Классификация точек множества
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате docx
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Классификация точек множества
Предельная точка Х – точка x, кот обладает cв-вом: любая окрестность точки х содержит точки множ-ва Х отличные от х.
Изолированная точка Х – точка, у которой есть окрестность, кот. не содержит точки множ-ва Х за исключ. самой точки х.
Внешняя точка Х – точка, кот не € множ-ву Х и имеется окрестность этой точки не перечек. с Х.
clX=C(intX): cl – замыкание, int – внутренность.
Модуль и его свойства.
Модуль вещественного числа x есть расстояние от x до нуля.
Более точно: Модуль x есть неотрицательное число, обозначаемое |x|, определяемое следующим образом: если x ≥ 0, то |x|=x; если x < 0, то |x| = −x. Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:
|a| ≥ 0
|a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
|ab| = |a||b|
Модуль действ. числа и его свойства.
Модуль и основные неравенства.
x; x>0
|х|= 0; x=0
-x; x<0
|x|hÛ x>h
h>0 x<-h
1) " а,b Î R: |a±b|£|a|+|b|
2) " а,b Î R: |a-b|³||a|-|b||
Можно рассматривать окрестности бесконечности:
Оε(+¥)={xÎR:x>ε} (////////// x
ε>0 ε
Оε(-¥)={xÎR:x<-ε} ///////////) · x
ε>0 -ε 0
Оε(¥)={xÎR:|x|>ε} \\\\\\) · (////// x
x>ε;x<-ε -ε ε
Предел числовой последовательности.
если каждому натуральному n поставлено число хn, то говорят что задана числовая последовательность х1,x2…xn={xn}
O:Числ. посл. называется занумерованная совокупность чисел рассматриваемая в порядке возрастания. Общий эл-т последовательности является функцией от n. xn=f(n)
O: Последовательность {xn} – ограниченная, если существует M>0, что для любого n верно: |хn|0 сущ. такой номер N, что для всех n>N выполняется: |a-xn|<ξ (запись limxn=a), в таком случае говорят, что {xn} сходится к а при n→∞
C: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом, если сходится она из них, то сходится и другая.
O: число а назыв. пределом послед. {xn}, если в ξ окрестности содержится только конечное число членов числ. послед.
Основные теоремы о пределах
1) последовательность не может иметь более одного предела. док-во:
предположим что посл. имеет 2 предела a и b, a≠b. Тогда по опред. существ. ξ>0, что |a-xn|<ξ/2, |b-xn|<ξ. Запишем |a-b|=|(a-xn)+(xn-b)|≤|a-xn|+|xn-b|<ξ/2+ξ/2=ξ, т.к. ξ-любое число, то |a-b|=0, т.е. a=b
2) теорема о пределе модуля: если xn→a, то |xn|→|a|. Док-во:
из xn→a след, что |xn-a|<ξ. В то же время ||xn|-|а||≤|xn-a|, т.е. ||xn|-|а||<ξ, т.е. |xn|→|a|
3) Если xn→а, то послед. {xn} ограничена.
Монотонная последовательность:
O: 1. если xn+1>xn для всех n, то последовательностьвозрастающ. 2. если xn+1≥ xn, для всех n, то послед. не убывающая. 3. если xn+10 сущ. такое xn>a-ξ -> a-ξ0 сущ. Nξ, такое что n>Nξ и выполняется: |аn-А|<ξ <-> bn=аn-А <-> |bn|<ξ <-> |bn-0|<ξ
Достаточность! аn-А→0, любое ξ>0 сущ. Nξ n>Nξ
БМВ. Теоремы о БМВ
Числ. посл. называется бесконечно малой, если ее предел = 0. БМ функция может быть только если указать у какому числу стремится аргумент х. При различных а функция может быть бесконечно малой или нет.
T: для того, чтобы f(x) при x→a имела предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки x=a выполнялось условие f(x)=A+α(x), где α(x) – БМВ при x→a(α(x)→0 при х→а)
Св-ва: 1) сумма БМВ явл БМВ 2) произвед. 2х БМВ есть БМВ 3) произведение ограниченной последовательности БМВ есть БМВ 4) если БМВ умножить на const то получ. БМВ 5) частное от деления БМВ, предел которого ≠ 0, есть БМВ
