Функция и ее свойства. Множество и операции над ними. Числовые множества

ЛЕКЦИИ РАЗДЕЛ: «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 1. Множество и операции над ними. Числовые множества Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих некоторым общим свойством. Множества и их элементы обозначают обычно буквами латинского алфавита: множества – прописными , их элементы – строчными . Если элемент принадлежит множеству , то пишут , если не принадлежит множеству , пишут . Если множество состоит из элементов , то пишут . Если множество задается указанием характерного свойства Р(x) его элементов, это записывают так: . Определение 1. Множества и называется равными, если каждый элемент множества является элементом множества и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества . Равенство множеств и обозначают так: . Определение 2. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Если – подмножество множества , но , то пишут . Запись , означает, что или , или . В частности, для любого множества А имеет место соотношение: . Будем рассматривать всевозможные подмножества одного и того же множества, которое назовем основным или универсальным. Обозначим универсальное множество буквой . Определение 3. Объединением множеств называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или : Операция объединения множеств подчиняется коммутативному и ассоциативному законам: Очевидно, что Определение 4. Пересечением множеств называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно: . Операция пересечения множеств подчиняется коммутативному и ассоциативному законам: Очевидно, что Операции объединения и пересечения множеств подчиняются дистрибутивному закону (закон группировки, правило вынесения за скобки): Определение 5. Разностью двух множеств называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат . Очевидно, что , если Определение 6. Разность называется дополнением множества до универсального множества и обозначается : . Очевидно, что , , , . Пример1. Пусть даны два множества Найти , , , . Решение. ; ; ; . В математическом анализе изучаются числовые множества – множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Натуральные числа () – это множество чисел . Сумма и произведение натуральных чисел является натуральным числом. Целые числа () – это множество чисел, состоящее из натуральных чисел, числа 0 и чисел, противоположных натуральным числам. Таким образом, Сумма, произведение и разность двух целых чисел является целым числом. Рациональные числа () – это множество чисел, состоящее из чисел вида , где . Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) двух рациональных чисел является рациональным числом. Действительные числа () – это множество чисел, состоящее из рациональных чисел и иррациональных чисел. Иррациональные числа () невозможно представить отношением двух целых чисел, оно записывается бесконечной непериодической дробью, но к нему удается приблизится с любой степенью точности как сверху, так и снизу, рациональными числами. Если иррациональное число есть корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (например, ) то число называют алгебраическим, в противном случае трансцендентным (например, . Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) двух действительных чисел является действительным числом. Действительные числа принято изображать точками на прямой (числовой прямой). . Бесконечное множество называют счетным, если его элементы, можно расположить, не пропуская ни одного из них, в виде последовательности, и несчетным, если сделать это невозможно. Множества счетны. Множества несчетны. В процессе изучения математического анализа часто приходится иметь дело со следующими подмножествами множества действительных чисел: – интервал – отрезок – бесконечный справа интервал – бесконечный слева интервал 2. Понятие функции, ее свойства Пусть – множества произвольной природы. Определение 7. Если поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция (отображение) с множеством значений . Записывают: где – закон, осуществляющий соответствие. Называют: – область (множество) определения функции, – аргумент (независимая переменная), – область(множество)значений, – зависимая переменная (функция). Определение 8. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами График функции будем также называть «кривой Функция может быть задана различными способами, наиболее часто применяются следующие четыре (табл.1). Таблица 1. Способ Описание Пример Аналитический С помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести , над чтобы получить Функции могут быть заданы: – явно , например, или с помощью нескольких формул: – неявно , например, Графический С помощью графика ЭКГ у пациента, показания осциллографа Табличный В виде таблицы содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции . Таблица выигрыша в лотерею, таблица значений Пуассона и т.д. Словесный С помощью естественного языка Игреку равно целая часть от икс. Определение 9. Пусть заданы две функции: Функция называется композицией функций и или сложной функцией. Обозначают: или . Итак, по определению, . Поэтому сложную функцию называют еще функцией от функции. При этом функцию ϕ называют внешней, функцию – внутренней. Пусть задана функция . Возможны два случая: а) существует единственный такой, что ; б) существуют такие, что . Определение 10. Если существует единственный такой, что , то функцию называют биекцией (или взаимно однозначной). Если – биекция, то можно определить функцию Эту функцию называют обратной к функции и в общем случае обозначают . Определение 11. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой , где – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Основными элементарными функциями называют следующие функции: 1. Постоянная функция:; 2. Степенная функция: ; 3. Показательная функция: ; 4. Логарифмическая функция: ; 5. Тригонометрические функции: Обратные тригонометрические функции: Элементарными называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырёх арифметических действий и применённых конечное число раз. Основные характеристики поведения функции 1) Четность функции Функция называется четной, если: а) область определения функции симметрична относительно начала координат; б) . Функция называется нечетной, если: а) область определения функции симметрична относительно начала координат; б) . Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 2) Периодичность функции Определение 12. Функция называется периодической, если такое, что а) ; б) Число при этом называют периодом функции. Если – периодическая, то ее наименьший положительный период называют основным периодом. Любой период функции имеет вид , где . График периодической функции состоит из повторяющихся фрагментов. 3) Монотонность функции Определение 13. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если таких, что выполняется неравенство Функция называется убывающей(невозрастающей) на интервале если таких, что выполняется неравенство. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными. 4) Ограниченность функции Определение 14. Функция называется ограниченной снизу, если такое, что Функция называется ограниченной сверху, если такое, что Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. Функция ограниченная, если такие, что . Функция ограничена такое, что . Лекция №20 Предел функции, основные теоремы о пределах Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах последовательности. Понятие предела функции. Теоремы о пределах функции. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 1. Предел числовой последовательности Определение 15. Функцию вида называют числовой последовательностью. Обозначим , -ый член последовательности, а саму последовательность . Пример 2. Представить в развернутой форме последовательности, заданные формулами: 1) ; 2) . Решение. 1) ; ; 2) . Определение 16. Число называется пределом последовательности , если для любого числа, найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство: . Пишут: и говорят «последовательность стремится к при стремящимся к бесконечности». На языке кванторов определение предела имеет вид: . Геометрический смысл понятия предела последовательности: неравенство означает, что для любого существует такой номер , что все члены последовательности с номерами расположены между числами . То есть в интервале находится бесконечное число, а вне интервала – конечное число элементов последовательности. Например,. Последовательность с ростом неограниченно приближается к нулю. Последовательность имеющую предел , называется сходящейся к или просто сходящейся, а последовательность, не имеющую предела, – расходящейся. 2. Теоремы о пределах последовательностей Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только единственный предел. Теорема 2. Сходящаяся последовательность всегда ограничена. Теорема 3. Если последовательности и сходятся, то справедливы следующие утверждения: Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).Если , и, начиная с некоторого номера, выполняется то и или . Теорема 5 (о сжатой переменной). Если члены трех последовательностей связаны неравенствами и при этом , то и последовательность имеет предел , т.е. Теорема 6 теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности). Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. 3. Понятие предела функции Определение 17. Окрестностью точки на числовой оси называется любой открытый промежуток, содержащий эту точку. Чаще всего рассматриваются симметрические окрестности: . Если то , или , или Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого существует такое , что для всех из -окрестности точки соответствующие значения функции содержатся в -окрестности точки А. Обозначается Дадим простую, но нестрогую трактовку определения предела функции. Число А называется пределом функции при , если приближение переменной к точке сопровождается приближением функции к А. Замечание 1. В определении предела функции не требуется существование функции в самой точке . Значит, функция может быть не определена в точке , но иметь предел в этой точке. Замечание 2. В случае когда , говорят о пределе функции в бесконечно удаленной точке. Замечание 3. Определении предела функции остается в силе и при . Замечание 4. Не для всякой функции существует предел Например, функция не имеет предела при так как ее значения при колеблются между числами ±1, не накапливаясь около какого-либо одного значения. Замечание 5. Если при переменная принимает лишь значения меньшие , или наоборот, лишь большие , и при этом функция стремится к числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа . Теорема 7. Если и– функции, для которых существуют конечные пределы при , то: Теорема 8 (о предельном переходе в неравенстве). Если существуют конечные пределы функций и при, и для всех из окрестности , то Теорема 9 (о сжатой переменной). Если члены трех последовательностей связаны неравенствами и при этом , то и последовательность имеет предел , т.е. Теорема 10 теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности). Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Пример 3. Найти . Решение. Итак, решение предела свелось к обычной подстановке предельного значения аргумента в функцию, стоящую под знаком предела, то есть вместо подставили число 3. Такой способ вычисления предела функции применим, если точка входит в область определения функции. Теорема 11. Если точка принадлежит области определения функции , то предел этой функции при равен значению функции в точке , то есть Иногда при вычислении пределов результат формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента приводит к выражениям вида . В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность, а найти предел означает раскрыть эту неопределенность. Лекция №21 Бесконечно малые и бесконечно большие функции их свойства Понятие о бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции. Раскрытие неопределенностей. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 1. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойства Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен нулю Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами . Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности Выражение в данных определениях играет важную роль, так как одна и та же функция, но при разных значениях может быть бесконечно большой, бесконечно малой или ни той ни другой. Например, функция является бесконечно малой при , бесконечно большой при и ни той ни другой при . Бесконечно малая функция тесно связана с условием существования предела функции, что отражено в следующей теореме. Теорема 12. Для того чтобы функция имела при предел , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде суммы где бесконечно малая при . Свойства бесконечно малых функций Пусть и – бесконечно малые функции при x → x0 , − ограниченная функция и − константа, тогда: − бесконечно малая функция при ; − бесконечно малая функция при ; − бесконечно малая функция при ; − бесконечно малая функция при . Свойства бесконечно больших функций Пусть и – бесконечно большие функции при , − ограниченная и не равная нулю в окрестности точки тогда: 1) если и , то при ; 2) если и , то при ; 3) если и , то при ; 4) если и , то при ; 5) при ; 6) при . Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций 7) Теорема 13. Если функция – бесконечно большая при , то функция обратная ей, – бесконечно малая при . □Так как – бесконечно большая при , то , так , где – произвольное число. Но тогда для тех же . А это и означает, что – бесконечно малая функция при .■ Теорема 14. Если функция – бесконечно малая при и то – бесконечно большая при . Пример 4. При функция является бесконечно большой. По теореме 2 функция является бесконечно малой при , то есть 2. Эквивалентные бесконечно малые функции Пусть и – бесконечно малые функции при . 1. Функции и называют бесконечно малыми одного порядка малости при , если 2. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости чем при , если (говорят, что стремится к нулю с большей скоростью, чем ). 3. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если предел их отношения не существует. 4. Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми (асимптотически равными) при , если (говорят, что и стремится к нулю с одинаковой скоростью). Эквивалентность обозначается при . Пример 5. а)  и – бесконечно малые одного порядка при , так как б)  есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем при , так как в)  и есть несравнимо бесконечно малые при , так как – не существует. Теорема 15. Если две пары бесконечно малых при функций и и таковы, что то Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при : Пример 6. Найти а)  б) в) Решение. а) ; б) в) Раскрытие неопределенностей Как уже отмечалось, далеко не все пределы можно вычислить простой подстановкой в функцию, стоящую под знаком предела, значения , к которому стремиться аргумент. Достаточно часто сталкиваются с некоторыми неопределенностями, когда невозможно сразу найти значение предела. В таких случаях применяют методы, позволяющие удалить возникшую неопределенность, или раскрыть неопределенность. Рассмотрим стандартные способы раскрытия неопределенности. Таблица 2. Вид неоп- ределен- ности Предел Способ нахождения предела 1 способ. Числитель и знаменатель дроби разделить почленно на , где . 2 способ. Воспользоваться теоремой. а) Если , то предел равен 0. б) Если , то предел равен . в) Если , то предел равен . , Где – многочлены степеней , соответственно, – дробно-рациональная функция от корней 1 способ. Числитель и знаменатель дроби разделить почленно на , где . 2 способ. а) Если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен. б) Если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен 0. в) Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов (с учетом корней) при старших степенях. , где и – многочлены. 1 способ. Разложить числитель и знаменатель на множители, сократить общие множители. 2 способ. Делить числитель и знаменатель на столько раз, сколько потребуется, чтобы неопределенность исчезла. или где ,, – многочлены Числитель и знаменатель дроби умножить , затем использовать предыдущие способы. или где ,, – многочлены Числитель и знаменатель дроби умножить , затем использовать предыдущие способы. , где ,, – многочлены Привести дроби к общему знаменателю затем использовать предыдущие способы. , где , – многочлены Умножить и разделить выражение на где , – многочлены Умножить и разделить выражение на , где Представить выражение в виде Представить выражение в виде Пример 7. Найти а)  б) в) г) д) е) ж) з) Решение. а) , где б) , где в) , где г) д) е) ж) з) Лекция №22 Замечательные пределы. Непрерывность функций Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Непрерывность функций и точки разрыва. Первый и второй замечательные пределы В математике существуют пределы, которые имеют большое прикладное и теоретическое значение. Их называют замечательными пределами. Первый из них связан с тригонометрическими, а второй с показательными и логарифмическими функциями. Первым замечательным пределом называется предел следующего вида: (1) предел отношения синуса к его аргументу равен единице при стремлении аргумента к 0. Числом называется предел Число называют числом Непера. Символ для обозначения этого числа был введен в 1731 году Эйлером. Вторым замечательным пределом называется предел следующего вида: (2) Непрерывность функций Функция , определенная в точке и ее окрестности, называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть (3) Равенство (3) означает выполнение трех условий: 1) функция определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , то есть Функция может иметь непрерывность только с одной стороны. Функция непрерывна слева в точке , если она определена на полуинтервале и Функция непрерывна справа в точке , если она определена на полуинтервале и Очевидно, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, то есть когда Таким образом, определение непрерывности функции в точке может быть сформулировано так: Функция непрерывна в точке , если выполнены три условия: 1) функция определена в точке и ее окрестности; 2) существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы 3) выполнено равенство Определение непрерывности функции может быть сформулировано так: Функция , определенная в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть . Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Точки разрыва и их классификация Логин ura-shim @ mail.ru zanuda2222559 Точкой разрыва функции называется точка , в которой функция не является непрерывной. В точке разрыва будет нарушено хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке. В зависимости от «величины» разрыва допускается следующая классификация. Точка разрыва называется: 1) точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, причем если они: а) равны, то называется точкой устранимого разрыва, то есть (рис.); б) различны, то называется точкой неустранимого разрыва (скачок), то есть (рис.); 2) точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв) функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует либо равен бесконечности (рис.1). А б в Рис.1 Пусть и . Классификация точек разрыва Таблица 3. Точка непрерывности Точка устранимого разрыва Точка скачка Точка бесконечного разрыва или Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: – функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; – функция не определена в данной точке. Пример 8. Исследовать функцию на непрерывность и построить график