Числовые кольца и модули над ними

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет» Фомин Александр Александрович Числовые кольца и модули над ними Москва — 2013 Издание подготовлено при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы, соглашение № 14.B37.21.0363 Фомин А.А. Числовые кольца и модули над ними. Учебное пособие. — М.: МПГУ, 2013. — 71 c. Рецензенты: Царев А.В., доктор физ.-мат. наук, профессор Тимошенко Е.А., кандидат физ.-мат. наук, доцент Учебное пособие подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и адресовано студентам и аспирантам математических факультетов университетов и пединститутов. ISBN c Фомин А.А. ° c МПГУ ° Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Л 1. Кольцо 10-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Л 2. Уравнение x2 − x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Л 3. Кольца n-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Л 4. Топологические аспекты n-адических чисел . . . . . . . . . 19 Л 5. Прямые суммы колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Л 6. Кольцо целых p-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Л 7. Прямые суммы модулей. Теоремы об изоморфизме . . 32 Л 8. Модули над кольцом целых p-адических чисел . . . . . . 36 Л 9. Модули над кольцом n-адических чисел . . . . . . . . . . . . . 39 Л 10. Кольцо псевдорациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Л 11. Идеалы кольца псевдорациональных чисел . . . . . . . . . . 46 Л 12. Модули над кольцом псевдорациональных чисел . . . . 51 Л 13. Кольцо полиадических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Л 14. Конечно представимые модули над кольцом полиадических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Предисловие В учебном пособии последовательно вводятся различные числовые кольца, такие как кольцо 10-адических чисел, кольцо n-адических чисел (в частности, кольцо целых p-адических чисел, где p — простое число), кольцо псевдорациональных чисел и кольцо полиадических чисел. Также рассматриваются модули над всеми этими кольцами. Учебное пособие написано на основе курса лекций, который читался автором в университете г. Вюрцбург (ФРГ), в университете Антонио Нариньо г. Богота (Колумбия), на математическом факультете МПГУ. Для освоения этого курса не требуется больших знаний. Практически достаточно того, что содержится в разделе «Предварительные сведения». Опыт показал, что курс хорошо усваивается студентами пединститутов и университетов, начиная со второго курса. Этот курс лекций является вводным в теорию абелевых групп. Дело в том, что конечно представимые модули над кольцом полиадических чисел, будучи весьма просто устроенными, представляют мощный инструмент для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга и смешанных факторно делимых групп. В пособии используется стандартная система ссылок. Новые понятия иллюстрируются подробными примерами. Окончание доказательства отмечено символом ¤. Дополнительные сведения, поясняющие излагаемый материал, отмечены символом .  Предварительные сведения Абелевой группой называется множество A с бинарной операцией «сложение» +, удовлетворяющей следующим условиям: 1. Для любых элементов a, b ∈ A имеет место равенство a+b=b+a (коммутативность); 2. Для любых элементов a, b, c ∈ A имеет место равенство (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность); 3. Множество A содержит элемент 0, такой что для всякого элемента a ∈ A a + 0 = a; 4. Для всякого элемента a ∈ A множество A содержит элемент −a, такой что a + (−a) = 0. Непустое подмножество B абелевой группы A называется подгруппой, если для любых элементов a, b ∈ B элементы a + b и −a также принадлежат B, т. е. множество B замкнуто относительно сложения и взятия противоположного элемента. Если B — подгруппа абелевой группы A, то на множестве A можно определить бинарное отношение ∼ следующим образом: a1 ∼ a2 ⇔ a1 − a2 ∈ B. Это отношение является отношением эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Множество элементов ā = {x ∈ A | x ∼ a} называется классом эквивалентности элемента a ∈ A или смежным классом элемента a ∈ A по подгруппе B. Легко видеть, что ā = a+B = {a+b | b ∈ B}. В объединении все смежные классы дают множество A, при этом пересечение различных двух классов пусто. 6 Предварительные сведения На множестве всех смежных классов A/B = {ā | a ∈ A} определяется операция сложения по правилу (a1 + B) + (a2 + B) = (a1 + a2 ) + B. Это определение корректно в том смысле, что сумма не зависит от выбора представителей классов a1 и a2 . Относительно данной операции множество A/B является абелевой группой и называется факторгруппой группы A по подгруппе B. Отображение f : A → C абелевых групп называется гомоморфизмом, если для любых a, b ∈ A выполняется равенство f (a + b) = f (a) + f (b). Биективные (взаимно однозначные) гомоморфизмы называются изоморфизмами. Если существует изоморфизм A → C, то группы A и C называют изоморфными и пишут A ∼ = C. Со всяким гомоморфизмом f : A → C связаны две подгруппы: образ гомоморфизма im(f ) = {f (a) | a ∈ A} ⊂ C и ядро гомоморфизма ker(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0} ⊂ A. При этом имеет место изоморфизм A/ ker(f ) ∼ = im(f ) (теорема об изоморфизме). Множество K с двумя бинарными операциями «сложение» + и «умножение» · называется коммутативным кольцом, если выполняются следующие условия: 1. Множество K с операцией сложения является абелевой группой (эта группа называется аддитивной группой кольца K); 2. Для любых элементов a, b ∈ K имеет место равенство ab = ba (коммутативность умножения); 3. Для любых элементов a, b, c ∈ K имеет место равенство (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения); 4. Существует элемент 1 ∈ K, такой что для любого элемента a ∈ K выполняется 1a = a; Предварительные сведения 7 5. Для любых элементов a, b, c ∈ K имеет место равенство a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность). Далее мы рассматриваем только коммутативные кольца и коммутативные группы, поэтому слово «группа» будет означать абелева группа, а слово «кольцо» будет означать коммутативное кольцо. Элемент a ∈ K называется обратимым, если существует элемент a−1 ∈ K, такой что aa−1 = 1. Элемент кольца a ∈ K называется делителем нуля, если a 6= 0 и существует ненулевой элемент b ∈ K, такой что ab = 0. Коммутативное кольцо, в котором отсутствуют делители нуля, называется областью целостности. Коммутативное кольцо, в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется полем. Подгруппа M аддитивной группы кольца K называется подкольцом, если 1 ∈ M и для любых элементов a, b ∈ M их произведение ab принадлежит M . Подгруппа I аддитивной группы кольца K называется идеалом, если для любых элементов a ∈ I и b ∈ K их произведение ab принадлежит I, т. е. множество I устойчиво относительно умножения на элементы кольца K. Заметим, что идеал I является подкольцом кольца K в единственном случае, когда I = K. Если I является идеалом кольца K, то на факторгруппе K/I можно определить умножение (a + I)(b + I) = (ab) + I. Это определение корректно, так как произведение не зависит от выбора представителей смежных классов a и b. Абелева группа K/I с данным умножением является коммутативным кольцом и называется факторкольцом кольца K по идеалу I. Пусть K и L — некоторые коммутативные кольца. Отображение f : K → L называется гомоморфизмом колец, если f (1) = 1 и для любых элементов a, b ∈ K выполняется f (a + b) = f (a) + f (b) и f (ab) = f (a)f (b). Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. 8 Предварительные сведения Ядро гомоморфизма колец ker(f ) = {a ∈ K | f (a) = 0} является идеалом кольца K, а образ im(f ) = {f (a) | a ∈ K} является подкольцом кольца L. При этом имеет место изоморфизм K/ ker(f ) ∼ = im(f ) (теорема об изоморфизме колец). Примером коммутативного кольца является кольцо целых чисел Z. Любая подгруппа аддитивной группы кольца Z является идеалом и имеет вид mZ, где m > 0. Факторкольцо Z/mZ состоит из m элементов, если m > 1, обозначается Zm и называется кольцом классов вычетов по модулю m. Кольцо Zm является полем тогда и только тогда, когда m — простое число. В любом кольце Zm каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Мы часто будем пользоваться следующем утверждением о целых числах. Если число d является наибольшим общим делителем чисел a и b, то найдутся такие целые числа u и v, для которых d = ua + vb. Пусть имеется бесконечная последовательность коммутативных колец K1 , K2 , K3 , . . . Рассмотрим множество последовательностей вида (a1 , a2 , a3 , . . .), где ai ∈ Ki , i = 1, 2, . . . Это множество обо∞ Q значается Ki и называется декартовым произведением колец Ki . i=1 На этом множестве определим операции сложения и умножения по∞ Q компонентно. Пусть a, b ∈ Ki , a = (a1 , a2 , . . .) и b = (b1 , b2 , . . .), i=1 тогда a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . .) и ab = (a1 b1 , a2 b2 , . . .). ∞ Q Легко убедиться, что множество Ki с данными операциями явi=1 ляется коммутативным кольцом. Оно обозначается также ∞ Q i=1 Ki и называется прямым произведением колец Ki , i = 1, 2, . . . Нулем в этом кольце служит последовательность нулей (0, 0, . . .), а единицей — последовательность единиц (1, 1, . . .). Множество A называется (частично) упорядоченным, если между некоторыми парами элементов задано отношение a 6 b, удовлетворяющее следующим условиям. Для любых a, b, c ∈ A Предварительные сведения 9 1. a 6 a (рефлексивность); 2. если a 6 b и b 6 a, то a = b (антисимметричность); 3. если a 6 b и b 6 c, то a 6 c (транзитивность). Подмножество T в A называется линейно упорядоченным, если для любой пары элементов a, b ∈ T либо a 6 b, либо b 6 a. Пусть S — подмножество в A. Элемент b ∈ A называется верхней гранью подмножества S в A, если x 6 b для всех элементов x ∈ S. Упорядоченное множество A называется индуктивно упорядоченным, если любое его линейно упорядоченное подмножество имеет верхнюю грань в A. Элемент a ∈ A называется наибольшим, если x 6 a для любого x ∈ A. Элемент b ∈ A называется максимальным, если b 6 x влечет b = x. Отметим разницу между наибольшим и максимальным элементом. Если упорядоченное множество содержит наибольший элемент, то он единственный и является единственным максимальным элементом. При отсутствии наибольшего элемента упорядоченное множество может содержать различные максимальные элементы. Например, отношение равенства является отношением порядка, при котором любой элемент является максимальным. В пособии мы будем использовать лемму Цорна, которая равносильна аксиоме выбора и может также рассматриваться, как одна из аксиом теории множеств. Лемма (Цорн). Если A — непустое индуктивно упорядоченное множество, то A содержит хотя бы один максимальный элемент. Пусть n > 2 некоторое целое число. Будем говорить, что целое число a сравнимо с целым числом b по модулю n и записывать a ≡ b (mod n), если число a − b делится на n. Отношение сравнимости по модулю n обладает следующими свойствами. Для любых целых чисел a, b, c, a1 , a2 , b1 , b2 : 1. a ≡ a (mod n); 10 Предварительные сведения 2. Если a ≡ b (mod n), то b ≡ a (mod n); 3. Если a ≡ b (mod n) и b ≡ c (mod n), то a ≡ c (mod n); 4. Если a1 ≡ a2 (mod n) и b1 ≡ b2 (mod n), то a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod n) и a1 b1 ≡ a2 b2 (mod n). Л е к ц и я 1. Кольцо 10-адических чисел В позиционной десятичной системе счисления для записи чисел используются арабские цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При этом, конечная последовательность цифр an an−1 . . . a1 a0 обозначает число an 10n + an−1 10n−1 + . . . + a1 10 + a0 . При таком представлении, мы допускаем возможность приписывать слева любое количество нулей, не меняя числа. Например, последовательности 0018 и 18 задают одно и то же число восемнадцать. Таким образом, каждая конечная последовательность десятичных цифр задает некоторое целое неотрицательное число. Хорошо известно, что для представления действительных чисел используются бесконечные последовательности десятичных цифр. Действительные числа, лежащие в промежутке от 0 до 1, задаются бесконечными последовательностями вида 0, a1 a2 . . . В частности, последовательности 0, 00 . . . и 0, 99 . . . задают числа 0 и 1 соответственно. Мы видим, что бесконечные последовательности десятичных цифр, записанные слева направо, задают действительные числа. Возникает вопрос, а может быть бесконечные последовательности десятичных цифр, записанные справа налево, тоже задают какие-то интересные математические объекты. Это действительно так, мы получаем особого рода числа, которым будут посвящены первые две лекции нашего пособия. Определение 1.1. Всякая бесконечная последовательность десятичных цифр . . . an . . . a1 a0 , записанная справа налево, называется 10-адическим числом. Множество всех 10-адических чисел обознаb 10 . чается Z Мы можем складывать и умножать 10-адические числа таким же образом, как и очень большие натуральные числа. В начальной школе для этого мы использовали алгоритмы сложения и умножения столбиком. Для наглядности рассмотрим следующие примеры. Сложение . . . 009327 + . . . 121691 . . . 131018 12 Числовые кольца и модули над ними Умножение выполняется более трудоемко Умножение . . . 9327 × . . . 1691 . . . 9327 . . . 943 . . . 62 ...7 ... . . . 1957 В общем случае мы не сможем выписать целиком результат сложения или умножения, так как для этого необходимо выполнить бесконечное число операций, однако мы в состоянии найти каждую цифру суммы или произведения за конечное число шагов. Отметим, что все положительные целые числа принадлежат мноb 10 , так как их можно представить в виде бесконечных пожеству Z следовательностей десятичных цифр с конечным числом ненулевых элементов. Например, 10-адическое число . . . 0018 задает целое число восемнадцать. А 10-адическим нулем является последовательность . . . 00. Следующий пример . . . 