Функция одной переменной

Функция одной переменной Пусть даны два множества действительных чисел Х и Y. Числовой функцией у = f (х) называется правило, которое каждому числу хХ ставит в соответствие единственное число уY. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, переменную у – зависимой переменной или функцией, множество Х называется областью определения D(f), множество Y называется областью изменения или множеством значений функции Е(f). Наряду с обозначениями функции у = f(х) используются и другие, в частности у = у(х). Значение функции для фиксированного значения аргумента x 0 будем обозначать y 0 = f ( x 0 ) или y 0 = y( x 0 ). Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции у выражено в явном виде (изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в явном виде: у = f (х). Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции у не выражено в явном виде (не изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в неявном виде уравнением: F(х,у) = 0. При параметрическом задании функции в декартовых координатах значение у и ее аргумента х задаются как функции от третьей переменной  x  x(t ) . y  y ( t )  величины так называемого параметра t из множества Т:  Теория пределов. Предел функции. Число А называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к a, если для любого >0 существует число N()>0 такое, что при 0  x  a  N   выполняется неравенство f ( x)  A   . В этом случае пишут lim f ( x)  A . xa Аналогично, число А называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к  , если для любого >0 существует число M()>0 такое, что при  x>M() выполняется неравенство f ( x)  A   . В этом случае пишут lim f ( x)  A . x В дальнейшем в записи x  a под а будем подразумевать все возможные значения предельного значения: x  , x  , x  x0 . При вычислении пределов функций необходимо знать основные теоремы о пределах: lim C  C , где C – постоянная; xa lim C f ( x) = „lim f ( x) , где C – постоянная; xa xa если lim f ( x) и lim g ( x) существуют, то xa xa lim  f ( x)  g ( x)= lim f ( x)  lim g ( x) , xa xa xa lim  f ( x)  g ( x)= lim f ( x)  lim g ( x) , xa xa xa f ( x) f ( x) lim x a lim  , если lim g ( x)  0 , x a g ( x ) xa lim g ( x) x a g ( x) lim  f ( x) xa    lim f ( x) xa x a lim g ( x ) . Кроме того, будем пользоваться тем, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство:   lim f ( x)  f lim x xa xa . Функция y = f(x) называется бесконечно малой при x  a , если ее предел при x  a равен нулю. Например, бесконечно малыми являются 1 (m>0) при x   . xm Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x  a , если lim f ( x)   . Если бесконечно большая функция отрицательна, то говорят, функции y  x (m>0) при x  0 и y  m xa что она стремится к   , и пишут lim f ( x)   . Например, бесконечно xa большими являются функции y  x m (m>0) при x   и y  1 (m>0) m x при x  0 , а также многочлен Pn ( x ) как при x   , так и при x   . Функция y = f(x) называется ограниченной на некотором множестве M значений аргумента x, если найдется сколь угодно большое число С>0, такое, что для всех x  M выполняется соотношение f ( x)  C . Например, функции y  sin x и y  cos x являются ограниченными на множестве действительных чисел, так как sin x  1 и cos x  1 . Отметим, что сумма, разность и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Произведение бесконечно малой функции при x  a на функцию, ограниченную при x  a , а значит, и на число, является функцией бесконечно малой. Частное от деления функции, бесконечно малой при x  a , на функцию, предел которой при x  a отличен от нуля, есть функция бесконечно малая. Если функция f(x) является бесконечно большой при x  a , то функция 1 – бесконечно малая при x  a . f ( x) Если функция f(x), не обращающаяся в нуль, является бесконечно малой при x  a , то функция 1 – бесконечно большая при x  a . f ( x) В простейших случаях вычисление предела сводится к подстановке в выражение, стоящее под знаком предела, предельного значения аргумента. Прежде чем перейти к непосредственному вычислению предела, часто приходится проводить преобразования данного выражения. Такие преобразования будем называть