Понятие об интервальном оценивании

Понятие об интервальном оценивании Интервальные оценки параметров нормального распределения В ряде задач требуется не только найти для параметра θ подходящую ~ оценку  , но и указать, к каким ошибкам может привести замена параметра θ его оценкой. Вычисленная на основании имеющихся у нас выборочных ~ данных оценка   Τ  x1 ,, xn  является лишь приближенным значением неизвестного параметра θ даже в том случае, когда эта оценка состоятельна (стремится к θ с ростом n ), несмещена (совпадает с θ в среднем) и эффективна (обладает наименьшей степенью случайных отклонений от θ ). Возникает вопрос: как сильно может отклоняться это приближенное значение от истинного? Другими словами, требуется оценить точность и надежность оценки. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюде~ ний, когда точечная оценка  в значительной мере случайна и приближенная ~ замена θ на  может привести к серьезным ошибкам. ~ Пусть  – точечная оценка параметра θ , найденная по данной выборке. ~ Очевидно, чем меньше разность    , тем лучше качество оценки, тем она точнее. Таким образом, положительное число  характеризует точность ~ оценки  : ~     . Понятно, что точность  зависит от объема выборки n . Каков должен быть объем n , чтобы обеспечить заданную точность  , или как определить точность  при заданном объеме выборки? На эти вопросы нельзя ответить, ~ используя неравенство      , статистические методы не позволяют это~ го сделать. Так как  является величиной случайной, то, определив или задав точность  , мы не можем абсолютно достоверно (с вероятностью, равной 1) гарантировать выполнение неравенства, обеспечивающего эту точность. Можно говорить лишь о вероятности, близкой к единице, с которой это неравенство должно выполняться. Итак, здесь речь пойдет о том, чтобы указать такую величину  , которая с «практической достоверностью» (т. е. с заранее заданной вероятностью, ~ близкой к единице) гарантировала бы выполнение неравенства      . ~ ~ Иными словами, необходимо указать такой интервал вида   ;   , который с заранее заданной вероятностью (близкой к единице) покрывал бы неизвестное истинное значение θ искомого параметра. При этом заранее выбираемая исследователем вероятность, близкая к единице, называется дове-     ~ ~ рительной вероятностью, а сам интервал   ;   – доверительным ~ интервалом (или интервальной оценкой, в отличие от точечных оценок  ). В математической статистике доверительные интервалы используются ~ для определения точности оценки  , а доверительные вероятности – для определения надежности. Доверительный интервал по своей природе случаен как по своему распо~ ложению (ведь  – случайная величина), так и по своей длине (величина  , как правило, тоже строится как функция выборочных данных x1 , x2 , , xn ). Ширина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n ) и от величины доверительной вероятности (увеличивается с приближением доверительной вероятности к единице). Построение доверительного интервала выполняется следующим образом. ~ Пусть  – оценка параметра θ , вычисленная по выборке x1 , , xn  объ~ ема n , а z  , – некоторая статистика (зависящая как от самого параметра, так и от его оценки), распределение которой известно и затабулировано. В качестве таких распределений обычно используются стандартный нормальный закон Ν 0,1 , распределение Стьюдента ( t -распределение), распределение «хи-квадрат» ( χ 2 -распределение).   Величина 1     есть доверительная вероятность или надежность (чаще всего на практике   0,9; 0,95; 0,99; 0,999 ); α – доверительный уровень. Иногда на практике представляет интерес лишь один из двух доверительных пределов. В этом случае определяются односторонние доверительные интервалы: Ρ     1   ;      1   . В заключение еще раз подчеркнем, что доверительный интервал ~ ~   ;   по своей природе случаен, и потому выражение ~ ~ P           1   ~ ~ следует читать так: «Интервал   ;   покроет параметр  с вероятно~ ~ стью 1     », а не так: « Параметр θ попадет в интервал   ;   с вероятностью 1     ».           