Инженерная компьютерная графика

министерство высшего образования и науки российской федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «уфимский государственный нефтяной технический университет» кафедра «Комплексный инжиниринг и компьютерная графика» Рабочая тетрадь для лекционных занятий по дисциплине «Инженерная компьютерная графика» заочной формы обучения Студент _________________________________ Группа _________________________________ Уфа 2020 Содержание Введение 3 Лекция 1. Условные обозначения и знаки. Основные методы проецирования. Образование чертежа точки. 4 Лекция 2. Комплексный чертеж прямой. Следы прямой. Восходящие и нисходящие прямые. Натуральная величина отрезка. Прямые общего и частного положения. Взаимное положение прямых в пространстве. 9 Лекция 3. Плоскость. Определители плоскости. Плоскости общего и частного положения. Следы плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости. 17 Лекция 4. Основные позиционные задачи. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. 22 Лекция 5. Кривые линии. Плоские и пространственные кривые линии. Поверхности. Образование. Классификация. 28 Лекция 6. Гранные поверхности. Поверхности вращения. Образование. Классификация по виду образующей. 31 Лекция 7. Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью. Способы построения линий взаимного пересечения поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 35 Лекция 8. Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер. 38 Введение «Чертеж – международный язык общения техников» (Г. Монж) «Начертательная геометрия – грамматика этого языка» (В.И. Курдюмов) Дисциплина «Инженерная компьютерная графика» изучается студентами в двух семестрах. В первом семестре дисциплина состоит из раздела, связанного с изучением основ начертательной геометрии. Во втором семестре в состав дисциплины входят разделы, связанные с изучением машиностроительного (строительного черчения) и компьютерной графики. Формой отчетности в конце каждого семестра дисциплины является дифференцированный зачёт (т.е. зачёт с оценкой). В первом семестре для получения дифференцированного зачёта студенту необходимо прослушать курс лекций, оформить конспект, которой он должен выполнить в рабочей тетради для лекций. Прослушать вебинары по практикам, на основе которых прорешать задачи в рабочей тетради по практике. И выполнить две конрольно-графические работы. Часть лекционного и практического материала студентом изучается во время установочной сессии, часть – изучается самостоятельно. Для получения диф. зачёта студент обязан предоставить преподавателю заполненные рабочие тетради для лекций и практическиз занятий, а так же выполненные контрольно-графические работы. Чертежи в рабочих тетрадях выполняются только карандашами и при помощи чертежных инструментов с максимальной точностью. Для этого необходимо иметь циркуль, треугольники (желательно деревянные) с углами 30º и 45º, и набор простых карандашей разной жёскости. Для придания изображениям большей выразительности возможно применение цветных карандашей. Чертежи должны оформляться в соответствии с требованиями ГОСТ 2.302-68 - Линии, ГОСТ 2.304-81 – Шрифты чертежные. Раздел «Основы начертательной геометрии» Лекция 1. Условные обозначения и знаки. Основные методы проецирования. Образование чертежа точки 1.1 Принятые обозначения и знаки Условные обозначения Знаки П1, П2, П3 (прописная греческая буква «пи») – // - главные плоскости проекций; ∩ - А, В, С (прописные буквы латинского алфавита) – точки в пространстве; ɑ, b, c (строчные буквы латинского алфавита) - прямые в пространстве; ˂ - α, β, γ (строчные буквы греческого алфавита) – ∟ - пплоскости в пространстве; - А1, b2, γ3 – проекции точки, прямой и плоскости на соответствующие плоскости проекций. 1.2 Метод проецирования В основе начертательной геометрии лежит метод проецирования. Суть метода заключается в том, чтобы перейти от пространственного представления о предмете к его плоскому изображению. Существует два способа проецирования: центральное и параллельное. 1.2.1 Центральное и параллельное проецирование Центральное (коническое) проецирование Параллельное проецирование образуется при прохождении всех проецирующих лучей через точку в пространстве, называемую центром проецирования. образуется, если центр проецирования удален в бесконечность, то можно считать, что проецирующие лучи расположены параллельно между собой. S –______________________________________________________ П1 - _____________________________________________________ А, В, C – _________________________________________________ l, lˊ- ____________________________________________________ 1.2.2 Свойства параллельного проецирования 1. Проекция точки есть точка. 2. Проекция прямой, в общем случае, есть прямая. Если прямая совпадает с направлением проецирования, то проекция прямой выражается в точку. 3. Если плоская геометрическая фигура параллельна плоскости проекций, то её проекция конгруэнтна самой фигуре. 4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой. 5. Точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения проекций этих прямых. 6. Если точка делит отрезок прямой в каком-то отношении, то и проекция точки делит проекцию отрезка в таком же отношении. 