Классификация технологических процессов

Классификация технологических процессов Производственный процесс, т.е. процесс производства какой-либо продукции, представляет собой совокупность взаимосвязанных частичных процессов, которые могут быть вспомогательными, обслуживающими, или основными. К вспомогательным процессам относят изготовление инструмента, ремонт оборудования, производство энергоресурсов, сжатого воздуха и т.д.     К обслуживающим процессам относят технический контроль качества продукции, транспортное обслуживание, складирование предметов труда и производства. Основную часть производственного процесса составляют технологические процессы (ТП). На основе технологического  процесса  осуществляется  изменение форм, размеров, физико-химических свойств предметов труда. Для целей организации и нормирования труда технологические процессы  расчленяют на операции. Операция – это часть технологического процесса, выполняемая над определенным предметом труда на одном рабочем месте одним или группой рабочих.  По технологическим признакам операции расчленяются на установки, переходы и проходы. Установкой называется часть операции, выполняемая при неизменном положении предмета труда. Переходом называется часть операции, выполняемая для изменения одного или одновременно нескольких свойств предмета труда, одним или одновременно несколькими инструментами при неизменном режиме работы оборудования. Проход – это часть перехода, при котором изменяется свойство предмета труда без смены инструмента и изменения режима обработки. Разнообразие технологических процессов обусловлено следующими основными факторами: • видом используемого сырья; • формой и количеством необходимых энергоресурсов; • количеством стадий (операций) преобразования сырья; • временными характеристиками операций процесса; • видом готовой продукции. По характеру протекания технологические  процессы  делятся  на  непрерывные,  периодические  и  дискретные. Непрерывным называется такой процесс, в котором конечный продукт вырабатывается  до  тех  пор,  пока  подводится  сырье,  энергия,  катализаторы, управляющие воздействия. К таким процессам можно отнести, например, процессы переработки нефти. Периодическим является технологический процесс, в котором за сравнительно небольшой промежуток времени (часы или дни) вырабатывается определенное, ограниченное количество конечного продукта. При этом в течение отведенного промежутка времени периодический процесс является непрерывным. Примером периодического процесса может быть технологический процесс плавки металла в  доменной печи. Дискретным называется технологический процесс, в котором конечный продукт вырабатывается за определенные промежутки времени, и этот процесс  можно остановить, а также продолжить с любой технологической операции без снижения заданного уровня качества. Можно назвать такие примеры, как: процесс сборки изделий на конвейере, испытание готовых изделий  и  т.п. Технологический процесс переработки сырья в продукцию можно выполнять без помощи машин, т. е. только за счет мускульной силы человека. Такой процесс называют ручным, или немеханизированным. Процесс переработки, в котором для облегчения своего труда человек использует машины, называют механизированным. Механизация не освобождает полностью человека от непосредственного участия в переработке сырья. Любая механизированная операция состоит из двух частей — энергетической и информационной. Энергетическая операция включает рабочие операции, для выполнения которых необходимо приложить усилие, затратить энергию. Эти операции обычно и выполняют при помощи машин, станка. Информационная операция включает функции контроля выполняемой операции, ее регулирования, управления. Эти функции при механизации процесса выполняет человек. Автоматическим называют процесс, в котором не только энергетические, но и контроля, регулирования, управления, т. е. информационные функции, переданы автоматическим устройствам. Чем больше энергетических операций выполняет машина, тем выше степень механизации процесса. Однако только в том случае, если процесс управляется устройствами, исполняющими информационные функции, его считают автоматическим. Различают частичную автоматизацию, при которой только часть информационных функций выполняется автоматами (например, управление), и полную автоматизацию, когда все информационные функции выполняются автоматами. В зависимости от степени использования автоматизации в технологических процессах различают некомплексную и комплексную автоматизацию. Некомплексная автоматизация — это автоматизация отдельных, не связанных между собой технологических операций. Комплексная автоматизация — комплекс операций, выполняемых автоматически (например, все операции по изготовлению одной детали, узла или изделия). Комплексная автоматизация в зависимости от масштабов может быть осуществлена для участка, цеха, всего производства. Для реализации в автоматических процессах информационных функций применяют специальные системы автоматических устройств. В зависимости от назначения различают следующие системы: автоматического контроля, автоматического управления технологическими потоками, автоматического регулирования, автоматической оптимизации. Системы автоматического контроля выполняют следующие функции: измерение и регистрацию показателей технологического режима (давления, температуры, времени, расхода и др.); контроль качества исходных материалов и выпускаемой продукции; учет времени работы и простоев оборудования; учет количества выпускаемой продукции; расхода сырья и энергии. Системы автоматического управления технологическими потоками предназначены для выполнения технологических операций в заданной последовательности: включения, выключения, реверсирования двигателей; открывания и закрывания задвижек и клапанов и т. д. Системы автоматического, регулирования предназначены для поддержания на заданном уровне или изменения по заданной программе технологических режимов (давления, температуры, влажности и др.). Системы автоматической оптимизации определяют и устанавливают оптимальный режим протекания технологического процесса (оптимальную скорость подачи, оптимальные температуру, давление и т. п.). Таким образом, автоматизация технологического процесса предполагает кроме его механизации включение хотя бы одной из четырех перечисленных систем. Большинство технологических процессов  требуют четкого управления ими. В общем случае, необходимость управления технологическими процессами диктуется следующими факторами: • необходимость поддержания состава и количества входных компонентов  на заданном уровне для обеспечения необходимого качества готового продукта; • непрерывное изменение (подстройка) параметров технологического процесса, что связано с  постоянным износом орудий труда и переменным составом сырья; • пуск и остановка некоторых технологических процессов требует выполнения специфических точно синхронизированных операций и др. Методологической основой создания автоматизированных систем управления технологическими процессами является системный подход, обеспечивающий комплексное решение задач наилучшего управления технологическими процессами. Необходимость системного подхода определяется тем, что современные технологические процессы являются сложными объектами управления с большим числом входных и выходных переменных. Сложные нелинейные связи между переменными, недостаточность априорной информации о закономерностях протекания процессов создают значительные трудности при создании адекватных моделей технологических процессов. Осуществление технологических процессов должно удовлетворять нескольким зачастую противоречивым требованиям к качеству готовой продукции и производительности установки. Качество продукции определяется, в первую очередь, качеством сырья, заготовок, возмущениями, действующими на процесс, качеством инструментов, режимами обработки и т.д. Производительность установки определяется простоями оборудования, потерями времени при переходе от одного вида продукции к другому, потерями, связанными с проведением плановых и аварийных ремонтных работ, а также режимом работы самого оборудования. Поскольку качество и производительность взаимосвязаны, то системы управления ими могут работать только совместно. Система управления качеством организуется  на каждой  технологической операции, должна быть оперативной, работать в реальном времени. Система управления производительностью состоит из систем управления режимами технологических операций, управления транспортными операциями и межоперационными запасами. Определение, функции и состав АСУТП АСУТП – человеко-машинная система управления, обеспечивающая автоматизированный сбор и обработку информации, необходимой для оптимизации управления в соответствии с принятым критерием. Критерием управления АСУТП является соотношение, характеризующее качество  функционирования ОУ в целом, и принимающее конкретные числовые значения в зависимости от используемых управляющих воздействий. Критериями управления  могут  быть: • технико-экономический показатель (себестоимость, производительность и т.