ) ⇒ y −4.3 y ∗ < 0. Если же ∀x ∈ U̇x0 (δ) ⇒ y − y ∗ > 0, то кривая y = f (x) называется выпуклой вниз в точке M0 (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке x = x0 ). Говорят, что кривая y = f (x) выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале (a, b) , если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке x0 ∈ (a, b) этого интервала. На рисунке 4.3 функция y = f (x) выпукла вверх в точке x = x0, а на рисунке 4.4 − выпукла вниз. b b b 36 Лекция 4 Теорема 4.3. Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на интервале (a, b) . Тогда справедливы высказывания: 1. если f ′′ (x) < 0 (∀x ∈ (a, b)) , то кривая y = f (x) выпукла вверх на (a, b) ; 2. если f ′′ (x) > 0 (∀x ∈ (a, b)) , то кривая y = f (x) выпукла вниз на (a, b) . y Доказательство. Пусть x = = x0 − произвольная точка интервала (a, b) . Окружим её отрезком [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ (a, b) . Так как функция y = f (x) удоM0 влетворяет на этом отрезке всем услоx виям теоремы Тейлора с остаточным O x − δ x0 x + δ членом в форме Лагранжа, то для Рис. 4.4 всех x ∈ U̇x0 (δ) имеет место представление f ′′ (c) f ′ (x0) (x − x0) + (x − x0)2 . (4.4) y = f (x) = f (x0) + 1! 2! С другой стороны, в точке M0 (x0, f (x0)) функция y = f (x) имеет касательную с уравнением y∗ =  f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) .Значит, y −  ′′ − y ∗ = f 2!(c) (x − x0)2 x ∈ U̇x0 (δ) . Отсюда видно, что если f ′′ (x) <   ′′ ∗ < 0 (∀x ∈ (a, b)) (тогда и f (c) < 0 ), то y − y < 0 ∀x ∈ U̇x0 (δ) , ′′ значит, кривая y = f (x) выпукла вверх  в точке x =x0. Если же f (x) > > 0 (∀x ∈ (a, b)) , то то y − y ∗ < 0 ∀x ∈ U̇x0 (δ) , значит, кривая y = f (x) выпукла вниз в точке x = x0 . Теорема доказана. Определение 4.4. Точка x = x0 называется точкой перегиба кривой y = f (x) , если: b а) f (x) дифференцируема в точке x = x0 ; б) кривая y = f (x) при переходе x через точку x = x0 изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность y − y ∗ изменяет знак при переходе x через точку x = x0 ). Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 - точка перегиба и если существует f ′′ (x0) , то f ′′ (x0) = 0. 4.5. Исследование функций с помощью высших производных 37 Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства   f ′′ (x0) 2 2 ∗ y−y = (x − x0 ) + o (x − x0) (x → x0) . 2! Замечание 4.4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки x = x0 , для которых f ′′ (x0 ) = 0. Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная f ′′ (x) не существует или равна ∞. Например, в точке x = 0 √ функция f (x) = 3 x имеет производную y ′′ = − 9x25/3 |x=0 = ∞. И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат. Теорема 4.4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x = x0 и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе x через точку x = x0 вторая производная f ′′(x) изменяет знак, то точка x = = x0 − точка перегиба кривой y = f (x) . 4.5. Исследование функций с помощью высших производных Используя локальную формулу Тейлора, можно доказать следующие утверждения. 4. Пусть функция y = f (x) дифференцируема n раз в критической точке x = x0 и пусть при этом f ′ (x0) = f ′′ (x0) = ... = f (n−1) (x0) = 0, f (n) (x0) 6= 0. Тогда если n = 2k, то при f (n) (x0) > 0 в точке x = x0 функция y = f (x) достигает минимума; при f (n) (x0) < 0 функция y = f (x) достигает максимума в точке x = x0 . Если же n = 2k + 1, то в точке x = x0 функция y = f (x) не имеет локального экстремума. 5. Пусть функция y = f (x) трижды дифференцируема в точке x = x0 и выполнены условия: а) f ′′ (x0) = 0, б) f ′′′ (x0) 6= 0. Тогда x = x0 − точка перегиба кривой y = f (x) . 38 Лекция 4 Например, при изучении функции y = ch x+cos x на экстремум в точке x = 0 исследовать знак производной y ′ = f ′ (x) = sh x − − sin x довольно сложно. Для решения этой задачи воспользуйтесь теоремой 4.4, вычислите f ′′(0) и найдите, что в точке x = 0 функция достигает минимума. Для усвоения изложенной теории рекомендуем выполнить задачи из типового расчета “Графики,” помещённого в конце пособия. Лекция 5. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных. Простейшие приемы интегрирования: подведение функции под знак дифференциала, выделение полного квадрата, замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Перейдем к ее изложению. 5.1. Первообразная и неопределенный интеграл Ниже в качестве A берется любой из промежутков: [a, b] , (a, b) , [a, b) , (a, b] (концы a и b могут быть бесконечными). Определение 5.1. Говорят, что функция F (x) является первообразной для функции f (x) на множестве A, если F ′ (x) ≡ f (x) (∀x ∈ A) . Разыскание всех первообразных функции f (x) называется интегрированием f (x) . Например, функция F (x) = x3 является первообразной для f (x) =
′ 3x2 на всей оси R, так как x3 = 3x2 (∀x ∈ R) . Теорема 5.1(об общем виде всех первообразных данной функции). Пусть F (x) − фиксированная первообразная функции f (x) (на множестве A ). Тогда множество всех первообразных функции f (x) (на множестве A ) описывается формулой Φ (x) = F (x) + C, где C − произвольная постоянная. Доказательство вытекает из того, что если F (x) и Φ (x) − две ′ первообразные функции f (x) , то (Φ (x) − F (x)) = f (x) − f (x) ≡ ≡ 0 (∀x ∈ A) , а, значит, разность Φ (x) − F (x) является постоянной величиной на множестве A , т.е. Φ (x) − F (x) = C (∀x ∈ A) . 40 Лекция 5 Определение 5.2. Совокупность всех первообразных функции f (x) (на множестве A ) называется неопределенным интегралом R на A этой функции. Обозначение: f (x) dx. При этом сама функция f (x) называется подынтегральной функцией и если интеграл от нее существует, то говорят, что f (x) интегрируема на A. R Из теоремы 5.1 вытекает, что f (x) dx = F (x)+C, где F (x) − фиксированная первообразная функции f (x) (на множестве A ), а C − произвольная R постоянная. Отметим, что равенство f (x) dx = F (x) + C равносильно равенству F ′ (x) ≡ f (x) (∀x ∈ A) . Таким образом, для доказательства того, что некоторая функция ϕ (x) + C является неопределенным интегралом от функции f (x) , надо продифференцировать ее по x ; если при этом будет получена подынтегральная функция f (x) , R то равенство f (x) dx = ϕ (x) + C будет истинным. Используя этот факт, легко докажем следующие формулы. Таблица 5.1. Неопределенные интегралы основных функций Везде ниже С− произвольная постоянная. Z 1. 0dx = C = const.; Z 2. dx = x + C; Z xα+1 α 3. x dx = + C (α 6= −1 − постоянная) ; α + 1 Z dx 4. = ln |x| + C; x Z 5. sin xdx = − cos x + C; Z 6. cos xdx = sin x + C; Z dx = tg x + C; 7. 2x cos Z dx 8. = −ctg x + C; sin2 x 5.1. Первообразная и неопределенный интеграл 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 41 Z x
a + C a>0 ex dx = ex + C; ax dx = 6=1 − постоянная , ln a Z 1 x dx = arctg +C (a > 0 − постоянная) ; 2 + x2 a a a Z x dx √ = arcsin + C (a > 0 − постоянная) ; a a2 − x2 Z sh xdx = ch x + C; Z ch xdx = ch x + C; Z dx 2 = th x + C; ch x Z p dx √ = ln |x + x2 ± a2 | + C; x2 ± a2 Z x−a 1 dx = ln + C. 2 2 x −a 2a x + a Z Докажем, например, формулу 10, табл. 5.1. Дифференцируем правую часть равенства 10 по x :  1 x arctg +C a a ′ = 1 1 1 1 · = 2 . ·
2 a 1+ x a a + x2 a Получена подынтегральная функция левой части 10. Значит, равенство 10 верно. Точно так же доказываются остальные формулы этой таблицы. Свойства неопределенного интеграла (везде ниже предполагается, что интегралы от соответствующих функций существуют): 10 ) 30 ) Z Z ′ 20 ) Z (C1 f (x) + C2g (x)) dx = C1 Z f (x) dx = f (x) , g ′ (x) dx = g (x) + C; f (x) dx + C2 Z g (x) dx 42 Лекция 5
C1 , C2 = const, C12 + C22 6= 0 . Свойство 30 называют свойством линейности интеграла. Первые два свойства показывают, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны. Немного позже будет установлено, что всякая непрерывная на отрезке A = [a, b] функция f (x) интегрируема на этом отрезке. 5.2. Замена переменной в неопределенном интеграле Перейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле, которая часто используется при вычислении интегралов. Здесь имеются в виду два утверждения3: R R R I. g (ϕ (x)) ϕ′ (x) dx ≡ g (ϕ (x)) dϕ (x) = [ϕ (x) = t] = g (t) dt|t=ϕ(x) . R R II. f (x) dx = [x = ψ (t) , dx = ψ ′ (t) dt] = f (ψ (t)) ψ ′ (t) dt|t=g(x) , где t = g (x) − функция, обратная к функции x = ψ (t) . Теорема 5.2. а) Пусть выполнены условия: 1) функция g (x) непрерывна в своей области определения D; б) функция t = ϕ (x) непрерывно дифференцируема на множестве A таком, что ϕ (A) ⊆ ⊆ D. Тогда для всех x ∈ A имеет место равенство I. б) Пусть выполнены условия: 1) функция f (x) непрерывна в своей области определения D; 2) функции x = ψ (t) и ψ ′ (t) непрерывны на множестве B таком, что ψ (B) ⊂ D; 3) ψ ′ (t) 6= 0 (∀t ∈ B) ; 4) функция x = ψ (t) имеет на множестве B обратную функцию t = g (x) . Тогда для всех x ∈ ψ (B) имеет место равенство II. Замечание 5.1. Преобразования в I часто называют процедурой введения множителя под знак дифференциала. Формулу II удобно применять в тех случаях, когда функция f (ψ (t)) ψ ′ (t) dt легче интегрируется, чем исходная функция f (x) . Её применяют, например, при Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений. 3 5.3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле R  q ax+b cx+e 43  вычислении интегралов от иррациональностей вида R x, dx, (здесь R (u,qv) − рациональная функция). В первом случае делаетn R ся замена n ax+b cx+e = t, во втором случае подбирают такую замену x = ψ (t) , чтобы исчезла иррациональность. Например, Z p Z p 1 − x2dx = [x = cos t, dx = − sin tdt] = 1 − cos2 t (− sin tdt) = − − Z 1 sin tdt = − 2 2 Z (1 − cos 2t) dt = = − 2t + sin42t + C. Далее надо вернуться к старой переменной с помо√ щью обратной функции t = arccos x и получить ответ: 12 x 1 − x2 − − 21 arccos x + C. 5.3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле При вычислении интегралов часто используется операция интегрирования по частям, смысл которой раскрывается в следующем утверждении. Теорема 5.3. Пусть функции u = u (x) , v = v (x) непрерывно дифференцируемы на множестве A. Тогда на этом множестве справедливо равенство Z Z udv = u · v − vdu. Доказательство вытекает из цепочки тождеств ′ (u · v) ≡ u′ v + u · v ′ ⇔ ′ ⇔ u · v ′ ≡ (u · v) − u′v ⇔ Z Z Z Z Z ′ ⇔ u · v ′ dx ≡ (u · v) dx − u′ vdx ⇔ udv ≡ u · v − vdu. Замечание 5.2. Операция интегрирования по частям применяется к интегралам вида √ R x, ax2 44 Лекция 5  arcsin xdx,  R  arccos xdx, 2. Pm (x) ×   arctg xdx, ln xdx ( Pm (x) − многочлен степени m ).  sin αx dx, R  1. Pm (x) ×  cos αx dx, eαx dx. При этом в интегралах типа 1 для получения дифференциала dv надо ввести под знак дифференциала трансцендентную функцию (sin αx, cos αx, eαx ) , а в интегралах типа 2 под знак дифференциала надо ввести многочлен Pm (x) . Например, Z (2x + 1) cos xdx = Z Z (2x + 1) d (sin x) = (2x + 1) sin x + 2 cos x + C;  Z 2 x2 x2 x xln xdx = ln x d d (ln x) = = ln x − 2 2 2 Z x2 1 x2ln x x2 1 = ln x − − + C. x2 · = 2 2 x 2 4 Z  5.4. Выделение полного квадрата При интегрировании алгебраических дробей будет использоваться операция выделения полного квадрата. Продемонстрируем ее на примере интеграла R R dx dx = − 2 3−2x−x −3+2x+x2 = h i R 2 2 = x + 2x − 3 = (x + 1) − 4, x + 1 = t, dx = dt = − t2dt−4 = 1 1 x+1−2 1 x−1 = − 2·2 ln| t−2 t+2 | + C = − 4 ln| x+1+2 | + C = − 4 ln| x+3 | + C. 5.5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b] . Произведем разбиение (см. рис. 5.1 ) a = x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b (∆) 5.5. Определённый интеграл и его свойства 45 отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi, xi+1] и выберем произволь
но точки x∗i ∈ [xi, xi+1] i = 0, n − 1 . Вычислим значения f (x∗i ) и составим так называемую интегральную сумму Pn−1 ∗ ∗ ∗ ∗ i=0 f (xi ) ∆xi ≡ f (x0 ) ∆x0 + f (x1 ) ∆x1 + ... + f (xn−1 ) ∆xn−1 (∆xi = xi+1 − xi) . y Определение 5.3. Если существует конечный предел интегральных сумм: lim λ=max ∆xi →0 f (x∗i ) b n−1 X f (x∗i ) ∆xi = I, i=0 и если этот предел не зависит от вида разбиения (∆) и выбора точек x∗i ∈ x ∗ a = x0 O x1x2 xi xi xi+1 xn = b [xi, xi+1] , то его называют определенным интегралом от функции y = Рис. 5.1 f (x) на отрезке [a, b] . Обозначение: I = Rb = a f (x) dx. При этом саму функцию y = f (x) называют интегрируемой на отрезке [a, b] (заметим, что число λ = max ∆xi ≡ i=0,n−1 max (xi+1 − x1) называется диаметром разбиения (∆) ). i=0,n−1 Пусть теперь функция f (x) ≥0 (∀x ∈ [a, b]) . По разбиению (∆) строится ступенчатая фигура (см. рис. 5.2), состоящая из прямоугольников MP F N высоты f (x∗i ) и длиной основания, равной ∆xi. Площадь этой ступенчатой фигуры (достройте ее самостоятельно) равна P ∗ интегральной сумме n−1 i=0 f (xi ) ∆xi и эта площадь будет приближенно равна площади криволинейной трапеции4 π = {(x, y) : y = f (x) , a ≤ x ≤ b} , Pn−1 ∗ т.е. Sπ ≈ i=0 f (xi ) ∆xi , причем это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиения λ = max ∆xi, и оно становится точным i=0,n−1 при λ → 0 : Sπ = lim λ=max ∆xi →0 n−1 X i=0 f (x∗i ) ∆xi = Z b f (x) dx. a На рис. 5.2 : π − это трапеция ACDB, ограниченная сверху кривой y = f (x) , снизу − осью Ox , с боков − прямыми x = a и x = b. 4 46 Лекция 5 Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определенноRb го интеграла: интеграл a f (x) dx численно равен площади Sπ криволинейной трапеции π = {(x, y) : y = f (x) , a ≤ x ≤ b} с верхней границей, описываемой уравнением y = f (x) , x ∈ [a, b] . y Замечание 5.3. В определении 5.3 Rb интеграла a f (x) dx предполагается, что C ∗ f (xi ) отрезок интегрирования ориентирован от P F a до b (т.е. a < b ). В случае противоположной ориентации отрезка [a, b] (т.е. Rb D при b < a ) полагаем по определению a f (x) dx = Ra x ∗ − b f (x) dx. Также полагаем по опредеx Рис. 5.2R a A M iN B лению, что a f (x) dx = 0. Перейдем к формулировке свойств определенного интеграла. Ограниченность подынтегральной функции. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке (т.е. ∃M = const : |f (x) | ≤ M ∀x ∈ [a, b] ). Линейность интеграла. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b] , то на этом отрезке интегрируема и любая их линейная комбинация αf (x) + βg (x) и имеет место равенство b Z b (αf (x) + βg (x)) dx = α a Z b f (x) dx+β a Z b g (x) dx (α, β = const) . a Аддитивность интеграла. Если функция f (x) интегрируема на максимальном из отрезков [a, b] , [a, c] , [c, b] , то она интегрируема и на двух других отрезках, причем имеет место равенство Z a b f (x) dx = Z a c f (x) dx + Z b f (x) dx. c Далее везде предполагаем, что a < b. Монотонность интеграла. Если функции f (x) , g (x) и p (x) интегрируемы на отрезке [a, b] и p (x) ≤ f (x) ≤ g (x) (∀x ∈ [a, b]) , Rb Rb Rb то a p (x) dx ≤ a f (x) dx ≤ a g (x) dx. 5.5. Определённый интеграл и его свойства 47 Интегрируемость модуля. Если функции f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , то на этом отрезке интегрируема и функция |f (x) |, причем имеет место неравенство Z a b f (x) dx ≤ Z b a |f (x) |dx. Теорема о среднем для интеграла. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда существует точка c ∈ [a, b] такая, Rb что a f (x) dx = f (c) (b − a) (геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует прямоугольник с основанием [a, b] и высоты f (c) , равновеликий криволинейной трапеции π ). Доказательство. Пусть m = min f (x) , M = max f (x) (по x∈[a,b] x∈[a,b] теореме Вейерштрасса значения m и M функцией f (x) достигаются). Имеем m ≤ f (x) ≤ M (∀x ∈ [a, b]) , поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем Z b a m dx ≤ Z b a f (x) dx ≤ Z b a M dx ⇔ m (b − a) 1 ≤ M (b − a) ⇔ m ≤ b−a Z Z a b f (x) dx ≤ b a f (x) dx ≤ M. Rb 1 Последние неравенства показывают, что значение K = b−a a f (x) dx является промежуточным для функции f (x) на отрезке [a, b] , а, значит, по теореме Больцано–Коши существует c ∈ [a, b] такое, что 1 f (c) = K ⇔ f (c) = b−a Z b a f (x) dx ⇔ Z a b f (x) dx = f (c) (b − a) . Теорема доказана. Рассмотрим ещё несколько примеров, которые демонстрируют простейшие приемы интегрирования. 1. Z ctg xdx = Z cos x dx = sin x Z d (sin x) = [sin x = t] = sin x Z dt = ln|t|+C. t 48 2. Лекция 5 Z dx = xln x d (ln x) = [ln x = t] = ln x Z Z dt = ln|t| + C = ln |ln x|+C. t dx  R  R dt dt = = x = tg t, dx = cosdt2 t = = 2 1 2 ·cos2 t 2 (1+tg t) cos t cos4 t R R = cos2 tdt = 21 (1 + cos 2t) dt = 2t + sin42t + C = [t = arctg x] = x = arctg + 12 · sin(arctg x) · cos(arctg x) + C = 2 x) x x 1 x ·√ + C = arctg + 12 · √ tg (arctg + 21 · 1+x = arctg 2 + C. 2 2 2 2 3. R (x2 +1)2 1+tg (arctg x) R  R udv = uv − vdu = (arctg x)x − x ·
R d(1+x2) 1 2 + C. = x · arctg x − ln 1 + x = x · arctg x − 12 1+x2 2 4. R arctg xdx = R 1+tg (arctg x) 1 1+x2 dx = R R R R  5. I = eax cos bxdx = a1 cos bx d (eax ) = udv = uv − vdu =
R = a1 eax cos bx + b eax sin bxdx = R R ax
ax bx eax cos bx b b ax ax = e cos sin bx de = e sin bx − b e cos bxdx , + + 2 2 a a a a   ax b ax b2 b2 eax cos bx bx + e sin bx − I ⇔ 1 + + ab2 eax sin bx, I = ⇔ I = e cos 2 2 2 a a a a a I= b sin bx+a cos bx a2 +b2 · eax . Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона − Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций и тригонометрических выражений Вычисление определенного интеграла можно свести к вычислению неопределенного. Соответствующая формула носит название формулы Ньютона—Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойства интеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мы переходим. 6.1. Интеграл с переменным верхним пределом Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву: Z a b f (x) dx = Z a b f (t) dt = Z b f (ξ) dξ = a Z b f (A) dA. a Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] . Тогда для люRx бого x ∈ [a, b] можно вычислить число F (x) = a f (t) dt. Значит, для Rx каждого x ∈ [a, b] определена функция F (x) = a f (t) dt. Эту функцию называют интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 6.1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , Rx то интеграл F (x) = a f (t) dt непрерывен на этом отрезке. Если f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то F (x) дифференцируема на указанном отрезке, причем Z x d F ′ (x) = f (x) ⇔ f (t) dt = f (t) |t=x (∀x ∈ [a, b]) . (6.1) dx a Доказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдем к обоснованию второй части. Пусть x − произвольная точка интервала (a, b) . Вычислим R x+∆x Rx f (t) dt − ∆F (x) F (x + ∆x) − F (x) a f (t) dt ≡ = a = ∆x ∆x ∆x 50 Лекция 6 R x+∆x Ra R x+∆x f (t) dt + f (t) dt f (t) dt x = a = x . ∆x ∆x Так как f (t) непрерывна на отрезке [a, b] , то применима теорема о среднем: существует точка c ∈ [x, x + ∆x] , ∆x > 0 (c ∈ [x + ∆x, x] , ∆x < 0) такая, что Z x+∆x f (t) dt = f (c) (x + ∆x − x) = ∆F (x) . x Тогда ∆F∆x(x) = f (c) . Устремляя здесь ∆x → 0 и учитывая, что при этом c → x, f (c) → f (x) , будем иметь lim ∆F∆x(x) = f (x) , т.е. ∆x→0 ′ F (x) = f (x) . Равенство (6.1) показано в любой внутренней точке отрезка [a, b] . Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана. Следствие 6.1. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f (x) имеет первообразную. Действительно, в качестве одной из первообразных можно укаRx зать интеграл F (x) = a f (t) dt с переменным верхним пределом (при этом F ′ (x) = f (x) (∀x ∈ [a, b]) , т.е. F (x) − первообразная для f (x)). 6.2. Формула Ньютона—Лейбница Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления. Теорема 6.2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и Φ (x) − её первообразная на отрезке [a, b] . Тогда Z a b f (x) dx = Φ (x) |x=b x=a = Φ (b) − Φ (a) . (6.2) Rx Доказательство. Так как F (x) = a f (t) dt − первообразная функции f (x) на отрезке [a, b] , то существует постоянная C такая, Rx что a f (t) dt = Φ (x) + C. Положим в этом равенстве x = a; будем иметь 0 = Φ (a) + C ⇔ C = −Φ (a) . Поэтому 6.3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле 51 Z x a f (t) dt = Φ (x) − Φ (a) . Полагая здесь x = b, получаем формулу (6.2). Теорема доказана. R3 3
R 3

