Координатный способ задания движения точки.

61 Лекция 1. Координатный способ задания движения точки Рассмотрим движение точки в плоскости Oxy. Совместим полюс радиусвектора r  t  с началом декартовой системы координат (рис. 2.1). Траекторией движения точки является годограф радиус-вектора. В плоской системе координат Oxy радиусРис. 2.1 вектор r  t  раскладывается по базисным векторам i , j так: r t   x t   i  y t   j . Здесь координаты xM , yM являются координатами точки M  xM , yM  . Скорость и ускорение определены следующим образом: Vcp  acр  r r d r  V  lim Vcp  lim   r;  t 0  t 0  t t dt (2.1) V V d V  a  lim  V  r .  t 0  t t dt Если задать координаты радиус-вектора точки М в плоскости как функцию времени: x  xM  t  , y  yM  t  – то можно перейти к уравнениями движения точки в плоскости, заданным координатным способом: t  0,    x  xM  t  ,  y  y t ; M    (2.2) Зная уравнения (2.1), можно вычислить для каждого момента времени соответствующие значения x, y и, следовательно, указать положение точки по отношению к выбранной системе Оxy. Поэтому уравнения (4.1) являются также и уравнениями траектории точки, 62 заданными параметрически. Для получения явного вида уравнения траектории, т.е. зависимость f  x, y   0, следует из уравнений (2.2) исключить параметр t. Кинетические характеристики точки М будут вычисляться следующим образом: Скорость. Вектор скорости можно записать в виде V=r  x  i  y  j  Vx i  Vy j . Здесь Vx  x ; Vy  y . Тогда: 1. Модуль скорости Vx  x ,  V V  Vy  y ; Vx  Vy ; 2 2 (2.3) где V x  x , V y  y – проекции скорости V на оси Ох и Оу, знак производных x, y показывает направление проекций скорости по отношению к соответствующим осям. Направление вектора скорости по направляющему косинусу: cos V , i   x . V (2.3,а) Ускорение. Вектор ускорения можно записать в виде a=r = x  i  y  j  ax i  a y j . Здесь ax  x ; a y  y . Тогда: 1. Модуль ускорения  ax  Vx  x , 2 2   a  a  ax  a y ;  a y  Vx  y ; (2.4) 63 где a x  Vx  x , a y  V y  y – проекции вектора a на оси Ох и Оу соответственно, знак производных x, y показывает направление проекций ускорения по отношению к соответствующим осям. Если x  0, x  0 – вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси движения в одну сторону, тогда движение называется ускоренным. Если x  0 , x  0 или x < 0 , x > 0 – вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси движения в разные стороны, тогда движение называется замедленным. 2. Направление вектора ускорения по направляющим косинусам: cos  а , i   x . V (2.4,а) Скорость и ускорение точки при координатном способе задания вычисляются по формулам, приведенных в таблице 3.1 Таблица 2.1: 2 2 2 2 V  V  x  y  Vx  Vy , cos   x ; V x 2 2 2 2 a  a  x  y  ax  a y , cos 1  . a Траектория. Движение материальной точки разделим по виду траектории: прямолинейной (траектория – прямая y  kx , рис. 2.1, а) и криволинейной (траектория – кривая y  f ( x) , рис. 2.2, б). Рис. 2.2 64 Если из уравнений (2.2) удается исключить время t , то можно определить явную связь между координатами xM , yM . Эту связь между координатами можно рассмотреть как уравнение траектории движения точки М. Уравнение траектории можно записано в явном y  y  x  или неявном – F  x, y   0 видах. Перемещение. Перемещение точки – это вектор, соединяющий начальное положение точки с конечным положением. (на рис 2.3 это вектор M1M 2 ). Его числовое значение определяется модулем вектора перемещения Рис. 2.3 M1M 2 . Справка. Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Смысл слова «вектор» представляет собой обобщение устаревшего значения вектора в астрономии, где вектором назывался воображаемый направленный отрезок, соединяющий планету, обращающуюся вокруг центра, с этим центром. Векторная система обозначений имеет два существенных преимущества. Первое, она представляет собой такой язык, в котором формулировки имеют физическое содержание. Второе – векторная система обозначений является компактной. Физическую величину, которая характеризуется своим численным значением и направлением, определяют как векторную величину. Например, направление движения автобуса из пункта А в пункт В). Графически векторы изображают с помощью направленного отрезка (отрезка со стрелкой). Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается как AB . Также вектор обозначают малой латинской буквой, например, a . 65 Если точка движется прямолинейно и не меняет направление движения, то перемещение точки и ее путь совпадают: S= M1M 2 , рис. 2.3. Рис. 2.3 Справка. Кривые в системе координат Oxy можно представлять аналитически в виде формулы y  y  x  или графически в виде графика. 2 Например, функция y=x – аналитическая запись квадратичной функции, а ее график – парабола. Способ задания функции, как y  y  x  , называется явным. Явный способ задания функции удобен для выполнения над функциями различных математических действий и преобразований. Функцию можно задать неявным способом в виде F  x, y   0. Путь. Путь – это длина дуги (дуга M1M 2 ), которую описывает материальная точка за определенное время t рис. 2.3. Путь одной из латинских букв: X ,  , S . Вычисление длины дуги. При движении точки в плоскости Oxy , элемент дуги S траектории связан с приращениями координат Δ x и Δ y теоремой Пифагора, рис. 2.4: ΔS  Δ x 2  Δ y 2 . При t  0 : Δ S  dS , Δ x  dx, Δ y  dy , тогда дифференциал дуги dS t  связан с Рис. 2.4 дифференциалами функций d x  t  и d y  t  66 теоремой Пифагора: dS  (dx) 2  (dy) 2 . (2.5) Интегрируя выражение (2.5), получим путь, пройденный точкой за время t: t  d x  x dt ;  2 2 S  t     dx    dy    (2.6)   S  t    x  y dt. d y  y dt     o o Замечание. Если точка движется в одну сторону, дуговая координата S t 2 2 и путь  , пройденный точкой, совпадают. Пример 2.1. Движение точки задано уравнениями t  0,  x  9  t2,   y  12  t 2 ;  где x и y выражены в см, t  в с. Вычислить путь, пройденный точкой за 3с. Решение. Дифференцируя уравнения движения, получим проекции скорости точки на оси Ox и Oy: x  9  2t =18  t; y  12  2t  24  t. Считая, что время отсчитывается от нуля, вычислим путь, пройденный точкой за 3с: S t  3 3   x  y dt   2 t 3c o 2 18  t  2 o 30 3 3 3 t  10  3  90 см. 3 o Пример 2.1. Движение точки задано уравнениями  t  0,   x  2t  2,  2  y  2  t  1.  3   24  t  dt  18   24    t dt  2 2 2 2 o 67 где x и y выражены в см, t  в с. 1. Построить траекторию движения точки. 2. Вычислить перемещение точки за 2с. 3. Вычислить путь , пройденный точкой за 2с. 4. Вычислить скорость и ускорение точки за 2 с. Решение. 1. Для построения траектории движущейся точки исключим параметр t из заданных уравнений движения, получим уравнение траектории в явном виде – y  f  x  . t  0, x2  x  2,  t , 2  x  2t  2,    y  1  x  2 2 +1.  2  y  2 t +1; 2  y  2 t 2+1; Траекторией точки является правая ветвь параболы y=2  x  2   1, (рис. 2.5). Точка в 2 начальный момент времени имеет координаты:  x   2t  2   2, t 0   M o  2;1 .  2  y  2t  1 t  0  1;   Для вычисления положений точки на траектории в момент времени t1  2 c подставим Рис. 2.5 (а) и вычислим соответствующие координаты:  x   2t  2   6, t  2с   M1  6; 9  .  2 y  2 t  1  6;  t  2с   Точка через 2с имеет координаты M1  6; 9  . 2. Перемещение точки за 2с от начала движения равно расстоянию между точками Мо и М: M o M1= 4  8  4 5  80  8,94 м. 2 3. 