Формулы для определения нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях

ЛЕКЦИЯ №13 Формулы для определения нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях бруса при поперечном изгибе. При чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 13.1). Рис. 13.1 Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых перемещений γ. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка dА получает еще некоторые угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это означает, что при поперечном изгибе, в отличие от чистого, поперечные сечения не остаются плоскими (рис. 13.2). Рис. 13.2 При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для определения нормальных напряжений σ некоторую погрешность. Величина этой погрешности имеет порядок h/l по сравнению с единицей, где h – величина (размер) поперечного сечения в плоскости изгиба, l – длина стрежня. По допущениям, высота сечения поперечного сечения много меньше длины балки, а, следовательно, и величина h/l относительно мала и соответственно мала и погрешность. Поэтому при поперечном изгибе можно пользоваться зависимостями, выведенными для чистого изгиба. Определим приближенно касательные напряжения τ при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной dz (см. рис. 13.3,а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину dM. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтрального слоя (рис. 13.3,б), разделим элемент на две части и рассмотрим равновесие нижней части. Равнодействующая нормальных сил σ·dА в левом сечении в пределах площади А* равна: N ∗ = ∫ σ ⋅ dA , или учитывая, что σ = A∗ N∗ = M Ix M⋅y I x , получим: ∫ y dA , 1 ∗ A где через y1 обозначена в отличие от y текущая координата элементарной площадки dА. Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси x части площади, расположенной ниже продольного сечения ∗ (ниже уровня y). Обозначим этот статический момент через S x . Тогда: MS x∗ N = Ix . ∗ (13.1) Рис. 13.3 В правом сечении нормальная сила будет другой: ( M + dM ) S x∗ N + dN = . Ix ∗ ∗ (13.2) dM ⋅ S x∗ должна уравновешиваться касательными Разность этих сил dN = Ix ∗ силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 13.3, б, в). В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения b равномерно. Тогда: dM ⋅ S x∗ = τ ⋅ b ⋅ dz , откуда Ix QS x∗ τ= I xb . (13.3) Полученная формула (13.3) носит название формулы Журавского, по имени русского ученого 19 века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе. Полученное выражение позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения в поперечных сечениях равны им как парные. Зависимость τ от y в сечении определяется через статический момент S x∗ . При подходе к крайнему волокну площадь отсеченной части уменьшается и S x = 0 , а, следовательно, и касательные ∗ напряжения становятся равными нулю, τ=0. Можно сопоставить абсолютные величины максимальных касательных и максимальных нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 13.4), имеем: σ max = M 6 Pl 3 P = 2 ; τ max = ⋅ , откуда Wx bh 2 bh τ max h = σ max 4l . Рис. 13.4 Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех не тонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос, к которому вернемся позже. В связи с малостью τmax расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.