Гидродинамика: основные понятия и определения

ГИДРОДИНАМИКА Основные понятия и определения Гидродинамика – это раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения и взаимодействия жидкости с твердыми телами при её относительном движении. Причинами движения жидкости являются действующие на нее силы: объемные или массовые силы (сила тяжести, инерционные силы) и поверхностные силы (давление, трение). В отличие от гидростатики, где основной величиной, характеризующей состояние покоя жидкости, является гидростатическое давление, которое определяется только положением точки в пространстве, то в гидродинамике основными элементами, характеризующими движение жидкости являются: гидродинамическое давление и скорость движения (течения) жидкости. Гидродинамическое давление р [Па] – это внутреннее давление, возникающее при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке w [м/с] – это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t. Частица жидкости в гидродинамике понимают условно выделенный очень маленький объем жидкости, изменения формы которого при движении пренебрегают. Каждая частичка описывает кривую, которая называется траекторией движения. В общем случае основные элементы движения жидкости р и w для данной точки зависят от ее положения в пространстве (координат точки) и могут изменяться во времени. В результате чего, различают следующие виды движения: установившееся и неустановившееся. Установившееся движение, при котором скорость и давление в каждой данной точке пространства, занятого жидкостью, не изменяется во времени, а являются функциями только её координат. w = f (x, y, z); p= f (x, y, z). Установившееся движение в свою очередь подразделяется на равномерное и неравномерное. Равномерным называется такое установившееся движение, при котором сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае средние скорости по длине потока также не изменяются. Примером равномерного движения является: движение жидкости в цилиндрической трубе, в канале постоянного сечения при одинаковых глубинах. Установившееся движение называется неравномерным, когда распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и постоянными вдоль потока. Примером неравномерного движения может быть движение жидкости в конической трубе или в речном русле переменной ширины. Неустановившееся движение, при котором скорость и давление в каждой данной точке пространства изменяются не только с изменением координат, но и во времени. Неустановившееся движение возникает при изменяющемся гидравлическом сопротивлении и напоре. w = f (x, y, z, τ); p= f (x, y, z, τ). Напорным называется движение жидкости, при котором поток полностью заключен в твердые стенки и не имеет свободной поверхности. Напорное движение происходит вследствие разности давлений и под действием силы тяжести. Примером напорного движения является движение жидкости в замкнутых трубопроводах (например, в водопроводных трубах). Безнапорным называется движение жидкости, при котором поток имеет свободную поверхность. Примером безнапорного движения может быть: движение жидкости в реках, каналах, канализационных и дренажных трубах. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести и за счет начальной скорости. Обычно на поверхности безнапорного потока давление атмосферное. Следует отметить еще один вид движения: свободную струю. Свободная струя это поток, не ограниченный твердыми стенками. Примером может служить движение жидкости из пожарного брандспойта, гидромонитора, водопроводного крана, из отверстия резервуара и т. п. В этом случае движение жидкости происходит по инерции (т. е. за счет начальной скорости) и под действием силы тяжести. Задачей гидродинамики и является определение основных элементов движения жидкости р и w, установление взаимосвязи между ними и законов изменения их при различных случаях движения жидкости. Трудность изучения законов движения жидкости обусловливается самой природой жидкости и особенно сложностью учета касательных напряжений, возникающих вследствие наличия сил трения между частицами. Поэтому изучение гидродинамики, по предложению швейцарского ученого Л. Эйлера, удобнее начинать с рассмотрения невязкой (идеальной) жидкости, т. е. без учета сил трения, внося затем уточнения в полученные уравнения для учета сил трения реальных жидкостей. Метод Эйлера заключается в рассмотрении всей картины движения жидкости в различных точках пространства в определенный момент времени. Этот метод позволяет определить скорость движения жидкости в любой точке пространства в любой момент времени, т. е. характеризуется построением поля скоростей и поэтому широко применяется при изучении движения жидкости. Недостаток метода Эйлера в том, что при рассмотрении поля скоростей не изучается траектория отдельных частиц жидкости. Если в массе движущейся жидкости в данный момент времени t взять какую-либо точку 1 (рис.1), то можно в этой точке построить вектор скорости w1, выражающий величину и направление скорости движения частицы жидкости в данной точке 1 в этот момент времени. В тот же момент времени t можно взять и другие точки в движущейся жидкости, например, точки 2, 3, 4,. ... , в которых также можно построить векторы скоростей w2, w3, w4, выражающие