Корреляционный анализ

Корреляционный анализ Одной из важнейших задач статистики является установление связи и вида или формы этой связи между случайными величинами. Например, первая же принципиальная идея - это идея о взаимосвязях между разными переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изготовлением какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть функцией дохода. Все это примеры связи между двумя переменными, однако, для большей реалистичности в каждое соотношение приходится вводить несколько переменных. Зависимость между двумя величинами, при которой изменение одной влечет изменение закона распределения другой, называется статистической. При статистической зависимости величины не связаны функционально, но как случайные величины заданы совместным распределением вероятностей. Исследование взаимозависимости случайных величин приводит к теории корреляции как разделу теории вероятностей и корреляционному анализу как разделу математической статистики. Во многих случаях некоторые величины могут быть неслучайными, в то время как остальные имеют случайные флуктуации, обусловленные ошибками измерений или другими причинами. Исследование взаимозависимости случайных величин от ряда неслучайных и случайных приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Чаще всего для описания, анализа и прогнозирования явлений и процессов в экономике применяют модели в форме уравнений или функций. Проведем корреляционный анализ по имеющимся факторам x1 , x2 , x3 , определяя корреляционную (линейную) зависимость между ними и установления наиболее информативных из них. Для этого воспользуемся формулой выборочного коэффициента корреляции rB = rˆ = n( xi  x j ) − xi  x j [n( xi ) 2 − (xi ) ]  [n( x j ) 2 − (x j ) ] 2 2 . Данный коэффициент показывает линейную зависимость между анализируемыми показателями. Значения коэффициента корреляции принадлежат промежутку − 1;1. Чем больше его абсолютное значение к 1, тем теснее связь между признаками. Положительная величина коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между ними, отрицательная – о наличии обратной связи между признаками. Гипотеза об отсутствии линейной функциональной связи между xi и x j может быть записана как H 0 : r = 0 . Для проверки H 0 используется критерий, статистика которого r n−2 t= B  t (n − 2) 2 1 − rB распределена по закону Стьюдента с (n − 2) степенями свободы. Вывод о значимости корреляции между xi и x j может быть сделан, если t0  t 1−  , где t 1− 2  2    = t 1 − , n − 2  – квантиль t – распределения,  – 2   уровень значимости. Пример 2. Провести корреляционный анализ между рассматриваемыми факторами: уровень подготовки студентов по предмету «Бухгалтерский учет» на одном из факультетов в зависимости от: x1 – количества студентов, x2 – посещаемости занятий и x3 – коэффициента интеллекта студентов. x1 x2 x3 89 75 82 84 91 92 89 107 89 87 85 70 86 80 97 79 92 99 83 77 88 85 81 87 87 110 102 105 94 92 Решение: 1. Посчитаем выборочные коэффициенты, по формуле: n( x1  x2 ) − x1  x2 , rx x = 2 2 (n( x1 ) 2 − (x1 ) )  (n( x2 ) 2 − (x2 ) ) n( x1  x3 ) − x1  x3 , rx x = 2 2 (n( x1 ) 2 − (x1 ) )  (n( x3 ) 2 − (x3 ) ) n( x2  x3 ) − x2  x3 . rx x = 2 2 2 2 (n( x2 ) − (x2 ) )  (n( x3 ) − (x3 ) ) 1 2 1 3 2 3 Для этого понадобиться вспомогательная таблица: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  x1 x2 x3 x1 x 2 x1 x3 x 2 x3 x12 x 22 x 32 89 75 82 84 91 92 89 107 89 87 85 70 86 80 97 79 92 99 83 77 88 85 81 87 87 110 102 105 94 92 7565 5250 7052 6720 8827 7268 8188 10593 7387 6699 7832 6375 6642 7308 7917 10120 9078 11235 8366 8004 7480 5950 6966 6960 8439 8690 9384 10395 7802 7084 7921 5625 6724 7056 8281 8464 7921 11449 7921 7569 7225 4900 7396 6400 9409 6241 8464 9801 6889 5929 7744 7225 6561 7569 7569 12100 10404 11025 8836 8464 885 848 931 75549 82877 79150 78931 72654 87497 rx x = 1 2 10  75549 − 885  848 (10  78931 − (885) )  (10  72654 − (848) ) rx x = 0,684102 rx x = 0,257521 2 2 = 0,744797 1 3 2 3 Так как коэффициент корреляции находится в пределах: − 1  rx x  1 , i j то следуя этому, можно сделать вывод, что: ● − 1  0,7448  1 , между x1 и x2 существует достаточно тесная линейная зависимость; ● − 1  0,6841  1 , между x1 и x 3 есть не сильная линейная зависимость; ● − 1  0,2575  1, между x2 и x 3 практически отсутствует линейная зависимость, но связь может быть нелинейная. Рассмотрим гипотезу Н 0 , об отсутствии линейной функциональной связи между x i и x j . Н 0 : r = 0 , зададим уровень значимости  = 0,05 . Найдем t кр по критерию Стьюдента: t кр = ( ; n − 2) = (0,05; 8) = 2,306 Найдем t набл по всем переменным: rx x  n − 2 0,7448  10 − 2 t набл x1 x2 = = = 4,73 ; 1 − (rx x ) 2 1 − (0,7448) 2 1 2 1 2 t наблx1 x3 = rx x  n − 2 1 3 1 − (rx x ) 2 = 1 3 t наблx2 x3 = rx x  n − 2 2 3 1 − (rx x ) 2 3 2 = 0,6841  8 1 − (0,6841) 2 0,2575  8 1 − (0,2575) 2 = 3,637 ; = 0,78 . На основании полученных решений можно сделать следующие выводы: ● t наблx1 x2  t кр => гипотеза отклонена, т.е. между переменными x1 –количество студентов и x 2 – посещаемость занятий линейная зависимость статистически значимая; ● t наблx1 x3  t кр => гипотеза отклонена, т.е. между переменными x1 –количество студентов и x3 – коэффициент интеллекта студентов линейная зависимость статистически значимая; ● t наблx2 x3  t кр => гипотеза принята, т.е. между переменными x 2 –посещаемость занятий и x3 – коэффициент интеллекта студентов линейная зависимость статистически не значима.