Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера

Лекция 13. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера 15.1. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Начнѐм с записи уравнения Даламбера в виде 2 1  u r ,t   u r ,t   2  f r ,t  v t 2 2 (15.1) В простейшем и в то же время весьма важном случае функция f  r , t  , которая выражает «вынуждающую силу», имеет характер гармонических колебаний: f  r , t   f m  r  cos t   r  . Такой же вид имеет при этом и решение: u  r , t   um  r  cos t    r  Используя метод комплексных амплитуд, т. е. jt внося в (15.1) u  r , t   um  r  e jt и f  r , t   f m  r  e получаем неоднородное уравнение Гельмгольца относительно um  r  :  2 um  r   k 2 u m  r   f m  r  , (15.2) где k   v . Подобная операция уже обсуждалась в п. 12.2. В электродинамике встречаются уравнения Гельмгольца с комплексным k; подчеркивая это введением символа ̇ и ограничиваясь пока скалярной формой, запишем:  2 um  r   k 2 u m  r   f m  r  (15.2а) Решение неоднородного уравнения Гельмгольца будем искать тем же методом, который был применен в п. 9 к уравнению Пуассона (9.1). При этом понадобится функция Грина, т. е. в данном случае решение уравнения  2 G  r , r    k 2G  r , r      r  r   . (15.3) Интересующая нас функция Грина имеет вид:  jk r  r  e  G  r , r   . 4 r  r  2 (15.4) Прежде чем двигаться дальше, проверим, что формула (15.4), действительно, выражает решение уравнения (15.3). Для этого достаточно убедиться, что  2  k 2  e jkr / 4 r  является дельта-функцией, согласно еѐ определению. Непосредственное дифференцирование показывает, что  2  k 2   ikr  ikr eikr 1  1 d  2 d e  2e    r  k  2   0, r  0.   4 r 4  r dr dr r r      (15.5) Далее, возьмѐм объем V, содержащий начало координат, и выделим сферу ΔV с центром в нѐм (т. е. при r = 0), имеющую радиус ρ. Ввиду (15.5)   jkr  jkr 1 1 2 2 e 2 2 e (   k ) dV  lim   k dV ,    0 4  4 V r r V причѐм в силу теоремы Остроградского-Гаусса 1  4 e jkr 1 V (  k ) r dV   4 2 2 e jkr e jkr 2 S grad r |r  ds  k V r dV , где ΔS - поверхность сферы ΔV (r = ρ на ΔS). При ρ → 0 второе слагаемое исчезает (ΔV = 0(ρ3)), а первое даѐт:  jk  1 e jkr e jk  2e grad  ds  lim   ik  2 r   0 4   0 r    s lim    1.  Таким образом,   jkr 1 2 2 e (   k ) dV  1 4 V  (15.6) Исследуемая функция, как видно, является дельта-функцией δ(r), а при замене r → | r  r  | становится дельта-функцией δ( r  r  ). Поэтому формула (15.4) подтверждена. Здесь же отметим, что, как и в п. 9.1, G  r   r   G(r  r ) , (15.7) т. е. функция Грина симметрична относительно обоих аргументов. 15.2. Выражение решения неоднородного уравнения Гельмгольца. Будем искать общий вид решения неоднородного уравнения Гельмгольца (15.2). С этой целью выполним в (16.2) умножение на G  r , r  , а в (15.3) - на ит  r  ; произведѐм вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений как функций r по V. В результате получим:  {G  r, r   u  r   u  r   G(r , r )}dV  2 2 m m V   f m  r  G  r , r   dV   um  r    r  r   dV V V Выполним, далее, следующие преобразования (ср. п 9.2): а) объѐмный интеграл слева заменим поверхностным при помощи теоремы Грина (5.14); б) во втором слагаемом справа произведем интегрирование по формуле (8.7), что даѐт um  r  ;   r  . Ввиду (15.7) это не распрострав) произведѐм замену обозначений r   няется на функцию Грина. В итоге находим общий вид решения уравнения (15.2) в следующей форме: G  r , r   u  r     um  r    f m  r   G  r , r   dV   um  r    G  r , r  m  ds    n  n  V S  (15.8) (обозначения здесь те же, что и в п. 9.2; заметим, что равенства (15.8) и (9.6) идентичны по форме). Внося в (15.8) выражение функции Грина (15.4), получаем: 1 um  r    4 1  4  V fm  r  e  jk r  r  r  r dV   jk r  r   jk r  r   um  r   e e  um  r   n n r  r   r  r     ds   (15.9) Собственно говоря, как видно из (15.8) и (15.9), для нахождения решения um  r  в некоторой области V надо располагать сведениями о его поведении на внешней границе S: в поверхностный интеграл входят функции um  r  и u  r  / v. Для дальнейшего наиболее интересен случай, когда решение уравнения um  r  ищется во всем безграничном пространстве, в то время как вынужда- ющая сила f