Функции случайного аргумента

Лекция 2 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 1. Функции одного аргумента Пусть (, S, P) – произвольное вероятностное пространство и =(w), w есть некоторая случайная величина. Определение 1. Функцией от случайной величины называется случайная величина, связанная функциональной зависимостью с другой случайной величиной   f   . Если случайная величина  дискретна, то и функция от неё   f   также дискретна. Пример 1. Пусть случайная величина    w, w   имеет следующий ряд распределения: 1 2  -2 -1 0 Р 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1 Найти ряд распределения случайной величины    2 ▲ P  0   P  0  0,3 ; P  1  P  1    1  P  1  P  1  0,2  0,2  0,4 ; P  4  P  2    2  P  2   P  2   0,2  0,1  0,3 : 1 4  0 P 0,3 0,4 0,3 ▼ Теорема 1. Если f (x) – монотонная дифференцируемая функция, а случайная величина  непрерывна, то плотность распределения случайной величины   f ( ) равна: d f  1 ( x) p ( x )  p f  1 ( x) . dx   (1) ▲ Пусть y  f x  – непрерывная монотонно возрастающая функция. Тогда существует обратная ей также монотонно возрастающая функция x  f 1  y  . Функция распределения: F  x   P(  x )  P f ( )  x   P   f  1( x)  F  f  1 ( x ) .   Плотность распределения:       d F  f  1( x ) d f  1( x) d f  1( x ) . (2)  1   p f  1( x ) p ( x )  F  ( x )  F  f ( x )  dx dx d f  1( x) Пусть теперь y  f x  – непрерывная монотонно убывающая функция. То-      гда и обратная ей функция также монотонно убывающая. Функция распределения: 1 F  ( x)  P  x  P f ( )  x  P   f 1 ( x )  1  P     f 1 ( x )  1  P[  f 1 ( x )]  1  F [ f 1 ( x)].  Учитывая, что d f 1 ( x) dx  0, получаем p ( x)  dF ( x) dx  dF [ f 1 ( x )] df 1 ( x)  1  1  F f ( x)    dx df 1 ( x)    d f  1 ( x) d f  1 ( x)   p  f  1 ( x)  p  f  1 ( x) dx dx     . (3) Объединяя формулы (2) и (3), получаем формулу (1) ▼ Пример 2. Найти плотность вероятности p(x), если известна плотность вероятности p (x) и линейная функция   A  B , где  - непрерывная случайная величина. yB x  B d f 1 1 ▲ y  Ax  B , x  . Тогда согласно формуле (1): f  1 ( x)  ,  , A A dx A x  B 1 ▼ p ( x )  p     A  A Теорема 2. Если случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами (a,  2 ) , то случайная величина   A  B (A  0, A и В – постоянные) имеет нормальное распределение с параметрами ( Aa  B, A 2 2 ) . ▲ Согласно примеру 2,  x B 1 p ( x )  p   ,  A  A  xB  (  a) 2   1    x B A exp  p   , 2 2   A  2       ( x  B  aA) 2  1 p x   exp   ▼  2 A 2 2 2 A    Пример 3. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона  - случайная величина, распределённая по нормальному закону с M  65т и    0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется. ▲ Пусть  - случайная величина, определяющая массу поезда. Тогда   100 . По теореме 2 случайная величина  распределена по нормальному закону с M  100  65т  6500т и    100  0,9т  90т . Вероятность 2 P(0    6600)   ( 6600  6500 0  6500 )  ( )  1,11   72,22   0,3665  0,5  0,8665 90 90 ▼ Определение 2. Неотрицательная случайная величина  имеет логарифмически нормальное распределение, если   ln  имеет нормальное распределение. Другими словами, случайная величина  имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, если она может быть представлена в виде   е , где  ~ N a,   . Плотность распределения случайной величины , имеющей логнормальное распределение, находится по формуле: ln x  a 2 d f  1( x) 1 1  1   , p ( x )  , x  0. f ( x)  ln x , e dx x 2 2 2  x Если требуется определить лишь числовые характеристики случайной величины  , то нет необходимости находить её закон распределения, ибо числовые характеристики можно выразить через закон распределения случайного аргумента  : - для дискретной случайной величины: M   f ( x i ) P (  x i ) , D   f 2 ( x i ) P (  xi )  ( M ) 2 ; i i - для непрерывной случайной величины:  M   f ( x) p ( x )dx ,    D   [ f ( x )  M ] 2 p  ( x )dx   f 2 ( x) p  ( x)dx  ( M ) 2 .   