Характеристики купонных облигаций

Теория финансов Лекция 3 Характеристики купонных облигаций I Доходность к погашению: взвешенное среднее значение Существует два подхода к ценообразованию казначейской купонной облигации: линейный, который опирается на дисконтные цены, и нелинейный, который опирается на доходность к погашению. Линейный подход: 𝑇 𝐵𝑛 = 𝐶𝑛 𝐷𝑡 + 𝐷 𝑇 𝐹𝑉𝑛 . 𝑡 =1 Можно сказать, что цены дисконтных облигаций определяют цены купонных облигаций. Аналогично, доходности дисконтных облигаций определяют доходности купонных облигаций. Для того чтобы это увидеть, вспомним формулу ценообразования: 𝑇 𝐵𝑛 = 𝐶𝑛 × 𝑡=1 1 1 + 𝑦𝑛 + 𝑡 𝐹𝑉 1 + 𝑦𝑛 𝑇 . В отсутствие арбитражных возможностей (одна из аксиом современной финансовой науки) две формулы выше дают одинаковое решение – цену купонной облигации: 𝑇 𝐵𝑛 = 𝐶𝑛 𝑇 𝐷𝑡 + 𝐷 𝑇 𝐹𝑉𝑛 = 𝐶𝑛 × 𝑡 =1 𝑡 =1 1 1 + 𝑦𝑛 𝑡 + 𝐹𝑉 1 + 𝑦𝑛 𝑇 . (1) В соответствии с уравнением (6) в лекции 1, дисконтная цена и дисконтная доходность соотносятся следующим образом: 𝑦𝑡 = Подставим 1 1+𝑦𝑡 𝑡 𝑡 вместо 𝐷𝑡 в (1): 1 𝐷𝑡 − 1 ⟺ 𝐷𝑡 = 1 . 1 + 𝑦𝑡 𝑡 𝑇 𝐶𝑛 𝑡 =1 1 1 + 𝑦𝑡 𝐹𝑉𝑛 + 𝑡 1 + 𝑦𝑇 𝑇 𝑇 = 𝐶𝑛 × 𝑡 =1 1 1 + 𝑦𝑛 𝑡 + 𝐹𝑉 1 + 𝑦𝑛 𝑇 , (2) где 𝑦𝑡 обозначает доходность к погашению дисконтной облигации, которая погашается через t периодов, а 𝑦𝑛 обозначает доходность к погашению для купонной облигации, которая погашается через T периодов. Из формулы (2) видно, что доходности дисконтных облигаций, как было сказано выше, действительно, определяют доходности купонных облигаций. В целом, на облигационном рынке будет наблюдаться двустороннее влияние, поскольку оба сегмента (сегмент бескупонных облигаций и сегмент купонных облигаций) интегрированы. Тогда динамика в сегменте бескупонных облигаций влияет (либо через дисконтные цены, либо через дисконтные доходности) на ценообразование купонных облигаций, и наоборот. Другим наблюдением в формуле (2) является то, что 𝑦𝑛 представляет собой некоторую среднюю величину всех 𝑦𝑡 . Действительно, множественные дисконтные доходности 𝑦𝑡 , данные в левой части формулы (2), заменяются одной фиксированной доходностью 𝑦𝑛 , данной в правой части формула (2). Можно сказать, что 𝑦𝑛 репрезентативна относительно всех 𝑦𝑡 . На самом деле 𝑦𝑛 будут сложным взвешенным средним значением всех 𝑦𝑡 . Тогда, очевидно, 𝑦𝑛 будет меньше самой высокой доходности 𝑦𝑡 , участвующей в ценообразовании конкретной облигации 𝐵𝑛 , и самой низкой доходности, участвующей в ценообразовании конкретной облигации 𝐵𝑛 . II Доходность к погашению: купонный эффект Представление 𝑦𝑛 в качестве сложного взвешенного среднего значения объясняет наблюдаемый на облигационном рынке купонный эффект. Из формулы (1) мы видим, что доходность купонной облигации зависит как от величины купона C, так и от срока до погашения T. Зависимость доходности купонной облигации от величины купона имеет свое название – купонный эффект (coupon effect). Купонный эффект проявляется в следующем. При восходящей кривой бескупонной доходности (такая кривая именуется нормальной кривой, почему?) купонные облигации с тем же сроком до погашения будут иметь меньшую доходность, чем бескупонные облигации. Или же купонные облигации с большим купоном будут иметь меньшую доходность, чем купонные облигации с небольшим купоном с тем