п.); • технический  показатель  (параметр  процесса,  характеристики  выходного продукта). Функции АСУТП – это совокупность действий системы, направленных на достижение частных целей управления. Функции АСУТП подразделяются на следующие: • Управляющие функции. Результатами их выполнения  являются выработка и реализация  управляющих  воздействий  на  управляемую  систему. • Информационные функции. Содержанием информационных функций является сбор, обработка и представление информации о состоянии ОУ оперативному персоналу и (или) передача этой информации для последующей обработки. • Вспомогательные функции обеспечивают решение внутрисистемных задач. АСУТП включают следующие виды обеспечения: • техническое обеспечение, которое включает вычислительные и управляющие устройства, средства получения информации (датчики), средства преобразования, хранения, отображения и регистрации информации, устройства передачи сигналов и исполнительные устройства; • программное обеспечение, состоящее из совокупности программ, необходимых для реализации функций АСУТП и обеспечения заданного функционирования комплекса  технических  средств; • информационное обеспечение включает информацию, характеризующую состояние системы управления, системы классификации и кодирования технологической и технико-экономической информации, массивы данных и документов, необходимых для выполнения функций АСУТП, в том числе нормативно-справочную информацию; • организационное обеспечение представляет собой совокупность описаний функциональных, технических и организационных структур, а также инструкций для оперативного персонала; данная совокупность должна быть достаточной для обеспечения надлежащего функционирования перечисленных структур; • оперативный персонал  - это технологи-операторы, осуществляющие контроль за управлением системы; • эксплуатационный персонал – это персонал, обеспечивающий эксплуатацию системы. Схемы управления в АСУТП Управление в режиме сбора данных Наиболее  простой  схемой управления технологическим процессом является схема управления в режиме сбора данных . При этом АСУ подсоединяется к технологическому процессу способом, выбранным инженером-технологом. Подсоединение осуществляется посредством устройства сопряжения с объектом (УСО). Коммуникация контроллеров с АРМ осуществляется, обычно, по, так называемым, полевым шинам и через преобразователь интерфейса (ПрИ) в локальную сеть. В качестве интерфейса используется RS-485. Модуль ввода/вывода – это устройство приема-выдачи аналоговых или дискретных сигналов для их преобразования в форму, совместимую с форматами данных применяемого контроллера. Измеряемые величины преобразуются в цифровую форму. Эти величины по соответствующим формулам преобразуются в технические единицы. Например, для вычисления температуры, замеряемой с помощью  термопары,  может  использоваться  формула   T = A * U2 + B * U + C ,  где  U  –  напряжение  на  выходе  термопары;  A, B и C – коэффициенты. Результаты вычислений регистрируются устройствами вывода АСУТП для последующего изучения технологического процесса в различных условиях его прохождения. На основе этого можно построить или уточнить математическую модель управляемого процесса. Данный режим не  оказывает прямого воздействия на технологический процесс. Здесь нашел осторожный подход к внедрению методов управления в АСУТП. Однако данная схема используется как одна из обязательных подсхем управления в других более сложных схемах управления технологическими  процессами. Управление в режиме советчика оператора. В данной схеме АСУТП работает в темпе выполнения технологического процесса. Контур управления разомкнут, т.е. выходы АСУТП не связаны с органами, управляющими технологическими процессами. Управляющие воздействия осуществляются оператором-технологом,  получающим  рекомендации  от  ЭВМ. Все необходимые  управляющие воздействия вычисляются ЭВМ в соответствии с моделью технологического процесса, результаты вычислений предоставляются оператору в печатном виде (или в виде сообщений на дисплее). Оператор управляет процессом, изменяя установки регуляторов. Регуляторы являются средствами поддержания оптимального управления технологическим процессом. Оператор выполняет роль следящего и управляющего звена, усилия которого АСУТП непрерывно и безошибочно направляет  на  оптимизацию выполнения   технологического  процесса. Основной недостаток этой схемы управления заключается в присутствии  человека в цепи управления. При большом числе входных и выходных переменных такая схема управления не может применяться из-за ограниченных психофизических возможностей человека. Однако управление этого типа имеет и преимущества. Оно удовлетворяет требованиям осторожного подхода к новым методам управления. Режим советчика обеспечивает хорошие возможности для проверки новых моделей технологических процессов. АСУТП может отслеживать  возникновение аварийных ситуаций, так что оператор имеет возможность уделять больше внимания работе с установками, при этом АСУТП может следить за  большим  числом  аварийных  ситуаций,  чем  оператор. Супервизорное управление. В этой схеме АСУТП используется в замкнутом контуре, т.е.  установки  регуляторам  задаются  непосредственно  системой. Задачей  режима супервизорного управления является поддержание технологического процесса вблизи оптимальной рабочей точки путем оперативного воздействия на него. В этом  одно  из  главных  преимуществ данного режима. Данная схема отличается от схемы режима советчика оператора тем, что после вычисления значений уставок, последние преобразуются в величины, которые можно использовать для изменения настроек регуляторов. Если регуляторы воспринимают напряжения, то величины вырабатываемые ЭВМ, должны быть преобразованы в двоичные коды, которые далее с помощью цифро-аналоговых преобразователей преобразуются в напряжения соответствующего уровня и знака. Оптимизация технологического процесса в этом режиме выполняется периодически, например, один раз в день. Для этого  оператор должен ввести новые коэффициенты в уравнения контуров управления. Приведем примеры АСУТП, работающие  в  супервизорном  режиме. 1. Управление автоматизированной транспортно-складской системой. В такой системе ЭВМ выдает адреса стеллажных ячеек, а система локальной автоматики кранов-штабелёров отрабатывает перемещение их в соответствии с этими адресами. 2. Управление плавильными печами. ЭВМ вырабатывает значения уставок для управления режимами работы электрических печей, а локальная автоматика по командам ЭВМ управляет переключателями трансформаторов. 3. Станки с числовым программным управлением. Непосредственное цифровое управление В режиме непосредственного цифрового управления (НЦУ) сигналы, используемые для приведения в действие управляющих органов, поступают из АСУТП, а регуляторы вообще исключаются из системы управления. Регуляторы – это  аналоговые вычислители, которые решают одно уравнение в реальном масштабе времени, например такого вида: где y может обозначать положение клапана; k0, k1, k2, k3 – параметры настройки, благодаря которым регулятор можно настроить на работу в различных режимах;  X - разность между измеряемой величиной и уставкой. Если X не =0, то для выведения процесса на заданный режим требуется перемещение управляющего органа. Если регулятор использует для своей работы два первых члена уравнения, то он называется пропорциональным. Если используются три первых члена, то регулятор - пропорционально-интегральный, и если - все члены уравнения, то регулятор - пропорционально-интегрально-дифференциальный. Концепция НЦУ позволяет заменить регуляторы с задаваемой уставкой. Рассчитываются реальные воздействия, которые в виде соответствующих сигналов передаются непосредственно на управляющие органы. Схема НЦУ показана на рисунке: Введены обозначения: УО – управляемый объект Д – датчик. Уставки вводятся в АСУ оператором или ЭВМ, выполняющей расчеты по оптимизации процесса. Оператор должен иметь возможность изменять уставки, контролировать некоторые избранные переменные, изменять диапазоны допустимого изменения измеряемых переменных, изменять параметры настройки, а также должен иметь доступ к управляющей программе. Одно из главных преимуществ режима НЦУ заключается в возможности изменения алгоритмов управления путем внесения  изменений в управляющую программу. Основной недостаток схемы непосредственного цифрового управления – возможность отказа всей системы при отказе ЭВМ. Моделирование технологических объектов управления Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Другими словами, модель — это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала: замещаемый (моделируемый) объект называется оригиналом или натурой (натурным объектом) - О1, замещающий (моделирующий) – моделью О2. Процесс построения и использования модели называется моделированием, т.е. моделирование – это замещение объекта О1 объектом О2 для изучения или фиксации важнейших свойств О1 с помощью О2 . При наблюдении за объектом-оригиналом у исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую принято называть когнитивной (мысленной, способствующей познанию) моделью Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и прогностические. Описательной моделью можно назвать любое описание объекта. Объяснительные модели позволяют ответить на вопрос, почему что-либо происходит. Прогностические модели должны описывать будущее поведение объекта. Можно заметить, что прогностическая модель не обязана включать в себя объяснительную. Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знаний, занимающихся изучением объекта моделирования. Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах и определениях соответствующих предметных областей знаний, включающим все известные логически непротиворечивые утверждения и факты. Анализ таких моделей осуществляется средствами логики с привлечением знаний, накопленных в соответствующих предметных областях. При построении структурно-функциональных моделей объект обычно рассматривается как система, которую расчленяют на отдельные элементы или подсистемы. Части системы связываются структурными отношениями, описывающими подчиненность, логическую и временную последовательность решения отдельных задач. Для представления подобных моделей удобны различного рода схемы, карты и диаграммы. Причинно-следственные модели часто используют для объяснения и прогнозирования поведения объекта. Данные модели ориентированы на описание динамики исследуемых процессов, при этом время далеко не всегда учитывается в явном виде. Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков). В гуманитарных науках процесс моделирования обычно заканчивается созданием концептуальной модели объекта. В естественно-научных дисциплинах, как правило, удается построить формальную модель. Таким образом, когнитивные, содержательные и формальные модели составляют три взаимосвязанных уровня моделирования. Взаимовлияние уровней моделирования друг на друга связано со свойством потенциальности моделей. Создание любой модели сопряжено с появлением новых знаний об исследуемом объекте, что приводит к переоценке и уточнению концепций и взглядов на объект моделирования. Данное обстоятельство приводит, в свою очередь, к необходимости пересмотра соответствующих содержательных и когнитивных моделей, реализуя спиральное развитие всех уровней моделирования исследуемого объекта. Исходя из вышесказанного, определим математическое моделирование как идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов. Любая математическая модель, предназначенная для научных исследований, позволяет по заданным исходным данным определить значения интересующих исследователя переменных и параметров моделируемого объекта или явления. Поэтому можно предположить, что суть любой подобной модели заключается в отображении некоторого заданного множества X значений “входных” переменных X на множество значений Y “выходных” переменных Y. Данное обстоятельство позволяет рассматривать математическую модель как некоторый математический оператор А и сформулировать следующее определение. Под математической моделью будем понимать любой оператор А, позволяющий по соответствующим значениям входных переменных X установить выходные значения переменных и параметров Y объекта моделирования: А: X  Y, X  X, Y  Y, где X и Y - множества допустимых значений входных и выходных переменных и параметров для моделируемого объекта. В зависимости от природы моделируемого объекта элементами множеств X и Y могут являться любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции), а в качестве А – функции, функционалы и собственно операторы. Этапы моделирования Процесс создания любой математической модели представляется возможным рассматривать как последовательность этапов, изображенных на рис.2.1. Этап обследования включает следующие работы: • изучение объекта моделирования с целью выявления основных факторов и механизмов, определяющих его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект, • сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных и наблюдений на объектах - аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов, • аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного или подобных ему объектов, • анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели. Рис. 2.1. Этапы построения математической модели На основе собранной информации об объекте моделирования формулируется содержательная постановка задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели. Однако, все последующие уточнения и изменения содержательной постановки должны носить частный, не принципиальный характер. Если объектом моделирования является технологический процесс, машина, конструкция или деталь, то содержательную постановку задачи моделирования очень часто называют технической постановкой задачи. Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Техническое задание является итоговым документом, заканчивающим этап обследования. Чем более полную информацию удастся собрать об объекте на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи, более полно учесть накопленный опыт и знания, избежать многих сложностей на последующих этапах разработки модели. Особенно строго необходимо формулировать требования к будущей модели. Неконкретные и нечеткие требования могут серьезно затруднить процесс сдачи модели заказчику, вызвать бесконечные доработки и улучшения. В целом этап проработки технического задания может составлять до 30% времени, отпущенного на создание всей модели, а с учетом возможного уточнения и переформулировки - и более. Концептуальная и математическая постановка задачи моделирования Концептуальная постановка задачи моделирования - это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Наибольшие трудности при формулировке концептуальной постановки приходится преодолевать для моделей, находящихся на "стыке" различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании "междисциплинарных" моделей. Например, такие понятия как "прибыль" и "баланс" вызывают совершенно разные ассоциации у экономиста и математика-прикладника. Можно сказать, что когнитивные модели, стоящие за этими понятиями, у этих двух специалистов совершенно различны. Если экономист, говоря о прибыли и балансе, связывает с этими понятиями конкретное производство, цену и себестоимость продукции, то для математика данные понятия выглядят более формально, как результаты решения некоторых математических соотношений. Поэтому эффективность деятельности рабочей группы в большой степени зависит от способности ее членов поставить себя на место специалиста другого профиля, изучить его точку зрения (т.е. особенности его когнитивной модели) и найти некоторый компромисс, учитывающий все ценное. Математическая постановка задачи моделирования - это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Совокупность математических соотношений определяют вид оператора модели. Наиболее простой вид оператор модели имеет в случае системы алгебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моделями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспериментальных данных о поведении выходных переменных объекта моделирования в зависимости от входных переменных и воздействий внешней среды, а также от значений внутренних параметров объекта. Для создания математических моделей сложных систем и процессов, применимых для широкого класса реальных задач требуется привлечение большого объема знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях - и в смежных областях). В большинстве дисциплин (особенно - в естественно-научных) эти знания сконцентрированы в аксиомах, законах, теоремах, имеющих четкую математическую формулировку. Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в физике и механике, например, относятся уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Соотношения второго класса в физике и механике называют определяющими соотношениями, или физическими уравнениями, или уравнениями состояния. Соотношения этого класса устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидкостей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействиях различных внешних факторов; в качестве классических примеров определяющих соотношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов. Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю (особенно - при анализе объектов, состоящих из новых материалов). Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает систему алгебраических уравнений, систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) и/или интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка. Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач, возникающих для систем ОДУ или ДУЧП: • задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяются значения этих искомых переменных для любого момента времени; • начально - граничная, или краевая задача, когда условия на искомую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней - в каждый момент времени (на исследуемом интервале); задачи на собственные значения, когда в формулировку задачи входят неопределенные параметры, определяемые из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости состояния равновесия или стационарного движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.). Контроль адекватности математической модели Для контроля правильности полученной системы математических соотношений следует выполнять ряд обязательных проверок: • Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям данная проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров. • Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых друг с другом величин и исключением малозначимых параметров. Например, если для выражения x+y+z=0 в результате оценки установлено, что для рассматриваемой области значений параметров модели |z| << |x| и |z| << |y|, то третьим слагаемым в исходном выражении можно пренебречь. • Контроль характера зависимостей: направление и скорость изменения выходных переменных модели, вытекающие из выписанных математических соотношений, должны быть такими, как это следует непосредственно из "физического" смысла изучаемой модели. • Контроль экстремальных ситуаций. Следует проследить за тем, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям - чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, а математические соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проще проверены. Например, в задачах механики деформируемого твердого тела деформация материала в исследуемой области при изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций. • Контроль граничных условий, включающий проверку, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям. • Контроль физического смысла состоит в проверке физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели. • Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, и притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает n, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов. Неравенств среди условий также может быть любое число, как это бывает, например, в задачах линейного программирования. Свойство математической замкнутости системы математических соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром понятием корректно поставленной математической задачи, то есть задачи, для которой решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных. В данном случае решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения. Следует отметить, что далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные задачи). Аналогично понятию корректно поставленной задачи можно ввести понятие корректной математической модели. Математическая модель является корректной, если для нее выполняются все контрольные проверки: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости. Если модель корректна, то из этого не следует ее адекватность. Модели аппроксимационного типа. Оценка параметров моделей Для моделей аппроксимационного типа обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в модели, оказывают на объект некоторое результирующее воздействие, которое может быть учтено как случайная величина (с.в.) или функция. В теории вероятностей предполагается, что нам известны все значения случайной величины, т.