1.2.3 Ортогональное проецирование Если проецирующие лучи в параллельном проецировании расположены перпендикулярно плоскости проекций, то такое проецирование называют ортогональным (прямоугольным), а проекцию некоторого геометрического элемента называют ортогональной проекцией. Все свойства параллельного проецирования справедливы и для ортогонального проецирования. 1.3 Двухкартинный комплексный чертеж точки Основоположник начертательной геометрии, геометр Госпар Монж в 1799 году предложил получать чертежи пространственных предметов путем их ортогонального проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Совокупность двух или более взаимосвязанных ортогональных проекций предмета, расположенных на одной плоскости, называют комплексным чертежом. Рассмотрим образование чертежа точки на две плоскости проекций (две картины). П1 (xoy) – ___________________________________________ l∩П1 - _______________________________________ П2 (xoz) – ___________________________________________ lˊ∩П2 - _______________________________________ А- _____________________________________________ А1А12 ; А2А12 - __________________________________________ l, lˊ- ____________________________________________ Высотой точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций – _______________________ Глубиной точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций - _______________________ Горизонтальная и фронтальная плоскости проекций делит пространство на четверти. 1.4 Трехкартинный комплексный чертеж точки П3(zoy) – ___________________________________________ l, lˊ,lˊˊ- ____________________________________________ А- _______________________________________________ lˊˊ∩П3 - ___________________________________________ Широтой точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций –________________. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трёхгранных улов, называемые октантами. Лекция 2. Комплексный чертеж прямой. Следы прямой. Восходящие и нисходящие прямые. Натуральная величина отрезка. Прямые общего и частного положения. Взаимное положение прямых в пространстве 2.1 Прямая общего положения. Следы прямой Прямая в пространстве не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется прямой общего положения. Положение прямой в пространстве определяется двумя её точками. Например, положение прямой а определяется точками А и В - а(АВ). а(АВ) -_____________________________; а1(А1В1) - __________________________; а2(А2В2) - __________________________. Следами прямой называют точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций. Прямая общего положения будет иметь два следа: - горизонтальный след прямой Н – это точка пересечения прямой с _____________________ плоскостью проекций; - фронтальный след прямой F - это точка пересечения прямой с _______________________ плоскостью проекций. Последовательность построения следов прямой (1,2,3) изображена на рисунке. 2.2 Восходящие и нисходящие прямые общего положения Восходящие прямые – это прямые, у которых при движении точки от наблюдателя по прямой высота точки ________________. Нисходящие прямые – это прямые, у которых при движении точки от наблюдателя по прямой высота точки ________________. Задание: Достроить проекции восхдящих прямых Достроить проекции нисходящих прямых 2.3 Натуральная величина отрезка и углов наклона к плоскостям проекций Длина проекций отрезка прямой общего положения на горизонтальной и фронтальной плоскости проекций меньше, чем его натуральная величина. Для нахождения на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона её к плоскостям проекций используется способ прямоугольного треугольника. Суть способа заключается в том, что в какой-либо плоскости проекции вычерчивается прямоугольный треугольник, у которого один катет является одной из проекций отрезка, второй – разность высот или глубин крайних точек этого отрезка, а гипотенуза определяет её натуральную величину. В зависимости в какой плоскости проекций строиться прямоугольный треугольник можно найти натуральную величину угла наклона прямой к соответствующей плоскости проекций. Например, для получения натуральной величины отрезка в горизонтальной плоскости проекций строится треугольник (АВВˊ). Один катет которого равен горизонтальной проекцией отрезка (А1В1;), длина второго катета определяется разностью высот крайних точек отрезка (∆zАВ=zА-zВ), а гипотенуза является натуральной величиной этого отрезка (нВ АВ). Угол α, противолежащий катету ВВˊ, равен натуральной величине угла наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций (нв α). Задание. Определить натуральную величину отрезка прямой и угла наклона: к горизонтальной плоскости проекций к фронтальной плоскости проекций Исходные данные отрезка прямой общего положения вычертить самостоятельно 2.4 Прямые частного положения Прямые частного положения – это прямые параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Прямые частного положения разделяются на две группы: прямые уровня и проецирующие прямые. Прямые уровня – это прямые параллельные какой-либо плоскости проекций. Горизонтальная прямая уровня – ________________________________________ ________________________________________________________________________________ h - ________________________________ h1 - _____________________________________ h2 - _____________________________________ Условия на чертеже: _____________________ ________________________________________ Фронтальная прямая уровня –______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ f- _______________________________ f1 – __________________________________ f2 - __________________________________ Условия на чертеже: __________________ ______________________________________ Проецирующие прямые – это прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Горизонтально – проецирующая прямая – Фронтально - проецирующая прямая – _____________________________________________ ___________________________________________________ _____________________________________________ ___________________________________________________ 2.5 Конкурирующие точки Конкурирующими точками называются точки, проекции которых совпадают. Горизонтально-конкурирующие точки – ____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ А, В - __________________________________________________________________________________________ Фронтально-конкурирующие точки -_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ С, D - _________________________________________________________________________________________ 2.6 Взаимное положение прямых в пространстве Параллельные прямые – Пересекающиеся прямые – Скрещивающиеся прямые – ______________________________ ___________________________ _____________________________ ______________________________ ___________________________ _____________________________ ______________________________ ___________________________ _____________________________ ______________________________ ___________________________ _____________________________ ______________________________ ___________________________ _____________________________ 2.7 Теорема о проецировании прямого угла. По отношению друг к другу пересекающиеся и скрещивающиеся прямые могут быть взаимно перпендикулярны. Какие условия должны быть выполнены на чертеже, чтобы прямой угол в проекциях не исказился? Теорема: Для того чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна сторона прямого угла была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций. Задание1. Построить чертёж взаимно перпендикулярных пересекающихся прямых а  h; а  h Задание 2. Построить чертёж взаимно перпендикулярных скрещивающхся прямых b  f; b f Лекция 3. Плоскость. Определители плоскости. Плоскости общего и частного положения. Следы плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости 3.1 Плоскость. Определители плоскости Плоскостью называется непрерывное множество последовательных положений образующей прямой, перемещающейся параллельно самой себе по направляющей прямой. Положение плоскости можно определить соответственно: - тремя точками, не лежащими на одной прямой _________________________________________________; - плоской фигурой _________________________________; - прямой и точкой _________________________________; - двумя параллельными прямыми ____________________; - двумя пересекающимися прямыми __________________; - следами плоскости________________________________ __________________________________________________. 3.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскости общего положения - _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Плоскости частного положения - _____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Плоскости уровня -_________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ Горизонтальная плоскость уровня - _____________ Фронтальная плоскость уровня -____________________ ____________________________________________ ________________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________________ Условия на чертеже: ________________________________ Условия на чертеже: _________________________________ Проецирующие плоскости – ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Горизонтально-проецирующая плоскость - __________ Фронтально-проецирующая плоскость – ___________ _______________________________________________ ______________________________________________ ________________________________________________ ______________________________________________ Условия на чертеже: ________________________________ Условия на чертеже: _________________________________ 3.3 Следы плоскости Следами плоскости называются _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ Положение следа плоскости определяется положением двух его точек, которые являются одноимёнными следами двух любых прямых этой плоскости. 3.4 Условия принадлежности точки и прямой плоскости Аксиома: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Из этой аксиомы следуют признаки принадлежности точки и прямой к плоскости. 1.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости. Задание1. Построить проекции точки М, принадлежащую плоскости α(∆АВС). __________________________________________________________ 2. Прямая лежит в плоскости, если она проходит через две точки принадлежащие этой плоскости. Задание 2. Построить проекции прямой b, принадлежащую плоскости α(∆АВС). __________________________________________________________ 3. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости. Задание 3. Построить проекции прямой с, принадлежащую плоскости α(∆АВС) и параллельную стороне АВ этой плоскости. __________________________________________________________ 3.5 Главные линии плоскости. Теорема о проецировании прямого угла Главными линиями плоскости называют горизонталь h, фронталь f и линия наибольшего уклона n, лежащие в данной плоскости. Горизонталь плоскости h – ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Фронталь плоскости f –_________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ Линией наибольшего уклона плоскости (n) называется прямая, лежащая в данной плоскости и одновременно перпендикулярная её линиям уровня (h, f). Эта линия образует с соответствующей плоскостью проекций наибольший угол. Чтобы прямой угол между линией наибольшего уклона и горизонталью h и фронталью f плоскости на чертеже проецировался без искажения, необходимо применить теорему о проецировании прямого угла. Задача. Дано: Плоскость α(∆АВС) Требуется: В плоскости α(∆АВС) построить: - главные линии плоскости (h, f); - линию наибольшего уклона плоскости (n) к горизонтальной плоскости проекций; - определить натуральную величину угла наклона плоскости α(∆АВС) к горизонтальной плоскости проекций. Последовательность решения: 1 _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________; 2________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________; 3________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ . Лекция 4. Основные позиционные задачи. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости 4.1 Метрические и позиционные задачи В начертательной геометрии все задачи, решаемые графически, условно можно разделить на две группы: метрические и позиционные. Метрические задачи направлены на определение метрических характеристик геометрических объектов, а также характеристик их взаимного положения, т.е. определение расстояний между геометрическими элементами, их длины или углов между ними. Позиционные задачи направлены на определение общих положений элементов различных геометрических объектов. К ним относятся задачи на взаимопринадлежность и пересечение. При решении позиционных задач метрические свойства не учитываются. 4.2 Вспомогательные позиционные задачи В начертательной геометрии к основным позиционным задачам относятся задачи: на пересечение прямой и плоскости общих положений, и пересечение плоскостей общих положений. Прежде чем приступить к решению основных задач решим вспомогательные задачи. Задача. Дано: Прямая ɑ(ɑ1, ɑ2) общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость Σ(Σ1). Требуется: Построить проекции точки пересечения прямой ɑ с плоскостью Σ . Последовательность решения: 1. __________________________________ 2. __________________________________ 3. __________________________________ Задача. Дано: Плоскость γ(АВС) общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость Σ(Σ1). Требуется: Построить проекции прямой пересечения плоскости γ(АВС) с плоскостью Σ(Σ1). Последовательность решения: 1. __________________________________ 2. __________________________________ 3. __________________________________ 4.3 Основные позиционные задачи 4.3.1 Первая основная позиционная задача Дано: Прямая ɑ(ɑ1, ɑ2) общего положения и плоскость γ(АВС) общего положения. Требуется: Определить проекции точки пересечения прямой ɑ(ɑ1, ɑ2) с плоскостью γ(АВС). Последовательность решения: 1._____________________________________________ ______________________________________________ 2._____________________________________________ _______________________________________________ 3. _____________________________________________ _______________________________________________ 4.______________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 4.3.2 Вторая основная позиционная задача Дано: Плоскость γ(АВС) общего положения и плоскость Σ() общего положения. Требуется: Построить проекции линии пересечения плоскостей. Последовательность решения: 1.__________________________________________ ____________________________________________ 2.__________________________________________ ____________________________________________ 3._______________________________________________________________________________________ 4. __________________________________________ ____________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 4.4 Условия взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве 1. Взаимно параллельные прямая и плоскость. Если прямая параллельна какой-либо прямой принадлежащей плоскости, то она параллельна самой плоскости. 2. Взаимно параллельные плоскости. Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости взаимно параллельны. 3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая перпендикулярная плоскости, если она перпендикулярная двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве двух пересекающихся прямых при решении задач рассматривают линии уровня плоскости – горизонталь h и фронталь f. Тогда, согласно теореме о проецировании прямого угла, углы между прямыми принадлежащими плоскости и линиями уровня проецируются в натуральную величину. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже, устанавливает теорема о перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости: _______________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Задача: Дано: Плоскость α(∆АВС). Задача: Дано: 1.____________________________________________________________ ___________________________________________________________; 2. __________________________________________________________ ___________________________________________________________ _______________________________________________________________. 4. Взаимно перпендикулярные плоскости. Если плоскость проходит через перпендикуляр в данной плоскости или параллельна этому перпендикуляру, то она перпендикулярна к этой плоскости. 