же сроком до погашения. Объясняется это тем, что для бескупонной облигации весь денежный поток заключается в единственном платеже, который попадает на дату погашения, через T лет от текущего момента. Тогда в расчете доходности к погашению 𝑦𝑛 как некоторого взвешенного среднего значения всех 𝑦𝑡 мы дадим 100% веса доходности 𝑦𝑇 , которая, ввиду восходящей кривой бескупонной доходности, будет самой высокой. Для купонной облигации денежный поток не полностью попадает на дату погашения, и часть денежного потока равномерно распределена от текущего момента до момента через T лет. Тогда в расчете доходности к погашению как некоторого взвешенного среднего значения всех 𝑦𝑡 мы дадим положительный вес доходностям 𝑦𝑡 (t < T), которые меньше 𝑦𝑇 ввиду восходящей кривой бескупонной доходности. Итоговая средняя величина будет меньше. Чем больше купон, тем больше веса будет дано доходностям 𝑦𝑡 (t < T), и тем меньше будет доходность к погашению 𝑦𝑛 купонной облигации. T Рисунок 1 – Купонный эффект при восходящей кривой бескупонной доходности T Рисунок 1 – Купонный эффект при нисходящей кривой бескупонной доходности Логика объяснения купонного эффекта при нисходящей кривой бескупонной доходности прямо противоположна. Обозначим доходности к погашению купонных облигаций с одинаковым сроком до погашения 𝑦𝐶𝑛 (индекс C показывает, что для одного срока до погашения может существовать несколько купонных облигаций, различающихся величиной купона). По аналогии, доходность к погашению бескупонной облигации может быть обозначена 𝑦0 . В обобщении, купонный эффект формулируется следующим образом: 𝒚𝑪𝒏 < 𝒚𝟎 для C > 0 при восходящей кривой и 𝒚𝑪𝒏 > 𝒚𝟎 для C > 0 при нисходящей кривой. (Имейте в виду, что иногда различие в налогообложении инвесторов может исказить купонный эффект). III Дюрация Иногда можно услышать мнение, что государственные облигации, в отличие от акций, – это безрисковые финансовые активы. Это не так. Государственные облигации не обладают риском дефолта, однако с увеличением горизонта инвестирования для инвесторов появляется и усиливается другой вид риска – процентный риск (price risk, interest rate risk). Мы знаем, что цена облигации и доходность облигации имеют обратное соотношение. Если доходность повышается (понижается), то цена понижается (повышается). Предположим, мы формируем портфель облигаций и планируем владеть им до некоторого момента в будущем. Если до этого момента произойдет непредвиденный рост процентных ставок в экономике, то цена облигаций понизится, также как и стоимость портфеля. Не исключено, что в момент окончания горизонта инвестирования конечная стоимость портфеля будет ниже начальной стоимости. Это будет отрицательным последствием реализации процентного риска. Для того чтобы оценить данное отрицательное последствие, недостаточно просто знать, что цена облигации понизится, если процентные ставки в экономике повысятся. Пусть имеются две облигации. При повышении процентных ставок цена первой облигации понижается значительно. Мы может охарактеризовать такую облигацию как «неустойчивую»: ее ценовые отклонения большие, ее цена имеет высокую чувствительность (большой отклик) к изменению процентных ставок. Для второй облигации при повышении процентных ставок цена