е. генеральная совокупность данных, однако на практике это случается крайне редко. Если бы нам были известны все возможные значения случайной величины, мы бы смогли построить или ее функцию распределения или плотность распределения вероятностей, которые не являются случайными функциями и обычно вполне определяются ограниченным набором параметров. Например, широко используемое в статистике нормальное распределение имеет функцию распределения следующего вида: плотность распределения : , которые полностью характеризуются всего двумя неслучайными величинами: математическим ожиданием (m) и дисперсией (σ2=D). В этой связи, часто говорят: с.в. Х подчиняется нормальному закону (распределена нормально) N(m,σ). Тот факт, что нормальный, или гауссовский (при N(0,1))закон распределения широко используется в статистике имеет вполне обоснованные причины – это закон больших чисел и центральная предельная теорема, играющие важнейшую роль в практических применениях теории вероятностей. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Например, теорема Я.Бернулли утверждает, что частота события сходится по вероятности к вероятности этого события (монета), теорема П.Л.Чебышева утверждает, что среднее арифметическое наблюденных значений сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Следствие закона больших чисел: с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок оценки математического ожидания уменьшается. Все формы центральной предельной теоремы (ЦПТ) посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Из ЦПТ следует, что нормальный закон возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности весьма слабо влияет на сумму. Будем полагать, что наши случайные величины распределены нормально и следовательно мы сможем пользоваться статистическими оценками мат ожидания и дисперсии. Математическое ожидание. Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения с вероятностями . Нам требуется охарактеризовать каким-либо числом положение значений Х на оси абсцисс, с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться "средним взвешенным" из значений xi, причем каждое xi при осреднении должно учитываться с весом, пропорциональным вероятности этого значения, т.о. т.к. , то - это среднее взвешенное и называется математическим ожиданием случайной величины, т.е. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности появления этих значений. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл , где F(x) и f(x) – функция и плотность распределения вероятностей с.в. х, соответственно. Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ох, то Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует. Механическая интерпретация. Пусть на оси абсцисс расположены точки , в которых сосредоточены массы , соответственно. Тогда МХ , есть абсцисса центра масс данной системы материальных точек. Пример. Кубик с шестью гранями оцифрован от 1 до 6. Математическое ожидание равномерно распределенной дискретной случайной величины равно 21/6=3,5. Случайная величина Х*=Х-МХ называется центрированной, т.е. Х* численно равно отклонению случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю, т.к. M(X-MX)=MX-MX=0. Дисперсия. Математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины называется дисперсией: Величина называется средним квадратическим отклонением с.в. Х. Рассмотрим теперь систему из двух случайных величин X и Y, с математическим ожиданием MX, MY и дисперсиями DX и DY. Случайные величины X и Y называются независимыми, если M(XY)=MX•MY. Ковариацией случайных величин X и Y называют: Для независимых случайных величин cov(X,Y)=0, т.к. M[(X-MX)(Y-MY)]=M(X-MX)•M(Y-MY). Если X=Y, то cov(X,Y)=cov(X,X)=DX. Понятие ковариации является обобщением понятия дисперсии и характеризует не только степень рассеяния случайных величин, но и степень их связи. Из определения ковариации видно, что если одна из зависимых случайных величин X и Y очень мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то cov(X,Y) также будет малой величиной, какой бы тесной зависимостью не были связаны X и Y, кроме того значение ковариации зависит от единиц, в которых измеряются переменные. Поэтому для характеристики связи между величинами X и Y переходят к безразмерной величине: которая называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, при этом . Следует заметить, что равенство нулю коэффициента корреляции необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин следует их некоррелируемость, обратное же неверно. Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. Другими словами, он показывает, что некоторая случайная величина возрастает или убывает по мере возрастания или убывания другой случайной величины. Если rxy положителен, то имеет место изменение в одном направлении, если отрицателен – то в разных. Если случайных величин больше двух, то их попарные зависимости характеризуются ковариационной матрицей. Пусть имеется три случайных величины X1, X2 и Y, тогда их ковариационная матрица будет иметь вид: Если случайные величины некоррелированы, то С – диагональная матрица, на главной диагонали которой находятся дисперсии каждой случайной величины. Обычно, параметры распределения случайных величин, полученных в результате опытов неизвестны. Тогда используются их статистические оценки. К оценкам такого рода, очевидно, являющимися случайными величинами предъявляется ряд требований: 1. При увеличении числа опытов оценка â должна приближаться (сходиться по вероятности) к оцениваемому параметру а. 2. М(â)=а, т.е. при пользовании величиной â вместо а, мы бы не делали систематической ошибки. 3. Оценка â, по сравнению с другими оценками параметра а должна обладать наименьшей дисперсией, т.е. D(â)→min. Оценка удовлетворяющая требованию 1 называется состоятельной, требованию 2 – несмещенной, требованию 3 – эффективной. Для математического ожидания такой оценкой является среднее значение по выборке, т.е. и , т.е дисперсия оценки равна дисперсии распределения деленной на величину выборки. Попытка применить аналогичный подход к оценке дисперсии D приводит к выражению . Однако, такая оценка дисперсии является смещенной. Это связано с понятием степеней свободы. Так, если у оценки мат. ожидания , вычисляемой по результатам n опытов по формуле имеется ровно n степеней свободы, то у оценки дисперсии S2 , вычисляемой по результатам n опытов по формуле степеней свободы на единицу меньше, т.е. (n-1), поскольку в эту формулу входит оценка мат. ожидания, функционально связывающая величины xi. Таким образом несмещенная оценка дисперсии должна вычисляться по формуле: Приведенные выше оценки параметров распределения являются точечными оценками, т.е. оценками, которые определяются одним числом. При выборках малого объема (n≤30) точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам, даже если оценка является состоятельной и несмещенной. Поэтому используют так называемые интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Если известно распределение случайной величины â, то можно найти область, которая с вероятностью γ содержит истинное значение a. Если, например, F(â) – функция распределения величины â, то . Истинное значение a с вероятностью γ находится между и , т.е. в интервале . Интервал I называется доверительным интервалом, а вероятность γ – доверительной вероятностью. Доверительную вероятность γ, называемую также надежностью оценки, задают заранее. Обычно значения γ это числа 0,95, 0,99 или 0,999. Вероятность того, что доверительный интервал "не покроет" истинное значение параметра обозначают α и называют уровнем значимости, α=1- γ, т.е α – это числа 0,05, 0,01 и 0,001. Пример 1. Построить доверительный интервал для математического ожидания m в случае нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией. В качестве оценки m воспользуемся статистическим средним, т.е. , а в качестве оценки дисперсии: . Воспользуемся, также, приведенной выше формулой дисперсии случайной величины и таблицами для стандартной нормальной функции распределения Лапласа (m=0, σ =1), т.е. Зададим значение доверительной вероятности γ=1-α и по таблицам для функции Лапласа найдем корень уравнения 2Φ(x)=γ, полагая . Обозначим его xα и найдем соответствующее значение δ: и Таким образом, для данного значения δ будем иметь: , т.е. доверительный интервал для математического ожидания m, соответствующий уровню значимости α, задается неравенством: или . Оценка границ доверительного интервала, полученная таким способом является не самой эффективной, поскольку использовалась статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности, в то время как распределение Лапласа предполагает использование точного значения дисперсии. Для более эффективного определения границ доверительного интервала для оценки математического ожидания обычно пользуются t-распределением, или распределением Стьюдента (У.С.Госсет, 1908 г.). Следует отметить, что с ростом n распределение Стьюдента быстро сходится к нормальному ( практически уже при n>50 ). Пример 2. Оценить с помощью доверительного интервала математическое ожидание m нормально распределенной случайной величины Xi с неизвестной дисперсией. В качестве оценки m воспользуемся статистическим средним, т.е. , а в качестве оценки дисперсии: . Воспользуемся тем, что случайная величина имеет t-распределение, или распределение Стьюдента с числом степеней свободы n-1. Тогда . Для всякого заданного значения доверительной вероятности γ с помощью таблиц распределения Стьюдента можно определить соответствующее значение ε= ε(γ) (ε=tкр), так что или . Распределением Стьюдента мы воспользуемся при оценке значимости коэффициентов, построенной нами эконометрической модели. Кроме того, для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий модели и выборочной совокупности, т.е. об адекватности построенной модели использованным для ее построения экспериментальным данным нам потребуется распределение Фишера. Пример 3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий и двух независимых нормально распределенных случайных величин X и Y при неизвестных математических ожиданиях. В качестве критерия проверки выбирают случайную величину , имеющую F – распределение (Фишера), где , Для использования табулированных значений F-распределения необходимо, чтобы при расчете F выполнялось условие: , т.