2 Путь, пройденный точкой, соответствует длине дуги MoM. 68 Вычислим дифференциалы уравнений движения: dx  xdt  2; dy  ydt  4t. Считая, что время отсчитывается от нуля, вычислим путь, пройденный точкой за 2с: S  t  2с   t  2c   dx    dy  2 t  2c 2    2   4t  2 t  2c 2 dt  4  0,25  t 2 dt. Справка.  a 2  x 2 dx     1 x a 2  x 2  a 2 ln x  a 2  x 2 . 2 Вычислим интеграл: t  2c  I    1 0,25  t dt  t 0,25  t 2  0,25 ln t  0,25  t 2 2 2   1 2 0,25  4  0,25 ln 4  0,25  4 2   12  0,25 ln  2   0,25  1  2  2,06  0,5 1,45  0,17   2,34. 2 . S  t  2с   4  I  4  2,34  9,4 см. 4. Вычислим модуль скорости и ускорения. Имеем, рис. 2.6: Vx  x = 2,   V Vy  y = 4t ;  2 2   4t 2 = t  2c  2 2   4  2 2 = 68  8,2 м ; с  ax  Vx  x = 0, м 2 2 2   a  ax  a y = 0  4 = 2 2 ;  a y  Vx  y = 4; с  Направление вектора скорости и вектора ускорения вычислим по направляющим косинусам: cos   cos V , i   x 2 =  0,24    arccos 0,24  76. V 8,2 69 cos   cos  а , i   x  0    arccos 0  90. V Проверим Вычислим y полученный касательную результат. к функции 1  x  2 2 +1 в точке M  6; 9 . 2 Имеем: 2 1  tg  y'     x  2  +1'   x  2  x  6  2   6  4  2    arctg 2  76. Направление вектора скорости лежит на Рис. 2.6 y касательной в точке M1  6; 9  траектории 1  x  2 2 +1. 2 Пример 2.2. Движение точки M по плоскости Оху задано уравнениями движения t  0;   x  4 sin  2 t  , см;   y  2cos  2 t  , см. (а) где x и y выражены в см, t  в с. 1. Построить траекторию движущейся точки, вычислить положение 5  1,96с точки на траектории в моменты времени to  0, и t1  8 5  1,96с . 2. Вычислить при t1  8 2.1. скорость и ускорение; 2.2. перемещение; 2.3. путь. Решение. 70 Траектория. Для построения траектории движущейся точки в 1. декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений xt  и yt  . Функции sin  2t  и cos  2t   ограничены:. sin  2t   1 , cos  2t   1. Имеем: 2  x  2;  4  y  4. Выделяем на координатной плоскости область Oxy ограниченную полученными неравенствами. За эту область точка при движении не выходит (рис. 2.7). Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой: 2  x 2    sin  2 t  4    2  y 2    cos  2 t  2 2 2  x  y 2 2       cos  2t   sin  2t  4 2 Рис. 2.7 Учитывая основное тригонометрическое тождество; sin2  2t   cos 2  2t   1, получаем: 2 2  x  y      1 4  2 (б) Траекторией движущейся точки является эллипс. Подставляя в (а) значение to  0 , находим положение точки в нулевой момент времени: x  y  t 0  4 sin  0   0,  2 cos  0   2; t 0  M o  0; 2  . 71 Направление движения точки М. Точка в начальный момент времени занимает положение M 0  0,2  . Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией x  4 sin  2 t  и убывающей функцией y  2 cos  2 t  , поэтому при увеличении t координата «y» убывает, а «x» возрастает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке. Графики движения точки М. Подставляя в (а) значение t 2  находим положение точки:  x   y  5 t1  8  5  4 sin  2  8    5   4 sin    4 5 8  5  2 cos  2  8    5   2 cos    4 t1  2   2 2;   4  2  2    2;   2  2   Построим графики движения координат, рис. 2.8, а, б. Рис. 2.8 Определим период движения точки Т: 2T  2  T    3,14 с.   M1 2 2;  2 . 5 , 8 72 Скорость и ускорение. Вычислим модуль и направление вектора 2.1. скорости точки М. Имеем: Vx  x  4  2 cos 2t  8cos 2t ;   V  Vx2  Vy2   Vy  y  2  2 sin 2t  4 sin 2t ; Имеем при t1  8 cos 2t    4 sin 2t  2 2 ; 5  1,96с : 8   м  5   Vx  8 cos 2t t  5  8cos    8cos      8cos  4 2 ; 4 4 c  4   8   м  5   Vy  4 sin 2t t  5  4 sin    4 sin      4 sin  2 2 ; 4 4 c  4   8 2 2 V  Vx  Vy  32  8  40  2 10 cos V ,x   cos   м ; c Vx 4 2 2  2  0,89    26 V 2 10 10 Откладываем вектор скорости (рис. 2.8, а) точки M1 на траектории. Построим  касательную в точке  M1 2 2;  2 . Уравнение заданного эллипса в нижней полуплоскости имеет вид: y Рис. 2.9 1 2 16  x . 