Квантовые свойства микрочастиц

МГУ Им. адм. Г.И. Невельского Кафедра физики В. В. Брунбендер Конспект лекций по физике Квантовые свойства микрочастиц Владивосток 2020 1 Квантовые свойства микрочастиц План лекции 1. Волны де Бройля 2. Опыты, подтверждающие волновые свойства электронов 3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга 4. Неприменимость понятия траектории к микрочастицам 5. Уравнение Шредингера 6. Статистический смысл волновой функции микрочастицы 7. Простые задачи квантовой механики 7.1. Связь между энергией и импульсом в классической и квантовой физике 7.2. Микрочастица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками 7.3. Квантовый осциллятор 7.4. Туннельное прохождение микрочастицы через прямоугольный потенциальный барьер. 1. Волны де Бройля В 1924 г. де Бройль (французский физик) предложил гипотезу о корпускулярно-волновом дуализме электронов. Согласно де Бройлю, длина волны электрона определяется формулой h (1) = , p где h – постоянная Планка; р – импульс частицы. Де Бройль предположил, что электронная волна на стационарной орбите в атоме является стоячей волной, поэтому атом в стационарном состоянии не излучает электромагнитных волн (стоячие волны не переносят энергии). Стоячая волна должна целое число n раз укладываться на длине орбиты: n = 2 r. С учетом (1) можно получить постулат Бора для стационарных орбит: mr = n . Следует отметить, что гипотеза де Бройля не спасла модель Бора для атома водорода, однако предположение о дуализме микрочастиц дало толчок для развития квантовой механики. 2. Опыты, подтверждающие волновые свойства электронов В 1927 г. Дэвиссон и Джермер (американские физики) исследовали отражение электронов от монокристалла Ni. Отраженные электроны собирались с помощью небольшого электрода (цилиндра Фарадея), который можно было ориентировать под разными углами  относительно поверхности кристалла. Ученые обнаружили, что сила тока в гальванометре изменялась от угла  также, как при дифракции волн. Схема опыта Дэвиссона и Джермера дана на рис. 1, результаты представлены на рис. 2. 2  Рис. 1. Схема опыта Рис. 2. Зависимость I(,) На схеме: К – монокристалл никеля; А – источник электронов; В – приемник электронов; S – шлифованная плоскость кристалла;  – угол дифракции электронов. Электронный луч падает по нормали к плоскости S; кристалл вращают относительно оси О. В данном опыте кристалл является дифракционной решеткой для волн де Бройля. Зависимость I(,) является типичной картиной дифракции волн на пространственной решетке. В 1927 г. Дж. П. Томсон (английский ученый) исследует прохождение электронного пучка через тонкую поликристаллическую фольгу золота. На рис. 3 показана схема опыта Томсона; на рис. 4 представлены картины дифракции электронов (электронограмма) и рентгеновских лучей поликристаллической фольге. Рис. 3. Схема опыта Томсона Рис. 4.: а – картина дифракции электронов; б – картина дифракции рентгеновских лучей 3 Проведенные опыты полностью подтвердили справедливость гипотезы де Бройля о волновых свойствах микрочастиц и соотношение (1) для длины волны де Бройля. 3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга Пусть электрон имеет координату (x + x) и проекцию импульса на ось х (рx + рx), где x и рx – неопределенности значения координаты и импульса соответственно. Поскольку электрон является волной (импульс p = h / ), при уменьшении неопределенности координаты (x → уменьшается) будет возрастать погрешность определения длины волны , а следовательно и импульса электрона. 1) Неограниченная волна x → ∞; px → 0 2) Цуг волн x → уменьшается; px → возрастает 3) Короткий волновой импульс x → 0; px → ∞ Рис. 5. Иллюстрация к соотношению неопределенностей Гейзенберг (немецкий физик) сделал математический анализ данной ситуации и получил соотношение между x и px для электронных волн де Бройля x∙px ≥ , (2) известное ныне как соотношение неопределенностей Гейзенберга. Из соотношения неопределенностей (2) следует, что нельзя одновременно точно знать координату частицы и ее импульс. Чем точнее будем определять положение частицы, тем хуже будет определен ее импульс. Аналогично можно получить соотношение между неопределенностью энергии микрочастицы  и неопределенностью времени t : ∙t ≥ . (3) Из соотношения (3) следует, что нельзя одновременно точно знать энергию микрочастицы и момент времени, когда частица будет иметь данное значение энергии. 