е. большее значение делится на меньшее, чтобы значение F было не меньше единицы. Проверяется гипотеза H0: . Альтернативная гипотеза Н1: . Если гипотеза H0 справедлива, то значение F < Fкр, где Fкр – значение распределения Фишера со степенями свободы (n-1) и (m-1) при двустороннем тесте. Проверка статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известных распределений. Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут оказаться весьма различными. Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей. Разумеется, можно привести примеры, когда ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия, чем ошибка второго рода. Замечание1. Правильное решение может быть принято также в двух случаях: 1) гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная; 2) гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна Замечание 2. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ; ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу). Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину (статистический критерий, или просто критерий) точное или приближенное распределение которой известно. После выбора определенного критерия, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области — гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы — гипотезу принимают. Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения еще не доказывает его Поэтому более правильно говорить "данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и. следовательно, не дают оснований ее отвергнуть". На практике для большей уверенности принятия гипотезы, ее проверяют другими способами, или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки. Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, известно, что достаточно привести один пример противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть. Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет ее отклонить. Сформулируем основные правила (алгоритм) проверки гипотез: 1. Формирование нулевой Hо и альтернативной Н1 гипотез. 2. Выбор статистики. 3. Выбор уровня значимости. 4. Установление критического значения выбранной статистики для данного уровня значимости. 5. Сравнение расчетного и критического значений. 6. Выводы. Рассмотрим основные правила проверки гипотез в порядке, предусмотренном алгоритмом их применения для решения задач. 1.1. Формирование нулевой Н0 и альтернативной Н1 гипотез Формирование нулевой Но и альтернативной Н1 гипотез на основании вопроса, поставленного в задаче: а) в содержательном виде (на основе условия задачи), б) в вероятностном виде (на основе содержательного формирования гипотезы, см. п. а) и математическая запись гипотезы. Пример. Формулирование нулевой гипотезы Н0 в виде (1) означает: выборка со средней взята из генеральной совокупности с генеральным средним m . Соответственно формулирование альтернативной гипотезы H1 в виде (2) означает: выборка со средней взята из генеральной совокупности с мат. ожиданием отличным от m. Замечание 2. По виду гипотезы H1 устанавливаем, одно- или двусторонний тест требуется использовать. Если гипотеза сформулирована при помощи знаков > < или  ,. то используется односторонний тест, если при помощи знака , то – двусторонний тест. 2. Проверка гипотезы на основе выборочной средней при известной генеральной дисперсии 2.1. Пример решения задач Задача. Рафинированный сахарный песок упаковывается в пакеты весом в среднем m=1 кг, со стандартным отклонением  = 0,01 кг. Случайная выборка из п = 16 пакетов выявила, что средний вес пакета равен = 1,01 кг. Имеется ли какое-нибудь основание полагать, что фасовочная машина работает без нарушения в настройке ? Будем предполагать нормальное распределение веса пакетов. Решение. Формулируем нулевую гипотезу: — выборка взята из генеральной совокупности с генеральным средним m (машина работает без сбоев). Формулируем альтернативную гипотезу: –  выборка не была взята из генеральной совокупности с генеральным средним m (машина работает со сбоями). На основании вида гипотезы H1, заключаем, что необходимо принять двусторонний тест. Статистический критерий в данном случае имеет вид (3): Рассчитываем z-статистику (функция – нормстобр вExcel): По таблице z-распределения находим критические значения для 5%-го и 1 %-го уровней значимости: zкр(0.05) = zкр(0.05/2) = zтаб(0.025) = 1.96 zкр(0.01) = zкр(0.01/2) = zтаб(0.005) = 2.57 Запись: zкр(0.05) означает «критическое значение на 5%-м уровне значимости», zкр(0.05/2) – «критическое значение на 5%-м уровне значимости для двустороннего теста», zтаб(0.025) – «табличное значение статистики на 2.5%-м уровне значимости». Таким образом zкр(0.05)< zкр(0.01) 3,707); б) 19 степеней свободы p(t> -1,729); в) 17 степеней свободы р(t < -1,740); г) 12 степеней свободы р(-1,356 < t < 2,179). Задача 3. Случайная выборка п = 25 пакетов яблок показала, что средний вес пакета равен 1020 г со стандартным отклонением 12 г. Найти доверительный интервал для среднего веса яблок генеральной совокупности с вероятностью 95%. Предполагается, что генеральная совокупность нормальная. Задача 4. Компания упаковывает сахарный песок в пакетики, на которых указан вес 250 г. Компания утверждает, что среднее содержимое пакетиков не меньше 250 г. Контролер Общества потребителей посетил фабрику компании с целью проверки этого утверждения. Он отобрал в случайном порядке 10 пакетов и взвесил содержимое. Результаты оказались следующими: Номер пакета 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Вес, г 246 252 253 253 246 245 248 250 247 249 Какое заключение может сделать контролер? Задача 5. Внешний диаметр годных для сборки стальных стержней распределен при­близительно по нормальному закону со средним 2,30 дюйма и средним квадратическим отклонением 0,06 дюйма. Пределы допуска 2,31 ± 0,10 дюйма. Изделия с внешним диаметром меньше нижнего предела допуска считаются ломом, тогда как при превышении внешнего диаметра верхнего предела возможна доработка. Определить: а) каков получающийся процент лома? б) сколько процентов продукции нуждается в доработке? в) каков ожидаемый процент лома и изделий, требующих доработки, если изменить средний внешний диаметр до 2,31 дюйма? Задача 6. При нахождении 99% доверительного интервала для генеральной средней стандартное отклонение среднего не известно. Если выборка состоит из 11 данных, t-значение равно: а) 2,718; б) 2,764; в) 3,106; г) 3,169; д) ваш вариант. Задача 7. Ежедневный спрос на товар — 100 единиц, стандартное отклонение — 12 единиц в день. Используя данные средних продаж за день, вычислите среднее количе­ство товара и стандартное отклонение за неделю. 4. Проверка гипотезы о двух генеральных дисперсиях 4.1. Пример решения задач Задача. Биржевой маклер исследует 2 инвестиции А и В от имени клиента. Инвестиция А предполагается на срок nA = 10 лет с ожидаемой ежегодной прибылью 17,8%. Инвестиция В рассчитана на срок nB = 8 лет с ожидаемой ежегодной прибылью 17,8%. Дисперсии ежегодных прибылей от двух инвестиций составили (3,21%)2 и (7,14%)2. Есть ли основания считать, что риски инвестиций А и В не равны? (Распределение ежегодных прибылей на инвестиции подчинено нормальному распределению.) Решение. Дисперсии характеризуют риск. Формулируем нулевую гипотезу: Но: — выборки взяты из генеральных совокупностей с равными дисперсиями (риски по инвестициям А и В равны). Формулируем альтернативную гипотезу: Н1 — выборки взяты из генеральных совокупностей с отличающимися дисперсиями (риски по инвестициям А и В не равны). На основании вида гипотезы Н1 заключаем, что необходимо принять критерий с двумя границами. Статистический критерий в данном случае имеет вид : Рассчитываем несмещенную оценку генеральной дисперсии по формуле : Имеем: С учетом, что , рассчитываем F-статистику: По таблице F-распределения находим значения для 5%-го и 1%-го уровней значимости: Fкр(0,05;7;9)= Fкр(0,05/2;7;9)= Fтаб(0,025;7;9)=4,197 Fкр(0,01;7;9)= Fкр(0,01/2;7;9)= Fтаб(0,005;7;9)=6,885 Таким образом Fкр(0,05;7;9)Fкр , то нулевая гипотеза отвергается, т.е. уравнение регрессии адекватно экспериментальным данным. В заключение отметим, что долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии переменной Y характеризует коэффициент детерминации R2, при этом и выражение (3) может быть представлено в виде: Пример. Исследуется зависимость между стоимостью грузовой автомобильной перевозки Y (тыс. руб), массой груза X1 (тонн) и расстоянием X2 (тыс.км) по 20 транспортным компаниям. Исходные данные приведены в таблице: № X1 X2 Y 1. 35,0 2,0 51,0 2. 16,0 1,1 16,0 3. 18,0 2,6 74,0 4. 2,0 1,7 7,5 5. 14,0 2,4 33,0 6. 33,0 1,6 26,0 7. 20,0 0,6 11,5 8. 25,0 2,3 52,0 9. 13,0 1,4 15,8 10. 2,0 2,1 8,0 11. 21,0 1,3 26,0 12. 11,0 0,4 6,0 13. 3,0 1,7 5,8 14. 3,5 2,9 13,8 15. 2,8 0,8 6,2 16. 17,0 0,6 7,9 17. 3,4 0,9 5,4 18. 24,0 2,5 56,0 19. 9,0 2,2 25,5 20. 4,5 1,0 7,1 В данном примере мы располагаем пространственной выборкой объема n=20 c числом объясняющих переменных k=2. Модель специфицируем в виде линейной зависимости: Для решения задачи воспользуемся возможностями табличного процессора Excel. Для этого выполним ряд подготовительных операций. 1. Сформируем на листе Excel матрицу Х размерности (20х3): в первом столбце – все единицы, во втором и третьем – данные по массе и расстоянию, соответственно, а также вектор-столбец Y из 20 элементов. 2. С помощью встроенных функций (категория "Математические") вычислим все суммы , , (функция СУММ(**:**)). 3. Под каждой суммой расположим результат усреднения, вычисленный, например, с помощью функции СРЗНАЧ(**:**) из категории "Статистические". 4. Ниже расположим результаты вычислений суммы квадратов , , (функция СУММКВ(**:**)) и суммы попарных произведений (функция СУММПРОИЗВ(***:***)) системы (1) (категория "Математические"); 5. Правее векторов исходных данных расположим векторы центрированных значений переменных Х1, Х2 и Y. Суммы компонентов этих векторов должны быть близки нулю, если выполняется 1-е условие Гаусса-Маркова,т.