Уравнения эллиптического типа

Лекция № 1. Уравнения эллиптического типа. При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа 𝛥𝑢 = 0 и уравнение Пуассона 𝛥𝑢 = −𝑓. Определение. Функция u называется гармонической в области Т, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. п.1 Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. 1. Стационарное тепловое поле. Температура нестационарного поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности 𝑢𝑡 = 𝑎2 𝛥𝑢. Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры u=u(x,y,z) не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа 𝛥𝑢 = 0. (1) При наличии источников тепла, получаем неоднородное уравнение теплопроводности 𝑢𝑡 = 𝑎2 𝛥𝑢 + 𝐹, где F- плотность тепловых источников внутри теплового поля. Тогда, если процесс становится стационарным 𝛥𝑢 = −𝑓 , f=F|𝑎2 , (2) то мы будем иметь уравнение Пуассона. 2.Стационарные колебания мембраны. Введем в рассмотрение уравнение свободных колебаний мембраны 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2 𝛥𝑢. Если данный процесс становится стационарным, то мы получаем уравнение Лапласа (1). То есть стационарные свободные колебания мембраны описываются уравнением Лапласа. А, если рассмотреть уравнение вынужденных колебаний мембраны 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2 𝛥𝑢 + 𝐹, где F- сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Тогда, если процесс становится стационарным, мы будем иметь уравнение Пуассона (2). Значит стационарные вынужденные колебания мембраны описываются уравнением Пуассона. 3. Потенциальное течение жидкости. В качестве третьего примера рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри некоторого объема Т с границей 𝛴 имеет место течение несжимаемой жидкости (плотность 𝜌 = с𝑜𝑛𝑠𝑡), характеризуемое скоростью v=v(x,y,z). Если течение жидкости невихревое, то скорость v является потенциальным вектором, т. е. v=-grad 𝜑, (3) где 𝜑 −скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если источники отсутствуют, то div v=0. (4) Подставляя в (4) выражение (3), получим div grad 𝜑 =0 или 𝛥𝜑 = 0, (5) то есть потенциал скорости удовлетворяет уравнения Лапласа (1). 4. Потенциал стационарного тока. Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью j=j(x,y,z). Если в среде нет объемных источников ток, то div j =0. (6) Электрическое поле Е определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома 𝑗 𝐸= , 𝜆 (7) где 𝜆 −провлдимость среды. Поскольку процесс стационарен, то электрическое поле является безвихревым или потенциальным. Тогда из второго уравнения Максвелла 𝜇 ´ 𝐻 = −𝑟𝑜𝑡 𝐸 𝑐 следует, что 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0. Значит существует такая скалярная функция 𝜑 = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) для