Интервальное статистическое оценивание

Интервальное статистическое оценивание Основная особенность точечной статистической оценки неизвестной величины  – она является случайной величиной, и поэтому ее значение может и притом существенно отличаться от истинного значения  . Возникает проблема оценки точности точечной оценки. Оказывается решение проблемы оценивания неизвестной величины можно совместить с оценкой ее погрешности. Для этого следует воспользоваться интервальной оценкой. Постановка задачи. Имеется X 1 , X 2 ,..., X n – независимая повторная выборка (НПВ) из генеральной совокупности, распределение которой принадлежит параметрическому семейству с неизвестным параметром  . Надо оценить  . Оценку будем строить в виде интервала, содержащего  . Границами такого интервала будут некоторые статистики. Интервал вида T1    T2 называется двусторонним доверительным интервалом с уровнем доверия  (другие названия  : надежность, коэффициент доверия, доверительная вероятность) для величины  , если выполняется равенство: P T1    T2    , т.е. этот интервал содержит неизвестную оцениваемую величину c заданной вероятностью  . Интервалы вида T1   и   T2 называют соответственно левосторонним и правосторонним доверительными интервалами. Ширина двустороннего интервала характеризует точность интервального оценивания неизвестной величины  . При прочих равных условиях ширина интервала зависит от значения  и объема выборки n . Чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал. С увеличением объема выборки ширина интервала уменьшается. Предпочтительные значения  : 0,8; 0,9; 0,95; 0,99. I. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения 1. Доверительный интервал для математического ожидания a при известном  (при известной дисперсии). Двусторонний доверительный интервал 1.1.  X  x1  [ N (0;1)]  n  a  X  x1  [ N (0;1)]  2 где  n 2 x1  N (0;1)  квантиль порядка 2  находим следующим образом: Ф х1  2 1  стандартного нормального распределения, которую 2  1   . Значения функции распределения стандартного  2  нормального закона Ф( х) находим по таблице 2. 1.2. Левосторонний доверительный интервал Х  x [ N (0;1)]  где  n a x N (0;1)  квантиль порядка  стандартного нормального распределения, которую   находим: Ф х   . Значения функции распределения стандартного нормального закона Ф( х) находим по таблице 2. 1.3. Правосторонний доверительный интервал a  Х  x [ N (0;1)]  где  n x N (0;1)  квантиль порядка  стандартного нормального распределения, которую   находим: Ф х   . Значения функции распределения стандартного нормального закона Ф( х) находим по таблице 2. 2. Доверительный интервал для математического ожидания a при неизвестном  (при неизвестной дисперсии). 2.1. Двусторонний доверительный интервал X  x 1 [ St ( n  1)]  2 где SX n 1 x1  St (n  1)  квантиль порядка 2  a  X  x 1 [ St ( n  1)]  2 1  распределения Стьюдента с 2 свободы. Для нахождения квантили заданного уровня используем таблицу 4. SX n 1 (n  1) степенью 2.2. Левосторонний доверительный интервал X  x [ St ( n  1)]  где a SX n 1 x St (n  1)  квантиль порядка  распределения Стьюдента с (n  1) степенью свободы. Для нахождения квантили заданного уровня используем таблицу 4. 2.3. Правосторонний доверительный интервал a  X  x [ St ( n  1)]  где SX n 1 x St (n  1)  квантиль порядка  распределения Стьюдента с (n  1) степенью свободы. Для нахождения квантили заданного уровня используем таблицу 4. 3.Доверительный интервал для дисперсии  2 при известном математическом ожидании a . 3.1. Двусторонний доверительный интервал n (x i 1 i  а) n 2 x1 [  ( n)] 2 2 где  x 1   2 ( n)  и    x 1   2 (n)  n распределения (Хи-квадрат распределения) с заданных уровней используем таблицу 5.  i 1 i  а)2 x1 [  2 ( n)] 2 2 2 2 (x 1  1  и 2  2 2 степенями свободы. Для нахождения квантилей квантили порядка 3.2. Левосторонний доверительный интервал n (x i 1 i  а)2 x [  ( n)] 2 где n   2  x  2 (n) - квантиль порядка   2  распределения (Хи-квадрат распределения) с степенями свободы. Для нахождения квантили заданного уровня используем таблицу 5. 3.3. Правосторонний доверительный интервал n 2    (x i 1 i  а) 2 x1  [  2 ( n)] x1   2 (n) - квантиль порядка (1   )  2  распределения (Хи-квадрат n распределения) с степенями свободы. Для нахождения квантили заданного уровня где используем таблицу 5. 4. Доверительный интервал для  2 при неизвестном математическом ожидании a . 4.1. Двусторонний доверительный интервал x1  2 n SX  [  2 ( n  1)] 2 где  x1   2 (n  1)   2  x1  2 (n  1)   x1  2 n SX [  2 ( n  1)] 2 1  1  и 2  2 2 2 степенью свободы. Для нахождения квантилей заданных уровней и 2 распределения с (n  1) используем таблицу 5. квантили порядка 4.2. Левосторонний доверительный интервал 2 n  SX  x [  2 ( n  1)] где   2 x  2 (n  1) - квантиль порядка распределения) с (n  1) используем таблицу 5.   2  распределения (Хи-квадрат степенью свободы. Для нахождения квантили заданного уровня 3.3. Правосторонний доверительный интервал  где   2 2 n  SX  x1  [  2 (n  1)] x1   2 (n  1) - квантиль порядка распределения) с (n  1) используем таблицу 5. (1   )  2  распределения (Хи-квадрат степенью свободы. Для нахождения квантили заданного уровня II. Построение доверительного интервала для вероятности успеха p в схеме независимых повторных испытаний. Пусть m  m A  – количество повторных испытаниях, вероятность успеха появления успеха в n независимых p  P  A . Двусторонний доверительный интервал m  x1 [ N (0,1)]  n 2 где m m 1   m n n  p   x1  [ N (0,1)]  n n 2 x1  N (0;1)  квантиль порядка 2  находим следующим образом: Ф х1  2 m m 1   n n n 1  стандартного нормального распределения, которую 2  1   . Значения функции распределения стандартного  2  нормального закона Ф( х) находим по таблице 2. III. Построение доверительного интервала для доли генеральной совокупности. Пусть N  объем генеральной совокупности, n  объем выборки из генеральной совокупности, m количество элементов в выборке, обладающих заданным свойством, D  количество элементов в генеральной совокупности, обладающих заданным свойством. Двусторонний доверительный интервал m  x1  [ N (0,1)]  n 2 где m m  1  ( N  n) D m n n    x1  [ N (0,1)]  n  ( N  1) N n 2 x1  N (0;1)  квантиль порядка 2  находим следующим образом: Ф х1  2 m m  1  ( N  n) n n n  ( N  1) 1  стандартного нормального распределения, которую 2  1   . Значения функции распределения стандартного  2  нормального закона Ф( х) находим по таблице 2.