Классификация математических моделей

Лекция 1 Общие положения При решении любой экономической задачи с помощью математических методов и моделей. Нужно представить экономическую или иную ситуацию в виде математической задачи, затем решить задачу и провести экономический анализ полученного решения. Важнейшим их этого является создание адекватной ( наиболее реально отражающей экономическую ситуацию) модели Математическая модель – это абстрактная система математических зависимостей между исходны ми и результирующими показателями. Математические модели адекватны и эффективны тогда, когда при их создании используются экономические знания, знания возможностей математического моделирования и здравый смысл. ПРИМЕР Индивидуальный предприниматель занимается продажей фруктов. Исходные показатели: х1 – объем реализованных яблок с1 – цена одного кг. яблок х2 – объем реализованных груш с2 – цена одного кг. груш Х3 – объем реализованных бананов с3 – цена одного кг. Бананов Результирующий показатель Y - прибыль МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Y=с1*х1+с2*х2+с3*х3 Это самый простой вид модели, где независимые исходные показатели могут быть изменены по вашему усмотрению, а результирующий показатель зависит от них. Классификация математических моделей Математические модели делятся на две большие группы: • Дескриптивные – описательные, служат для целей экономического анализа; • Оптимизационные, служат для целей экономического синтеза, то есть для выбора наилучшего варианта экономического поведения из множества возможных поведения. Выше была приведена простейшая дескриптивная модель, которые изучаются в курсе эконометрики. В курсе МИиМНЭ будут изучаться оптимизационные модели. Для создания оптимизационных моделей по известным исходным данным существует методики, состоящая из шести пунктов. Методика моделирования задач оптимизации 1. 2. 3. 4. 5. 6. Выбор независимых переменных. В качестве независимых управляющих переменных выбираются такие, которые существенно влияют на управляемый результирующий параметр и численные значения которых дают решение задачи Анализ существенных ограничений. Здесь рассматриваются факторы, порождающие ограничения. Таких факторов три. а) нехватка ресурсов для выполнения плановых заданий: - нехватка материальных ресурсов (сырье) - нехватка времени работы основного оборудования - нехватка трудовых ресурсов обычно знак неравенства (<=) в) необходимость выполнения планового задания по отдельным видам продукции (>=) г) необходимость соблюдения технологических соотношений, если один из видов продукции является одновременно и промпродуктом, необходимым для комплектования основного продукта (=) Выбор целевой функции. В качестве целевой функции выбирается показатель, который является важнейшим на настоящий момент. Это может быть прибыль или себестоимость продукции. Целевая функция может стремиться либо к максимуму либо к минимуму. Запись математической модели. Записывается целевая функция относительно независимых переменных в виде математического выражения, а затем записываются ограничения в виде равенств или неравенств, также, как функции независимых переменных. Кроме того учитывается требование неотрицательности, т.е. все независимые переменные должны быть больше или равны нулю. Выбор метода решения задачи. Все задачи, которые мы будем рассматривать относятся к классу задач линейного программирования. То есть целевая функция и ограничения линейны относительно независимых переменных. Такие задачи решаются либо поисковым методом Ньютона в Excel 3,7 либо Симплекс методом в Excel 10. Экономический анализ полученного решения. Он выполняется по отчету по результатам и по отчету по устойчивости, которые выдаются после решения задачи оптимизации. Таким образом задача оптимизации всегда состоит из целевой функции и ограничений, набор и количество которых зависит от условия задачи. Общий вид задачи оптимизации Ниже приведен вид задачи оптимизации, где численные коэффициенты взяты произвольно z 1,3  0,8 * x1  0,6 * x 2  1,1 * x3  max 1,1 * x1  4,3 * x 2  0,7 * x3 8750 2,1 * x1  0,3 * x 2  1,7 * x3 42502 x1 3200 x 2 4800 x1 1  т x2 5 есть 5 * х1  х2 Лекция 2 Рассматриваем решение конкретной задачи оптимизации с реальными условиями. Задача. Предприятие располагает тремя группами основного оборудования и может выпускать изделия четырех видов. Все изделия имеют неограниченный сбыт и предприятие само может планировать объемы выпуска изделий. Единственным лимитирующим фактором является время работы основного оборудования. Фонд времени которого задан и не может быть превышен. Известны затраты времени на изготовление единицы каждого вида продукции на каждом оборудовании, кроме того известна прибыль от единицы каждого вида продукции. Исходные данные приведены в таблице. Сформировать программу выпуска продукции, которая обеспечит максимальную прибыль. В соответствии с методикой: 1. 