Классическая теория и задачи вариационного исчисления

ЛЕКЦИЯ 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И Задачи вариационного исчисления 5.1. Основные леммы вариационного исчисления Лемма 1 (лемма Лагранжа). Если – непрерывная функция и для любой непрерывной функции , имеющей непрерывную производную и удовлетворяющую условию , то . Доказательство. Пусть в некоторой точке , например, . Тогда найдется интервал , содержащийся в , в котором . Положим на интервале и вне этого интервала. Очевидно, что удовлетворяет условиям леммы. В то же время , так как под интегралом стоит положительная непрерывная функция. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 2. Если для каждой функции из такой, что , то . Доказательство. Положим , тогда , . Выберем постоянную с так, что , и покажем, что для любой непрерывной . Всякую непрерывную функцию можно представить в виде , где ,. Получаем . Первое слагаемое справа равно нулю, так как есть производная от функции , удовлетворяющей всем условиям, наложенным на , а второе равно нулю в силу выбора с. Таким образом, для любой непрерывной функции . Положив , получаем , откуда , т.е. есть постоянная. Что и требовалось доказать. Лемма 3. Если для каждой функции из такой, что , то - дифференцируема и . Доказательство. Действительно, положив , получаем с помощью интегрирования по частям, что , т.е. равенство из леммы можно переписать в виде , но отсюда по лемме 2 следует, что , или дифференцируя . Подчеркнем, что здесь дифференцируемость функции заранее не предполагалась. Что и требовалось доказать. 5.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера Задача нахождения экстремума функционала (1) на множестве всех функций из таких, что , , называется простейшей задачей вариационного исчисления. Иначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (1) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки. Теорема 2 (уравнение Эйлера). Для того, чтобы функционал с, определенный на множестве функций из и удовлетворяющих условиям , , достигал экстремума на данной функции , необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера . (2) Подчеркнем, что существование производной здесь заранее не предполагается, а вытекает из той же самой леммы 3. Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение должно зависеть, вообще говоря, от двух произвольных постоянных, которые определяются из двух краевых условий , . Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от нескольких функций при условиях , , . В этом случае необходимыми условиями экстремума будут условия , . (3) Доказательство для этого общего случая по существу не отличается от доказательства изложенного выше. Теорема 3 (Эйлера-Пуассона). Для того, чтобы функционал , определенный на множестве функций из и удовлетворяющих условиям , и , , достигал экстремума на данной функции , необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера-Пуассона . (4) Если функционал зависит от производных более высоких порядков, то уравнение Эйлера-Пуассона выводится аналогично п.5.3. Оно будет иметь вид (5) и дополняться 2n граничными условиями: значения искомой функции и её производных до n1–го порядка включительно на концах интервала x1 и x2 должны равняться заданным величинам. 5.3.Частные случаи уравнения Эйлера Уравнение Эйлера (2) играет фундаментальную роль во всем вариационном исчислении. Оно представляет собой, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрированы. Распишем уравнение Эйлера более подробно . (6) Пример 5.1. Подынтегральная функция не зависит от . Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид . В этом случае уравнение Эйлера принимает вид и имеет, очевидно, первый интеграл . Это – уравнение первого порядка, не содержащее . Решив его относительно , получаем соотношение вида , откуда находится интегрированием. Пример 5.2. , ,. Подыинегральная функция не содержит , поэтому уравнение Эйлера имеет вид , т.е. , откуда , т.е. , и следовательно , т.е. . Таким образом, решение представляет собой окружность с центром на оси . Из условий ,, получаем, что , . Итак, окончательное решение . Пример 5.3. Подынтегральная функция не зависит от x. Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид . В этом случае уравнение Эйлера примет вид . Умножив это уравнение на , получим выражение, которое можно записать в виде , откуда получаем, что в рассматриваемом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл . 