Координатный способ задания движения точки

88 Лекция 4. Координатный способ задания движения точки 4.1. Скорость, ускорение Совместим полюс радиус-вектора с началом декартовой системы координат. Введем единичные орты, имеющие направление прямоугольных координатных осей Ox , Oy , Oz (в сторону возрастания осей), и обозначим i , j , k (рис. 4.1). Разложим радиус– вектор r по базисным векторам i , j , k прямоугольной системы координат, получим Рис. 4.1 r  t   xA  t   i  y A  t   j  z A t   k , здесь компоненты xA  t  , y A  t  , z A  t  являются координатами точки А в прямоугольной системе координат. Модуль радиус-вектора r r xM2  yM2  zM2 ; Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора. В соответствии срис. 4.2 направляющими косинусами вектора r являются: cos   xM y z , cos   M ,. cos   M . r r r Рассмотрим движение точки в плоскости Oxy . Совместим с полюсом O начало системы Oxy , а ось Рис. 4.2 Ox – с осью (рис. 4.3). В плоской системе 89 координат Oxy радиус-вектор r  t  раскладывается по базисным векторам i , j так: r  t   xM  t   i  yM  t   j . Приращение радиус-вектора имеет вид dr=d x  i  d y  j . . Здесь координаты xM  x  t  , Рис. 4.3 yM  y  t  являются координатами точки M  xM , yM  . Если задать координаты радиус-вектора точки М в плоскости как функцию времени: x  xM  t  , y  yM  t  – то можно перейти к уравненим движения точки в плоскости, заданным координатным способом: t  0,    x  xM  t  ,  y  y t ; M    (4.1) Зная уравнения (4.1), можно вычислить для каждого момента времени соответствующие значения x, y и, следовательно, указать положение точки по отношению к выбранной системе Оxy. Поэтому уравнения (4.1) являются также и уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Для получения явного вида уравнения траектории, т.е. зависимости f  x, y   0, следует из уравнений (4.1) исключить параметр t. Кинетические характеристики точки М следующим образом: I. V= Вектор скорости можно записать в виде dr d x dy  i  j  Vx i  Vy j . dt d t dt будут вычисляться 90 Здесь dx dy  x ; Vy  y. dt dt Vx  Тогда: Модуль скорости 1. Vx  x ,  V V  Vy  y ; Vx  Vy ; 2 2 (4.2) где V x  x , V y  y – проекции скорости V на оси Ох и Оу, знак производных x, y показывает направление проекций скорости по отношению к соответствующим осям. Направление вектора скорости по направляющиму косинусу: 2. cos V , i   x x ; cos  а , i   . V V (4.2,а) Вектор ускорения можно записать в виде II. 2 a= d r dt 2 2  d x dt 2 2 i  d y dt j  ax i  a y j . 2 Здесь 2 ax  d x dt 2 2  x ; ay  d y dt 2  y. Тогда: 1. Модуль ускорения  ax  Vx  x , 2 2  a  a  ax  a y ;   a y  y ; (4.3) где a x  Vx  x , a y  V y  y – проекции вектора a на оси Ох и Оу соответственно, знак производных x, y показывает направление проекций ускорения по отношению к соответствующим осям. 2. Направление вектора ускорения по направляющим косинусам: 91 cos V , i   x x ; cos  а , i   . V V (4.3,а) Скорость и ускорение точки при координатном способе задания вычисляются по формулам, приведенных в таблице 3.1 Таблица 4.1: 2 2 2 2 V  V  x  y  Vx  Vy , cos   x ; V x 2 2 2 2 a  a  x  y  ax  a y , cos 1  . a Пример 4.1. Точка движется в плоскости Oxy . Уравнение движения точки задано координатным способом: t  0,   t   x  2  3cos  , 3      t   y  2sin  .   6  где x и y выражены в см, t  в с. Требуется: 1. Построить траекторию движения точки в декартовой системе координат, и провести анализ движения точки по траектории. 1. Вычислить положение точки в начальный момент времени t o  0 , направление движения точки по траектории и положение точки на траектории при t1  1 с. 2. Вычислить вектор скорости V и вектор ускорения a точки при t1  1 с. 3. . Построить касательную к траектории в точке M1 (положение точки при t1  1). Решение. 