x=3  x4 Например, 2 x + 2x dx = x + 2x dx |x=2 = 4 + x2 + C |32 =  4   4  3 2 85 2 2 4 +3 +C − 4 +2 +C = 4. 6.3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле С помощью формулы Ньютона − Лейбница нетрудно доказать следующие утверждения. x Теорема 6.3 (см. рис. 6.1). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезB ке [A, B] ⊃ [a, b] , а функция x = b ϕ (t) непрерывно дифференцируема на x = ϕ(t) отрезке [c, d] таком, что ϕ (c) = a A a, ϕ (d) = b, причем ϕ[c, d] ⊂ [A, B] . t Тогда имеет место формула замеO c d ны переменных в определенном интеРис. 6.1 грале: Z b f (x) dx = [x = ϕ (t) , dx = ϕ′ (t) dt, ϕ (c) = a, ϕ (d) = b] = a = Z d f (ϕ (t)) ϕ′ (t) dt. c Теорема 6.4. Пусть функции u = u (x) , v = v (x) непрерывнодифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда имеет место формула интегрирования по частям в определенном интеграле: Z b Z b x=b udv = uv|x=a − vdu. a a 52 Лекция 6 6.4. Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональной функцией (или алгебраической дробью) называется функция, представимая в виде отношения двух много- членов: Pm (x) am xm + am−1 xm−1 + ... + a0 R (x) = ≡ . Qn (x) bnxn + bn−1xn−1 + ... + b0 При этом дробь R (x) называется правильной, если степень m ее многочлена-числителя Pm (x) меньше степени n её многочленазнаменателя Qn (x) ; в противном случае (т.е. в случае m ≥ n ) дробь R (x) называется неправильной. Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель углом. Например, 17 − 82x 3 x4 − 5 x2 + 2 x − 8 2 = 3x − 9x + 25 + . x2 + 3 x − 1 x2 + 3x − 1 Определение 6.1. Простейшими дробями типа I − IV называются следующие дроби: I. A ; x−a II. IV. A (x − a) ; III. k
Mx + N 2 D = p − 4q < ; x2 + px + q
Mx + N 2 D = p − 4q < , m (x2 + px + q) где A, M, N, a, p, q − действительные постоянные, k, m≥2 − натуральные числа. Теорема 6.5. Любую правильную дробь R (x) можно разложить в сумму простейших дробей типа I − IV. Это разложение единственно (с точностью до порядка слагаемых). Алгоритм разложения на простейшие дроби Пусть требуется разложить на простейшие дроби правильную (x) дробь R (x) = PQmn (x) . Выполним следующие действия: 6.4. Интегрирование дробно-рациональных функций 53 1) разложим знаменатель на множители:
r
r Qn (x) = b0 (x − x1)k1 (x − x2)k2 x2 + p1 x + q1 1 x2 + p2x + q2 2 ; 2) каждому “линейному” множителю (x − x0)k поставим в соответствие сумму k простейших дробей типа I − II : Ak (x − x0 )k + Ak−1 (x − x0)k−1 + ... + A1 , x − x0 а каждому “квадратичному” множителю x2 + px + q в соответствие m дробей типа III − IV :
m поставим Mm x + Nm Mm−1x + Nm−1 M1 x + N1 + . + ... + m m−1 (x2 + px + q) x2 + px + q (x2 + px + q) Сделав это для каждого множителя знаменателя Qn (x) , запишем тождество h i Ak1 −1 Ak1 Pm (x) A1 Qn (x) ≡ (x−x1 )k1 + (x−x1 )k1 −1 + ... + x−x1 + i h Âk2 −1 Âk2 Â1 + (x−x )k2 + (x−x )k2 −1 + ... + x−x1 + 1 1 h i (6.3) Mr1 x+Nr1 Mr1 −1 x+Nr1 −1 M1 x+N1 + (x2 +p1x+q1 )r1 + (x2 +p x+q )r1 −1 + ... + x2 +p1 x+q1 + 1 1 i h M̂r2 x+N̂r2 M̂r2 −1 x+N̂r2 −1 M̂1 x+N̂1 + (x2 +p2x+q2 )r2 + (x2 +p x+q )r2 −1 + ... + x2 +p1 x+q1 . 2 2 3) Умножив обе части этого тождества на знаменатель Qn (x) , получим тождество двух многочленов. Приравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степенях xs , получим линейную алгебраическую систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов Aj , Âj , Mj , M̂j , Nj , N̂j , решая которую (например, методом Гаусса), найдем эти коэффициенты. Подставляя их в (6.3), получим (x) разложение дроби R (x) = PQmn (x) на простейшие дроби. 3 2 +3x +23x+9 Например, разложим дробь R (x) = (x25x −2 x+1)(x2 +2x+5) на простей


шие. Так как x2 − 2 x + 1 x2 + 2x + 5 = (x − 1)2 x2 + 2x + 5 , то R (x) представляется в виде A Mx + N 5x3 + 3x2 + 23x + 9 B = + , (6.4) + (x2 − 2 x + 1) (x2 + 2x + 5) (x − 1)2 x − 1 x2 + 2x + 5 54 Лекция 6 где коэффициенты A, B, M, N пока не найдены. Приводя правую часть к общему знаменателю, а затем отбрасывая в обеих частях одинаковые знаменатели, получим тождество
5x3 + 3x2 + 23x + 9 ≡ A x2 + 2x + 5 +
+ B (x − 1) x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1)2 . (6.5) Можно было бы приравнять здесь коэффициенты при одинаковых степенях x (начиная с x3 ), а затем решить полученную систему уравнений относительно A, B, M, N. Но мы поступим проще. Применим так называемый метод частных значений. Так как (6.5) − тождество, то оно верно при любых значениях x. Удобно выбрать значение x = 1. При этом из (6.5) получаем равенство 40 = 8A, откуда выводим, что A = 5. Далее подставляем A = 5 в (6.4) и переносим все первые слагаемые влево; будем иметь
5x3 − 2x2 + 13x − 16 ≡ B (x − 1) x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1)2 . Разделив обе части этого тождества на x − 1, получим
5x2 + 3x + 16 = B x2 + 2x + 5 + (Mx + N ) (x − 1) . Полагая здесь снова x = 1, будем иметь 24 = 8B ⇔ B = 3, и последнее равенство перепишется в виде 2x2 − 3x + 1 = (Mx + N ) (x − 1) ⇒ 2x−1 = Mx+N. Отсюда сразу же находим M = 2, N = −1. Следовательно, все коэффициенты разложения (6.4) найдены и мы получаем 3 +3x2 +23x+9 5 3 2x−1 ответ: (x25x −2 x+1)(x2 +2x+5) = (x−1)2 + x−1 + x2 +2x+5 . Из теоремы 6.5 вытекает, что интегрирование правильных алгебраических дробей сводится к их разложению на простейшие дроби и последующему интегрированию последних. Займемся задачей интегрирования простейших дробей. Дроби типа I − II интегрируются очевидным образом: R A R R d(x−a) R A dx = A (x − a)−k d (x − a) = A(x−a dx = A = A·ln|x−a|+C; k x−a x−a −k (x−a) C. 6.5. Интегрирование тригонометрических выражений 55 Дробь типа III интегрируется следующим образом: R M x+N dx xh2 +px+q 2 =  i  p p2 p2 2 + q − 4 ; x + 2 = t, dx = dt, q − 4 = a = = x + px + q = x +  R p R M (t− 2 )+N R tdt Mp dt = dt = M t2 +a2 + N − 2 t2 +a2 t2 +a2 = 
R d(t2 +a2)  Mp 1 t M M 2 2 + + N − arctg = ln t + a = 2 2 2 t +a 2 a a 2   
x+ p Mp 1 Mp 1 t M 2 + N − 2 a arctg a + C = 2 ln x + px + q + N − 2 a arctg a 2 + C.
p 2 2 Дробь типа IV интегрируется сложнее. Сначала производятся все операции, применяемые при интегрировании дроби типа III, а затем используется рекуррентная формула   Z Z dt dt 1 t . + (2m − 1) = 2ma2 (t2 + a2 )m (t2 + a2 )m (t2 + a2 )m+1 Например, Z  Z dt t + (2 − 1) = t2 + a2 (t2 + a2 )
arctg at t + + C. = 2 2 2a (t + a2 ) 2a3 В заключение предлагаем вычислить самостоятельно интеграл  Z Z  2 x2 + 2 x + 13 1 −4 − 3x −2 − x + dx dx = + 2 x +1 x−2 (x − 2) · (x2 + 1)2 (x2 + 1)2
1 2 и получить ответ: 41 · −8x+6 − 4arctg (x) − ln x + 1 + ln |x − 2| + C. x2 +1 2 dt 1 = 2 · 1 · a2 (t2 + a2 )2  56 Лекция 6 6.5. Интегрирование тригонометрических выражений R Интегралы типа I = R (sin x, cos x ) dx, где R (u, v) − дробнорациональная функция переменных u и v , сводятся к интегрированию рациональной функции одной переменной t с помощью универсальной подстановки t = tg 2t . Действительно, тогда 1 − t2 2dt 2t , cos x = , dx = , sin x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 R R  2t 1−t2  2dt R поэтому I = R (sin x, cos x ) dx = R 1+t2 , 1+t2 1+t2 ≡ R1 (t) dt, где R1 (t) − дробно-рациональная функция одной переменной. К последнему интегралу можно уже применить алгоритм разложения на простейшие дроби и свести вычисления к интегрированию простейших дробей типа I − IV. Однако не всегда удобно пользоваться универсальной подстановкой, так как она часто приводит к громоздким выкладкам. Иногда удобно пользоваться частными типами подстановок, которые мы приводим ниже (слева написано свойство подынтегральной функции R , справа − соответствующая замена переменной). 1. R (−u, v) ≡ −R (u, v) ⇒ cos x = t . 2. R (u, −v) ≡ −R (u, v) ⇒ sin x = t . 3. R (−u, −v) ≡ R (u, v) ⇒ tg x = t .