понижается незначительно. Мы может охарактеризовать такую облигацию как «устойчивую»: ее ценовые отклонения небольшие, ее цена имеет малую чувствительность (небольшой отклик) к изменению процентных ставок. В целом, мы можем сказать, что первая облигация – более рисковый финансовый актив, чем вторая облигация. Анализируя процентный риск, мы рассчитываем степень уязвимости (exposure) цены облигации к изменению доходности облигации. Другими словами, мы рассчитываем изменение в цене облигации в ответ на изменение в доходности облигации. Математически, это концепция первой производной: изменение зависимой переменной в ответ на (бесконечно малое) изменение независимой переменной. Дюрация является мерой чувствительности цены облигации к изменению доходности облигации. Существуют 4 или 5 разновидностей мер дюрации, но все они основаны на концепции первой производной. В данной лекции мы рассмотрим три меры дюрации. Денежная дюрация (Dollar duration) Для заданного небольшого (в теории – бесконечно малого) изменения доходности облигации изменение цены облигации рассчитывается как первая производная цены (зависимая переменная) по отношению к доходности (независимая переменная): 𝑑𝐵𝑛 Изменение в цене в $ = . 𝑑𝑦𝑛 Изменение в п. п. 𝐷𝑛 = (3) Следует иметь в виду, что в формуле (3) изменение доходности рассчитывается в процентных пунктах, поскольку единицей измерения самой доходности является процентный пункт. Это именно абсолютное изменение, не относительное изменение, которое измеряется в процентах. Или же процент в данном случае можно считать не математическим знаком, обозначающим долю, а обозначением единицы измерения. Так, изменение доходности с 5% до 6% будет отражено в знаменателе в формуле (3) как 1 п.п. = 0,01. Мы поставим для удобства расчета слагаемое FV под знак ∑ в формуле (1) и продифференцируем конечную сумму: 𝑇 𝐵𝑛 = 𝑡 =1 𝑑𝐵𝑛 𝐷𝑛 = = 𝑑𝑦𝑛 𝐶1𝑛 1 + 𝑦𝑛 + 𝐶2𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑇 𝑇 𝐷𝑛 = − 𝑡 =1 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡+1 ′ 3 𝐶𝑇𝑛 1 + 𝑦𝑛 ′ 𝑇 ⟹ −𝑇𝐶𝑇𝑛 ⟹ 1 + 𝑦𝑛 𝑇+1 +⋯+ 1 =− 1 + 𝑦𝑛 ⟹ 𝑡 1 + 𝑦𝑛 + ⋯+ −1𝐶1𝑛 −2𝐶2𝑛 + 2 1 + 𝑦𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝐷𝑛 = ⟹ 𝐶𝑡 𝑛 𝑡 =1 2 𝑡 𝑇 𝑡𝐶𝑡 𝑛 𝑡 =1 1 + 𝑦𝑛 𝑡 . (4) Денежная дюрация отрицательна, что указывает на обратное соотношение между ценой облигации и доходностью облигации. Ниже представлен пример расчета денежной дюрации. Купонная облигация имеет купон 10%, выплачиваемый один раз в год, погашение через 5 лет и доходность к погашению 5%. Цена= PV(CF)× Год CF Доходность PV(CF) Σ[PV(CF)] Год Σ[PV(CF)× Год] Σ/(1+y) 1 100 0,05 95,24 1216,47 95,24 2 100 90,70 181,41 3 100 86,38 259,15 4 100 82,27 329,08 5 100 78,35 391,76 5174,27 4927,88 5 1000 783,53 3917,63 Денежная дюрация равна -4928. 1 Предположим, что доходность повысилась на 1 п.п. Тогда оцениваемое изменение в цен е составит -$4928×0,01 =- $49,28. Если доходность повысилась на 1 п.