99999 + . . . 00001 . . . 00000 показывает, что (. . . 999) + (. . . 001) = 0. Так как 10-адическое число . . . 001 тождественно целому числу 1, то 10-адическое число . . . 999 можно отождествить с целым числом −1. Следовательно, все отb 10 , причем они рицательные целые числа принадлежат множеству Z задаются бесконечными последовательностями десятичных цифр, у которых все элементы, начиная с некоторого, равны цифре 9. Например, 10-адическое число . . . 9982 задает отрицательное целое число минус восемнадцать. Таким образом, множество 10-адических чисел b 10 содержит все целые числа, Z ⊂ Z b 10 . Z Напомним, что непустое множество A, с двумя бинарными операциями: сложением + и умножением ·, называется коммутативным Л е к ц и я 1. Кольцо 10-адических чисел 13 кольцом, если для любых a, b, c ∈ A выполняются следующие восемь условий: (CR1) a + b = b + a; (CR2) (a + b) + c = a + (b + c); (CR3) существует элемент 0 ∈ A, такой что a + 0 = a для любого a ∈ A; (CR4) для любого a ∈ A, существует −a ∈ A, такой что a + (−a) = 0; (CR5) ab = ba; (CR6) (ab)c = a(bc); (CR7) существует элемент 1 ∈ A, такой что a·1 = a для любого a ∈ A; (CR8) a(b + c) = ab + ac. Важным примером коммутативного кольца является кольцо цеb 10 с опелых чисел Z. Рассмотрим множество 10-адических чисел Z рациями + и ·. Очевидно, что свойства CR1, CR2, CR5, CR6 и CR8 справедливы для 10-адических чисел, так как все эти свойства справедливы для целых чисел. Легко проверяется, что 10-адические числа 0 = (. . . 00) and 1 = (. . . 001) удовлетворяют условиям CR3 и CR7 соответственно. Свойство CR4 мы проиллюстрируем на примере: . . . 1409327 + . . . 8590673 . . . 0000000 Таким образом, имеет место следующее утверждение. b 10 относительно операций слоПредложение 1.1. Множество Z жения и умножения является коммутативным кольцом, причем b 10 . кольцо целых чисел Z является подкольцом кольца Z ¤ Далее естественно поставить вопрос: «Как соотносятся рациональные числа и 10-адические числа? Можно ли некоторые рациональные числа задать с помощью 10-адических чисел?» Пусть a и b — взаимно простые целые числа, т. е. (a, b) = 1. Рассмотрим уравнеb 10 . Несложно видеть, что если данное ние bx = a над кольцом Z 14 Числовые кольца и модули над ними b 10 , то оно имеет в нем только одно уравнение разрешимо в кольце Z решение. Будем отождествлять это решение с рациональным числом ab , т. е. будем считать, что в этом случае рациональное число ab b 10 . принадлежит кольцу Z Умножение 10-адического числа на 10 совпадает с приписыванием к нему 0 справа. Например, 10 · (. . . 1409327) = . . . 14093270. Следовательно, деление на 10 совпадает с удалением одного 0 справа. Например, (. . . 14093270) : 10 = . . . 1409327. В связи с этим, очевидb 10 . Таким но, что уравнение 10x = 1 не разрешимо над кольцом Z 1 b 10 и вложение Q ⊂ Z b 10 невозможно. образом, 10 ∈ /Z Несмотря на это, некоторые рациональные числа все-таки приb 10 . Проиллюстрируем это на следующих применадлежат кольцу Z рах. − 19 = . . . 111111 1 9 − 13 1 3 1 − 81 1 81 80 − 81 = . . . 888889 = . . . 333333 = . . . 666667 = . . . 012345679012345679012345679 = . . . 987654320987654320987654321 = . . . 987654320987654320987654320 Заметим, что все рассмотренные последовательности, начиная с некоторого знака, являются периодическими. Рассмотрим правильные дроби со знаменателем 7. − 17 = . . . 142857142857 − 57 = . . . 714285714285 − 47 = . . . 571428571428 − 67 = . . . 857142857142 − 27 = . . . 285714285714 − 37 = . . . 428571428571 Отметим, что в книге Е.Б. Дынкина и В.А. Успенского «Математические беседы» [DU] 10-адические числа рассматривались в качестве богатого источника олимпиадных задач. Л е к ц и я 2. Уравнение x2 − x = 0  15 Упражнения 1.1. Пусть a и b — взаимно простые целые числа. Докажите, что уравнение b 10 тогда и только тогда, когда b взаимно bx = a имеет решение в кольце Z просто с 10. 1.2. Докажите, что 10-адическое число . . . an . . . a1 a0 является рациональным числом тогда и только тогда, когда последовательность его цифр . . . an . . . a1 a0 , начиная с некоторого знака, периодична. Л е к ц и я 2. Уравнение x2 − x = 0 Уравнение x2 − x = 0 имеет ровно два решения x1 = 0 и x2 = 1 в любой области целостности. Решим это уравнение над кольцом b 10 . Данная задача сводится к нахождению всех 10-адических чисел Z α = . . . an . . . a1 a0 , таких что α2 − α = 0, т. е. α2 = α: . . . a3 a2 a1 a0 × . . . a3 a2 a1 a0 ... ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ ...∗ ... . . . a3 a2 a1 a0 А это равносильно следующей задаче. Найти все последовательности целых неотрицательных чисел вида: A0 = a0 , A1 = a1 a0 , A2 = a2 a1 a0 , A3 = a3 a2 a1 a0 , . . . , такие что A2k ≡ Ak (mod 10k+1 ) для каждого k = 0, 1, . . . . Покажем, как найти Ak , если числа A0 , A1 , . . . , Ak−1 уже найдены. Нам нужно найти десятичную цифру ak , такую что число Ak = ak 10k + Ak−1 удовлетворяет условию A2k ≡ Ak (mod 10k+1 ), т. е. (ak 10k + Ak−1 )2 − (ak 10k + Ak−1 ) ≡ 0 (mod 10k+1 ) (ak 10k )2 + ak 10k (2Ak−1 − 1) + (A2k−1 − Ak−1 ) ≡ 0 (mod 10k+1 ) (2.1) ak 10k (2Ak−1 − 1) + (A2k−1 − Ak−1 ) ≡ 0 (mod 10k+1 ). 16 Числовые кольца и модули над ними Так как A2k−1 − Ak−1 ≡ 0 (mod 10k ), то найдется целое число Bk−1 , такое что A2k−1 − Ak−1 = 10k Bk−1 . Тогда (2.1) равносильно: ak (2Ak−1 − 1) + Bk−1 ≡ 0 (mod 10) (2.2) ak (2a0 − 1) + Bk−1 ≡ 0 (mod 10), поскольку Ak−1 ≡ a0 (mod 10) для каждого положительного k. Существует четыре десятичные цифры a0 , удовлетворяющие условию a20 ≡ a0 (mod 10), — это 0, 1, 5 и 6. При a0 = 0 или a0 = 5 сравнение (2.2) принимает вид ak ≡ Bk−1 (mod 10), а при a0 = 1 или a0 = 6 сравнение (2.2) принимает вид ak ≡ −Bk−1 (mod 10). Во всех случаях цифра ak однозначно определяется числом Bk−1 , и мы получаем четыре решения уравнения x2 − x = 0. Два из них b 10 и 1 ∈ Z b 10 , они соответствуют цифрам тривиальные — это 0 ∈ Z a0 = 0 и a0 = 1 соответственно. Следующая таблица показывает как находятся оставшиеся решения. a0 = 5 k 1 2 3 4 5 ... Ak 5 25 625 0625 90625 890625 ...... Bk a0 = 6 2 6 390 39 82128 ...... ...... Ak 6 76 376 9376 09376 109376 7109376 Bk 3 57 141 8790 879 11963 ...... b 10 четыре Таким образом, уравнение x2 − x = 0 имеет в кольце Z b 10 — комрешения: 0, 1, e = . . . 2890625 и f = . . . 7109376. Так как Z мутативное кольцо, то (ef )2 = e2 f 2 = ef . Следовательно, элемент ef совпадает с одним из решений 0, 1, e, f . Поскольку первая цифра a0 числа ef равна 0, то ef = 0. Далее, найдем сумму e + f . . . . 2890625 + . . . 7109376 . . . 0000001 Сложение показывает, что сумма e + f может быть равна 1. Это действительно так, (e + f )2 = e2 + 2ef + f 2 = e2 + f 2 = e + f, Л е к ц и я 3. Кольца n-адических чисел 17 а, значит, e + f является решением уравнения x2 − x = 0 и, таким образом, e + f = 1.  Отметим, что найденные нами решения e и f уравнения x − x = 0, b являются делителями нуля, а значит, Z — не область целостности.  Рассмотрим функцию f (x) = x − x и ее производную f (x) = 2x − 1. 2 n 2 Так как ak 10k = Ak − Ak−1 , то мы можем переписать соотношение (2.1) в виде (Ak − Ak−1 )f 0 (Ak−1 ) + f (Ak−1 ) ≡ 0 (mod 10k+1 ). Сравним это соотношение с хорошо известной формулой Ньютона для нахождения приближенных корней действительных функций Ak = Ak−1 − f (Ak−1 ) . f 0 (Ak−1 ) Л е к ц и я 3. Кольца n-адических чисел Пусть n > 2 — фиксированное целое число. Любое положительное целое число m может быть записано следующим образом m = ak nk + ak−1 nk−1 + . . . + a1 n + a0 , где 0 6 ai < n для всех i = 0, 1, . . . , k. Такое представление целого числа m называется n-адическим, а числа 0, 1, . . . , n − 1 называются n-адическими цифрами. Число m мы будем сокращенно записывать в виде m = ak ak−1 . . . a1 a0 n или просто m = ak ak−1 . . . a1 a0 , если основание n фиксировано. Такая запись тоже называется nадической. Использование числа 10 в качестве общепризнанного основания позиционной системы счисления — всего лишь исторически сложившаяся традиция. На самом деле, каждое целое число n > 2 может служить основанием позиционной системы счисления. Сложение и умножение чисел, записанных в n-адической системе счисления, происходит подобно 10-адическому (десятичному) случаю. Например, сумма двух чисел 2013 + 119 = 2132 в десятичной записи может быть найдена в 2-адической (двоичной) записи следующим образом: 011111011101 + 000001110111 100001010100 18 Числовые кольца и модули над ними По аналогии с лекцией 1 мы определим n-адические числа, как бесконечные последовательности . . . a1 a0 , состоящие из n-адических цифр, записанных справа налево. Все n-адические числа образуют b n , которое содержит кольцо целых чисел Z коммутативное кольцо Z в качестве подкольца. b n , эквивалентное первоМы дадим другое определение кольца Z му, но более удобное для исследования. Рассмотрим бесконечную последовательность гомоморфизмов колец ik+2 ik+1 ik−1 i i i i k 3 2 1 (3.1) . . . −→ Znk+1 −→ Znk −→ Znk−1 −→ . . . −→ Zn2 −→ Zn −→ 0, где ik (m + nk Z) = m + nk−1 Z ∈ Znk−1 для любого целого m и любого натурального k. Заметим, что i1 : Zn → 0 — тоже гомоморфизм колец, так как 0 здесь обозначает тривиальное коммутативное кольцо. Тривиальное кольцо состоит из одного нулевого элемента, при этом в нем имеет место равенство 1 = 0, и оно изоморфно кольцу Z/Z. Пусть γ = (. . . , c2 , c1 ) — элемент прямого произведения ∞ Q Znk . Это означает, что ck ∈ Znk для каждого k = 1, 2, . . . По- k=1 следовательность γ называется цепью, если ik (ck ) = ck−1 для всех k = 2, 3, . . . Несложно видеть, что все цепи образуют подкольцо в ∞ Q кольце Znk . Далее мы покажем, что подкольцо цепей совпадает n=1 b n. с кольцом n-адических чисел Z Пусть γ = (. . . , c2 , c1 ) — произвольная цепь, тогда ik+2 ik+1 i ik−1 i i i i k 4 3 2 1 . . . 7−→ ck+1 7−→ ck 7−→ ck−1 7−→ . . . 7−→ c3 7−→ c2 7−→ c1 7−→ 0, где ck = bk + nk Z ∈ Znk . Без потери общности можно считать, что целые числа bk удовлетворяют условиям 0 6 bk < nk для всех k > 0. Тогда в n-адической системе счисления число bk записывается в виде bk = ak−1 nk−1 + . . . + a1 n + a0 , где ai — n-адические цифры, т. е. 0 6 ai < n. Легко видеть, что ik (bk ) = ak−2 nk−2 + . . . + a1 n + a0 — запись числа bk−1 в n-адической системе счисления. Тогда последовательность b1 , b2 , b3 , . . . , bk , . . . имеет вид a0 , a0 + a1 n, a0 + a1 n + a2 n2 , . . . , a0 + a1 n + . . . + ak−1 nk−1 , . . . Л е к ц и я 4. Топологические аспекты n-адических чисел 19 Полученная бесконечная последовательность . . . ak ak−1 . . . a1 a0 является n-адическим числом. Соответствие γ ←→ . . . ak ak−1 . . . a1 a0 b n . Следовазадает изоморфизм между кольцом цепей и кольцом Z b n эквивалентны. тельно, два определения кольца Z В соответствие с первым определением, произвольное n-адическое число . . . ak ak−1 . . . a1 a0 может быть представлено в виде формального ряда a0 + a1 n + . . . + ak nk + . . . В соответствие со вторым определением, каждое n-адическое число может быть задано бесконечной последовательностью целых чисел (3.2) b1 , b2 , . . . , bk , . . . , где bk+1 ≡ bk (mod nk ), k = 1, 2, . . . , поскольку последняя задает цепь ik+1 i ik−1 i i k 2 1 . . . 7−→ bk + nk Z 7−→ bk−1 + nk−1 Z 7−→ . . . 7−→ b1 + nZ 7−→ 0. Л е к ц и я 4. Топологические аспекты n-адических чисел Зафиксируем целое число n > 2. На кольце Z зададим топологию с помощью следующей базы окрестностей нуля {nk Z | 0 < k ∈ Z}. Это означает, что все множества вида (4.1) m + nk Z, m ∈ Z, 0 < k ∈ Z, открыты. Подмножество в Z открыто тогда и только тогда, когда оно является объединением множеств вида (4.1). Такая топология называется n-адической. Аналогично, n-адическая топология на кольце n-адических чисел b n определяется базой окрестностей нуля {nk Z b n | 0 < k ∈ Z}. Z b n . Пусть U ⊂ Z b n — отКольцо Z является подкольцом кольца Z b n . Тогда крытое в n-адической топологии подмножество кольца Z пересечение U ∩ Z является открытым в n-адической топологии 20 Числовые кольца и модули над ними подмножеством кольца Z. Более того, любое открытое подмножество кольца Z может быть задано таким образом. Другими словами, n-адическая топология на кольце Z индуцируется n-адической b n. топологией кольца Z С другой стороны, каждая последовательность целых чисел (3.2) является последовательностью Коши в n-адической топологии кольца Z. Последовательность (3.2) сходится к n-адическому числу, которое ей определяется. Всякая целочисленная последовательность Коши сходится к некоторому n-адическому числу. Именно по этой b n называется n-адическим пополнением кольца Z. причине кольцо Z b n /nk Z b n = Z/nk Z = Znk , то конструкция (3.1), примеТак как Z b n , не даст ничего нового. Мы получим то же саненная к кольцу Z b n . Это означает, что кольцо Z b n является полным в своей мое кольцо Z n-адической топологии, т. е. любая последовательность Коши в кольb n сходится к элементу кольца Z b n. це Z Топологическое пространство U называется компактным, если каждая последовательность его элементов u1 , u2 , . . . содержит сходящуюся подпоследовательность. Напомним следующее хорошо известное доказательство того факта, что отрезок действительных чисел [0, 1] компактен в естественной топологии. Рассмотрим последовательность действительных чисел u1 , u2 , u3 , . . . , 0 6 ui 6 1, записанных в десятичной системе счисления: (1) (1) (1) u1 = 0, a1 a2 a3 . . . (2) (2) (2) u2 = 0, a1 a2 a3 . . . (3) (3) (3) u3 = 0, a1 a2 a3 . . . ····················· По принципу Дирихле последовательность u1 , u2 , u3 , . . . содержит бесконечную подпоследовательность чисел, у которых первая иду(i) (j) (k) щая после запятой цифра одна и та же a1 = a1 = a1 = . . . Пусть первый элемент этой подпоследовательности имеет индекс i1 . Повторим с полученной подпоследовательностью первоначальную процедуру относительно второй цифры после запятой. Получим подпоследовательность чисел с двумя первыми одинаковыми цифрами после запятой. Выберем элемент из этой подпоследовательности с индексом i2 , таким что i2 > i1 . Продолжая действовать аналогичным Л е к ц и я 4. Топологические аспекты n-адических чисел 21 образом, получим подпоследовательность ui1 , ui2 , ui3 , . . . , которая сходится к действительному числу из промежутка [0, 1]. Так как 10-адические числа . . . a2 a1 a0 тоже являются бесконечными последовательностями десятичных цифр, то мы можем использовать тот же принцип, что и в случае пространства [0, 1], для b 10 . Таким образом, подоказательства компактности пространства Z лучаем справедливость следующего утверждения. b n (n > 2) компактно в своей Теорема 4.1. Каждое кольцо Z n-адической топологии. ¤ Проиллюстрируем топологию n-адических чисел на наглядных примерах. Примеры b 4 . 