е. . 6. Вычислим сумму квадратов центрированного значения Y, т.е. сумму квадратов отклонений от среднего в выборке - . 7. Далее сформируем три столбца попарных произведений: X1X2, X1Y, X2Y и вычислим их суммы. Результаты должны совпасть с результатами п. 4. Таким образом, мы имеем все данные для решения системы (1) любым из традиционных методов. Решим, однако, ее с помощью матричных операций основываясь на матричном уравнении (2). Для этого сформируем транспонированную матрицу XT, воспользовавшись функцией ТРАНСП(*:*) из категории "Ссылки и массивы". Выделим область из трех строк и двадцати столбцов, т.к. исходная матрица X имеет двадцать строк и три столбца. Введем функцию в выделенную область, установим указатель в строку формул и нажмем одновременно три клавиши "Ctrl-Shift-Enter", указывая, что это операция с массивами. Далее, найдем произведение матриц ХТХ, ХТY и дисперсионную матрицу (ХТХ)-1 с помощью функций МУМНОЖ и МОБР из категории "Математические". Обе эти функции относятся к операциям с массивами, поэтому завершающим действием при их применении является нажатие "Ctrl-Shift-Enter". Решение нашего уравнения, т.е. вектор коэффициентов уравнения регрессии, получим путем умножения (ХТХ)-1 на ХТY с помощью функции МУМНОЖ. Теперь нам необходимо выполнить статистический анализ полученной модели. 1. Вычислим вектор значений объясняемой переменной по уравнению регрессии, путем умножения вектора коэффициентов на матрицу Х. Разместим результат правее ранее найденных столбцов размерности 20. 2. Определим сумму квадратов отклонений значений от выборочного среднего и сумму квадратов отклонений Y от линии регрессии . 3. Убедимся, что общая вариация Y относительно выборочного среднего равна сумме вариаций и . Вариацию называют "объясненной", т.к. она связана с выбранным нами линейным воздействием переменных Х на переменную Y. Вариацию же называют "необъясненной" долей вариации объясняемой переменной, или остатком. Качество модели в целом можно оценить двумя способами: определением коэффициента детерминации и по критерию Фишера. Коэффициентом детерминации называется отношение объясненной вариации к общей вариации, т.е. . Оценка по критерию Фишера основывается на проверке гипотезы о равенстве дисперсий "объясненной" части вариации Y и остатка. Считается, что если дисперсии равны (принимается гипотеза H0), то связь между объясняемой и объясняющими переменными определяется исключительно влиянием случайных факторов, в противном случае (гипотеза H0 отвергается) имеет место функциональная связь. Таким образом, для проверки необходимо вычислить статистику F равную отношению выборочной дисперсии к выборочной дисперсии , где k – количество коэффициентов регрессии, n – объем выборки, (k-1) и (n-k) – число степеней свободы соответствующих вариаций. Заметим, что представляет собой выборочную дисперсию выходной (объясняемой, эндогенной) переменной y. Далее по таблицам распределения Фишера определяем критическое значение распределения Fкр и если F оказывается больше критического значения Fкр гипотеза H0 отклоняется. В Excel Fкр определяется с помощью функции FРАСПОБР(α; k-1; n-k). На следующем шаге необходимо при помощи критерия Стьюдента проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии, т.е. проверить гипотезы о равенстве нулю каждого из этих коэффициентов. Для этого выполним следующие действия: 1. Вычислим выборочную дисперсию остатков и выборочные дисперсии коэффициентов путем умножения на диагональные элементы дисперсионной матрицы (ХТХ)-1. 2. С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(α; n-k) найдем критические значения распределения Стьюдента и границы доверительных интервалов tкрsi . 3. Если значение коэффициента ai > tкрsi , нулевая гипотеза отвергается и коэффициент считается значимо отличающимся от нуля. Далее необходимо проверить выполнение 2-го из условий Гаусса-Маркова, т.е. гомоскедастичность остатков. Для этого построим диаграммы рассеяния: y=y(x1) и y=y(x2). В меню "Вставка" выберем "Диаграмма", открывая, таким образом, 1-й шаг Мастера диаграмм. На этом шаге в окне "Тип" выберем "Точечная", "Далее" На шаге 2 выберем вкладку "Ряд", нажмем кнопку "Добавить", укажем диапазоны значений X и Y, "Далее" На третьем шаге уберем флажок в поле "Добавить легенду" для увеличения пространства графика, "Далее" На четвертом шаге – "Готово". На построенной диаграмме с помощью правой кнопки, поочередно, выберем "Формат оси" и установим: для оси Y в закладке "Шкала" цену деления 20, в закладке "Число" число десятичных знаков 0. Для оси X в закладке "Число" число десятичных знаков 0. Тем же способом выберем опцию "Параметры диаграммы", закладка "Заголовки" и назначим названия осям – X и Y. С помощью правой кнопки выберем " Y", "Формат названия оси", закладка "Выравнивание", вертикальный текст. Установим указатель мыши на маркер и нажмем правую кнопку. Из контекстного меню выберем "Формат рядов данных", закладка "Вид" и изменим маркер на треугольник. Тем же способом выберем "Добавить линию тренда", Тип – "Линейная", Параметры – показать уравнение, показать R^2. Повторим эти операции для остальных независимых переменных. По виду диаграммы рассеяния часто можно сделать предварительный вывод о наличии или отсутствии гомоскедастичности. Проверку выполним с помощью теста Голдфелда-Куандта. Он предусматривает осуществление следующих шагов: 1. Упорядочить наблюдения по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность. 2. Опустить v наблюдений, оказавшихся в центре (v должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений n). 3. Оценить отдельно обыкновенным методом наименьших квадратов регрессии на первых (n-v)/2 наблюдениях и на последних (n-v)/2 наблюдениях при условии, что (n-v)/2 больше числа оцениваемых параметров k. 4. Пусть е1 и e2 - суммы квадратов остатков от первой и второй регрессий соответственно. Тогда статистика Q= е1/e2 будет удовлетворять F - распределению с ((n-v-2k)/2; (n-v-2k)/2) степенями свободы. При Q0 d2f/dQ2 = (2 K/Q3)>0 при всех Q>0, т.е. f(Q) – выпукла, а Q* - минимум (известен в теории управления запасами как наиболее экономичный размер заказа). Отсюда интервал времени между заказами Т* = (2 К/ h)1/2 Если стоимость единицы товара зависит от объема заказа, то c все равно будет константой, определяемой Q*, т.е. сначала высчитываем Q*, а потом договариваемся о цене. Задачи условной оптимизации Если множество допустимых решений задается с помощью системы неравенств и уравнений: (1) где gi и hj называются функциями ограничения. Если среди всех функций f, gi, hj имеется хотя бы одна нелинейная функция, то (1) называется задачей нелинейного программирования. Если все эти функции дифференцируемы в Rn , то (1) называется гладкой задачей нелинейного программирования. Пример 1. при условии . Выражая x2=1-x1 и подставляя в y получим функцию одной переменной, сведя, таким образом, задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации которую мы с вами уже умеем решать: Однако, такой способ не может быть использован в качестве универсального, т.к. очень редко можно исключить одну из переменных. Будем считать, что задача (1) гладкая и составим для нее так называемую функцию Лагранжа, зависящую от n+k+m переменных : где - вектор множителей Лагранжа для ограничений- неравенств, а - вектор множителя Лагранжа для ограничений-равенств. Теорема (необходимое условие Куна-Таккера). Пусть задача (1) гладкая. Для того, чтобы точка была точкой локального минимума (максимума) в задаче (1) необходимо выполнение следующих условий: 1. условия стационарности: 2. условия неотрицательности: причем все множители Лагранжа и одновременно не могут быть равны нулю. С помощью условий этой теоремы можно составить следующий алгоритм решения задачи (1) , который называется методом множителей Лагранжа: 1. составить функцию Лагранжа; 2. выписать все необходимые условия; 3. вычислить все стационарные точки; 4. определить характер экстремума стационарных точек. Сделаем несколько замечаний. Оптимальному решению задачи (1) соответствует (единственная) совокупность множителей Лагранжа. Поэтому для вычисления стационарных точек x* требуется предварительно найти значения всех множителей Лагранжа. Таким образом, имеется всего n+k+m неизвестных . Для определения характера экстремума (п.4 алгоритма) применяют те или иные достаточные условия. В связи с этим заметим, что введение функции Лагранжа, по существу, сводит задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации этой функции. Поэтому необходимые условия II порядка и достаточные условия для функции Лагранжа являются обобщениями соотношений для задач безусловной оптимизации. Пример 2. ; Решение. Из первых двух уравнений найдем: x1=x2, x3=2λ1 .Подставляя результат в последнее уравнение найдем: -2x1+1=x3. Используя это в четвертом уравнении получим результат. Задача 1. Найти параметры цистерны, которая при заданной площади поверхности S0 имеет максимальный объем. Задача 2. Требуется из проволоки заданной длины p сделать равносторонний треугольник и квадрат, суммарная площадь которых максимальна. Задача 3. Фирма-монополист производит два вида товаров в количествах Q1 и Q2 соответственно. Функция затрат имеет вид: , а кривые спроса для каждого товара: - цены за единицу. Фирма имеет квоту на эти товары: . Найти максимальную прибыль. Построим целевую функцию: где П – прибыль, R –доход. Доход от продаж 1-го товара: второго: и . Сформулируем задачу. Численные методы оптимизации Технологический процесс производства оболочек высокого давления из композиционных материалов Оболочки высокого давления из композиционных материалов (ОВДКМ) состоят из двух и более разнородных материалов и обладают свойствами, которых не имели исходные вещества. В строении композита обычно выделяют наполнитель (дискретную фазу) и связующее (матрицу). Рассматриваемый ниже способ переработки композиционных материалов, включающий намотку волокном с последующим отверждением полимерной матрицы, нашел широкое распространение с одной стороны благодаря относительной простоте реализации, а с другой – возможности получать разнообразные ОВДКМ с широко варьируемыми механическими и теплофизическими характеристиками. Особенностью изготовления намоточных ОВДКМ является то, что процессы формирования материала и готовых изделий технологически совмещены. Поэтому стабильность физико-механических характеристик материала и, соответственно, прочностные показатели конструкции в большой степени зависят от правильности определения технологических параметров и строгости разработанного на их основе регламента. Собственно, процесс изготовления намоточных полимерных ОВДКМ может быть условно разбит на несколько комплексных операций (стадий): - изготовление..