Функциональный анализ: измеримые функции, интеграл Лебега

Ëåêöèÿ 14 ½Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç ïî ó÷åáíèêó À.Í.Êîëìîãîðîâ Ñ.Â.Ôîìèí ñîñòàâèë Ï.Ì.Àõìåòüåâ 15.05.2021 1 https://bmm.mca.nsu.ru/project/49 Èçìåðèìûå ôóíêöèè Ïóñòü X , Y ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, ℵ(X), ℵ(Y ) σ àëãåáðû. Íàñ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àè Y = R, X = R èëè X = R2 , ℵ(X), ℵ(Y ) σ -àëãåáðû áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f : X → Y èçìåðèìà, åñëè èç A ∈ ℵ(Y ) âûòåêàåò, ÷òî B = f −1 (A) ⊂ X , B ∈ ℵ(X). Theorem 1. Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà Ïóñòü f : X → Y , g : Y → Z  èçìåðèìûå ôóíêöèè. Òîãäà êîìïîçèöèÿ g ◦ f : X → Z  èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Theorem 2. Äëÿ èçìåðèìîñòè f : X → Y íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðîîáðàç f −1 ((−∞, c)) ⊂ X ëþáîãî îòêðûòîãî ëó÷à áûë èçìåðèì: ∀c, f −1 ((−∞, c)) ∈ σ(X). Theorem 3. Cóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíåå, ÷àñòíîå (åñëè çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â íîëü) èçìåðèìûõ ôóíêöèé åñòü èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Theorem 4. Äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 1,2,3,4 áóäóò äîêàçàíû íà ñåìèíàðå (âõîäèëè â Ä.Ç.) 2 Äîêàæåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå èçìåðèìûõ ôóíêöèé èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì: 1 f g = [(f + g)2 − (f − g)2 ]. 4 Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ñóììå äâóõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé, òåîðåìîé î êîìïîçèöèè èçìåðèìûõ ôóíêöèé è íåïðåðûâíîé (èçìåðèìîé) ôóíêöèè y 7→ y 2 è ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâà èçìåðèìîñòè ïðè óìíîæåíèè íà êîíñòàíòó ( 14 ). Èíòåãðàë Ëåáåãà Ïðîñòûå ôóíêöèè Èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f : X → R íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè îíà ïðèíèìàåò íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé {x1 , . . . , xn , . . . }.  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå èçìåðèìîñòè ôóíêöèè ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ èçìåðèìîñòè êàæäîãî ìíîæåñòâà An = {x : f (x) = yn }. Îïðåäëåíèå 1. Ôóíêöèÿ f : X → R èçìåðèìà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ðàâíîìåðíîñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ôóíêöèé. Theorem 5. Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 5 Äîñòàòî÷íîñòü. Äîêàçàòåëüñòâî ñì. ãë.V, ïàðàãðàô 4, Òåîðåìà 4. Íåîáõîäèìîñòü. Äëÿ èçìåðèìîé f (x), n ∈ N, îïðåäåëèì (m+1) m fn (x) = m n , åñëè n ≤ f (x) < n . Ôóíêöèÿ fn (x)ïðîñòàÿ (ïî÷åìó?). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê 3 f (x), ïîñêîëüêó |f (x) − fn (x)| ≤ 1 . n Èíòåãðàë ëåáåãà äëÿ ïðîñòûõ ôóíêöèé Ïóñòü f -ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ, {y1 , . . . , yn , . . . }âñå åå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Ïóñòü A ⊂ X èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî. Îïðåäåëèì Z f (x)dµ = A X An = {x : x ∈ A, f (x) = yn }, yn µ(An ), n åñëè ýòîò ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî âñå çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íû. Óäîáíî îò ýòîãî óñëîâèÿ îòêàçàòüñÿ. Ïóñòü A = ∪k Bk , Bi ∩ Bj = ∅, i 6= j , ïóñòü íà Bk ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ck . Òîãäà Z X f (x)dµ = ck µ(Bk ). Lemma 6. A k Ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà A, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî Ëåììû 6 Êàæäîå An ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì òåõ Bk , äëÿ êîòîðûõ ck = yn . Ïîýòîìó X n yn µ(An ) = X n yn X ck =yn µ(Bk ) = X ck µ(Bk ). k Ðÿäû â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. 4 Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà îò ïðîñòûõ ôóíêöèé 1. Àääèòèâíîñòü: A [f (x) + g(x)]dµ = A f (x)dµ + A g(x)dµ, èç ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà â ëåâîé ÷àñòè. R R R Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå fi íà Fi ⊂ A, g ïðèíèìàåò çíà÷åíèå gj íà Gj ⊂ A. Ïðè ýòîì: Z J1 = f (x)dµ = X A i Z J2 = fi µ(Fi ), g(x)dµ = X A gj µ(Fj ). j Òîãäà Z J= [f (x) + g(x)]dµ = XX A i (fi + gj )µ(Fi ∩ Gj ). j Èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ J1 , J2 ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà J è J1 + J2 = J. 2. A kf (x)dµ = k þò îäíîâðåìåííî. R A f (x)dµ, R ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñóùåñòâó- 3. Ïóñòü |f (x)| ≤ M , x ∈ A. Òîãäà: Z | f (x)dµ| ≤ M µ(A). A 5 Èíòåãðàë Ëåáåãà îò èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà ìíîæåñòâå êîíå÷íîé ìåðû Ïóñòü {fn (x)} èçìåðèìûå è ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê f íà A. Òîãäà R 1. I = limn→+∞ A fn (x)dµ ñóùåñòâóåò (ïî÷åìó?). 2. Ýòîò ïðåäåë I íå çàâèñèò îò âûáîðà {fn (x)} (ïî÷åìó?). 3. Åñëè f (x)ïðîñòàÿ, òî ïðåäåë I èíòåãðàëîâ äëÿ f (x) ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì îò ïðîñòîé ôóíêöèè f (x) (ïî÷åìó?). Îïðåäåëèì èíòåãðàë Ëåáåãà ïî ôîðìóëå: Z f (x)dµ = I. A Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà 1. R A 1dµ = µ(A) (ïî÷åìó?). 2. A kf (x)dµ = k þò îäíîâðåìåííî. R A f (x)dµ, R ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñóùåñòâó- 3. Àääèòèâíîñòü: A [f (x) + g(x)]dµ = A f (x)dµ + A g(x)dµ, èç ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà â ëåâîé ÷àñòè. R R R 4. Îãðàíè÷åííîñòü. Ïóñòü f : X → R èçìåðèìà è îãðàíè÷åíà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íà A ⊂ X R íåîòðèöàòåëüíîé êîíñòàíòîé C . Òîãäà f èíòåãðèðóåìà è | A f (x)dµ| < µ(A)C . 6 5. Ìîíîòîííîñòü. Åñëè f (x) ≥ 0, òî A f (x)dµ ≥ 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x)  ïðîñòàÿ, òî ýòî î÷åâèäíî. Åñëè f (x)èçìåðèìàÿ, òî íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé {fn (x)}, ðàâíîìåðíî àïïðîêñèìèðóþùèõ f (x) íà A (ïî÷åìó?). R R Ñëåäñòâèå. Åñëè f (x) ≥ g(x), òî A f (x)dµ ≥ R A g(x)dµ.  ÷àñòíîñòè, åñëè m ≤ f (x) ≤ M , òî mµ(A) ≤ A f (x)dµ ≤ M µ(A). R 6. Åñëè µ(A) = 0, òî R A f (x)dµ = 0. 7. Åñëè ïî÷òè âñþäó (ò.å. çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê èç ìíîæåñòâà R R íóëåâîé ìåðû) f (x) = g(x), òî A f (x)dµ = A g(x)dµ, ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñóùåñòâóþò èëè íå ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî. 8. Åñëè ϕ(x) èíòåãðèðóåìà íà A è ïî÷òè âñþäó |f (x)| ≤ ϕ(x), òî f (x) òàêæå èíòåãðèðóåìà íà A. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ(x), f (x)ïðîñòûå ôóíêöèè. Òîãäà A (ì.á. ïîñëå óäàëåíèÿ ìíîæåñòâà ìåðû íóëü, èç óñëîâèÿ) ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, íà êîòîðûõ f (x), ϕ(x) ïîñòîÿííû, A = ∪i Ai , f (x) = ai , ϕ(x) = bi , x ∈ Ai , |ai | ≤ bi . Èç èíòåãðèðóåìîñòè ϕ(x) ñëåäóåò, ÷òî X |an |µ(An ) ≤ n X Z bn µ(An ) = ϕ(x)dµ. A n Ïîýòîìó f (x) èíòåãðèðóåìà è Z | f (x)dµ| = | X A n 7 an µ(An )| ≤ X Z |an |µ(An ) = Z |f (x)|dµ ≤ ϕ(x)dµ. A A  îáùåì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïî ðàâíîìåðíî-ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé. 9. Èíòåãðàëû Z I1 Z f (x)dµ, |f (x)|dµ I2 = A A ñóùåñòâóþò èëè íå ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî f (x) èçìåðèìà). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ I2 âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå I1 ïî ñâîéñòâó 8. Îáðàòíîå äëÿ ïðîñòîé ôóíêöèè ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, à äëÿ èçìåðèìûé òðåáóåòñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà Åñëè ϕ(x) ≥ 0 íà A, c > 0, òî 1 µ{x|x ∈ A, ϕ(x) ≥ c} ≤ c Z ϕ(x)dµ. A Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A0 (c) = {x|x ∈ A, ϕ(x) ≥ c}. Òîãäà Z Z Z ϕ(x)dµ = A Z ϕ(x)dµ ≥ ϕ(x)dµ + A\A0 (c) A ϕ(x)dµ ≥ cµ(A0 (c)). A0 (c) Ñëåäñòâèå. Åñëè Z |f (x)|dµ = 0, A 8 òî f (x) = 0 ïî÷òè âñþäó. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà: 1 µ{x|x ∈ A, |f (x)| ≥ } ≤ n n Z |f (x)|dµ = 0, A äëÿ âñåõ n. Ïîýòîìó µ{x|x ∈ A, f (x) 6= 0} ≤ ∞ X µ{x|x ∈ A, |f (x)| ≥ n=1 1 } = 0. n Èíòåãðàë Ëåáåãà ïî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íîé ìåðû Îïðåäåëåíèå. Èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f : X → R, µ(X) = +∞, íàçûâàåòñÿ ñóììèðóåìîé, åñëè äëÿ ëþáîãî A ⊂ X , µ(A) < ∞, f ñóììèðóåìà è äëÿ âîçðàñòàþùåé ôèëüòðàöèè X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ... = X èçìåðèìûìè ïîäìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò ïðåäåë Z lim f (x)dµ, n→+∞ Xn êîòîðûé, ïðåäïîëàãàåòñÿ, íå çàâèñèò îò âûáîðà ôèëüòðàöèè. Ýòîò ïðåäåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Z f (x)dµ. X Ñðàâíåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà è Ëåáåãà Òåîðåìà. Åñëè ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ðèìàíà Z I= b f (x)dx, a 9 òî f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà [a, b] è Z f (x)dµ = I. [a,b] Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû îïóñòèì òåõíè÷åñêèå äåòàëè (íåñëîæíûå) è äîêàæåì òåîðåìó äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a, b] íà 2n ðàâíûõ îòåçêîâ. Ðàññìîòðèì íèæíþþ è âåðõíþþ èíòåãðàëüíûå ñóììû Äàðáó: 2n b−aX ωn = n mn,k , 2 n=1 2n b−aX Ωn = n Mn,k , 2 n=1 ãäå Mn,k âåðõíÿÿ ãðàíü f (x) íà [xk−1 ≤ x ≤ xk , mn,k íèæíÿÿ ãðàíü f (x) íà òîì æå îòðåçêå. Ïîíÿòíî, ÷òî âåðõíÿÿ f¯n (x) è íèæíÿÿ f n (x) ìàæîðàíòû Äàðáó ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ôóíêöèÿìè è Z f¯n (x)dµ = Ωn , [a,b] Z [a,b] f n (x)dµ = ωn . Ïðè ýòîì f¯n (x) 7→ f (x), f n (x) 7→ f (x). Çàìå÷àíèå 1. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå íà [0, 1] (÷òî ýòî?) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó, íî íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (x) ≥ 0, äëÿ êîòîðîé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà 1 ðîäà Z b I = lim ε→0+ f (x)dx a+ε 10 ñóùåñòâóåò, èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó è Z I= f (x)dµ = I. a,b] Çàìå÷àíèå 2. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë b Z I = lim ε→0+ f (x)dx, a+ε êîòîðûé íå ÿâëÿåòÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, Z b |f (x)|dx, +∞ = lim ε→0+ a+ε íå ñóùåñòâóåò êàê èíòåãðà Ëåáåãà. Íàïðèìåð, Z 1 1 sin( )dx x x ñóùåñòâóåò êàê èíòåãðàë Ðèìàíà, íî íå ñóùåñòâóåò êàê èíòåãðàë Ëåáåãà. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà (ïî âñåé ïðÿìîé), òî åñëè èíòåãðàë Ðèìàíà àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì Ëåáåãà. Åñëè Ðèìàíà èíòåãðàë 2 ðîäà ñõîäèòñÿ óñëîâíî, íàïðèìåð, Z +∞ sin(x) dx = π, x −∞ òî èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò. Ïðèëîæåíèÿ ãë. VII Ïðîñòðàíñòâî L1 Ïóñòü X ïðîñòðàíñòâî ñ ëåáåãîâîé ìåðîé µ (äëÿ ïðîñòîòû ôîðìóëèðîâîê, ñ÷èòàåì, ÷òî X -îòðåçîê èëè êâàäðàò), 11 L1 (X, µ)íîðìèðîâàííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè èçìåðèìûõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé ñ íîðìîé Z ||f || = |f (x)|dµ. Ôóíêöèè f (x), g(x) ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó, åñëè ôóíêöèÿ f (x) − g(x) èìååò íóëåâóþ íîðìó. Theorem 7. 1. Ïðîñòðàíñòâî L1 (X, µ) ïîëíî. 2. Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïëîòíî â L1 (X, µ). 3. Ïðîñòðàíñòâî L1 (X, µ) ñåïàðàáåëüíî, â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Ïðîñòðàíñòâî L2 Ïðîñòðàíñòâî L1 (X, µ)åâêëèäîâî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ èíòåãðèðóåìûì êâàäðàòîì: Z ||f ||2 = |f 2 (x)|dµ. Ôóíêöèè f (x), g(x) ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó, åñëè ôóíêöèÿ f (x) − g(x) èìååò íóëåâóþ íîðìó. Theorem 8. 1. Ïðîñòðàíñòâî L2 (X, µ)-ïîëíî. 2. Ïðîñòðàíñòâî L2 (X, µ) âëîæåíî â L1 (X, µ) (ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî). 12 3. Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïëîòíî â L2 (X, µ). 4. Ïðîñòðàíñòâî L2 (X, µ) ñåïàðàáåëüíî, â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî.  ïðîñòðàíñòâå L1 (X, µ) ïðèìåíÿåòñÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è ñòðîÿòñÿ èíâàðèàíòû äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ïðîñòðàíñòâå L2 (X, µ) ïðèìåíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ïî îðòîãîíàëüíûì ñèñòåìàì (åñëè X -îòðåçîê èëè êâàäðàò) èëè ðàçëîæåíèÿ â èíòåãðàë Ôóðüå. Äëÿ ñëó÷àÿ X = [−π, +π] ïðèìåíÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû, äëÿ X = [−1, +1]ìíîãî÷ëåíû Ëåæàíäðà, ×åáûøåâà; äëÿ X = (−∞, +∞) ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà, äëÿ X = (0, +∞)ìíîãî÷ëåíû Ëàãåððà. 13