Конформные отображения

Лекция 4. Конформные отображения. Вопросы: 1. Свойства конформных отображений. Линейная и дробно-линейная функции. 2. Степенная функция. Функция Жуковского. 3. Показательная и логарифмическая функции. 4. Тригонометрические и гиперболические функции. 5. Решение задач. 1. Свойства конформных отображений. Линейная и дробно-линейная функции. Будем обозначать через , расширенные комплексные плоскости переменных z и w соответственно, т. е.  Если а – действительное число, то символом [(соответственно [– ) обозначено множество действительных чисел х, для которых выполняется неравенство x a (соответственно x a), включающее бесконечную точку. Известно, что отображение области  на область будет конформным, если это отображение взаимно однозначно и функция является аналитической в области , за исключением, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка. Отметим следующие свойства конформных отображений областей: 1) Суперпозиция двух конформных отображений также является конформным отображением. 2) Отображение, обратное к конформному отображению, также является конформным. 3) При конформном отображении угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке области, равен по величине и направлению углу между соответствующими образами кривых (принцип сохранения углов). 4) Если области   и   ограничены кусочно-гладкими кривыми, то конформное отображение области  на область   устанавливает взаимно-однозначное соответствие между границами областей  и   c сохранением ориентации (граница области ориентирована так, что при ее обходе область остается слева). Рассмотрим некоторые элементарные функции с точки зрения отображений, которые они осуществляют. Линейная функция где а и b – заданные комплексные числа при а Так как то эта функция конформно отображает плоскость   на плоскость . В общем виде линейная функция есть суперпозиция трех простейших функций: а)  – преобразование подобия плоскости     с центром подобия  и коэффициентом подобия б)  – поворот всей плоскости    на угол  относительно точки  в)  – сдвиг плоскости   на вектор b. Дробно-линейная функция  , где  Эта функция конформно отображает плоскость  на плоскость   Основные свойства дробно-линейного отображения: 1) Групповые свойства – совокупность дробно-линейных отображений образует группу по отношению к операции суперпозиции. 2) Круговое свойство – дробно-линейное отображение преобразует любую окружность плоскости  в окружность на плоскости  (любая прямая в плоскости   считается окружностью бесконечно большого радиуса, проходящей через точку 3) Свойство сохранения симметрии – при дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно некоторой окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности. Замечание. Точки  и  называются симметричными относительно окружности Г, если они лежат на одном луче, выходящем из точки  – центра окружности и , где r – радиус окружности Г. 4) Существует единственное дробно-линейное отображение, удовлетворяющее условиям: , где и это отображение определяется формулой Замечание. Если одна из точек  , либо  равна бесконечности, то в последней формуле все разности, содержащие эту точку, следует заменять единицами. Легко показать, что любую дробно-линейную функцию можно представить в виде  , где p, s, q – комплексные числа. Таким образом дробно-линейная функция есть суперпозиция функций: а)   б)   в)  Опишем для дробно-линейной функции процесс построения образа  области  , граница  которой состоит только из дуг окружностей или частей прямых: а) находим образы угловых точек границы , в которых соединяются два соседних участка границы ; б) если дуга окружности (часть прямой) границы  расположена на окружности (на прямой), содержащей прообраз бесконечной точки, то соответствующая часть границы образа  области  будет частью прямой. Эта прямая определяется двумя конечными точками плоскости; в) если дуга окружности (часть прямой) границы  расположена на окружности (на прямой), не содержащей прообраз бесконечной точки, то соответствующая часть границы  будет частью окружности. Эта окружность определяется либо по трем конечным точкам плоскости   либо по радиусу и центру, который можно найти по свойству сохранения симметрии как точку, симметричную бесконечной точке относительно данной окружности. г) образ  определяется как часть плоскости расположенная слева от кривой  , ориентированной в соответствии с ориентацией кривой  либо как часть плоскости  , ограниченная кривой  и содержащая образ какой-нибудь точки области  . 