Изучение программного комплекса по моделированию и исследованию динамических систем «SIMULINK». Исследование типовых динамических звеньев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Изучение программного комплекса по моделированию и исследованию динамических систем «SIMULINK». Исследование типовых динамических звеньев Цель работы: изучение возможностей и назначения системы «SIMULINK» на примере исследования временных и частотных характеристик типовых динамических звеньев. Описание программного комплекса «SIMULINK» Система Simulink является расширением системы инженерных и научных расчетов MATLAB и позволяет решать задачи сокращения сроков проектирования, повышения качества разработки моделей физических систем и моделирования процессов в этих системах. Развитие этих подходов дает возможность улучшить документирование работ и использовать средства анимации. Начало работы Рис. 1.1. Запуск системы Simulink Система Simulink запускается из системы MATLAB путём; выбора указателем мыши пиктограммы Simulink (8-я слева) на панели инструментов системы MATLAB (рис. 1.1). Можно также ввести команду simulink в командной строке системы MATLAB. В результате появляется окно Simulink Library Browser (Браузер 3 главной библиотеки Simulink) системы Simulink, которое показано на рис. 1.2. Открытие нового окна модели осуществляется нажатием левой кнопки мыши на пиктограмме Create a new model (1-я слева) панели инструментов данного окна. Имя окна (имя модели) задается по умолчанию - untitled (рис. 1.3). В этом окне строится модель системы в виде структурной схемы. Рис. 1.2. Окно Simulink Library Browser Рис. 1.3. Окно модели 4 При двойном нажатии левой клавиши мыши на пиктограммах в левой части окна Simulink Library Browser или при однократном нажатии на значок «+» появляется список библиотек блоков, как показано на рисунке. В случае нажатия левой кнопки мыши на строке с наименованием библиотеки блоков, в правой части окна появляется список блоков указанной библиотеки. 5 Построение модели Модели элементов структурных схем В системе Simulink принято группировать модели объектов и устройств по функциональному уровню: источники сигналов, моделируемые системы и регистрирующие устройства. Рис. 1.4 показывает основной характер физических и информационных процессов на данном уровне. Определенный элемент, физическая система описываются моделями, представляемыми в виде структурных схем системы Simulink, которые можно использовать для моделирования. Выходной сигнал источника является переменной, которая воздействует на систему, описываемую в виде структурной схемы. Значение этой переменной определяется некоторым правилом: функцией (показательной, тригонометрической, многочленом, в том числе константой и т. д.), единичной ступенчатой функцией или функцией, задаваемой пользователем с использованием системы MATLAB. Модели источников сигналов — блоки, которые сгруппированы в библиотеки блоков Sources (Источники сигналов). Блоки, являющиеся моделями устройств для измерения переменных, Источники сигналов (Sources) Структурная схема системы Simulink Средства Регистрации (Sinks) Рис. 1.4. Элементы модели Simulink размещены в библиотеке блоков Sinks (Средства регистрации). Совокупность данных фиксируется в виде графиков, диаграмм на экране дисплея и сохраняется в файле. Модели системы Simulink могут включать один или несколько блоков из перечисленных выше групп. Например, можно описать модель автономной системы, которая не находится в состоянии равновесия. На структурной схеме такая система не имеет входного воздействия, однако модель включает блоки Integrator, блок Gain и блоки из библиотеки Sinks. Возможно также построение модели, которая состоит только из блоков библиотек Sources и Sinks. Если необходимо сформировать сигнал в виде суммы переменных, то одним из способов найти значение данного алгебраического выражения является использование блоков из библиотеки Sources системы Simulink и 6 размещение переменных в рабочей области системы MATLAB или сохранение рабочей области в файле. Открытие модели Для открытия нового окна модели выбирается пиктограмма Create a new model на панели инструментов окна Simulink Library Browser, или используется команда Model меню второго уровня New меню File, а также можно применить комбинацию клавиш Ctrl+N. Файлы системы MATLAB и системы Simulink записываются в каталоги и папки файловой системы. Каталогом, заданным по умолчанию, является начальный текущий каталог системы MATLAB. В системе обеспечивается возможность выбора каталогов с помощью команд меню File окна модели системы Simulink, однако, текущий каталог при этом не изменяется в течение всего сеанса работы. Если необходимо открыть файл какой-либо модели в том же каталоге, где уже был открыт файл модели, а данный файл отсутствует в списке файлов текущего каталога, необходимо найти соответствующий каталог и вызвать файл. Иногда целесообразно изменить текущий каталог, содержащий файл модели во время сеанса работы системы MATLAB (используя команду cd <новый каталог>) и затем открыть модель средствами системы Simulink. Рекомендуется задать каталог для файлов моделей системы Simulink, отделив его от каталогов и папок системы MATLAB, и устанавливать пути доступа к сохраняемым файлам. Данный подход обеспечит сохранение данных и возможность оперативного доступа. Для поиска файлов существующей модели также используется способ непосредственного задания имени файла модели в командной строке системы MATLAB. При этом система MATLAB осуществляет следующие действия: поиск файла модели в текущем каталоге, а затем поиск файла с данным именем во всех каталогах списка путей доступа. 7 Построение структурной схемы Для построения структурной схемы модели необходимо подвести указатель мыши к нужному блоку в окне Simulink Library Browser и удерживая левую кнопку мыши, перетащить этот блок в окно модели. Далее такую же операцию нужно проделать для остальных компонентов схемы. Затем следует провести линии связи, для этого указатель мыши помещается на выходной порт блока, который обозначается угловой скобкой «>» на правой стороне изображения блока. При этом указатель примет вид креста. Далее, при нажатой левой кнопке мыши, указатель мыши перемещается ко входному порту другого блока, он обозначается угловой скобкой «>», расположенной на левой стороне изображения блока. В случае верно выбранной точки входа указатель принимает вид двойного креста. Для удобства пользователя в Simulink предусмотрена возможность редактирования изображений блоков: изменение размеров, вращение (с помощью команды Rotate меню Format), изменения направления передачи блока (команда Flip Block), копирование, операции с именем блока и др.; линий связи и их обозначений: перемещение отрезка линии связи, перемещение точки излома линии связи, задание излома на линии связи (с помощью клавиши Shift), ответвление линии связи (с помощью правой кнопки мыши), обозначение линии связи и др. 8 Библиотека блоков системы Simulink В системе Simulink по умолчанию установлен способ доступа к блокам с помощью окна Simulink Library Browser (Браузер главной библиотеки Simulink). Браузер главной библиотеки вызывается выбором команды Show Library Browser меню View окна модели. На рис 1.5 показана главная библиотека блоков Simulink. Рис.1.5. Библиотека блоков Simulink Блоки из библиотеки Sources (Источники сигналов) Блоки из библиотеки блоков Sources (Источники сигналов) не содержат входных портов и имеют один выходной порт. Описание блоков из данной библиотеки блоков можно получить из справочной системы. Рассмотрим наиболее распространенные источники типовых сигналов: блок Step (Ступенчатый сигнал) и блок Sin Wave (Генератор синусоиды). - блок Step - блок Sin Wave 9 Блок Step (Ступенчатый сигнал) реализует ступенчатую функцию. Параметрами блока являются время, когда подается ступенчатый сигнал, величина амплитуды в начальный момент времени и амплитуда ступенчатого сигнала. Для блока Sine Wave (Генератор синусоиды) в качестве параметров задается амплитуда, фаза и частота гармонического сигнала. 