которой E=-grad 𝜑, (j=- 𝜆grad 𝜑). (8) Отсюда на основании формул (6) и (7) заключаем, что 𝛥𝜑 = 0, (9) то есть потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа. 5. Потенциал электростатического поля. Пусть 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)- объемная плотность зарядов, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной 𝜀 = 1. Исходя из основного закона термодинамики ∬𝑆 𝐸𝑛 ⅆ𝑆 = 4𝜋∑𝑒𝑖 = 4𝜋 ∭𝑇 𝜌 ⅆ𝜏, (11) где Т- некоторый объем, S-поверхность, его ограничивающая, ∑𝑒𝑖 −сумма всех зарядов внутри объема Т и, пользуясь теоремой Остроградского ∬𝑆 𝐸𝑛 ⅆ𝑆 = ∭𝑇 div 𝐸 ⅆ𝜏, (12) получаем div 𝐸 = 4𝜋𝜌. Подставляя сюда выражение (8) для Е, будем иметь 𝛥𝜑 = −4𝜋𝜌, (13) то есть электрический потенциал 𝜑 удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет (𝜌 = 0), то потенциал 𝜑 должен удовлетворять уравнению Лапласа 𝛥𝜑 = 0. п.2 Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. Выведем выражение для оператора Лапласа в ортогональной криволинейной системе координат. Пусть в пространстве вместо декартовой системы координат х, у, z введены криволинейные координаты 𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 с помощью соотношений 𝑞1 = 𝑓1(х, у, z), 𝑞2 = 𝑓2(х, у, z), 𝑞3 = 𝑓3 (х, у, z), (14) разрешая которые относительно х, у, z, можно записать х=𝜑1(𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ), у=𝜑2 (𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ), z= 𝜑3 (𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ). (15) Полагая 𝑞1 = 𝐶1, 𝑞2 = 𝐶2, 𝑞3 = 𝐶3 , где 𝐶1, 𝐶2 , 𝐶3 −постоянные, получим три семейства координатных поверхностей 𝑓1(х, у, z) = 𝐶1, 𝑓2(х, у, z) = 𝐶2 , 𝑓3(х, у, z) = 𝐶3. (16) Рассмотрим элемент объема в новых координатах, ограниченный тремя парами координатных поверхностей. Вдоль ребра АВ 𝑞2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑞3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, вдоль АD 𝑞1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑞2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а вдоль АС 𝑞1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑞3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Направляющие косинусы касательной к ребрам АВ, АD и АС пропорциональны соответственно 𝜕𝜑1 𝜕𝜑2 𝜕𝜑3 , , , 𝜕𝑞1 𝜕𝑞1 𝜕𝑞1 𝜕𝜑1 𝜕𝜑2 𝜕𝜑3 , , , 𝜕𝑞2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞2 𝜕𝜑1 𝜕𝜑2 𝜕𝜑3 , , . 