4. Неприменимость понятия траектории к микрочастицам Из соотношения неопределенностей (1) найдем неопределенность скорости: 4 x  px  ; px = m x ;   x = mx . (4) Из (4) следует, что для микрочастицы невозможно одновременно точно знать координату и скорость частицы; чем точнее мы будем стремиться узнать положение частицы в пространства, тем хуже будем знать ее скорость и наоборот. В классической механике движение частицы описывается с помощью траектории, для построения которой необходимо точно знать в каждый момент времени t координаты частицы (x, y, z) и скорость ,что невозможно сделать в физике микрочастиц. Вывод: понятие траектории для микрочастиц не имеет физического смысла 5. Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики (физики микрочастиц); данное уравнение не является следствием других физических законов. Справедливость уравнения Шредингера подтверждается совпадением квантовых расчетов с экспериментом. В общей форме уравнение Шредингера имеет вид: i 2  + 2  − U  = 0 , t 2m где i = −1 − мнимая единица;  = 2  2 +  2 +  (5) 2 – оператор Лапласа; U – по- x y z тенциальная энергия микрочастицы во внешнем поле, которая в общем случае является функцией координат и времени U(r, t);  = (r, t ) – волна де Бройля микрочастицы, зависящая от координат и времени. 2 2 2 Для стационарных состояний (полная энергия микрочастицы  = const, U = U(r) и не зависит от времени) волну де Бройля можно представить в виде произведения (6) (r, t ) = (r)  e−it , где ( r ) – волновая функция микрочастицы. При подстановке в (5) волны де Бройля в форме (6) после преобразований получим уравнение Шредингера для стационарных состояний: 2m 2  ( r ) + (7) ( − U ) ( r ) = 0 . 2 При решении уравнения Шредингера подразумевается, что вся информация о микрочастице, находящейся в стационарном внешнем поле, содержится в волновой функции ( r ) ; нахождение вида волновой функции дает возможность определить такие параметры, как импульс, энергию, вероятность нахождения в некоторой определенной области пространства. 5 6. Статистический смысл волновой функции микрочастицы Уравнения классической механики при задании начальных условий (масса, начальные координаты и скорость) в заданном внешнем поле дают детерминантные решения, позволяющие найти точные значения координат, скорости и ускорения частицы в любой заданный момент времени. Уравнения квантовой механики, в отличие от классических, дают статистические решения, которые определяют вероятность нахождения микрочастицы в каком-то определенном состоянии. Сама по себе волновая функция ( r ) определенного физического смысла не имеет (волновая функция может быть как действительной, так и комплексной функцией). Физический смысл имеет плотность вероятности нахождения микрочастицы в данной точке пространства: f (r ) =| * (r )(r ) | , (8) где * (r ) − функция, комплексно-сопряженная ( r ) . Если волновая функция действительная, то f (r) =| (r) |2 . (9) Вероятность нахождения микрочастицы в некотором заданном объеме пространства V рассчитывается по формуле: F (V ) =  | *( r)( r) |  dV . (10) V Чтобы при определении волновой функции получить правильный результат, волновую функцию нормируют из условия:  − |  (r)( r) |  dV  1. * (11) Смысл соотношения (11) заключается в том, что полная вероятность нахождения микрочастицы во всем пространстве должна быть равна 1. 