2. 3. 4. Независимые переменные х1, х2,х3,х4 – Объемы выпуска каждого вида изделия Анализ существенных ограничений. Ограничения только по времени работы основного оборудования <= заданным. Целевой функцией является максимизация прибыли. Математическая модель. z 0,4 * x1  0,2 * x 2  0,5 * x3  0,8 * x 4  max x1  2 * x 2  4 * x3  8 * x 4 24000 3 * x1  5 * x 2  x3 12000 6 * x1  3 * x3  x 4 30000 . 5 Это задача линейного программирования с неотрицательными переменными. 6.Экономический анализ по результатам решения. Полученная математическая модель должна соответствующим образом быть записана в Excel, а затем необходимо эту задачу решить в надстройке «Поиск решения» Этапы решения задачи 1. Выделить ячейки под независимые переменные и задать их значения =0 для начала поиска (диапазон В9 – Е9). 2. Согласно модели записать формулу для расчета целевой функции в выбранной ячейке (ячейка В12). 3. В соответствии с моделью ниже записать формулы для ограничений и их правые части (диапазон в15 – с17). 4. Выполнить команду «Поиск решения» Все эти этапы решения продемонстрированы в Методических указаниях по решению задач оптимизации. Представлено решение этой задачи в Excel 3 либо 7, причем Excel 3 поиск решения находится в команде «сервис», а в Excel 7 в команде «данные». До решения при записи формул для целевой функции и ограничений получаются 0, так как начальные приближения независимых переменных =0. Следовательно, лекции необходимо смотреть одновременно с методическими указаниями иначе понять что то будет сложно. ЛЕКЦИЯ 3 Экономический анализ полученного решения основывается на отчете по результатам и на отчете по устойчивости, поэтому текст надо смотреть одновременно с соответствующим отчетом, которые находятся в методических указаниях на отдельных листах, а так же представлены ниже. Приведенный в лекции экономический анализ, а так же значения содержимого столбцов отчетов помогут Вам ответить на тестовые вопросы к контрольному заданию. Отчет по результатам Этот отчет имеет три таблицы: В первой таблице указывается адрес ячейки, где находится целевая функция, ее первоначальное значение и результат после решения, таким образом можно узнать полученное максимальное значение прибыли. Во второй таблице «Изменяемые значения» указываются адреса, имена и первоначальные значения искомых независимых переменных. В последнем столбце указывается значение независимой переменной, которое было получено после решения задачи. В третей таблице «Ограничения» Указываются адреса и имена левых частей ограничений. В столбце «значение» Указывается истинное значение израсходованных ресурсов т. е. сколько времени работало каждое оборудование в отчетный период. В столбце «формула» указываются адреса левой и правой части ограничений и знак неравенства между ними. В столбце «разница» указываются разница между имеющимися в наличии и израсходованными объемами ресурсов. Можно узнать, какие ресурсы израсходованы полностью, тогда разница =0, и какие, в каком количестве имеются в остатке. Отчет по устойчивости Этот отчет состоит из двух таблиц Верхние и нижние границы не выдаются, их надо подсчитать самостоятельно. Эти границы нужны для экономического анализа. Формулы для подсчета приведены ниже таблиц. Первая таблица характеризует устойчивость изменяемых ячеек. Информация в столбцах «Ячейка, Имя, Результирующее значение» понятна по предыдущему материалу. Нормированная стоимость показывает величину изменения общей прибыли или целевой функции при включении в выпуск единицы продукции, которая не выпускается. Столбец «Целевой коэффициент» - это прибыль от реализации единицы продукции конкретного вида. Столбцы «допустимое увеличение» и «допустимое уменьшение» необходимы для расчета интервалов устойчивости. 