скорость движения других частиц жидкости в тот же момент. Можно выбрать точки 1, 2, 3, 4. . . и провести через них плавную кривую, к которой векторы скоростей будут всюду касательны. Эта линия и называется линией тока. Таким образом, линией тока называется линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости так, что в данный момент времени векторы скорости частиц жидкости, находящихся в этих точках, направлены по касательной к этой линии. В отличие от траектории, которая показывает путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени, линия тока соединяет разные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени t. Через заданную точку в данный момент времени можно провести только одну линию тока. Если в движущейся жидкости выделить весьма малую элементарную площадку, перпендикулярную направлению течения, и по контуру ее провести линии тока, то полученная поверхность называется трубкой тока, а совокупность линий тока, проходящих сплошь через площадку S, образует так называемую элементарную струйку (рис. 2). Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t. При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства: 1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока; 2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен, так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной; 3. скорость и гидродинамическое давление во всех точках поперечного лечения элементарной струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади. Однако вдоль струек величины давления и скорости в общем случае могут изменяться. Поток характеризует совокупность элементарных струек движущейся жидкости, проходящих через площадку достаточно больших размеров, называется потоком жидкости. Поток ограничен твердыми поверхностями, по которым происходит движение жидкости (труба), и атмосферой (река, лоток, канал и т.п.). Таким образом, поток представляет собой совокупность большого числа элементарных струек. Скорость движения отдельных струек в потоке различна, поэтому наблюдается их относительное скольжение, хотя они нигде не перемешиваются друг с другом. Для упрощения выводов, связанных с изучением потока жидкости, вводится понятие о плавно изменяющемся движении жидкости. Плавно изменяющимся называется такое движение жидкости, при котором кривизна струек незначительна (равна нулю или близка к нулю) и угол расхождения между струйками весьма мал (равен нулю или близок к нулю), т. е. практически поток жидкости мало отличается от параллельно-струйного. Это предположение вполне оправдывается при изучении многих случаев движения жидкости в каналах, трубах и других сооружениях. Отметим следующие свойства потока при плавно изменяющемся движении: 1. поперечные сечения потока плоские и всегда расположены по нормали к оси потока; 2. распределение гидродинамических давлений по сечению потока подчиняется закону гидростатики, т.е. гидродинамические давления по высоте сечения распределяются по закону прямой. Это свойство легко можно доказать, если внутри потока выделить частицу жидкости и спроектировать все действующие на нее силы на плоскость живого сечения. Вследствие того, что скорости и ускорения в этом случае будут перпендикулярны сечению, силы инерции в уравнение не войдут; поэтому уравнение равновесия и закон распределения давления в плоскости живого сечения не будет отличаться от такового для жидкости, находящейся в покое; 3. удельная потенциальная энергия (т. е. потенциальная энергия единицы веса жидкости) по отношению к некоторой плоскости сравнения для всех точек данного сечения потока жидкости есть величина постоянная Ещё один параметр Расход потока жидкости (расход жидкости) – количество жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени. Различают объемный Q (измеряется в м3/с), массовый Qm (кг/с) и весовой Qg (Н/с): где V - объём жидкости, протекающий через живое сечение потока, t – время течения жидкости, m – масса жидкости, G – вес жидкости. Между этими расходами существует зависимость: В гидравлике чаще всего используется объемный расход жидкости. Для элементарной струйки, имеющей бесконечную малую площадь поперечного сечения и одинаковую истинную скорость w во всех точках каждого сечения: Объемный расход потока равен сумме элементарных расходов струек: Скорость жидкости в различных точках живого сечения различна, и точный закон изменения скорости по сечению потока не всегда известен, поэтому вычисление интеграла в ряде случаев затруднительно. Для упрощения расчетов вводят понятие средней скорости потока для данного сечения: ср Средняя скорость потока жидкости wср называется такая одинаковая для всех точек живого сечения скорость движения жидкости, при которой через это живое сечение проходит тот же расход Q, что и при действительных скоростях движения жидкости. Уравнение неразрывности потока Рассмотрим поток несжимаемой жидкости в герметичной трубе (см. рис. 3) Рис. 3 Расходы в сечениях 1-1 и 2-2 могут соотноситься следующим образом: Q1 > Q2 Q1 < Q2 Q1 = Q2 Рассмотрим первое соотношение: оно означает, что между первым и вторым сечением количество (объем) жидкости уменьшается, т.