R R 4. R sin2 x dx, R cos2 x dx ⇒ tg x = t (здесь часто бывает удобным воспользоваться формулами sin2 x = 2x 2x , cos2 x = 1+cos .) = 1−cos 2 2 И, наконец, интегралы типа  Z cos αx · cos βxdx,   sin αx · cos βxdx, sin αx · sin βxdx преобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формул 6.5. Интегрирование тригонометрических выражений 57 тригонометрии: cos αx · cos βx = 21 (cos(α − β)x + cos(α + β)x) , sin αx · sin βx = 21 (cos(α − β)x − cos(α + β)x) , sin αx · cos β = 21 (sin(α − β)x + sin(α + β)x) . Приведём примеры. h i R sin2 xdx 1 2 t2 dt 2 1. sin2 x−cos2 x = tg x = t, cos x = 1+t2 , sin x = 1+t2 , dx = 1+t2 =  1 t2 R R 1+t R t2 2 · 1+t2 1 1 1 = − 4(t+1) + 2(t2 +1) + 4(t−1) dt = dt = t4 −1 dt = t2 1 − 1+t2 1+t2 = ln (tg x − 1) − 41 ln (tgx + 1) + 12 x + C. 1 4 C. R R 1 2. cos 3x·sin 5xdx = 12 (sin 2x + sin 8x) dx = − 41 cos 2x− 16 cos 8x+
R R 1+cos 2x
2 R 1 2 dx = 1 + 2 cos 2x + cos 2x dx = 3. cos4 xdx = 2 4 R sin 2x 1 x 2 = 4 + 4 + 4 cos 2xdx = R 1 = x4 + sin42x + 18 (1 + cos 4x) dx = x4 + sin42x + x8 + 32 sin 4x + C = sin 2x sin 4x = 3x 8 + 4 + 32 + C. Для усвоения изложенного материала предлагаем вычислить интегралы и проверить истинность выписанных ниже равенств. R 1. ln(4x2 + 1)dx = x ln(4x2 + 1) + arctg2x − 2x + C. 2. 3. 4. 5. 6. 7. R0 −2 (x 2 − 4) cos 3xdx = 94 cos 6 − 1−cos x (x−sin x)2 dx R dx = ln 2 − π2 32 . R x3 −3x2 −12 dx (x−4)(x−3)(x−2) x3 +6x2 +13x+9 (x+1)(x+2)3 dx = ln |x + 1| − R x3 +5x2 +12x+4 (x+2)2 (x2 +4) dx = R sin 6. 1 = − x−sin x + C. R 1/2 8x−arctg2x 1+4x2 2 27 = x+2 ln |x − 4|+12 ln |x − 3|−8 ln |x − 2|+C. 1 x+2 1 2(x+2)2 + C. + 12 ln x2 + 4 + arctg x2 + C.. 58 Лекция 6 8. 9. R π/2 cos x−sin x (1+sin x)2 R arctg3 π/4 dx = 61 . dx (3tgx+5) sin 2x = 1 10 (ln 3 − ln 14 + ln 8). Rπ π. 10. 0 24 cos8 x2 dx = 35 8 Для усвоения изложенной теории рекомендуем также выполнить задачи из типового расчета “Интегралы,” помещённого в конце пособия. Лекция 7. Несобственные интегралы. Геометрические приложения интегралов Rb Ранее рассматривались интегралы a f (x) dx с конечными пределами a, b и от ограниченных функций f (x) . Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то указанный интеграл будет несобственным. Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдем к их изучению. 7.1. Несобственные интегралы Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами. Определение 7.1. Пусть функция f (x) интегрируема на любом отрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) . Тогда если существует конечный преRN R +∞ дел lim a f (x) dx = I, то говорят, что интеграл a f (x) dx схоN →+∞ R +∞ дится. При этом пишут a f (x) dx = I. Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл R +∞ f (x) dx расходится (см. рис. 7.1). a y Аналогично определяются интегралы Z b Z b Z +∞ f (x) dx = lim f (x) dx, f (x) dx = N →+∞ −∞ S O a x = N lim →+∞ Z −N c f (x) dx + lim −N M →+∞ −∞ Z M f (x) dx c (здесь c − произвольная конечная точка). Эти интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. R +∞ 7.1, где площадь S = a f (x) dx. Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций. Определение 7.2. Если функция f (x) не ограничена в окрестности точки x = b (ее называют особой точкой) и является интегрируемой на любом отрезке [a, b − ε] ⊂ [a, b) , то по определению полагают Rb R b−ε f (x) dx = lim f (x) dx. Если этот предел существует и конеa ε→+0 a Rb чен, то говорят, что интеграл a f (x) dx второго рода сходится. В Рис. 7.1 60 Лекция 7 противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода) Z b f (x) dx = lim ε→+0 a Z b f (x) dx, a+ε Z a b f (x) dx = Z c f (x) dx+ a Z b f (x) dx, c где в первом случае точка x = a является особой, а во втором случае точка c ∈ (a, b) является особой. Поскольку заменой переменной Rb 1 интеграл второго рода a f (x) dx ( x = b − особая точка) своt = b−x дится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, что эталонный интеграл( a > 0 ) " Z +∞ dx сходится, если α > 1, = xα расходится, если α ≤ 1. a Действительно, имеем Z a N dx = xα " ln x|x=N x=a = ln N − ln a, α = 1, −α+1 N −α+1 a−α+1 x x=N | = − , α 6= 1. x=a −α+1 −α+1 −α+1 Переходя здесь к пределу при N → +∞, получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов. Теорема сравнения 1. Пусть функции f (x) и g (x) интегрируемы на произвольном отрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) и имеют место неравенства 0 ≤ f (x) ≤ g (x) (∀x ∈ [a, +∞)) . Тогда если сходится инR +∞ R +∞ теграл a g (x) dx, то и сходится интеграл a f (x) dx. Если же R +∞ R +∞ интеграл a f (x) dx расходится, то и расходится интеграл a g (x) dx. Теорема сравнения 2. Пусть функции f (x) и g (x) положительны и интегрируемы на произвольном отрезке [a, N ] ⊂ [a, +∞) . (x) Пусть, кроме того, существует предел lim fg(x) = K6=6=0∞. Тогда инx→+∞ R +∞ R +∞ тегралы a f (x) dx и a g (x) dx сходятся или расходятся одновременно. Замечание 7.1. При применении этих теорем часто используется 7.1. Несобственные интегралы 61 эквивалентность бесконечно малых функций. Таблица 1.1 эквивалентных бесконечно малых Если u (x) → 0 при x → x0, то при x → x0 верны следующие соотношения: 1) sin u ∼ u, 2) tgu ∼ u, 3) arcsin u ∼ u, 4) arctg u ∼ u, 1 5) 1 − cos u ∼ u2 , 2 u 6) e − 1 ∼ u, 7) au − 1 = u ln a, a > 0, a 6= 1, 8) ln(1 + u) ∼ u, 9) (1 + u)σ − 1 ∼ σ · u, σ = const. 1 R +∞ sin 1 sin 1 Например, интеграл 1 3+x√x x dx сходится, так как 3+x√x x ∼ x√x x = R +∞ dx 1 и интеграл сходится ( α = 5/2 > 1 ; см. эталонный инте5/2 1 x x5/2 грал и теорему сравнения 2). Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, R +∞ что интеграл a f (x) dx сходится абсолютно, если сходится интеR +∞ грал a |f (x) |dx. Если последний интеграл расходится, а сам инR +∞ теграл a f (x) dx сходится, то его называют условно сходящимся интегралом. R +∞ Нетрудно показать, что из сходимости интеграла a |f (x) |dx R +∞ вытекает обычная сходимость интеграла a f (x) dx. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что R +∞ R +∞ sin x интеграл 1 sinx x dx сходится, а интеграл 1 dx расходитx ся. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость 62 Лекция 7 (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем − условную сходимость. R +∞ sin x Например, рассмотрим интеграл 2 xln dx . Здесь подынтеграль2 x ная функция изменяет знак на полуинтервале [2, +∞) , поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” R +∞ sin x интеграл I = 2 dx. Здесь подынтегральная функция неотxln2 x рицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1: 1 sin x (∀x ∈ [2, +∞)) . ≤ xln2 x xln2 x R +∞ R +∞ x) = ln12 < = − ln1x |x=+∞ Так как интеграл 2 xlndx2 x = 2 d(ln x=2 ln2 x < ∞ сходится, то и интеграл I также сходится, а, значит, исходный R +∞ sin x интеграл 2 xln dx сходится абсолютно. 2 x 7.2. Вычисление площадей плоских фигур Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает следующее утверждение. Теорема 7.1. Если фигура D задана неравенствами a ≤ x ≤ ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) , где функции f1 (x) , f2 (x) непрерывны на отрезке [a, b] , то площадь этой фигуры вычисляется по формуле Rb SD = a [f2 (x) − f1 (x)] dx. Если фиy y = f2(x) гура ограничена линиями y = f (x) , y = = 0 (a ≤ x ≤ b) , причем функция f (x) знакопеременна и непрерывна на отрезке [a, b] , Rb то её площадь равна x a |f (x) |dx. b Oa Действительно, фигуру D можно перенести параллельно оси Oy вверх и тоy = f1(x) гда она будет сверху и снизу ограничена Рис. 7.2 линиями   y = f2 (x) + C, y = f1 (x) + C C ≥ min f1 (x) . x∈[a,b] Поэтому SD = Rb a (f2 (x) + C) dx− Rb a (f1 (x) + C) dx = Rb a [f2 (x) − f1 (x)] dx. 7.2. Вычисление площадей плоских фигур 63 Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка M (x, y) на плоскости вполне однозначно опре−−→ деляется своим полярным радиусом OM = ρ и полярным углом −−→ −→ θ = OM ,∧ Ox , 0 ≤ θ < 2π (считаем, что началу координат O соответствует радиус ρ = 0 и любой фиксированный полярный угол θ ∈ [0, 2π) ). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнением ρ = ρ (θ) , α ≤ θ ≤ β. Переход от декартовых координат точки M (x, y) к полярным осуществляется формулами x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. y y Теорема 7.2. Пусть фигура D задана в полярных коβ ρ = ρ(θ) ординатах неравенствами 0 ≤ M(x,y) y α ρ ρ ≤ ρ (θ) , α ≤θ ≤ β (рис. 7.3), причем фун- кция ρ = ρ (θ) θ x x O непрерывна на отрезке [α, β] . O x Тогда площадь этой фигуры выРис. 7.3 R β числяется по формуле SD = 12 α ρ2 (θ) dθ. Если фигура описывается неравенствами ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ) , α ≤ θ ≤ β, b причем функции ρ1 (θ) , ρ2 (θ) непрерывны на отрезке [α, β] , то её плоRβ  щадь вычисляется по формуле SD = 21 α ρ21 (θ) − ρ22 (θ) dθ. Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме. Теорема 7.3. Пусть фигура D имеет границу Γ, заданную параметрически уравнениями x = x (t) , y = y (t) , α ≤ t ≤ β, причем при возрастании параметра t от α к β обход границы Γ совершается так, что сама область D остается слева от наблюдателя. Если при этом функции x′ (t) , y (t) непрерывны на отрезке, то 64 Лекция 7 Rβ площадь этой фигуры вычисляется по формуле SD = − α y (t) x′ (t) dt ≡ Rβ − α ydx|x=x(t),y=y(t) (здесь t = α − начало обхода, t = β − конец обхода границы Γ ). 7.3. Вычисление длины дуги Пусть на плоскости Oxy задана некоторая незамкнутая кривая Γ (см. рис.7.4). Произведем разбиение ⌢ M0 Mn = n−1 [ ⌢ Mi Mi+1 (∆) i=1 ⌢ этой дуги на частичные дуги Mi Mi+1, в каждую из которых впишем хорду Mi Mi+1 . Тогда получим ломанную M0M1 ...Mn , вписанную в дугу Γ . Пусть ∆si = |Mi Mi+1|− длина хорды Mi Mi+1 . y y Определение 7.3. За Mi+1 длину дуги l кривой Γ приM1 M2 f (xi+1) нимают предел, к которому стремится периметр лоMn f (xi) M0 Mi манной, вписанной в эту дуx x гу, при стремлении длины O O xi xi+1 максимального звена этой Рис. 7.4 ломанной к нулю, т. е. l = Pn−1 5 lim i=0 ∆si . Если криb b b b b b b max ∆si →0 вая Γ замкнутая, то разбивают ее двумя несовпадающими точками S на две незамкнутые кривые Γ1 и Γ2 (Γ = Γ1 Γ2 ) и тогда дл. Γ = дл. Γ1+ дл. Γ2. Теорема 7.4. Если дуга Γ задана уравнением y = f (x) , a ≤ ≤ x ≤ b, где функция f (x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] , то ее длина вычисляется по формуле Z bq l= 1 + (f ′ (x))2 dx. (7.1) a 5 Если этот предел существует и конечен, то дуга l называется спрямляемой. 65 7.3. Вычисление длины дуги Доказательство. Произведем разбиение a = x0 < x1< · · · < < xn = b отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi , xi+1] . Это разбие⌢ ние порождает разбиение (∆) дуги Γ на частичные дуги Mi Mi+1. По Pn−1 определению 7.3 имеем l = lim i=0 ∆si . Длина хорды Mi Mi+1 max ∆si →0 равна (см. рис.7.4) величине q p 2 2 ∆si = ∆xi + ∆yi = ∆x2i + (f (xi+1) − f (xi))2 = r r     = 1+ f (xi+1 )−f (xi ) ∆xi 2 ∆xi = 1+ f (xi+1 )−f (xi ) xi+1 −xi 2 ∆xi. По теореме Лагранжа существует точка ci ∈ (xi, xi+1) такая, что f (xi+1) − f (xi ) = f ′ (ci ) (xi+1 − xi) q поэтому ∆si = 1 + (f ′ (ci ))2 ∆xi. Учитывая это, получаем, что l= lim max ∆si →0 n−1 X ∆si = i=0 lim max ∆xi →0 n−1 q X 1 + (f ′ (ci ))2 ∆xi = i=0 Z bq = 1 + (f ′ (x))2dx. a Теорема доказана. q Замечание 7.2. Величина dl = 1 + (f ′ (x))2 dx называется диф′ ференциалом дуги y = f (x) , a ≤ x ≤ pb. Учитывая, что f (x) dx = = dy, её можно записать в виде dl = dx2 + dy 2 . Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами dx, dy и “гипотенузой” dl. Теперь формулу (7.1) для вычисления длины дуги Rb можно записать кратко так: l = a dl. Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга Γ задана параметрически или в полярной форме. Из нее можно получить следующие утверждения. Теорема 7.5. Если дуга Γ задана параметрически уравнениями x = x (t) , y = y (t) , t ∈ [α, β] , где функции x (t) , y (t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [α, β] , то ее длина вычисляется по формуле Z βp l= ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt. α 66 Лекция 7 Если дуга Γ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (θ) , ϕ1 ≤ θ ≤ ϕ2, где функция ρ (θ) непрерывно дифференцируема на отрезке [ϕ1, ϕ2] , то её длина вычисляется по формуле Z ϕ2 p l= ρ2 (θ) + ρ′2 (θ) dθ. ϕ1 Действительно, если Γ задана в параметрической форме, то p p p dl = dx2 + dy 2 = ẋ2 (t) dt2 + ẏ 2 (t) dt2 = ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt ⇒ ⇒l= Z β α p ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt. Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно. Например, если дуга Γ задана уравнением ρ = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ ≤ π/6, то её длина равна l= Z π/6 p 4 cos2 θ + 4 sin2 θdθ = 2 · π π = . 6 3 7.4. Вычисление объёмов тел С помощью определенного интеграла можно вычислять объемы тел. Дадим соответствующие формулы. Теорема 7.6. Пусть тело W заключено между плоскостями x = a и x = b, а S = S (x) − площадь его поперечного сечения плоскостью x = const. Если функция S (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то объём тела W вычисляется по формуле V = Z b S (x) dx. a Доказательство. Произведем разбиение отрезка [a, b] : a = x0 < x1 < ... < xn = b (∆) 67 7.4. Вычисление объёмов тел на частичные отрезки [xi, xi+1] и обозначим λ = max ∆xi = max (xi+1 − xi ) − ди i=0,n−1 i=0,n−1 разбиения (∆) . Плоскости x = xi разобьют тело W на тела Wi , которые можно приближенно считать прямыми круговыми цилиндрами высотой h = ∆xi и основаниями − кругами площади S = S (x̄i) , где x̄i − произвольная фиксированная точка отрезка [xi, xi+1] , S (x̄i) − площадь поперечного сечения плоскостью x = x̄i . Объём тела W приближенно Pn−1 P V = равен сумме объёмов тел Wi, т.е. V ≃ n−1 i=0 S (x̄i ) ∆xi . Это i=0 i равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение (∆) , и при λ → 0 оно становится точным, т.