𝜕𝑞3 𝜕𝑞3 𝜕𝑞3 Условие ортогональности ребер будет иметь вид 𝜕𝜑1 𝜕𝑞𝑖 ⋅ 𝜕𝜑1 𝜕𝑞𝑘 + 𝜕𝜑2 𝜕𝑞𝑖 ⋅ 𝜕𝜑2 𝜕𝑞𝑘 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞𝑖 ⋅ 𝜕𝜑3 𝜕𝑞𝑘 = 0 (𝑖 ≠ 𝑘). (17) Вычислим элемент длины в новых координатах ⅆ𝑠 2 = ⅆ𝑥 2 + ⅆ𝑦 2 + ⅆ𝑧 2 = ( 𝜕𝜑2 𝜕𝑞2 ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑2 𝜕𝑞3 2 ⅆ𝑞3) + ( 𝜕𝜑3 𝜕𝑞1 𝜕𝜑1 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞1 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞2 𝜕𝜑1 𝜕𝑞2 𝜕𝜑1 ⅆ𝑞2 + ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞3 𝜕𝑞3 2 ⅆ𝑞3) + ( 2 𝜕𝜑2 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞3 ) . (18) Раскрывая скобки и учитывая условие ортогональности (17), получим ⅆ𝑠 2 = 𝐻12 ⅆ𝑞12 + 𝐻22 ⅆ𝑞22 + 𝐻32 ⅆ𝑞32 , (19) где 𝐻12 𝜕𝜑1 2 𝜕𝜑2 2 𝜕𝜑3 2 =( ) +( ) +( ) , 𝜕𝑞1 𝜕𝑞1 𝜕𝑞1 𝜕𝜑1 2 𝜕𝜑2 2 𝜕𝜑3 2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞2 𝐻22 = ( 𝐻32 ) +( ) +( ) , (20) 𝜕𝜑1 2 𝜕𝜑2 2 𝜕𝜑3 2 =( ) +( ) +( ) . 𝜕𝑞3 𝜕𝑞3 𝜕𝑞3 Вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только одна координата, поэтому для длины этих ребер согласно формуле (19), будем иметь ⅆ𝑠1 = 𝐻1 ⅆ𝑞1, ⅆ𝑠2 = 𝐻2 ⅆ𝑞2, ⅆ𝑠3 = 𝐻3 ⅆ𝑞3 , (21) так что элемент объема равен ⅆ𝑣 = ⅆ𝑠1 ⅆ𝑠2 ⅆ𝑠3 = 𝐻1𝐻2 𝐻3 ⅆ𝑞1 ⅆ𝑞2 ⅆ𝑞3. (22) Рассмотрим теперь некоторое векторное поле 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧). Вычислим ⅆ𝑖𝑣 𝐴, определяемую известной формулой векторного анализа ⅆ𝑖𝑣 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 𝑣𝑀 →0 ∬𝑆 𝐴𝑛 𝑑𝑆 𝑣𝑀 , (23) где S-поверхность, ограничивающая некоторый объем 𝑣𝑀 , содержащий точку М. Применим эту формулу к элементу объема ⅆ𝑣, изображенному на рисунке. Можно представить разность потоков вектора А через противоположные грани, например через правую и левую грани, в виде 𝑄1 = 𝐴1ⅆ𝑠2 ⅆ𝑠3|𝑞1 +𝑑𝑞1 − 𝐴1ⅆ𝑠2 ⅆ𝑠3|𝑞1 . Принимая во внимание формулы (21), получим 𝑄1 = [𝐻2 𝐻3𝐴1 ⅆ𝑠2 ⅆ𝑠3|𝑞1 +𝑑𝑞1 − 𝐻2 𝐻3𝐴1ⅆ𝑠2 ⅆ𝑠3|𝑞1 ] ⅆ𝑞2 ⅆ𝑞3 = 𝜕 𝜕𝑞1 (𝐻2𝐻3 𝐴1 ) ⅆ𝑞1 ⅆ𝑞2 ⅆ𝑞3. (24) Аналогично вычисляются две другие разности потоков через противоположные грани 𝜕 𝑄2 = 𝜕𝑞2 𝑄3 = 𝜕 𝜕𝑞3 (𝐻2 𝐻1𝐴2) ⅆ𝑞1 ⅆ𝑞2 ⅆ𝑞3 , (25) (𝐻1𝐻2 𝐴3) ⅆ𝑞1 ⅆ𝑞2 ⅆ𝑞3 . (26) Подставляя в формулу (23) значение ∬ 𝐴𝑛 ⅆ𝑆 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 𝑆 и пользуясь формулой (22), получаем выражение дивергенции в криволинейных ортогональных координатах ⅆ𝑖𝑣 𝐴 = 1 [ 𝜕 𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝜕𝑞1 (𝐻2 𝐻3 𝐴1) + 𝜕 𝜕𝑞2 (𝐻2 𝐻1𝐴2 ) + 𝜕 𝜕𝑞3 (𝐻1 𝐻2 𝐴3)]. (27) Предположим, что А потенциальное поле, то есть А=grad u. (28) Тогда 𝐴1 = 𝜕𝑢 𝜕𝑠1 = 1 𝜕𝑢 𝐻1 𝜕𝑞1 , 𝐴2 = 1 𝜕𝑢 𝐻2 𝜕𝑞2 𝐴3 = 1 𝜕𝑢 𝐻3 𝜕𝑞3 . (29) Подставляя в формулу (27) выражения (29) для 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 получим выражение для оператора Лапласа 𝛥𝑢 = ⅆ𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢) = = 1 [ 𝜕 𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝜕𝑞1 ( 𝐻2 𝐻3 𝜕𝑢 𝐻1 𝜕𝑞1 )+ 𝜕 𝜕𝑞2 ( 𝐻1 𝐻3 𝜕𝑢 𝐻2 𝜕𝑞2 )+ 𝜕 𝜕𝑞3 𝐻1 𝐻2 𝜕𝑢 ( 𝐻3 𝜕𝑞3 )]. (30) Таким образом уравнение Лапласа 𝛥𝑢 = 0 в ортогональных криволинейных координатах 𝑞1 , 𝑞2, 𝑞3записывается следующим образом 𝛥𝑢 = 1 [ 𝜕 𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝜕𝑞1 ( 𝐻2 𝐻3 𝜕𝑢 𝐻1 𝜕𝑞1 )+ 𝜕 𝜕𝑞2 ( 𝐻1 𝐻3 𝜕𝑢 𝐻2 𝜕𝑞2 )+ 𝜕 𝜕𝑞3 𝐻1 𝐻2 𝜕𝑢 ( 𝐻3 𝜕𝑞3 )] = 