2. Функции нескольких аргументов При построении вероятностных моделей часто встречается случай функции многомерных случайных величин. Определение 1. Функцией случайных величин называется случайная величина, связанная функциональной зависимостью с другими случайными величинами   f (1 ,..., n ) . Рассмотрим важный частный случай, когда требуется найти закон распределения суммы двух случайных величин. Пусть   ( 1,  2) ,   f ( )   1   2 . Функция распределения: F  ( x )  P ( 1   2  x )   p ( x1 , x 2 )dx1dx 2 , Dx    x  x1   ( x )  p ( x , x ) dx F     1 2 2 dx1 .      Произведем во внутреннем интеграле замену x2  t  x1 и затем поменяем порядок интегрирования 3   x x     F ( x)     p ( x1 , t  x1 )dt  dx1     p ( x1 , t  x1 )dx1  dt .                В соответствии с определением функция p (t )   p ( x1 , t  x1 ) dx1 является  плотностью распределения случайной величины   1   2 . Если первоначально изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, то аналогично получаем:  p (t )   p  (t  x 2 , x 2 ) dx 2 .  Особые значения имеет случай, когда случайные величины 1, 2 независимы. В этом случае: p ( x1 , x2 )  p ( x1 ) p ( x2 ) . 1 2 Подставляя последнее равенство в (4) и (5), приходим к формуле свёртки:  p   (t )   p ( x1 ) p (t  x1 )dx1 , 1 2 2  1  p   (t )   p (t  x2 ) p ( x2 )dx2 . 1 2 2  1 Аналогично формула свёртки для независимых случайных величин с дискретным распределением имеет вид: P( 1   2  x)    P( 1  xi) P( 2  x  xi) . i 1 (1) Теорема 1. Сумма независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона с параметрами 1, 2, также имеет распределение Пуассона с параметром   1  2 . 1n 1  k2   P (  n )  e  ▲ , P( 2  k )  e 2 , n, k  0,1,... 1 n! k! Подставим последние формулы в равенство (1): P( 1   2  m)    1n  e   1 P( 2  m  n) , n  1 n! но так как P( 2  m  n )  0 для всех n, m, то получим P( 1   2  m)  m m n m  n   1  (   ) m n n m  n 1   2 2  1 2   1 e  1 1  e e C m 1  2 e  (1   2) ▼ n ! ( m  n )! m ! m ! n0 n0   Теорема 2. Если 1, 2 – независимые нормально распределенные случайные величины: 1 ~ N a1 ,  1  ,  2 ~ N a 2 ,  2  , то 1   2 , ~ N  a1  a 2 ,  12   22  , т. е. сумма   независимых нормально распределённых случайных величин имеет нормальное распределение. Определение 2. Закон распределения суммы n независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение, называется законом Эрланга 4 (n-1) – го порядка. Плотность распределения Эрланга k –го порядка для t0 равна: p k (t )   ( t ) k   t . e k! Закон Эрланга k -ого порядка был получен при моделировании работы телефонных станций. В математической статистике часто используются законы распределения случайных величин, являющихся функциями независимых нормально распределенных случайных величин. Рассмотрим три из них, чаще других встречающиеся при моделировании случайных явлений. 10. Распределение 2. Пусть  i , i  1,..., m, - нормально распределённые независимые случайные величины с M i  0 и    1 . Тогда сумма квадратов этих величин имеет расi 2 пределение  с m степенями свободы. Плотность такого распределения: 0, x  0  x m  1  1 2 2 p  2 ( x)   m e x , x  0, 2 2   m     2  m 1 m где      t 2 e  t dt - гамма-функция. 2 0 Распределение 2 определяется одним параметром – числом степеней свободы m . С увеличением m распределение 2 медленно приближается к нормальному. 20. Распределение Стьюдента. 5 Пусть  - случайная величина, распределённая по нормальному закону с параметрами a  0,   1 , a  - независимая от  случайная величина, которая распределена по закону 2 с m степенями свободы. Тогда величина t   m имеет распределение, которое называется t – распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика: Уильяма Госсета) с m степенями свободы. Плотность вероятностей:  m  1 m 1   2    2 x   1  2  p T ( x)    m m  С возрастанием m распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. 30. Распределение Фишера. Если  и  - независимые случайные величины, распределённые по закону 2  со степенями свободы m1 и m 2 , то величина  m  1  m2 имеет распределение, которое называется распределением Фишера (Рональд Фишер – английский статистик и генетик) со степенями свободы m1 и m 2 . Плотность вероятностей: 0, x  0  m1  2  Cx 2 p ( x )   , , x   m  m2  m  m x  1 1  2 2 6  m  m2  m1 m2  1 m1 2 m2 2 2   C где . m  m    1   2   2   2  При больших m1 и m 2 распределение Фишера стремится к нормальному распределению. 7