4-адические цифры ai 1. Рассмотрим 4-адическое число α = . . . a2 a1 a0 ∈ Z принимают значения 0, 1, 2, 3. Занумеруем вершины квадрата S так, как это показано на рис. 4.1. Затем разделим квадрат S на 4 равных квадрата и выберем маленький квадрат S0 , содержащий вершину a0 (на рис. 4.1 рассмотрен случай a0 = 0). Нумеруем вершины квадрата S0 таким же образом и делим его на 4 равных меньших квадрата. Выбераем следующий квадрат S1 , соответствующий второй цифре a1 , и т. д. 1 3 2 3 1 2 Рисунок 4.1. В итоге, получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга квадратов (4.2) S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃ . . . ⊃ Sn ⊃ . . . со сторонами длинной 1 > 1 2 > 1 4 > ... > 1 2n+1 > ... соответственно, содержащую ровно одну общую точку f (α). 22 Числовые кольца и модули над ними b 4 → S. Это отображение Таким образом, мы получили отображение f : Z сюръективно, но не инъективно. Например, для центральной точки квадрата имеют место равенства f (. . . 2220) = f (. . . 3331) = f (. . . 0002) = f (. . . 1113). Квадрат S содержит ровно 4k подквадрата площадью 41k . Мы можем интерпретировать их, как элементы кольца Z4k . Элементы m+4k Z, m ∈ Z, 0 < k ∈ Z, кольца Z4k являются одновременно и открытыми, и замкнутыми множествами относительно 4-адической топологии кольца Z (см. (4.1)). При такой интерпретации последовательность (4.2) принимает вид Z ⊃ a0 + 4Z ⊃ (a0 + a1 4) + 42 Z ⊃ (a0 + a1 4 + a2 42 ) + 43 Z ⊃ . . . Данная последовательность является цепью, относительно последовательности гомоморфизмов (3.1), определяющей 4-адическое число α. b n являет2. Другим наглядным представлением кольца n-адических чисел Z b n → [0, 1], действующее по закону ся отображение fn : Z fn (. . . a2 a1 a0 ) = 0, a0 a1 a2 . . ., где 0 6 ai < n — n-адические цифры и 0, a0 a1 a2 . . . — действительное число из промежутка [0, 1], записанное в n-адической системе счисления. Отображение fn сюръективно, но не инъективно. Однако, оно дает возможность представлять n-адические числа точками промежутка [0, 1]. Л е к ц и я 5. Прямые суммы колец Пусть A и B — произвольные коммутативные кольца. Множество A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B, называется декартовым произведением множеств A и B. Определим на множестве A×B операции сложения и умножения следующим образом: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 ). Легко проверить, что множество A × B относительно определенных операций также является коммутативным кольцом. Нулем этого кольца служит пара (0, 0). Отметим, что эти два нуля различные, первый ноль — это ноль кольца A, а второй ноль — это ноль кольца B. Единицей кольца A × B является пара (1, 1). Л е к ц и я 5. Прямые суммы колец 23 Определение 5.1. Определенное выше на множестве A×B кольцо будем обозначать A⊕B и называть прямой суммой колец A и B. Определение 5.2. Элемент e кольца называется идемпотентом, если e2 = e. Элементы 0 и 1 называются тривиальными идемпотентами. Кольцо R = A ⊕ B содержит два нетривиальных идемпотента e = (1, 0) и f = (0, 1). Главный идеал eR, порожденный элементом e, совпадает с множеством {(a, 0) | a ∈ A}. Каждый идеал коммутативного кольца замкнут относительно сложения и умножения. Более того, все аксиомы коммутативного кольца выполняются в любом идеале, за исключением аксиомы существования единицы (CR7). Идеал eR образует особый случай. Он содержит элемент e, который может служить единицей. Следовательно, идеал eR можно рассматривать как коммутативное кольцо и eR = A с этой точки зрения. Отметим также некоторые свойства идемпотентов e и f : e + f = 1, ef = 0, eR ∩ f R = 0 и eR + f R = R. Следующая теорема показывает, в частности, что идемпотенты кольца находятся во взаимно однозначном соответствие с прямыми разложениями этого кольца. Теорема 5.1. Пусть e — идемпотент коммутативного кольца A, тогда 1. Элемент f = 1 − e тоже является идемпотентом. Более того, e + f = 1, ef = 0, идемпотент f тривиален тогда и только тогда, когда тривиален идемпотент e; 2. Главные идеалы B = eA и C = f A являются коммутативными кольцами с единицами e и f соответственно; 3. A ∼ = B ⊕ C. Доказательство. 1. f 2 = (1 − e)2 = 1 − 2e + e2 = 1 − e = f и ef = e(1 − e) = e − e2 = 0. Если идемпотент e отличен от 0 и 1, то и идемпотент f тоже отличен от 0 и 1. 24 Числовые кольца и модули над ними 2. Аксиома CR7 справедлива для кольца B = eA, поскольку (ea)e = e2 a = ea. 3. Легко видеть, что отображение g : A → B ⊕ C, действующее по закону g(a) = (ea, f a), и отображение h : B ⊕ C → A, действующее по закону h(ea1 , f a2 ) = ea1 + f a2 , являются взаимно обратными изоморфизмами. ¤ Лемма 5.2. Если элементы e и f кольца удовлетворяют условиям e + f = 1 и ef = 0, то e и f — идемпотенты. Доказательство. e2 = e(1 − f ) = e − ef = e. ¤ Будем говорить, что элемент a кольца K делится на целое число n 6= 0, если уравнение nx = a имеет решение в кольце K. Лемма 5.3. Пусть k, m и n — целые положительные числа, такие что n = km и числа k, m взаимно простые. Тогда для любого целого положительного числа s существует единственная пара элементов es , fs в кольце Zns классов вычетов по модулю ns , такая что: 1. es делится на ms , fs делится на k s ; 2. es + fs = 1; 3. es fs = 0. Доказательство. Так как числа k и m взаимно простые, то числа k s и ms тоже взаимно простые. Следовательно, существуют целые числа u и v, такие что ums + vk s = 1. Пусть es = ums + ns Z ∈ Zns и fs = vk s + ns Z ∈ Zns . Так как es = ms (u + ns Z) и fs = k s (v + ns Z), то первое условие выполнено. Далее, поскольку es +fs = ums +vk s +ns Z = 1+ns Z = 1 и es fs = ums vk s + ns Z = 0, то второе и третье условия леммы тоже выполнены. Докажем единственность. Пусть e0s и fs0 — другая пара элементов кольца Zns , удовлетворяющая условиям леммы. Тогда из равенства es + fs = 1 = e0s + fs0 следует, что es − e0s = fs0 − fs . Обозначим через g = es − e0s = fs0 − fs ∈ Zns . Элемент g делится на ms , так как g = es − e0s , и делится на k s , так как g = fs0 − fs . Получили, что Л е к ц и я 5. Прямые суммы колец 25 g = ms g1 и g = k s g2 , тогда g = (ums +vk s )g = ums (k s g2 )+vk s (ms g1 ). Так как ms k s = ns , то оба слагаемых в последнем равенстве равны нулю и, следовательно, es = e0s , fs0 = fs . ¤ Лемма 5.4. Элементы es , fs , удовлетворяющие условиям леммы 5.3, являются идемпотентами, и для любого g ∈ Zns существует единственная пара целых чисел 0 6 bs < k s и 0 6 cs < ms , такая что g = bs es + cs fs . Доказательство. То, что es и fs — идемпотенты следует из леммы 5.2. Пусть g = a + ns Z ∈ Zns , тогда из условия 2 леммы 5.3 следует, что g = aes + afs . Поделим число a на k s с остатком и на ms с остатком, получим a = k s t + bs = ms r + cs , где 0 6 bs < k s , 0 6 cs < ms , для некоторых целых t и r. Тогда g = (k s t + bs )es + (ms r + cs )fs = (k s tes + ms rfs ) + (bs es + cs fs ). Так как es делится на ms и fs делится на k s , то первая скобка в последнем равенстве равна нулю, а значит g = bs es + cs fs . Докажем единственность. Пусть g = b0s es + c0s fs , тогда (bs − b0s )es = (c0s − cs )fs . Домножая это равенство на es , получаем (bs − b0s )es = 0. Аналогично получаем (c0s − cs )fs = 0. Тогда (bs − b0s )ums + ns Z = 0, т. е. целое число (bs − b0s )ums делится на ns , а значит, (bs − b0s )u делится на k s . Так как целые числа u и k s взаимно просты, то bs − b0s делится на k s . Учитывая, что |bs − b0s | < k s , получаем, что bs − b0s = 0 и bs = b0s . Аналогично показывается, что cs = c0s . ¤ Теорема 5.5. Пусть k > 1 и m > 1 — взаимно простые целые bk ⊕ Z b m. bn ∼ числа и n = km, тогда Z =Z b n , как кольцо цепей отДоказательство. Рассмотрим кольцо Z носительно последовательности гомоморфизмов (3.1) is+2 is+1 i is−1 i i i 3 2 1 s Zn2 −→ Zn −→ 0, Zns−1 −→ . . . −→ . . . −→ Zns+1 −→ Zns −→ 26 Числовые кольца и модули над ними где is (a + ns Z) = a + ns−1 Z для всех a ∈ Z и 0 < s ∈ Z. Для каждого целого положительного числа s кольцо Zns содержит идемпотенты es и fs , удовлетворяющие условиям леммы 5.3. Легко видеть, что элементы is (es ) и is (fs ) удовлетворяют условиям леммы 5.3 для кольца Zns−1 . В силу единственности получаем, что is (es ) = es−1 и is (fs ) = fs−1 . Следовательно, последовательности идемпотентов e = (e1 , e2 , . . .) и f = (f1 , f2 , . . .) являются цепями. Цепи e и f саb n , так как e + f = 1 и ef = 0. ми являются идемпотентами кольца Z b n = eZ bn ⊕ f Z b n. Тогда по теореме 5.1 получаем прямое разложение Z bn и f Z b n изоморфны Осталось доказать, что главные идеалы eZ bk и Z b m . Действительно, пусть g ∈ Z b n , т. е. соответственно кольцам Z последовательность g = (g1 , g2 , . . .) является цепью. По лемме 5.4 для каждого s > 0 имеем gs = bs es + cs fs . Применим гомоморфизм is к последнему равенству, получим gs−1 = bs es−1 + cs fs−1 . В силу единственности пары целых чисел bs−1 и cs−1 получаем, что bs ≡ bs−1 (mod k s−1 ) и cs ≡ cs−1 (mod ms−1 ). Следовательно, последовательность целых чисел b1 , b2 , . . . представb k , а последовательность c1 , c2 , . . . ляет k-адическое число β ∈ Z b m . Соответствия ge 7→ β и представляет m-адическое число γ ∈ Z gf 7→ γ являются искомыми изоморфизмами. ¤ b nk = Z b n для всех целых чисел n > 1 и k > 0. Теорема 5.6. Z Доказательство. Рассмотрим n-адическое число, как формальный ряд α = a0 + a1 n + a2 n2 + a3 n3 + a4 n4 + . . . + a2s n2s + a2s+1 n2s+1 + . . . c n-адическими цифрами 0 6 ai < n в качестве коэффициентов. Перепишем данный ряд в виде α = (a0 +a1 n)+(a2 +a3 n)n2 +(a4 +a5 n)n4 +. . .+(a2s +a2s+1 n)n2s +. . . Легко видеть, что коэффициенты данного ряда удовлетворяют условиям 0 6 a2s + a2s+1 n < n2 для всех s > 0, т. е. их можно рассматривать как n2 -адические цифры. Следовательно, всякое n-адическое число можно рассматривать как n2 -адическое число, и наоборот. Л е к ц и я 5. Прямые суммы колец 27 Операции над n-адическими числами дают тот же результат, что и операции над n2 -адическими числами. Из этого можно заключить, b n2 = Z b n , а значит, и Z b nk = Z b n. что Z ¤ Теперь основной результат данной лекции получается из последних двух теорем. Теорема 5.7. Пусть каноническая форма целого числа n > 1 имеет вид n = pk11 · pk22 · . . . · pks s , т. е. p1 , p2 , . . . , ps — попарно различные простые числа, а k1 , k2 , . . . , ks — положительные целые bn ∼ bp ⊕ Z bp ⊕ . . . ⊕ Z bp . числа. Тогда Z ¤ =Z 1 2 s Вернемся к кольцу 10-адических чисел. По доказанному выше b 10 ∼ b2 ⊕ Z b 5 . Таким образом, каждому 10-адическому числу соZ = Z ответствует пара, состоящая из 2-адического и 5-адического чисел. В заключение этой лекции мы покажем на примере как по заданному 10-адическому числу α находить соответствующие ему 2-адическое и 5-адическое числа. Пример b 10 . В следующей Рассмотрим 10-адическое число α = . . . a2 a1 a0 = . . . 183 ∈ Z таблице показано разложение элементов as в кольцах Z10s . s es fs as = cs es + ds fs ∈ Z10s 1 5 6 3 = 1·5+3·6 ∈ Z10 2 25 76 83 = 3 · 25 + 8 · 76 ∈ Z100 3 625 376 183 = 7 · 625 + 58 · 376 ∈ Z1000 ·· ··· ················ ······· ··· ··· ··· Тогда последовательность c1 , c2 , c3 , . . . имеет вид 1, 3, 7, . . . или 1, 11, 111, . . . в бинарной системе счисления. Вторая последовательность d1 , d2 , d3 , . . . имеет вид 3, 8, 58, . . . или 3, 13, 213, . . . в системе счисления с основанием 5. Последовательность d1 , d2 , d3 , . . . находится следующим образом. Делим 10-адическое число α = . . . 183 на 5 с остатком, получаем . . . 183 = . . . 36 · 5 + 3. Остаток 3 есть первая 5-адическая цифра. Делим 10-адическое неполное частное . . . 36 на 5 с остатком, получаем . . . 36 = . . . 7 · 5 + 1. Остаток 1 есть вторая 5-адическая цифра. Делим новое 10-адическое неполное частное . . . 7 на 5 с остатком, получаем . . . 7 = γ · 5 + 2. Следовательно, третья 5-адическая цифра равна 2, и т. д. Последовательность d1 , d2 , d3 , . . . удовлетворяет условиям dk+1 ≡ dk (mod 5k ) для каждого k = 1, 2, . . . Это означает, что последовательность d1 , d2 , d3 , . . . b 5 . Аналогично, последовательность определяет 5-адическое число . . . 213 ∈ Z 28 Числовые кольца и модули над ними b 2 . Таким образом, полуc1 , c2 , c3 , . . . определяет 2-адическое число . . . 111 ∈ Z чили, что 10-адическому числу α соответствует пара (. . . 111, . . . 213) при изоb 10 ∼ b2 ⊕ Z b 5. морфизме Z =Z Л е к ц и я 6. Кольцо целых p-адических чисел Из теоремы 5.7 следует, что достаточно исследовать n-адические числа только для простых чисел n. Если p — простое число, то pадические числа традиционно принято называть целыми p-адическими числами. Термин «p-адическое число» обычно используется для немного более общей конструкции. Теорема 6.1. Целое p-адическое число α = . . . a2 a1 a0 обратимо в b p тогда и только тогда, когда его первая цифра a0 отлична кольце Z от нуля. Доказательство. Целое p-адическое число α = . . . a2 a1 a0 определяет цепь . . . 7→ c3 7→ c2 7→ c1 7→ 0 относительно последовательности гомоморфизмов is+2 is+1 i is−1 i i i s 3 2 1 . . . −→ Zps+1 −→ Zps −→ Zps−1 −→ . . . −→ Zp2 −→ Zp −→ 0, где is (a + ps Z) = a + ps−1 Z. При этом, элемент cs имеет вид cs = (as−1 ps−1 + . . . + a1 p + a0 ) + ps Z ∈ Zps для каждого s = 1, 2, . . . Если a0 6= 0, то cs обратим в кольце Zps для любого s > 1, поскольку целое число as−1 ps−1 + . . . + a1 p + a0 в этом случае взаимно просто с ps . Следовательно, для каждого s существует элемент ds ∈ Zps , такой что cs ds = 1. Легко видеть, что элементы ds образуют цепь . . . 