Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Лекция 3.7 §3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Общих методов интегрирования уравнений высших порядков не существует. Поэтому мы рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений высших порядков: линейные дифференциальные уравнения (однородные и неоднородные). Определение. Линейным дифференциальным уравнением n - го порядка называется дифференциальное уравнение вида 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥), где 𝑎1 (𝑥), . . . , 𝑎𝑛−1 (𝑥), 𝑎𝑛 (𝑥) – коэффициентами уравнения; f (x) - правая часть уравнения 𝑎1 (𝑥), . . . , 𝑎𝑛−1 (𝑥), 𝑎𝑛 (𝑥), 𝑓(𝑥) определенные и непрерывные на (𝑎, 𝑏) функции. Определение. Если 𝑓(𝑥) ≡ 0 то уравнение 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n -го порядка: 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 0. Определение. Если 𝑓(𝑥) ≠ 0, то уравнение 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n -го порядка. 2 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ §4. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) Определение. Если 𝑓(𝑥) ≡ 0, то уравнение 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n -го порядка: 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 0. Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 = 0 независимых решений Определение. Функции на интервале (a, b) , называется y1 ( x), y2 ( x), ..., yn ( x) система этого уравнения. y1 ( x), y2 ( x), ..., yn ( x) называются линейно зависимыми если существуют числа 𝛼, 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑛 , не равные нулю на (𝑎, 𝑏). В равенство 𝛼1 𝑦1 (𝑥) + одновременно, такие, что 𝛼1 𝑦1 (𝑥) + 𝛼2 𝑦2 (𝑥)+. . . +𝛼𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) ≡ 0 противном случае, линейно n то есть если тождественное 𝛼2 𝑦2 (𝑥)+. . . +𝛼𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) ≡ 0 возможно лишь при 𝛼 = 𝛼2 =. . = 𝛼𝑛 = 0, функции называются линейно независимыми. Рассмотрим ЛОДУ II порядка Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде y′′+p(x)y′+q(x)y=0, где p(x) и q(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b]. Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Определение. Функции y1(x), y2(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:y1(x)/y2(x)≠const. В противном случае, при y1(x)/y2(x)≡const, эти функции будут линейно зависимыми. Пример. Функции их отношение и линейно независимы в интервале в этом интервале. , так как 3 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пример. Функции и линейно зависимы в интервале , так как их отношение в этом интервале (в точках разрыва функции доопределяем это отношение по непрерывности). 3 Пример. Функции 𝑦1 = 3 + ln√𝑥 и 𝑦2 = 5 + ln √𝑥 линейно независимы, так как 𝑦1 𝑦2 = 3+ln√𝑥 3 5+ln √𝑥 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 3 Пример. Функции 𝑦1 = ln√𝑥 и 𝑦2 = ln √𝑥 линейно зависимы, так как 1⁄ 𝑙𝑛𝑥 2 1⁄ 𝑙𝑛𝑥 3 𝑦1 𝑦2 = ln√𝑥 3 ln √𝑥 = 3 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 2 Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский - польский математик). Определение. Для двух дифференцируемых функций y1=y1(x) и у2=у2(х) вронскиан имеет вид 𝑦1 𝑊(𝑥) = |𝑦 ′ 1 𝑦2 𝑦2′ |. Определение. Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения. Свойства ЛОДУ II порядка Теорема 1. Если y1 является решением линейного однородного уравнения y′′+p(x)y′+q(x)y=0, то Cy1, где C - произвольная постоянная, является решением того же уравнения. Доказательство. Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения Cy1, получим: , но , т.к. y1 является решением исходного уравнения. 4 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Следовательно, и справедливость указанного свойства доказана. Теорема 2. Сумма y1(x)+у2(х) двух решений линейного однородного уравнения y′′+p(x)y′+q(x)y=0 является решением того же уравнения. Доказательство. Пусть y1 и у2 являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда и . Подставляя теперь y1(x)+у2(х) в рассматриваемое уравнение, будем иметь: , т.е. y1(x)+у2(х) есть решение исходного уравнения. Теорема 3. Если функции y1 и у2 линейно зависимы на некотором интервале, то определитель Вронского тождественно равен нулю на этом интервале. Доказательство. Если где , , то и . Следовательно, . Теорема доказана. Замечание. Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами . Если функции y1 и у2 являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема. 5 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Теорема 4. Если определитель Вронского, составленный для решений y 1 и у2 линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы. Доказательство. Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке и пусть и , т.