10 Для формирования сигналов сложной формы можно использовать линейное преобразование выходных переменных блоков из библиотеки Sources. Блоки из библиотеки Continuous (Элементы непрерывных систем) Библиотека блоков Continuous включает блоки, которые описывают модели непрерывных систем. Рассмотрим наиболее распространенные блоки: блок Integrator (Интегратор) и блок Transfer Fcn (Передаточная функция). - блок Integrator - блок Transfer Fcn Блок Integrator (Интегратор) вычисляет значение интеграла. Может конфигурироваться как элемент интегратор со сбросом. Для задания начальных условий следует ввести значение в текстовое поле Initial condition (Начальные условия), которое по умолчанию задается равным 0. Блок Transfer Fcn (Передаточная функция) формирует модель в виде передаточной функции, представленной в форме дробно-рациональной функции (отношение двух многочленов). Многочлены задаются коэффициентами в порядке убывания степеней переменной s. Диалоговое 11 окно блока включает два текстовых поля: Numerator (Числитель) и Denominator (Знаменатель). Блоки из библиотеки Discrete (Элементы дискретных систем) Библиотека блоков Discrete включает блоки, которые описывают модели дискретных систем. Рассмотрим наиболее распространенные блоки: блок Discrete Transfer Fcn (Дискретная передаточная функция) и блок Unit Delay (Задержка). - блок Discrete Transfer Fcn - Unit Delay Блок Discrete Transfer Fcn (Дискретная передаточная функция) формирует модель в виде передаточной функции дискретной системы, представленной в форме дробно-рациональной функции (отношение двух многочленов). Многочлены задаются коэффициентами в порядке убывания степеней переменной z. Блок Unit Delay (Задержка) вычисляет выходную переменную, которая принимает значение входной переменной в предыдущий момент квантования. 12 Блоки из библиотеки Math Operations (Математические функции) Рассмотрим наиболее распространенные блоки: блок Gain (Коэффициент усиления) и блок Sum (Сумматор). - блок Gaun - блок Sum Блок Gain (Коэффициент усиления) выполняет матричное умножение или поэлементное умножение (попарное произведение элементов массивов согласованной размерности). В качестве операндов используются скаляры, векторы или матрицы. Блок Sum (Сумматор) вычисляет алгебраическое выражение, в котором входные переменные участвуют только в действиях сложения и вычитания. Количество входных портов и соответствующие знаки операций сложения и 13 вычитания задаются как параметры блока. Блоки из библиотеки Sinks (Средства регистрации) Блоки из библиотеки блоков Sinks (Средства регистрации) служат для визуализации и сохранения результатов моделирования. Остановимся более подробно на двух блоках: блок Scope (Осциллограф) и блок XY Graph (Построение графика. 1) Блок Scope (Осциллограф) . - блок Scope Данный блок осуществляет построение графиков табличных функций, заданных в виде одномерного массива, соответствующего значениям аргумента (время), и массива входной переменной (вектор или скаляр), соответствующего значениям функции. Начальное значение по оси абсцисс для отображения данных всегда равно нулю, другой конец отрезка определяется величиной, называемой промежутком времени (Time range). Например, если в текстовом поле Time range задано значение 10, а конечное время моделирования равно 100, то переменные будут отображаться для значений времени, изменяющихся на отрезке [90,100], хотя на графике абсцисса будет задаваться на отрезке [0,10]. Блок Scope предназначен для построения переходных процессов и обеспечивает возможность создания твердой копии. Переменным, размещенным в рабочей области, могут быть присвоены значения массивов или структур расчетных данных, построение графиков выполняется с помощью команды simplot системы Рис. 1.6. Диалоговое окно блока Simulink или команды plot Scope системы MATLAB. 14 Блок Scope может быть помещен в структурную схему и не иметь соединений с точками схемы, при этом он определяется как блок Floating Scope (Плавающий осциллограф). Данный блок предназначен для оперативного соединения с линиями связи путем выбора линии в процессе моделирования. На рис 1.6 показано диалоговое окно блока Scope, в верхней части которого расположена панель инструментов. Открытие диалогового окна блока Scope производится двойным нажатием левой кнопки мыши на изображении данного блока. Результаты моделирования представляются в виде графика, показанного на рисунке. Для увеличения масштаба области графического окна, задаваемой выделяющим прямоугольником, необходимо выбрать пиктограмму Zoom, построить выделяющий прямоугольник и отпустить левую кнопку мыши. В результате в диалоговом окне блока Scope будет сформирован график, границы на осях которого будут определяться координатами выделения. вершин прямоугольника 15 Данное диалоговое окно появляется при выборе пиктограммы Parameters панели инструментов окна Scope и имеет две вкладки. Вкладка General (Основная) (рис. 1.7) в группе опций Axes (Оси) имеет несколько полей. В текстовом поле Number of axes (Число осей) задается число графиков, формируемых в окне блока Scope, и число входных портов блока Scope. Для каждого входного порта строится соответствующий график. Например, если в текстовом поле Number of axes вводится значение 2, то изображение окна блока Scope примет вид, показанный на рис. 1.9. Установка флажка floating scope (Плавающий осциллограф) обеспечивает преобразование блока Scope в блок Floating Scope (Плавающий осциллограф), который позволяет графически представлять изменение переменных путем выбора линий связи в структурной схеме в процессе моделирования. Если в текстовом поле Time range (Промежуток времени) вводится значение auto, то границы на оси устанавливаются от нуля до значения конечного времени моделирования. Если в поле вводится некоторое положительное значение, то начальной точкой на оси абсцисс будет точка t=0, а предельное значение равно введенному. Рис. 1.7. Вкладка General диалогового окна ‘Scope’ parameters 16 Рис. 1.8. Вкладка Data history диалогового окна ‘Scope’ parameters Рис. 1.9. Окно блока Scope с двумя системами осей Раскрывающийся список Tick labels включает следующие пункты: all — для обозначения обеих осей графика, попе — для отрисовки графика без обозначений и чисел на делениях, bottom axis only—- для вывода обозначения оси абсцисс. Группа опций Sampling вкладки General включает раскрывающийся список из двух пунктов: Decimation (Прореживание) и Sample time (Период квантования). При выборе 17 пункта Decimation в текстовом поле задается коэффициент прореживания, который является целым числом: если значение равно 1 (устанавливается по умолчанию), то на графике будет отображаться каждое значение входной переменной, если значение равно 2, то на график выводится каждая вторая точка и т. д. В случае выбора пункта Sample time в текстовом поле вводится значение времени квантования, определяющее моменты времени квантования по оси абсцисс. Блок Scope позволяет сохранять массив или структуру входных данных в буфере памяти. Размер буфера оперативной памяти может быть задан на вкладке Data history (рис.1.8) установкой флажка limit data points to last и вводом значения максимальной размерности входного вектора в текстовое поле (по умолчанию задается 5000 точек). Данный буфер использует функции установки границ по осям, управления масштабом графика и хранения данных в рабочей области. Допустим, что в поле Limits data point to last устанавливается значение 1000, однако, в процессе моделирования сформирован массив, содержащий 2000 точек, в этом случае только последние 1000 точек будут доступны в рабочей области после завершения моделирования. Процедура получения твердой копии графика, построенного с помощью пиктограммы Print панели инструментов диалогового окна блока Scope, не обеспечивает выбора способов и задания параметров размещения твердой копии изображения модели на странице. Однако, если массивы выходных данных хранятся в рабочей области системы MATLAB, функции и команды системы MATLAB позволяют посылать данные для печати на принтер и сохранять их в файле. Для того чтобы разместить массив данных в рабочей области, необходимо установить