п. 1 Это реальный наклон! На графиках он, как правило, гораздо более плоский, поскольку масштаб осей делают асимметричным для удобства визуального восприятия. с 0,05 до 0,06, то новая цена будет $1168,49. Тогда реальное изменение в цен е составит -$47,98, что недалеко отстоит от оцениваемого изменения. При использовании денежной дюрации изменение цены измеряется в денежном выражении ($49,28 в примере выше). Поэтому денежная дюрация – не самая удачная мера чувствительности цены облигации к изменению доходности облигации: мы не можем сравнить уровень подверженности риску двух облигаций, если их номинальные стоимости значительно отличаются друг от друга. Для решения это й проблемы мы немного модифицируем денежную дюрацию. Модифицированная дюрация (Modified duration) Для модифицированной дюрации используется формула денежной дюрации, но изменение цены облигации выражается в относительной величине 𝑑𝐵𝑛 𝐵𝑛 : 𝑀𝐷𝑛 = − 𝑑𝐵𝑛 𝐵𝑛 𝐷𝑛 Изменение в цене в % =− =− . 𝑑𝑦𝑛 𝐵𝑛 Изменение в п. п. 𝐷 1 1 𝑀𝐷𝑛 = − 𝑛 = − − 𝐵𝑛 𝐵𝑛 1 + 𝑦𝑛 1 = 𝐵𝑛 1 1 + 𝑦𝑛 𝑇 𝑡 𝐶𝑡 𝑛 𝑡=1 1 + 𝑦𝑛 𝑇 𝑡 =1 𝑡 . 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 (5) Таким образом, в модифицированной дюрации меняется числитель, но не знаменатель. Модифицированная дюрация для стандартизированных облигаций положительна, поскольку в формуле дополнительно появляется знак «минус». Однако при интерпретации модифицированной дюрации следует помнить, что обратное соотношение между ценой облигации и доходностью облигации сохраняется. То есть, положительное значение модифицированной дюрации указывает на понижение цены в процентах при повышении доходности на 1 п.п. Пример (продолжени е): 𝑀𝐷𝑛 = − 𝐷𝑛 𝐵𝑛 =− −4927 ,88 1216 ,47 = 𝟒, 𝟎𝟓. Предположим, что доходность повысилась н а 1 п.п. (= с 5% до 6%). Тогда оцениваемое изменени е в цене сост авит 4,05×0,01 =0,0405=4,05%. То есть, цена понизится примерно н а 4,05%. Дюрация Маколея (Macaulay duration) Дюрация Маколея MCD – это видоизмененная модифицированная дюрация, в которой изменение доходности облигации выражается, во-первых, брутто-ставкой (1 + 𝑦𝑛 ), а, во-вторых, в относительных величинах 𝑑 1 + 𝑦𝑛 𝑀𝐶𝐷𝑛 = − 1 + 𝑦𝑛 2: 𝑑𝐵𝑛 𝐵𝑛 Изменение в цене в % =− , 𝑑 1 + 𝑦𝑛 1 + 𝑦𝑛 Изменение в доходноти в % 𝑀𝐶𝐷𝑛 = − 𝑑𝐵𝑛 𝐵𝑛 𝑑 1 + 𝑦𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑀𝐶𝐷𝑛 = 𝐵𝑛 1 + 𝑦𝑛 = 𝑀𝐷𝑛 1 + 𝑦𝑛 = − 1 1 + 𝑦𝑛 𝑇 𝑡=1 𝑡 𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 1 = 𝐵𝑛 𝑇 𝑡=1 𝐷𝑛 1 + 𝑦𝑛 . 𝐵𝑛 𝑡 𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 . (6) Относительно формулы модифицированной дюрации в формуле дюрации Маколея меняется знаменатель. Относительно формулы денежной дюрации в дюрации Маколея, как и в модифицированной дюрации, дополнительно появляется знак «минус», в результате чего дюрация Маколея для стандартизированных облигаций становится положительной, как и модифицированная дюрация. Однако интерпретация от этого не меняется: дюрация Маколея указывает на понижение цены в процентах при повышении доходности, но не на 1 п.п., а на 1%. Пример (продолжени е): 𝑀𝐷𝑛 = 𝑀𝐷𝑛 1 + 𝑦𝑛 = 4.05 1 + 0.05 = 𝟒, 𝟐𝟓. Предположим, что доходность повысилась на 1% (= это соответствует изменению нетто-ставки с 5% до 6,05%). Тогда оцениваемое изменени е в цен е составит 4,25×0,01=0,0425=4,25%. То есть, цена понизится примерно на 4,25%. Если рассчитывать по нетто-ставке, то изменение н есколько боль ше, чем 1 п.п. Поэтому и понижение будет несколько боль ше, чем в примере с модифици рованной дюраци ей. Давайте посмотрим на формулу (6) с другой стороны: 1 𝑀𝐶𝐷𝑛 = 𝐵𝑛 𝑇 𝑡 =1 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑇 𝑡 = 𝑡 =1 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 = 1 + 𝑦𝑛 𝑡 𝐵𝑛 𝑇 𝑡𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 𝑡 =1 1 = 𝐵𝑛 𝑇 𝑡𝑃𝑉𝑛𝑜𝑟𝑚 𝐶𝑡 𝑛 . 