е. z V = lim S(x) λ→0 S (x̄i ) ∆xi = i=0 Z b S (x) ∆x. a Теорема доказана. Замечание 7.3. Если тело W получено вращением криволинейной трапеции x O a x n−1 X b y Рис. 7.5 D = {0 ≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤ b} вокруг оси Ox , то объём этого тела вычисляется по формуле Z b V =π f 2 (x) dx. a Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса R = f (x) , поэтому S (x) = π·f 2 (x) . Аналогично вычисляется объём тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейной Rd трапеции D = {0 ≤ x ≤ g (y) , c ≤ y ≤ d} : V = π c g 2 (y) dy (конечно, в выписанных формулах для V предполагается, что функции f (x) и g (y) непрерывны на соответствующих отрезках). Рекомендуем выполнить задачи на приложения определённого интеграла в типовом расчете “Интегралы,” помещённом в конце пособия. 68 Лекция 7 §1. Теория пределов. Задачи Задача 1. Найти пределы lim an последовательностей {an } , заn→∞ данных своими общими членами, выписанными ниже. 4 4 (2−n) −(1−n) . −n3 −(n+2)3 4 4 −(3−n) . 1.2. (4−n) 3 2(2−n) −n3 4 −(1−2n)4 1.3. (2−2n) 3 . −8n3 −(2+2n) 4 4 −(3−2n) . 1.4. (4−2n) 3 (2−2n) −9n3 3 2 −(n+2) 1.5. (n+2) . 3 n3 −(n+2) n3 −n2 . 1.6. (−2+n) 3 −n3 3 3 −(2−3n) . 1.7. (2+3n) 3 27n3 −(2+3n) 3 2 −(3n−1) 1.8. (3n−1) 2 3. (3n−3) −(3n−1) 3 2 (3+2n) −(3+2n) . 1.9. (2n+1) 2 −2(3+2n)3 3 2 (1+5n) −(1+5n) 1.10. (5n−1) 2 3. −3(1+5n) 3 −(3n−2)3 . 1.11. 2(3n+1) 2 9n +6n−3 3 3 −(5n−1) 1.12. 2(2+5n) . 3 (1+5n) −1+10n 3 54n3 −(3n−3) . 1.13. (3n−1) 2 +6n3 −5 3 2n3 −(−3+n) 1.14. (−1+n) . 2 −5+2n3 16n3 −(2n−3)3 . 1.15. (2n−1) 2 +4n3 −5 1.1. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. 3 3 (2n+7) −(2+2n) . (6n+2)2 +(8n+1)2 (2n+6)3 −(2n+1)3 2 2. (6n−1) +2(8n−3) (3n+7)3 −(2+3n)3 2 2. 2(9n+2) +(12n+1) 4 4 (2+3n) −(3n−2) 2 2. (3n+5) +(3n−5) 4 4 (7n+2) −(7n−2) 2 4. (7n+5) +(2n−5) (6n−10)!+(6n−8)! (6n−9)!(2n−4) . (9n−4)!+(9n−2)! (9n−3)!(3n−2) . 23n−1 −53n 23n +53n+1 . (3n+2)!+(3n+4)! (3n+1)!+(3n+4)! . 25n+2 −55n+3 25n+3 +55n+4 . 3 3 (−3+2 n) −8 (n−2) 2 2. (−3+2 n) +4 (n−2) 3 3 (−1+2 n) −8 (n−1) 2 2. (−1+2 n) +4 (n−1) 3 3 (5+2 n) −8 (n+2) 2 2. (5+2 n) +4 (n+2) (1+4 n)3 −64 n3 . 2 (1+4 n) +16 n2 (3+2 n)3 −8 (n+1)3 2 2. (3+2 n) +4 (n+1) Ответы. 1.16. 3/5. 1.17. 15/41. 1.18. 15/34. 1.19. ∞. 1.20. 150. Задача 2. Найти пределы lim an последовательностей {an } , заn→∞ данных своими общими членами, выписанными q  ниже. √ 2.1. (2n + 1) (2n + 1)2 + 1 − 2 n2 + n . p p (n + 5) (4 + n) − (n + 2) (6 + n). 2.2. √ √
2.3. (−3 + n)  n2 − 6n + 10 − n2 − 6n + 8 .  √ √ p 2.4. (−3n + 1) 3 n (3n − 2) − 9n2 − 6n + 2 . 69 7.4. Вычисление объёмов тел p √ p 2.5. √5 (1 + 5n) n − (5n − 2) (2 + 5n). √ 3 (n+2) − (1+n)n(−2+n) √ . 2.6. 1+n  √ √ 2 n3 − (−1+n)(−2+n)(−4+n) √ . 2.7. −1+n p √ p 3 (3n + 1) n − (3n − 2) (2 + 3n). 2.8. √ √ 3 √ (4+2n) − 2 (3+2n)(2+2n)n 4 √ . 2.9. 3+2n √  √ 3 6 (2n+6) − (2n+5)(4+2n)(2+2n) √ 2.10. . 2n+5 √  √ 3 8 (8+2n) − (2n+7)(2n+6)(4+2n) √ 2.11. . 2n+7 p p + 6) (2n + 10) 2.12. 8√(2n + 9) (8 + 2n) − 8 (2n  √ 3 (8+2n) − (2n+7)(2n+6)(4+2n) 7 √ . 2.13. q2n+7  √ 2.14. 7 (2n + 7) (2n + 7)2 + 1 − 2 n2 + 7n + 12 . q  √ 2.15. 5 (2n − 3) (2n − 3)2 + 1 − 2 n2 − 3n + 2 . √  √ 3 59 (2n−2) − (2n−3)(2n−4)(2n−6) √ 2.16. . √ √ √ 2n−3
2.17. 2 2n3 + 2 8n3 + 2 − 8n3 − 1 . √ √ √
2.18. 2 125n3 + 8 125n3 + 2 − 125n3 − 1 . √ √ √
2.19. 3 27n3 + 8 27n3 + 2 − 27n3 − 1 . √ √ √
2.20. 5 343n3 + 8 343n3 + 2 − 343n3 − 1 . √ √
2.21. 8n 64n2 + 1 − 64n2 − 1 . p p 2.22. √ (5n + 5) (5n + 4) − (5n + 2) (5n + 6). √ (n−8)3 − (n−9)(n−10)(n−12) √ . 2.23. n−9 √ √ 3 (2n−8) − (2n−9)(2n−10)(2n−12) √ 2.24. 2n−9 p p 2.25. (5n − 7) (5n − 8) − (5n − 10) (5n − 6). √ √ √ √ 2 n2 +2− √n4 +2 n+3− (n+1) +2 √ . 2.28. 4 √ . 2.26. √ 4 n8 +1− 3√ n8 −1 4 3 4 4 (n+1) −1 4 (n+1) +1− 2.27. √ 4 √ n+1− 4 √ 2 (n−1) +2 4 (n−1) +1− √ 3 2.29. √ 4 4 (n−1) −1 . 2.30. √ n+4− 4 2 (n+2) +2 √ 3 4 4 (n+2) +1− (n+2) −1 √ √ 2 5 n+2− 25 √ √ n +2 . 4 2500 n4+1− 3 625 n4−1 . 70 Лекция 7 Ответы. 2.16. 62/3. 2.17. 3/2 2.18. 3. 2.19. 9/2 2.20. 15/2. Задача 3. Вычислить пределы функций. 3.1. 3.2. √ 2 −2−x lim x1+x . x→−1 √ x→4 1/3 1/3 9(x2 ) +33/5 x1/5 2(x1/3 −1) lim −√2x+2+2√x . x→1 3(41/3 31/3 x1/3 −2) lim2 √3x+2−√6√x . x→ 3 3.8. 3.9. 3.10. lim1 x→ 2 3.11. lim3 x→ 2 3.12. lim3 x→ 4 3.13. lim x→1 3.14. lim1 x→ 3 3.15. lim x→1 q 3 5 + . 1/3 x→−1 ((x+1)2 ) +(x+1)1/5 √ √ x+12−2 x lim (x−1)2 −9 . x→4 −(27−6x)1/3 1/3 x→0 36 (x ) +61/5 x1/5 1/3 1/3 1/3 7 x√ −2 √ . lim √47x+2− 14 x x→2/7 1/3 3.20. . lim 3.22. 3 −17+6x . 3.23. lim (5−2x) 2 (5−2x) −7+2 x x→3 .  √ √ 2x+13−2 2x+1 . 4x2 −9 3 2 3 2 (3x−1) +(3x−1) −15x+8 . 3 2 x→ 3 (3x−1) −(3x−1) −3 x+2 3.24. lim2 +(5x+1) −25x−2 3.25. lim (5x+1) . 3 2 (5x+1) −5 x x→0 √ −(5x+1) 2 2 (1+x) −4−2x 3.26. lim . 2x+3 x→−3/2 √ 2 (−4+x) +2−x 3.27. lim . x→3 √ x−3 2 (1+x) −3−x 3.28. lim . x+2 x→−2 √ 2 (x−3) +1−x . 3.29. lim x→2 √ x−2  2 (x−2) −2−x 3.30. lim . x x→0 Ответы. 3.16. 0. 3.17. 0. 3.18. -1/16. 3.19. 0. 3.20. -4/3 Задача 4. Вычислить пределы функций. 4.1. lim x(6x−5) sin(6x) . x→0 . (x+1)3 −3x−5 . 2 x→−2 (x+1) −x−3 3 (2+3x) −8−9x . lim (2+3x) 2 −4−3 x x→−1 3.21. 3(42/3 x1/3 −2) √ √ . √ 4x+2−2 2 x √ √ 2x+13−2 2x+1 . 4x2 −9 √ √ 32( 4x+13−2 1+4x) . 16x2 −9 √ √ 8( 3x+13−2 1+3x) . 9x2 −9 √  2 8 (−1+3x) −1−3x x (28+x)1/3 −(26−x)1/3 1/5 +(5+x) 1/3 4(x ) +2 x 1/3 −(27−4x)1/3 lim (27+4x) . 1/3 x→0 161/3 (x2 ) +41/5 x1/5 1/3 1/3 3((1+x) −(1−x) ) x→0 3.17. lim 1/3 3.19. lim (27+6x) 1/3 2 x→0 3.7. lim . 3.18. −(27−8x) . 3.5. lim (27+8x) 2 1/3 3/5 1/5 3.6. (32+x)1/3 −(22−x)1/3 x→−5 ((5+x)2 ) (2+x)2 −4−x . x+3 lim x→−3 √ (−3+x)2 +1−x 3.3. lim . x→2 √ x−2 (−3+x)2 −5+x 3.4. lim . −x+4 3.16. lim 4.2. lim x(9x−5) sin(9x) . x→0 71 7.4. Вычисление объёмов тел 2 4(e12x −1) 4.14. lim sin π 3 x+1 . ( ( 2 )) x→0 −11x+8 4.3. lim 3xsin(3x−3) . x→0 4(1−cos(3x)) . 4.4. lim cos(21x)−cos(9x) 4x2 x→0 5(1−cos(2x)) 4.5. lim cos(14x)−cos(6x) . x→0 8(1−cos(5x)) . 4.6. lim cos(35x)−cos(15x) x→0 8(22x −1) . x→0 ln(1+4x)   1 3 2 2 x −1 ln(1+x) x→0   1 2 2 3 x −1 4.9. lim x→0 1−cos(5x) . 4.17. lim cos(35x)−cos(15x) x→0 4.7. lim 4.8. lim 4.15. lim sin πe 1 x−1 . ( ( 2 2 +1)) x→0 2 −40x 4.16. lim 192x sin(24x) . x→0 ln(1−24x) . 4.19. lim 94 arctg(36x) . x→0 −36x . 4.20. lim sin πe − 9−1 ( ( 2 x+1)) x→0 1−cos( 10 x) 4.21. lim 1 x2 3 . . 2 x→0 ln(1+ 3 x) 2 ln(1− 73 x) 4.10. lim sin π 1 x+7 . ( ( 3 )) x→0 5 ln(1− 74 x) 4.11. lim sin π 1 x+7 . ( ( 4 )) x→0 ln(1−21x) 4.12. lim sin(π(3x+7)) . e 9 −1 arc sin(x) √ lim 1 √ . x→0 3 18+3x− 2 2 sin(π ( 13 x+1)) x→0 4.22. 4.23. lim . ln(1+ 32 x) x→0 x→0 4.13. 8x 2 −1 4.18. lim ln(1+16x) . 2 ln(1−6x) . lim 9arctg(9x) x→0 4.24. arc sin( 35 x) √ . √ 1 x→0 5 50+5x− 2 4.28. 4.26 lim ln(−18x2 +9) sin(6πx) . x→2/3 4.29. 4.27. ln(−8x2 +9) . x→−1 sin(2πx) 4.30. 4.25. lim lim lim x→0 sin ( 13 x) − 31 tg2 x sin2 ( 13 x− π ) . ln(−50x2 +9) . x→2/5 sin(10πx) lim ln(−98x2 +9) . x→2/7 sin(14πx) ln(−32x2 +9) . lim sin(8πx) x→−1/2 lim Ответы. 4.16. -5/3 4.17. -1/40 4.18. 0, 5 · ln 2. 4.19. -3/2 4.20. −8/π. Задача 5. Вычислить пределы функций. 1 74x −56x . 2 4x−arctg(6x) x→0 5.1. lim 5.2. lim 15 x→0 5.3. lim 13 x→0 5.4. lim 31 x→0 5.5. 3 7 −5 2 x x−arctg 23 x 2x2 3x2 x ( ) 7 x→0 . −5 2x2 −arctg(3x2 ) 310x −22x 2x−sin(18x) . 315x −23x lim 3x−sin(27x) . x→0 5.6. lim  5  1 4 3 2 x −2 2 x 5.7. lim 12 x→0 . ( ) 9 1 2 x−sin 2 x 5 4 2 x −9−x . sin( 12 x)−tg( 18 x3 ) √ 5.8. . √ 2(410 x −9−4 x ) lim sin(2√x)−tg 8x3/2 . ( ) x→0 5x1/3 −2x1/3 4 −9 . 5.9. lim sin 1/3 −tg(x) x ( ) x→0 72 Лекция 7 45 ln(x+1) −9−2 ln(x+1) . sin(ln(x+1))−tg(ln(x+1)3 ) x→0 410x −9−4x lim 61 sin(2x)−tg(8x 3) . x→0 √ √ 2(410 x −9−4 x ) √ . sin(2 x)−tg(4x3/2 ) 5.10. lim 31 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 2 x→ 3 sin2 (x)−tg2 (x− π ) . 4 (x−2 π ) x→2π 5.22. lim 1 2 5 x −16 . 1 x→20 sin( 5 πx) √ 3− 31 90−3x lim sin(πx) . x→3 √ 3− 9−2x . lim x→0 sin(3π(2x+1)) 36x −73x lim arcsin(9x)−15x . x→0 32x−2 −7x−1 . lim arcsin(3x−3)−5x+5 x→1 32+2x −71+x lim arcsin(3+3x)−5−5x . x→−1 34x+2 −72x+1 . lim arcsin(6x+3)−10x−5 x→−1/2 5.23. lim 2 1 45x −9−2x 6) . 5 sin(x2 )−tg(x √ √ x 1 e√ −e−2 x lim . x+sin(x) x→0 5 1 e 2 x −e−x lim x+2 . sin( 14 x2 ) x→0 716x −524x . lim 16x−arctg(24x) x→0 3−30x −2−6x . lim −6x+sin(54x) x→0 −45x 18x 4 −9 lim − sin(9x)+tan(729x 3) . x→0 4−30x −912x lim − sin(6x)+tan(216x 3) . x→0 e−10x −e20x lim −10x+sin(100x 2) . x→0 sin2 (3x)−3tg2 x . (3x−π)4 5.21. limπ 5.24. 5.25. 5.26. 5.27. 5.28. 5.29. 38x−2 −74x−1 . x→1/4 arcsin(12x−3)−20x+5 5.30. lim Ответы. 5.16. −2 ln (7) + 3 ln (5) . 5.17. − 85 ln (3) + 81 ln (2) . 5.18. 10 ln (2) + 4 ln (3) . 5.19. 10 ln (2) + 4 ln (3) . 5.20. 3. Задача 6. Вычислить пределы функций. 6.1. lim 12 x→0 6.2. lim x→0   2+ 21 x 3− 21 x  21 x √ √  x 2+√x . 3− x .
1 2+3x 3x . · 3−3x 6.3. lim x+3 x→0 √  1 e15x −1 cos2 ( 14 π+5x) . 6.4. lim 3 5 x x→0  3√x cos2 ( 14 π+√x) . 6.5. lim e √x−1 x→0  cos2 ( 14 π+ln(x+1)) 3 (x+1) −1 6.6. lim ln(x+1) . x→0  9x+3 9x+4 √ 6.7. lim 2+3 x . x→0  1 6  41 x6 +3 4 x +4 . 6.8. lim 2+ 1 3 x x→0 2 1 4 4 x +4 1 2 2 x +2 6.9. lim 14 x→0 6.10. lim 1 x→0 2 1 2/3 +4 4x 1 1/3 +2 2x 6.12. lim 21 x→0 6.13. lim 41 x→0  arcsin(ln(x+1)) ln(x+1)  6−  6.14. lim 6 − x→0  14 x2/3 +3 . (x2 )1/3 x→0 6.15. lim . 2 !  1/3 2 )1/3 +5 2 x ( arcsin (x ) 6.11. lim x→0  41 x4 +3  5 cos(3x) x3/5 +4 x3/5 +9  2  ln(x+1)+5 tg2 (3x) 5 cos(3x1/3 ) 1 x1/5 +2 . . tg2 (3x1/3 ) . . 73 7.4. Вычисление объёмов тел 6.16. lim x→0 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.21. 6.22.
−5x+2 −5 x 3+5x . 6.24. lim x→0 6.23. lim x→0 sin( 43 x)−2 sin( 32 x) x ln(cos( 10 3 x)) . x ln(cos( 25 3 x))  √ √x  x1 x·2 √ √x lim 1+ . x→+0 1+ x·3 x→0 2 cos (− 14 π+9x)  1 e−27x −1 . lim − 9 x x→0  2 25x2 +3 . lim 25x +4 x→0 −5x+2  121x2+3 121x2 +4 lim −11x+2 . x→0 tg (7x)2  5 . lim 6 − cos(7x) x→0  √  2 1 arctg 6x sin( 32 x) 3 . lim 2 − 3 x→0
32 lim cos 23 πx 2x sin( 3 πx) . 5 sin( 10 3 x)−2 sin( 3 x) 6.25. 6.26. lim x→0 6.27. lim x→1 6.28. lim x→0 6.29.    1 1+ x2 ·2 2 x 1 1+ x2 ·3 2 x  42 x .  x−1 1+(x−1)2 1+(x−1)3x−1 1+5x·25x 1+5x·35x   x→0 1 (x−1)2 . 1 25x2 .  1+x 1+(1+x)2 1+(1+x)31+x lim  92  1 1+ x3 ·2 3 x x . 6.30. lim x 1x x→−1 . 1 (1+x)2 . 1+ 3 ·3 3 √ Ответы. 6.16. 1. 6.17. 3. 6.18. 8 6.19. 8 6.20. 1. Задача 7. Вычислить пределы функций. x  5x−2  5   1 cos(2x) 2x−2 x−1 . 7.10. lim2 2 2e 2 −1 7.1. lim cos(2) . x→2 x→ 5  1   1  1x+2 cos(3x) 3x−2 x−2 x−2 7.2. lim2 cos(2) . 7.11. lim 3 2e 3 −1 3 . x→6 x→ 3
15x+2 1 5x−2 −2 5x−2  x−3  . 2e − 1 7.12. lim e cos(x−1) 2 x→ 5 +0 7.3. lim cos(2) . x→3 √
3x+1 2x−2 x−1 1  x−4  7.13. lim . 2 2e − 1 cos(x−2) x→1 7.4. lim cos(2) . 6x+1
2x−1 x→4 4x−2 −8 7.14. lim 2e − 1 e . 1
sinctg(x) x→ +0 3 1 x 2 7.5. lim cos 2 x ( 2 ) .
1 x→4 π 6−x ln(2− 13 x) 7.15. lim x . ctg(6x) x→3 sin(9x) . 7.6. lim 3 cos (3x)  1  x→ 23π cos(5x) −5 x−2 . 7.16. lim cos(2) 3x
3x−1 x→−2/5 3x−1 7.7. lim1 2e −1 .
− 8x x→ 3 7.17. lim 2e−8x−1 − 1 −8 x−1 . x x→−1/8  x−2  1 −36x+2
−12 x−1 . −1 7.8. lim 2e 2 −12x−2 x−2 2e − 1 7.18. lim . x→2 √ x→−1/6  √x 3  1 √
1 x 3−3 1 2+13x ln(2+13x) x 3−1 3 . − 1 3 2e 7.9. lim . − 7.19. lim √ 13 x x→ 3 x→−2/13 74 Лекция 7 7.20. lim x→−1/15 2e−15x−1 − 1  7.21. lim 1 3x 1+e  7.22. lim3 arctg x→3 x→ 2 7.23. lim1 x→ 6 6x+1 2+6x
 sin( 131πx) 1− 3 x 3 2 3 x− 4 2 2 3 x−1 −36x2 +1 1−6 x ( ) .
− −1515xx−1 1+ 32 x . 7.26. lim x→0 7.27. lim x→0 .   x→0 2 1 e9x −1 9 x2 6  2x+1 6  3x+1 . . 7.28. lim  1 2 ! 1 6 2 x+1 4 e 4 x −1 . 7.29. lim  1 2 ! 1 6 3 x+1 9 e 9 x −1 . x2 x→0 .
sin(6πx) 7.24. lim 1 + e6x 6 x . x→0 2
1−(x+1) x+2 − x 7.25. lim 3+x . 2 1 e4x −1 4 x2 x2 x→0 7.30. lim x→0  2 1 e25x −1 25 x2 6  5x+1 . Ответы. 7.16. e-tg2 . 7.17. e2 . 7.18. e16. 7.19. e. 7.20. e2 . Задача 8. Различные задачи. 8.1. Доказать по определению непрерывность функции f (x) в точке x = x0. 1) f (x) = x2 − 1, x0 = 1. 2) f (x) = x2 − 2x, x0 = 0. 3) f (x) = 3x2 + 5, x0 = 2. 4)f (x) = x2 + 2x, x0 = 1. 5)f (x) = x3 − 1, x0 = 1. 8.2. Вычислить пределы функций. p 1) lim 5 cos 3x + x2 arctg (1/x). x→0 q 7x 2) lim 5 sin 2x + (2x − π) sin 2x−π . x → π/2 3) √ 3 tg3x+(4x−π) cos 5x 4x−π . lim ln(2+tgx) x → π/4 4) lim x → −2 5) lim x→0 q q 1+cos πx 3x . 4+(2x+4) sin x+2 5 5 cos 2x + sin 3x · ln (1 + 7x). 8.3. Доказать принадлежность функции f (x) к классу O (1) (x → 2) . 2 ; 1) f (x) = 2x − 1; 2)f (x) = 3x + 1; 3) f (x) = (x − 2) sin x−2 5 3 4) f (x) = (x − 2) cos x−2 ; 5) f (x) = cos x−2 . 8.4. Доказать принадлежность функции f (x) к классу o (x) (x → 0) . 75 Теоретические упражнения
1) f (x) = x3 − 2x2; 2)f (x) = (x + 1) sin x2 ;
3) f (x) = (2x + 1) sin x2 (x + 3) ;
4) f (x) = x · arcsin 4x; 5) f (x) = x · arctg x2 − 2x . Теоретические упражнения 1. Доказать, что если lim an = a , то lim |an | = |a| . Вытекает ли из сущеn→∞ n→∞ ствования lim |an | существование lim an ? n→∞ n→∞ У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство ||b| − |a|| ≤ |b − a| . 2. Доказать, что последовательность {n2 } расходится. 3. Сформулировать на языке « ε − δ » утверждение: «Число A не является пределом в точке x0 функции f (x) , определенной в окрестности точки x0 ». 4. Доказать, что если f (x) непрерывная функция, F (x) = |f (x)| есь также непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение? 5. Сформулировать на языке « ε − δ » утверждение: «Функция f (x) , определенная в окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке». 6. Пусть lim f (x) 6= 0 , а lim ϕ (x) не существует. Доказать, что lim f (x) ϕ (x) x → x0 x → x0 x → x0 не существует. У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного. 1. Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ (x) не имеет предела. Будут ли существовать пределы: 1) lim [f (x) + ϕ (x)] ; 2) lim f (x) ϕ (x) ? x → x0 x → x0 Рассмотреть пример: lim x sin x1 . x→0 1. Пусть lim f (x) 6= 0 , а функция ϕ (x) бесконечно большая при x → x → x0 x0 . Доказать, что произведение f (x) ϕ (x) является бесконечно большой функцией при x → x0 . 2. Является ли бесконечно большой при x → 0 функция 1 x cos x1 ? 3. Пусть α′ (x) ∼ α (x) и β ′ (x) ∼ β (x) при x → x0 . Доказать, что если ′ (x) lim αβ ′ (x) не существует, то lim α(x) тоже не существует. β(x) x → x0 x → x0 §2. Дифференцирование. Задачи Задача 1. Исходя производной, найти f ′ (0) . ( из определения