флажок Save data to workspace и в текстовом поле Variable name задать имя переменной, которая создается в рабочей области системы MATLAB. Данной переменной присваивается значение массива данных, который формируется после завершения моделирования. В раскрывающемся списке Format представлен набор типов данных. В случае выбора пункта Array числовой массив данных формируется следующим образом: в первом столбце 18 содержатся значения моментов времени моделирования, в следующих столбцах записываются значения компонентов вектора входной переменной блока Scope. Если вектор входной переменной блока включает два компонента, в рабочей области системы MATLAB будет размещаться двухмерный массив, содержащий три столбца, число строк которого равно числу значений моментов времени моделирования. В случае выбора позиций Structure создается массив записей, при этом содержимое поля time является пустым массивом. Для формирования массива записей, включающего вектор значений моментов времени, следует выбрать опцию Structure with time. Если массив данных моделирования хранится в рабочей области системы MATLAB, то для создания твердой копии и размещения ее на странице можно использовать команду simplot системы Simulink. Задание границ осуществляется нажатием правой клавиши мыши в графической области окна блока. При выборе команды Axis properties появляется диалоговое окно 'Scope' properties: axis, которое содержит текстовые поля для ввода границ по оси ординат и заголовка графика. По умолчанию задается строка %, показывающая, что заголовком графика является обозначение входной переменной блока, если в текстовом поле Title (' %' replaced by signal name): не введена строка с другим заголовком. 2) Блок XY Graph (Построение графика) - блок XY Graph Данный блок позволяет строить график функции и его действия схожи с теми, которые выполняет команда plot системы MATLAB. Блок XY Graph имеет два входных порта. Верхний входной порт служит для задания значений аргумента, нижний входной порт – для задания значений функции. 19 В диалоговом окне блока задаются предельные значения по осям координат и период квантования. Задание параметров моделирования Создание математической модели физической системы включает в себя ряд этапов: математическую формулировку задачи, построение дискретной модели и реализацию численного метода на ЭВМ. Математический аппарат в большинстве случаев использует описание в виде дифференциальных и разностных уравнений. В системе Simulink модель строится в виде структурной схемы, затем выполняются этапы анализа, синтеза и моделирования системы, используя выбранный численный метод. Для функции интегрирования задаются входные параметры: интервал интегрирования, шаг интегрирования, допустимые погрешности и др. Кроме этого, можно загружать переменные из рабочей области или размещать переменные в рабочей области системы MATLAB. Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) реализуются в специальном решателе ОДУ. Диалоговое окно Simulation Parameters вызывается при выборе команды Simulation parameters меню Simulation окна модели 20 (рис. 1.10). Данное окно включает пять вкладок: Solver (Решатель), Workspace I/O (Импорт и экспорт данных рабочей области), Diagnostics (Диагностика), Advanced (Экспертные настройки) и RealTime Workshop (Мастерская реального времени). Вкладка Solver (рис. 1.10) используется для выбора функции интегрирования, установки значений ее параметров и опций. На вкладке Workspace I/O задаются параметры загрузки переменных из рабочей области и размещения массивов данных в рабочей области системы MATLAB. Рис. 1.10. Диалоговое окно Simulation Parameters Вкладка Diagnostics используется для задания значений опций диагностики. Вкладка Advanced позволяет устанавливать значения опций для оптимизации процесса интегрирования. Вкладка Real-Time Workshop не рассматривается. Более подробное описание диалогового окна Simulation Parameters дается в Приложении 1. Моделирование Параметры и опции моделирования задаются как с помощью команд меню Simulation, так и с помощью пиктограмм панели 21 инструментов окна модели. Для запуска моделирования выбирается команда Start меню Simulation или пиктограмма Start. Для прерывания моделирования в произвольный момент времени используется команда Stop меню Simulation или пиктограмма Stop на панели инструментов. Процесс моделирования запускается также из командной строки системы MATLAB. В ходе моделирования обеспечивается редактирование ряда параметров. Например, изменяются значения коэффициента усиления блоков Gain, аргументы функции интегрирования (например, минимальный размер шага интегрирования) или выбираются линии связи, соединяющиеся с блоком Floating Scope для визуализации процесса моделирования. Пример Построение временных (переходных, весовых (импульсных переходных)) и частотных характеристик типовых звеньев автоматического управления на примере инерционного звена с передаточной функцией W ( p) 10 . 1 01 .p В окне Simulink Library Browser необходимо выбрать исследуемое звено (блок Transfer Fcn) и, удерживая левую кнопку мыши, перетащить этот блок в окно модели. Переходная характеристика звена представляет собой реакцию звена на единичную ступенчатую функцию. Весовая (импульсная переходная) характеристика звена представляет собой реакцию на - функцию Дирака и равна производной по времени от переходной характеристики. Для получения переходной характеристики звена на его вход подается ступенчатое воздействие (блок Step). Весовую характеристику можно получить дифференцируя (блок Derivative) 22 переходную характеристику исследуемого звена (рис.1.15), т.е. включая на выходе звена дифференциальное звено du / dt . Аналогично, как и инерционное звено, располагаем блок Step в рабочей области. Затем следует провести линии связи, для этого указатель мыши помещается на выходной порт блока Step, который обозначается угловой скобкой «>» на правой стороне изображения блока. При этом указатель примет вид креста. Далее, при нажатой левой кнопке мыши, указатель мыши перемещается ко входному порту другого блока, он обозначается угловой скобкой «>», расположенной на левой стороне изображения блока. В случае верно выбранной точки входа указатель принимает вид двойного креста. Аналогичным образом к схеме подключается звено du / dt . Теперь нам необходимо задать параметры блоков. Двойным нажатием левой кнопки мыши на соответствующем блоке, появляется диалоговое окно Block Parameters. Для блока Step мы вводим в области step time диалогового окна Block Parameters:step ноль. Для блока Transfer Fcn мы вводим в области numerator диалогового окна Block Parameters:Trabsfer Fcn– [10], а в области denominator – [0.1 1]. Рис. 1.11. Схема для получения весовой и переходной функции инерционного звена Для построения графических зависимостей нам необходимо подключить еще один блок (блок Scope или блок XY Graph). 23 Рис. 1.12. Схема для построения частотных характеристик инерционного звена Далее нам необходимо задать параметры эксперимента. Выбираем команду Simulation parameters меню Simulation окна модели и в группе опций Simulation time диалогового окна Simulation parameters в текстовых полях Start time и Stop time задается время моделирования. В группе опций Solver options в текстовом поле type задается шаг интегрирования: переменный (Variable step) или постоянный (Fixed step), метод интегрирования и значение шага интегрирования. Затем выбирается команда Start меню Simulation и строятся графики. Для снятия частотной характеристики звена необходимо на вход подавать синусоидальные сигналы (блок Sin Wave) с различными частотами. В диалоговом окне Block Parameters:Sin Wave задаются значения амплитуды, частоты и фазы. Значение амплитудной частотной характеристики на заданной частоте определяется как отношение амплитуд сигналов на выходе и входе звена, а значение фазочастотной характеристики можно определить по фигуре Лиссажу, выводимой на экран с помощью блока XY Graph и подаче на один вход входного, а на другой выходного сигнала звена. Фаза (угол ) определяется по a arcsin формуле A Рис. 1.13. Фигура Лиссажу 24 Часто