m  r  отлична от нуля только в некоторой ограниченной области. Граница S области V при этом относится в бесконечность. Пусть рассматриваемые решения обладают таким свойством, что поверхностный интеграл в (15.9) исчезает (необходимые уточнения будут сделаны в п. 4). Тогда решение um  r  выражается следующей весьма важной формулой: 1 um  r    4 fm  r e   jk r  r  dV . r  r V (15.10) Интегрирование здесь фактически распространяется только на область, в которой f m  r   0 . Разумеется, все полученные результаты сохраняют формальный смысл и при комплексном k; заменив k на k , сразу же из (15.10) получаем решение уравнения (15.2а). Наконец, взяв векторное уравнение Гельмгольца  2 um  r   k 2um  r   f m  r  (15.11) и рассматривая отдельно его проекции на оси декартовой системы координат (как это делалось в п.9.4 с векторным уравнением Пуассона), находим при помощи (15.10) его решение в виде: um  r    1 4  V fm  r e  jk r  r  dV  . r  r (15.12) 15.3. Выражение решения уравнения Даламбера. Перейдѐм к уравнению Даламбера (15.1). При произвольной зависимости от времени решение um  r , t  и вынуждающую силу f  r , t  можно представить в виде интегралов Фурье (12.25): um  r , t     u  r ,  e jt d,  f r ,t   (15.13)    f  r ,   e d . j t  Умножим все члены уравнения (15.1) на в пределах от -∞ до ∞. 1  jt e и проинтегрируем по t 2 Ввиду (12.26), 1 2   f  r , t e  jt dt  f  r ,   (15.14)  и 1 2  2  jt 2   u  r , t e dt    1 2   u  r , t e  jt dt   2u  r ,   (15.15)  Что касается второго члена (15.1), содержащего дифференцирование по t, то соответствующий интеграл придется преобразовать путѐм двукратного интегрирования по частям: 1 2  2 1  u  r , t   jt 1  u  r , t   jt   2 t 2 e dt  2 2  t e      j  u  r , t  t   e  jt dt      u  r , t   jt    jt  2 e |  j  u r , t e |   u  r , t  e  jt dt      2   2  t   1 Полагая, что при t = ± ∞ решение и его производная по времени равны нулю и обозначая по-прежнему k = ω/υ, находим: 1 2 2 1   r , t  it k2   2 t 2 e dt   2     u  r , t e  it dt  k u  r ,   2 (15.16)  И, наконец, сопоставляя (15.14) - (15.16), на основании (15.1) получаем относительно спектральной плотности u  r ,   следующее неоднородное уравнение Гельмгольца:  2 u  r ,    k 2u  r ,    f  r ,   , (15.17) по форме совпадающее с (15.2). Решение уравнения (15.17), таким образом, можно сразу же написать на основании формулы (15.10): 1 um  r ,     4  V f  r ,   e r  r  ik r  r  dV , (15.18) Чтобы построить решение уравнения Даламбера (15.1), составим первый из интегралов Фурье (15.13). Умножая левую и правую части (15.18) на еjωt и интегрируя по ω от -∞ до ∞, имеем:    f  r ,  e um  r , t       r  r    V  jk r  r    1  dV e jt   4     f r ,  e   jk r  r  e jt d r  r V dV Учитывая, что e  ik r  r  it e e  r r  i  t      пишем:   f  r ,  e  ik r  r    r  r  eit d   f  r , t      Действительно, это прямое следствие второй формулы (15.13), где t заменено на t  r  r  . Итак, окончательно: um  r , t    1 4  V  r  r f  r , t    r  r   dV . (15.19) Решение уравнения Даламбера получено. Попробуем истолковать его и привлечѐм для этой цели решение (9.8) уравнения Пуассона (9.1); а также однородное волновое уравнение (7.11), различные решения которого рассматривались в п. 13. Там было показано, что υ имеет смысл фазовой скорости распространяющейся волны. Предположим, что υ  ∞. Мгновенное распространение фактически, означает исчезновение волнового процесса, и действительно, уравнение Даламбера (15.1) при этом переходит в уравнение Пуассона (9.1), а решение (15.19) - в (9.8). Решение (15.19) выражает волновой процесс, возбуждаемый в пространстве источниками, расположенными в той области, где f  0. Действие источника в точке Р(r') не передаѐтся в точку наблюдения М(r) мгновенно, оно запаздывает на время t  r  r  необходимое для распространения волно- вого процесса; это и отражает полученное решение (15.19). Результат (15.19) позволяет записать также решение векторного уравнения Даламбера:  2u  r , t   1 u  r , t   f r ,t  ,  2 t 2 (15.20) поскольку при проецировании на оси декартовой системы координат оно сводится к трѐм скалярным (ср. п. 9.4): um  r , t    1 4  V  r  r f  r , t    r  r   dV . (15.21)