1 arcsin 9x2 cos 27x + 2x, x 6= 0, 1.1. f (x) = 0, x = 0. (

2 arcsin 49 x2 cos 27x + x, x 6= 0, 1.2. f (x) = 0, x = 0. (

10 1 arcsin 25x2 cos 45x + 3 x, 1.3. f (x) = 0, x = 0. (

14 1 arcsin 49x2 cos 63x + 3 x, 1.4. f (x) = 0, x = 0. (

8 2 1 + 3x , arcsin 16x4 cos 36x 2 1.5. f (x) = 0, x = 0. (


ln 1 − sin 64x6 sin 4x1 2 , 1.6. f (x) = 0, x = 0. (


1 ln 1 − sin 125x3 sin 5x , 1.7. f (x) = 0, x = 0. (


1 ln 1 − sin 8x3 sin 2x , 1.8. f (x) = 0, x = 0. (


1 ln 1 − sin 343x3 sin 7x , 1.9. f (x) = 0, x = 0. (


ln 1 − sin 8x6 sin 2x1 2 , 1.10. f (x) = 0, x = 0. (
1 −42x + 7x sin 7x , 1.11. f (x) = 0, x = 0. (
2x2 + 31 x2 sin x32 , 1.12. f (x) = 0, x = 0. (
3 4 1 4 4 x + x sin 4 2 4 x , 1.13. f (x) = 0, x = 0. Задачи ( 77 4 1 8 3 4 x sin( x4 ) − 1 + x4, 1.14. f (x) = 0, x = 0. ( 2 6 39x sin( 3x3 ) − 1 + 6x3, 1.15. f (x) = 0, x = 0.     20 1   arcsin 100x2 cos − x, x 6= 0, 90x 3 1.16. f (x) =   0, x = 0.        ln 1 − sin 512x3 sin 1 , x 6= 0, 8x 1.17. f (x) =   0, x = 0.      1   ln 1 − sin 3375x3 sin , x 6= 0, 15x 1.18. f (x) =   0, x = 0. ( 2 2 3−225x sin( 15x ) − 1 − 30 x, x 6= 0, 1.19. f (x) = 0, x = 0.      − 66x + 11x sin 1 , x 6= 0, 11x 1.20. f (x) =   0, x = 0. Исследовать на дифференцируемость функцию в указанных точках. 1.21. |x2 − 2x|; x = 0, x = 2. 1.22. |x2 − 7x + 10|; x = 2, x = 5. 1.23. |x3 − 10x2 + 16x|; x = 0, x = 2, x = 8. 1.24. | sin 2x|; x = π/2. x−1 ; x = 1. 1.25. 2x+1 1.26. x2 −3x x2 +1 1.27. x2 −5x+4 x2 −2x+2 1.28. ; x = 0, x = 3. ; x = 1, x = 4. 2x2 −5x+2 2x2 −2x+1 ; x = 12 , x = 2. 1.29. x2 −x−2 x2 +2x+2 1.30. 9x2 −15x+4 9x2 −6x+2 ; x = −1, x = 2. ; x = 13 , x = 34 . 78 Дифференцирование Ответы. 1.16-1.20. 0. Задача 2. Найти производную функции. 81x4 −72x2 18x2 −8 . 1 4 x −2x2 2.2. y = 161 x2 −8 . 2 81 4 2 16 x −18x 2.3. y = 9 x2 −8 . 2 √ 2 2 1 (50x −1) 25x +1 . 2.4. y = 375 x√3 2 2 1 (18x −1) 9x +1 2.5. y = 81 . 3 x√ 4 4 1 (8x −1) 4x +1 2.6. y = 24 . x√6 6 6 (2x −1) x +1 2.7. y = 13 . x9 √ 2 2 (2x +8x+7) x +4x+5 . 2.8. y = 13 3 (x+2) √ (2x2 −4x+1) x2 −2x+2 2.9. y = 13 . 3 √ (x−1) 5x−1(15x+2) 1 . 2.10. y = 100 x2 2.1. y = √ 1 −3x−1(−9x+2) . 36√ x2 x(3x+5) y = 41 (x+1) 2 . √ y = 41 2x−2(6x−1) . 2 (2x−1) 4 2 1 3x6 +4x √ −x −2 . y = 15 x2 +1 4 −4x2 −2 1 192x6 +64x √ y = 15 . 4x2 +1 4 −648x2 y = 6561x 162x2 −8 . √ 2 2 1 (98x −1) 49x +1 y = − 1029 . x3 √ −21x−1(−63x+2) 1 . y = 1764 x2 6 4 2 −4x −2 1 192x +64x √ y = 15 4x2 +1 4 −8(x−1)2 y = (x−1) . 2 2(x−1) −8 2.11. y = 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. Найти производную функции y = y(x) в точке x = 0. 2.21. y = 2.22. y = 2.23. y = 2 sin 3x+2 √2 . 3x−5x+2 2 3x +3x+2 √e . cos 3πx+2 log3 (5x2 +2x+4) √ . 3x−4x+5 2.24. y = 2.25. y = 2.26. y = x ln(3x+2 +4) √ . 2 3x +3x+5 arccos 21x+2 √ . 1−4x+2x2 9sin2 (x)−24 sin(x) . 6 sin(x)−8 Найти производную функции y = y(x) в произвольной точке x. 2.27. y = 2.28. y = 625ln4 (x)−200ln2 (x) . 50ln2 (x)−8√ 2 2 1 (2cos (x)−1) cos (x)+1 . 3 3 cos (x) 2.29. y = 2.30. y = 81x(6561x4 −648x2+32) √ 2 2 1 (242x −1) 121x +1 − 3993 . x3 √√ √ 6 x−1(18 x+2) 1 . 144 x . 2.17. − 343x4√149x2+1 . √ 1 √1323x2 −8 . 2.19. 16 4x2 + 1 · x3. 2.18. − 3528 −21x−1x3 (x−1)(x4 −4x3 −2x2 +12x+25) 2.20. . 2 2 (x+1) (x−3) Ответы. 2.16. 2 (81x2 −4) Задача 3. Найти дифференциал dy . Задачи 79 √
√ = 2x ln 2x + 4x2 + 3 − 4x2 + 3. √
√ = x2 ln x2 + x4 + 3 − x4 + 3. √
√ = x3 ln x3 + x6 + 3 − x6 + 3.
√ √ √ √ = x ln  x + x + 3 − x + 3. √ √ 3.5. y = x1/3 ln x1/3 + x2/3 + 3 − x2/3 + 3.  √  2 1 (9x −1) 2 3.6. y = arccos 18 . x2  √  6 1 (x −1) 2 . 3.7. y = arccos 2 x6   4 1 (x −1) 3.8. y = arccos 2 x4 .  2  3.9. y = tg 9x3x−1 .  2  3.10. y = tg x 2x−4 . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. y y y y 3.11. y = 3.12. y = 3.13. y = √ 2 −1 arctg 1+4x . 2x 2 x −9 arccos √x4 +81 . q 3 3x+2 3x−2 .
arctg tg 3x + 1 . 2 3.14. y = 3.15. y = arctg (sh 3x) + + (sh 3x) ln (ch 3x). √  2 1 (9x −1) 2 3.17. y = arccos 18 . x2   1 25x2 −1 . 3.18. y = − tg 5 x   p 2 3.19. y = −4x ln 4x − 16x + 3 − p − 16x2 + 3.   p 2 3.16. y = −4x ln 4x − 16x + 3 − p − 16x2 + 3.  √  2 1 (144x −1) 2 3.20. y = arccos 288 . x2 Используя логарифмическое дифференцирование, найти производные следующих функций (без упрощения выражения для производной): 80 Дифференцирование 3.21. y = 3.22. y = 3.23. y = 3.24. y = 3.25. y = r 7 r √ tg2 (x+1) 5 7x+1 2 3 (x+1)((x+1) +5) ln(x+1) . √ ln3 (x+1)·cos(x+1) . 5√ (x+2) 3 8−3x r √ 2 6 (x+1) sin(x+1) x+5 4 (x+1) (x+2)3 √ . ln5 (x+1) r √ arctg2 (x+1) x+9 9 . 7 4 (x+1) (3x+1) ln(x+1) r √ 3 8 (x+1)ln (x+1) x+9 . (ctgx+1)(2x+5)5 Найти производную функции y = y(x) в произвольной точке x.   √ √ √ 2 x−2 x−1 +27e +11 . 3.26. y = ln e x−1 + 1 + 18e √ 3 x−1 +1) 6(e   √ 1 (25x−1) 2 3.27. y = arccos 50 .  √ x √ √ x+3 2 x+6 +11 3.28. y = ln e x+3 + 1 + 18e √+27e . 3 6(e x+3 +1)  √  2 −1 (5 x+1) √ 3.29. y = tg .  √5 x+12  −1 √ . 3.30. y = tg (7 7x−1) x−1 √
Ответы. 3.16. −4 ln −4x + 16x2 + 3 dx. 3.17. − x√81x2dx 4 +18x2 −1 . 2 2 +1 1 (25x +1)dx 2dx √ 3.18. − 15 2 25x dx. 3.19. − 2 1 25x −1 5 x2 cos2 ( 1 25x2 −1 ) . 3.20. − x 20736x4 +288x2−1 . x cos2 ( 5 x ) 5 x Задача 4. Найти√производную функции. 3 (1+x2 ) 4.1. y = ln (x) + 3x3 .
6 3 √ −128 . 4.2. y = sin 3 x2 + 1 + x +8x 8−x3 √
2x+3(x−2) . 4.3. y = cos x3 + 2x + x2 √ 2 2 1 (18x +3) 9x −3 . 4.4. y = 243 x3 √  1/3 2 2 2x+1 1 (2 ln(x) +3) ln(x) −3 4.9. 3 (2x−1)2 . 4.5. 9 . 3 ln(x) 4.6. y = √ e4x −3 4x 1 (2e +3) 9 (e2x )3 1/3 4.7. 4.8. 3(9x2 +3x+1) . y= 3x+1 1/3  x y = 3 (x−2)2 . . 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. √ 27x+3 √ y = 81x2+2x . . y = 6√4x2x+7 2 +4x+7 √ 2x+1 y = 4xx 2 +4x+1 . 2 +2 y = 2√9x1−81x 4. 81 Задачи 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. 4.18. 4.19. 4.20. 4.21. 4.22. √ (5x+3) 10x−1 . y= √10x+7 6x+ 2x y = √4x2 +2 . √ 2 2 1 (98x +3) 49x −3 y = − 3087 . 3 x 1/3 2 3(36x −6x+1) . y=  −6 x+1 1/3 −7x+1 . y = 3 (−7x−1) 2 √ x √ y = 12x+2 . 16x2 +2 √ 2 2 1 (50x +3) 25x −3 y = − 1125 . 3 x√ p 4 y = log2 arccos 1 − 38x+1. 1√ y= . √ log4 arccos 2 2x+1 Ответы. 4.16. − 343x4√349x2 −3 . 4.17. 4.19. √ −8x2 +12√ x+1 √ . x(8x2 +1) 16x2 +2 p √ 5 4.23. y = log63 arctg 2x2 − 1. 10 4.24.y = q √ 125 . 3 ln (arccos 2x+1) q
32 √ 4.25. 5 ln arcctg 2x + 1 − 1 .  4  1 x 4.26. y = 4(1+x4 ) + ln 1+x . 4 √ 2 2 1 (72x +3) 36x −3 . 4.27. y = − 1944 3 x√ 4 2 4 2 (2x +20x +53) x +10x +22 4.28. y = . 3 9(x2 +5) 1/3  √ 6 x+1+1 . 4.29. y = 3 √ 2 (6 x+1−1 )  1 81x2 4.30. y = 324x2+4 + ln 81x2 +1 . 12(18x2 +1) 2/3 2 (36x2 −6x+1) (6x−1) . 4.18. 7(7x−3) 2/3 . (7x+1)(−49x2 +1) 4.20. − 125x4√325x2 −3 . Задача 5. Найти производную функции.
sh(x+1) 5.1. y = x2 + 2x .
5.2. y = x4 + 4x3 + 6x2 + + (4x + 6)ctg(x+1) . 5.3. y = (sin (x + 1))3x+3 .
cos(x+1) 5.4. y = x2 + 2x + 2 . 19 5.5. y = 19(x+1) (x + 1)19 . x+1 5.6. y = (x + 1)3 2x+1.
3x+1 x3 +1 5.7. y = x2 + 1 ·2 . 5 5 5.8. y = (sin (x + 1)) 2 x+ 2 .
cos(x+1) 5.9. y = x2 + 2x + 2 . 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. y y y y y y cos(x+1) = (x + 1)e . 2x+1 x+1 = (x + 1) 5 . esin(3x) = (3x) . 1 = (tg (3x)) 4 ln(tg(3x)) .
tg(3x) = 6561x8 + 1 . 3x = 19683 (3x)e x9.
ln(x) 5.16. y = x2 + 1 . 2 5.17. y = (ln (x) + x)x .
cos(x) 5.18. y = sin (x) + x2 .
cos(3x) . 5.19. y = sin (3x) + 9x2  ln(x+1) . 5.20. y = (x + 1)2 + 1 3x √
sin 2 5.21. y = 4 3x + 1 . cos5 3x 5.22. y = x · (arcsin 3x)4x .
sin 2x 3 5.23. y = 3x2 + 1 ·(cos 3x)3x .
ln x 5.24. y = 3x4 − 1 .
6x 3x . 5.25. y = sin 5
cos(3x)−x 5.26. y = x3 + ln (x) . 2 5.27. y = (1 + 3 sin (x))x ln(x) .
x2 tg(x) 5.28. y = x2 + e3x . √ 5x+ x . 5.29. y = (x cos (3x) + sin (x))
e√x−1 √ . 5.30.y = 4x + x + 1 82 Дифференцирование
ln(x)  ln(x2 +1) x 2 ln(x)x x2 +1  Ответы. 5.16. x2 + 1 + .   x2 ( x1 +1) x2 5.17. (ln (x) + x) 2x ln (ln (x) + x) + ln(x)+x . 
cos(x)(cos(x)+2x)  2 5.18. y · − sin (x) ln sin (x) + x + . sin(x)+x2  
cos(3x)(3 cos(3x)+18x) 2 5.19. y · −3 sin (3x) ln sin (3x) + 9x + . sin(3x)+9x2    ln(x+1) ln (x+1)2 +1 ( ) ln(x+1)(2x+2) 2 5.20. (x + 1) + 1 + (x+1)2 +1 . x+1 Задача 6. Найти производную функции. p
√ √ 6.1. y = (4 + 2x) (1 + 2x) + 3 ln 4 + 2x + 1 + 2x . √ √
√ 1 (8x + 3) 17 . 6.2. y = −8x2 − 6x + 1 + 43 2 arcsin 17 p
√ √ 6.3. y = (4 + 6x) (1 + 6x) + 3 ln 4 + 6x + 1 + 6x .
arcsin(2x) 1−2x 1 6.4. y = √ . ln + 2 1+2x −4x2 +1  √ √  √ √ 1 4x2 +2 1 2+ 4x2 +2 1 6.5. y = 4 x2 − 2 2 ln 2 . x
√ √ 6.6. y = (2 + 12x) 4x − 1 − 32 arctg 4x − 1 .