раскрытием неопределенности, а сами неопределенности классифицируем следующим образом: - вида 0  0  – числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю; - вида      – числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к бесконечности; - вида 0   – один из множителей стремится к нулю, другой стремится к бесконечности; - вида    – уменьшаемое и вычитаемое одновременно стремятся к бесконечности;  - вида 1 – основание степени стремится к единице, а ее показатель стремится к бесконечности; - вида 0 – основание и показатель степени одновременно стремятся к нулю; - вида  – основание степени стремится к бесконечности, а ее показатель стремится к нулю. Отметим, что при вычислении пределов, также как и при решении других задач, возможно использование подстановок. В этом случае необходимо определить предельное значение новой переменной. В последующих задачах показывается, какие приемы обычно используются при вычислении пределов.       3x 2  2 x  7 Пример 1. Найти lim . 2 x1 2x  4 Решение. 3x 2  2 x  7 3  12  2  1  7 4 4 lim  lim  lim  . 2 2 x 1 x 1 x 1 3 2x  4 2 1  4 3 Подставляя в выражение предельное значение аргумента, убеждаемся в отсутствии какой-либо неопределенности и вычисляем предел непосредственно. x3  8 Пример 2. Найти lim . x 2 4  x 2 Решение.  x  2 x 2  2 x  4 x 3  8  0  x  2 x 2  2x  4 lim  lim  lim x2 4  x 2  0   x2 2  x 2  x  x2  2  x x  2 =  x   lim x 2 2   2 x  4 22  2  2  4    3. 2  x  22 . 0 Имеем в наличии неопределенность вида   . Раскладываем числитель и 0 знаменатель на множители, применяя формулы разности кубов и разности квадратов; проводим сокращение на (x-2). Убеждаемся в раскрытии неопределенности и вычисляем предел непосредственно, подставляя в полученное выражение предельное значение аргумента. x3  x 2  x  1 Пример 3. Найти lim . x1 x3  x 2 Решение.  x  1 x 2  1 x 3  x 2  x  1  0 x 2 x  1  x  1  lim  lim  lim x 1 x 1  0   x1 x3  x2 x 2 x  1 x 2 x  1  = lim x x 1 2  1 x2 lim 22  1 x 1 2 2   3 . 4 0 Имеем в наличии неопределенность вида   . Раскладываем числитель и 0 знаменатель на множители, применяя группировку в числителе; проводим сокращение на (x-1). Неопределенность раскрыта – вычисляем предел непосредственно. 2  1   2 . x3 x  3 x  4 x  3   Пример 4. Найти lim  Решение. 2  1  lim   2       x 3 x  3 x  4x  3    1 2  1  lim     lim  x  1  2    0   lim  x 3 x  1 x 3 x  3 x 3  x  1 x  3    x  1 x  3        1 1  . 3 1 2 При x=3 знаменатели обеих дробей обращаются в нуль, т.е. являются бесконечно малыми, но тогда сами дроби, обратные к бесконечно малым, являются бесконечно большими. Следовательно, имеем неопределенность вида   . Через приведение к общему знаменателю сводим выражение к одной дроби и получаем неопределенность вида 0  0  . Проводим сокращение на (x-3), убеждаемся в раскрытии неопределенности и вычисляем предел непосредственно. 1   1  2 . x  x  1 x  3  Пример 5. Найти lim  Решение. 1   1  lim   2   0  0  x   x  1 x  3  1 1  lim 2  0  0  0. x  x  1 x  x  3 Поскольку любой многочлен при x   есть бесконечно большая функция,  lim каждое из слагаемых, являясь величиной обратной к бесконечно большой, есть функция бесконечно малая, а значит, имеет пределом нуль. Получаем результат, воспользовавшись теоремой о пределе суммы двух функций. С другой стороны, тот же результат можно было достигнуть, используя теорему о сумме двух бесконечно малых. Заметим, что результат не изменится при изменении предельного условия на x   . x3  2x  8 Пример 6. Найти lim 4 . x x  4 x 2  3 Решение. 1 2 8  3 4 x  2x  8    x x x =0  0  0  0. = = lim 4 lim x x  4 x 2  3    x  4 3 1 0  0   1 2  4 x x Отношение двух многочленов при x   представляет собой отношение   бесконечно больших функций. Значит, имеем неопределенность вида    . 3 Если x   , то вычисление предела непосредственно невозможно. В таких случаях необходимо через преобразования выйти на функции бесконечно малые, которые затем в пределе можно заменить на нули. Для этого числитель и знаменатель дроби делим почленно на x 4 (старшая степень аргумента в выражении) и получаем бесконечно малые при x   функции 1 2 8 4 3 , , , , . Заменяя каждую из бесконечно малых функций x x3 x 4 x 2 x 4 на нуль, вычисляем предел непосредственно (строго говоря, применяем теорему об отношении функции бесконечно малой к функции, предел которой отличен от нуля). Заметим, что результат не изменится при изменении предельного условия на x   . x5  x3  2 Пример 7. Найти lim 2 . x x  x  4 Решение. 