7. Простые задачи квантовой механики 7.1. Связь между энергией и импульсом в классической и квантовой физике Пусть микрочастица массой m движется вдоль оси х со скоростью  в отсутствии потенциального поля. Рассмотрим движение с позиций классической механики. Импульс микрочастицы p = m; кинетическая энергия  = ½ m2, откуда находим формулу нахождения импульса через кинетическую энергию: p = 2m . (12) Рассмотрим движение с позиций квантовой механики. Уравнение Шредингера для рассматриваемого случая: d 2  ( x ) 2m +  ( x ) = 0 2 dx 2 (13) 6 ( x ) = A cos(kx + 0 ), Решение уравнения: 2m где k = (14) − волновое число. Уравнение волны де Бройля: 2 ( x ) = A cos(kx + 0 )  e−it , (15) плоская волна, заполняющая пространство вдоль оси х (0 ≤ х ≤ ∞). Импульс частицы: p = k = 2m . Формула связи импульса и энергии совпадает с классической. Принцип соответствия Бора в физике: новая теория не может быть справедливой, если она не содержит в качестве предельного случая старую теорию, относящуюся к тем же явлениям. Принцип соответствия утверждает преемственность физических теорий. 7.2. Микрочастица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Пусть ширина одномерной ямы l, потенциальная энергия частицы внутри ямы U = 0, на стенках ямы U изменяется скачком до бесконечности. d 2  ( x ) 2m +  ( x ) = 0 Уравнение Шредингера для частицы в яме 2 dx 2 Решение уравнения ищем в виде гармонической функции ( x) = A  sin(kx + 0 ), где k = 2m . (16) Согласно первому граничному условию ( (0) = 0 ): sin(kx + 0) = 0  0 = 0. Из второго граничного условия ( (l ) = 0 ): sin(kl) = 0  kl = , 2, ..., n. n , (19) где n = 1, 2, 3, ... – номер квантового состояния l электрона. Формула волновой функции электрона в яме: Откуда находим k =   n x . 2  sin  l l  ( x ) =  (17)  Амплитуда волновой функции находится с помощью условия нормировки l   ( x )dx = 1;  0 A sin l 2 2 2   n x  dx = A    l  2 l 2  = 1;  A = . 2 l Расчет энергетических состояний микрочастицы в потенциальной яме n l = 2m n ;  n =  2 2ml 2 n ; 2 2 1 =  2 2 2ml 2 ; n = 1 n2. (18) 7 U=∞ U=∞ U=0 Рис. 6. Волновые функции микрочастицы в потенциальной яме Рис. 7. Распределение плотности вероятности микрочастицы в потенциальной яме 7.3. Одномерный квантовый осциллятор Классический осциллятор – частица массы m, совершающая колебания под действием упругой силы F = – x; x = Acos(t); энергия колебаний рассчитыва2 ется по формуле =  A ; где  – коэффициент упругой связи осциллятора. 2 Рис. 9. Энергетические состояния квантового осциллятора Рис. 8. Зависимость (x) для классического осциллятора Квантовый осциллятор – микрочастица массы m, совершающая колебания под действием упругой силы F = – x; x = Ancos(t); энергия колебаний рассчитывается по формуле n= 0 + n ; 0= 1 ; n = 1, 2, 3, – номер кванто- 2 вого состояния. Квантовый осциллятор, в отличие от классического, имеет строго определенные амплитуды колебаний An и энергетические состояния n, т. е. состояния квантового осциллятора являются квантованными. Микрочастица, совершающая колебания в квантовом осцилляторе, не может упасть на дно ямы, наименьшая энергия осциллятора равна 0. Энергия квантового осцилля8 тора изменяется порциями – квантами колебательной энергии. Квант колебательной энергии квантового осциллятора называют фононом, энергия фонона ф= . (19) 7.4. Туннельное прохождение микрочастицы через потенциальный барьер Пусть микрочастица с энергией < U падает на потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 10). Рис. 10. Туннельное прохождение микрочастицы через потенциальный барьер Волна де Бройля микрочастицы частично отражается от барьера, а частично проходит через барьер. Из решения уравнения Шредингера следует, что при прохождении барьера (область II) амплитуда волновой функции экспоненциально уменьшается от х: A(x) = A(0)exp(−x), где коэффициент затухания = 2m(U − ) . (20) Амплитуда волновой функции после прохождения барьера A(x) = A(l) = A(0)exp(−l). Вероятность туннельного прохождения через барьер (прозрачность барьера) D=  − 2l 2m(U − ) . A(l )2 = exp   A(0)2   (21) Вероятность туннелирования через барьер резко уменьшается с ростом ширины барьера. Пример: пусть вероятность туннелирования через барьер шириной l равна D1 = 0,2. Ширину барьера увеличим в 3 раза. Прозрачность барьера   D2 = exp  − 23l   2m(U − )  = D13 = 0,23 = 0,008, т.е. прозрачность барьера уменьшится в 25 раз. 9