7→ d3 7→ d2 7→ d1 7→ 0, определяющую b p , такое что αβ = 1. целое p-адическое число β ∈ Z Обратно, пусть . . . 7→ c3 7→ c2 7→ c1 7→ 0 есть обратимый элемент b p . Тогда каждый элемент cs ∈ Zps обратим в кольце Zps , кольца Z включая c1 ∈ Zp , в частности, c1 6= 0. Так как первая цифра a0 целого p-адического числа α совпадает с c1 , точнее c1 = a0 + pZ, то получаем, что a0 6= 0. ¤ Л е к ц и я 6. Кольцо целых p-адических чисел 29 b p задано последовательноПусть целое p-адическое число α ∈ Z стью p-адических цифр α = . . . a2 a1 a0 . Напомним, что умножение на p совпадает с приписыванием нуля справа, pα = . . . a2 a1 a0 0. Если a0 = a1 = . . . = ak−1 = 0 и ak 6= 0, то α делится на pk , но не делится на pk+1 . Тогда α = pk β, где β = . . . ak+2 ak+1 ak — обратимое целое p-адическое число, так как его первая цифра ak отлична от нуля. Определение 6.1. Количество последовательных нулей в начале записи целого p-адического числа α = . . . a2 a1 a0 будем называть высотой числа α и обозначать h(α), т. е. h(α) = k ⇔ a0 = a1 = . . . = ak−1 = 0 и ak 6= 0. По определению будем считать, что h(0) = ∞. Следующие свойства высот целых p-адических чисел α и β вытекают непосредственно из определения. 1. h(α) ∈ {∞, 0, 1, 2, . . .}; 2. h(α) = ∞ ⇔ α = 0; 3. h(αβ) = h(α) + h(β); 4. h(α ± β) > min{h(α), h(β)}. Более того, если h(α) 6= h(β), то h(α ± β) = min{h(α), h(β)}; 5. h(pα) = h(α) + 1, считая ∞ + 1 = ∞; 6. α делит β тогда и только тогда, когда h(α) 6 h(β); b p можно представить в виде 7. всякий ненулевой элемент α ∈ Z b p. ph(α) β, где β — обратимый элемент кольца Z Напомним, что областью целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля. b p является областью целостности. Теорема 6.2. Кольцо Z b p отличны от нуля. Доказательство. Пусть элементы α, β ∈ Z Тогда по свойству 2 они имеют конечные высоты, h(α) = k < ∞ и h(β) = m < ∞. По свойству 3 имеем h(αβ) = k + m < ∞. Следовательно, αβ 6= 0. ¤ 30 Числовые кольца и модули над ними b p имеет Теорема 6.3. Каждый собственный идеал I кольца Z b p , где 0 < k ∈ Z. Факторкольцо Z b p /pk Z b p изоморфно вид I = pk Z кольцу Zpk классов вычетов по модулю pk . Доказательство. Собственный идеал I содержит ненулевые элементы. Следовательно, в I можно выбрать ненулевой элемент α минимальной высоты, 0 6 k = h(α) < ∞. Применяя свойства высот, b p = {γ ∈ Z b p | h(γ) > k} ⊃ I ⊃ αZ b p = pk Z b p . Таким получаем pk Z b p . Заметим, что неравенство k > 0 имеет место, образом, I = pk Z b p не является собственным идепоскольку в противном случае I = Z алом. b p → Zpk , действующее по закону Рассмотрим отображение f : Z f : a0 +a1 p+. . .+ak−1 pk−1 +ak pk +. . . 7→ a0 +a1 p+. . .+ak−1 pk−1 +pk Z. Отображение f , очевидно, является гомоморфизмом колец, причем b p . Тогда в соответствие с теоремой об изоморфизме (см. ker(f ) = pk Z b p / ker(f ). стр. 8) Zpk ∼ ¤ =Z В соответствии с нашим подходом, всякое целое p-адическое число . . . a2 a1 a0 является бесконечным уходящим влево словом, записанным буквами p-адического алфавита {0, 1, . . . , p − 1}. Добавим к этому алфавиту еще одну букву ¡, которую будем называть «точкой». Получим расширенный алфавит {0, 1, . . . , p − 1, ¡}. Определение 6.2. Бесконечное налево слово, записанное буквами расширенного алфавита называется p-адическим числом, если буква ¡ используется в его записи в точности один раз. Кроме того, будем в таких словах опускать нули, стоящие справа. Это означает, что . . . a2 a1 a0 ¡ a−1 a−2 . . . a−k = . . . a2 a1 a0 ¡ a−1 a−2 . . . a−k 0 . . . 0. b p. Множество всех p-адических чисел будем обозначать Q Если точка в p-адическом числе стоит в крайнем правом положение, то будем отождествлять такое число с целым p-адическим b p . Таким образом, множество Z bp числом, . . . a2 a1 a0 ¡ = . . . a2 a1 a0 ∈ Z b p. является подмножеством множества Q Л е к ц и я 6. Кольцо целых p-адических чисел 31 b p начнем с определения умножения p-адиЗадание операций в Q ческого числа на p. Умножение на p есть смещение точки на одну позицию вправо, p(. . . a2 a1 a0 ¡ a−1 a−2 . . . a−k ) = . . . a2 a1 a0 a−1 ¡ a−2 . . . a−k , или p(. . . a2 a1 a0 ¡) = . . . a2 a1 a0 0¡. Деление на p есть смещение точки на одну позицию влево, 1 (. . . a2 a1 a0 ¡ a−1 a−2 . . . a−k ) = . . . a2 a1 ¡ a0 a−1 a−2 . . . a−k . p b p существует чисНепосредственно получаем, что для любого α ∈ Q b p. ло 0 6 k ∈ Z, такое что pk α ∈ Z b p , тогда pk α ∈ Z b p и pm β ∈ Z b p при некоторых Пусть α, β ∈ Q 0 6 k, m ∈ Z. Тогда определим сумму и произведение α + β = p−(k+m) (pk+m α + pk+m β), αβ = p−(k+m) (pk α)(pm β), где операции (pk α)(pm β) и pk+m α+pk+m β производятся внутри кольb p . Проверка 8 аксиом коммутативного ца целых p-адических чисел Z b p , +, ·i — коммутативное кольцо, причем кольца показывает, что hQ b p — его подкольцо. кольцо целых p-адических чисел Z Обозначим через U множество всех обратимых элементов кольца b Zp . Множество U образует группу относительно умножения, называемую группой p-адических единиц. По теореме 6.1 bp ⊂ Q b p. U = {. . . a2 a1 a0 ¡ | a0 6= 0} ⊂ Z Множество pk U = {pk u | u ∈ U } состоит из целых p-адических чисел, только если 0 6 k ∈ Z. Если же 0 > k ∈ Z, то множество pk U состоит из p-адических чисел, не являющихся целыми p-адическими числами. Если k 6= m, то pk U ∩ pm U = ∅. Объединение всех множеств pk U совпадает с множеством всех ненулевых p-адических S k чиb сел. Следовательно, имеет место разбиение Qp \{0} = p U. Тоk∈Z гда любое ненулевое p-адическое число α можно представить в виде α = pk β, где k ∈ Z и β ∈ U . Следовательно, p-адическое число 32 Числовые кольца и модули над ними b p . Таким образом, p−k β −1 является обратным к числу α в кольце Q b p является полем, называемым полем p-адических чисел. кольцо Q Л е к ц и я 7. Прямые суммы модулей. Теоремы об изоморфизме Пусть K — коммутативное кольцо и X — непустое множество. Отображение f : K × X → X будем называть (внешним) умножением элементов множества X на элементы кольца K, при этом элемент f (α, x), где α ∈ K и x ∈ X, будем обозначать просто αx. Определение 7.1. Непустое множество A с бинарной операцией + и внешним умножением на элементы кольца K называется модулем над кольцом K (или K-модулем), если для любых α, β ∈ K и a, b ∈ A выполняются следующие условия: (M1) hA, +i — абелева группа; (M2) (α + β)a = αa + βa; (M3) α(a + b) = αa + αb; (M4) (αβ)a = α(βa); (M5) 1 · a = a. Если K — поле, то K-модули — это, в точности, векторные пространства над полем K. Если K — кольцо целых чисел Z, то любая абелева группа удовлетворяет всем свойствам определения модуля относительно естественного умножения на целые числа. Следовательно, абелевы группы — это, в точности, модули над кольцом целых чисел Z. Пусть A — модуль над кольцом K, подгруппа B аддитивной группы A называется подмодулем, если γb ∈ B для всех γ ∈ K и b ∈ B. Каждое коммутативное кольцо является модулем над самим собой. При этом, внешнее умножение совпадает с его внутренним умножением. Рассматривая коммутативное кольцо как модуль над самим собой, можно заметить, что его подмодули и идеалы совпадают. Л е к ц и я 7. Прямые суммы модулей. Теоремы об изоморфизме 33 Пусть C1 , C2 , . . . , Cn — подмодули модуля A над коммутативным кольцом K. Тогда множество C1 +C2 +. . .+Cn = {c1 +c2 +. . .+cn | c1 ∈ C1 , c2 ∈ C2 , . . . , cn ∈ Cn }, очевидно, является подмодулем K-модуля A. Пересечение также подмодуль K-модуля A. Однако объединение тельно является подмодулем. n S i=1 n T i=1 Ci — Ci не обяза- Теорема 7.1. Пусть C1 , C2 , . . . , Cn — подмодули модуля A над коммутативным кольцом K и A = C1 + C2 + . . . + Cn . Тогда следующие утверждения равносильны. 1. Каждый элемент a ∈ A однозначно представляется в виде a = c1 + c2 + . . . + cn , где c1 ∈ C1 , c2 ∈ C2 , . . . , cn ∈ Cn ; 2. Если c1 + c2 + . . . + cn = 0, где c1 ∈ C1 , c2 ∈ C2 , . . . , cn ∈ Cn , то c1 = c2 = . . . = cn = 0; ¡P ¢ 3. Ci ∩ Cj = 0 для любого i = 1, 2, . . . , n. j6=i Доказательство. 1 ⇒ 2. Имеем 0 = 0 + 0 + . . . + 0 и такое представление однозначно. ¡P ¢ 2 ⇒ 3. Если c ∈ C1 ∩ Cj , то c = c1 ∈ C1 и c = c2 + . . . + cn , j6=1 где c2 ∈ C2 , . . . , cn ∈ Cn . Следовательно, −c1 + c2 + . . . + cn = 0, а значит, c = c1 = c2 = . . . = cn = 0. 3 ⇒ 1. Пусть a = c1 +c2 +. . .+cn = d1 +d2 +. . .+dn , где ci , di ∈ Ci для каждого i = 1, 2, . . . , n. Тогда 0 = (c1 − d1 ) + (c2 − d2 ) + . . . + (cn − dn ). ¡P ¢ Отсюда следует, что ci − di ∈ Ci ∩ Cj , а значит, ci − di = 0 для j6=i всех i = 1, 2, . . . , n. Тогда c1 = d1 , c2 = d2 , . . . , cn = dn . ¤ Определение 7.2. Если модуль A = C1 +C2 +. . .+Cn удовлетворяет одному из трех равносильных условий теоремы 7.1, то будем говорить, что модуль A раскладывается в прямую сумму своих подмодулей C1 , C2 , . . . , Cn и писать A = C1 ⊕ C2 ⊕ . . . ⊕ Cn . 34 Числовые кольца и модули над ними Данное определение не противоречит определению прямой суммы колец. Рассмотрим кольцо K как модуль над самим собой и предположим, что оно раскладывается в прямую сумму своих подмодулей, K = C1 ⊕ C2 ⊕ . . . ⊕ Cn . Из этого, в частности следует, что C1 , C2 , . . . , Cn — идеалы кольца K. Тогда существуют элементы ε1 ∈ C1 , ε2 ∈ C2 , . . . , εn ∈ Cn , такие что 1 = ε1 + ε2 + . . . + εn . Так как εi εj ∈ Ci ∩ Cj , то εi εj = 0 для любых i 6= j. Умножая равенство 1 = ε1 + ε2 + . . . + εn на εi , получаем εi = ε2i . Таким образом, элементы ε1 , ε2 , . . . , εn образуют полную ортоганальную систему идемпотентов. Следовательно, каждый идеал Ci можно рассматривать как коммутативное кольцо с единицей εi . Тогда по теореме 5.1 кольцо K раскладывается в прямую сумму колец, K = C1 ⊕ C2 ⊕ . . . ⊕ Cn . Пусть B — подмодуль K-модуля A. Определим на множестве A бинарное отношение ≡ следующим образом a≡b ⇔ a−b∈B для любых a, b ∈ A. Данное отношение является отношением эквивалентности и, следовательно, S задает разбиение множества A на классы эквивалентности, A = ā, где ā = a + B = {c ∈ A | c ≡ a}. a∈A Два разных класса эквивалентности ā и b̄ не пересекаются, ā∩ b̄ = ∅. Множество всех классов эквивалентности {ā | a ∈ A} будем обозначать A/B. Операции ā + b̄ = a + b и γā = γa, где ā, b̄ ∈ A/B, a, b ∈ A и γ ∈ K, определены корректным образом на множестве A/B. Относительно этих операций множество A/B является модулем над кольцом K. Модуль A/B называется фактормодулем модуля A по подмодулю B. Пусть A и B — модули над коммутативным кольцом K. Отображение f : A → B называется гомоморфизмом K-модулей, если для любых a, b ∈ A и γ ∈ K выполняются равенства f (a + b) = f (a) + f (b) и f (γa) = γf (a). Для произвольного гомоморфизма K-модулей f : A → B определим два подмодуля, а именно, ker(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0} ⊂ A, Л е к ц и я 7. Прямые суммы модулей. Теоремы об изоморфизме 35 im(f ) = {f (a) | a ∈ A} ⊂ B. Гомоморфизм K-модулей f : A → B называется сюръективным (или просто эпиморфизмом), если im(f ) = B. Гомоморфизм K-модулей f : A → B называется инъективным (или просто мономорфизмом), если ker(f ) = 0. Очевидно, что в последнем случае f (a) = f (b) ⇒ a = b. Гомоморфизм называется изоморфизмом, если он инъективен и сюръективен одновременно. Два модуля изоморфны A ∼ = B, если существует изоморфизм K-модулей f : A → B. Далее мы докажем три «теоремы об изоморфизме», которые иногда называют теоремы Нетер (по имени Эмми Нетер (1882–1935)). Теорема 7.2. Пусть f : A → B — гомоморфизм модулей над коммутативным кольцом K, тогда A/ ker(f ) ∼ = im(f ). В частности, если f — эпиморфизм, то A/ ker(f ) ∼ = B. Доказательство. Построим отображение f¯: A/ ker(f ) → im(f ), действующее по закону f¯(ā) = f (a) для всех ā = a + ker(f ) ∈ A/ ker(f ), a ∈ A. Отображение f¯ задано корректно, так как равенство ā = b̄ влечет a − b ∈ ker(f ) и, следовательно, f (a) = f (b), т. е. значение f¯(ā) не зависит от выбора представителя a ∈ A. Легко также проверить, что отображение f¯: A/ ker(f ) → im(f ) является гомоморфизмом K-модулей и, более того, оно инъективно и сюръективно. Таким образом, f — изоморфизм и A/ ker(f ) ∼ ¤ = im(f ). Пусть B и C — произвольные подмодули K-модуля A. Тогда множество B + C = {b + c | b ∈ B, c ∈ C} является подмодулем K-модуля A. Пересечение B ∩ C — также подмодуль в A. Теорема 7.3. Пусть B и C — подмодули K-модуля A, тогда B/(B ∩ C) ∼ = (B + C)/C. Доказательство. Зададим гомоморфизм f : B → (B + C)/C, действующий по закону f (b) = b+C ∈ (B+C)/C для каждого b ∈ B. 36 Числовые кольца и модули над ними Очевидно, что f — сюръективный гомоморфизм и ker(f ) = B ∩ C. Тогда по теореме 7.2 получаем, что B/(B ∩ C) ∼ ¤ = (B + C)/C. Теорема 7.4. Пусть C ⊂ B ⊂ A — цепочка K-модулей, тогда (A/C)/(B/C) ∼ = A/B. Доказательство. Зададим гомоморфизм f : A/C → A/B, действующий по закону f (a + C) = a + B для каждого a ∈ A. Так как C ⊂ B, то f задан корректно. Гомоморфизм f : A/C → A/B сюръективный и ker(f ) = B/C ⊂ A/C. Тогда по теореме 7.2 получаем, что (A/C)/(B/C) ∼ ¤ = A/B. Л е к ц и я 8. Модули над кольцом целых p-адических чисел Пусть a1 , a2 , . . . , an — элементы модуля A над коммутативным кольцом K. Тогда множество ha1 , a2 , . . . , an iK = {γ1 a1 + γ2 a2 + . . . + γn an | γ1 , γ2 , . . . , γn ∈ K} является подмодулем K-модуля A. Если имеет место равенство A = ha1 , a2 , . . . , an iK , то будем говорить, что A — конечно порожденный K-модуль, а элементы a1 , a2 , . . . , an будем называть его порождающими. Модуль, порожденный одним элементом, называется циклическим. Мы будем иногда опускать индекс K, если из контекста понятно о каком кольце идет речь. Теорема 8.1. Пусть p — простое число. Каждый циклический b p изоморфен одному модуль над кольцом целых p-адических чисел Z b p -модулей: из следующих Z b p , 0, Zp , Zp2 , Zp3 , . . . , Z которые определяют последовательность ∞, 0, 1, 2, 3, . . . Л е к ц и я 8. Модули над кольцом целых p-адических чисел 37 b p -модуль M порождается одним элеДоказательство. Пусть Z b p → M , действующее ментом c ∈ M , M = hci. Отображение f : Z b p , очевидно, является эпиморфизпо закону f (α) = αc, где α ∈ Z b p -модулей. Тогда из теоремы 7.2 следует, что M ∼ b p / ker(f ). мом Z =Z b p, В соответствие с теоремой 6.3 идеал ker(f ) имеет вид ker(f ) = pk Z где k = ∞, 0, 1, 2, . . . (мы полагаем p∞ = 0). По той же теореме 6.3 b p / ker(f ) имеют вид Z b p , 0, Zp , Zp2 , Zp3 , . . . , фактормодули Z ¤ Теорема 8.2. Пусть p — простое число. Всякий конечно поb p расрожденный модуль над кольцом целых p-адических чисел Z кладывается в прямую сумму циклических модулей. Количество ненулевых прямых слагаемых при этом не превосходит числа порождающих элементов. b p -модуль, Доказательство. Пусть A — конечно порожденный Z A = ha1 , a2 , . . . , an i и пусть n > 1. Если равенство γ1 a1 + γ2 a2 + . . . + γn an = 0, b p , возможно только при γ1 = γ2 = . . . = γn = 0, где γ1 , γ2 , . . . , γn ∈ Z то A = ha1 i ⊕ ha2 i ⊕ . . . ⊕ han i по п. 2 теоремы 7.1. В противном случае, можно выбрать линейную комбинацию равную нулю γ1 a1 + γ2 a2 + . . . + γn an = 0, такую что один из ее коэффициентов, скажем γ1 , имеет наименьшую высоту среди всех коэффициентов всех линейных комбинаций, которые равны нулю. При таком выборе коэффициент γ1 6= 0 является делителем остальных коэффициентов γ2 , . . . , γn с частными β2 , . . . , βn соответственно. Тогда γ1 (a1 + β2 a2 + . . . + βn an ) = 0. Построим новые элементы b1 = a1 + β2 a2 + . . . + βn an , b2 = a2 , . . . , bn = an , которые, очевидно, также порождают модуль A, A = hb1 , b2 , . . . , bn i = hb1 i + hb2 , . . . , bn i. Если существует отличный от нуля элемент c ∈ hb1 i∩hb2 , . . . , bn i, то b p . В случае, когда c = α1 b1 = α2 b2 + . . . + αn bn , где α1 , α2 , . . . , αn ∈ Z высота h(α1 ) больше или равна высоты h(γ1 ) целое p-адическое число α1 делится на целое p-адическое число γ1 , т. е. α1 = αγ1 . Следовательно, c = α1 b1 = α(γ1 b1 ) = α0 = 0. Так как c 6= 0, то h(α1 ) < h(γ1 ) 38 Числовые кольца и модули над ними и имеет место равенство α1 (a1 + β2 a2 + . . . + βn an ) − (α2 a2 + . . . + αn an ) = 0, а значит, α1 a1 + (α1 β2 − α2 )a2 + . . . + (α1 βn − αn )an = 0, где высота коэффициента α1 строго меньше чем h(γ1 ). Но это противоречит выбору коэффициента γ1 . Следовательно, hb1 i ∩ hb2 , . . . , bn i = 0 и A = hb1 i ⊕ hb2 , . . . , bn i по п. 3 теоремы 7.1. По предположению индукции модуль hb2 , . . . , bn i раскладывается в прямую сумму m b p -модулей, где m 6 n − 1, циклических Z hb2 , . . . , bn i = hc1 i ⊕ . . . ⊕ hcm i. Таким образом, A = hb1 i ⊕ hc1 i ⊕ . . . ⊕ hcm i и количество прямых слагаемых m + 1 6 n. ¤ Теорема 8.3. Для любого положительного целого числа k существует взаимно однозначное соответствие между классом b p -модулей, порожденных k элементами, рассматриваемых с точZ ностью до изоморфизма, и множеством последовательностей вида m1 6 m2 6 . . . ≤ mk , где mi ∈ {∞, 0, 1, 2, . . .}, i = 1, 2, . . . , k. Доказательство. Из теорем 8.1 и 8.2 следует, что произвольb p -модуль A c k порождающими элементами можно предстаный Z вить в виде A ∼ = Zpm1 ⊕ Zpm2 ⊕ . . . ⊕ Zpmn , где n 6 k. Мы здесь b p . Порядок следования временно используем обозначение Zp∞ = Z прямых слагаемых не имеет значения, поэтому будем считать, что m1 6 m2 6 . . . 6 mn . Добавление нулевых прямых слагаемых не меняет модуля A, следовательно, в случае n < k можно дописать несколько нулевых прямых слагаемых так, чтобы последовательность 0 6 . . . 6 0 6 m1 6 m2 6 . . . 6 mn содержала ровно k элементов. Очевидно, что два модуля не могут быть изоморфны, если им соответствуют разные последовательности m1 6 m2 6 . . . 6 mk и n1 6 n2 6 . . . 6 nk . ¤ Доказанная теорема дает полное описание конечно порожденных b p -модулей. Поле p-адических чисел Q b p является примером бескоZ b p -модуля. нечно порожденного Z Л е к ц и я 9. Модули над кольцом n-адических чисел 39 b p -модуль. ТоТеорема 8.4. Пусть M — конечно порожденный Z гда любой подмодуль N модуля M также является конечно порожденным с числом порождающих, не превосходящим числа порождающих модуля M . Доказательство. Согласно предыдущей теореме модуль M с k порождающими элементами имеет вид M = Zpm1 ⊕ Zpm2 ⊕ . . . ⊕ Zpmk , b p . Рассмотрим проекцию на пергде mi ∈ {∞, 0, 1, . . .} и Zp∞ = Z вое слагаемое π : M → Zpm1 . Подмодуль π(N ) модуля Zpm1 является циклическим и порождается элементом a1 ∈ Zpm1 . Это означает, в частности, что существует элемент a = a1 +a2 +. . .+ak , принадлежащий модулю N . Рассмотрим подмодуль V = N ∩ (Zpm2 ⊕ . . . ⊕ Zpmk ). По предположению индукции подмодуль V порождается k − 1 элементом v2 , . . . , vk . Докажем, что система элементов a, v2 , . . . , vk порождает модуль N . Действительно, пусть b = b1 + b2 + . . . + bk ∈ N , b p . Элемент b − αa тогда π(b) = b1 = αa1 для некоторого α ∈ Z принадлежит подмодулю V , поэтому b − αa = α2 v2 + . . . + αk vk b p . Следовательно, для подходящих коэффициентов α2 , . . . , αk ∈ Z b = αa + α2 v2 + . . . + αk vk ¤  Пусть p — простое число. Абелева группа, порядки элементов которой являются степенями числа p, называется p-примарной группой или просто b p × A → A для произвольной p-группой. Определим внешнее умножение Z bp p-группы A следующим образом. Если γ = c0 + c1 p + . . . + ck pk + . . . ∈ Z k и a ∈ A, то бесконечная сумма γa = c0 a + c1 pa + . . . + ck p a + . . . фактически является конечной, так как все ее члены, начиная с некоторого места, нулевые. Следовательно, произведение γa ∈ A задано корректно. Легко проверить, что относительно данного умножения p-группа A является моb p. дулем над кольцом целых p-адических чисел Z Л е к ц и я 9. Модули над кольцом n-адических чисел Пусть n = pk11 ·pk22 ·. . .·pks s — каноническая форма положительного целого числа n, т. е. p1 , p2 , . . . , ps — попарно различные простые числа и k1 , k2 , . . . , ks — положительные целые числа. В соответствии с 40 Числовые кольца и модули над ними bn ∼ b p ⊕Z b p ⊕. . .⊕Z bp , теоремой 5.7 имеет место изоморфизм колец Z =Z 1 2 s следовательно, строение кольца n-адических чисел зависит только от множества простых делителей {p1 , p2 , . . . , ps } числа n и не зависит от показателей степени k1 , k2 , . . . , ks . b n содержит s идемпотентов ε1 , ε2 , . . . , εs , таких что: Кольцо Z 1) εi εj = 0 при любых i 6= j, 2) ε1 + ε2 + . . . + εs = 1, b n единственным образом представляется 3) каждый элемент α ∈ Z b p , α2 ∈ Z bp , . . . , в виде α = α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs , где α1 ∈ Z 1 2 b αs ∈ Zps . b n -модуль. Подмодуль εi A = {εi a | a ∈ A} будем назыПусть A — Z вать pi -примарной компонентой модуля A, i = 1, 2, . . . , s. Зададим b p × εi A → εi A элементов εi a ∈ εi A на целые внешнее умножение Z i b p следующим образом γ(εi a) = (γεi )a. pi -адические числа γ ∈ Z i b n . Таким обраУмножение определено корректно, так как γεi ∈ Z b n -модуль, но также и зом, pi -примарная компонента εi A не только Z b p -модуль, i = 1, 2, . . . , s. Z i b n -модуль раскладывается в прямую сумТеорема 9.1. Каждый Z му своих pi -примарных компонент. b n -модуль A. Каждый элемент Доказательство. Рассмотрим Z a ∈ A представим в виде a = 1a = (ε1 + . . . + εs )a = ε1 a + . . . + εs a ∈ ε1 A + . . . + εs A, s P P следовательно, A = εi A. Пусть c ∈ εi A ∩ εj A, тогда имеет i=1 j6 = i P место равенство c = εi a = εj aj , умножив которое на εi , получим, j6=i что c = 0. Таким образом, по п. 3 теоремы 7.1 получаем требуемое разложение A = ε1 A ⊕ ε2 A ⊕ . . . ⊕ εs A. ¤ Теорема 9.2. Пусть n = pk11 pk22 · . . . · pks s — каноническая форма b n -модули находятположительного целого числа n. Циклические Z ся во взаимно однозначном соответствие с последовательностями вида (m1 , m2 , . . . , ms ), где mi ∈ {∞, 0, 1, 2, . . .} для каждого i = 1, 2, . . . , s. Л е к ц и я 9. Модули над кольцом n-адических чисел 41 b n -модуль, тоДоказательство. Пусть A = hci — циклический Z гда A = hε1 ci ⊕ hε2 ci ⊕ . . . ⊕ hεs ci. Каждая pi -примарная компонента b p -модулем, который в соответствии с hεi ci является циклическим Z i теоремой 8.1 определяет элемент mi ∈ {∞, 0, 1, 2, . . .}. Таким образом, получаем последовательность (m1 , m2 , . . . , ms ), такую что A∼ = Zpm1 1 ⊕ Zpm2 2 ⊕ . . . ⊕ Zpms s (здесь, как и в теореме 8.3, мы испольb p ). зуем обозначение Zp∞ = Z Обратно, пусть (m1 , m2 , . . . , ms ) — произвольная последовательность рассматриваемого вида. Тогда модуль Zpm1 1 ⊕ Zpm2 2 ⊕ . . . ⊕ Zpms s = {(t1 , t2 , . . . , ts ) | ti ∈ Zpmi i , i = 1, . . . , s}, b n -модулем относительно умножения очевидно, является Z (α1 ε1 + . . . + αs εs )(t1 , . . . , ts ) = (α1 t1 , . . . , αs ts ). Более того, он является циклическим модулем, порожденным элементом (1, 1, . . . , 1). ¤ Последовательности вида (m1 , m2 , . . . , ms ), где mi принимают значения из множества {∞, 0, 1, 2, . . .} для каждого i = 1, 2, . . . , s, b n -модули, но и идеполностью определяют не только циклические Z b n (по теореме 7.2 об изоморфизме). Будем называть алы кольца Z такие последовательности n-характеристиками. Определим отношение порядка на множестве всех n-характеристик следующим образом (m1 , m2 , . . . , ms ) 6 (l1 , l2 , . . . , ls ) ⇔ mi 6 li для всех i = 1, 2, . . . , s, считая, что всегда ∞ > m. b n -модуль расклаТеорема 9.3. Каждый конечно порожденный Z дывается в прямую сумму циклических модулей. Более того, суb nществует взаимно однозначное соответствие между классом Z модулей, порожденных k элементами, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, и упорядоченными последовательностями n-характеристик χ1 6 χ2 6 . . . 6 χk . b nДоказательство. Пусть элементы c1 , c2 , . . . , ck порождают Z модуль A. Тогда элементы εi c1 , εi c2 , . . . , εi ck порождают pi -примарную компоненту εi A модуля A, i = 1, 2, . . . , s. В свою очередь, 42 Числовые кольца и модули над ними b p -модуль εi A по теореме 8.3 определяет упорядоченную последоZ i вательность m1i 6 m2i 6 . . . 6 mki , где mji ∈ {∞, 0, 1, 2, . . .}, j = 1, 2, . . . , k, для каждого i = 1, 2 . . . , s, такую что ´ L ´ s ³L k k ³L s L ∼ A= Zpmji = Zpmji . i=1 j=1 i j=1 i=1 i b n -модуль Aj = Ls Z mji циклический, ему соответствует Всякий Z i=1 pi n-характеристика χj = (mj1 , mj2 , . . . , mjs ), j = 1, 2, . . . , k, причем χ1 = (m11 , m12 , . . . , m1s ) 6 χ2 = (m21 , m22 , . . . , m2s ) 6 . . . . . . 6 χk = (mk1 , mk2 , . . . , mks ). Обратно, та же конструкция определяет конечно порожденный модуль по произвольной упорядоченной последовательности n-характеристик χ1 6 χ2 6 . . . 6 χk . ¤ Пример b 10 изоморКаждый циклический модуль над кольцом 10-адических чисел Z b 10 -модулей: фен одному из следующих Z b 10 , Z b 2 ⊕ Z5k , Z2k ⊕ Z b 5 , или Zm , Z где 0 6 k ∈ Z и m = 2r 5s , 0 6 r, s ∈ Z. Л е к ц и я 10. Кольцо псевдорациональных чисел Сперва определим множество рациональных чисел Q(n) для целого числа n > 2. Пусть a и b — взаимно простые целые числа и b 6= 0. Дробь ab принадлежит множеству Q(n) тогда и только тогда, когда знаменатель b является делителем некоторой степени nk числа n. Легко видеть, что Q(n) является подкольцом поля рациональных чисел Q. Более того, строение кольца Q(n) зависит только от множества S(n) = {p1 , p2 , . . . , pk } простых делителей числа n, в точности, b n . Кольцо Q(n) состоит из несократимых дрокак и строение кольца Z бей ab , таких что все простые делители числа b лежат в множестве S(n) = {p1 , p2 , . . . , pk }. Следовательно, Q(n) = Q(m) ⇔ S(n) = S(m). Л е к ц и я 10. Кольцо псевдорациональных чисел 43 Если целое число m > 2 делит целое число n, то кольцо Q(m) является подкольцом кольца Q(n) . В частности, кольца Q(m) и Q(l) являются подкольцами кольца Q(ml) , причем Q(ml) = Q(m) + Q(l) . b n ⊕Q(n) . Если Для каждого n > 2 определим новое кольцо Rn = Z S(n) = {p1 , p2 , . . . , pk } — множество всех простых делителей числа n, то по теореме 5.7 bp ⊕ Z bp ⊕ . . . ⊕ Z b p ⊕ Q(n) . Rn = Z 1 2 k bp ⊕Z b p ⊕. . .⊕ Z b p ⊕Q(n) можно представить Элементы кольца Rn = Z 1 2 k b p , i = 1, 2, . . . , k, и в виде наборов (α1 , α2 , . . . , αk , q), где αi ∈ Z i (n) q ∈ Q . Рассмотрим следующие элементы кольца Rn bp , ε1 = (1, 0, 0, . . . , 0), 1 ∈ Z 1 b ε2 = (0, 1, 0, . . . , 0), 1 ∈ Zp2 , ··· ·················· ······· bp , εk = (0, . . . , 0, 1, 0), 1 ∈ Z k (n) ε = (0, . . . , 0, 0, 1), 1 ∈ Q, ε(n) = ε1 + ε2 + . . . + εk . Все они — идемпотенты кольца Rn , и каждый элемент γ ∈ Rn единbn ственным образом представляется в виде γ = αε(n) +qε(n) , где α ∈ Z bp , и q ∈ Q(n) , или в виде γ = α1 ε1 +α2 ε2 +. . .+αk εk +qε(n) , где αi ∈ Z i (n) i = 1, 2, . . . , k, и q ∈ Q .  Если целое число m > 2 делит целое число n > 2, то S(m) = {p1 , p2 , . . . , ps } ⊂ S(n) = {p1 , p2 , . . . , ps , ps+1 , . . . , pk }, b m включено в кольцо Z b n в качестве прямого сласледовательно, кольцо Z гаемого (главного идеала, порожденного идемпотентом ε1 + ε2 + . . . + εs ). b m можно представить в виде Каждое m-адическое число γ ∈ Z bp ⊕ Z bp ⊕ . . . ⊕ Z b ps = Z b m, γ = α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs ∈ Z 1 2 b n . А именно, значит, γ можно рассматривать в качестве элемента кольца Z b n. bp ⊕ Z bp ⊕ . . . ⊕ Z bp = Z γ = α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs + 0εs+1 + . . . + 0εk ∈ Z 1 2 k Лемма 10.1. Если S(m) ⊂ S(n), то Rm — подкольцо кольца Rn . 