√ √ 1 + 4x+ ln 1 +4x + 1 . 6.7. y = 43 x − 32 √ √ 2 +1−4x 6.8. y = 16x2 + 1 − 21 ln √16x . 16x2 +1+4x

√ √ 1 + 4x +ln 1 + 4x + 1 6.9. y = 34 x − 32  . √ √ 2 +1−12x 6.10. y = 144x2 + 1 − 12 ln √144x . 144x2 +1+12x
√ √ 6.11. y = (2 + 15x) 5x − 1− 32 arctan  5x − 1 . √ √ 2 +1−5x 6.12. y = 25x2 + 1 − 21 ln √25x . 25x2 +1+1

√ √ 1 + 5x + ln 1 + 5x + 1 . 6.13. y = 53 x − 32 √
6.14. y = arctan 25x2 − 1 − √ln(5x) .  √ 25x2 −1  √ 2 +1−15 x 225 x 2 6.15.y = 225 x + 1 − 1/2 ln √225 x2+1+1 .

√ √ −2x + 1 + ln −2x + 1 + 1 . 6.16. y = − 23 x − 32 √
ln(−2x) . 6.17. y = arctg 4x2 − 1 − √  √ 4x2 −1  √ 2 +1+6x 6.18. y = 36x2 + 1 − 12 ln √36x . 36x2 +1+1
3x+1 √ . 6.19. y = − arcsin(3x) + 12 ln −3x+1 −9x2 +1
1−x √ 6.20. y = arcsin(x) . + 21 ln x+1 −x2√ +1 6.21. y = 2x−1 2 + x − x2 + 89 arcsin 2x−1 4 3 . Задачи 83 √ 1 1 x2 2 ln( 3 x+ 3 ) −x2 + 1 − √−x . + 1 2 +1 3 1 3
1 x32x+ √ √ 6.23. y = 2x arcsin x − 1 + 2 √x−1+1 . 2−x 3(x4 +1) 6.24. y = 4x3 arctg (3x + 1) + 1+(3x+1)2 . 5(x3 +1) . 6.25. y = 3x2 arccos (5x + 1) − √ 2 1−(5x+1)
√ √ . 6.26. y = (2 + 21 x) 7 x − 1 − 3/2 arctan 7 x − 1  

−1 7 x−1 2 6.27. y = 1/3 ln 1+7 arctan (7 x) . x − 1/4 + 98 x − 2
√ √ 6.28. y = (7/3 x − 2/3) 1 + 7 x + ln 1 + 7x + 1 . √ √ x2 +1−21 x 2 6.29. y = 441 x + 1 − 1/2 ln √441 . 441 x2 +1+1 √
x) 6.30. y = arctan 49 x2 − 1 − √ln(7 . 2 49 x −1 √ √ √ 3(12x 36x2 +1− 36x2 +1+18x−1) 4 ln(−2x)x 2x −2x+1+2x−1 √ √ Ответы. 6.16. √−2x+1 √−2x+1+1 . 6.17. 2 3/2 . 6.18. 36x2 +1( 36x2 +1+1) (4x −1) ( ) 6.20. arcsin(x)x 6.19. − 9 arcsin(3x)x 3/2 . 3/2 . 2 2 6.22. y = (−9x +1) (−x +1) Задача 7. Найти производную n -го порядка. 7.1. y = sin (10x) + cos (1 + 5x) . 2x+1 7.2. y = 5xe15x. 7.18. y = 3x− 1.
1/5 7.3. y = e35x−1 . 7.19. y = (2 x + 1) · ex . 20x+7 7.4. y = 10x+3 7.20. y = sin (10x) . 5x . + cos (1 + 5x) . 7.5. y = 4+30x 3 7.6. y = a15x . 7.21. y = 34−7x + 5x2 −14x+9 . ln(4+5x) 7.7. y = ln(10) . 7.22. y = sin (5x + 1)
√ − ln 9x2−2x − 11 . 7.8. y = 5 x. 3 10x+5 7.23. y = 7x2 −5x−18 + e1−6x . . 7.9. y = 13+195x q 2n+9 7.10. y = (x + 1) e3x+3. (7x + 5) 7.24. y =
1/5 . 7.11. y = e7x+6 − sin 5x sin 2x 4x+11 1 7.12. y = 2x+5 . 7.25. y = sin3 x + 8x2 −7x−1 . √ 7.13. y = x + 1. 7.26.y = − sin (10x) 7.14. y = sin (2x + 2) + + cos (5x − 1) . −20x+7 + cos (2 + x) . . 7.27.y = −10x+3 2x+7 7.15. y = 52+39x . 7.28.y = ln(−25x+2) ln(10) . x
1/5 7.16. y = e · sin ( x) . . 7.29.y = e−35x−1 x 7.17. y = e · cos (x) . −10x+5 7.30.y = −195x+13 . + − − + 84 Дифференцирование
1 Ответы. 7.16. ex 2 2 n sin x + 41 nπ .
1 7.17. ex 2 2 n cos x + 41 nπ . −1+n −1+n n!3 7.18. − 5(−1) 1+n (3x−1) . 7.19. (2n + 2x + 1) ex .

7.20. sin 10x + 21 nπ 10n + cos 1 + 5x + 12 nπ 5n. Задача yx′ . ( 8. Найти производную
2 x = 1 + cos2 3t , 8.1. cos 3t y = sin . 2 3t ( 2 , x = ln 1−t √ 1+t 8.2. y = 1 − t4 . ( 1 , x = arccos t+1 √ 8.3. 1 y = t2 + 2t + arcsin t+1 . ( x = ln15t , √ 8.4. 2 . y = ln 1+ 1−25t 5t ( √ x=p arcsin t − 1, √ 8.5. y = 1 + t − 1. (
2 x = arcsin t3 , 5.6. t3 y = √1−t 6. ( √ 2 + 1, x = 2t 4t √ 8.7. 2 y = ln 1+ 2t1+4t . ( x = arctg 5t, √ 8.8. 2 . y = ln 1+25t 5t+1 (
x = ln −t2 − 2t , √ 8.9. y = arcsin −t2 − 2t. ( 2t+1 , x = arctg 2t−1 √ 8.10. y = arcsin 1 − 4t2 . q ( 2t , x = ln 1−sin 1+sin 2t 8.11. y = 21 tg2 2t + ln cos 2t. Задачи √ q 8.12. ( y= 8.13. ( x = ln (tg 3t) , y = sin12 3t . 8.14. ( x= y= 8.15. ( 8.16. ( x=e , y = tg 2t · ln cos 2t + tg 2t − 2t. x= √ 2t − 2t − 9t2 ln 3t 1−9t2 √ 3t 1−9t2 sec2 2t 4t2 − arctg 1−2t 2t , √ √ 1 − 2t arcsin 2t. √ + ln 1 − 9t2 , √ arcsin 3t + ln 1 − 9t2. x = sin (2 t) , y = e3 t+1. (
x = ln 1 + t2 , p 8.17. y = 1 + t3 .   x = 6 t + 1, 6 t − 1p 8.18.  y = arcsin 1 − 12 t2 .   x = ln (6 t) , 8.19. 1 y = . 2 sin (6 t) ( x = e2 t cos2 (t) , 8.20. y = e2 t sin2 (t) . ( x = 2t + sin (t) , 8.21. y = t4 + cos (t) . ( x = 2t + 6 + sin (t + 3) , 8.22. y = (t + 3)4 + cos (t + 3) . ( x = et + sin (t) ,
8.23. y = ln t4 + cos (t) . ( √ x = t sin (t) ,
8.24. y = ln t4 + cos (t) . ( x = 3t − arcsin (t) , 8.25. y = t2 + arccos (t) . 85 86 Дифференцирование Найти производную от функции y(x), заданной неявно. 8.26. y + arcsin y = (2x + 1)2 . 2 y2 8.27. (2x−1) − = 1. 9 16 8.28. x ln y + y ln (3x) = 1. 8.29. 3xy 2 + 9x2y = 4. 8.30. cos (5xy) + 5xy = 1. √ 2 (t2 +1) cos(6t) 3 t√ 1 √3(6t−1) 3 e3t+1 Ответы. 8.16. 2 cos(2t) . 8.17. 4 t3 +1 . 8.18. 6 −12t2+1 . 8.19. − 12t . sin3 (6t) sin(t)(sin(t)+cos(t)) . 8.20. − cos(t)(sin(t)−cos(t)) Задача 9. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя. x x −x . 9.16. lim ln(x)−x+1 cos 7x+cos 2x . tg 2 10x x→π cos 3x 9.2. lim (3x−π/6 . −1) x→π/6 9.1. lim x→1 −1 9.3.lim (1 − 2 sin x)(1−cos 3x) . x→0 x (cos 4x−1) 9.4.lim e cos 6x−1 . x→π 2 . 9.5. lim esinπx πx3 −1 x→1 √ 3 cos x−1 9.6. lim ln(2−cos 2 x) . x→0
3 x 9.17. lim π2 · arctg (3 x) . x→+∞  1  arcsin(2 x) 4 x2 9.18. lim . 2 x x→0 9.19. 9.20. 9.21. x2 1 − 1) . 9.7. lim (2cos2 2x x→∞ 1+2x 2 −2 9.8. lim (ln(1+3x)) . x→0 9.9. lim √ √ 3 8x8 +1− 3 8x8 +3x+1 . cos2 (1/x) x→+∞ 1−2 sin2 πx 9.10. lim 1−√x 4 . x→1 3 −π 3 )5x 9.11. lim e(x1−cos 2x −1 . x→π 9.12. lim x→π x→1 − 1 ln(x) π·x 9.23. lim (2 − x)tg( 2 ) . x→1
1 9.24. lim x2 2−x . x x→1 9.26. 1−2 sin2 (3x/4) x x−1 x→ 4 x −x . 9.25. lim ln(x)−x+1 . 9.13. lim ln(cos(1/x)) . 2 x→∞ 2√1/x −1 √ 3 3 4 4 x +3x . 9.14. lim x +2x+1− 1/x e −1 x→+∞ 9.15. lim lim (2 − 3x) √ 3 tg(x)−1 limπ cos(2 x) . x→ 31 x→2 ex−π −sin(17π/2)  9.22. 1−cos(9 x2 ) . lim 2 2 x→0 x ·sin(x ) ln(sin(3 x)) . lim ln(sin(5 x)) x→0 tg( 23 πx)  9.27. 9.28. 9.29. 9.30. ln(−242x2 +9) sin(22πx) . x→2/11 310x −75x . lim arcsin(15x)−25x x→0 lim  1 1−x·2−x x2 lim 1−x·3 . −x x→0 2 +x sin(x) . lim x1−cos(x) x→0 2 +5x sin(5x) lim 25x1−cos(5x) . x→0 . Теоретические упражнения 87 Ответы. 9.16. -2 9.17. e−2/π . 9.18. e1/6. 9.19. 81/2. 9.20. 1. Теоретические упражнения 1. Исходя из определения производной, доказать, что (a) а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая; (b) б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная; (c) в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная. 2. Доказать, что если функция f (x) дифференцируема в точке x = 0 и . f (0) = 0 , то f ′ (0) = lim f (x) x x→0 3. Доказать, что производная f ′ (0) не существует, если ( x sin (1/x) , x 6= 0, 4. f (x) = 0, x = 0. 5. Доказать, что производная от функции ( x2 sin (1/x) , x 6= 0, 6. f (x) = 0, x = 0. 7. разрывна в точке x = 0 . 8. Доказать приближенную формулу (a) √ a2 + z ≈ a + z/ (2a), a > 0, |z| ≪ a. 9. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x) + g (x) в точке x = x0 если, в этой точке: 10. а) функция f (x) дифференцируема, а функция g (x) не дифференцируема; 11. б) обе функции f (x) и g (x) не дифференцируемы. 12. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) 6= 0 , а функция g (x) не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение f (x) g (x) является недифференцируемым в точке x0 . 88 Графики 13. Что можно сказать о дифференцируемости произведения f (x) g (x) в предположениях задачи? (a) Рассмотреть примеры: (b) а) f (x) = x, g (x) = |x| , x0 = 0; ( sin (1/x) , x 6= 0, (c) f (x) = x, g (x) = 0, x = 0, x0 = 0; (d) б) f (x) = |x| , g (x) = |x| , x0 = 0; (e) f (x) = |x| , g (x) = |x| + 1, x0 = 0. 14. Найти f ′ (0) , если f (x) = x (x + 1) ... (x + 1234567) . 15. Выразить дифференциал d3 y от сложной функции y [u (x)] через производные от функции y (u) и дифференциалы от функции u (x) . 16. Пусть y (x) и x (y) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить x′′ через y ′ и y ′′ . §3. Графики. Задачи Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка6 . 1.1. y = 8x3 − 6 x. 1.2. y = 16x (−x − 1)4 . 1.3. y = 8x3 + 12x2 − 2. 1.4. y = −2x3 + 9x2 − 12 x. 1.5. y = (2x + 1)2 (2x + 3)2 .
1/3 1.6. y = 1 − x2 − 2x . 1/3  2 1.7. y = −4x + 8 − 6 (−x + 2) . 1.8. y = (x (x + 2))1/3 . 2 1/3 361/3 ((−x−1) ) 1.9. y = 2x2 −4 x+18 .  1/3 2 1.10. y = 3 (−x + 4) + 2x − 8. = −216x3 + 18x. = 54x3 + 81x2 + 36x.
1/3 = 1 − 9x2 + 6x . = −216x3 + 108x2 − 2. 1/3  2 1.15. y = 12x + 8 − 6 (3x + 2) . 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. y y y y 1.16. y = 216x3 − 18 x. 1.17. y = (−6x − 1)2 (−6x − 3)2. √ 1.18. y = 1 − 3 9 x2 − 6 x. 1.19. y = −2x3 + 9x2 − 12 x. p 1.20. y = 3 −x (−x − 2). 1.21. y = 8 x3 − 24x2 + 18x − 2. 1.22. y = −2 x3 + 15x2 − 36 x + 23. 1.23. y = (2x − 1)2 (2x + 1)2. √ 1.24. y = 3 x2 − 1. 1.25. y = 8x3 − 12x2 + 2. 8 3 1.26. y = 2 x − 27 x. 6 Здесь и всюду далее ответы к последним пяти номерам см. в конце расчета. 90 Задачи 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. y y y y 8 3 = 4/3 x2 − 27 x − 2. 2 3 = 27 x + x2 + 4 x. 2 3 = 27 x + x2 + 4 x. p = 1 − 3 1/9 x2 + 2/3 x. Задача 2. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков. 2.1. y = 6 e2x − 8x3 − 12x2 − 12x − 5, x0 = 0. 2.2. y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1. 2.3. y = cos (2x − 1)2 + 4x2 − 4x, x0 = 21 . 2.4. y = 6 e2x+1 − 8x3 − 24x2 − 30x − 16, x0 = − 21 . 2.5. y = 4 x2 − 2e2x−1, x0 = 12 . 2.6. y = sin (2x) + sh (2x) − 4x, x0 = 0. 2.7. y = 4 x2 − 4x − 2e2x−2, x0 = 1. 2.8. y = 4 x2 − 8x + cos (2x − 2)2 , x0 = 1. 2.9. y = 6e−x + x3 − 3x2 + 6x − 5, x0 = 0. 2.10. y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2. 2.11. y = cos (x + 1)2 + x2 + 2x, x0 = −1. 2.12. y = x2 − 2e−x−1, x0 = −1. 2.13. y = x2 + 2x − 2e−x−2, x0 = −2. 2.14. y = x2 + 4x + cos (x + 2)2 , x0 = −2. 2.15. y = − sin (x) − sh (x) + 2x, x0 = 0. 1 2.16. y = 6e 2 x − 81 x3 − 34 x2 − 3 x − 5, x0 = 0. 1 2.17. y = 41 x2 − x − 2e 2 x−2 , x0 = 4.