оправки; - подготовка оборудования, материалов и оснасткик намотке; - силовая намотка наполнителя; - термообработка; - механическая обработка; - контроль качества изделия. На первой стадии изготавливают полую гипсометаллическую или песчанополимерную оправку толщиной 40-60 мм, имеющую осесимметричную форму. Внешние размеры оправки определяют внутренние размеры изделия, поэтому отклонение их от заданных значений ограничивается соответствующими технологическими допусками. Для выполнения этих требований после сборки оправку обрабатывают на специальных станках. На второй стадии на оправку укладываются в несколько слоев, предварительно раскроенные элементы покрытий, состоящие из полимерных пленок, тканых материалов, сырой резины и т.д., и выполняющие определенные технологические и эксплуатационные функции. На стадии намотки, в соответствии с заданной схемой армирования на оправку наматывается непрерывная лента в несколько проходов так, чтобы покрыть поверхность оправки слоем армирующего материала. Таким образом, получают многослойную текстуру формируемой стенки, используя, в общем случае, на каждом слое различные схемы армирования. Различают "сухую" намотку с применением предварительно пропитанной связующим и просушенной ленты и "мокрую", при которой связующее вводят непосредственно в процессе намотки. В последнем случае важнейшим элементом конструкции намоточного станка является нитепроводный пропиточно-формующий тракт (ПФТ). В это сложившееся в последнее время понятие входит комплекс узлов и деталей, начиная от приема армирующего материала на пропитку и кончая выходом пропитанной ленты с раскладывающего ролика. Процесс пропитки протекает во времени и в значительной степени зависит от вязкости связующего, природы волокна, температуры окружающей среды в зоне пропитки, натяжения армирую­щего материала, способов обеспечения заданного содержания связующего в ленте. При этом о качестве пропитки можно говорить лишь исходя из анализа качества готового изделия. Существует несколько способов пропитки армирующего материала (AM) связующим. На практике чаще всего применяются два из них: способ пропитки протягиванием и типографический способ пропитки на вращающем барабане (рис.1.1). Имеются материалы исследования, в которых проведен анализ и сравнение этих двух схем пропитки: даже без учета процессов, происходящих непосредственно в намоточном полуфабрикате (теле намотки), сравнение результатов прочностных испытаний и микроструктурного анализа на пористость материала образцов, вырезанных из готового изделия, показывает, что качество изделия в том и другом случаях практически одинаково. Однако, поскольку анализ свойств ПФТ проводился экспериментально, для ограниченного диапазона изменения конструктивно-технологических параметров, вопрос об однозначном выборе конструкции и компоновки ПФТ фактически остается открытым и требует в каждом конкретном случае дополнительных исследований. Так как функцией ПФТ является обеспечение заданных значений таких технологических параметров, как количество захватываемого армирующим материалом связующего (нанос) и натяжение пропитанной ленты, тракт оснащается системами контроля и регулирования этих параметров. Контроль наноса является довольно сложной задачей, связанной с необходимостью оперативного или автоматического анализа структуры материала и до настоящего времени окончательно не решенной. Существующие датчики основаны на емкостном принципе и не обеспечивают, в производственных условиях, необходимой надежности и достоверности информации. Поэтому наряду с автоматическим контролем уровня наноса, периодически, перед началом или после окончания намотки очередного слоя, проводится лабораторный количественный анализ содержания связующего в пропитанной ленте. Выдерживание требуемого значения наноса обычно достигается применением отжимного устройства (например, эластичных шинок из губчатой резины и др.). При способе пропитки на вращающемся барабане, наряду с описаным, возможно применение метода регулирования наноса за счет изменения глубины погружения барабана в связующее. Основными технологическими задачами процесса намотки являются: -намотка оболочки с заданными геометрическими формами, размерами, точностью и качеством (чистотой) поверхностей; -обеспечение структурных характеристик композиционного материала. Первая задача решается с помощью правильно спроектированной оснастки, точной реализации заданной схемы намотки, а также выбора технологических режимов, достаточных для осуществления плотного прилегания наматываемой арматуры к поверхности оправки. В то же время, режимы, удовлетворительные с точки зрения решения первой задачи оказываются, как правило, недостаточными или неоптимальными для решения второй технологической задачи - получения заданных структурных параметров, из которых определяющими, в конечном счете, механические показатели прочности ОВДКМ, являются коэффициент армирования , характеризующий относительное содержание армирующего материала в пластике и коэффициент послойной напряженности волокон , характеризующий остаточные окружные напряжения AM. Достижение заданных значений этих коэффициентов обеспечивается созданием некоторого силового поля давления формования, непосредственно влияющего на распределение наполнителя по толщине стенки оболочки. Количественная характеристика взаимосвязи давления формования и коэффициентов и , является конкретной для каждого типа AM и связующего, вязкости последнего, температуры формования и т.д. Поэтому для каждого случая, обычно, эмпирическим путем, определяют зависимости от вязкостных свойств связующего и уровня контактного давления, создаваемого силовыми факторами формования. Значения последних корректируются для конкретных производственных условий по результатам микроструктурного анализа образцов, вырезанных как из специальных технологических проб, так и из натурных изделий. Образцы, предназначенные для микроструктурного анализа, соответствующим образом обрабатываются (шлифуются) и исследуются, например, на металлографическом микроскопе МИМ-8 по методу Глаголева или с помощью радиационного компьютерного томографа. Как уже отмечалось выше, особенностью процесса формирования структуры КМ при намотке является то обстоятельство, что каждый наматываемый с натяжением виток, создавая определенное давление (контактное давление формования) на нижележащие слои, вызывает их перемещение и, следовательно, изменение в них натяжения. В ходе этого процесса связующее мигрирует к наружным слоям, армирующий материал уплотняется, создавая таким образом условия для перераспределения объемной плотности материала по толщине стенки изделия. Отсутствие надежных неразрушающих средств контроля послойного изменения степени армирования и других параметров структуры в ходе изготовления полуфабриката не позволяет, в настоящее время, применять методы управления процессом, учитывающие текущее состояние намоточного полуфабриката. Поэтому управление процессом сводится к подбору таких законов изменения технологических переменных - натяжения, усилия прижима подпрессовочного ролика и др.- которые, создавая на каждом слое надлежащий уровень контактного давления формования Р, обеспечивали бы для данного типа изделия как можно более равномерное распределение степени армирования по всему объему тела намотки. Одновременно, при выборе диапазона изменения варьируемых переменных необходимо учитывать ряд ограничений, связанных с возможностью потери натяжения и искривления волокон во внутренних слоях, превышения предела прочности оправки и травмируемости волокон армирующего материала. Реализация схемы намотки, заключающаяся в укладке пропитанного полимерным связующим армирующего материала на поверхность вращающейся оправки по циклическим. повторяющимся траекториям, осуществляется на специальных многокоординатных намоточных станках (НС) с программным управлением. В общем случае, в современных системах ЧПУ информация, полученная с чертежа, преобразуется в готовое изделие последовательно, в пять этапов. На первом этапе, с помощью автоматизированной системы подготовки информации (АСПИ) в произвольном масштабе времени, выполняются преобразования информации, связанные с расчетами профиля образующей тела намотки, траектории витка и опорной траектории движения ИО НС, аппроксимацией и временной разверткой опорной траектории, кодированием, редактированием и запоминанием на некотором носителе получаемой управляющей программы. На втором этапе управляющая программа, закодированная в соответствующем коде (ISO, EIA, БЦК), вводится в систему ЧПУ, где также, в произвольном масштабе времени по соответствующим алгоритмам, выполняется ее дешифрация и ряд подготовительных операций вычислительного и логического характера, связанные с настройкой системы на выполнение конкретной программы. На третьем этапе, в системе ЧПУ посредством аппаратно или программно реализованных алгоритмов, в реальном масштабе времени осуществляется интерполяция заданных участков траектории. При этом обеспечивается поддержание расчетной контурной скорости и ее стабилизация, вычисляются корректирующие поправки, обеспечиваются управление электроавтоматикой станка и функции интерфейса с оператором станка. На выходе этого этапа информация представляет собой воспроизводимый в реальном масштабе времени унитарный код, несущий данные о скорости (частота следования импульсов) и перемещении (количество