𝑡=1 В формуле, представленной выше, каждое слагаемое под знаком суммы 𝑡 𝐶𝑡 𝑛 1 1+𝑦𝑛 𝑡 𝐵𝑛 разбивается на два компонента: один компонент имеет отношение к денежному 𝐶 потоку ( 1+𝑦𝑡𝑛 𝑛 1 𝑡 𝐵𝑛 ), второй компонент имеет отношение к периодам выплат (t). Первый компонент, по сути, – это будущие выплаты по облигации после двойной трансформации – они взяты в формате текущей стоимости 𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 и нормализованы по цене облигации 𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 2 Следует иметь в виду, что 𝑑 1 + 𝑦𝑛 𝐵𝑛 . 1 + 𝑦𝑛 – это то же самое, что и 𝑑𝑦𝑛 1 + 𝑦𝑛 . Ввиду нормализации сумма всех нормализованных элементов будет равна 1: 𝑇 𝑡 =1 𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 1 = 𝐵𝑛 𝐵𝑛 𝑇 𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 = 𝑡 =1 𝐵𝑛 = 1. 𝐵𝑛 Значит, 𝑃𝑉 𝐶𝑡 𝑛 𝐵𝑛 можно рассматривать как вес 𝑤𝑡 𝑛 , так что 𝑇𝑡=1 𝑤𝑡 𝑛 = 1. Тогда дюрацию Маколея можно рассматривать как взвешенную среднюю величину: 𝑇 𝑀𝐶𝐷𝑛 = 𝑡𝑤𝑡 𝑛 . 𝑡 =1 Это вторая интерпретация дюрации Маколея (на самом деле – это первоначальная интерпретация). Дюрация Маколея – это взвешенное среднее значение сроков до погашения всех выплат по облигации. При такой интерпретации дюрация Маколея получает единицу измерения – количество лет. Пример (продолжени е): 𝑀𝐷𝑛 = 𝑀𝐷𝑛 1 + 𝑦𝑛 = 4,05 1 + 0,05 = 𝟒, 𝟐𝟓. Формальное погашение для облигации – 5 лет. Взвешенное средн ее погашение – 4,25 лет. Очень удобно оценивать рисковые качества купонной облигации именно в терминах взвешенного среднего погашения, а не формального погашения. Это связано с тем, что дата формального погашения указывает на дату последней (пусть и самой большой) выплаты и игнорирует тот факт, что часть выплат наступает до даты формального погашения. На самом деле начальные затраты частично компенсируются уже в течение периода владения купонной облигацией, до даты формального погашения. Чем меньше дюрация Маколея относительно формального срока до погашения, тем более значима частичная компенсация начальных затрат. Поэтому дюрацию Маколея, противопоставляя формально му сроку до погашения, иногда называют фактическим погашением (effective maturity). Для стандартизированной облигации MCD всегда меньше формального срока до погашения T. Исключением является бескупонная облигация, для которой MCD всегда равна T, что четко прослеживается в формуле (6): 1 𝑀𝐶𝐷𝑛 = 𝐵𝑛 𝑇 𝑡 =1 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 = 1 𝑇𝐹𝑉𝑛 𝐵𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑇 = 1 𝑇𝐵 = 𝑇. 𝐵𝑛 𝑛 16 coupon 0% 14 Duration 12 coupon 5% 10 8 coupon 10% 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Maturity Рисунок 3 – Дюрация Маколея для купона различной величины IV Кривизна (выпуклость) Кривизна (выпуклость) представляет собой дополнительную меру чувствительности цены облигации к изменению доходности облигации. Посмотрим на Рисунок 4. Рисунок 4 – Дюрация и кривизна (выпуклость) Дюрация отражает линейный эффект. Это отрицательный наклон кривой, описывающей обратную зависимость цены облигации от