задачей исследования является рассмотрение процессов, происходящих в замкнутых автоматических системах. Для этого необходимо в схему добавить сумматор, на один вход которого будет действовать входной сигнал, а на второй следует завести обратную связь. Если обратная связь отрицательная, то это необходимо учесть или при задании параметров сумматора (соответствующий параметр должен быть равен -1), или включением в цепь обратной связи блока-инвертора. Теоретические положения Для описания линейных непрерывных систем автоматического управления (САУ) широко используются временные и частотные характеристики, основным преимуществом которых является то, что они могут быть экспериментально получены при исследовании системы. В качестве временных характеристик наиболее часто используются переходные и весовые (импульсные переходные) функции, представляющие собой реакции САУ на единичную ступенчатую функцию и δфункцию Дирака соответственно. Схема снятия частотных характеристик объекта представлена на рис. 1.14. Рис.1.14. Схема снятия частотных характеристик объекта Период колебаний равен T1 =2π/ω , а сдвиг по времени ∆t = φ/ω Используя формулу Эйлера: e j t cos t j sin t , входной и выходной сигналы объекта можно представить в виде: 25 . x(t) = A вхsin t = Im{Aвх ej t }=Im{ X ( j ) } . y(t) = A вых sin ( t + )=Im{Aвыхej( t+ ) }=Im{ Y ( j ) }., где Im – выделение мнимой части комплексного числа, . X ( j ) - входной сигнал в комплексной форме, . Y ( j ) - выходной сигнал, представленный в комплексной форме Основой всех частотных характеристик является комплексный коэффициент усиления, определяемый выражением W( j ) Y( j ) A( )e j ( ) . X(j ) На основании выражения для W ( j ) можно амплитуднофазовую АФХ W(jω), амплитудную А(ω) и фазовую φ(ω) частотные характеристики, а также логарифмические амплитудную L(ω)=20LgA(ω) (ЛАЧХ) и фазовую φ(ω) (ЛФЧХ) частотные характеристики (при изменении частоты ω от 0 до ∞). Подготовка к работе Согласно номеру бригады для 2-х звеньев с указанными в табл. № 1.2 параметрами, записать передаточные функции и построить: • логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ); • логарифмическую фазочастотную характеристику (ЛФЧХ); • амплитудно-фазовую характеристику (АФХ); • весовую и переходную функции (можно в Mathcad). Изучить возможности и назначение ПК "SIMULINK". 26 Задание на выполнение работы 1. С помощью ПК "SIMULINK" построить для 2-х звеньев (тип исследуемых звеньев и их параметры указаны в таблице 1.2, а обозначения и передаточные функции приведены ниже): а) интегрирующего W(p) = k/p; б) инерционного W(p) = k/(l+T1p); в) упругого дифференцирующего W(p) = k(l+T2p)/(l+T1p), T2 > T1 г) упругого интегрирующего W(p) = k(l+T2p)/(l+T1p), T2 < T1; д) колебательного W(p) = k/(1+2ξT1p+T12p2) е) реального дифференцирующего W(p) = kp/(l+T1p). • переходную характеристику; • весовую характеристику. По полученным зависимостям определить параметры звеньев. 2. Для исследуемых звеньев снять амплитудно - частотные и фазочастотные характеристики. 3. По снятым данным построить ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ, сравнить их с построенными при подготовке к работе и определить по ним параметры звеньев. Методические указания Для снятия временных характеристик использовать схему моделирования с помощью программного комплекса “SIMULINK”, представленную на рис.1.11, в которой следует использовать блоки, моделирующие исследуемые в работе типовые звенья. Снятие частотных характеристик производится с использованием синусоидального сигнала различной частоты рис.1.12. При снятии частотных характеристик следует выбирать шаги интегрирования и выдачи данных такими, чтобы на периоде синусоиды T1 было не меньше 10 точек. Время выдачи должно выбираться из условия окончания переходного процесса в исследуемом типовом звене, диапазон изменения частот выбирается по построенной при подготовке к работе логарифмическим частотным характеристикам.. 27 Таблица 1.2 № брига -ды Вариант Тип звена 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 а,г а,д в,г б,д б,в б,г в,д г,д б,е е,д а,б а,в а,е в,е г,е Коэффициент К Постоянная времени Т1 Постоянная времени Т2 1.0 5.0 2.0 2.0 3.0 3.0 2.0 5.0 4.0 5.0 5.0 2.0 4.0 6.0 3.0 1.0 7.0 1.0 3.5 8.0 6.0 2.0 9.0 1.5 10.0 3.5 5.0 3.0 7.5 2.0 10.0 4.0 2.5 5.0 1.0 5.0 2.5 5.0 2.0 Контрольные вопросы. Декремент затухания ξ 0.5 0.6 0.25 0.15 0.55 - 1. Что такое весовая и переходная функции объекта (системы), какие сигналы надо подавать на вход системы для их получения, какова связь между этими временными характеристиками. 2. Какие сигналы надо подавать на вход системы (объекта) для получения частотных характеристик. 3. Как снимаются амплитудные и фазовые характеристики систем. 4. Какова связь между передаточной функцией системы и ее комплексным коэффициентом усиления. 5. Записать дифференциальные уравнения, описывающие типовые динамические звенья (а – е). Литература .1. Теория автоматического управления. Ч. I, II. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c. 2. Петрова В.А., Ягодкина Т.В. Математическое описание линейных непрерывных САУ. М.: Изд. МЭИ, 1992, 103 c. 3. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы приме-нения. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 28 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Исследование качества систем автоматического управления Цель работы: изучение временных характеристик систем автоматического управления (САУ) и определение основных показателей качества переходного процесса. Теоретические положения Основное условие работоспособности систем автоматического управления заключается в ее устойчивости. Однако устойчивость недостаточное условие ее практического применения. Наряду с этим выдвигаются определенные требования к качеству процессов регулирования. Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном режимах отработки заданного воздействия определяется показателями качества работы САУ: прямыми показателями качества (быстродействием и характером переходного процесса), определяемыми по переходной характеристике САУ, косвенными (запасами устойчивости по амплитуде и фазе), точностью. Показатели качества процесса отработки входного воздействия будем рассматривать для системы, структурная схема которой изображена на рис.2.1. Рис.2.1. Структурная схема САУ Запасы устойчивости по амплитуде и фазе Линейная система устойчива, если с течением времени переходная составляющая процесса стремится к нулю: 29 n t lim xпер.(t) = 0, xпер.(t) = ci e pit , где сi – постоянные i 1 интегрирования, pi – корни характеристического уравнения исследуемой САУ. Уравнение динамики системы (рис.2.1) в изображении по Лапласу имеет вид [1+Wp(p)]·Y(p) = Wp(p)·Xy(p)±WII(p)·Xв(p), где Wp(p) = WI(p)· WII(p) = K(p)/D(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Уравнение свободного режима [1+Wp(p)]·Y(p) = 0. Характеристическое уравнение замкнутой САУ: A(p) = K(p)+D(p) = 0. Для устойчивости линейной замкнутой САУ lim( xпер. 0) t необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными, т.е. лежали в левой части комплексной плоскости. Замкнутая система должна быть не просто устойчивой, а обладать определенными запасами устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется либо величиной ΔA = 1-Aπ, либо величиной 1/ Aπ (в логарифмических единицах Lπ = 20·lg(1/Aπ)[дБ]), где Aπ - значение модуля вектора Wp(jω), аргумент которого равен φ = -π (рис.2.2). 30 Рис.2.2. Определение запаса устойчивости по фазе γ и модулю ΔA (1/Аπ) Запас устойчивости по фазе обозначается γ и определяется на частоте среза ωс, при которой амплитуда A(ωс) = 1, γ = 1800+φ(ωс), (2.1) где φ(ωс) - значение аргумента вектора Wp(jω) при ω = ωс. Изображенные на рис.2.2 и 2.3 годограф Wp(jω) и логарифмические характеристики разомкнутой системы показывают, что система в замкнутом состоянии устойчива и обладает запасом устойчивости по фазе γ > 0 и по амплитуде Lπ = 20·lg(1/Aπ) > 0 (1/Aπ > 1). 