5. Взаимно перпендикулярные прямые. Чтобы построить прямую перпендикулярную к данной прямой, необходимо провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой и построить любую прямую, принадлежащую этой плоскости. . Лекция 5. Кривые линии. Плоские и пространственные кривые линии. Поверхности. Образование. Классификация. 5.1 Кривые линии Множество всех последовательных положений точек, движущихся в пространстве, изменяя направление движения, определяют кривую линию. По своему расположению в пространстве различают плоские и пространственные кривые линии. 5.1.1. Плоские кривые линии Плоские кривые линии - это кривые линии, все точки которых лежат в одной плоскости. К плоским линиям относятся: Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной точки – центра окружности. Эллипс - замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух определенных точек (фокусов), есть величина постоянная и равная большой оси эллипса. Парабола – незамкнутая плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от определённой точки (фокуса) и прямой (директрисы). Гипербола – плоская симметрично сдвоенная кривая, разность расстояний от каждой точки которой, до двух определённых точек (фокусов) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами ветвей гиперболы. Спираль Архимеда – незамкнутая плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра по равномерно вращающемуся радиусу. Построение проекций некоторых плоских кривых линий Окружность Эллипс Спираль Архимеда 5.2 Поверхности. Образование. Классификация. В задачах по начертательной геометрии рассматривают не тела, а их поверхность, которая определяется как граница тела или как некоторая его оболочка, не имеющая толщины. Поверхности образованы геометрическим местом последовательных положений линий (прямой или кривой), движущиеся в пространстве по определенному закону. Такие линии называются образующими l. В свою очередь образующие движутся по направляющим m. Совокупность образующих и направляющих задают каркас поверхности: (l ∩m). Классификация поверхностей по виду образующей: Линейчатые – ________________________________ _________________________________________________ Нелинейчатые - _______________________________ _________________________________________________ Цилиндрическая поверхность - __________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Коническая поверхность - ______________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Винтовая поверхность- _________________________ ______________________________________________________________________________________________________ Циклическая поверхность _____________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Лекция 6. Гранные поверхности. Поверхности вращения. Образование. Классификация по виду образующей. 6.1 Гранные поверхности Пирамида – ________________________________ _________________________________________________ ___________________­­­­­______________________________ Задача. Дано: Фронтальная проекция точки К на поверхности пирамиды. Требуется: Построить горизонтальную проекцию точки К. Последовательность решения: 1. ___________________________________________ _______________________________________________; 2. __________________________________________________________________; 3. _________________________________________________________; ­­­______________________________________________________ Призма – _____________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Задача: Дано: Горизонтальная проекция точки М на поверхности призмы. Требуется: Построить фронтальную проекцию точки М. Последовательность решения: 1._______________________________ ________________________________; 2._______________________________________________________________; 3._______________________________________________________________; 4._______________________________________________________________. 5. _____________________________ . 6.2 Поверхности вращения. Образование поверхности вращения Поверхность вращения - ____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 6.3 Классификация поверхностей вращения по виду образующей 6.3.1 Образующая - прямая линия Прямой круговой цилиндр - (l//i) Прямой круговой конус - (l∩i) 6.3.2 Образующая – окружность Сфера–т.О Открытый тор - l Лекция 7. Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью. Способы построения линий взаимного пересечения поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 7.1 Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью Определить точки пересечения прямой с поверхностью можно с помощью секущих плоскостей уровня или плоскости общего положения. Способ вспомогательных секущих плоскостей рационально применять в том случае, если вспомогательные секущие плоскости уровня рассекают поверхность по простейшим линиям (окружностям или ломаным). Задача. Дано: Поверхность закрытого тора, прамая а общего положения. Требуется: Определить проекций точек пересечения прямой с поверхностью. Последовательность решения: 1.___________________________________________________________ 2. ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. ___________________________________________________________ 4. ___________________________________________________________ 5. ___________________________________________________________ При помощи плоскости общего положения чаще всего находятся точки пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностью. Этими поверхностями могут быть прямые или наклонные, круговые или эллиптические цилиндрические, или конические поверхности. 