5.4. Задача о брахистохроне Пусть и - две фиксированные точки. Время, в течение которого материальная точка скатывается под действием силы тяжести вдоль некоторого пути, соединяющего точки и , зависит от выбора этого пути, т.е. представляет собой функционал. Кривая, вдоль которой точка скатывается быстрее всего, носит название брахистохроны. Задача о брахистохроне была поставлена И.Бернулли в 1696 г. и сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления. Ее решение было дано И.Бернулли, Я.Бернулли, Ньютоном и Лопиталем. Введем на вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В систему координат. Пусть y(x) – кривая, по которой происходит движение точки. Время движения материальной точки из А в В можно вычислить по формуле . Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид , где - первый интеграл. Выполнив преобразования, получим уравнение , где Уравнение решается в параметрическом виде. Пусть , тогда . Отсюда и следовательно . Интегрируя, получаем . Переобозначим константы и переменные и с учетом начальных условий получим . Постоянная с однозначно определяется из начальных условий. Брахистохрона представляет собой циклоиду, лежащую в вертикальной плоскости, проходящей через А и В. Пример 5.4. Если F не зависит от или зависит от нее линейно, то уравнение Эйлера принимает вид , т.е. представляет собой не дифференциальное, а конечное уравнение, определяющее одну или несколько кривых. В решении нет произвольных постоянных, и оно может не удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия выполняются, то получена экстремаль, если нет, то нет и решений у данной вариационной задачи. В случае, если подынтегральную функцию можно представить в виде , причем . В этом случае уравнение Эйлера обращается в тождество 0=0, и экстремалью будет любая кривая, удовлетворяющая граничным условиям. В этом случае функционал не зависит от линии интегрирования, и вариационная задача теряет смысл. Рассмотрим функционал . Здесь уравнение Эйлера сводится к конечному уравнению, его решение прямая y=x (вдоль нее интеграл равен нулю). 5.5. Основная формула для вариации функционала для задачи со свободными концами Простейшая задача вариационного исчисления, которую мы рассматривали до сих пор, является далеко не единственно возможной. Задачей со свободными концами называется задача об отыскании экстремума функционала среди всех кривых из , концы которых лежат на двух заданных вертикалях x=a, x=b. Вычислим вариацию функционала , учитывая, что теперь могут изменяться и концы кривой, т.е. . Приращение функционала равно где многоточие обозначает члены порядка выше первого, относительно . Выражение представляет собой главную линейную часть приращения функционала , т.е. вариацию функционала. Интегрируя это выражение по частям получаем основную формулу для вариации функционала . Теорема 4. Кривая y(x) является решением задачи со свободными концами, если для нее выполняется уравнение Эйлера и краевые условия . Наряду с закрепленными и свободными концами можно рассматривать смешанный случай, т.е. считать, что один конец закреплен, а другой свободен. Пусть, например, ищется экстремум функционала на классе кривых, соединяющих данную точку и произвольную точку прямой x=b. В этом случае из двух краевых условий одно: , а второе y(a)=A. 5.6. Изопериметрические задачи В простейшей задаче вариационного исчисления, класс допустимых линий, помимо тех или иных требований гладкости, определялся условиями, задаваемых на концах этих линий. Однако ряд приложений вариационного исчисления приводит к задачам, в которых на допустимые кривые, кроме граничных условий, накладываются условия другого типа. Задача отыскания среди всех кривых y(x) из , удовлетворяющих условиям y(a)=A, y(b)=B, кривой доставляющей экстремум функционалу (целевой функционал) , при выполнении условия (условие связи) называется изопериметрической задачей. Первоначально под изопериметрической задачей понималась следующая частная задача (задача Дидоны): среди всех замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти ту, которая охватывает наибольшую площадь (задача с фиксированным периметром). Аналогично, известному из математического анализа функций нескольких переменных, методу множителей Лагранжа в вариационном исчислении справедлива теорема, позволяющая находить решение изопериметрической задачи. Теорема 5. Если кривая y(x) дает экстремум функционалу , удовлетворяет условиям y(a)=A, y(b)=B и не является экстремалью функционала K(y), то существует такая постоянная , что эта кривая y(x) является экстремалью функционала . Полученный результат используется при решении той