доходности облигации. Наклон, оцениваемый в точке Y*, информирует о том, насколько примерно изменится цена. Одна обратная зависимость цены облигации от доходности облигации является нелинейной, как видно из формулы (1). Поэтому вывод, сделанный в точке Y*, будет корректным только в непосредственной близости от точки Y*. Если мы увеличиваем расстояние, оценка изменения цены облигации становится все менее точной, как показано на Рисунке 4. Если бы мы использовали в оценке изменения цены облигации только дюрацию, то это примерно как если бы мы думали, что зависимость между доходностью и ценой линейная! На самом деле дюрация отражает отрицательный наклон, но не отражает положительную кривизну (=выпуклость). Выпуклость отражает нелинейный эффект – кривая является выпуклой, что означает, что цена облигации увеличивается быстрее при падении ставки процента и уменьшается медленнее при возрастании ставки процента. Или же, это означает, что при переходе от одной точки к другой точке наклон (дюрация) не остается неизменной. Выпуклость измеряет скорость изменения наклона (дюрации). Математически, кривизна описывается второй производной функции, которая должна быть положительна, если кривая является выпуклой. Расчет подобным способом дает нам денежную выпуклость (по аналогии с денежной дюрацией). Однако для целей сравнения рисковых качеств купонных облигаций выпуклость рассчитывается по аналогии с модифицированной дюрацией – вторая производная делится на цену: 1 𝜕2 𝐵𝑛 𝐶𝑋𝑛 = . 𝐵𝑛 𝜕𝑦𝑛 2 1 1 1 𝐶𝑋𝑛 = 𝐷𝑛 ′ = − 𝐵𝑛 𝐵𝑛 1 + 𝑦𝑛 1 1 = 𝐵𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑇 2 𝑡 =1 𝑇 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 =1 𝑡 𝑡 + 1 𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 𝑡 . ′ 𝑡 1 = − 𝐵𝑛 𝑇 𝑡 =1 𝑡𝐶𝑡 𝑛 1 + 𝑦𝑛 ′ 𝑡+1 (7) Каким образом можно соединить вместе линейный и нелинейный эффект с тем, чтобы получить более точную оценку изменения цены облигации в ответ на изменение доходности облигации? Для этого надо применить подход на основе аппроксимации рядом Тейлора. Достаточной будет аппроксимации полиномом второй степени, который, очевидно, будет представлять собой параболу (см. Рисунок 5). Рисунок 5 – Аппроксимация полиномом второй степени Ряд Тейлора в общем виде: 𝑓 𝑥 ≈𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑓 ′′ 𝑎 𝑥−𝑎 + 𝑥−𝑎 1! 2! 2 + ⋯. Ряд Тейлора для аппроксимации второго порядка: 𝑓 𝑥 ≈𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 1! 𝑥−𝑎 + 𝑓 ′′ 𝑎 2! 𝑥 − 𝑎 2. Тогда: 𝐵𝑛 𝑦𝑛 ≈ 𝐵𝑛 𝑦𝑛∗ + 𝜕𝐵𝑛 𝑦𝑛 𝜕𝑦𝑛 𝐵𝑛 𝑦𝑛 − 𝐵𝑛 𝑦𝑛∗ ≈ 𝑦𝑛 =𝑦𝑛∗ 𝜕𝐵𝑛 𝑦𝑛 𝜕𝑦𝑛 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛∗ + 1 𝜕2 𝐵𝑛 2 𝜕𝑦𝑛 2 ∆𝑦𝑛 + 1 𝜕2 𝐵𝑛 2 𝜕𝑦𝑛 2 𝑦𝑛 =𝑦𝑛∗ 𝑦𝑛 =𝑦𝑛∗ 𝑦𝑛 =𝑦𝑛∗ 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛∗ 2 ⟹ ∆𝑦𝑛 2 ⟹ ∆𝐵𝑛 1 𝜕𝐵𝑛 1 𝜕2 𝐵𝑛 = ∆𝑦𝑛 + ∆𝑦 2 𝐵𝑛 𝐵𝑛 𝜕𝑦𝑛 2 𝜕𝑦𝑛 2 𝑛 1 = −𝑀𝐷𝑛 ∆𝑦𝑛 + 𝐶𝑋𝑛 ∆𝑦𝑛 2 . (8) 2 Формула (8) позволяет оценить изменение цены облигации в ответ на изменение доходности облигации с учетом как дюрации 𝑴𝑫𝒏 , так и выпуклости 𝑪𝑿𝒏 . Дополнительная литература Campbell, J., Lo, A., MacKinlay, G. The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press, 1997, глава 10, часть 10.1.2. Reilly, F., Brown, K. Investment Analysis and Portfolio Management. 10-е издание, SouthWestern College Pub, 2011, стр. 654-678.