Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Лекция №8 Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (1 час) Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида: где y – функция, которую требуется найти, а p(x) и f(x) – непрерывные функции на некотором интервале (a, b). Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f(x) ≠ 0), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Уравнение вида: где p и q – постоянные величины, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения необходимо сначала решить соответствующее ему характеристическое уравнение: относительно неизвестной k. Как видно, это уравнение является квадратным уравнением, а значит, может иметь 3 различных варианта решений: 1) 2 различных действительных корня (Дискриминант положителен); 2) единственный (кратный) корень (Дискриминант равен 0); 3) 2 комплексно-сопряженных корня (Дискриминант отрицателен). В каждом из этих случаев общее решение имеет свой вид: № Варианты корней характеристического уравнения 1 2 различных действительных корня 2 единственный (кратный) корень 3 Вид решения 2 комплексно-сопряженных корня Пример 1: Решить дифференциальное уравнение y′′ − 6y′ + 5y = 0. Решение: Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: k2 − 6k + 5 = 0. Корни данного уравнения равны k1=1, k2=5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: y(x) = C1ex + C2e5x, где C1 и C2 − произвольные постоянные. Пример 2: Решить дифференциальное уравнение y′′ − 6y′ + 9y = 0. Решение: Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: k2 − 6k + 9 = 0. Вычислим корни: D = 36 − 4⋅9 = 0, ⇒ k1,2 = 3. Поскольку корень имеет 2-ю кратность, то общее решение будет иметь вид: y(x) = (C1x + C2)e3x, где C1 и C2 − произвольные постоянные. Пример 3: Решить дифференциальное уравнение y′′ + 4y′ + 5y = 0. Решение: Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней, поэтому общее решение выражается формулой: Пример 4: Решить дифференциальное уравнение y′′ + 25y = 0. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: k2 + 25 = 0, корни являются чисто мнимыми: Тогда ответ записывается в следующем виде: Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: , где p, q − постоянные числа. Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения: y(x) = y0(x) + y1(x). Метод неопределенных коэффициентов решения линейного неоднородного ДУ Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как: где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно. В обоих случаях выбор функции - частного решения должен соответствовать структуре функции правой части неоднородного дифференциального уравнения. В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению, то частное решение будет содержать дополнительный множитель xs, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении. В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x. Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Пример 5: Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ + y′ − 6y = 36х. Решение: Составим вспомогательное характеристическое уравнение, соответствующее однородному ДУ и вычислим его корни: Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Вернемся к исходному неоднородному уравнению. Правая часть заданного уравнения представляет собой линейную функцию f(x) = ax + b. Поэтому будем искать частное решение в виде Производные равны: Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем: 0 + A − 6(Ax + B) = 36x, ⇒ A − 6Ax − 6B = 36x. Последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части: Из полученной системы находим: A = −6, B = −1. В результате, частное решение записывается в виде: Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения выражается формулой: Пример 6: Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ − 5y′ + 4y = е4х. Решение: Сначала решим соответствующее однородное уравнение y′′ − 5y′ + 4y = 0. Корни характеристического уравнения равны: Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается как Найдем теперь частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Заметим, что показатель экспоненциальной функции в правой части совпадает с корнем k1 = 4 характеристического уравнения. Поэтому будем искать частное решение в виде: Производные равны: Подставляя функцию y1 и ее производные в дифференциальное уравнение, получаем: Таким образом, частное решение имеет вид: Теперь можно записать полное решение неоднородного уравнения: Рекомендую посмотреть большое многообразие решенных примеров на сайте: https://function-x.ru/differential_equations7.html