или иной изопериметрической задачи следующим образом. Составляется дифференциальное уравнение, находим его общее решение, которое будет содержать параметр и еще две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий y(a)=A, y(b)=B и условия K(y)=l. 5.7. Задача Дидоны Найти кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки (-a, 0) и (a, 0), имеющую заданную длину и охватывающую вместе с отрезком [-a, a] максимальную площадь. Решение. Будем искать функцию y(x) для которой y(-a)=0, y(a)=0, , а интеграл принимает максимальное значение. Мы имеем, таким образом, изопериметрическую задачу. По теореме 5 составляем функционал и пишем для него уравнение Эйлера , отсюда находим . Интегрируя, получаем уравнение семейства окружностей. Значения определяются из условий y(-a)=0, y(a)=0. . Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от нескольких функций при условиях , и нескольких связях вида , . В этом случае необходимым условием экстремума будет , . 2n произвольных постоянных, входящих в решение этой системы и значения k параметров определяются из 2n граничных условий и k условий связи. Доказательство для этого общего случая по существу не отличается от изложенного выше. 5.8. Задача на условный экстремум Задачей Лагранжа или задачей на условный экстремум называется задача отыскания среди всех кривых yi(x) из , удовлетворяющих граничным условиям yi(a)=A, yi(b)=B, (i=1, 2, …, n) кривых доставляющих экстремум функционалу и удовлетворяющих условиям связи gj(x,y1, …,yn)=0, (j=1, 2, …, k). Иначе говоря, функционал рассматривается здесь не на всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям, а только на тех из них, которые лежат на некотором n-k – мерном многообразии. Ограничимся для простоты случаем n=2, k=5. Теорема 6. Если кривые y=y(x), z=z(x) дают условный экстремум функционалу в классе кривых, лежащих на поверхности , причем ни в одной ее точке и не обращаются в нуль одновременно, то существует такая функция , что кривая y=y(x), z=z(x), является экстремалью функционала , т.е. удовлетворяет дифференциальным уравнениям . Теорема 7. Предыдущая теорема остается в силе и в случае, если условие выглядит следующим образом . Без доказательства. Задачу Лагранжа можно рассматривать в некотором смысле как предельный случай изопериметрической задачи. Действительно, если мы предположим, что условие выполняется не всюду, а лишь в некоторой фиксированной точке , то мы получим условие, левую часть которого можно рассматривать как функционал от y,z, т.е. условие того типа, который участвует в изопериметрической задаче. Таким образом, условие можно рассматривать, как совокупность бесконечного множества условий типа функционала. В изопериметрической задаче, как мы видели, число множителей Лагранжа равно числу условий связи. В задаче Лагранжа, в соответствии с только что сказанным, появляется функция , т.е. свой множитель в каждой точке . 5.9. Задача о геодезических кривых Из всех кривых, лежащих на поверхности и проходящих через две заданные точки и , найти ту, которая имеет наименьшую длину. Решение. Длина кривой записывается интегралом . Составляем вспомогательный функционал и пишем соответствующие уравнения Эйлера . Решая эти уравнения, мы получаем семейство линий, зависящее от четырех постоянных, значения которых определяются из граничных условий и . Замечание. Задачу на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных можно, как известно, свести к задаче на безусловный экстремум, выразив переменные, на которые наложены связи, через соответствующее число независимых переменных. Например, задачу о нахождении геодезических на некоторой поверхности можно рассматривать как задачу на условный экстремум, но можно, представив координаты как функции двух параметров, свести эту задачу к отысканию безусловного экстремума. 5.10. Основная формула для вариации функционала для задачи с подвижными концами Выведем общую формулу для вариации функционала считая при этом, что концы тех кривых, на которых определен этот функционал, могут сдвигаться произвольным образом. Все рассматриваемые кривые будем предполагать гладкими, а за расстояние между кривыми и мы назовем величину , где и - левые, соответственно правые концы кривых и . Так как функции и определены, вообще говоря, на разных интервалах, то для того чтобы формула для расстояния между кривыми имела смысл, эти кривые нужно продолжить на весь интервал, проведя, например, для этого касательные в конечных точках кривых. Вариацией функционала называется линейное относительно приращения