7.2. Способы построения линии пересечения поверхностей Линия взаимного пересечения поверхностей является линией, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся поверхностям. В зависимости от вида поверхности в общем случае линия пересечения для: - гранных поверхностей является замкнутой пространственной ломаной; - нелинейчатой поверхности (имеющая семейство круговых сечений) и гранной, как правило является кривой линией с изломами в точках пересечения рёбер гранной поверхности с кривой поверхностью; - нелинейчатых поверхностей представляет собой пространственную кривую линию. Для построения такой линии необходимо построить ряд точек, принадлежащих и той и другой поверхности. Их можно найти с помощью следующих способов: - вспомогательных секущих плоскостей; - вспомогательных концентрических сфер; - вспомогательных эксцентрических сфер. 7.3 Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей Суть способа заключается в том, что обе поверхности рассекаясь вспомогательными секущими плоскостями, образуют простейшие линии, в пересечении которых определяются точки, одновременно принадлежащие и той и другой поверхности, а, следовательно, лежащие на их линии пересечения. Этот способ применяется если: 1. Поверхности заданы очерками; 2. Поверхности имеют в сечении простые линии (окружности или прямые линии), одновременно лежащие в некоторой введённой вспомогательной плоскости уровня. Общий алгоритм построения проекций линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей: 1. Характеристика поверхностей: - наименование поверхностей; - собирательное свойство. 2. Условия применения способа. 3. Опорные точки, позволяющие видеть в каких пределах вводятся вспомогательные секущие плоскости. Если поверхности имеют общую плоскость симметрии, то опорные точки находятся как точки пересечения очерков поверхностей на другой проекции. 4. Положение секущих плоскостей. 5. Промежуточные точки. 6. Границы видимости поверхностей. Точки видимости – точки, ограничивающие видимую часть линии пересечения от невидимой. 7. С учетом видимости соединяются полученные точки, которые определяют проекции линии пересечения поверхностей. Если линия расположена за или под поверхностью – чертим штриховую линию, если внутри поверхности – сплошную тонкую. 8. Обводка очерков поверхностей с учетом видимости. Лекция 8. Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер. 8.1 Соосные поверхности Соосными поверхностями называются поверхности вращения, оси которых совпадают. В некоторых случаях при построении линии пересечения поверхностей целесообразно применять вспомогательные сферические поверхности. Их применение основано на свойстве соосных поверхностей пересекаться по окружностям. Эти окружности являются общими параллелями двух поверхностей вращения. Если эти окружности лежат в плоскостях уровня, то на одну плоскость проекций они проецируются в виде отрезков прямой линии, а на другую проецируются в натуральную величину. 8.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных сфер Эти способы применяется в случаях, когда метод секущих плоскостей использовать нецелесообразно – например, когда оси одной или обеих поверхностей вращения расположены так, что при пересечении этих поверхностей с плоскостями, параллельными плоскостям проекций, образуются сложные плоские фигуры. В способе концентрических сфер вспомогательные сферы проводятся из одного общего для всех сфер центра. В способе эксцентрических сфер - сферы проводятся из разных центров. 8.3 Способ концентрических сфер Условия применения способа: 1. Обе поверхности должны являться поверхностями вращения. 2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться в пределах чертежа. 3. Поверхности должны быть заданы очерками. 4. Плоскость симметрии обеих поверхностей должна быть параллельна одной и той же плоскости проекций. Общий алгоритм построения проекции линии пересечения поверхностей способом концентрических сфер: 1. Анализ характеристики поверхностей. Условия применения способа. 2. Определение точки О – центра концентрических сфер, как результат пересечения осей поверхностей вращения. 3. Определение опорных точек как результат пересечения очерков поверхностей, полученных введением плоскости симметрии. 4. Для нахождения точек, лежащих на линии пересечения поверхностей вводим вспомогательные сферы с максимальным и минимальным радиусом. - Rmin = - наибольшее из кратчайших расстояний от т. О до очерков поверхностей. Сфера с минимальным радиусом должна быть вписана в одну поверхность, а другую пересечь по круговым сечениям. - Rmax = - расстояние от т. О до наиболее удаленной опорной точки. Между максимальной и минимальной сферами вводим промежуточные сферы: Rmin сф. ˂ Rвспом.сф. ˂ Rmax.сф. 5. На пересечении круговых сечений поверхностей, принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере, определяем положение промежуточных точек, лежащих на линии пересечения поверхностей. 6. Обозначаются границы видимости поверхностей. Определяются точки видимости. 7. С учетом видимости плавной линией соединяются найденные проекции точек на линии пересечения поверхностей. 8. Обводятся очерки поверхностей с учетом видимости.