Фундаментальное решение уравнения Лапласа

Лекция 5. Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом Фурье в круговых областях. Фундаментальное решение уравнения Лапласа 1. Метод Фурье для круговых областей. При решении уравнения Пуассона в круговых областях (круг, внешность круга, кольцо, сектор круга и кольца) удобно перейти к полярным координатам: . Выясним, как записывается оператор Лапласа в полярных координатах: Отсюда Из полученного равенства выражаем и получаем уравнение Пуассона в полярных координатах: Далее, как и в прямоугольной области, ищем решение уравнения Лапласа в виде произведения , подставляя которое в уравнение Лапласа, получаем , откуда . Рассмотрим сначала первую краевую задачу в круге : . Учитывая, что решение должно быть периодическим по , приходим к задаче Штурма-Лиувилля: Решениями этой задачи являются, очевидно, функции ; при этом других решений, как легко видеть, нет. Далее ищем решение задачи Дирихле в виде ряда по собственным функциям: Подставив этот ряд в уравнение Пуассона, получим: Разлагая функцию в ряд Фурье: , приходим к уравнениям для коэффициентов и : Полученные уравнения (являющиеся, как видим, уравнениями Эйлера) имеют общие решения , и соответственно. Обратим внимание, что , а потому . Остальные константы – и – находим из краевого условия аналогично тому, как это делалось в случае прямоугольной области. Отметим особенности решения для других круговых областей. При нахождении ограниченного решения во внешности круга () учитываем, что , а потому при . При решении задачи в кольце () или секторе кольца (, ) ограничений на коэффициенты нет. Для сектора круга и кольца краевые условия следует задавать также на лучах и , и собственные функции будут отличными от указанных выше собственных функций для остальных круговых областей. Так, для условий Дирихле задача Штурма-Лиувилля имеет вид т.е. совпадает с той, которая была в случае прямоугольника. 2. Первая и вторая формулы Грина для оператора Лапласа. Утверждение. Пусть ограниченная область имеет кусочно-гладкую границу , а функции . Тогда справедлива первая формула Грина: где — единичная внешняя нормаль к границе , – вектор градиента, , . Доказательство. Рассмотрим векторное полe . По теореме Остроградского–Гаусса откуда Перенося первое слагаемое из правой части в левую, приходим к требуемому равенству. Меняя местами функции и в первой формуле Грина, получим . Вычитая из одного равенства другое, получаем вторую формулу Грина: 3. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа определяется как где – площадь единичной сферы в , . Утверждение. Фиксируем произвольную точку . Тогда . Доказательство (для ; для проверьте самостоятельно). Имеем: , где , . Найдём частные производные фундаментального решения: где Теперь вычислим оператор Лапласа: Замечание 1. Поскольку , то для любого фиксированного . Замечание 2. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называют гармоническими. Таким образом, фундаментальное решение уравнения Лапласа является гармонической функцией как по переменной при , так и по переменной при .