δy(x) функции y(x) и относительно приращений координат концов и отличающееся от полного приращения функционала на величину выше первого порядка малости по сравнению с расстоянием между функциями y(x) и y(x)+ δy(x). Обозначим координаты концов кривой y(x)через (x0, y0) и (x1, y1), а координаты концов провариированной кривой y(x)+ δy(x) через (x0+ δx0, y0+ δy0) и (x1+ δx1, y1+ δy1) соответственно. Найдем явное выражение для вариации. Для этого вначале найдем приращение функционала . Воспользовавшись формулой Тейлора и отбрасывая члены выше первого порядка малости, получим отсюда, что . Но, как ясно из рисунка , , где ~ означает равенство с точностью до малых порядка выше первого. Поэтому окончательно имеем: Мы получили общую формулу для вариации функционала, зависящего от одной функции. Она содержит в качестве частных случаев формулу вариации для задачи со свободными концами (в этом случае δx0=δx1=0) и формулу вариации для простейшей задачи (в этом случае δx0=δx1=0 и δy0=δy1=0). Для функционала, зависящего от нескольких функций аналогично можно получить . Введем обозначения: , . В этих новых обозначениях основная формула для вариации функционала запишется следующим образом . Заметим, что если определитель, составленный из производных отличен от нуля, то величину можно выразить из равенств через и , и мы можем в функционале от переменных и функции перейти к переменным и функции . Переменные и называются каноническими переменными. Они играют важную роль в самых разных вопросах вариационного исчисления, и мы будем еще неоднократно с ними встречаться. Задача нахождения экстремума функционала на множестве всех функций из , концы которых и лежат на двух фиксированных линиях и , называется задачей с подвижными концами. Теорема 8. Кривая из , является решением задачи с подвижными концами, если для нее выполняется уравнение Эйлера и условия трансверсальности . Понятие о поле экстремалей Уравнение Гамильтона-Якоби Рассмотрим функционал определенный на кривых, лежащих в некоторой области G, и предположим, что через любые две точки A и В из G проходит одна и только одна экстремаль функционала. Величину тде интеграл берется вдоль экстремали, соединяющей точки A и В из G назовем геодезическим расстоянием между этими точками. S представляет собой, очевидно, однозначную функцию координат точек А и В. Рассмотрим простейшие примеры. • Пусть функционал J означает длину кривой, тогда S — расстояние (в обычном смысле) между А и В. • Рассмотрим механическую систему с некоторой функцией Лагранжа L. Интеграл взятый вдоль экстремали, проходящей через заданные точки А и В представляет собой действие, отвечающее переходу рассматриваемой системы из одного состояния в другое. Будем считать начальную точку А фиксированной, а точку В переменной. Тогда S будет представлять собой в области G однозначную функцию координат точки В. Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция . Вычислим с этой целью ее частные производные Для этого найдем полный дифференциал функцииS, т. е. главную линейную часть приращения Но есть, по определению, разность где - экстремаль, идущая из А в точку , а - экстремаль, идущая в точку . Следовательно , где за начальную кривую берется экстремаль , а начальная точка А остается неподвижной. Воспользовавшись формулой для вариации функционала в канонических переменных, получаем (все величины берутся в точке В). Следовательно, где под понимается выражение в котором - значение производной в точке В для идущей из А в В экстремали, и . Получаем, что S -как функция от координат точки В удовлетворяет уравнению . Это уравнение в частных производных (вообще говоря, нелинейное) называется уравнением Гамильтона — Якоби. Канонические уравнения Эйлера представляют собой характеристическую систему для уравнения Гамильтона – Якоби. Выясним связь между решениями уравнения Гамильтона - Якоби и первыми интегралами системы уравнений Эйлера. 5.12.2. Теорема Якоби Пусть - полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби и пусть детерминант матрицы отличен от нуля. Пусть, наконец, - произвольных постоянных. Тогда функции определяемые соотношениями вместе с функциями образуют общее решение канонической системы уравнений Эйлера . 