Интегрирование по частям

3 метод Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (𝑢𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑣𝑢 где 𝑢 и 𝑣 – некоторые функции от 𝑥. В дифференциальной форме: 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢  d (uv)   udv   vdu , а в соответствии с приведенными неопределенного интеграла uv   udv   vdu или выражая интеграл  udv получим:  udv  uv   vdu ; Проинтегрировав, получаем: выше свойствами Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций вида: ∫ 𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑥 𝑛 sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑥 𝑛 cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑥 𝑚 lnn 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑥 𝑚 arcsin 𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑥 𝑚 arccos 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑥 𝑚 arctg 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑥 𝑚 arcctg 𝑥 𝑑𝑥, где 𝑛 – целое положительное число, 𝑎, 𝑚 – действительные числа (𝑚 ≠ −1). Пример: Найти интеграл∫(2𝑥 + 5) sin 3𝑥 𝑑𝑥. В интеграле смотрим на умноженные друг на друга функции, в нашем случае это 2𝑥 + 5 и sin 3𝑥. Эти функции по отдельности имеют интеграл, то есть можно проинтегрировать, и отдельно имеют производные, но при производной функция 2𝑥 + 5 исчезает, соответственно его нужно взять за 𝑢, так как для 𝑢 находим 𝑑𝑢 и функция синуса останется один под знаком интеграла. Итак: 𝑢 = 2𝑥 + 5, находим дифференциал 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 5)′𝑑𝑥 или 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥; 1 за 𝑑𝑣 берем то, что осталось 𝑑𝑣 = sin 3𝑥 𝑑𝑥 и интегрируем с двух сторон ∫ 𝑑𝑣 = ∫ sin 3𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = ∫ sin 3𝑥 𝑑(3𝑥) и 3 1 𝑣 = − cos 3𝑥, здесь полагаем 𝐶 = 0. 3 Полученные данные подставляем в формулу и вычисляем интеграл: 1 1 1 2 ∫(2𝑥 + 5) sin 3𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥 + 5) ⋅ (− cos 3𝑥) − ∫ − cos 3𝑥 ⋅ 2𝑑𝑥 = − (2𝑥 + 5) cos 3𝑥 + ∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 3 3 3 1 2 1 2 = − (2𝑥 + 5) cos 3𝑥 + ∫ cos 3𝑥 𝑑(3𝑥) = − (2𝑥 + 5) cos 3𝑥 + sin 3𝑥 + 𝐶. 3 9 3 9 При вычислении интегралов с помощью этого метода за 𝑢 берется та функция, которая при производной может исчезнуть (может после нескольких производных) или функция, которую невозможно проинтегрировать. Далее рассмотрим отдельные виды интегралов и способы их решения. Интегрирование элементарных дробей. Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов: I. 1 ; ax  b III. Mx  N ; ax 2  bx  c II. 1 ; (ax  b) m IV. Mx  N (ax  bx  c) n 2 𝑚, 𝑛 – натуральные числа (𝑚  2, 𝑛  2) и 𝑏 2 – 4𝑎𝑐 < 0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой 𝑡 = 𝑎𝑥 + 𝑏. I. II. dx 1 dt 1 1  ln t  C  ln ax  b  C. t a a dx 1 dt 1 1  (ax  b) m  a  t m   a(m  1)t m1  C   a(m  1)(ax  b) m1  C;  ax  b  a  Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде: A Ap   (2 x  p)   B   Ax  B A 2x  p Ap  dx 2 2    dx  dx   2 dx   B    2 2  x 2  px  q  2 x  px  q 2  x  px  q x  px  q  A Ap  dx A 2 B  Ap 2x  p   ln x 2  px  q   B   ln x 2  px  q   arctg C  2 2 2 2 2    p  p  2 4q  p 4q  p 2   x     q  2  4   Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам. Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее 𝑛 − 1 раз, то получится табличный интеграл u du . s 2 Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае. u  2ax  b; du  2adx;  Mx  N Mx  N   n  (ax 2  bx  c) n dx  (4a)  (2ax  b) 2  (4ac  b 2 ) n dx   x  u  b ; s  4ac  b 2 ;    2a M (u  b) N n ( 4a ) ( 4a ) n  M udu 2aN  Mb du  2a  du     2  2 n n 2   2a 2a  2a (u  s) 2a (u  s ) (u  s ) n    В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному dt t n , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула. Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби. Теорема: Если R( x)  Q( x) - правильная рациональная дробь, знаменатель 𝑃(𝑥) которой представлен в P( x) виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) … (𝑥 − 𝑏) (𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) … (𝑥 2 + 𝑟𝑥 + 𝑠) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: B A A A2 B1 B2 M x  N1 Q( x)  1   ...   ...    ...   21  2  2  P( x) x  a ( x  a) ( x  b) ( x  b) ( x  a) ( x  b) x  px  q R x  S  M x  N M x  N2 R x  S1 R x  S2  2 2  ...  2   ...  2 1  22  ...  2 2  2 ( x  px  q) ( x  px  q) x  rx  s ( x  rx  s) ( x  rx  s)  где 𝐴𝑖, 𝐵𝑖, 𝑀𝑖, 𝑁𝑖, 𝑅𝑖, 𝑆𝑖 – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин 𝐴𝑖, 𝐵𝑖, 𝑀𝑖, 𝑁𝑖, 𝑅𝑖, 𝑆𝑖 применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx . Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t  tg x . Эта подстановка позволяет преобразовать 2 тригонометрическую функцию в рациональную. sin x  2tg x 2 1  tg 2 Тогда x  2arctgt ; dx  2dt ; 1 t 2 x 2  2t , 1 t2 x 2 2  1 t ; cos x  x 1 t2 1  tg 2 2 1  tg 2 Таким образом:  2t 1  t 2  2 R (sin x , cos x ) dx  R    1  t 2 , 1  t 2  1  t 2 dt   r (t )dt. Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой. Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил. Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx если функция 𝑅 является нечетной относительно cosx. Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку 𝑡 = sin 𝑥.  R(sin x, cos x)dx   Функция R(sin x, cos x) cos xdx cos x R(sin x, cos x) может содержать cos 𝑥 только в четных степенях, а следовательно, может быть cos x преобразована в рациональную функцию относительно sin 𝑥.  R(sin x, cos x)dx   r (sin x) cos xdx   r (t )dt. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx если функция 𝑅 является нечетной относительно sin 𝑥. По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка 𝑡 = cos 𝑥. Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (cos x) sin xdx   r (t )dt. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx функция R четная относительно sin 𝑥 и cos 𝑥. Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка 𝑡 = 𝑡𝑔𝑥. Тогда  R(sin x, cos x)dx   r (t )dt Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов. В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул: 1  sin(m  n) x sin(m  n) x   mn m  n  1 1  cos(m  n) x cos(m  n) x   sin mx cos nxdx   2 sin(m  n) x  sin(m  n) xdx  2  m  n  m  n  1 1  sin(m  n) sin(m  n)   sin mx sin nxdx   2  cos(m  n) x  cos(m  n) xdx  2  m  n  m  n  1  cos mx cos nxdx   2 cos(m  n) x  cos(m  n) xdx  2  Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно тригонометрические формулы для понижения порядка функций: 1 − cos 2𝑥 1 + cos 2𝑥 sin2 𝑥 = ; cos 2 𝑥 = . 2 2 Иногда применяются некоторые нестандартные приемы. использовать общеизвестные Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда. Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций. Интеграл вида   R x, n ax  b  dx где 𝑛- натуральное число. cx  d  С помощью подстановки n ax  b  t функция рационализируется. cx  d  tn b tn b  x ; dx  n a  ct n  a  ct    t n  b  t n  b  ax  b  n    dt   r (t )dt. dx   R , t  Тогда  R x, n n   cx  d   a  ct  a  ct   ax  b  tn; cx  d    dt ;  Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение 𝑥 𝑚 (𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 )𝑝 𝑑𝑥 где 𝑚, 𝑛, и 𝑝 – рациональные числа. Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: 1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t   x , где  - общий знаменатель m и n. m 1 2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой n t  s a  bx n , где 𝑠 – знаменатель числа р. 3) Если a  bx n m 1 , где 𝑠 – знаменатель числа р.  p - целое число, то используется подстановка t  s n xn Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена. На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно. Интегралы вида  Rx,  ax 2  bx  c dx . Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ. Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:  u 2  m2 . Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов: 1.  R(u, m 2  u 2 )du; 2.  R(u, m 2  u 2 )du; 3.  R(u, u 2  m 2 )du; Замечание: В решении задач могут встретиться «неберущиеся» интегралы: sin 𝑥 cos 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 2 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ sin 𝑥 2 𝑑𝑥; ∫ cos 𝑥 2 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑑𝑥 ; ∫ ; …, 𝑥 𝑥 𝑥 ln 𝑥 либо интегралы, которые путем преобразований сводятся к ним.