2. Степенная функция. Функция Жуковского. Степенная функция  , где n = 2, 3,… отображает любой из углов на область   Обратная функция   является п-значной. Ее однозначная ветвь определяется, например, заданием образа одной из точек. Так функция    в области   имеет две однозначные ветви  , и , которые конформно отображают область   на верхнюю полуплоскость   и  нижнюю полуплоскость соответственно. Функция Жуковского конформно отображает: а) внутренность круга единичного радиуса с центром в точке {z: и внешность такого круга {z: на область б) верхнюю полуплоскость и нижнюю полуплоскость на область  ; в) области {z: , {z: на верхнюю полуплоскость г) области {z: , {z: на нижнюю полуплоскость д) обратная функция   двузначна. Однозначные ветви этой функции, определяемые равенствами w(  и w( конформно отображают область на внутренность круга {w: и внешность такого круга {w: соответственно. 3. Показательная и логарифмическая функции. Показательная функция отображает любую область {S , где S – действительное число, на область Обратная функция – логарифмическая функция является бесконечнозначной. Область {z: однозначные ветви где конформно отображают на полосы {w: соответственно. 4. Тригонометрические и гиперболические функции. Отображения, осуществляемые этими функциями, сводятся к последовательному исполнению ранее рассмотренных отображений. Например, функция является суперпозицией функций и функции Жуковского.  Для представления тригонометрических и гиперболических функций в виде суперпозиции более простых функций полезны следующие равенства: , , 5. Решение задач. Задача 1. Найти образ области  при отображении дробно-линейной функцией  , удовлетворяющей условиям:   Решение.  Найдем дробно-линейную функцию, удовлетворяющую указанным условиям, из равенства в котором, , и все разности, содержащие  и  =  заменены единицами. Тогда  и  . Граница области D из двух отрезков GF и GH и дуги FH единичной окружности. Находим образы F1, G1 и Н1 угловых точек F, G и Н границы области D. F1=0, G1 и H1 = . Отрезок GF расположен на вещественной прямой, а дуга FH – на единичной окружности, причем прямая и окружность проходят через точку – прообраз бесконечности при отображении  . Следовательно, образы G1F1 и F1H1 этих частей границы области D расположены на прямых. Образом отрезка GH является дуга окружности, проходящей через точки и H1 = Центр этой окружности – образ точки , которая симметрична точке относительно прямой {z: , Следовательно, образ Q области D при отображении имеет вид Ответ: Q = {w: Задача 2. Найти дробно-линейную функцию, отображающую а) верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга; б) единичный круг на единичный круг . Решение. а) Пусть точка верхней полуплоскости, переходящая в центр единичного круга, т.е. . По свойству 3) сохранения симметрии при дробно-линейном отображении точка симметричная точке относительно действительной оси, должна переходить в точку симметричную точке относительно окружности Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям имеет вид , где А- комплексное число. Определим постоянную А. При действительном значении точка должна находиться на единичной окружности и Учитывая, что при получим 1=. Следовательно, А= и искомая функция имеет вид при Ответ: при (существует бесконечное множество дробно-линейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа и комплексного числа б) Пусть точка круга , переходящая в точку Тогда точка симметричная точке относительно окружности, должна переходить в точку симметричную точке относительно окружности. Выразим через Точки и лежат на одном луче, исходящем из точки z поэтому где положительное число. Имеем , т.е. =1, откуда ) = 1/ . Дробно-линейная функция, удовлетворяющая условиям и имеет вид , где А- комплексная постоянная. Константа А не произвольная, так как точки окружности отображаются в точки окружности в частности при . Поэтому , так как . Следовательно, и искомое отображение имеет вид . Ответ: (существует бесконечное множество дробно-линейных функций, осуществляющих нужное отображение. Каждая из этих функций определяется значениями действительного числа и комплексного числа Задача 3. Найти функцию , конформно отображающую область {z:  на верхнюю полуплоскость ={}. Решение. Дробно-линейная функция   отображает область   на область }. Это следует из того, что точки, , переходят соответственно в точки   Тогда функция отображает область на область и, следовательно, функция конформно отображает область  на область  Ответ: Задача 4. Найти образ области  {z:    при отображении функцией  Решение. Из равенства следует, что функция является суперпозицией четырех функций – функция Жуковского и . В результате последовательного выполнения отображений этими функциями получим следующую последовательность областей: Следовательно, образом области– полуполосы при отображении  является правая полуплоскость    . Ответ:   ={}.