Круглый волновод

Лекция § 13. Круглый волновод 13.1. Вывод формул для поля При анализе волн в круглом волноводе (рис. 13.1) будем считать, что заполняющая его среда – идеальный диэлектрик с параметрами  и  , а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Z с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию w  w (r,, z)  w0 (r,)ei z , которая в случае Е-волн равна Emz , а в случае Н-волн – H mz . Функция w0 (r, ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца: 1   w0  r r r  r  1  2 w0   2 w0  0 ,  2  2  r  (13.1) где, как обычно,    k   . Представим функцию w0 в виде w0 = R(r) (). Разделяя переменные в уравнении (13.2), получаем: 2 2 2 Ф( )  A1  sin(m )  A2  cos(m )  B  cos[m( – 0 )] , R  r   CJ m (  r )  DN m (  r ) ,  А1  А2 где B  A12  A 22 , 0  arctg  (13.2) (13.3)   , m = 0, 1, 2, …; А1, А2, С и D – произвольные постоянные.  При r0 функция Неймана Nm(r) стремится к бесконечности, а составляющие Emz и H mz должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем w 0 (r ,  )  BCJ m (  r )  cos[m( – 0 )] . (13.4) В случае Е-волн w (r, , z) = Ez (r, , z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (11.19) и (11.20). Вводя обозначение ВС = Е0z, получаем Emv (r , ,z )  E v0 (r , )  ei z , v  r , ,z,   H mv (r , ,z )  H v0 (r , )  ei z , v  r , ,  где (13.5) Ez0 (r , )  E 0z J m (  r ) cos[m(  0 )],    '  Er (r , )  i E0z J m (  r ) cos [m(  0 )],    m E0 (r , )  i ( / 0 ) E 0z J m (  r ) sin[m(  0 )],   r   0  H r0 (r , )   E (r , ),     0  H 0 (r , )  Er (r , ),    H z (r , )  0,  (13.6) а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу. Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс m в формулах (13.5) и (13.6) имеет разный смысл. В (13.5) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (13.6) m – определяет порядок функции Бесселя. Входящая в (13.33б) постоянная 0 влияет только на начало отсчета угла , ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физикоматематической модели, постоянные Е0z и 0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора Е и т.д.). Чтобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие: E z 0 ( a,  )  0 , (13.7) где а – радиус волновода (рис. 13.1). Подставляя выражение для Ez (r ,  ) из (13.6) в (13.8), получаем: J m ( a)  0 . (13.8) Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го E порядка через vmn (рис. 13.2), из (13.9) находим:   E  mn . a (13.9) Параметр  вычисляется по формуле (11.14). Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (13.9). Например, корню 01 соответствует волна Е01, корню 12 – волна Е12, корню mn – волна Еmn . Зависимость структуры поля волны от угла  определяется индексом m. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на m секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу  с периодом 2/m. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2] изменения угла . Равенство нулю индекса m означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла ). На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, a] влияют оба индекса m и n. При этом m определяет порядок функции Бесселя, а n – число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n = 1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д. Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной  соотношением (13.7). В рассматриваемом случае кр Н mn  2 a E . vmn (13.10) E Несколько первых корней функции Бесселя vmn в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле, приведены в таблица 13.1: таблица 13.1 Е21 Е12 Е01 E vmn 2,405 3,832 5,135 5,520 6,379 7,016 2,613 1,640 1,223 1,138 0,985 0,895 кр Еmn a Е11 Е02 Е31 Тип волны Низшим типом среди волн Е в круглом волноводе является волна Е01. Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по формулам (11.18), (11.35), (11.17) и (11.21) соответственно. На рис. 13.3 показана структура поля волны Е01. В случае Н-волн функция w  H mz (r, ,z ) , а поперечные составляющие векторов поля выражаются через H mz формулами (11.23) и (11.24). Вводя обозначение ВС = Н0z, получаем H mv (r , ,z )  H v0 (r , )  ei z , v  r , , z,   Emv (r , ,z )  Ev0 (r , )  ei z , v  r ,   (13.11a) где H z0 (r , )  H 0z J m (  r ) cos[m(  0 )],   m  Er (r , )  i  2 H 0z J m (  r ) sin[m(  0 )],   r    ' E (r , )  i H J ( r ) cos[m(  0 )],     0z m   (13.11б)  Ez (r , )  0,    0  H r0 (r , )   E (r , ),     0  H0 (r , )  Er (r ,  ).    