импульсов) соответствующего ИО НС. Задачами, решаемыми на этом этапе, в значительной степени определяются требования к вычислительной мощности используемой аппаратуры. На четвертом этапе происходит преобразование задающей (командной) информации в сигналы управления движением ИО, их сравнение с информацией, получаемой от датчиков обратной связи и формирование сигнала ошибки, используемого для управления следящим приводом. На пятом этапе информация отрабатывается исполнительными двигателями HС. Для этого используют, как правило, высокомоментные двигатели постоянного тока в комплекте с тиристорными преобразователями. Привода подач должны обладать высокой линейностью и жесткостью механической характеристики как при максимальных, так и при минимальных оборотах двигателя, иметь диапазон регулирования в пределах 104 – 2 104, минимальное время реверса от + до - (50 –100 мс). При выполнении всех вычислительных операций с точностью до одной дискреты и указанных характеристиках приводов, точность реализации рассчитанной траектории находится в пределах 2 –10 дискрет, повторяемость при позиционировании ИО порядка 1 дискреты. Расчет траекторий S(t) ; представляемых последовательностью опорных точек S(ti), i = 1,n, где S(t) - зависимость перемещения исполнительного органа намоточного станка от времени, осуществляется на ЭВМ с выдачей результатов в виде управляющей программы для устройства числового программного управления. Воспроизведение рассчитанных программных движений устройствами ЧПУ, обычно использующих алгоритм линейной интерполяции, реализующий кусочно-линейную аппроксимацию заданной траектории, приводит к ступенчатому изменению скорости (разрывам производной) в опорных точках (узлах интерполяции) и, как следствие, к необходимости увеличения времени отработки управляющих программы. В противном случае может возникнуть ситуация, когда в некотором узле i величина S(ti)=|S(ti.+0)- S(ti.-0)| становится больше допустимого значения Smax, что влечет увеличение динамической ошибки воспроизведения траектории и даже выход следящей системы из режима слежения, то есть ситуация становится аварийной. Величина; зависит от динамических свойств исполнительных органов НС, в полной мере учесть которые при расчете управляющих программ не удается, поскольку наличие в качестве обрабатываемого материала гибкой ленты, вызывает необходимость учитывать влияние на работу приводов станка распределенной упругости AM, параметры которой изменяются с изменением технологического натяжения. Добиться приемлемых (но не оптимальных) значений S(ti) т.е. таких, что maxS(ti)<< Smax, i=1,n можно путем увеличения n или , другими словами, уменьшением шага дискретизации непрерывной траектории ПД. Однако, этот подход ограничивается такими техническими характеристиками существующих устройств ЧПУ, как быстродействие электромеханического фотосчитывающего устройства или объем оперативной памяти встроенной ЭВМ. Зависимость динамических свойств приводов координат НС от технологических режимов приводит к необходимости постановки задачи оптимизации предварительно рассчитанных программных движений в темпе с процессом их воспроизведения. При этом следует отметить, что решение задачи укладки ленты на поверхность оправки по заданной линий не является однозначным: возможно получение одной и той же линии укладки при различных движениях исполнительных органов НС. Таким образом, постановка задачи оптимизации ПД, в том числе и с точки зрения производительности намоточного оборудования, является обоснованной. Полученный после намотки полуфабрикат подвергают затем конвективной термообработке в полимеризационной камере. При термообработке выделяют этап нагрева до температуры полимеризации гелеобразования, во время которого вязкотекущее связующее продолжает мигрировать под действием контактного давления, созданного на стадии намотки. Вследствие этого происходит дальнейшее уплотнение материала и падение натяжения наполнителя. Продолжительность времени термообработки рассматриваемых в работе конструкций колеблется от 20 до 40 часов в зависимости от исходных материалов, размеров и толщины стенок изделий. При этом температура в камере не превышает 200С, скорость нагрева - 50 град/час. Охлаждение осуществляется в термокамере с максимальной скоростью 19 град/час примерно до 100 С, а затем изделия охлаждаются за счет естественной конвекции. Общее время охлаждения составляет 10-11 часов. Заключительной стадией технологического процесса является стадия гидроиспытаний, проводимая с целью диагностирования основных показателей качества, путем нагружения изделия гидростатическим давлением, не превышающим 50% от предполагаемого (заданного) давления разрушения. Для подтверждения качественных показателей партии изделий проводят выборочный разрушающий контроль. Качество получаемых изделий, в частности, определяется: • удельной прочностью, жесткостью, пористостью, термостойкостью материала; • наличием микро- и макродефектов; • величиной остаточных напряжений; • газопроницаемостью; • массо-габаритными характеристиками. Часто, для оценки качества конструкции ОВДКМ используется такой интегральный показатель, как коэффициент конструктивного совершенства КG=РV/G, где Р-предельное внутреннее давление (несущая способность), V-объем, G- масса конструкции. Многие свойства ОВДКМ закладываются на стадии проектирования, причем большую роль играет выбор как конструктивных так и технологических факторов: исходных материалов, формы и размеров конструкции, закона силовой намотки, типа армирования, режима термообработки и т.д. Так, по результатам статистической обработки большого количества экспериментальных данных, полученных при испытаниях различных типов изделий показано, что на несущую способность ОВДКМ наиболее существенное влияние оказывает комплекс вида Tнж (рис.1.2), где T - суммарная длина (масса) AM в изделии, нж-разрушающее напряжение микропластика,  - коэффициент армирования. Масса конструкции, в свою очередь, является суммой масс AM и связующего, т.е. зависит от T и . Поскольку с увеличением  возрастает несущая способность и уменьшается масса оболочки этот структурный параметр играет ключевую роль при оптимизации технологического процесса по критерию KG. Величина  в готовом изделии формируется в зависимости от целой группы факторов, множества которых можно разделить на вторичные и первичные факторы. К вторичным факторам относятся те параметры полуфабриката и составляющих его элементов, которые формируются под действием первичных, а именно: • нанос связующего на армирующий материал при пропитке; • натяжение поступающей в намотку ленты; • коэффициент армирования в ленте и полуфабрикате; • интенсивность фильтрации связующего в полуфабрикате. Первичными технологическими факторами являются: • схема намотки; • температура связующего при пропитке; • скорость намотки; • положение регулирующих элементов ПФТ; • температура AM, оправки и окружающей среды; • температура и другие параметры термообработки; • характеристики поступающей в намотку ленты (количество нитей, ширина и т.д.). Достаточно очевидным является тот факт, что большая часть как первичных так и вторичных технологических факторов действует или формируется на стадии намотки и, таким образом, именно на этой стадии создаются решающие предпосылки получения ОВДКМ с заданными значениями показателей качества. Достижение этих значений в значительной мере определяется правильностью выбора технологических режимов намотки и точностью их воспроизведения на намоточных станках, а также стабильностью свойств исходных компонентов. Математическая модель технологического процесса изготовления оболочек высокого давления из композитных материалов Модель пропитки , (1) bо=34.375, b1=-2.038, b2=- 3.925, b23=-0.95, b3=b12=b13=0 (ai)=0,19 (y)=0,53 x1=P – - давление в устройстве отжима излишков связующего; x2=Ф – угол поворота натяжителя ленты; x3=Θ·– температура связующего в пропиточной ванне P 0,2 – 0,5 Φ 0 – 2,7 Θ 60 – 80 G=G(P,Φ,Θ,V) x1 x2 x3 27,6 27,5 27,5 27,4 27,6 1 1 1 31,6 31,5 31,5 31,4 31,6 -1 1 1 37,2 37,2 37,1 37,1 37,2 1 -1 1 41,2 41,4 41,3 41,3 41,3 -1 -1 1 29,5 29,4 29,4 29,5 29,3 1 1 -1 33,5 33,5 33,4 33,5 33,5 -1 1 -1 35,3 35,2 35,4 35,3 35,5 1 -1 -1 39,4 39,4 39,3 39,4 39,4 -1 -1 -1 27,6 27,5 27,5 27,4 27,6 T=T(P,Φ,Θ,V) (2) со=299.5, c1=14.4, с2=95.5, с3=-22.4, c12=8.1, с23=-9.8. Модель формирования структуры Контактное давление в точке касательной равно Уравнение движения имеет вид: где - давление на i-ый слой со стороны i+1-ого слоя, - давление на i-ый слой со стороны i-1-ого слоя Обозначим Тогда получим Переходя к пределу , получим уравнение равновесия в дифференциальной форме: В результате перемещения слоя на величину U, зависящую как от номера слоя, так и от общего количества слоев, т.е. где R – радиус наружного слоя, начальное натяжение в верхнем слое T0 изменится в соответствии с выражением Закон Гука Для приращения перемещения i-ого слоя получим выражение и для перемещения оправки , где - модуль упругости армирующего материала, и - податливости намотанного полуфабриката и оправки соответственно. При укладке материала на оправку под углом текущий радиус r в модели необходимо заменить на радиус геодезической кривизны линии намотки. Так при укладке ленты на цилиндрической части тела намотки под углом к оси оправки, радиус кривизны описывается выражением , где t – параметр, который в нашем случае . Метод прогонки Дана система с трех диагональной матрицей: (1) (2) Будем искать решение (1) в виде: , (3) , Подставляя и в (1) приходим при к следующему выражению: Нетривиальное решение возможно, когда оба выражения в квадратных скобках равны нулю. Отсюда следует, что Это нелинейные разностные уравнения первого порядка. Для их решения необходимо задать и . Найдем их из условия: , т.е. Нахождение и называется прямой прогонкой. После того как найдены и для , решение системы (1), (2) находится по рекуррентной формуле (3), начиная с n-1. Для начала счета требуется знать , которое определяется из уравнений: Вычисление по этому выражению называют обратной прогонкой. Дискретизация задачи Решаем для 1-ого слоя