31 Рис.2.3. Определение запаса устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ Коэффициент усиления, при котором замкнутая САУ находится на границе колебательной устойчивости называется предельным Кпред. На основании критерия устойчивости Найквиста предельный коэффициент усиления может быть определен соотношением Кпред = К·(1/Aπ). Предельный коэффициент усиления САУ можно определить по логарифмическим частотным характеристикам (рис.2.3.) 20·lgКпред = 20·lgK – 20·lg Aπ. Если коэффициент усиления разомкнутой системы меньше предельного коэффициента Кпред, то система устойчива и обладает запасом устойчивости (по фазе, модулю). В противном случае система неустойчива. 32 Точность работы САУ Точность работы САУ определяется ошибкой, которая равна разности между задающим значением и значением выходного сигнала при t→∞, т.е. x0 уст. lim x0 (t ) lim ( x y (t ) y (t )) . t t В соответствии со структурной схемой САУ (рис.2.1) ошибка в изображении по Лапласу X0(p) = WII ( p) 1 X y ( p) X В ( p) . 1 W p ( p) 1 W p ( p) (2.2) Уравнение (2.2.) дает возможность получить ошибку и переходном и в установившемся режимах по управляющему Xy(p) возмущающему Xв(p) воздействиям. Для определения ошибки установившемся режиме можно воспользоваться теоремой предельном значении преобразования Лапласа: x0 уст. lim x0 (t ) lim p X 0 ( p) . (2.3) t p в и в о В зависимости от вида входного сигнала получаем различные виды ошибок. Так, при подаче на вход ступенчатого воздействия в установившемся режиме возникает статическая ошибка: xсТ x0 уст. xсТ . у 1 lim ( x y0 p 0 1 W p ( p) WII ( p) xВ0 ) 1 W p ( p) (2.4) xсТ .В Кинетическая ошибка xкин. или скоростная возникает в установившемся режиме после отработки линейно возрастающего входного воздействия xу(t) = V·t или Xу(p) = V/p2, где xкин. x0 усТ. у 1 V lim p [ ]. p 0 1 W p ( p) p 2 (2.5) 33 При отработке входного воздействия, изменяющегося по a t2 a ( x y (t ) , X y ( p) ), квадратичному закону в 2 p3 установившемся режиме возникает ошибка по ускорению: xa x0 усТ. у 1 a lim p [ ], p 0 1 W p ( p) p 3 (2.6) Как видно из формул (2.4 - 2.7), ошибки зависят от уровня входного сигнала, от порядка астатизма системы, равного разности числа интегрирующих и дифференцирующих звеньев, лежащих в цепи обратной связи по отношению к заданному входному сигналу и сигналу ошибки. Характер переходного процесса и быстродействие САУ Время регулирования tp служит основной характеристикой быстродействия системы и определяется из условия малости переходной составляющей. Быстродействие вычисляется от момента подачи входного воздействия, до момента, когда отклонение функции h(t) не выходит за пределы некоторой заданной зоны ±Δ (рис.2.4): h(t)-h ус Т. ≤Δ, где Δ – значение, определяемое заданной точностью системы. Обычно Δ задается в пределах (3-5)% от установившегося значения hусТ. = h(∞) (рис.2.4). h усТ. где W 3( p ) lim h(t ) t lim p W3 ( p) p W p ( p) 1 W p ( p) - 1 , p передаточная системы. Установившееся значение статической системы (v = 0): (2.7) функция переходной ( 2 . 7 замкнутой ) функции для 34 h усТ. W p (0) k 1 W p (0) 1 k 1, где k -коэффициент усиления разомкнутой системы, k » 1. Для астатической системы v = 1: hусТ. = 1, так как . lim W3 ( p) p Как видно из рис.2.4, характер переходного процесса может быть колебательным и апериодическим. Колебательный процесс характеризуется: 1. Максимальным перерегулированием σ: hm h( ) h( ) hm 1; h h усТ. . 2. Временем достижения первого максимума - tm; 3. Числом колебаний N за время регулирования tp. Таким образом, прямыми показателями качества переходного процесса являются: время регулирования tp, перерегулирование σ(hm), время достижения первого максимума tm, число колебаний N, которые определяются непосредственно по переходной характеристике h(t). Рис.2.4. Переходная функция h(t) и ее параметры 35 Переходная функция системы h(f) может быть получена классическим методом по передаточной функции САУ: W ( p) L 1[ 3 ]. p h(t ) (2.9), 1 - изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции. p С помощью разложения передаточной функции замкнутой системы W3(p) на простые дроби (при условии некратных корней и правильности дробно-рациональной функции W3(p)/p): где W ( p) p K ( p) pA( p) K (0) A(0) p i 0A n i 1 K( p j ) n ' ( pi ) ( p pi ) (2.10) K ( pi ) pi A' ( pi ) ( p pi ) и переходя от изображений к оригиналам, получим: h(t ) [ K (0) A(0) n i 1 K ( pi ) ' e p t ] 1(t ) , i (2.11) pi A ( pi ) где pi - полюса передаточной функции замкнутой системы W3(p). Переходную функцию можно получить экспериментально для реальной исследуемой системы или для ее модели. При этом на вход системы (модели) подается единичный скачок. Реакция на выходе и будет являться переходной функцией y(t) = h(t). Описание структурной схемы исследуемой САУ Качественные показатели процесса регулирования наиболее точно определяются решением уравнений динамики, описывающих САУ, с последующим построением кривой переходного процесса. Однако обычный (прямой) анализ сложных линейных САР, динамический режим которых описывается дифференциальными уравнениями высоких порядков, а иногда еще с переменными 36 параметрами, требует громоздких вычислений. Для быстрой и надежной численной оценки качественных показателей процесса управления таких систем используют цифровое моделирование. Моделирование структурной схемы (рис.2.5) осуществляется с помощью программного комплекса "SIMULINK", (описание пакета дано в лабораторной работе № 1). Рис.2.5. Структурная схема исследуемой САУ W1 ( p) K1 ;W2 ( p) 1 pT1 K2 ;W3 ( p) 1 pT2 K3 . p Для получения переходного процесса необходимо выбрать время интегрирования Тинт. Тинт необходимо выбирать таким образом, чтобы за время интегрирования переходный процесс закончился. При необходимости задается шаг интегрирования Δtинт, который выбирается таким образом, чтобы учесть все постоянные времени системы. Исходя из этого, время интегрирования и шаг интегрирования выбирают из условия: Тинт ≥ (3÷5)·Tmax, Δtинт ≤ 0,1·Tmin, где Тmin, Тmax - минимальная и максимальная постоянные времени передаточной функции исследуемой системы. Подготовка к работе 1. Построить переходную характеристику по передаточной функции замкнутой системы (рис.2.5) в соответствии с заданным вариантом (табл.2.1). Определить устойчивость системы и прямые показатели качества: время регулирования, перерегулирование, время первого максимума, число колебаний и статическую ошибку системы. 37 2. По передаточной функции разомкнутой системы построить ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ. По построенным характеристикам определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде, предельный коэффициент усиления. Задание на выполнение работы 1.Смоделировать исследуемую замкнутую САУ с помощью программного комплекса "SIMULINK". и снять переходную характеристику. По снятой характеристике определить параметры качества: tP, σ, tmax, N, х0уст.. Провести сравнение снятых и построенных характеристик и параметров. 2. Изменяя коэффициент усиления К разомкнутой системы, построить зависимости σ и tp от К. Получить незатухающие колебания на ее выходе и определить предельный коэффициент усиления системы. Сравнить полученное значение с вычисленным. 3*.Снять частотные характеристики разомкнутой системы и определить по ним запасы устойчивости по амплитуде и фазе. (Пункт * выполняется по указанию преподавателя). Методические указания Исследуемая система автоматического регулирования содержит три динамических звена первого порядка и является астатической первого порядка (рис.2.5). Значения параметров динамических звеньев при выполнении лабораторной работы определены вариантом из табл. 2.1 по номеру бригады. В соответствии с заданием необходимо определить основные параметры качества переходного процесса. Предлагается использовать прямой аналитический метод расчета h(t) и метод моделирования. В первом случае используется связь между Н(р) и W(p) и переход от изображения к оригиналу по формуле (2.12). По полученной h(t) определяется tp, σ, N, tmax. Запасы по фазе и по модулю, а также предельный коэффициент усиления могут быть определены по ЛАЧХ , ЛФЧХ и АФХ. Для определения параметров переходного процесса во втором случае, то есть используя модель системы необходимо 38 смоделировать систему в среде "SIMULINK". представить в виде таблицы или графика. № бригады К1 К2 К3 1 10 10 1 2 50 2.0 1 3 25 4.0 1 4 10 5.0 1 5 20 2.5 1 6 10 3.0 1 7 10 4.0 1 8 20 2.0 1 9 30 1.0 1 10 15 2.0 1 11 25 3.0 1 12 30 3.0 1 13 40 1.5 1 14 35 2.0 1 15 45 1.5 1 Результаты можно Таблица 2.1 Т1[c] 0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 1.0 0.3 0.4 0.15 0.25 0.3 0.5 0.6 0.5 0.4 Т2[c] 0.005 0.005 0.005 0.01 0.01 0.05 0.025 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004 0.005 0.0025 0.0015 Контрольные вопросы. 