е. =0, . Рассмотрим линейную однородную систему относительно неизвестных и . Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при x=x0 , т.е. совпадает с W(x0) , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение значения и и ( , рассмотрим функцию и не равны нулю). Используя эти . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции y1 и у2. Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и . С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0. В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что , т.е. функции y1 и у2 линейно зависимы. Теорема доказана. Следствия. 6 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при какомнибудь значении x=x0 , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала. 2. Если решения y1 и у2 линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала. 3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения y1 и у2 линейно независимы. Пример. Для Д.У. 𝑦 ′′ + 𝑦′ 𝑥 = 0 (x>0) выяснить для каждой пары решений, являются ли они л.з. или л.н. 3 Функции 𝑦1 = 3 + ln√𝑥 и 𝑦2 = 5 + ln √𝑥 линейно независимы, так как 3 3 + ln√𝑥 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) = | 1 2𝑥 5 + ln √𝑥 3 1 ≠0 |=− 2𝑥 3𝑥 3 Функции ̅̅̅ 𝑦1 = ln√𝑥 и ̅̅̅ 𝑦2 = ln √𝑥 линейно зависимы, так как ln√𝑥 𝑊(𝑦 ̅̅̅, 𝑦2 = | 1 1 ̅̅̅) 2𝑥 3 ln √𝑥 1 |=0 3𝑥 Теорема 5 (Структура общего решения ЛОДУ). Если y1 и у2 - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения. Доказательство. Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях начальные условия и и . Докажем теперь, что каковы бы ни были , можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений 7 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ . Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы , есть определитель Вронского при x=x0 и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений ; и ). . Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана. Пример. Общим решением уравнения является решение . Действительно, . Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций: . Пример. Решение y = C1 e x + C2 e - x уравнения является общим, т.к. . Пример. Уравнение , коэффициенты которого и непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает 8 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ частные решения (легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид: . Замечание. Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить, зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее. Теорема 6. Всякое ЛОДУ имеет фундаментальную систему решений. Доказательство. Возьмем x=x0 – начальные условия (xϵ[a,b]) y(x0)=a11, y’(x0)=a21 и y(x0)=a12, y’(x0)=a22 где a11, a21, a12, a22 – произвольные числа, на которые налагается единственное 𝑎11 𝑎12 ограничение: |𝑎 | ≠ 0. 21 𝑎22 По теореме Коши о существование и единственности решения, каждым начальным условиям соответствует единственное решение исходного Д.У.  Пусть первым начальным условиям – y1(x) вторым - y2(x) 𝑎11 𝑦 (𝑥 ) 𝑦2 (𝑥0 ) 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥))|𝑥=𝑥0 = | 1 0 | = |𝑎 𝑦′1 (𝑥0 ) 𝑦′2 (𝑥0 ) 21 𝑎12 𝑎22 | ≠ 0  y1(x) и y2(x) – л.н. и образуют фундаментальную систему. Ч.и т,д, Замечание. Любое Д.У. Имеет бесконечное множество фундаментальных систем. Теорема 7. Если частные решения y1 и у2 образуют фундаментальную систему решений Д.У., то 𝑦 ̅̅̅1 = 𝛼1 𝑦1 + 𝛼2 𝑦2 и ̅̅̅ 𝑦2 = 𝛽1 𝑦1 + 𝛽2 𝑦2 , где 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛽1 , 𝛽2 – 𝛼1 𝛼2 произвольные числа (|𝛽 𝛽 | ≠ 0), также образуют фундаментальную систему 1 2 этого уравнения. 9 Лекция 3.7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Доказательство. Покажем линейную независимость этих двух новых решений (𝑦 ̅̅̅1 = 𝛼1 𝑦1 + 𝛼2 𝑦2 и 𝑦2 = 𝛽1 𝑦1 + 𝛽2 𝑦2 ): ̅̅̅ 𝑊(𝑦 ̅̅̅(𝑥), 𝑦2 ̅̅̅(𝑥)) =| 1 𝛼1 𝑦1 + 𝛼2 𝑦2 𝛼1 𝑦′1 + 𝛼2 𝑦′2 𝛽1 𝑦1 + 𝛽2 𝑦2 |= 𝛽1 𝑦′1 + 𝛽2 𝑦′2 = (𝛼1 𝑦1 + 𝛼2 𝑦2 )(𝛽1 𝑦 ′1 + 𝛽2 𝑦 ′ 2 ) − (𝛼1 𝑦 ′1 + 𝛼2 𝑦 ′ 2 )(𝛽1 𝑦1 + 𝛽2 𝑦2 ) = = (𝛼1 𝛽2 − 𝛼2 𝛽1 )(𝑦1 𝑦 ′ 2 − 𝑦2 𝑦 ′1 ) = 𝛼1 = |𝛽 1 𝛼1 Так как |𝛽 𝛼2 𝛽2 | ∙ 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥)) ≠ 0 𝛼2 𝛽2 | ≠ 0 по условию, а 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥)) ≠ 0 для ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], так как y1 и 1 у2 образуют фундаментальную систему решений Д.У.  Ч.и т,д, Пример. y1=sinx, у2=cosx – л.н. частные решения 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 (так как – sinx+ sinx=0 и – cosx+ cosx=0 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥)) = | sinx cosx | = −1 ≠ 0 cosx −sinx Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений и 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝑥, где С1 и С2 - произвольные постоянные, есть общее решение Д.У. Теорема 8. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.