1 2  2 5 1  0  0 1  x  x  2   x x = = =    . lim 2 lim    x 1 x x  x  4 1 4 0  0  0  0    x3 x 4 x5   Здесь также имеем неопределенность вида    . Используем тот же метод, 5 3 1 что и в предыдущем примере: проводим почленное деление на старшую степень аргумента x 5 . Каждая из полученных после этого дробей, являясь бесконечно малой, стремится к нулю. Тогда выражение, обратное к полученному под знаком предела, является функцией бесконечно малой. Следовательно, выражение, стоящее под знаком предела, есть функция бесконечно большая и имеет пределом бесконечность, знак которой определим, анализируя знаки бесконечно больших исходного выражение в числителе и знаменателе: при x   многочлены числителя и знаменателя стремятся к   , а значит, и частное будет иметь знак плюс. Заметим, что при изменении условия на x   числитель будет стремиться к   . Результат, оставаясь бесконечно большим, будет уже величиной отрицательной, т.е. ответом в этом случае будет   . 3x 3  2 x 2  4 Пример 8. Найти lim . x 7  5 x  4 x 3 Решение. 2 4  x x3  3  0  0 3x 3  2 x 2  4    lim 3 lim    .  5    x 7 x 7  5 x  4 x 3   4 4  2 4 3 x x 3 Имеем неопределенность вида      . Проводим почленное деление на старшую степень x 3 . Заменяем все полученные бесконечно малые их предельным значением, т.е. нулями. Отмечаем, что в этом случае неопределенность отсутствует; вычисляем предел непосредственно. Заметим, что результат не изменится при изменении условия на x   . Обобщая решения последних трех примеров, можно прийти к выводу: предел отношения двух многочленов при x   , т.е. Pn ( x) an  x n  an1  x n1    a1  x  a0 , равен lim  lim m 1 x  Q ( x) x  b  x m  b  x    b  x  b m m m 1 1 а) нулю, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n < m); б) бесконечности, если степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе (n > m); знак бесконечности может быть получен через анализ слагаемых старшего порядка в числителе и знаменателе; в) отношению коэффициентов при старших степенях неизвестной, т.е. an , если степени многочленов в числителе и знаменателе равны bm (n = m). Два замечательных предела При вычислении пределов трансцендентных функций часто используются формулы, называемые первым замечательным пределом: sin x 1 x 0 x lim и вторым замечательным пределом: lim 1  x  x0 Отметим, что с неопределенность вида 1 x x  1  e или lim 1    e . x  x  помощью первого из них раскрывается 0  , а с помощью второго – вида 1 .  0  Как следствия из замечательных пределов, отметим справедливость sin f ( x)  1; f ( x )0 f ( x) следующих равенств: lim lim 1  f ( x)  f ( x )0 1 f ( x)  1    e или lim 1  f ( x )  f ( x)   f ( x)  e. sin 3x . x 0 x Пример 1. Найти lim Решение. 3sin 3x sin 3x sin 3x  0   3 1  3 ; =    lim = 3 lim x 0 x 0  0  x0 3x 3x x sin t sin 3x  0  sin t  3 1  3 . б) lim =    lim = 3 lim t 0 x 0  0  t0 t t x а) lim 3 Имеем неопределенность вида 0  0  . Сходство данного выражения на вид первого замечательного предела не должно вводить в заблуждение, все-таки это не одно и то же: в знаменателе дроби стоит выражение, отличное от выражения, стоящего под знаком синуса. Добиться общего вида первого замечательного предела можно двумя способами: a) домножив и разделив нашу дробь на 3, получим в знаменателе то же выражение, что и под знаком синуса; б) t 3 через подстановку 3x  t  x  ; x  0  t  0 выходим на формулу первого замечательного предела. 5x . x0 tg 4 x Пример 2. Найти lim Решение. t t 5 1 5 cos t 5 limcos 5x  0  5 t  cos t 5 4 t 0  5 lim lim = = lim = lim =  =   . t 0 x 0 sin t 4 1 4 tgt 4 t 0 sin t 4 t  0 sin t 4 tg 4 x  0  lim t 0 t t 0 Имеем неопределенность вида   . Вводим новую переменную 0 t sin t 4 x  t  x  ; x  0  t  0 . Заменяем tgt на отношение . 