92 1. Построим траекторию движения точки. Для этого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений x(t ) и y (t ) . Функции sin  и cos   ограничены, т.е. sin   1, cos   1 получаем из (а), рис. 4.4:   t   x  2  3cos  3  ,  1  x  5,       2  y  2.   t   y  2sin ;     6   Получим уравнение траектории в системе координат Oxy, т. е. зависимость y  y(x) . Для этого из уравнений (а) исключим параметр t . Рис. 4.4 Введѐм обозначение   t 6 , сделаем преобразования, получим уравнение траектории в явном виде:  1  x  5, 2    cos 2   1  2 sin  ,  x  2  3cos 2 ,   (б)    2  x  2,  y    sin   ;  y  2sin  ;  2   x  1  3 y 2 .  2 Траекторией точки является часть параболы, вершина которой имеет координаты M o  1;0  ; ветви параболы вытянуты вдоль оси Ox , рис. 3.8. 2. Для вычисления положений точки на траектории в нулевой момент времени и при t=2c, заданный момент времени подставим значение t в (а) и вычислим соответствующую координату. Имеем:  x t   2  3 cos 0  2  3  1, t  c   M o  1; 0  ;   y  t  t 0c  2 sin 0  0; 93  x   y  t 1с    2  3 cos   1  2  3  0,5  0,5; 3  t 1с    2 sin   1  2  0,5  1; 3   M1  0,5;1 . Отмечаем на траектории точки M o  1; 0  и M1  0,5;1 . 3. Вычислим вектор скорости V точки M1  0,5;1 : Vx  x  3         sin  t     sin  t  3   3  3  1c    sin  1  3   3,14  0,87  2,7 ;     V y  y  2   cos t   cos  t  6 6  3 6    1c   cos  1  3 6  3,14  0,87  0,9 ; 3 V1  Vx2  V y2  2,7 2  0,9 2  7,29  0,81  2,8 см/с; 1 1 V 2,7 сos (V , x )  cos  x   0,96 ,   16 . V 2,8 Откладываем проекции скорости V на графике (рис. 4.5). 1 Рис. 4.5 4. Вычислеим вектор ускорения a точки M1  0,5;1 : 94       ax  Vx   cos  t    cos  t  3 3  3 3  2 2 1с    3,14  cos   1   0,5  1,64 3 3 3   2       a y  Vy    sin  t      sin  t  3 18  6  6 6   2  1с 2   sin   1  18 6  2 3,14  0,5  0,27 ; 18 a1  a x2  a 2y  1,64 2  0,27 2  1,66 (см/c2); 1 1 a 1,64 сos (a , x )  cos  x   0,98 ,   11. a 1,66 Откладываем проекции скорости a1 на графике (рис. 4.5). Уравнение касательной в точке M xo ; y o  , имеет вид 5. x 1с  0,5 (см); y 1с  1 (см). y  x   y'  xo  x  xo   yo .  y  x   y' x=0,5  x  0,5  1 Вычислим производную функции y = 2  x  1 и далее ее значение в 3 точке касания M  0,5;1 : x  1  3 2 2 y  y =  x  1 2 3 '  2   2 1  2 1 y'    x  1       0,33   3 3 3 2 x  1 2 0,5  1     xo  0 ,5   Итак, уравнение касательной имеет вид y  x   0,33 x  0,5  1  0,33x  0,84 .  x  0, y  0,84; y  x   0,33x  0,84    y  0, x  2,25.  tg   0,33    16. 95 Проводим касательную и убеждаемся, что вектор скорости совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М1, а вектор ускорения направлен во внутрь вогнутости траектории (к центру О). Пример 4.2. Положение кривошипа ОА кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.6), определено углом   3t (рад). Вычислить модуль скорости и модуль ускорения точек В и М в момент времени Рис. 4.6 t  2 с, если OA  AB    0,6 м, AM   3 . Решение. Совместим декартовую систему координат Оxy с точкой О кривошипа ОА. Вычислим положение механизма при t 1  2c (рис. 4.7):   3t  3  2  6 рад  6  57   342 18' ( 360  342  18 ). Справка: длина окружности 2R     ; 180    3,14 радиан; 1 радиан  573 . диаметр 2R Рис. 4.7 Скорость и ускорение точки В. Точка движется прямолинейно вдоль оси Оx . Следовательно, в любой момент времени координата y B  0 , и движение этой точки будет определяться только координатой x B (рис. 4.7). 96 Имеем: OA  AB , тогда координата x B 2x A  2 cos    2  0,6 cos 3t   1,2 cos 3t  . Скорость точки В: V B  x   1,2  3 sin 3t  B t 2 c     3,6  sin 18    3,.6   0,31  1,1 м/с. Ускорение точки В: a B  x   1,2  3  cos 3t  B t 2 c   3,6  cos 18  2   3,6  0,95   3,42 м/с . Знаки производных: x  0 , x  0 , вектор скорости и вектор ускорения направлены в разные стороны, следовательно, точка В движется замедленно. Скорость и ускорение точки М. Координаты точки М (рис. 3.12): 4 x М  t   x А  AМ  cos    cos 3t    cos  3t     cos 3t   3 3 4   0,6  cos  3t   1,2 cos  3t  ; 3 2 2 y М  t     sin  3t    0,6  sin  3t  .  