1Е30 – это бесконечность. Вторая таблица «ограничения» В столбце «Результирующее значение» указывается истинное значение израсходованных ресурсов, как и в отчете по результатам. Столбец «Теневая цена» показывает величину изменения общей прибыли т.е. целевой функции при увеличении на единицу правой части соответствующего ограничения. Столбец «Ограничения правая часть» показывает величину имеющихся ресурсов. Столбцы «допустимое увеличение» и «допустимое уменьшение» необходимы для расчета интервалов устойчивости. Экономический анализ Здесь рассматривается экономический анализ по отчету по устойчивости по каждой таблице. Будут использованы следующие понятия: 1. Структура выпуска – перечень выпускаемых изделий 2. Объем выпуска – объем выпуска в натуральных единицах 3. Общая прибыль – значение целевой функции. Первая таблица I. Изделие вошло в программу вы пуска (х1, х4) 1)Изменение прибыли за единицу внутри интервала устойчивости ( между верхней и нижней границами) не меняет структуру и объем выпуска, но меняет величину общей прибыли. 2) а) При выходе прибыли за единицу за нижнюю границу интервала устойчивости изделие становится нерентабельным и снимается с производства. Освободившиеся ресурсы направляются на выпуск другой более рентабельной продукции. При этом меняется структура, объем и общая прибыль. б) При выходе прибыли за единицу за верхнюю границу интервала устойчивости рентабельность изделия возрастает и следует наращивать его выпуск за счет другой менее рентабельной продукции. При этом меняется структура, объем и увеличивается общая прибыль. II. Изделие не вошло в программу вы пуска (х2, х3) 1) Изменение прибыли за единицу внутри интервала устойчивости ( между верхней и нижней границами) в выпуске продукции ничего не меняет 2) При выходе прибыли за единицу за верхнюю границу интервала устойчивости изделие становится рентабельным и включается в производство за счет другой менее рентабельной продукции. При этом меняется структура, объем и увеличивается общая прибыль. Вторая таблица I. Ресурс израсходован полностью . 1) Изменение ресурса внутри интервала устойчивости ( между верхней и нижней границами) не меняет структуру выпуска но меняет объем и ,соответственно, общую прибыль 2) При выходе величины ресурса за границу интервала устойчивости. При этом меняется структура, объем и общая прибыль II. Ресурс имеется в избы тке. 1) Изменение ресурса внутри интервала устойчивости ( между верхней и нижней границами) в выпуске продукции ничего не меняет. 2) При выходе величины ресурса за нижнюю границу интервала устойчивости. Меняется структура, объем и сокращается общая прибыль Лекция 4 Бинарны е переменны е в задачах оптимизации В этом случае независимые искомые переменные могут принимать только два значения, либо 0, либо 1. Классическая задача о назначении персонала Имеется n работ, подлежащих выполнению; j – текущий номер работы, j=1,n. Имеется n исполнителей, i=1,n –текущий номер исполнителя. В классических задачах количество работ равно количеству исполнителей. Известно время ti,j, которое тратит каждый исполнитель на выполнение каждой работы. Необходимо распределить работу между исполнителями так, чтобы каждая работа выполнялась только одним исполнителем, а каждый исполнитель выполнял только одну работу. Общее время выполнения всех работ должно быть минимальным. Рассмотрим задачу в соответствии с методикой моделирования. 1. Выбор независимых переменных. В данном случае переменные рассматриваются как бинарные и принимают значение 1, если исполнитель выполняет работу, и значение 0, если – нет. 2. Анализ существенных ограничений. Данная задача содержит три типа ограничений: а) каждый исполнитель выполняет только одну работу xi ,1  xi , 2  xi , 3  ...  xi , n 1 б) каждая работа выполняется только одним исполнителем x1, j  x 2, j  x3, j  ...  x n , j 1 в) xi,j - xn,n = двоичные xi,j - xn,n = целые 3. Выбор целевой функции. Минимальное время выполнения работы. 4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ n Z  i 1 n t i, j * x i , j  min j 1 n x i, j 1 i, j 1 i 1 n x j 1 x i , j  двоично x i , j целое 5.Выбор метода решения и численное решение задачи. Данная задача является линейной задачей целочисленного программирования с бинарными переменными 6. Экономический анализ в данном случае выполнить невозможно, так как не выдаются отчеты по устойчивости. Численный пример решения данной задачи приведен в методических указаниях по выполнению практикума.