Для определения поперечного волнового числа  воспользуемся граничным условием, которое в рассматриваемом случае эквивалентно условию E (a, )  0 . Подставляя в это равенство E (r , ) из (13.12), приходим к уравнению J m' (  a)  0 . H Обозначая корни уравнения (13.13) через vmn (рис. 13.2), находим, что: (13.12)   H vmn . a (13.13) Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нmn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Еmn. Индекс m совпадает с порядком функции Бесселя, а n – с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Так же как и в случае Е-волн, структура поля волны Нmn периодична по углу  с периодом 2/m, т.е. индекс m равен числу периодов структуры поля волны Нmn, укладывающихся на интервале [0, 2] изменения угла . Равенство нулю индекса m означает, что поле волны не зависит от угла . Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода. H Несколько первых корней vmn в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле (13.14), кр Н mn  2 а Н , vmn (13.14) приведены в таблице 13.2: таблица 13.2 Тип волны H11 H21 H01 H31 H41 H12 H vmn 1,84 3,05 3,83 4,20 5,32 5,33 3,41 2,06 1,64 1,50 1,182 1,178 кр H mn a Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл. 13.1 и 13.2, является волна Н11. Интересно отметить, что структура поля этой волны (рис. 13.4) близка к структуре волны Н10 в прямоугольном волноводе (рис. 13.3), также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 13.5 показана структура поля волны Н01. Параметры Н-волн , vф, vэ и  вычисляются по формулам (11.14), (11.18), (11.35) и (11.17) соответственно, а характеристическое сопротивление находится по формуле (11.26). 13.2. Токи на стенках круглого волновода . Плотность токов на стенках круглого волновода j Sm в соответствии с граничным условием определяется формулой: . . j Sm ( ,z)  [r0 , H m (a, ,z)   f 0 H mz (a, ,z)  z0 H m (a, ,z)] . Из формул (13.15) и (13.11) распространении по волноводу Н11 на его стенках текут и поперечные, и продольные волна Н01 возбуждает только поперечные токи (рис. волны Е01, как следует из формул (13.15), (13.5) и продольные токи, равномерно распределенные по волновода. (13.15) следует, что при основной волны токи (рис. 13.6), а 13.7). В случае (13.6), текут только периметру 13.3. Передача энергии по круглому волноводу Основной волной круглого волновода является волна Н11, а первым высшим типом – Е01. Поэтому в соответствии с данными табл. 13.1 и 13.2 условие одноволновости имеет вид 2.61a    3.41a , откуда   a . 3, 41 2,61 (13.16) Коэффициент широкополосности, определяемый по формуле (12.24),  = 1,3, т.е. существенно ниже, чем у прямоугольного волновода. Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по формуле (11.38). Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н11 получаем: Pcp H11  H где 11   2  a 2 Z c H 02z 4 1    / 3,41a  2 2 2  2 a    1   2 H  H H  1   H   J1 (v11 ) ,  v11 11    v11   (13.17) – длина волны Н11 в волноводе.    1    3,41a  Коэффициент ослабления м, соответствующий волне Н11, вычисляется по формуле 2 2           αì H11  R S 0,418   a  Z c 1  (13.18)    . 3,41 a     3,41a      Графики зависимости м (в дБ/м) от частоты для волн Н11, Е01 и Н01 в круглом медном волноводе для случая а = 25,4 мм показаны на рис. 13.8. Как видно, для волн Н11 и Е01 они аналогичны графикам, приведенным на рис. 12.12 для случая волн в прямоугольном волноводе. График, характеризующий зависимость коэффициента ослабления от частоты для волны Н01 в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н11 и Е01. У этих волн коэффициент м неограниченно возрастает при ffкр и f. Указанные особенности поведения м объясняются так же, как в случае Н01 в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент м для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у полны Н01 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не имеет продольной составляющей ( составляющая jSm возбуждается jSmz  0 ). Отличная от нуля продольной составляющей напряженности магнитного поля H mz (a, ,z) . При повышении частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля ТЕМ-волны, у которой Hz  0 . Следовательно, у волны Н01 при повышении частоты H mz  0 и одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н01 меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н11, если только a/ >2, а существенный выигрыш достигается при a/  3…4.