0,4  sin  3t  . 3 3 Траектория точки М – эллипс с полуосями 1,2; 0,4 (рис. 4.8): 2 2  x   y      1 1 , 2 , 4     Скорость точки М для t  2 с: x М   1,2  3  sin 3t    3,6   0,31  1,1 м/c; y М t 2 c   3,6  sin 342   3,6  sin 360  18   0,4  3 cos3t  t 2 c  1,2  cos342 1,2  cos360  18  1,2  0,95  1,14 м/c. V М  x 2  y 2 М М  1,12  1,142  1,6 м/c. 97 Рис. 4.8 Ускорение точки М для t  2 с: x М   3,6  3 cos3t  t  2c       10,8  cos 342    10,8  cos 360   18  2   10,8  0,96  10,4 м/c ; y М   1,2  3 sin 3t  t  2c       3,6  3  sin 342 o   3,6  3  sin 360 o  18  2   3,6   0,31  1,12 м/c ; a М  x 2  y 2 М М  10,42  1,122  10,2 м/c2. Вектор скорости и вектор касательного ускорения точки М направлены в разные стороны, следовательно, точка движется замедленно. Путь, пройденный точкой 4.2. При движении точки в плоскости Oxy , элемент дуги S траектории связан с приращениями координат Δ x и Δ y теоремой Пифагора, рис. 4.9: Рис. 4.9 ΔS  Δ x 2  Δ y 2 . 98 При t  0 : Δ S  dS , Δ x  dx, Δ y  dy , тогда дифференциал дуги dS t  связан с дифференциалами функций dxt  и dyt  теоремой Пифагора (рис.4.9): dS  (dx) 2  (dy) 2 . (3.6) Интегрируя выражение (3.6), получим путь, пройденный точкой за время t: t S t     dx  2 t   dy    dx  xdt ; dy  ydt   S  t    x  y dt. 2 2 o 2 (3.7) o Здесь dx  x dt , dy  y dt , dz  z dt . Замечание. Если точка движется в одну сторону, дуговая координата S и путь  , пройденный точкой, совпадают. Пример 4.3. Движение точки задано уравнениями t  0,  x  9  t2,   y  12  t 2 ;  где x и y выражены в см, t  в с. Вычислить путь, пойденный точкой за 3с. Решение. Дифференциируя уравнения движения, получим проекции скорости точки на оси Ox и Oy: x  9  2t =18  t; y  12  2t  24  t. Считая, что время отсчитывается от нуля, вычислим путь, пройденный точкой за 3с: S t  3 3   x  y dt   2 t 3c o  2 18  t  o 30 3 3 3 t  10  3  90 см. 3 o 2 3   24  t  dt  18   24    t dt  2 2 2 2 o 99 Пример 4.4. Движение точки задано уравнениями t  0,   x  2t  2,  2  y  2  t  1.  где x и y выражены в см, t  в с. 1. Построить траекторию движения точки. 2. Вычислить перемещение точки за 2с. 3. Вычислить путь, пойденный точкой за 2с. Решение. 1. Для построения траектории движущейся точки исключим параметр t из заданных уравнений движения, получим уравнение траектории в явном виде – y  f  x  . t  0, x2  x  2,  t , 2  x  2t  2,    y  1  x  2 2 +1.  2  y  2 t +1; 2  y  2 t 2+1; Траекторией точки является правая ветвь параболы y=2  x  2   1, (рис. 4.10). 2 Точка в начальный момент времени имеет координаты:  x   2t  2   2, t 0   M o  2;1 .  2  y  2t  1 t  0  1;   Для вычисления положений точки на Рис. 4.10 траектории в момент подставим (а) и вычислим соответствующие координаты: времени t1  2 c 100  x   2t  2   6, t  2с   M1  6; 9  .  2  y  2t  1 t  2с  6;   Точка через 2с имеет координаты M  6; 9  . Перемещение точки за 2с от начала движения равно расстоянию 2. между точками Мо и М: M o M= 4  8  4 5  80  8,94 м. 2 2 Путь, пройденный точкой, соответствует длине дуги MoM. Вычислим дифференциалы уравнений движения: 3. dx  xdt  2; dy  ydt  4t. Считая, что время отсчитывается от нуля, вычислим путь, пройденный точкой за 2с: S  t  2с   t  2c   dx    dy  2 t  2c 2    2   4t  2 t  2c 2 dt  4  0,25  t 2 dt. Справка.  a 2  x 2 dx     1 x a 2  x 2  a 2 ln x  a 2  x 2 . 2 Вычислим интеграл: t  2c  I   0,25  t 2 dt    1 t 0,25  t 2  0,25 ln t  0,25  t 2 2  1 2 0,25  4  0,25 ln 4  0,25  4 2 1  2  2,06  0,5 1,45  0,17   2,34. 2 . S  t  2с   4  I  4  2,34  9,4 см.   12  0,25 ln   2 0,25  