44 Числовые кольца и модули над ними Доказательство. По условию леммы имеем S(m) = {p1 , p2 , . . . , ps } ⊂ S(n) = {p1 , p2 , . . . , ps , ps+1 , . . . , pk }. Если q ∈ Q(m) , то знаменатель числа q не делится на pi при всех i = s + 1, . . . , k. Следовательно, по теореме 6.1 число q принадлеb p , i = s + 1, . . . , k. Кроме того, q ∈ Q(n) , жит каждому из колец Z i (m) (n) поскольку Q ⊂ Q . Тогда мы можем рассмотреть элементы вида α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs + qεs+1 + . . . + qεk + qε(n) ∈ Rn , b p , i = 1, 2, . . . , s, и q ∈ Q(m) . Все элементы такого вида где αi ∈ Z i образуют подкольцо в кольце Rn . Нетрудно видеть, что отображение, при котором элементу α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs + qε(m) ∈ Rm соответствует элемент α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αs εs + qεs+1 + . . . + qεk + qε(n) ∈ Rn , является вложением кольца Rm в кольцо Rn . ¤ Следующая теорема является простым следствием доказанной леммы. Теорема 10.2. Пусть k > 1 и m > 1 — взаимно простые целые числа, тогда: bk ⊕ Z b m ⊕ Q(km) ; 1. Rkm = Z 2. Кольца Rk и Rm являются подкольцами кольца Rkm , причем Rkm = Rk + Rm ; bk, Z bm и Z b km являются прямыми слагаемыми кольца Rkm ; 3. Z 4. Если 1 — единый элемент кольца Rkm , то 1 = ε(k) +ε(m) +ε(km) , ε(k) = ε(m) + ε(km) , ε(m) = ε(k) + ε(km) и ε(km) = ε(m) + ε(k) . ¤ Используя данную теорему и лемму 10.1, мы можем определить сумму и произведение элементов γ1 ∈ Rk и γ2 ∈ Rm для различных k и m. А именно, сумма и произведение лежат в большем кольце, γ1 γ2 ∈ Rkm и γ1 + γ2 ∈ Rkm . Л е к ц и я 10. Кольцо псевдорациональных чисел 45 Пример Последовательность двоичных цифр . . . 1010101001 является периодической, b 2 . Аналоначиная с 4-го элемента. Она задает целое 2-адическое число α ∈ Z b 5 . Тогда γ1 = αε(2) + 1 ε(2) ∈ R2 гичная ситуация с числом β = . . . 313131 ∈ Z 2 и γ2 = βε(5) + 51 ε(5) ∈ R5 . В соответствие с леммой 10.1, можем переписать γ1 = αε(2) + 12 ε(5) + 12 ε(10) ∈ R10 и γ2 = 15 ε(2) + βε(5) + 15 ε(10) ∈ R10 . Теперь мы можем найти произведение γ1 γ2 ∈ R10 , а именно, γ1 γ2 = α5 ε(2) + β2 ε(5) + 1 (10) ε 10 ∈ R10 . ¡ ¢ b2 и β = − 2 ∈ Z b 5 , то получаем, что γ1 γ2 = − 1 ε(10) + 1 ε(10) . Так как α = − 53 ∈ Z 3 3 10 b 10 . СледоРациональное число − 31 совпадает с 10-адическим числом . . . 333 ∈ Z 1 (10) вательно, окончательным результатом будет: γ1 γ2 = (. . . 333)ε(10) + 10 ε ∈ R10 . Определение 10.1. Объединение R = S n>2 Rn по всем кольцам Rn относительно определенных выше операций сложения и умножения образует коммутативное кольцо, которое называется кольцом псевдорациональных чисел. Элементы кольца R называются псевдорациональными числами. Единица кольца R совпадает со всеми единицами колец Rn , n > 2. Кроме того, единица 1 ∈ R не делится в кольце R ни на какое целое m > 2. Действительно, пусть pγ = 1, где γ ∈ R и p — простое число, тогда γ = αε(n) + qε(n) для некоторого целого n > 2, следоb n и q = 1 ∈ Q(n) . Так как 1 ∈ Z b n , то p и n — вательно, α = p1 ∈ Z p p взаимно простые числа, а так как p1 ∈ Q(n) , то p делит n. Получили противоречие. Рассмотрим другие свойства кольца псевдорациональных чисел. 1. Каждый нетривиальный идемпотент кольца R имеет вид ε(n) или ε(n) для некоторого n > 2. Более того, ε(n) + ε(n) = 1 и ε(n) ε(n) = 0. 2. Каждое кольцо Rn является подкольцом кольца R. b n является прямым слагаемым кольца R. 3. Каждое кольцо Z 4. Каждый элемент γ ∈ R представляется в виде γ = α + q, где α — n-адическое число при некотором n и q — рациональное число. Это есть упрощенная запись равенства γ = αε(n) + qε(n) . 46 Числовые кольца и модули над ними Запись γ = α + q не однозначная, так как число n определяется не однозначно. В связи с этим n-адическое число α тоже задается не однозначно. Однако, рациональное число q определяется однозначно, так как оно не зависит от выбора числа n. Будем обозначать q = |γ| и называть это число рациональной частью псевдорационального числа γ. 5. Для любых γ1 , γ2 ∈ R справедливо |γ1 + γ2 | = |γ1 | + |γ2 |, |γ1 γ2 | = |γ1 | |γ2 |, кроме того, |0| = 0, |1| = 1, |ε(n) | = 0 и |ε(n) | = 1 при всех n > 2. 6. (Свойство универсальности) Пусть {fn : Rn → K | n > 2} — такое множество кольцевых гомоморфизмов в коммутативное кольцо K, что для любого делителя m > 2 целого числа n гомоморфизм fm : Rm → K является ограничением гомоморфизма fn : Rn → K. Тогда существует единственный гомоморфизм колец f : R → K, такой что всякий гомоморфизм fn : Rn → K является ограничением гомоморфизма f : R → K на подкольцо Rn . Более того, если все гомоморфизмы fn : Rn → K инъективные, то гомоморфизм f : R → K также инъективный. Л е к ц и я 11. Идеалы кольца псевдорациональных чисел Мы начнем эту лекцию с рассмотрения некоторых важных примеров модулей над кольцом псевдорациональных чисел. Примеры b n (2 6 n ∈ Z) также 1. Любой модуль над кольцом n-адических чисел Z является модулем над кольцом псевдорациональных чисел R. В соответствии со свойством 1 кольца псевдорациональных чисел получаем b n . Тогда каждое псевдорациональное разложение R = ε(n) R⊕ε(n) R, где ε(n) R = Z b n и γ 0 ∈ ε(n) R. число γ однозначно представляется в виде γ = α + γ 0 , где α ∈ Z b n -модуль, тогда определим внешнее умножение R × M → M по Пусть M — Z b n , γ 0 ∈ ε(n) R и m ∈ M . Легко формуле γm = αm, где γ = α + γ 0 ∈ R, α ∈ Z видеть, что M удовлетворяет всем аксиомам R-модуля. Пусть p — простое число. Мы показали, в частности, что каждый модуль над b p также является модулем и над кольцом кольцом целых p-адических чисел Z псевдорациональных чисел R. Л е к ц и я 11. Идеалы кольца псевдорациональных чисел 47 2. Любое векторное пространство над полем рациональных чисел Q является модулем над кольцом псевдорациональных чисел R. Пусть V — векторное пространство над полем Q. Определим внешнее умножение R × V → V по формуле γv = |γ|v, где γ ∈ R, v ∈ V и |γ| ∈ Q — рациональная часть псевдорационального числа γ (см. свойства 4 и 5 кольца псевдорациональных чисел). Очевидно, V — R-модуль. Будем называть такие модули (Q-пространства) делимыми R-модулями. Отметим, что если v — элемент делимого R-модуля, то ε(n) v = 0 и ε(n) v = v для каждого 2 6 n ∈ Z. Мы уже рассматривали конечные прямые суммы модулей в лекции 7. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть {Ai , i ∈ I} — некоторое множество модулей над кольцом K. Множество индексов I может быть теперь бесконечным. Множество всех векторов (ai )i∈I , где ai ∈ Ai , будем называть прямым или декартовым произведеQ нием модулей Ai и обозначать Ai . Сумму и внешнее умножеi∈I Q ние на множестве Ai зададим покомпонентно, т. е. для любых Q i∈I (ai )i∈I , (bi )i∈I ∈ Ai и любого γ ∈ K i∈I (ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I , γ(ai )i∈I = (γai )i∈I . Q Таким образом, Ai — модуль над кольцом K. i∈I Q Рассмотрим в прямом произведении Ai подмножество вида i∈I L © Q Ai = (ai )i∈I ∈ Ai | ai = 0 почти для всех i ∈ I}, i∈I i∈I Q которое, очевидно, является подмодулем K-модуля Ai . Модуль i∈I L Ai называется прямой суммой модулей Ai , i ∈ I. Используемое i∈I нами при определении прямой суммы словосочетание «почти для всех », следует понимать, как «для всех, кроме числа». L конечного Q Если I — конечное множество, то, очевидно, Ai = Ai . Если же i∈I i∈I I — бесконечное множество L Q L Q и все модули Ai отличны от нуля, то Ai ⊂ Ai , но Ai 6= Ai . i∈I i∈I i∈I i∈I Пусть {Ai , i ∈ I} — множество подмодулей K-модуля A. Конечные суммы вида a1 +a2 +. . .+an , где a1 ∈ Ai1 , a2 ∈ Ai2 , . . . , an ∈ Ain , 48 Числовые кольца и модули над ними i1 , i2 , . . . , in ∈ I, P 0 < n ∈ Z, образуют подмодуль в модуле A, который обозначают Ai . Следующее утверждение аналогично теореi∈I ме 7.1 и доказывается аналогичным образом. Предложение 11.1. Пусть Ai , i ∈ I, — подмодули модуля A и P A= Ai . Тогда следующие утверждения равносильны: i∈I 1. Каждый элемент b ∈ A единственным образом, с точностью до порядка следования слагаемых и с точностью до нулевых слагаемых, представляется в виде b = a1 + a2 + . . . + an , где a1 ∈ Ai1 , a2 ∈ Ai2 , . . . , an ∈ Ain , индексы i1 , i2 , . . . , in ∈ I различные и 0 < n ∈ Z; 2. Если a1 + a2 + . . . + an = 0, где a1 ∈ Ai1 , a2 ∈ Ai2 , . . . , an ∈ Ain и индексы i1 , i2 , . . . , in ∈ I различные, то a1 = a2 = . . . = an = 0; P 3. Ai ∩ Aj = 0 для любого индекса i ∈ I. j6=i 4. A ∼ = L Ai . ¤ i∈I Напомним, что идеалы кольца псевдорациональных чисел R — bp это, в точности, подмодули R-модуля R. В частности, ε(p) R = ε(p) Z является прямым слагаемым кольца R при любом простом p. Идеал b p можно рассматривать также как кольцо Z b p с единицей ε(p) . ε(p) Z P b p по всем простым p являетОпределение 11.1. Сумма ε(p) Z p∈P ся идеалом кольца R, который будем обозначать через T . В соответствии с предложением 11.1 имеем изоморфизм R-модулей Lb T ∼ Zp . = p∈P Рассмотрим некоторые свойства идеала T . 1. Для каждого псевдорационального числа γ ∈ T существует идемпотент ε(n) ∈ R, такой что γ = γε(n) . 2. Идеал T порождается идемпотентами ε(p) по всем простым p. Л е к ц и я 11. Идеалы кольца псевдорациональных чисел 49 3. Идеал T порождается идемпотентами ε(n) по всем целым числам 2 6 n ∈ Z, т. е. T = hε(n) | 2 6 n ∈ Zi. 4. Идеал T состоит из всех n-адических чисел по всем целым чисbn лам 2 6 n ∈ Z. Напомним, что всякое n-адическое число α ∈ Z содержится в кольце R, как элемент вида αε(n) ∈ R. 5. Идеал T состоит из всех псевдорациональных чисел с нулевой рациональной частью, т. е. T = {γ ∈ R : |γ| = 0}. 6. Факторкольцо R/T изоморфно полю рациональных чисел, т. е. R/T ∼ = Q. Действительно, отображение f : R → Q, действующее по закону f (γ) = |γ|, в силу свойства 5 кольца псевдорациональных чисел является эпиморфизмом колец. Так как ker(f ) = T , то по теореме об изоморфизме получаем нужный результат. Определение 11.2. Пусть P — множество всех простых чисел и ω = {∞, 0, 1, 2, . . .}. Произвольное отображение χ : P → ω называется характеристикой. Характеристику χ можно рассматривать как последовательность (mp ), занумерованную простыми индексами p, с элементами mp ∈ ω, такими что χ(p) = mp для всех p ∈ P . Пусть κ = (kp ) — еще одна характеристика. Определим порядок на множестве всех характеристик следующим образом κ 6 χ ⇔ kp 6 mp для всех p ∈ P. Определение 11.3. Идеал кольца R называется существенным, если он содержит элемент с ненулевой рациональной частью. В следующей теореме дается описание всех идеалов кольца R. Теорема 11.2. Если R — кольцо псевдорациональных чисел, то 1. Произвольный существенный идеал I кольца R представим в виде I = ε(n) J ⊕ ε(n) R для некоторого 2 6 n ∈ Z, где J — идеал b n; кольца Z 2. Несущественные идеалы кольца R находятся во взаимно однозначном соответствии с характеристиками. 50 Числовые кольца и модули над ними Доказательство. 1. Пусть I — произвольный существенный идеал кольца R, γ ∈ I и |γ| 6= 0. Тогда γ = αε(m) + qε(m) для некотоb m и 0 6= q = |γ| = a ∈ Q. Можрого 2 6 m ∈ Z, где α ∈ Z b но выбрать положительное целое число k, такое что всякий простой делитель произведения ab делит также и произведение mk и (m, k) = 1. Тогда γ = αε(m) + qε(k) + qε(mk) и q −1 ∈ Q(mk) . Получили, что ε(mk) = (q −1 ε(mk) )γ ∈ I. Следовательно, идеал I содержит идемb n ⊕ ε(n) R, потент вида ε(n) и, значит, ε(n) R ⊂ I. Так как R = ε(n) Z b n является идеалом кольца n-адических то пересечение J = I ∩ ε(n) Z b n с единицей ε(n) . Легко теперь видеть, что I = ε(n) J ⊕ ε(n) R. чисел Z 2. Пусть χ = (mp ) — произвольная характеристика. Тогда рассмотрим идеал I(χ) = hpmp ε(p) | p ∈ P i, порожденный всеми элементами вида pmp ε(p) . При этом мы полагаем, что p∞ = 0. Очевидно, I(χ) — несущественный идеал. Пусть I — несущественный идеал. Определим mp , как минимальную степень, такую что pmp ε(p) ∈ I для каждого простого p. Таким образом, получаем характеристику χ = (mp ). Идеал I совпадает с идеалом I(χ). Действительно, любой элемент γ ∈ I имеет вид γ = α1 ε(p1 ) +. . .+αk ε(pk ) +qε(n) , где q = 0. Каждое целое pi -адическое число αi записывается в виде αi = pm i β, где β — обратимый элеm −1 b мент кольца Zpi . Элемент pi ε(pi ) = (β ε(pi ) )γ принадлежит идеалу I. Следовательно, m > mpi и αi ε(pi ) принадлежит идеалу I(χ) при любом i = 1, 2, . . . , k. Получили, что γ ∈ I(χ) и, значит, I ⊂ I(χ). Обратное включение I(χ) ⊂ I имеет место в силу того, что все порождающие pmp ε(p) идеала I(χ) принадлежат идеалу I. Очевидно, также, что идеалы I(χ) и I(κ) различны тогда и только тогда, когда различны характеристики χ и κ. ¤ Следствие 11.3. Пусть χ и κ — две характеристики, тогда I(χ) ⊂ I(κ) ⇔ χ > κ. В частности, каждый несущественный идеал содержится в идеале T , которому соответствует характеристика (0, 0, . . .). ¤ Л е к ц и я 12. Модули над кольцом псевдорациональных чисел 51 Л е к ц и я 12. Модули над кольцом псевдорациональных чисел Предложение 12.1. Пусть p — простое число. Любой модуль M над кольцом псевдорациональных чисел R раскладывается в прямую сумму M = Mp ⊕ Mp0 , где Mp — модуль над кольцом целых b p и M 0 — модуль с однозначной p-делимостью, p-адических чисел Z p т. е. уравнение px = m имеет в модуле Mp0 ровно одно решение для каждого m ∈ Mp0 . Доказательство. Напомним, что идемпотенты ε(p) и ε(p) кольца R образуют полную ортогональную систему, т. е. ε(p) ε(p) = 0 и ε(p) + ε(p) = 1. Следовательно, имеет место прямое разложение M = ε(p) M ⊕ ε(p) M . Подмодуль Mp = ε(p) M является модулем над b p , а подмодуль M 0 = ε(p) M является модулем над кольцом кольцом Z p (p) Q . Следовательно, умножение на p1 ∈ Q(p) определено однозначно на модуле Mp0 . ¤ Определение 12.1. Пусть M — произвольный R-модуль. Тогда его p-адический подмодуль Mp = ε(p) M будем называть p-компонентой модуля M . Все линейные комбинации γ1 m1 + γ2 m2 + . . . + γk mk , где γ1 , γ2 , . . . , γk ∈ T = hε(n) | 2 6 n ∈ Zi, m1 , m2 , . . . , mk ∈ M и 0 < k ∈ Z, образуют подмодуль T (p) в M , который будем обозначать T M . Подмодуль divM = (ε M ) называется делимой частью p∈P модуля M . Следующие свойства легко следуют из определений. 1. T M = L Mp . p∈P 2. Для любого элемента t ∈ T M существует идемпотент ε(n) ∈ R, 2 6 n ∈ Z, такой что ε(n) t = t. 3. T (T M ) = T M . 4. Если N ⊂ T M , то T N = N . 52 Числовые кольца и модули над ними 5. Если f : M → N — гомоморфизм R-модулей, то f (T M ) ⊂ T N . 6. T (M/T M ) = 0. T 7. divM = (ε(n) M ). 26n∈Z 8. ε(n) d = d и ε(n) d = 0 для любого d ∈ divM и любого 2 6 n ∈ Z. 9. divM = {d ∈ M | T d = 0}. 