0. (31) Примеры. Рассмотрим два частных случая 1) Сферические координаты. В этом случае 𝑞1 = 𝑟, 𝑞2 = 𝜃, 𝑞3 = 𝜑 и формулы преобразования (15) принимают вид х=𝜑1(𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ) = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, у=𝜑2 (𝑞1 , 𝑞2, 𝑞3 ) = 𝑟 sin 𝜃 s 𝑖𝑛𝜑, z= 𝜑3 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) = 𝑟 cos 𝜃. Теперь вычислим ⅆ𝑠 2 по формуле (18) ⅆ𝑠 2 = ⅆ𝑥 2 + ⅆ𝑦 2 + ⅆ𝑧 2 = ( 𝜕𝜑2 𝜕𝑞2 ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑2 𝜕𝑞3 2 ⅆ𝑞3) + ( 𝜕𝜑3 𝜕𝑞1 𝜕𝜑1 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞1 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞2 )2 𝜕𝜑1 𝜕𝑞2 ⅆ𝑞2 + ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞3 𝜕𝜑1 𝜕𝑞3 2 ⅆ𝑞3) + ( 2 𝜕𝜑2 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞3 ) = (sin 𝜃 cos 𝜑 ⅆ𝑟 + 𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑 ⅆ𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 s 𝑖𝑛𝜑 ⅆ𝜑 + (sin 𝜃 sin 𝜑 ⅆ𝑟 + 𝑟 cos 𝜃 s 𝑖𝑛𝜑 ⅆ𝜃 + 𝑟 sin 𝜃𝑐𝑜𝑠 ⅆ𝜑)2 + (cos 𝜃 ⅆ𝑟 − rsin 𝜃 ⅆ𝜃 )2. После раскрытия скобок и упрощений находим ds 2 = dr 2 + r 2 dθ2 + r 2 sin2 θ dφ2 , т. е. 𝐻1 = 1, 𝐻2 = 𝑟, 𝐻3 = 𝑟 sin 𝜃. Подставляя значения 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 в формулу (31), получим уравнение Лапласа в сферической системе координат 𝛥𝑢 = 1 𝜕 𝐻2𝐻3 𝜕𝑢 𝜕 𝐻1𝐻3 𝜕𝑢 𝜕 𝐻1𝐻2 𝜕𝑢 [ ( )+ ( )+ ( )] 𝐻1𝐻2 𝐻3 𝜕𝑞1 𝐻1 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝐻2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞3 𝐻3 𝜕𝑞3 1 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 1 𝜕𝑢 = 2 [ (r 2 sin 𝜃 ) + (sin 𝜃 ) + ( )] = 0 r sin 𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 или окончательно 𝛥𝑟𝜃𝜑 𝑢 = 𝜕 𝜕𝑟 (r 2 𝜕𝑢 𝜕𝑟 )+ 1 𝜕 sin 𝜃 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃 )+ 1 𝜕2 𝑢 sin2 θ 𝜕φ2 = 0. (32) 2) Сферические координаты. В этом случае 𝑞1 = 𝜌, 𝑞2 = 𝜑, 𝑞3 = 𝑧 и формулы преобразования (15) принимают вид х=𝜑1(𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ) = 𝜌cos 𝜑, у=𝜑2 (𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 ) = 𝜌 s 𝑖𝑛𝜑, z= 𝜑3 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) = 𝑧. Теперь вычислим ⅆ𝑠 2 по формуле (18) ⅆ𝑠 2 = ⅆ𝑥 2 + ⅆ𝑦 2 + ⅆ𝑧 2 = ( 𝜕𝜑2 𝜕𝑞2 ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑2 𝜕𝑞3 )2 𝜌 s 𝑖𝑛𝜑 ⅆ𝜑 2 ⅆ𝑞3) + ( 𝜕𝜑3 𝜕𝑞1 𝜕𝜑1 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞1 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞2 + (s 𝑖𝑛𝜑 ⅆ𝜌 + 𝜌cos 𝜑 ⅆ𝜑 𝜕𝜑1 𝜕𝑞2 ⅆ𝑞2 + )2 𝜕𝜑1 ⅆ𝑞2 + 𝜕𝜑3 𝜕𝑞3 2 𝜕𝑞3 2 ⅆ𝑞3) + ( 2 𝜕𝜑2 𝜕𝑞1 ⅆ𝑞1 + ⅆ𝑞3 ) = (cos 𝜑 ⅆ𝜌 − + (ⅆ𝑧) . После раскрытия скобок и упрощений находим ds 2 = d𝜌 2 + 𝜌 2 d𝜑 2 + dz2 , т. е. 