4 cos t Переносим множитель t в знаменатель и применяем теорему о пределе частного. arcsin 7 x . x 0 x Пример 3. Найти lim Решение. t 1 1 arcsin 7x  0  1 7 lim 7  =    lim = = = lim 7   7. t  0 sin t x 0 sin t x 1  0  t0 sin t lim t 0 t t 7 Имеем неопределенность вида arcsin 7 x  t  sin t  7 x  x  0  0  . Вводим новую sin t ;x  0  t  0. 7 переменную Переносим множитель t в знаменатель и применяем теорему о пределе частного.  x  Пример 4. Найти lim  x  sin 1 . x Решение. 1  1  lim  x  sin     0  lim   sin t   lim sin t  1. t 0 t x  x   t 0 t  Имеем неопределенность вида   0. Вводим новую переменную 1 1 t   t  ; x    t  0 . Получили первый замечательный предел. x x sin x . x  x Пример 5. Найти lim Решение. sin x 1   lim   sin x   0 . x  x  x x   lim Обратим внимание на условие предела: x   . В данном случае формулой первого замечательного предела пользоваться нельзя. Неприменима здесь и теорема о пределе частного, т.к. предел числителя не существует. Представим нашу дробь в виде множителей и заметим, что первый из них 1 является функцией бесконечно малой, т.к. lim  0 , а второй – функцией x x ограниченной на множестве действительных чисел, т.к. sin x  1. Применяя теорему о произведении бесконечно малой функции на функцию ограниченную, приходим к заключению, что под знаком предела стоит функция бесконечно малая и, следовательно, имеет пределом нуль. 1  cos 4 x . x 0 x2 Пример 6. Найти lim Решение. sin 2 t 1  cos 4x  0  2 sin 2 2 x sin 2 t  2 lim = = = = lim 2  4 lim 2 2  0  lim t0 x 0 t 0 x 0 x2 t x2  t    2 2 sin t  sin t sin t  sin t sin t   2  8   lim  8  1  8. = 8 lim = = 8 lim  lim    t 0  t 0  t 0 t  t t  t t 0 t 0 Имеем неопределенность вида   . Применив тригонометрическую формулу 0 2 1  cos 2  2 sin  , получим в числителе синус. Вводим новую переменную t  2 x  x  t ; x  0  t  0. 2 Применяя теорему о пределе произведения, замечательный предел и вычисляем результат.  Пример 7. Найти lim 1  x   выходим на первый 2x 3  . x Решение. 2x 1 6 3 3 2      e6 . t t lim 1  1  lim 1  t = = lim 1  t        x   t 0  t 0  x Имеем неопределенность вида 1 . Вводим новую переменную:     t 3 3  x  ;x  t 0 x t . После замены преобразуем выражение таким образом, чтобы в основании степени появился второй замечательный предел. Используя его, получаем результат. 3x  x  Пример 8. Найти lim   . x   2  x Решение.  x  lim   x  2  x   3x  x  22  1   lim   x   2 x  3x 2    lim 1   x   2 x  lim 1  t  6  t 0  lim 1  t  1  t  6 t 0    6 t  lim 1  t  6 t 0 6 6 t 3x  2  lim 1  t 3 2 t   t 0  1    lim  1  t t  t 0   6  1   t      lim 1  t  lim 1  t  (1 + 0)–6  (e) –6 = 1  e–6 = e–6.  t 0 = t 0   При x   основание степени стремится к единице, а показатель – к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида 1  , что говорит о необходимости использования второго замечательного предела. Для его получения выделяем как слагаемое единицу в основании степени, как целую 6 часть стоящего там выражения. Второе слагаемое в основании принимаем за новую переменную: 2 2 t  2t  tx  2  tx  2t  2  x  2  ; x    t  0 . 2 x t Применяя формулы, регламентирующие действия над степенями, разбиваем наше выражение на два множителя и применяем теорему о пределе произведения. Вычисляя первый из пределов непосредственно, как не содержащий неопределенности, и выходя во втором на замечательный предел, получаем результат. x  x  Пример 9. Найти lim   . x  2 x  3   Решение.   x   1  1 1  lim           0. x  2 x  3 2      2  x Данный предел не содержит неопределенности, т.к. основание степени имеет 1 пределом не единицу, а число . При показателе, стремящемся в   , 2 степень с основанием, модуль которого меньше единицы, является бесконечно малой функцией, а следовательно, имеет пределом нуль. Числовые последовательности. Предел последовательности Функция y = f(n), областью определения которой является множество натуральных чисел N, называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью y n  , где y n  f ( n ) – n-й член последовательности или общий член последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности y n  , если для любого положительного сколь угодно малого числа  найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство yn  A   . Символическая запись: lim yn  A . n Частным случаем последовательности являются прогрессии. Общий член арифметической прогрессии: an  a1  d (n  1) . Характеристическое свойство арифметической прогрессии: an1  членов арифметической прогрессии: an  an 2 . Сумма первых k 2 S k  a1  a2    ak  a1  ak k  2a1  d (k  1) k 2 2 . Общий член геометрической прогрессии: b n  b1  q n1 , где b 1  0, q  0 . Характеристическое свойство геометрической прогрессии: bn1  bn  bn 2 . Сумма первых k членов геометрической прогрессии: b1 1  q k  . S k  b1  b2    bk  1 q Для геометрической прогрессии q  1 и сумма S  бесконечно убывающей b1 . 