10. divM = {d ∈ M | ε(p) d = 0 для всех простых p}. 11. γd = |γ|d для любого γ ∈ R и любого d ∈ divM . 12. divM — делимый R-модуль, т. е. divM — векторное пространство над полем Q. 13. T M = 0 ⇔ divM = M . 14. div(M/T M ) = M/T M . 15. M/T M — делимый R-модуль. Теорема 12.2. Пусть M — модуль над кольцом псевдорациональных чисел R. Тогда найдется подмодуль B ⊂ M , такой что M = divM ⊕ B. Кроме того, T M ⊂ B и divB = 0. Доказательство. В соответствии с леммой Цорна, существует максимальный R-подмодуль B, такой что divM ∩ B = 0, следовательно, divM + B = divM ⊕ B. Предположим, что M 6= divM ⊕ B. Тогда найдется элемент x ∈ M , такой что x ∈ / divM ⊕ B. Множество псевдорациональных чисел I = {γ ∈ R | γx ∈ divM ⊕ B} является идеалом кольца R, причем I 6= R. Возможны два варианта: идеал I может быть существенным или несущественным. Сначала рассмотрим случай, когда I — несущественный идеал. Подмодуль hB, xi = {b + γx | b ∈ B, γ ∈ R} строго больше подмодуля B, следовательно, divM ∩ hB, xi 6= 0. Значит, существует элемент 0 6= d ∈ divM , такой что d = b + γx, для некоторых b ∈ B и γ ∈ R. Так как γ ∈ I и I — несущественный идеал, то найдется идемпотент ε(n) ∈ R, такой что ε(n) γ = γ. Умножив равенство Л е к ц и я 12. Модули над кольцом псевдорациональных чисел 53 d = b + γx, на идемпотент ε(n) , получим 0 = ε(n) b + γx, поскольку ε(n) d = 0 (см. свойство 8 делимых частей и p-компонент). Тогда из полученного равенства и равенства d = b + γx следует, что d = (1 − ε(n) )b = ε(n) b ∈ divM ∩ B = 0. Получили противоречие, следовательно, идеал I существенный. По теореме 11.2 существенный идеал I содержит идемпотент вида ε . Следовательно, найдутся элементы d ∈ divM и b ∈ B, такие что d = b + ε(n) x. Так как ε(n) d = d (по свойству 8), то последнее равенство может быть переписано в виде ε(n) d = b + ε(n) x, а значит, b = ε(n) (d−x). Элемент d−x не может лежать в подмодуле divM ⊕B, поскольку x ∈ / divM ⊕ B. Следовательно, подмодуль (n) hB, d − xi = {a + γ(d − x) | a ∈ B, γ ∈ R} строго содержит подмодуль B, а значит, divM ∩ hB, d − xi 6= 0. Это означает, что найдутся d1 ∈ divM , a ∈ B и γ ∈ R, такие что 0 6= d1 = a+γ(d−x). Умножив данное равенство на идемпотент ε(n) , получим d1 = ε(n) d1 = ε(n) a + γ(ε(n) (d − x)) = ε(n) a + γb ∈ B. Таким образом, d1 ∈ divM ∩B = 0, получили противоречие, следовательно, divM ⊕ B = M . Так как ε(p) (divM ) = 0 для всех простых p, то Mp = ε(p) M = ε(p) B = Bp . Получили, что T M ⊂ B, так как все p-компоненты Mp содержатся в подмодуле B. Наконец, divB ⊂ divM ∩ B = 0, следовательно, divB = 0. ¤ Теорема 12.3. Пусть M — модуль над кольцом псевдорациональных чисел R. Если divM = 0, то модуль M является (может Q быть вложен) подмодулем прямого произведения Mp , причем p∈P 1. L Mp ⊂ M ⊂ p∈P 2. M/ Q Mp ; p∈P L p∈P Mp — делимый R-модуль. 54 Числовые кольца и модули над ними Q Доказательство. Гомоморфизм R-модулей f : M → Mp , где p∈P Q f (m) = (ε(p) m) ∈ Mp , инъективен, так как p∈P ker(f ) = {d ∈ M | ε(p) d = 0 для всех простых p} = divM = 0. L Следовательно, f — вложение. Кроме этого, T M = Mp ⊂ M p∈P и M/T M — делимый R-модуль по свойствам 1, 10 и 15 делимых частей и p-компонент. ¤ Теорема 12.4. Пусть R — кольцо псевдорациональных чисел и M — конечно порожденный R-модуль с n порождающими элементами, 0 < n ∈ Z. Тогда M имеет вид M = D ⊕ B, где подмодули D и B удовлетворяют условиям: 1. D — делимый R-модуль; L Q 2. Bp ⊂ B ⊂ Bp ; p∈P 3. B/ L p∈P Bp — делимый R-модуль; p∈P 4. p-компонента Bp является прямой суммой mp циклических b p , где mp 6 n, модулей над кольцом целых p-адических чисел Z для каждого простого p; ¡ L ¢ 5. dimQ D + dimQ B/ Bp 6 n. p∈P Доказательство. Обозначим D = divM , тогда, учитывая теоремы 12.2 и 12.3, получаем справедливость утверждений 1, 2 и 3. Пусть x1 , x2 , . . . , xn — порождающие элементы R-модуля M . Тогда p-компонента Mp = Bp порождается элементами ε(p) x1 , ε(p) x2 , . . . , ε(p) xn . Применяя теорему 8.2, получаем справедливость утверждения 4. Так как M = D ⊕¡B и T M¢ = T B ⊂ B, то M/T ¡ M =¢D ⊕ B/T B. Следовательно, dimQ M/T M = dimQ D+dimQ B/T B . Векторное пространство M/T M порождается над полем Q векторами x1 + T M, x2 + T M, . . . , xn + T M ∈ M/T M, Л е к ц и я 12. Модули над кольцом псевдорациональных чисел 55 ¡ ¢ а значит, dimQ M/T M 6 n и справедливо последнее утверждение теоремы. ¤  Важный класс R-модулей образуют конечно порожденные R-модули, все p-адические компоненты которых периодические. Аддитивные группы таких модулей образуют класс смешанных абелевых групп G, который впервые был рассмотрен С. Глаз и У. Уиклессом [GW] в 1994 г. Группам из класса G посвящено большое количество работ. Вот далеко не полный их перечень: [AGW], [AlH], [Al], [AlJ], [FiW], [FiW1], [FW1], [FW2], [VW], [W], [Kr], [Kr1]. Одним из результатов исследования класса G было построение кольца псевдорациональных чисел [Fo]. С.В. Чеглякова [Ch] описала инъективные R-модули, а А.В. Царев [Ts] и Е.А. Тимошенко [Ti] описали проективные R-модули. Кроме этого, А.В. Царев исследовал R-модули в [Ts1], [Ts2] и [Ts3]. Е.Г. Зиновьев обобщил понятие псевдорационального числа, он ввел и исследовал так называемые псевдоалгебраические числа [Zv]. Напомним, что элемент a абелевой группы A имеет конечный порядок, если na = 0 для некоторого положительного целого числа n. Все элементы конечного порядка группы A образуют подгруппу t(A) ⊂ A, которую называют периодической частью группы A. Понятие периодической части допускает следующее аксиоматическое обобщение для модулей над коммутативным кольцом Λ (подробнее см. в книге А.П. Мишиной и Л.А. Скорнякова «Абелевы группы и модули» [MS]). Будем говорить, что для Λ-модулей имеет место «кручение», если выполняются следующие условия: (T1) Всякий Λ-модуль A содержит подмодуль tA. (T2) Если A ⊂ tB, то tA = A. (T3) f (tA) ⊂ tB для любого гомоморфизма Λ-модулей f : A → B. ¡ ¢ (T4) t A/tA = 0. Каждый модуль M над кольцом псевдорациональных чисел R содержит подмодуль T M . Свойства 4, 5 и 6 из раздела 11.4 показывают, что T M задает «кручение». В связи с этим, будем говорить, что R-модуль M «периодический», если T M = M . Тогда R-модуль M является модулем «без кручения», если T M = 0. Следующие свойства «кручения» T M ⊂ M напрямую вытекают из результатов раздела 11.4: 56 Числовые кольца и модули над ними 1. R-модуль M «периодический» тогда и только тогда, когда он L имеет вид M = Mp , где Mp — модуль над кольцом целых p∈P b p для каждого простого числа p. p-адических чисел Z 2. R-модуль M является модулем «без кручения» тогда и только тогда, когда M — векторное пространство над полем рациональных чисел Q. 3. Всякий подмодуль D «без кручения» R-модуля M является прямым слагаемым модуля M , т. е. M = D ⊕ A для некоторого подмодуля A ⊂ M . 4. Всякий R-модуль M содержит максимальный подмодуль «без кручения» и это — divM .  Заметим, что данное «кручение» отличается от стандартного кручения. Например, идеал T является «периодическим» R-модулем, но не является периодическим в стандартном смысле. Более того, пусть t(M ) — периодическая часть аддитивной группы R-модуля M . Легко видеть, что t(M ) является R-подмодулем модуля M . Стандартное кручение t(M ) ⊂ M , очевидно, удовлетворяет четырем аксиомам кручения. Следовательно, модули над кольцом псевдорациональных чисел допускают два различных нетривиальных кручения. Л е к ц и я 13. Кольцо полиадических чисел Рассмотрим прямое произведение Q b Zp колец целых p-адических p∈P чисел по всем простым числам p. Как мы знаем, элементами такого произведения являются последовательности (αp ) по одному целому p-адическому числу αp для каждого простого числа p. Сложение и умножение таких последовательностей определяются покомQ b понентно. Единицей кольца Zp является последовательность (1p ) p∈P p-адических единиц, нулем — последовательность (0p ) p-адических Q b нулей. Идемпотентами кольца Zp являются последовательности p∈P (αp ), у которых каждая компонента αp равна нулю или единице. Л е к ц и я 13. Кольцо полиадических чисел 57 b= QZ b p называется кольцом поОпределение 13.1. Кольцо Z p∈P лиадических чисел. b содержит кольТеорема 13.1. Кольцо полиадических чисел Z цо псевдорациональных чисел R в качестве подкольца. Более того, полиадическое число (αp ) является псевдорациональным тогда и только тогда, когда существуют целые числа a, b ∈ Z, b 6= 0, такие что равенство bαp = a имеет место для почти всех простых чисел p. Доказательство. Отметим, что словосочетание «для почти всех» в формулировке теоремы означает «для всех, кроме конечного числа простых чисел». Фиксируем натуральное число n > 2 и рассмотрим рациональное число q = ab ∈ Q(n) (определение кольца Q(n) см. в лекции 10). Если простое число p взаимно просто с числом n, то p также взаимно просто со знаменателем b. В этом случае уравнение bx = a имеет единственное решение в кольце целых p-адических чисел. В b p , т. е. рациональное связи с этим, мы можем сказать, что q = ab ∈ Z число q является целым p-адическим числом. b у которого p-компоОбозначим через e(n) идемпотент кольца Z, нента равна единице, если простое число p взаимно просто с n, и p-компонента равна нулю, если p является делителем числа n. Очевидно, что тогда последовательность qe(n) является полиадическим числом. Пусть {p1 , p2 , . . . , pk } — множество всех простыхQделителей чисb= b p , такой что ла n. Обозначим через ei идемпотент кольца Z Z p∈P pi -компонента равна единице, а все остальные компоненты равны нулю. Напомним, что любой элемент γ кольца Rn (см. лекцию 10) имеет b p , i = 1, 2, . . . , k, вид γ = α1 ε1 + α2 ε2 + . . . + αk εk + qε(n) , где αi ∈ Z i (n) b q ∈ Q . Определим отображения fn : Rn → Z (n = 2, 3, . . .), действующие по закону fn (γ) = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αk ek + qe(n) . Легко проверить, что отображения fn являются инъективными гомоморфизмами колец, которые удовлетворяют свойству универсальности (свойство 6 кольца псевдорациональных чисел, лекция 10). Тогда b из кольца псевсуществует инъективный гомоморфизм f : R → Z 58 Числовые кольца и модули над ними дорациональных чисел в кольцо полиадических чисел, такой что ограничение f на подкольца Rn совпадают с гомоморфизмами fn для всякого n > 2. Отождествление по гомоморфизму f завершает доказательство теоремы (при этом εi = ei и ε(n) = e(n) ). ¤ Далее рассмотрим элементы теории делимости в кольце полиадических чисел. Понятие характеристики было введено в лекции 11 (определений 11.2). Там же было определено отношение порядка на множестве характеристик. Пусть χ = (mp ) и κ = (kp ) — произвольные характеристики. Определим следующие операции: ¡ ¢ ¡ ¢ χ ∧ κ = min{mp , kp } и χ ∨ κ = max{mp , kp } . Заметим, что характеристика χ ∧ κ является точной нижней гранью характеристик χ и κ, а характеристика χ ∨ κ является точной верхней гранью характеристик χ и κ. Упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов имеются точная нижняя и точная верхняя грани, называется решеткой. Поэтому справедливо следующее утверждение. Предложение 13.2. Множество характеристик с отношением порядка на нем является решеткой. ¤ b = QZ b p – полиадичеОпределение 13.2. Пусть γ = (γp ) ∈ Z p∈P ское число. Последовательность (mp ) по всем простым числам p, где mp = hp (γp ) — высота целого p-адического числа γp (см. определение 6.1), является характеристикой и называется характеристикой полиадического числа γ. Далее мы будем использовать обозначение char(γ) = (mp ). Теорема 13.3. Полиадическое число β является делителем полиадического числа γ тогда и только тогда, когда char(β) 6 char(γ). Доказательство. Обозначим char(β) = (mp ) и char(γ) = (kp ). b имеет место равенство αβ = γ для Предположим, что в кольце Z b Тогда для каждого простого числа p имеет место некоторого α ∈ Z. Л е к ц и я 13. Кольцо полиадических чисел 59 равенство для p-компонент αp βp = γp в кольце целых p-адических b p . По свойству 6 p-высот (лекция 6) это возможно тогда и чисел Z только тогда, когда mp 6 kp для всех простых чисел p. ¤ Теорема 13.4. Для любого конечного набора полиадических чисел γ1 , γ2 , . . . , γn существует наибольший общий делитель этих b Для любого наибольшего общего делителя δ чичисел в кольце Z. сел γ1 , γ2 , . . . , γn существуют полиадические числа β1 , β2 , . . . , βn , такие что δ = β1 γ1 + β2 γ2 + . . . + βn γn . Доказательство. По теореме 13.3 любое полиадическое число характеристики char(γ1 ) ∧ char(γ2 ) ∧ . . . ∧ char(γn ) является наибольшим общим делителем чисел γ1 , γ2 , . . . , γn . Это доказывает первое утверждение теоремы. b является наибольшим общим делителем чисел Пусть δ = (δp ) ∈ Z γ1 , γ2 , . . . , γn . Это означает, что p-высота целого p-адического числа (1) (2) (n) δp совпадает с наименьшей из p-высот p-компонент γp , γp , . . . , γp полиадических чисел γ1 , γ2 , . . . , γn соответственно. Пусть для данного простого числа p наименьшую p-высоту имеет p-компонента (i) (i) γp . Так как p-высоты целых p-адических чисел δp и γp совпадают, (i) (i) (i) то существует целое p-адическое число βp , такое что δp = βp γp . (j) В случае j 6= i полагаем βp = 0. Тогда для полиадических чисел (1) (2) (n) β1 = (βp ), β2 = (βp ), . . . , βn = (βp ) получаем равенство δ = β1 γ1 + β2 γ2 + . . . + βn γn . ¤ b Теорема 13.5. Любой конечно порожденный идеал в кольце Z является главным. Доказательство. Пусть идеал I = hγ1 , γ2 , . . . , γn i порождается n полиадическими числами. Тогда рассмотрим полиадическое число δ = н.о.д.(γ1 , γ2 , . . . , γn ). Так как все γi принадлежат главному идеалу hδi, то идеал I содержится в идеале hδi. С другой стороны, равенство δ = β1 γ1 + β2 γ2 + . . . + βn γn означает, что δ ∈ I и, таким образом, hδi ⊂ I. ¤ Учитывая теорему 13.3, мы можем переформулировать последнюю теорему следующим образом. 