2.18. y = sin 12 x + sh 21 x − x, x0 = 0. 1 2.19. y = 14 x2 − 2e 2 x−1 , x0 = 2.
2 2.20. y = 41 x2 − 2x + cos 21 x − 2 , x0 = 4. 3 2.21. y = 6e 2 x − 27 x3 − 27 x2 − 9 x − 5, x0 = 0. 8 4 3 2.22. y = 49 x2 − 3x − 2e 2 x−2 , x0 = 34 .
2 2.23. y = cos 32 x − 1 + 49 x2 − 3 x, x0 = 23 . 3 2.24. y = 94 x2 − 2e 2 x−1 , x0 = 23 . 3 2.25. y = 49 x2 − 3x − 2e 2 x−2 , x0 = 34 . 2.26. y = 6e−2x + 8x3 − 12x2 + 12x − 5, x0 = 0. 91 Графики 2.27. 2.28. 2.29. 2.30. y y y y = 4x2 + 4x − 2e−2x−2, x0 = −1. = 4x2 − 2e−2x−1, x0 = −1/2. = − sin (5x) − sh (5x) + 10x, x0 = 0. = cos (5x + 1)2 + 25x2 + 10x + 1, x0 = −1/5. Задача 3. Найти асимптоты и построить графики функций. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 2 +7 . y = −3x 7x+3 54x3 −27x2 −6x+1 y= . −27x2 +1 3 2 −9x−1 y = 27x +9x . 18x2 −2 2 −7 . y = 27x 6x+1 2 −1 y = √18x . 9x2 −2 2 +18x+9 3.6. y = 9x 3x+4 . 2 −9x −8 . 3.7. y = √ 9x2 −4 2 3.8. y = √9x81x+16 2 −8 . 2 +21 3.9. y = −4x −14 x+9 . 2 −7 3.10. y = 12x −4x+1 . 2 3.11. y = √8x4x2−1 . −2 2 3.12. y = 4x−2−12x+9 x+4 . 2 √ −4 . 3.13. y = −2x x2 −1 2 . 3.14. y = √2x9x2+8 −2 3 2 +6x−1 3.15. y = −8x +4x . 2 8x −2 −4x2 +21 . −14 x+9 27x2 −7 6x+1 . 18x2 −1 √ . 9x2 −2 2 −9x −8 y=√ . 9x2 −4 3 2 −9x−1 y = 27x +9x . 18x2 −2 3 y = 1+x1 x4 . 16 3 1 (−3+x) y = − 27 2 . 2 −20x y = x5x+2 . 2 y = x −4x−4 x+3 . 2 −5x+6 y = x 3x−1 . 2 x +21 y = −25 35 x+9 . x2 −7 y = 75 10 x+1 . x2 +16 . y = √25225 x2 −8 2 x+9 y = 25 x5+30 . x+4 2 −25 x −8 . y=√ 25 x2 −4 3.16. y = 3.17. y = 3.18. y = 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. Задача 4. Провести полное исследование функции и построить её график. 5x−3 4.1. y = e5x−3 .
. 4.2. y = ln 5x+6 5x
4.3. y = 2 ln 5x−1 + 1. 5x 4.4. y = (10x + 5) e−10x−4. p 4.5. y = 3 (2 − 5x) (25x2 − 20x + 1). p 4.6.y = 3 (5x + 1) (25x2 + 10x − 2). p 4.7.y = 3 (5x − 3) (25x2 − 30x + 6). 92 Задачи 4.8.y = q 251/3 4.9.y = p 3 (3 + 5x)qx2. (5x − 2)2 − 3 3 −x−3 (5x − 3)2 . e 4.10. y = −x−3 .
− 1. 4.11. y = ln − −x+6 x 4.12. y = (−2x + 5) e2x−4. p 4.13.y = 3 (x + 2) (x2 + 4x + 1). p 4.14.y = 3 (3 − x) x2.
+ 1. 4.15. y = 2 ln − −x−1 x 2x−3 4.16. y = e2x−3 . 4.17. y = (4x + 5) e−4 x−4.
+ 1. 4.18. y = 2 ln 21 2x−1 x p 3 4.19. y = (2x + 1) (4x2 + 4x − 2). p 4.20. y = 41/3 3 (2x + 3) x2. 2 4.21. y = e 3 x−3 2 3 x−3 4.22. y = ln  4.23. y = 2 ln 4.24. 4.25. 4.26. 4.27. 4.28. 4.29. . 3 2  · 3 2 2 3 x+6 x ·  2 3 x−1 −1  + 1.
x x2 −3 y = −x + 4 e .
3 y = −x3 + 4 ex −3. 7 x−3 y = 7e x−3 .
y = 2 ln 7x−1 + 1. 7 x y = (14 x + 5) e−14 x−4. p √ 3 y=q 49 3 (7 x + 3)q x2 . 2 4.30. y = 3 (7 x − 2)2 − 3 (7 x − 3)2 . Задача 5. Провести полное исследование функций и построить их графики. 5.1. y = 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 1 sin(2x)−cos(2x) . sin(2x)−cos(2x) y=e . p y = 3 sin (2x). y = − arctg (cos (2x)) . √
y = ln 2 sin (2x) . 1 5.6. y = sin(x+1)−cos(x+1) . 5.7. y = − arctg (cos (x + 1)) . p 5.8. y = 3 sin (x + 1). √
5.9. y = ln 2 sin (x + 1) . 5.10. y = esin(x+1)−cos(x+1) . Теоретические упражнения 5.11. y = 5.12. y = 1 . sin( 12 x)−cos( 21 x)
sin1/3 12 x . sin( 12 x)−cos( 12 x) 5.13. y = e .

5.14. y = − arctg cos 12 x . √

5.15. y = ln 2 sin 12 x . 1 . 5.16. y = sin(3x)−cos(3x) 5.17. y = esin(3x)−cos(3x) . p 5.18. y = 3 sin (3x). 5.19. y = − arctg (cos (3x)) . √
5.20. y = ln 2 sin (3x) . 93

5.21. y = arctg sin 32 x . 3 3 5.22. y = esin( 2 x)−cos( 2 x) . √
5.23. y = ln − 23 2 cos x .

5.24. y = − arctg cos 23 x . √

5.25. y = ln 2 sin 32 x . 5.26 y = arctg (sin (5 x)) . 5.27. y = esin(5 x)−cos(5 x) . 5.28. y = arctg (sin (7 x)) . 5.29. y = − arctg (cos (7 x)) . √
5.30. y = ln 2 sin (7 x) . Теоретические упражнения 1. Доказать, h i что hфункцияi f (x) = x − sin x монотонно возрастает на отрезке: а) 0, 2π ; б) 0, 4π Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной? 2. hДоказать i теорему: если функции  ϕ (x) и ψ (x) дифференцируемы на от′ ′ резке a, b и ϕ (x) > ψ (x) ∀x ∈ a, b , а ϕ (a) = ψ (a) , то ϕ (x) > ψ (x)  i ∀x ∈ a, b . Дать геометрическую интерпретацию теоремы. У к а з а н и е. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции f (x) = ϕ (x) − ψ (x) . 3. Доказать i 2x/π < sin x для трех случаев:  неравенство а) ∀x ∈ 0, arccos π2 h ;  arccos π2 , π2 ;  в) ∀x ∈ 0, π2 . Дать геометрическую интерпретацию неравенства. 4. Исходя минимума и максимума, доказать, что функция ( из определений −1/x2 , x 6= 0, e f (x) = 0, x=0 имеет в ( точке x = 0 минимум, а функция 2 xe−1/x , x 6= 0, f (x) = 0, x=0 не имеет в точке x = 0 экстремума. б) ∀x ∈  94 Теоретические упражнения 5. Исследовать на экстремум в точке x0 функцию f (x) = (x − x0 )n ϕ (x) , считая, что производная ϕ′ (x) не существует, но функция ϕ (x) непрерывна в точке x0 и ϕ (x0 ) 6= 0 , n .— натуральное число. 6. Исследовать знаки максимума и минимума функции x3 − 3x + q и выяснить условия, при которых уравнение x3 − 3x + q = 0 имеет а) три различных действительных корня; б) один действительный корень. 7. Определить «отклонение от нуля» многочлена p (x) = 6x3 − 27x2 + 36x − 14 h i на отрезке 0, 3 , т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции |p (x)| . 8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функ- ции. §4. Интегрирование. Задачи Задача 1. Вычислить интегралы. R R 1.1. (15x − 2) e9x dx. 1.16. (−25x − 2) e−15 x dx. R

R 1.2. ln 9x2 + 4 dx. 1.17. ln 25x2 + 4 dx. R R 1.3. (2 − 12x) sin (6x) dx. 1.18. (−15x − 2) cos (25x) dx.
R R 1.4. ln 36x2 + 1 dx. 1.19. cos25x(5x) dx. R
R √ 3x 1.5. dx. −20x − 1 dx. 1.20. arctg 2
R cos (3x)√ R 9 x 1.6. arctg 12x − 1 dx. 1.21. (3x − 2) e 5 dx R
R 9 2 1.7. (9x − 2) cos (15x) dx. x + 4 dx. 1.22. ln 25 R

R 6 1.8. 3x sin2 (3x) dx. x sin x dx. 1.23. 2 − 12 5 5 R R
36 2 1.9. (5x + 3) e3x+3dx. 1.24. ln 25 x + 1 dx.
R R
√ 1.10. ln x2 + 2x + 5 dx 1.25. arctg 51 60x − 25 dx R
2 R 1.11. (3x + 1) cos (5x + 5) dx. 1.26. x 15x2 − 2 e9x dx. R
R 1.12. cosx+1 1.27. x ln 9x4 + 4 dx. 2 (x+1) dx.
R
R √ 1.28. 3x3sin2 3x2 dx. 1.13. arctg 4x + 3 dx.

R R
1.29. x 9x2 − 2 cos 15x2 dx. 1.14. ln 4x2 + 8x + 5 dx. R R
3 1.15. (x + 1) cos2 (x + 1) − 1 dx. 1.30. cos3x 2 (3x2 ) dx. 1 −15x e (75x + 11) + C. Ответы. 1.16. 45

2 1.17. x ln 25x + 4 − 2x + 54 arctan 52 x + C. 3 2 1.18. − 125 cos (25x) − 35 sin (25x) x − 25 sin (25x) + C. 1.19. x tg (5x) + 51 ln (cos (5x)) + C.
√ √ 1 1.20. arctg −20x − 1 x + 20 −20x − 1 + C. Задача 2. Вычислить интегралы. R √1 dx. 2.1. x 9x2 +1 2 R 9x +ln(9x2 ) dx. 2.2. x R sin(3x)−cos(3x) 2.3. (cos(3x)+sin(3x))5 dx. R 2.4. tg (3x) ln (cos (3x)) dx. R tg(3x+1) 2.5. cos 2 (3x+1) dx. R 3 2.6. (9x2x+1)2 dx. R 2( 14 x2 +ln( 41 x2 )) dx x R 3 2.8. (25xx2 +1)2 dx. R 2(arccos3 ( 12 x)−1) √ 2.9. dx. −x2 +4 R x− 4 x dx. 2.10. √x2 +4 R x3 2.11. 2 dx. 1 2 ( 4 x +1) 2.7. 96 Задачи R 2.12. sin( 21 x)−cos( 12 x) 5 dx. cos 1 x +sin 1 x R ( 4( 2 ) ( 2 )) 2.13. x√x2 +4 dx. R dx . 2.14. √x2 −2x+2(x−1) R x(x−2) √ dx. 2.15. (x−1) 2x+2 R 25x2 +ln(25x2 ) 2.16. dx. x R (π−arccos(5x))3 −1 √ dx. 2.17. −25x2 +1 R
2.18. tg (5x) cos2 (5x) dx. R − sin(5x)−cos(5x) 2.19. 5 dx. (cos(5x)−sin(5x)) R −5 √ x+1 dx. 2.20. R 25 x+1 √ 25 dx. 2.21. x 4x2 +25 R 2.22. ( 4 2 4 2 25 x +ln 25 x ) x dx. ) dx. ) R x 2.24. 2 dx. 4 2 x ( 25 +1) R 52 x− 2x5 √ 2.25. dx. 4x2 +25 R 4( 161 x2 +ln( 161 x2 )) dx. 2.26. x R 4(arccos3 ( 14 x)−1) √ dx. 2.27. −x2 +16 R sin( 41 x)−cos( 41 x) 2.28 5 dx. cos( 41 x)+sin( 14 x)) ( R x3 2.29. 2 dx. 1 2 ( 16 x +1) R 4( 41 x− x4 ) √ dx. 2.30. x2 +16
1 2 2 2 + C. Ответы. 2.16. 25 x x + 2 ln (5) ln (x) + ln 2 4 1 2.17. 20 (π − arccos (5x))4 + 15 arccos (5x) + C. 1 cos2 (5x) + C. 2.18. − 10 1 2.19. − 20(cos(5x)−sin(5x)) 4 + C. √ 2 (25 x − 17) 25 x + 1 + C. 2.20. − 375 R 2.23. ( ( tg 52 x+1 cos2 52 x+1 3 Задача 3. Вычислить определённые интегралы. R1 3.1. 3.2. √ R2 √ 3 2 x 16x4 +1 1 −2x− 2x √ 4x2 +1 3.6. dx. 3.7. dx 3.3. R 3.4. 3 − R2 −1 3.5. R1 dx. √ √ 1− −2x dx. −2x(−2x+1) 8x3 4x2 +1 dx. 1+ln(−2x) x dx. tg(2x−1) cos2 (2x−1) dx. 1 3.8. arctg(2x)+2 x 4x2 +1 −e R1 √ 3 2 −1 R R2 3.9. R4 3.10. 3.11. 8 x3 +2 x 16x4 +1 dx. x dx. 1 4 256 x +1 √ 8R 2 x+ 16 √ x dx. x2 +16 √ 4 3 R4 2(1− 21 √x) √ 1 dx. x( 4 x+1) 97 Интегрирование 3.12. 3.13. R1 Re 1 3.14. R1 −1 3.15. R4 3.16. R3 1 3.17. arctg( 41 x)+ 41 x 1 2 16 x +1 tg( 14 x+1) cos2 ( 14 x+1) 1 3 1 64 x + 4 x 1 4 256 x +1 R − 21 1+ln(7 x) dx. x 1 dx. dx. tg(4x+1) cos2 (4x+1) 3.21. R3 3.22. 4+4 ln(− 45 x) x 3.23. dx. dx. Вычислить значения выражений. R1 . (5x − 7) e3x−3 dx + 11 3.26. 9 3.24. √ 3 3 √ 3 3 R R1 √1 3 e 3 3.25. 1 dx. x+ 9 √ x x2 +9 dx 8 R3 R dx. x 1 4 81 x +1 √ dx. √ √2−4 −2x −2x(8x−1) 3.20. R5 1 3 dx. √ √1−2 x x(4x+1) −1 3.18. 3.19. 1 4(1+ln( 14 x)) x −2 R − 21 dx. Re arctg( 31 x)+ 31 x 1 2 9 x +1 (1− 31 √ √ √ 3 x) 3 √ 1 x( 3 x+1) 3+3 ln( 13 x) x dx . 3.27. R3   2 ln (x − 1) + 4 dx − π + 4 arctg R2 x−1 cos2 (x−1) 2 3.28. 3.29. R1 1 3.30. R4 3 1 2
dx. + 2. (6 − 4x) sin (2x − 2) dx + sin (2) − 3 cos (2) . dx − ln (cos (1)) .   2 ln 4(x − 1) + 1 dx + 2 + arctg (4) − arctg (6) . √