е. произошел отток жидкости через герметичную трубу, что невозможно. Поэтому первое утверждение ложно. Аналогичное рассуждение проведем для второго соотношения и получим тот же результат. Поэтому правдой, истиной является третье соотношение: Q1 = Q2, т.е. Q = const, или Данное выражение представляет собой уравнение неразрывности потока для несжимаемой жидкости в интегральном виде. Из этого уравнения следует, что расход жидкости не меняется, а в зависимости от величины сечения потока меняется средняя скорость жидкости. Режимы течения жидкости. Число Рейнольдса Если пустить краску в стеклянную трубку с водой (см. рис. 1), то окажется, что при малой скорости (расходе) жидкости краска сохраняет компактность струи на всем протяжении потока. При большой скорости (расходе) жидкости струя краски размывается по потоку, перемешиваясь с водой. Рис. 1 Режим течения, соответствующий левому рисунку, называется ламинарным, правому — турбулентным. Режимы течения Ламинарный — течение слоистое, Турбулентный — течение с без перемешивания слоев жидкости, без интенсивным, беспорядочным пульсаций скоростей и давлений (от перемешиванием жидкости, латинского пульсациями скоростей и давлений слоистый) слова «ламинус» — с (от латинского слова «турбулентус» — беспорядочный) Измерение скоростей жидкости по поперечному сечению потока показало, что эпюра местных, локальных скоростей при ламинарном режиме представляет собой параболу, а при турбулентном режиме близка к прямоугольннику (см. рис. 2). Эпюра скоростей при ламинарном режиме Эпюра скоростей при турбулентном режиме Рис. 2 Экспериментально установлены соотношения для местной, локальной скорости w и средней по потоку скорости υ: w max  w w max  2·w Для идентификации режима течения при расчетах используется безразмерное число Рейнольда Re: (1) Если труба круглая, то w =4Q/πd2, тогда число Re:  Установлено, что для круглых труб числа Рейнольда для разных режимов течения находятся в следующих пределах: Ламинарный режим Турбулентный режим 0  Re  2320 Re  2320 Число Re =2320 называется критическим для круглых труб Reкр. Любое возмущение потока снижает величину Reкр. Так, для гибких резиновых шлангов Reкр=1600, для концентрических отверстий Reкр=1100, для проходных сечений клапанов Reкр=20÷100. Последнее означает, что в проходных сечениях клапанов практически не наблюдается ламинарный режим. Разделение режимов течения по числу Рейнольда позволяет выбрать расчетный путь при проектировании гидравлических устройств, т.к. многие расчетные формулы подразделяющиеся на соответствующие тому или иному режиму. Уравнение Бернулли Уравнение Бернулли является вторым основным уравнением гидродинамики, которое устанавливает связь между скоростью и давлением в потоке жидкости. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Для вывода уравнения возьмем элементарную струйку несжимаемой жидкости (рис. 3) и выберем на ней два произвольных сечения 1 – 1 и 2 – 2, нормальных к линиям тока. Будем считать движение идеальной жидкости расход Рис. 3 установившемся, жидкости неизменным. Q Силы на т.е. объемный участке внутреннего 1 – 2 трения отсутствуют, жидкость находится только под воздействием массовых сил (силы земного тяготения) и силы гидромеханического давления. Расстояния от центров тяжести сечений до произвольной горизонтальной плоскости сравнения равны z1 и z2. На площади живых сечений S1 и S2 в их центрах тяжести действуют давления p1 и p2, скорости жидкости в соответствующих сечениях w1 и w2. Определим энергию жидкости в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Каждая частичка жидкости в элементарной струйке, имеющая массу m, обладает запасом энергии E. Полная энергия складывается из потенциальной и кинетической энергий: Потенциальная энергия каждой частицы потенциальной энергий положения и давления: жидкости равна сумме В гидродинамике больший интерес представляет удельная энергия жидкости, которая представляет собой отношение энергии к единице веса этой жидкости. Для рассматриваемых сечений элементарной струйки можно написать: Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения удельной энергии для движущийся жидкости. Так как сечения 1 – 1 и 2 – 2 взяты произвольно и отсутствуют силы сопротивления (трения) движения следует, что: Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении идеальной жидкости заключается в том, что полная удельная энергия вдоль струйки остается неизменной. В результате чего, можно сделать вывод, что для горизонтального потока справедливо положение: где больше скорость, там меньше давление и, наоборот, где больше давление, там меньше скорость. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости Движение реальной вязкой жидкости характеризуется наличием внешних и внутренних сил трения, на преодоление которых расходуется часть энергии жидкости. Поэтому удельная энергия струйки реальной жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а уменьшается по течению. Энергия, теряемая жидкостью, не исчезает бесследно, а превращается в теплоту, которая рассеивается движущейся жидкостью. Уравнение Бернулли применительно к тем же двум сечениям для элементарной струйки реальной жидкости принимает вид: где - потери удельной энергии на участке между сечениями 1 и 2. Для практических расчетов уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости распространяют на целый поток реальной жидкости, состоящий из множества струек. При этом учитывают, что поток реальной жидкости, ограниченный стенками, имеет неравномерное распределение скоростей по сечению и потери энергии (напора) вдоль потока. Неравномерность распределения скоростей по сечению движущейся вязкой жидкости объясняется торможением потока вдоль стенок из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Использование для расчета удельной кинетической энергии средней по сечению скорости wср приводит к ошибке, которая может быть скорректирована введением поправочного коэффициента α (коэффициента Кориолиса). При течении в круглой трубе α ≈ 1 при турбулентном режиме и α ≈ 2 при ламинарном режиме. С учетом сказанного уравнение Бернулли для потока реальной жидкости примет вид: Рассмотрим поток жидкости в расширяющимся горизонтальном (для простоты) трубопроводе (см. рис. 4). Установим в сечения 1-1 и 2-2 трубы пьезометры и трубки Пито. Последние предназначены для измерения скорости жидкости. Частицы ее, попадая в трубку Пито, тормозятся и отдают свою кинетическую энергию столбу жидкости в трубке. Поэтому подъем жидкости в трубке Пито больше чем в пьезометре, на величину кинетической энергии. Рис. 4 Картина, показанная на рис. 4, математически описывается уравнением Бернулли: и – удельная потенциальная энергия положения или геометрический напор, м; и – удельная потенциальная энергия давления или пьезометрический напор, м; и – удельная кинетическая энергия или скоростной напор, м; и – полная удельная энергия жидкости или полный напор, м; – удельная энергия (напор), затраченная на преодоление сил сопротивления между сечениями 1 и 2 На рис. 4 линия 1 — линия изменения полной удельной энергии жидкости или линия полного напора, или напорная линия. Для реальной жидкости эта линия всегда падает в сторону движения этой жидкости. Для идеальной жидкости (жидкости, которая абсолютно не сжимаема, не расширяется при нагреве, вязкость которой равна нулю) затраты на преодоление сопротивления движению жидкости равны нулю и поэтому линия 1 принимает горизонтальное положение. Линия 2 на рис. 4 — линия изменения потенциальной энергии жидкости или пьезометрическая линия, характеризует для горизонтальной трубы процесс изменения давления в ней. Положение этой линии определяется в первую очередь изменением кинетической энергии (скорости) жидкости, а так же величиной потерь энергии. Следует иметь в виду, что на рис. 4 отчетливо наблюдается рост давления при уменьшении скорости жидкости. Но если увеличить потери какимто образом, то давление может остаться постоянным или даже уменьшиться во втором сечении. Все перечисленные свойства линий 1 и 2, далее – энергетических линий, применяются при построении этих линий для элементарных участков трубопровода, что позволяет проанализировать процесс преобразования энергии при течении жидкости. Рассмотрим построение энергетических линий для некоторых видов трубопроводов. На рисунке 5 – труба постоянного диаметра, по которой течет реальная жидкость, например, вода. Линию (линию 1) полной удельной построим энергии произвольно с наклоном в сторону течения жидкости вследствие наличия потерь. Отложим в первом сечении от линии 1 вниз какое-то Рис. 5 значение кинетической энергии. Но так как диаметр трубы не меняется, не меняется скорость жидкости υ=4Q/πd2, не меняется кинетическая энергия этой жидкости. Следовательно, линия 2 расположится параллельно линии 1, что и показано на рисунке. Если рассмотреть течение жидкости в изогнутой трубе постоянного диаметра (см. рис. 6), то можно видеть, что характер преобразования энергий аналогичен такому же процессу в прямой трубе, кроме одного: потери несколько возрастут (т.е. наклон линий будет больше, чем на рис. 5). При течении жидкости в расширяющейся трубе (рис. 7) линия 1 так же имеет наклон в сторону течения жидкости, но наклон этот больше, чем для прямой трубы постоянного Рис. 6 диаметра вследствие увеличения потерь. Кроме того, линия 1 необязательно должна быть прямой линией, но для простоты построим ее в виде этой прямой. Отложим в первом сечении произвольное значение кинетической энергии, а во втором сечении уменьшим величину этой энергии вследствие уменьшения скорости жидкости. Тогда получим подъем линии 2, т.е. рост давления, что происходит из-за уменьшения скорости, несмотря на потери энергии. Но в общем случае линия 2 может быть и горизонтальной, и иметь наклон вниз, что зависит от соотношения потерь и результата преобразования Рис. 7 кинетической энергии в потенциальную энергию давления. Но и в том и в другом случае линии 1 и 2 будут сходится, характеризуя уменьшение кинетической энергии (скорости) жидкости. При течении жидкости в сужающейся трубе (см. рис. 8) энергетические линии расходятся, что характеризует рост скорости жидкости. Давление в этом случае падает как из-за потерь, так и из-за преобразования потенциальной энергии жидкости в кинетическую. Рис. 8 Построение энергетических линий позволяет глубоко осознать преобразование энергий, происходящих при движении жидкости. По энергетическим линиям легко определить направление движения жидкости, представить форму трубы, определить на каком участке трубы потери больше и почему и т.д.