В качестве примера рассмотрим задачу интервального оценивания параметров a и σ 2 нормальной генеральной совокупности, т. е. будем считать, что величина Χ~Ν a, . 1. Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии. Пусть параметр a  ΜΧ неизвестен, а значение дисперсии σ 2 известно. Требуется построить доверительный интервал, который бы покрывал неизвестный параметр a с заданной доверительной вероятностью γ . Точечной оценкой неизвестного математического ожидания, удовлетворяющей всем трем требованиям, является выборочное среднее:  σ2  1 n xa ~  a,  и x ~ Ν ~ Ν 0,1 . Поэтоa  x   xi . Так как xi ~ Ν a,  , то  n i 1  n  n му по определению доверительного интервала можно записать      n  aa aa     P  x  a    P a    x  a        2               n  n    x t2  1 2 dt – функция Лапласа (см. приложение 3). e где   x    2 0 Обозначим через t   n , тогда   2t  и t : t    ность оценивания  будет равна   t  2  1 . Точ2  n и доверительный интервал для a запишется как   x  t  a  x  t n n Замечание. Если n велико, эту оценку можно использовать и при отсутствии нормального распределения величины Χ . В силу центральной преx a дельной теоремы при случайной выборке большого объема п ~ Ν 0,1 .  n В частности, если Χ   , где  – случайное число успехов в большом числе n испытаний Бернулли, то  p n ~ Ν 0,1 pq n и с вероятностью  1   для вероятности p успеха в единичном испытании выполняется неравенство  pq  pq .  t  p   t n n n n Заменяя значения p и q  1  p в левой и правой частях неравенства их  p оценками ~ и q~  1  ~ p , что допустимо при большом n , получим приn ближенный интервал для вероятности p : ~ ~ pq~ pq~ ~ p  t  p ~ p  t n n Пример 1. Из большой партии изделий отобрано наугад для контроля 500 штук, причем среди них 20 не удовлетворяющих стандарту. Найти с доверительным уровнем 0,05 интервал, содержащий процент брака во всей партии. Решение. Для оценки вероятности брака используем неравенство (4).  20 p   0,04, q~  1  ~ p  1  0,04  0,96, t  t0,95  1,96 (см. прилоЗдесь ~ n 500 жение 3), тогда 0,023  p  0,057 или процент брака во всей партии будет от 2,3% до 5,7%. Пример 2. Фирма коммунального хозяйства на основе выборки оценивает среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99% и погрешностью, меньшей 10 д.е. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 35 д.е., найти минимальный объем выборки. Решение. По условию требуется найти такое n , при котором P x  a  10  0,99 . Приравняв 1    0,99 , из таблицы значений функции 0,99 Лапласа (приложение 3) найдем t 0,99 : t0,99    0,495; t0,99  2,6 . При 2   10 и   35 из формулы (1) получим t 02,99 2 6,76  1225 n   82,81 . 100 2 Но так как с ростом 1   и уменьшением  растет n , то n  82,81 и тогда минимальный объем выборки будет равен nmin  83 . 2. Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии. Итак, пусть Χ~Ν a,σ  , причем числовые значения ни a , ни  2 не известны. Наилучшими точечными оценками этих параметров по выборке 1 n 2 2 ~ ~ x1 , x2 , , xn  объема n будут a  x ,   s  xi  x 2 .  n  1 i 1 Так как x ~ Ν (a,  n ), то xa   n  1s 2 ~ Ν 0,1 , 2   1  2 n  xi  x  2 ~  2 n  1 . i 1 n Тогда статистика n xa xa 1 xi  x 2 ~ t n  1, t    2 s   n  1 i 1 n n то есть статистика t распределена по закону Стьюдента с n  1 степенью свободы. Задаваясь доверительной вероятностью  и учитывая симметричность распределения Стьюдента, найдем t из условия t  pt dt   , где pt  – плотность распределения Стьюдента. t Возвращаясь к величине t , получим, что с вероятностью γ   t  t    или Решая неравенство  t  xa  t . s n xa  t относительно a , получим s n s s , x  t  a  x  t n n 1   где t  t  , n  1 находится из таблицы квантилей распределения  2  1  Стьюдента при k  n  1 и p  (см. приложение). 2 Формула и определяет доверительный интервал, который покрывает неизвестное математическое ожидание с заданной надежностью γ , точность оценивания в этом случае s .   