5 Ответы. 3.16. 21 ln 13 − arctg (2) + arctg 2 3 . 3.17. 4 ln (5) ln (2) − 6ln2 (2) + 4 ln (2) . 3.18. 0. cos2 ( 9 )−cos2 ( 7 ) 3.19. ln (7) + 32 . 3.20. − 81 cos2 59 cos2 73 . (5) (3) Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы. dx. 98 Задачи 3x3 +9x2 +9x+1 dx. 2 +3x+2) R 3xx(x 5 +15x4 +18x3 −6x2 −21x−16 dx. 4.2. x2 +4x+3 R x5 +4x4 −14x 2 −4x+13 4.3. (x+1)(x−2)(x+3) dx. R x3 −3x2 +4x+2 4.4. 3 dx. R x(x+3)(x−1) 3 +3x2 +4x+4 4.5. 3 dx. R 2x(x+3)(x+1) 3 +6x2 +7x+4 4.6. dx. 3 R x(x+2)(x+1) 3 +7x2 +14x+10 dx. 4.7. 2 (x+2) (x2 +2x+2) R 3x3 +15x2+26x+13 4.8. dx. 2 (x+2) (x2 +2x+3) R 3x 3 2 −9x +9x−5 4.9. x(x2 −3x+2) dx. R 5 4 +8x3 +2x2+4x−3 4.10. x −6x(x−4)(x dx. 2 −1) R x3 −9x2 +28x−26 4.11. dx. 3 (x+1)(x−3) R x(x2 −3x+4) R 4.1. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 3 R R R dx. (x+1)(x−1) 2x3 −6x2 +7x−2 dx. 3 x(x−1) x3 +x2 −2x+2 x2 (x2 −2x+2) dx. 3x3 −3x2 +2x−3 x2 (x2 −2x+3) dx. 4.16. 4.17. 4.18. 4.19. 4.20. 4.21. 4.22. 4.23. 4.24. 4.25. R R R R R R R R R R R 4.26. R 4.27. R 4.28. R 4.29. R 4.30. 12x3 +1 x(4x2 −1) dx. 4x3 +12x2 +13x+3 3 (x−1)(x+1) (4x3 −8x2 +3x−1) 2 dx. dx. (2x−1) (4x2 +1) 96x5 −96x3 +7 dx. x(x−1) 3 2 24x −24x +10x+1 dx. (2x−1)2 (2x2 +1) 3 2 1 24x +36x +18x+1 dx. 4 x(2x2 +3x+1) 5 4 2 32x +64x −56x −8x+13 dx . 2(2x+1)(x−1)(2x+3) 2(4x3 −6x2 +4x+1) 3 dx. (2x+3)(2x−1) 8x3 +12x2 +7x+2 dx. 3 (x+1)(2x+1) 24x3 +60x2 +52x+13 dx. (x+1)2 (4x2 +4x+3) 3x3 +27x2 +81x+79 dx. x3 +9x2 +26x+24 3 2 x +3x +4x+6 dx. 3 (x+5)(x+1) x3 +9x2 +28x+32 dx. (x+5)(x+3)3 x3 +13x2 +54x+74 dx. 2 (x+4) (x2 +6x+10) 2x3 +18x2 +55x+58 dx. 3 (x+4)(x+3) Ответы. 4.16. 3x − ln (x) + 45 ln (2x − 1) − 41 ln (2x + 1) + C. 1 4.17. 4 ln (x − 1) − 2(x+1) 2 + C.
1 + 18 ln 4x2 + 1 − 41 arctg (2x) + C. 4.18. 4(2x−1) 4.19. 24x4 + 32x3 + 7 ln (x − 1) − 7 ln (x) + C. √
√
1 4.20. − 2x−1 + 32 ln 2x2 + 1 − 21 2 arctg x 2 + C. Задача 5. Вычислить определённые интегралы. arctg(3) R 1 5.1. dx. sin2 (2x)(1−cos(2x)) π/4 π 5.2. R4 arctg(2) 5.3. arctg(2) R arctg( 1 2 cos(2x) 3 (1−cos(2x)) ) dx. 1 sin(2x)·(1+sin(2x)) dx. Интегрирование π 5.4. R4 cos(2x) 5+4 cos(2x) 5.5. R0 −arctg( 5.6. 5.7. π/8 R √1 3 dx. 3 tg2 (2x)−50 −2 tg(2x)+7 ) dx. 1 dx. (6+ tg(2x)) sin(4x) π/12 Rπ sin2 (2x) cos6 (2x) dx. 5.8. 5.9. Rπ 2Rπ 5.12. 4Rπ 4Rπ sin2 1 x 2 cos8 1 8x √ arctg( 3) 5.13. 6Rπ 6Rπ 3 4x 5.18.
dx. dx.
dx. R 1 sin2 (6x)(−1+cos(6x)) R cos(10x) 3 (−1+cos(10x)) − 51 arc tg(2) R 1 x 2 dx. cos8 π − 12 π − 20 − 3π 4
cos6 dx. sin2 (3x) cos6 (3x) dx. − 31 arctg(3) 5.17.
cos(3x) 5+4 cos(3x) 5.16. dx. R 5.15. 3 1 1 6−tg x ( ( 2 )) sin(x) R 5.14. dx. (1−cos( 12 x)) π 2 5.11.
cos( 21 x) 4π 3 π 3 5.10. 1 2x cos8  cos( 32 x) − 15+12 cos 2 x (3 )  dx. dx. dx. 99 100 Задачи 3 π 8 R 5.19. 1 (6+tg( 23 x)) sin( 34 x) 3 π 12 5.20. 3π R sin2 2 3x 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 4 arctg(2) R − 23 π R0 cos6  − 31 cos( 12 x)
dx. R cos( 13 x) 3 (−1+cos( 31 x)) dx.  dx.  dx. dx. 10+8 cos( 21 x) −π √ 1 2 arccos( 10 10)  R1 2 3x 1 2 sin2 ( 21 x)(−1+cos( 12 x)) π −6 arctg( 21 ) R
dx. − 3 tg2 ( 12 x)−50 4 tg( 12 x)−14 sin2 (x − 1) cos6 (x − 1) dx. −2π+1   14 arctg(2) R 1 − 7 sin2 t −1+cos dt. 5.26. )( ( 7t )) ( 7 7π 5.25. 2 1 6 arctg(3) 5.27. R π 24 − 45 π R  6 − sin2 (12t)(−1+cos(12t))  − 1280 49 · cos( 25 t)  dt.  dt. 3 −1+cos( 52 t)) ( −5 arctg(2) 3   5 arctg(2) R cos( 10 3 t) 6400 5.29. dt. − 3 3 (−1+cos( 103 t)) 3π 5.28. 20 R0 5.30. 1024 cos8 (4t) dt. − π8
1 49 5 37 . 5.17. 6400 . 5.18. − 12 arctg 31 + 16 π. Ответы. 5.16. 243 √
1 15 5.19. − 16 ln (3) + 18 ln 18 + 3 − 81 ln (7) . 5.20. 128 π. Задача 6. Вычислить интегралы. 6.1. 5 R3 q 2−3x 1 3x−6 dx. 6.2. R5 q 2− x 3 x−6 dx. 101 Интегрирование 6.3. R5 q 2+ x x+6 3 4 3 6.4. R 2 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. R3 dx. 6.17. dx. −5 −9 R −15 R0 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. −2 R0 −4 R0 x2 x+2 −x−6 q dx. dx. 6.21. 4x2 −4 x4 5x−7 R16 1/4 12 R 6.24. 25 2 R 6.25. − 95 R q −2−9x  9x+6 dx. dx 2√ x−1 dx. x+1 q x − 19 x2 + 16 dx. 2 x2 1 2 − 25 x +25 √ dx. R8 64 √ t2 25 −16t2+25 dt. 0√ 1 q 3 R 15 2 +2 2t · −3t 3t2 −6 1 6.26. 6.27. 6.28. 10 R3 q 17−6t 3 4 3 R 1q 6.30. dx. dx. R q −5−5x 6.22. dx. dx. 3x−7 4 3 4 5 6.29. x2 1 2 x +25 − 16 R2 q 3−3x 5 −5 R4 √x2 −4 dx. x4 3 −1 R √1+(−x)1/3 √ dx. x −x −2 R0 2 √ x dx. −4x2 +25 5 −2 − 31 −20 R2 √ 6.23. √ x2 −x2 + 16 dx. 2 √ − 52 √ −x2 + 4 dx. √ x −x2 +25 R0 3 2 dx.  + 4 dx. 3x−6 5 3 6.20. dx. x+6 −x−18 6.18. − 41 x2 R1  q −3x+2  6.19. 1 R2 √1+31/3x1/3 √3 dx. x3/2 1  1/3 R3 1+271/4(x3 )1/4 1 −3 R q q √ x2 −9x2 + 16 dx. √ 9x2 −4 x4 −4 R 2 6t−21 dt. − 49 t2 + 4 dt. 29 R9 q 26−9t 3 dt. 9t−30 dt. 2 π. 6.17. −2π. 6.18. − 29 π. 6.19. 400π. 6.20. Ответы. 6.16. − 27 √ √ 1 5 + − 10 81 4 3. 102 Задачи Задача 7. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, заданными в декартовых координатах. 7.1. y = −9x2 + 4, y = 9x2 − 6 x. √ 7.2. y = 9x −x2 + 1, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1. 7.3. y = cos2 (3x) , y = 0, 0 ≤ x ≤ 16 π. 7.4. y = √ 1 , y = 0, x = 13 , x = 3e . x 1+ln(3x) 2 7.5. y = −9x + 6x + 3, y = 9x2 − 12x + 3. 1 7.6. y = ex3x2 , y = 0, 3x = 2, 3x = 1. 7.7. y = (3x − 2)3 , y = 12x − 8. 7.8. y = −25x2 + 4, y = 25x2 − 10x. √ 7.9. y = x −25x2 + 9, y = 0, 0 ≤ x ≤ 53 . , y = 0, x = 51 , x = 5e . 7.10. y = √ 1 x 1+ln(5x) 2 7.11. y = −25x + 10x + 3, y = 25x2 − 20x + 3. x , y = 0, 5x = 1. 7.12. y = 1+√ 5x 1 y = ex5x2 , y = 0, 5x = 2, 5x = 1. y = (5x − 2)3 , y = 20x − 8. y = −x2 + 4, y = x2 − 2x. √ 3 y = 2 − x2 , y = x2 . y = 2 x − x2, y = −x. y = (6 x − 2)3 , y = 24 x − 8. 1 x2 y = 1+x 2, y = 2 . √ y = x2 16 − 9 x2, y = 0, x = 43 . √ y = 23 −x2 + 1, y = 0, x = 0, −2 x = 1. y=− √ 1 , y = 0, −2x = 1, −2x = e3 . 6x 1+ln(−2x) √ 7.23. y = 13 e−2x − 1, y = 0, −2x = ln (2) . √ 7.24. y = − 32 x −4x2 + 9, y = 0, 0 ≤ −2x ≤ 3. 7.25. 3y = −4x2 − 4x + 3, 3y = 4x2 + 8x + 3, Вычислить площади областей, ограниченных замкнутыми кривыми, заданными параметрически или в полярной форме. 7.26.x = t2 − 1, y = t3 − t. 7.27.x = t2 + 2t, y = t3 + 3t2 + 2t. 7.28.x = t2 − 4t + 3, y = t3 − 6t2 + 11t − 6. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18. 7.19. 7.20. 7.21. 7.22. 103 Интегрирование √ 7.29. ρ = 3 2 cos (ϕ) , ρ = 3 sin (ϕ) . √ 7.30. ρ = 12 2 cos (ϕ) , ρ = 12 sin (ϕ) . Ответы. 7.16. 32 . 15 7.17. 92 . 7.18. 34 . 7.19. π 2 − 31 . 7.20. 16π . 27 Задача 8. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат. 8.1. y = 43 x2 − 16 ln (3x) , 13 ≤ x ≤ 23 . √ √

1 −9x2 + 3x − arccos 3x + 5, 27 ≤ x ≤ 31 . 8.2. y = 13
8.3. y = 13 ln 9x2 − 1 , 23 ≤ x ≤ 1. 8.4. y = 13 ch (3x) + 3, 0 ≤ x ≤ 13 . √ ln(2 6) ln(15) 1 3x 8.5. y = 3 e + 13, 6 ≤ x ≤ 3 .
8.6. y = 18 x2 − ln 12 x , 2 ≤ x ≤ 4. √ √


+ 7, 0 ≤ x ≤ 12 . 8.7. y = 21 −4 x2 + 2x − arccos 2x
8.8. y = 2 ln 41 x2 − 1 , 4 ≤ x ≤ 6.
8.9. y = 2 ch 12 x + 9, 0 ≤ x ≤ 2. 1 8.10. y = 2e 2 x + 17, 0 ≤ x ≤ ln 2. √ √

8.11. y = 5 + arcsin 12 2x + 21 −x2 + 2x , 0 ≤ x ≤ 1. 8.12. y = 14 (x + 1)2 − 21 ln (x + 1) , 0 ≤ x ≤ 1.
8.13. y = ln x2 + 2x , 1 ≤ x ≤ 2. 8.14. y = ch (x + 1) + 3, −1 ≤ x q ≤ 0.
√ 8.15. y = 2 + arcsin x + 1 + x + 1 − (x + 1)2, − 43 ≤ x ≤ 0. √ √
8.16. y = 12 x 9x2 − 1 − 16 ln 3x+ 9x2− 1 + 4, 0 ≤ x ≤ 41 . √ 8.17. y = − 12 e4 x − 1 − 21 arctg √e41x −1 , 1 ≤ x ≤ 2. √ √ 8.18. y = x 1 − x + 12 arcsin (2x − 1) , 0 ≤ x ≤ 13 . √ 3/2 8.19. y = 23 (2 x + 1) , 1 ≤ x ≤2.  q 8.20. y = 13 (e3x )2 − 1 + 31 arctg √ 3x1 2 , 1 ≤ x ≤ 2. (e ) −1   q 2 1 , −1 ≤ x ≤ 2. 8.21. y = 15 (e−5x ) − 1 − 15 arctg √ −5x (e )2 −1 √ √ √
2 −9 ,0 ≤ x ≤ 1 8.22. y = 16 x 4x2 − 9 − 34 ln x 4 + 4x  p 4 + 5, 1 ≤ x ≤ 2. 8.23. y = 32 e 3 x − 1 + 23 arctg √ 41x e 3 −1 104 Задачи √ √
8.24. y = 21 (2x + 3) x2 + 3x + 2 − 14 ln 32 + x + x2 + 3x + 2 + + 8, −1 ≤ x ≤ 2.

√ √ √ 8.25. y = 2 2x − 1+ln 2x − 1 − 1 −ln 2x − 1 + 1 , 2 ≤ x ≤ ≤ 4. √ √ √
8.26. y = 21 x 9x2 − 1 − 16 ln x 9 + 9x2 − 1 , 1 ≤ x ≤ 2. √ √
8.27. y = 12 x 16x2 − 1 − 81 ln 4x + 16x2 − 1 , −1 ≤ x ≤ 2.
3/2 + cos (35) , 2 ≤ x ≤ 3. 8.28. y = 31 x2 + 2 √ 2 2 (x −2) x −2 , 0 ≤ x ≤ 4. 8.29. y = √ √ 3
8.30. y = 2 ex+3 − 1 − 2 arctg ex+3 − 1 , 0 ≤ x ≤ 3. Ответы. 8.16. 8.20. − 31 e3 + 13 e6. 3 . 32 8.17. − 21 e2 + 12 e4. 8.18. 2 3 √ √ 3. 8.19. −1 + 2 2. Задача 9. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями. 9.1. z = x2 + 36y 2, z = 2. 9.2. 91 x2 + 94 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3. 9.3. z = x2 + 81y 2, z = 3. 9 2 1 2 y − 64 z = −1, z = 16. 9.4. 91 x2 + 16 9 2 1 2 2 9.5. 9 x + 4 y − z = 1, z = 0, z = 3 . 9.6. z = 4x2 + 36y 2, z = 2 . 9.7. z = 9x2 + 4y 2 , z = 2. 9.8. x2 + 41 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3. 9.9. z = 9x2 + 9y 2 , z = 3. 1 2 1 2 y − 64 z = −1, z = 16. 9.10. x2 + 16 9.11. x2 + 41 y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3. 9.12. z = 36x2 + 4y 2 , z = 2. 9.13. z = 9x2 + 16y 2, z = 2. 9.14. x2 + y 2 − z 2 = 1, z = 0, z = 3. 1 2 z = −1, z = 16. 9.15. x2 + 41 y 2 − 64 9.16. z = 2, z = 9x2 + 4y 2. 1 2 1 2 9.17. z = 16, 41 x2 + 16 y − 64 z = −1. 2 9.18. z = 1, 2 z = 36x + 100y 2. 9 2 1 2 9.19. z = 8, x2 + 16 y − 16 z = −1. 105 Теоретические упражнения 2 2 2 9.20. xa2 + yb2 + zc2 = 1 (a, b, c > 0) . Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур вокруг оси Ox, ограниченных графиками функций. 9.21. y = −7x2 + 5x, x = 0, x = 75 . 9.22. − 49x2 + 14x − y = 0, 98x2 − 28 x + y = 0. 9.23. y = x e7x , y = 0, x = 71 . 9.24. y = −x2 + 7x, x = 0, x = 7. 9.25. y = (x − 1) ex−1, y = 0, x = 2. 9.26. y = −x2 + 5 x, x = 0, x = 5. 9.27. y = −x2 + 6x, x = 0, x = 6. 9.28. y = −e2x + 5ex , x = ln 2, x = ln 3. 9.29. y = −(2x − 1)2 + 1, x = 0, x = 1. 9.30. y = −9x2 + 9x, x = 0, x = 1. Ответы. 9.16. π 3; 9.17. 128π 3 . 9.18. π 60 . 9.19. 32π 9 . 9.20. 34 πabc. Теоретические упражнения sin x 1. Считая, чтоh функция равна 1 при x = 0 , доказать, что она интегриx i руема на отрезке 0, 1 . 2. Какой из. интегралов больше: R 1 sin x
2 R1 dx или 0 sinx x dx ? x 3. Пусть f (t) – непрерывная функция, а функции ϕ (x) и ψ (x) дифференцируемые. Доказать, что R ψ(x) d f (t) dt = f [ψ (x)] ψ ′ (x) − f [ϕ (x)] ϕ′ (x) . dx ϕ(x) R x2 t2 d √ e dt. 4. Найти dx x 5. Найти точки экстремума функции Rx 2 f (x) = 0 (t − 1) (t − 2) e−t dt. 6. Пусть f (x) – непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать, что R a+T RT f (x) dx = f (x) dx ∀a. a 7. Доказать, что если f (x) – четная функция, то R0 R +a R +a f (x) dx = 0 f (x) dx = 21 −a f (x) dx. −a 8. Доказать, что для нечетной функции f (x) справедливы равенства R0 R +a Ra f (x) dx = − 0 f (x) dx и −a f (x) dx = 0. −a R +1 dx? Чему равен интеграл −1 sin2 x ln 2+x 2−x 106 Теоретические упражнения R 2 +bx+c 9. При каком условии, связывающем коэффициенты a , b , c интеграл ax dx x3 (x−1)2 является рациональной функцией? R√ 1 + x4 dx выражается элемен10. При каких целых значениях n интеграл тарными функциями.