Линейное (векторное) пространство

ЛИНЕЙНОЕ (ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО 1. Определение векторного пространства. Операции над векторами и их свойства. Множество всех геометрических векторов плоскости можно складывать и умножать на число. Эти операции можно выполнять геометрически, а можно и аналитически. Однако эти операции можно производить не только над геометрическими векторами. Складывать и умножать на число можно матрицы фиксированного размера, многочлены и т.д. Операции над элементами таких множеств производятся следующим образом – при сложении элементов одинаковой размерности складывают компоненты, стоящие на одинаковых местах, при умножении на число - умножают каждую компоненту на это число. Назовем элементы множеств, над которыми можно производить такие операции – векторами. Определение 1. Векторным (линейным) пространством над полем Р называется непустое множество V (элементы которого будем называть векторами), если на V определены операции сложения векторов и умножения векторов на элементы поля Р и выполняются следующие аксиомы: ▫ Сложение коммутативно и ассоциативно. ▫ Умножение вектора на число ассоциативно. ▫ Выполняются две дистрибутивности. ▫ Свойство умножения на единицу ∀𝑎 ∈ 𝑉𝑛 , 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎. Примеры векторных пространств. (Примеры обосновать. Привести больше примеров) 1. Множество геометрических векторов плоскости, выходящих из одной точки. 2. Векторное пространство линейных уравнений от n переменных над поле Р, в частности, над числовыми полями Q, R и C. Вектором будет всякое линейное уравнение вида 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑥𝑛 = 𝛽, где 𝜆𝑖 , 𝛽 -скаляры. Множество целых гауссовых чисел {𝑥 + 𝑦√2|𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅}. Основные свойства векторного пространства. Доказать 1! Для любого вектора 𝑎 и любого 𝑛 ∈ 𝑁 ⏟ 𝑎̄ + 𝑎̄ + ⋯ 𝑎̄ = 𝑛𝑎̄ 3. 𝑛 2! 3! 4! 5! 6! Для нулевого элемента 0 ∈ 𝑃 и любого 𝑎̄ ∈ 𝑉𝑛 имеем 0 ⋅ 𝑎̄ = 0̄ Для любого 𝜆 ∈ 𝑃 и 0̄ ∈ 𝑉𝑛 имеем 𝜆 ⋅ 0̄ = 0̄ 𝜆 ⋅ 0̄ = 0̄ ⇔ 𝜆 = 0или𝑎̄ = 0̄ Для любого 𝜆 ∈ 𝑃 и любого 𝑎̄ ∈ 𝑉𝑛 (−𝜆)𝑎̄ = 𝜆(−𝑎̄ ) = −(𝜆𝑎̄ ) Определим вычитание векторов формулой 𝑎̄ − 𝑏̄ = 𝑎̄ + (−𝑏̄) для любых 𝑎̄ , 𝑏̄ ∈ 𝑉𝑛 . Тогда умножение на скаляр дистрибутивно относительно вычитания векторов: 𝜆(𝑎̄ − 𝑏̄) = 𝜆𝑎̄ − 𝜆𝑏̄. 2. Подпространство. Определение 2: Пусть V - векторное пространство над полем Р. Подмножество Н множества V называется подпространством пространства V над полем Р, если оно само является пространством над полем Р. Примеры: Теорема 1: Пересечение двух подпространств над одним и тем же полем снова будет подпространством над тем же полем. Определение 3: Векторное пространство, состоящее из всех линейных комбинаций данной системы векторов, называется пространством, порожденным этой системой векторов. Определение 4: Если векторное пространство порождено конечной системой векторов, то оно называется конечнопорожденным. 3. Линейная зависимость системы векторов. Определение 5: Пусть 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ∈ 𝑃 (Р - числовое множество) и 𝑎̄ 1 , 𝑎̄ 2 , … , 𝑎̄ 𝑛 ∈ 𝑉, тогда 𝛼1 𝑎̄ 1 + 𝛼2 𝑎̄ 2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑎̄ 𝑛 - называется линейной комбинацией векторов 𝑎̄ 1 , 𝑎̄ 2 , … , 𝑎̄ 𝑛 . Всякий n-мерный вектор является линейной комбинацией единичных n-мерных векторов: 𝑎̄ = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) = 𝛼1 𝑒̄1 + 𝛼2 𝑒̄2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑒̄𝑛 . Определение 6: Линейную комбинацию назовем тривиальной, если коэффициенты равны нулю. В случае, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, линейная комбинация называется нетривиальной. Определение 7: Если существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, равная 0̄, то такая система называется линейно зависимой. Определение 8: Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна 0̄. Примеры: (из сканов или учебника Ларина «Линейная алгебра 1 и 2») Основные признаки линейной зависимости системы векторов. 1! Если система векторов содержит 0̄, то она линейно зависима. Доказать! 2! Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима. Доказать! 3! (второе определение линейно зависимой системы векторов) Система векторов, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда она содержит вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы. Доказать! Теорема 2: (основная теорема о линейной зависимости) Если система векторов линейно выражается через другую систему векторов, содержащую векторов меньше, чем первая (т.е. длинная система линейно выражается через короткую), то первая система линейно зависима. Следствие 1: В арифметическом n-мерном векторном пространстве всякая система векторов, содержащая больше n векторов, линейно зависима. Следствие 2: Если линейно независимая система векторов линейно выражается через другую систему векторов, то первая система векторов не длиннее второй. 4. Базис и ранг системы векторов. Размерность векторного пространства. Координаты вектора, свойства координат без доказательства. Определение 1: Пусть дана некоторая система векторов S. Базисом системы S называется ее линейно независимая подсистема, через которую линейно выражается всякий вектор системы векторов S. Другими словами: Базис системы векторов – ее максимальная линейно независимая подсистема. Теорема 3: Если система векторов S содержит хотя бы один ненулевой вектор, то система S имеет базис. Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов. Теорема 4: В n-мерном векторном пространстве Vn всякая линейно независимая система векторов, содержащая n векторов, является базисом. Определение 10: Две конечные системы векторов называются эквивалентными, если первая система векторов линейно выражается через вторую, а вторая - через первую. Элементарные преобразования конечной системы векторов (позволяющие переходить от данной системы к эквивалентной ей системе)  Перемена мест векторов системы;  Умножение вектора на число, отличное от нуля;  Прибавление к одному вектору другого, умноженного на число;  Вписывание или удаление нулевого вектора. Теорема 5: Базисы эквивалентных конечных систем векторов содержат одинаковое количество векторов. Определение 11: Рангом ненулевой системы векторов называется число векторов любого базиса этой системы. Ранг системы, состоящей из нулевых векторов, равен нулю. При элементарных преобразованиях системы ее ранг не изменяется.