2 Вычислим производную этой функции и далее ее значение в точке   касания M1 2 2;  2 : '  1 2 x 2  1 tg  y'    16  x       2   2 2 16  x 2     xo 2  2 2 2 1  ; 2 2 16  8 73 1 tg       26. 2 Уравнение касательной имеет вид y  x   y' x1 2 2   x  0, y  2 2  2,8; x  2 2  2  y  0,5 x  2 2    y  0, x  2 2  5,6.  Вычислим модуль и направление вектора ускорения точки М. Имеем:  ax  x  Vx  8  2 sin 2t  16 sin 2t ; 2 2   a  16 cos  2t    8 sin  2t   .   a y  y  Vy  4  2 cos 2t  8cos 2t ; 5  1,96с : Имеем при t1  8 Вычислим, используя (в) и (г), модуль и направление векторов скорости и ускорения. для ускорения   м  5   a x   8 sin 2t t  5   8 sin    8 sin     8 sin  4 2 ; 2 4 4 4     с 8   м  5   a y   16 cos 2t   16 cos    16 cos     16 cos  8 2 ; 2 4 4  4   с 2 2 a  ax  a y  32  128   160  4 10 м с 2 Откладываем (рис. 2.10) точки ; значение M1 на ускорения траектории и убеждаемся, что вектор ускорения направлен Рис. 2.10 во внутрь вогнутости траектории (к центру О). 2.2. Перемещение. Вычислим перемещение от начала движения до 5 t1   1,96с ; 8 74 Перемещение точки за t1  1,96с равно расстоянию между точками   M o  0; 4  и M1 2 2;  2 , рис.2.10. M o M1= 2 2   2  2  2 2  8   3,41  4,4 см. 2 Рис. 2.11 2.3. Путь, пройденный точкой. Вычислим центральный угол дуги M1M' , рис. 2.11; tg   2 2 16  2    arctg 2  64    64    0,36 рад. 45 2 Справка: Длина дуги эллипса вычисляется через табличный эллиптический интеграл второго рода   1  k 2 sin2  d  E  ;  , k  sin Вычислим путь, пройденный точкой за заданное время движения. Заданы уравнения движения:  x  4 sin  2 t  , см;   y  2cos  2 t  , см. Замечание. Для вычисления длины дуги элипса необходимо ориентировать элипс так, чтобы большая пролуось лежала на оси Ox. Вычисления: введем параметр φ: 0    2  16 45 75 При φ=2π+16 точка пройдет путь, соответствующий длине дуги MoM. Уравнение эллипса в параметрическом виде будет иметь вид  x  4 sin  , см;   y  2cos , см. Вычислим дифференциалы уравнений: d x  x dt  4 cos  d ; d y  y  dt  2 sin d . 5  S   4      0  dx 2   dy 2      16 cos   4 sin  d   16  16 sin 2   4 sin 2  d  2  16 2  45  2 16  12 sin2  d  4 16 2  45  2  1 12 2 sin  d  4 16  1  0,75 sin2  d   16 2 45   k 2  0,75  k  0,87   4  2  1  k 2 sin 2  d  4 16 45   1  k 2 sin 2  d    E  k ,   k  sin   0,87    61    16    8E  61;90 =   4 E  61;62 = 2 45       8 1,2  4  0,92  9,2  3,68  12,9cм. Справка. Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА, который крепится на шарнирно-неподвижную который крепится опору шарнирно О, шатуна (шарнир А) АВ, с кривошипом и ползуна (поршня), который соединен с шатуном шарниром В направляющим дорожкам. и движется строго по 76 Пример 2.3. Положение кривошипа ОА кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.12), определено углом   3t (рад). Вычислить модуль скорости и модуль ускорения точек А, В и М в момент времени t  2 с, если OA  AB    0,6 м, AM   3 . Решение. Совместим декартовую систему координат Оxy с точкой О Рис. 2.12 кривошипа ОА. Вычислим положение механизма при t 1  2c (рис. 2.13):   3t  3  2  6 рад  6  57  342 18'  18 . Тогда     sin 18   0,31; . cos  360  18   cos 18   0,95. sin 360  18 Справка: длина окружности 2R  Рис. 4.4    ; 180    3,14 радиан; 1 радиан  573 . диаметр 2R Рис. 2.13 Точка А. Составим уравнения движения точки. Точка движется в плоскости Оxy , положение точки А определяется координатами x A , y A и имеют вид (рис. 2.14): x A  0,6 cos ; y A  0,6 sin . 77 Уравнения движения точки А имеют вид: t  0;   x  0,6 cos  3 t  ;  A  y  0,6 sin  3 t  .  A (а) Уравнение траектории движущейся точки в явном виде находим исключая параметр t из уравнений движения (a). Для этого возводим каждое из уравнения (а) в квадрат и складываем между собой.     