60 Числовые кольца и модули над ними Следствие 13.6. Для любого конечно порожденного идеала I b существует характеристика χ, такая что кольца Z b | char(γ) > χ}. I = Iχ = {γ ∈ Z ¤ b находятТеорема 13.7. Конечно порожденные идеалы кольца Z ся во взаимно однозначном соответствии с характеристиками. Доказательство. Достаточно заметить, что разным характеристикам χ соответствуют разные идеалы Iχ . ¤ b χ обозначается Zχ и наОпределение 13.3. Факторкольцо Z/I зывается кольцом полиадических классов вычетов по модулю характеристики χ. Кольца Zχ можно также рассматривать как циклические модули b Отметим, что кольцо Z b содержит идеалы, которые над кольцом Z. Lb не являются конечно порожденными, например, идеал Zp . Вследp∈P b b LZ b p , коствие этого имеются циклические Z-модули, например, Z/ p∈P b торые отличны от всех циклических Z-модулей вида Zχ . Л е к ц и я 14. Конечно представимые модули над кольцом полиадических чисел Предложение 14.1. Модуль M над коммутативным кольцом K является конечно порожденным тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм K-модулей K n → M для некоторого целого положительного числа n. Доказательство. Если K-модуль M порождается элементами m1 , m2 , . . . , mn , то гомоморфизм f : K n → M , при котором f (α1 , α2 , . . . , αn ) = α1 m1 + α2 m2 + . . . + αn mn , является сюръективным. Обратно, пусть существует сюръективный гомоморфизм модулей f : K n → M . Тогда элементы e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) Л е к ц и я 14. Модули над кольцом полиадических чисел 61 порождают модуль K n , а элементы f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) порождают модуль M . ¤ Определение 14.1. K-модуль M называется конечно представимым, если для некоторого целого положительного числа n существует сюръективный гомоморфизм K n → M с конечно порожденным ядром. Из этого определения и предложнеия 14.1, в частности, видно, что любой конечно представимый K-модуль является конечно порожденным. b Примерами конечно представимых Z-модулей служат модули вида Zχ . Лемма 14.2. Пусть I — некоторое множество и n — целое по(j) ложительное число. Тогда для любого семейства K-модулей Mi , i ∈ I, j = 1, 2, . . . , n, имеет место равенство µn ¶ µ ¶ n Q L L Q (j) (j) Mi = Mi i∈I j=1 j=1 i∈I Доказательство. Пусть для каждого индекса i ∈ I задан элеn L (1) (2) (n) (j) мент mi = (mi , mi , . . . , mi ) ∈ Mi . Определим отображеj=1 ´ n Q³ L (j) ние, при котором элемент (mi )i∈I ∈ Mi переходит в вектор i∈I j=1 ´ n ³Q ¡ (1) ¢ L (2) (n) (j) (mi )i∈I , (mi )i∈I , . . . , (mi )i∈I ∈ Mi . j=1 i∈I Это отображение является изоморфизмом K-модулей. Отождествляя по этому изоморфизму, мы получаем искомое равенство. ¤ Лемма 14.3. Пусть Ni ⊂ Mi , i ∈ I, семейство K-модулей и их подмодулей. Тогда имеет место изоморфизм ³ Q ´±³ Q ´ Q ¡ ¢ Mi /Ni . Ni ∼ Mi = i∈I i∈I i∈I 62 Числовые кольца и модули над ними Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм ¢ Q Q¡ f: Mi → Mi /Ni , i∈I i∈I ¡ ¢ ¡ ¢ действующийQпо закону f (mi )i∈I = mi + Ni i∈I . Легко видеть, что ker f = Ni . Применяя теорему об изоморфизме, получаем i∈I требуемый результат. ¤ Q b = b p содержит для каждого Кольцо полиадических чисел Z Z p∈P простого числа p идемпотент εp , у которого p-компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Подмодуль Mp = εp M b называется p-компонентой модуля M . модуля M над кольцом Z Лемма 14.4. Пусть n — целое положительное число и для b p -модуль Mp , имеющий систему каждого простого числа p задан Z Q образующих из не более, чем n элементов. Тогда M = Mp являp∈P b b ется естественным образом Z-модулем и для любого Z-подмодуля N модуля M следующие два условия равносильны: 1. N раскладывается в прямое произведение своих p-компонент, Q т. е. N = Np ; p∈P b 2. N является конечно порожденным Z-модулем. Доказательство. Если α = (αp ) — полиадическое число Q Q и m = (mp ) ∈ Mp , то внешнее произведение αm = (αp mp ) ∈ Mp p∈P p∈P Q b определяет структуру Z-модуля на группе Mp . p∈P b p -модуля 1 ⇒ 2. Будучи подмодулем конечно порожденного Z b p -модуль Np сам является конечно порожденным (по теореMp , Z ме 8.4). При этом можно считать, что Np содержит систему об(1) (2) (n) разующих точно из n элементов xp , xp , . . . , xp , добавляя нули Q (1) при необходимости. Так как N = Np , то элементы x1 = (xp ), p∈P x2 = (2) (xp ), . . . , xn = (n) (xp ) модуля M принадлежат подмодулю N . Л е к ц и я 14. Модули над кольцом полиадических чисел 63 Внешние скобки означают, что мы рассматриваем последовательности элементов по всем простым числам p. ЛегкоQвидеть, что элеменb ты x1 , x2 , . . . , xn порождают подмодуль N = Np как Z-модуль. p∈P Q Mp = M . 2 ⇒ 1. Любой элемент a ∈ N имеет вид a = (ap ) ∈ p∈P Q При этом ap = εp a ∈ Np , поэтому N ⊂ Np . Докажем, что p∈P Q Q Np ⊂ N . Пусть b = (bp ) ∈ Np . Так как модуль N имеет сиp∈P p∈P стему образующих x1 , x2 , . . . , xn , то элементы εp x1 , εp x2 , . . . , εp xn порождают p-компоненту Np модуля N . Следовательно, найдутся (1) (2) (n) целые p-адические числа αp , αp , . . . , αp такие, что bp = αp(1) εp x1 + αp(2) εp x2 + . . . + αp(n) εp xn . Определим полиадические числа γ1 = (αp(1) ), γ2 = (αp(2) ), . . . , γn = (αp(n) ), тогда b = γ1 x1 + γ2 x2 + . . . + γn xn . Так как x1 , x2 , . . . , xn ∈ N , то получаем, что b ∈ N . ¤ Лемма 14.5. Пусть χ = (mp ) — некоторая характеристика. Q bp в Тогда Zχ ∼ Kp , где Kp = Zpmp в случае mp < ∞ или Kp = Z = p∈P случае mp = ∞. © ª b b | char(γ) > χ моДоказательство. Z-подмодуль Iχ = γ ∈ Z b порождается одним элементом (любым полиадическим чисдуля Z лом характеристики χ), следовательно, по лемме 14.4 модуль Iχ раскладывается в произведение своих p-компонент, каждая из которых b p (здесь мы полагаем, что p∞ Z b p = 0). Таким образом, имеет вид pmp Z Q mp b Iχ = p Zp , тогда по лемме 14.3 p∈P ± Q ¡ b ± mp b ´ Q ∼ b Zp p Zp = Kp . Zχ = Z Iχ = p∈P ¤ p∈P b Теорема 14.6. Ненулевой Z-модуль M является конечно представимым тогда и только тогда, когда он представляется в виде M∼ = Zχ ⊕ Zχ ⊕ . . . ⊕ Zχ , 1 2 n где χ1 6 χ2 6 . . . 6 χn — ненулевые характеристики. 64 Числовые кольца и модули над ними b Доказательство. Сначала отметим, что всякий Z-модуль вида Zχ1 ⊕ Zχ2 ⊕ . . . ⊕ Zχn является конечно представимым, как конечная прямая сумма конечно представимых модулей. При этом нулевой b характеристике χ соответствует нулевой Z-модуль Zχ . b Обратно, пусть Z-модуль M является конечно представимым. Тоb bn → M гда существует сюръективный гомоморфизм Z-модулей f: Z с конечно порожденным ядром ker f . В силу леммы 14.2 имеет место bn = Q Z b n . По лемме 14.4 конечно порожденный подморавенство Z p p∈P дуль ker f раскладывается в прямое произведение своих p-компоQ нент, ker f = Np . Тогда по лемме 14.3 и по теореме об изоморp∈P ± Q ³ b n± ´ n ∼ ∼ b физме получаем, что M = Z ker f = Zp Np . Для каждого p∈P ± b n Np является конечно порожденным Z b pпростого числа p модуль Z p модулем. Следовательно, по теореме 8.3 имеем ± (n) (2) (1) p p p b n Np ∼ , ⊕ . . . ⊕ Zm ⊕ Zm Z = Zm p p p p где (2) (n) m(1) p 6 mp 6 . . . 6 mp (14.1) b p . Таким образом, принадлежат множеству {∞, 0, 1, . . .} и Zp∞ = Z (2) (n) Q ¡ m(1) m m ¢ M∼ Zp p ⊕ Zp p ⊕ . . . ⊕ Zp p . Применяя еще раз лемму 14.2, = p∈P получаем M∼ = ³Q p∈P ´ Z (1) pmp ⊕ ³Q p∈P ´ Z (2) pmp ⊕ ... ⊕ ³Q p∈P ´ Z m(n) . p p Тогда по лемме 14.5 имеем M∼ = Zχ1 ⊕ Zχ2 ⊕ . . . ⊕ Zχn , ¡ (2) ¢ ¡ (2) ¢ ¡ (n) ¢ где χ1 = mp , χ2 = mp , . . . , χn = mp . Из неравенств (14.1) следует соотношение χ1 6 χ2 6 . . . 6 χn . Наконец, отбрасывая при необходимости нулевые характеристики в этой последовательности вместе с нулевыми прямыми слагаемыми, получаем окончательный результат. ¤ Л е к ц и я 14. Модули над кольцом полиадических чисел 65 b Теорема 14.7. Пусть M — конечно представимый Z-модуль и N — конечно порожденный подмодуль модуля M . Тогда модули N и M/N являются конечно представимыми. Доказательство. По теореме 14.6 модуль M имеет вид (2) (n) ¢ Q ¡ m(1) mp p M∼ Zp p ⊕ Zm ⊕ . . . ⊕ Z . = p p p∈P В силу леммы 14.4 конечно порожденный подмодуль N раскладываQ ется в прямое произведение N = Np . Тогда по лемме 14.3 имеет p∈P Q место изоморфизм M/N ∼ (M = p /Np ). Для каждого простого чисp∈P b p -модуля Np и Mp /Np являются конечно порожденными с ла p оба Z b pчислом образующих элементов не более чем n. Раскладывая эти Z b p -модулей и применяя лемму модули в прямые суммы циклических Z 14.2, получаем, что оба модуля N и M/N раскладываются в прямые суммы не более чем n модулей вида Zχ , то есть оба модуля являются конечно представимыми по теореме 14.6. ¤ Список обозначений N P Z Q Zm bn Z — — — — — множество натуральных чисел множество всех простых чисел кольцо (группа) целых чисел поле (группа) рациональных чисел кольцо (группа) классов вычетов по модулю m bp Z bp Q — кольцо целых p-адических чисел — кольцо n-адических чисел — поле p-адических чисел — кольцо псевдорациональных чисел R b= QZ b p — кольцо полиадических чисел Z p∈P Zχ ker(f ) im(f ) A×B A ⊕ B, Q Ai i∈I L Ai — кольцо полиадических классов вычетов по модулю характеристики χ — ядро гомоморфизма f — образ гомоморфизма f — декартово произведение множеств — прямая сумма колец (модулей) — прямое произведение колец (модулей) — прямая сумма модулей i∈I ha1 , . . . , an i o(a) h(a) S(n) Mp divM t(A) — — — — — — — модуль, порожденный элементами a1 , . . . , an порядок элемента a высота элемента a множество простых делителей целого числа n p-адическая часть R-модуля M делимая часть R-модуля M периодическая часть группы A Литература [AGW] U. F. Albrecht, H. P. Goeters, W. Wickless, The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules, Rocky Mountain J. Math., 25, No. 2, 1995, 569–590. [AlH] U. F. Albrecht, J. Hausen, Mixed abelian groups with the summand intersection property, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 182, Marcel Dekker, New York, 1996, 123–132. [Al] U. F. Albrecht, Mixed abelian groups with artinian quasi-endomorphism ring, Comm. Algebra, 25, No. 11, 1997, 3497–3511. [AlJ] U. F. Albrecht, J.-W. Jeong, Homomorphisms between A-projective abelian groups and left Kasch rings, Czechoslovak Math. J., 48 (123), No. 1, 1998, 31–43. [Ar] D. M. Arnold, Finite rank torsion free abelian groups and rings. Lecture Notes in Math., 931, Springer, New York, 1982. [FiW] S. Files, W. Wickless, The Baer-Kaplansky theorem for a class of global mixed abelian groups, Rocky Mountain J. Math., 26, No. 2, 1996, 593–613. [FiW1] S. Files, W. Wickless, Direct sums of self-small mixed groups, J. Algebra, 222, No. 1, 1999, 1–16. [Fo] A. A. Fomin, Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers, Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhäeuser, Basel, 1999, 87–100. [FW1] A. A. Fomin, W. Wickless, Categories of mixed and torsion free abelian groups, Abelian Groups and Modules, Kluwer, Boston, 1995, 185–192. [FW2] A. A. Fomin, W. Wickless, Self-small mixed abelian groups G with G/T (G) finite rank divisible, Comm. Algebra, 26, No. 11, 1998, 3563–3580. 68 Литература [GW] S. Glaz, W. Wickless, Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups, Comm. Algebra, 22, No. 4, 1994, 1161–1176. [VW] C. Vinsonhaler, W. Wickless, Realizations of finite dimensional algebras over the rationals, Rocky Mountain J. Math., 24, No. 4, 1994, 1553–1565. [W] W. Wickless, A functor from mixed groups to torsion free groups, Contemp. Math., 171, 1995, 407–419. [DU] Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский, Математические беседы, 2-е издание, М.: Физматлит, 2004. [Zv] Е. Г. Зиновьев, Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел, Вестник ТГУ, Томск, 2006, т. 290, с. 46–47. [Kr] П. А. Крылов, Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов, Фунд. и прикл. матем., 2000, т. 6, № 3, с. 793–812. [Kr1] П. А. Крылов, Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп, Сиб. матем. ж., 2002, т. 43, № 1, с. 108–119. [KMT] П. А. Крылов, А. В. Михалев, А. А. Туганбаев, Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006. [KTCh] П. А. Крылов, А. А. Туганбаев, А. Р. Чехлов, Упражнения по группам, кольцам и полям. Томск: Изд. ТГУ, 2008. [Ksh] А. Г. Курош, Теория групп. СПб.: Лань, 2005. [MS] А. П. Мишина, Л. А. Скорняков, Абелевы группы и модули, М.: Наука, 1969. [Ti] Т. А. Тимошенко, Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел, Журнал СФУ, серия Математика и физика, 2011, т. 4, № 4, с. 541–550. [Fu] Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977. Литература 69 [Ts] А. В. Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Матем. заметки, 2006, т. 80, № 3, с. 437– 448. [Ts1] А. В. Царев, Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы, Алгебра и анализ, 2006, т. 18, № 4, с. 198–214. [Ts2] А. В. Царев, Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, Сиб. матем. ж., 2008, т. 49, № 4, с. 945–953. [Ts3] А. В. Царев, Сервантные подкольца колец Zχ , Матем. сб., 2009, т. 200, № 10, с. 123–150. [Ch] С. В. Чеглякова, Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел, Фунд. и прикл. матем., 2001, т. 7, № 2, с. 627–629. [Ch] А. Р. Чехлов, Упражнения по основам теории групп. Томск: Изд. ТГУ, 2004. Предметный указатель 10-адические числа 11 n-адическая топология 19 n-адические числа 18 n-характеристика 41 p-адические числа 30 p-компонента R-модуля 51 Абелева группа 5 Высота 29 Гомоморфизм 6–7 Декартово произведение 8, 22 Делимая часть R-модуля 51 Делитель нуля 7 Идеал 7 Идемпотент 23 Изоморфизм 6 Кольцо — классов вычетов 8 — коммутативное 6, 12 — псевдорациональных чисел 45 — полиадических чисел 57 Компактное пространство 20 Кручение 55 Модуль 32 — конечно порожденный 36 — конечно представимый 61 — циклический 36 Область целостности 7 Образ гомоморфизма 6, 8 Подгруппа 5 Подкольцо 7 Подмодуль 32 Поле 7 Прямая сумма колец 23 Прямая сумма модулей 33, 47 Прямое произведение 8 Рациональная часть псевдорационального числа 46 Решетка 58 Смежный класс 5 Существенный идеал 49 Факторгруппа 6 Факторкольцо 7 Фактормодуль 34 Характеристика 49 Целые p-адические числа 28 Цепь 18 Ядро гомоморфизма 6, 8