1 q n1  1 1 1   1  Пример 1. Найти lim 1       . n1  n 2 4 8 2   Решение.   1 n  1  1      n 1  1 1 1   1   2   1  1  0 2   = lim 1       lim   .   n 1 n n  1 3 2 4 8 2 3   1 2 2 Комментарий. Замечаем, что слагаемые в сумме, стоящей под знаком предела, образуют геометрическую прогрессию: n 1 1  1 b n   1     , b1  1, q   . 2 2 Применяем формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии. Отмечаем, что степень, показатель которой n   , имеет основание, модуль которого меньше единицы, а значит, сама степень как функция бесконечно малая стремится к нулю. Заменяя ее в пределе на нуль, вычисляем результат. 1  3  5  7    2n  1  . n2  Пример 2. Найти lim  n Решение. 2  1  2(n  1) n 2  2n  2  n  1  3  5  7    2n  1  2 lim   lim lim  2  n n  n  n 2n 2 n2  2n  n   lim 1  1 . = lim n  2n 2 n  Замечаем, что слагаемые в сумме, находящейся в числителе выражения, стоящего под знаком предела, образуют арифметическую прогрессию: a n   1  2(n  1)  2n  1, a1  1, d  2 . Применяем в числителе формулу для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии. Упрощая полученное выражение, сокращаем дробь на множитель n 2 и получаем под знаком предела константу. А значит, вычисляемый предел равен самой константе. 5n  8n Пример 3. Найти lim n1 . n 5  8n1 Решение.  5n  8  n  1 8  n n  5   1  8 1 1 01 1 = = . lim    n  1 n 1 n  5 8 8  1 8    5 8 n 1  n 1  1   1 8   8 Каждая из степеней под знаком предела является бесконечно большой. Для выхода на бесконечно малые вынесем в числителе и знаменателе за скобки степени с наибольшим основанием. В результате этого получаем степени, n n 1  5  5 которые при n       0,    0 . Заменяя эти бесконечно малые  8  8 на нули, вычисляем результат. lim n  5n  8 n = lim 5n 1  8 n 1 n Пример 4. Найти lim n  n 2  sin n! . n3  3 Решение.  n2  n 2  sin n!  sin n ! = 0. = lim lim  3 3 n  n  n 3  n 3 Теорема о пределе частного здесь неприменима, т.к. предел числителя не существует. Представим нашу дробь в виде множителей. Заметим, что n2 первый из них является функцией бесконечно малой, т.к. lim 3  0, а x  n 3 второй – функцией ограниченной на множестве действительных чисел, т.к. sin n!  1 . Применяя теорему о произведении бесконечно малой функции на функцию ограниченную, приходим к заключению, что под знаком предела стоит функция бесконечно малая и, следовательно, имеет пределом нуль. n! . n ( n  1)!n! Пример 5. Найти lim Решение. n! n! n!  lim  lim  lim 1  0 . n  n!( n  1)  n! n  ( n  1)! n! n  n!( n  1  1) n  n В знаменателе дроби имеем разность бесконечно больших, т.е. неопределенность вида    . Учитывая, что факториал может быть представлен как lim n  1!  n  1  n  n  1  n  23  2  1  n  1  n!, выносим в знаменателе за скобки n! и сокращаем дробь на n!. Оставшееся выражение, являясь бесконечно малой функцией, имеет пределом нуль. основная литература: 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х томах. Т.1 -13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 608 с. Т.2 13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с. Т.3 – 10-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань». стер 2019. 656 с. 2. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А. Курс математики для технических высших учебных заведений. М.: МГИУ, 2012. 400 экз. https://e.lanbook.com/ ГМ курс 3. Миносцев В.Б., Мартыненко А.И., Ляховский В.А., Зубков В.Г. Курс высшей математики: Учебное пособие. Часть 1.М.: МГИУ, 2007; Часть 2.М.: МГИУ, 2007. Часть 3. М.: МГИУ, 2011. 400 экз. https://e.lanbook.com/ дополнительная литература: 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах. М.: Интеграл - Пресс, 2009. 180 экз.