t n Замечание. При k  n  1  30 случайная величина t k  имеет распределение, близкое к Ν 0,1, поэтому с вероятностью γ s s  x  t  a  x  t , где t : t   . 2 n n Пример 3. Из многочисленного коллектива работников фирмы случайным образом отобрано n  25 человек. Средняя заработная плата этих работников составила x  700 д.е. при среднем квадратическом отклонении s  100 д.е. Требуется с доверительной вероятностью   0,95 определить ин- тервальную оценку для: а) средней месячной заработной платы на фирме; б) суммы затрат фирмы на заработную плату отдела, состоящего из 520 сотрудников. Решение. а). Средняя месячная заработная плата на фирме – это математическое ожидание случайной величины Χ – размера заработной платы, поэтому, используя неравенство (6.13), с доверительной вероятностью   0,95 получим 100 100 . 700  2,064  a  700  2,064 25 25  1  0,95  Здесь значение t0,95  t  ;24   2,064 найдено из таблицы прило 2  жения 5 как квантиль уровня p  0,975 и числа степеней свободы k  25  1  24 . Окончательно 658,72  a  741,28 . Таким образом, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя заработная плата на фирме в пределах от 658,72 д.е. до 741,28 д.е. б). Сумма затрат фирмы на заработную плату отдела составит Νa д.е., где Ν  520 . Поэтому с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что затраты фирмы на заработную плату не выйдут из интервала: 520  658,72  Νa  520  741,28 , т. е. 342534 д.е.  Νa  385465 д.е. 3. Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратического отклонения) при неизвестном математическом ожидании. Наилучшей точечной оценкой дисперсии в этом случае является 1 n 2 s  ( xi  x ) 2 . Построение интервальной оценки для  2 основано на  n  1 i 1 статистике (n  1) s 2 U ~  2 (n  1) , 2  то есть статистика U для случайной выборки из нормальной генеральной совокупности: Χ~Ν a, , имеет распределение χ 2 с n  1 степенью свободы. Следуя общей схеме построения доверительных интервалов, зададимся здесь доверительным уровнем  1   и определим два числа u1 и u2 из условия: Ρu1  U  u 2   1   . Величины u1 и u2 находятся из таблиц квантилей распределения χ 2 :      u1   2  ; n  1 и u 2   2 1  ; n  1 (см. приложение 4). 2 2    Решая неравенство  n  1s 2   u2 σ2 относительно σ 2 , получим, что с вероятностью  1   выполняется неравенство n  1s 2   2  n  1s 2 u2 u1 и с такой же вероятностью выполняется неравенство u1 n  1s 2    n  1s 2 . u2 u1 Интервальная оценка не симметрична относительно s 2 в отличие от интервальной оценки для неизвестного математического ожидания. Если требуется построить интервальную оценку для дисперсии при известном математическом ожидании, то она будет иметь вид ns02 ns 2 2  0 , u2 u1 1 n   где s02   xi  a 2 эффективная оценка дисперсии, а u1   2  , n  и n i 1 2     u2   2 1  , n  . 2   Пример 4. При анализе точности фасовочного автомата было произведено n  24 контрольных взвешиваний пятисотграммовых пачек кофе. По результатам измерений рассчитано среднее квадратическое отклонение  в  0,8 г. Требуется с доверительной вероятностью   0,95 оценить точность фасовочного автомата, т. е. определить интервальную оценку для σ . Решение. Для того чтобы при построении интервальной оценки для  воспользоваться формулами, определим вначале из таблиц квантилей распределения χ 2 (см. приложение 4) значения   u1   2  , n  1   2  0,025; 23  11,7 ; 2     u2   2 1  , n  1   2  0,975; 23  38,1 . 2   Несмещенной оценкой теоретической дисперсии будет n n s2  Dв   в2 , тогда n  1s 2  n в2 . n 1 n 1 С вероятностью 0,95 согласно формуле имеем интервальную оценку: 24  0,64 24  0,64  2  . 38,1 11,7 Отсюда с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее квадратическое отклонение  будет находиться в интервале 0,632 г.    1,146 г. Предположив, что ошибка фасовочного автомата есть нормальная случайная величина с нулевой средней и средним квадратическим отклонением σ , можно с вероятностью 0,95 утверждать, что вес пачек кофе будет в пределах 500  2 ; 500  2   500  2,292; 500  2,292   497,71 г; 502,29 г  .