1. 2. 3. 4. 5. Как определяются прямые показатели качества САУ (tp, σ, N, tmax).? Что такое статическая ошибка системы, как она вычисляется, от чего зависит, как ее снять экспериментально? Как определить косвенные показатели качества системы по частотным (АФХ) и логарифмическим (ЛАЧХ, ЛФЧХ) функциям исследуемой системы ? Из каких соображений устанавливается время и шаг интегрирования при цифровом моделировании системы ? Что такое порядок астатизма по управлению и возмущению ? Чему равен порядок астатизма исследуемой системы? Дайте определение статической, астатической систем, системы с -ым порядком астатизма. Литература .1. Теория автоматического управления. Ч. I. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c. 2 Ягодкина Т.В., Хризолитова С.А., Применение Mathcad для решения задач теории автоматического управления, Учебное пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2004. – 52 с. 39 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Коррекция систем автоматического управления Цель работы: исследование качества переходного процесса САУ с последовательными, параллельными корректирующими устройствами и корректирующими устройствами в цепи обратной связи. Теоретические положения Для того чтобы система удовлетворяла требуемым показателям качества необходимо, как правило, введение в систему дополнительных связей или дополнительных корректирующих устройств. Из различных методов синтеза широко используются частотные характеристики, по которым исследуются устойчивость и качество переходного процесса, а также проводится выбор корректирующих устройств. Во многих случаях наиболее удобно применять логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой системы. Причём, при исследовании минимально-фазовых систем достаточно получить только одну амплитудную частотную характеристику. Фазовая частотная характеристика таких систем однозначно определяется их амплитудной характеристикой и наоборот. Задача синтеза сводится к определению передаточной функции корректирующего устройства Wку(p) в системе и места включения КУ. По месту включения корректирующего устройства в системе существуют три вида коррекции: последовательная, параллельная и коррекция с помощью обратной связи. Для выбора корректирующего устройства необходимо: 1. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ исходной системы Lисх(ω) = 20lg│Wp исх(jω)│ φисх(ω) = argWp исх(jω). 2. Если исходная система не удовлетворяет заданным параметрам качества (см. лабораторную работу № 2), построить желаемую ЛАЧХ или ЛАЧХ скорректированной системы LCK(ω). 40 Построение желаемой ЛАЧХ скорректированной системы осуществляется с учётом следующих соображений: - наклоны участков ЛАЧХ в области низких и высоких частот для скорректированной системы равны наклонам соответствующих участков ЛАЧХ исходной системы (исключением является случай, когда жёсткая обратная связь охватывает интегрирующее звено); - при построении низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ следует учесть коэффициент усиления разомкнутой системы, который определяет ошибку системы в установившемся режиме, а его наклон определяется степенью астатизма системы ν (ν разность числа интегрирующих и дифференцирующих звеньев). Величина частоты среза выбирается с учётом соотношения - tрег ≤ kπ/ωc, где k=f(σ) [ 1 ]; - на частоте среза ωc наклон желаемой ЛАЧХ необходимо задавать равным -20дб/дек. Протяжённость среднечастотного участка слева и справа от частоты среза должна быть равна 0.4 - 0.8 декады, что позволит обеспечить достаточный запас устойчивости по фазе и требуемое качество переходного процесса. Желаемая ЛАЧХ скорректированной системы должна в возможно большем диапазоне частот совпадать с ЛАЧХ исходной системы, чтобы не усложнялась реализация корректирующего устройства. Если в качестве желаемой ЛАЧХ скорректированной системы может быть выбрана типовая ЛАЧХ, соответствующая системе, имеющей передаточную функцию вида: W p.ck ( p) k (1 T2 p) 2 p (1 T1 p) , (3.1) (1 T3 p) где К>1; Т1>Т2>Т3; α = 1 - 2; β = 1 - 2, то для её более точного построения можно использовать номограммы связи параметров ЛАЧХ разомкнутой системы с показателями качества процесса управления в замкнутой системе. В этом случае по заданным величинам быстродействия tрег, перерегулирования σ находят ω1/ωc и ω3/ωc (рис. 3.1). 41 Рис.3.1 При построении желаемой ЛАЧХ можно использовать и другие номограммы и графики, которые дают связь между параметрами частотных характеристик и показателями качества. По виду LCK(ω) восстанавливается передаточная функция скорректированной разомкнутой системы и строится ЛФЧХ φск(ω). По логарифмическим характеристикам LCK(ω) и φск(ω) определяют запасы устойчивости и ошибку в установившемся режиме. Прямые показатели качества системы можно определить по переходной характеристике, построенной с помощью моделирования замкнутой системы на ЭВМ. В конечном итоге задача синтеза сводится к выбору параметров соответствующих корректирующих устройств, обеспечивающих достижение заданного качества переходного процесса в замкнутой системе. При последовательной коррекции корректирующее устройство включается в прямую цепь так, как показано на рис. 3.2. Рис.3.2 Соотношения для логарифмических частотных характеристик скорректированной системы следуют из очевидного равенства для 42 разомкнутой системы Wск ( j ) Wисх ( j )Wky ( j ) и имеют вид Lck ( ) Lисх ( ) Lky ( ) (3.2) ck ( ) исх ( ) ky ( ) . Из (3.2) следует основное соотношение для определения Lку(ω) (3.3) Графические построения при последовательной коррекции представлены на рис.3.3. Lky ( ) Lck ( ) Lисх ( ) . Рис.3.3 Далее по виду найденной ЛАЧХ корректирующего устройства (рис.3.3) определяется структура и параметры звена, включённого в прямую цепь управления. При параллельной коррекции корректирующее устройство включается параллельно какому-нибудь устройству исходной САУ (рис.3.4). 43 Рис.3.4 Для параллельной соотношения: коррекции справедливы Wck ( p) W2 ( p) [W1 ( p) Wky ( p)] W р.исх ( p) [1 следующие Wky ( p) W1 ( p) ] (3.4) Wck ( p) . W р.исх ( p) Обозначим W0 Тогда из (3.4) W0 ( p) 1 Wky ( p) W1 ( p) ; Wky ( p) W1 ( p) [W0 ( p) 1] . (3.5) Соотношения для логарифмических частотных характеристик скорректированной разомкнутой системы (рис.3.4) следуют из равенства: Wck ( j ) Wисх ( j )W0 ( j ) и имеют вид: Lck ( ) Lисх ( ) L0 ( ) , ck ( ) исх ( ) 0( ). Из вышеизложенного следует порядок определения ЛАЧХ параллельного корректирующего устройства, заключающийся в построении L0(ω) по аналогии с построением Lky(ω) при последовательной коррекции, восстановлении передаточной функции W0(p) по L0(ω) и определении Wky(ω) из соотношения (3.5). 44 При коррекции с помощью обратной связи (ОС) корректирующее устройство охватывает одно или несколько устройств исходной САУ. Обычно обратной связью охватываются устройства системы, которые обладают наибольшими постоянными времени и имеют недостаточно стабильные, нелинейные характеристики (рис.3.5). Рис.3.5 В этом случае также используется графический метод на основе построения ЛАЧХ. Задача синтеза звена обратной связи решается несколько сложнее, чем в случае последовательного корректирующего устройства. Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы имеет вид Wck ( p) W1 ( p) W2 ( p) , 1 W2 ( p) Wky ( p) (3.6) где W2(p), Wky(p) - передаточные функции части системы, охватываемой обратной связью и корректирующего устройства соответственно; W1(p) передаточная функция части системы, не охваченной корректирующей обратной связью. Рассматриваются две области частот, когда W2 ( j ) Wky ( j ) <<1 и W2 ( j ) Wky ( j ) >>1. В первом случае коррекция не оказывает существенного влияния на характеристики исходной системы и можно считать, что Lск(ω) ≈ 45 Lисх(ω) и φск(ω) ≈ φисх(ω). Для второй частотной области справедливы следующие приближённые выражения: Wck ( p) W1 ( p) W2 ( p) W2 ( p) Wky ( p) Wисх ( p) , W2 ( p)Wky ( p) откуда следуют соотношения: Lck(ω) = Lисх(ω) – [Lky(ω) + L2(ω)]; (3.7) φck(ω) = φисх(ω) – φку(ω) – φ2(ω). Из (3.7) может быть получено выражение для определения Lky(ω) = Loc(ω): Lky(ω) = Lисх(ω) – Lck(ω) - L2(ω). (3.8) При этом диапазон частот, в пределах которого в соответствии с (3.8) определяется Lку(ω), ограничен условием [Lky(ω) + L2(ω)] >>0. Пример построения при выборе корректирующего устройства в цепи обратной связи приведен на рис.3.6. Рис.3.6 46 Таким образом, при выборе корректирующего устройства независимо от вида коррекции необходимо иметь передаточные функции исходной скорректированной систем. Описание модели разомкнутой САУ Исследуемая система управления содержит три динамических звена первого порядка (интегрирующее и два инерционных звена) и является астатической системой с передаточной функцией W p ( p) K . p (1 pT1 ) (1 pT2 ) Значения параметров звеньев определяются в соответствии с вариантом (табл.2.1). Исходная система является либо неустойчивой, либо не удовлетворяет заданным требованиям качества и, в первую очередь, не обладает достаточными запасами устойчивости (по фазе или модулю). В данной лабораторной работе требуется исследовать различные варианты коррекции исходной системы с точки зрения обеспечения заданного качества по основным показателям: запасам устойчивости, перерегулированию, быстродействию, ошибке и другим. Параметры качества управления представлены в табл. 3.1. Задача сводится к выбору параметров соответствующих корректирующих устройств, обеспечивающих достижение заданного качества переходного процесса в замкнутой системе. Для решения задачи синтеза корректирующего устройства в работе используется графоаналитический метод, основанный на построении логарифмических амплитудно- и фазочастотных характеристик для трёх видов коррекций: последовательной, параллельной и коррекции в цепи обратной связи (рис.3.2, 3.4, 3.5). В соответствии с вариантом рассматриваемой коррекции в модель исходной системы (рис. 2.5) включается корректирующее звено КУ. Параметры и структура КУ определяются графоаналитическим способом с использованием уравнений (3.3), (3.5), (3.8). 47 Так как основные показатели качества управления определяются по временным характеристикам, то на вход модели подаётся единичный ступенчатый сигнал (блок Step). Переходная функция снимается на выходе системы с помощью осциллографа (блок Scope) , а ошибка – с помощью дисплея (блок Display). Подготовка к работе 1. Исходя из требований к САУ, структурная схема которой представлена на рис.2.5 (лабораторная работа N2), провести коррекцию (последовательную, параллельную, в цепи обратной связи). Показатели качества САУ заданы в табл. 3.1. 2. Определить показатели качества для скорректированной системы и структуру корректирующих устройств при последовательной, параллельной коррекциях и коррекции в цепи обратной связи. 3. Рассчитать кинетическую ошибку замкнутой системы. Задание на выполнение работы 1. Провести моделирование скорректированных систем управления для трёх вышеуказанных видов коррекции с использованием программного комплекса "SIMULINK". Снять переходные функции и определить основные показатели качества переходного процесса. 2. Провести сравнительную оценку результатов анализа показателей качества управления, полученных расчётным путём и моделированием. 3. Подавая на вход системы линейно возрастающий сигнал, определить значение кинетической ошибки. Сравнить полученное значение ошибки с рассчитанным в п.3 подготовки. 48 Методические указания Для выполнения пунктов 1,2 подготовки к работе необходимо выбрать и построить логарифмические амплитудные и фазочастотные характеристики исходной и скорректированной систем. Выбор корректирующего устройства для последовательной, параллельной и коррекции с обратной связью производится на основании выражений (3.3), (3.5), (3.8). После определения структуры и параметров корректирующего устройства уточняется структура скорректированной системы. Для определения косвенных показателей качества работы системы можно использовать частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ). При выполнении пункта 1 задания необходимо смоделировать три структуры системы с использованием последовательной, параллельной коррекции и обратной связи. Так как необходимо определить показатели качества переходного процесса, то на вход каждой из трёх структур подаётся единичный ступенчатый сигнал (блок Step). При цифровом моделировании важно правильно выбрать шаг интегрирования, время наблюдения и метод интегрирования (соответствующие рекомендации даны в лабораторной работе № 2). По полученным переходным процессам определяются основные показатели: быстродействие (время регулирования), перерегулирование, время первого максимума, период колебаний и число колебаний. Для определения точности систем в установившемся режиме необходимо, чтобы входной сигнал изменялся по линейному закону (блок Ramp), так как для исследуемой астатической системы статическая ошибка равна нулю. Кинетическую ошибку следует померить с помощью блока Display, увеличив время и уменьшив шаг интегрирования. Параметры качества управления, полученные расчётным путём (п.2) и на моделях (п.З) должны практически совпадать. 49 № брига -ды 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Звенья, охваченные ОС W1(p) W1(p), W2(p) W1(p), W3(p) W1(p), W2(p) W1(p) W1(p) W1(p), W2(p) W1(p), W3(p) W1(p), W3(p) W1(p) W1(p) W1(p), W2(p) W1(p), W3(p) W1(p) W1(p), W2(p) Tp ≤, c σ ≤, % γ ≥, град 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 Таблица 3.1 Δкин, Рад 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.035 0.025 0.025 0.035 0.035 0.015 0.015 0.017 0.015 0.015 Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Каковы алгоритмы выбора последовательного, параллельного и корректирующего устройства в цепи обратной связи ? Из каких соображений строится ЛАЧХ желаемой (скорректированной) системы? Что такое кинетическая ошибка системы, как она вычисляется и от чего зависит? Как снять значение кинетической ошибки при цифровом моделировании скорректированной системы? С помощью каких физических элементов можно реализовать построенные вами корректирующие устройства? Каковы параметры этих элементов? Опишите порядок построения логарифмических частотных характеристик корректирующих устройств при последовательной, параллельной и коррекции с обратной связью. Литература .1. Теория автоматического управления. Ч. I. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c. 50 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Исследование линейных импульсных автоматических систем Цель работы: исследование особенностей динамических процессов в импульсных системах, связанных с квантованием по времени, осуществляемым импульсным элементом; изучение вопросов устойчивости импульсных систем, приобретение навыков исследования временных и частотных характеристик импульсных систем. Теоретические положения В работе рассматриваются процессы, протекающие в замкнутой импульсной системе, представленной на рис.4.1 с импульсным элементом (ИЭ), вырабатывающим последовательность импульсов, модулированную значениями сигнала отклонения (ошибки) системы x(t), в дискретные моменты времени (mТ, m=O,l,...N) и имеющую вид рис. 4.2, где Т - период квантования, Ти продолжительность импульса. ИЭ Рис.4.1 Рис.4.2 Сигнал X (t) можно представить как выход идеального импульсного элемента (ИИЭ), вырабатывающего модулированную сигналом отклонения (ошибки) последовательность δ - функций 51 x*(t), пропущенную через формирующее устройство с передаточной функцией 1 e pTи (рис. 4.3). p Wфу ( p) Рис.4.3 Тогда замкнутая система рис.4.1 может быть представлена структурной схемой рис. 4.4 (а и б). Рис. 4.