5.13. Формула для второй вариации в задаче с закрепленными концами Билинейным функционалом называется функционал , если . Полагая в билинейном функционале y=x, получаем выражение, называемое квадратичным функционалом. Выражение представляет собой билинейный функционал, а - квадратичный функционал в пространстве . Выражение представляет собой квадратичный функционал в пространстве . Второй вариацией функционала будем называть квадратичный функционал в разложении , где - линейный функционал (вариация функционала), а при . Контрольные работы Контрольная работа №1. Экстремальные задачи. Задание 1. Задачи без ограничений. Задание 2. Задачи с ограничением типа равенств Задание 3. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств Задание 4. Задача Больца. Задача с подвижными концами. Условия трансверсальности. Задание 5. Изопериметрическая задача. Задание 6. Задача вариационного исчисления со старшими производными Задание 7. Литература Основная литература: 1. Андреева Е. А. Вариационное исчисление и методы оптимизации: учеб. пособие / Е. А. Андреева, В. М. Цирулева. – М.: Высш. шк., 2006. - 584 с. 2. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. - 2-е изд., испр. - М: Изд-во "Дело" АНХ, 2008. - 664 с. 3. Просветов Г.И. Методы оптимизации: задачи и решения: учеб.-практ. пособие. – М.: Изд-во «Альфа-Пресс», 2009. - 168 с. Дополнительная литература: 4. Корнеенко В.П. Методы оптимизации: учеб. для вузов / В.П. Корнеенко. – М.: Высш. шк., 2007. - 664 с. 5. Ларин Р. М., Плясунов А. В., Пяткин А. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2003. 115 с. 6. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление и интегральные уравнения.- М., Наука, 1965. 7. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике: Учебное пособие. – М: «Издательство «Дело и Сервис»»,2004.- 320 с. 8. Агальцов В.П., Валдайская И.В. Математические методы в программировании: Учебник.- М.: ИД «Форум»: ИНФРФ-М, 2006- 224 с. 9. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учен. Пособие.- М.: Высш. Шк., 2005-544 с. 10. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: Учебник- М.: ТК Велби, Из-во Проспект. 2006- 280с. СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 1. Функционалы. Элементы выпуклого анализа. 5 1.1. Функционалы. Функциональные пространства. 5 1.2. Сильный и слабый экстремум. Вариация функционала. 8 1.3. Элементы выпуклого анализа в теории игр 9 1.4. Задания на самостоятельную работу 14 2. РЕШЕНИЕ задач линейного программирования 14 2.1. Постановка задачи линейного программирования 14 2.2. Симплексный метод 16 2.3. Анализ симплекс-таблиц 21 2.4. Алгоритм симплекс-метода в электронных таблицах 26 2.5. Задачи для самостоятельной работы 30 3. Методы оптимизации. Транспортная задача. 33 3.1. Постановка задачи и стратегии решения 33 3.2. Методы решения транспортной задачи 38 3.2.1. Методы составления начального опорного плана 38 3.2.2.Диагональный метод, или метод северо-западного угла (метод Дарцинга) 39 3.2.2. Метод минимальных элементов (наименьшей стоимости) 41 3.2.2. Метод аппроксимации Фогеля 42 3.3. Методы отыскания оптимального решения 44 3.3.1. Распределительный метод 44 3.3.2. Метод потенциалов 48 3.4. Пример решения транспортной задачи 56 3.5. Пример решения транспортной задачи с помощью MS Excel 61 3.6 Видоизменения транспортной задачи 67 3.7. Задачи для самостоятельной и контрольной работы 69 4. Методы оптимального управления. Управление запасами. 75 4.1. Модели управления запасами 75 4.2. Краткая характеристика моделей управления запасами 76 4.3. Модель наиболее оптимального размера заказа 77 4.4. Модель оптимального размера заказа с растянутой поставкой 78 4.5. Модель оптимального размера заказа с дефицитом 79 4.6. Модель производства и распределения 80 4.7. Модель с количественными скидками 81 4.8. Примеры решения задач оптимального заказа 83 4.9. Задачи для самостоятельной работы 88 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И Задачи вариационного исчисления 90 5.5. Основные леммы вариационного исчисления 90 5.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 91 5.3. Частные случаи уравнения Эйлера 93 5.4. Задача о брахистохроне 94 5.5. Основная формула для вариации функционала для задачи со свободными концами 96 5.6. Изопериметрические задачи 97 5.7. Задача Дидоны 98 5.8. Задача на условный экстремум 100 5.9. Задача о геодезических кривых 101 5.10. Основная формула для вариации функционала для задачи с подвижными концами 102 5.11 Некоторые приложения к задачам механики 105 5.11.1. Принцип наименьшего действия 105 5.11.2. Задача об оптимальном выведении на орбиту спутника Земли 107 5.12. Понятие о поле экстремалей 108 5.12.1.Уравнение Гамильтона-Якоби 108 5.12.2. Теорема Якоби 109 5.13. Формула для второй вариации в задаче с закрепленными концами 110 5.14. Контрольные работы 112 Литература 120