𝐻1 = 1, 𝐻2 = 𝜌, 𝐻3 = 1 Подставляя значения 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 в формулу (31), получим уравнение Лапласа в сферической системе координат 𝛥𝑢 = 1 𝜕 𝐻2𝐻3 𝜕𝑢 𝜕 𝐻1𝐻3 𝜕𝑢 𝜕 𝐻1 𝐻2 𝜕𝑢 [ ( )+ ( )+ ( )] 𝐻1 𝐻2𝐻3 𝜕𝑞1 𝐻1 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝐻2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞3 𝐻3 𝜕𝑞3 1 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 1 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑢 = [ (𝜌 ) + ( ) + (𝜌 )] = 0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜑 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑧 или окончательно 𝛥𝜌𝜑𝑧 𝑢 = 1 𝜕 𝜌 𝜕𝜌 (𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝜌 )+ 1 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜌2 𝜕φ 𝜕z2 + 2 = 0. (33) п.3 Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Большой интерес представляют уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией, то есть зависящие только от одной переменной r или 𝜌. Решение уравнения Лапласа u=U(r), обладающее сферической симметрией, будет определятся из обыкновенного дифференциального уравнения (см. формулу (32)) 𝑑 𝑑𝑟 (𝑟 2 𝑑𝑈(𝑟) ) = 0. 𝑑𝑟 Интегрируя это уравнение, находим U(r)= 𝐶1 𝑟 + 𝐶2, где 𝐶1, 𝐶2 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Полагая, например, 𝐶1 = 1, 𝐶2 = 0, получаем функцию 1 𝑈0(𝑟) = , 𝑟 которую часто называют фундаментальным уравнением Лапласа в пространстве. (34) Аналогично, полагая u=U(𝜌) и пользуясь уравнением (33) ⅆ ⅆ𝑈(𝜌) (𝜌 ) = 0. ⅆ𝜌 ⅆ𝜌 Найдем решение, обладающее цилиндрической или круговой симметрией (в случае двух независимых переменных), в виде U(𝜌)=𝐶1𝑙𝑛𝜌 + 𝐶2. Выбирая 𝐶1 = −1, 𝐶2 = 0,будем иметь 1 𝑈0 (𝜌) = 𝑙𝑛 . (35) 𝜌 Функцию 𝑈0 (𝜌) часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (для двух независимых переменных). п.4 Виды граничных задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Краевая (граничная) задача для уравнения Лапласа (1) или уравнения Пуассона (2) состоит в нахождении функции u  x  класса C 2 G   C 1 G  , удовлетворяющей в области G уравнению (3) и граничному условию на S границе области G вида 𝛼𝑢 + 𝛽 𝜕𝑢 𝜕𝑛 |𝑆 = 𝑣, (36) где  ,  и v  заданные непрерывные функции на S , причем   0 ,   0 ,     0. Выделяют следующие типы граничных условий (36): Граничное условие I рода   1,   0  . u S  u0 . Граничное условие II рода   0,   1 . u n S  u1 . Граничное условие III рода (𝛽, 𝛼 − константы, которотые одновременно не равны нулю) 𝛽 𝜕𝑢 𝜕𝑛 + 𝛼𝑢|𝑆 = 𝑢2 . Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III рода. Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача I рода u   f , u S  u0 называется задачей Дирихле; краевая задача II рода 𝛥𝑢 = −𝑓, 𝜕𝑢 |𝑆 = 𝑢1 𝜕𝑛 называется задачей Неймана; краевая задача III рода 𝛥𝑢 = −𝑓, 𝛼𝑢 + 𝛽 𝜕𝑢 |𝑆 =𝑢2 𝜕𝑛 называется смешанной задачей. Если решение граничной задачи ищется внутри (вне) рассматриваемой области, то данная задача называется внутренней (внешней).