а X*(t) U*(t) W*p(p) Y*(t) Рис.4.4б На рис.4.4 Wp*(p)) - дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы, которая может быть получена из непрерывной передаточной функции с использованием следующего перехода: Wp(p)=Wфи(р)Wнч(р W p ( p) L 1 w(t ) w[mT ] T D W p* ( p) где L - непрерывное, D - дискретное преобразование Лапласа; Т – период квантования. 52 Проделаем этот переход для Wнч ( p) B( p) /( pA( p)) , (1 e pT ) B( p) /( p 2 A( p)) W p ( p) Wнч ( p)Wфу ( p) (1 e pT ){c 1 / p 2 c0 / p c1 /( p p1) ...cn /( p pn )} , где n - степень полинома А(р); p1, p2, … pn - корни полинома А(р); c-1, c0, c1, … , cn - коэффициенты, которые могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов или по формуле разложения. Весовая функция, соответствующая выражению в фигурных скобках, может быть записана в виде: w{} (t ) (c 1t c1e p1t c0 c2 e p 2 t ... cn e p n t ) 1(t ) ; c01[mT ] c1e p1mT w{}[mT ] c 1mT ... cn e p n mT c2 e p 2 mT , откуда легко получить: W p* ( p) (1 e pT ){c 1 cn Te pT (1 e PT 2 ) c0 1 1 e pT c1 1 1 e pT p1T ... e 1 1 e pT e pnT Приведением к общему знаменателю это выражение можно представить в виде отношения двух полиномов, а именно: W p* ( p) b0 b1e pT b2 e 2 pT ... bn e npT B * ( p) , 1 d1e pT d 2 e 2 pT ... d n e npT D* ( p) где n - степень полиномов. Передаточные функции замкнутой импульсной системы с единичной обратной связью (рис.4.4) можно рассчитать по формулам: 53 Y * ( p) * W 3 ( p) U * ( p) D{ y[mT ]} D{u[mT ]} W p* ( p) B * ( p) 1 W p* ( p) D* ( p) B * ( p) , * B ( p) A* ( p) X * ( p) W0* ( p) U * ( p) D{x[mT ]} D{u[mT ]} 1 D* ( p) 1 W p* ( p) D* ( p) B* ( p ) , D* ( p ) A* ( p) где А*(р) - характеристический полином замкнутой системы степени n вида A* ( p) 1 a1e pT a2e 2 pT ... ane npT . С использованием этих передаточных функций можно рассчитать установившиеся значения ошибок хуст на основании предельной теоремы дискретного преобразования Лапласа x уст lim (1 e pT ) X * ( p) p lim (1 e pT )W0* ( p)U * ( p) , p где U*(p) - дискретное преобразование Лапласа от входного сигнала. По передаточной функции замкнутой системы можно найти выходной сигнал в дискретные моменты времени с использованием разностного уравнения. При нулевых значениях входного и выходного сигналов для отрицательных моментов времени его можно получить из уравнения, записанного в изображениях с использованием дискретного преобразования Лапласа, которое имеет вид D{y[mT ]}A* ( p) D{u[mT ]}B* ( p) ; или D{ y[mT ]}(1 a1e PT D{u[mT ]}(b0 b1e a2e PT 2 PT b2e ... ane 2 PT nPT ... bne ) nPT ) 54 Из вышеприведенного уравнения можно записать разностное уравнение: y[mT ] a1 y[(m 1)T ] a2 y[(m 2)T ] ... an y[(m n)T ] b0 x[mT ] b1 x[(m 1)T ] ... bn x[(m n)]; или y[mT ] a1 y[(m 1)T ] a2 y[(m 2)T ] ... an y[(m n)T ] b0 x[mT ] b1 x[(m 1)T ] ... bn x[(m n)]. Используя характеристическое уравнение импульсной системы А*(р) и производя подстановку замкнутой e pT / 2 1 pT / 2 1 V 1 pT / 2 1 V e получаем характеристическое уравнение относительно переменной V (A(V)=0), для которого можно использовать критерий Гурвица, сформулированный для непрерывных систем. По дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы могут быть получены выражения комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой САР. Для этого в выражении Wp*(p) должна быть произведена замена оператора р на комплексное число jω и использована формула Эйлера e pT z 1 pT / 2 e j T cos( T ) j sin( T ) . Годограф разомкнутой импульсной системы строится при изменении ω в диапазоне [0,ω0/2], где ω0 = 2π/Т частота квантования сигнала. На рис.4.5 представлен пример годографа разомкнутой импульсной системы. Годограф не охватывает точку с координатами (-1; j0 ) и, следовательно, в соответствии с критерием Найквиста для Рис.4.5 55 устойчивой разомкнутой системы, соответствующая замкнутая импульсная система - устойчива и обладает некоторым запасом устойчивости по амплитуде ΔА, по которому можно найти значение предельного коэффициента усиления Кпред, с использованием пропорции: К ~ (1-ΔА) Кпред ~ 1. Коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы определяется, исходя из следующих соотношений: K lim W p* ( p) p 0 lim p b0 01 b1e d1e PT PT 2 PT ... bn e nPT 2 PT ... d n e nPT b2 e d 2e b0 ... bn 1 d1 ... d n . Подготовка к работе 1. Для передаточной функции Wнч (p), заданной в табл.4.1, и формирователя прямоугольных импульсов с Тимп=Т=1с, найти весовую функцию и по ней определить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы W*p(p). 2. Заменяя р на jω и используя формулу Эйлера, записать выражение комплексного коэффициента усиления импульсной разомкнутой системы и построить годограф , изменяя ω в диапазоне от 0 до ω0/2. Определить устойчивость замкнутой системы и найти Кпред. 3. Записать передаточную функцию замкнутой системы W*(p), найти по ней характеристическое уравнение и определить Кпред с использованием критерия Гурвица. 4. Для К=0,75Кпред по W*(p) записать разностное уравнение и рассчитать переходную функцию замкнутой системы. 5. Записать передаточную функцию замкнутой системы W0*(P) И вычислить значение установившейся ошибки хуст для К=0,75 Кпред. 56 Задание на выполнение работы 1. Собрать замкнутую импульсную систему и установив Тимп=0,5Т, φ=0, наблюдать и зарисовать вид сигналов на входе, выходе системы, сигнал ошибки до и после импульсного элемента для Т=1, 0.5, 0.1 секунды. 2. Установив Тимп=Т=1с и изменяя коэффициент усиления системы, определить предельный коэффициент усиления импульсной САР. 3. Установив К=0,75Кпред наблюдать и зарисовать переходную функцию замкнутой импульсной системы. Сравнить с рассчитанным в п.4 домашнего задания переходным процессом. 4. Определить установившееся значение ошибки хуст и сравнить это значение с полученным в п.5 домашней подготовки. Методические указания Для моделирования импульсного элемента следует использовать блок Zero-Order Hold (Экстраполятор нулевого порядка) из библиотеки блоков Discrete (Элементы дискретных систем) с параметром продолжительность импульса (Тимп). В качестве входного сигнала следует использовать блок Step (Ступенчатый сигнал) из библиотеки блоков Sources (Источники сигналов). Таблица 4.1 № W1 W2 W3 1 3/p 3/(1+4p) K(1+pT1)/p(1+pT2) 2 3 4/p 5/p 4/(1+3p) 5/(1+6p) K/p(1+pT1) K/(1+pT1)(1+pT2) 4 1/p 1/(1+2.5p) Kp/(1+pT1)(1+pT2) 5 7/p 7/(1+2p) K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2) 6 3.5/p 3.5/(1+5.5p) K/p(1+pT1) б р. K=1.5; T1=5; T2=2 K=2; T1=15 K=5; T1=2.5; T2=4 K=5; T1=3; T2=10 K=7; T1=2.5; T2=4; T0=5 K=5; T1=2 57 7 7.5/p 7.5/(1+7p) K/(1+pT1)(1+pT2) 8 8/p 8/(1+3.5p) K(1+pT1)/p(1+pT2) 9 2.5/p 2/(1+5p) Kp/(1+pT1)(1+pT2) 10 2/p 2.5/(1+4.5p) K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2) 11 3/p 3.5/(1+2.5p) K(1+pT1)/p(1+pT2) 12 13 7/p 4.5/p 1.5/(1+3p) 4.5/(1+2.5p) K/p(1+pT1) K/(1+pT1)(1+pT2) 14 8.5/p 5.5/(1+3p) Kp/(1+pT1)(1+pT2) 15 9/p 6/(1+7.5p) K(1+pT0)/(1+pT1)(1+pT2) K=2.5; T1=4; T2=7 K=2.5; T1=2; T2=5 K=1.5; T1=4; T2=3 K=3; T0=5; T1=3;T2=2 K=5;T1=2; T2=3.5 K=10;T1=2 K=7.5;T1=2.5; T2=5 K=3.5;T1=5; T2=2 K=4;T0=3; T1=5;T2=7 Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Выведите передаточную функцию формирователя импульсов, используемого в работе. Каким образом можно получить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы по известной непрерывной передаточной функции и известной форме импульсов на выходе импульсного элемента? Выведите дискретную передаточную функцию замкнутой системы, представленной на рис. 4.а. Каковы дискретные изображения Лапласа типовых входных сигналов (единичного импульса, единичной ступенчатой функции, линейно возрастающего сигнала)? Выведите дискретные изображения Лапласа этих сигналов. Как поведет себя годограф Wp*(p) при изменении частоты от - до + ? Как по годографу найти предельный коэффициент усиления? Литература 1. М.Б. Коломейцева, В.М. Беседин, Т.В. Ягодкина, Основы теории импульсных и цифровых систем. Учебное пособие – М.: Изд-во МЭИ, 2001. – 108 с. 2. Ягодкина Т.В., Хризолитова С.А., Применение Mathcad для решения задач теории автоматического управления, Учебное пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2004. – 52 с. 3. Теория автоматического управления. Ч. I. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c. 58