Учитывая, что sin 2  t   cos 2  t   1 , 4  4  Рис. 2.14 получим x2A  y A2  0,62 Траекторией движущейся точки является окружность. Справка. Каноническое уравнение окружности радиусом R и центром O , имеет вид x2  y 2  R2 . Найдем положение точки А при t  2 . Имеем:  x A  0,6 cos  3t  = 0,6 cos 0  ; t 0   A  0,6;0  . Рис. y 4.4  0,6 sin  3t  = 0,6 sin 0  0; t 0  A Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы убывающей функцией x  0,6 cos  3t  и возрастающей функцией y  0,6 sin  3t  и поэтому при увеличении t координата «y» возрастает, а «x» убывает, следовательно, точка движется по окружности по против часовой стрелке. 78 Скорость точки А при t = 2с : Vx  x A   3  0,6  sin  3t  t 2 c  1,8  sin 342   1,8  sin  360  18     1,8   0,31  0,56; Vy  yB  3  0,6  cos  3t   1,8 cos 342  1,8 cos  360  18   t 2 c  1,8 соs18  1,8  0,95  1,7; VA  xA2  y A2   0,56  2  1,7   1,8 2 м . м/c. с Ускорение точки А при t = 2с : ax  x A   3  1,8  cos  3t  t 2 c   5,4  cos 342   5,4  cos  360  18     5,4   0,95   5,1; a y  yB   1,8  3 sin  3t  t 2 c  5,4   sin 342  5,4  sin  360  18    5,4    0,31  1,7; a A  xA2  y A2   5,1 2  1,7   5,4 2 м . м/c. с Откладываем векторы скорости и ускорения на рис. 2.15. Рис. 2.15 Отметим, что скорость точки А направлена по касательной к оси кривошипа. Вектор скорости и проекция вектора на ось τ точки А направлены в разные стороны, следовательно, точка движется замедленно. 79 Точка В. Точка движется прямолинейно вдоль оси Оx . Следовательно, в любой момент времени координата y B  0 , и движение этой точки будет определяться только координатой x B (рис. 2.16). Координата точки В (ползуна) имеет вид: x B  2 x A  2 cos  3t   2  0,6 cos  3t   1,2 cos  3t  . Уравнения движения точки В имеют вид: t  0;   x В  1,2 cos  3t  . Скорость точки В: VB  x B   1,2  3 sin  3t  t 2 c   3,6  sin 18     3,.6   0,31  1,1 м/с. Ускорение точки В: a B  x B   1,2  3  cos  3t  t 2 c   3,6  cos 18   2   3,6  0,95   3,42 м/с . Рис. 2.16 Знаки производных: x  0 , x  0 , вектор скорости и вектор ускорения направлены в разные стороны, следовательно, точка В движется замедленно. Точка M. Координаты точки М (рис. 2.17): 4 x М  t    cos 3t    cos  3t     cos 3t   3 3 4   0,6  cos  3t   1,2 cos  3t  ; 3 80 2 2 y М  t     sin  3t    0,6  sin  3t  .  0,4  sin  3t  . 3 3 Уравнения движения точки М имеют вид: t  0;   x  1,2 cos  3 t  ;  A  y  0,4 sin  3 t  .  A (а) Уравнение траектории точки M в явном виде находим исключая параметр t из уравнений движения (б). Для этого делим первое уравнение на 0,75, второе – на 0,25; возводим каждое из них в квадрат и складываем     между собой. Учитывая, что sin 2  t   cos 2  t   1 , получим 4  4  2 2  x   y      1  1,2   0,4  Справка. Уравнение эллипса имеет вид 2 2 x  y       1 , где а – полуось эллипса на a b оси Ox , b – полуось эллипса на оси Oy . Траектория точки М – эллипс с полуосями 1,2; 0,4  (рис. 2.17): Рис. 2.17 81 Скорость точки М при t  2 с: Vx  x М  1,2  3  sin  3t    3,6   0,31  1,1 м/c; t 2 c   3,6  sin  342    3,6  sin  360  18   Vy  y М  0, 4  3 cos  3t  t 2 c  1, 2  cos  342   1, 2  cos  360  18    1,2  0,95  1,14 м/c. V М  x 2  y 2 М М 1,12  1,142   1,6 м/c. Ускорение точки М при t  2 с: aM  x М   3,6  3 cos  3t  t 2c   10,8  cos  342    10,8  cos 360  18   2   10,8  0,96  10,4 м/c ; aM  y М  1,2  3 sin  3t  t 2 c   3,6  3  sin  342o    3,6  3  sin  360o  18     3,6   0,31  1,12 м/c ; 2 a М  x 2  y 2 М М  10,42  1,122  10,2 м/c2. Рис. 2.18 Вектор скорости и вектор касательного ускорения точки М направлены в разные стороны, следовательно, точка движется замедленно. 82 Приложение